semana 6 algebra vectorial parte 2 fi

7/17/2019 Semana 6 Algebra Vectorial Parte 2 fi

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SEMANA 7

Semestre 2015-1 1

Tema:

PROYECCIÓN ORTOGONAL

Sean ya b dos vectores y 0b , la proyección ortogonal o componente vectorial de a sobre

b , denotado por:

2Pr

b

a boy a b

b

Componente escalar ( proyección escalar ) de a sobre b , es el número denotado por:

b

a b

Comp a b

Observaciones:

1. cosb

Comp a a

2. Dado que2

Pr b

a boy a b

b

, entonces: El vector proyección es: Pr b b

boy a Comp a

b

3. Pr b b

oy a comp a

4. Si 0b

Comp a , entonces el vector Pr b

oy a tiene el mismo sentido que b

5. Si 0b

Comp a , entonces el vector Pr b

oy a tiene el mismo opuesto a b

Propiedades

1. Pr Pr Pr c c c

oy a b oy a oy b

PRODUCTO VECTORIAL



Semestre 2015-1 2

2. Pr Pr c c

oy a oy a

3. c c ccomp a b comp a comp b

4. c ccomp a comp a

Ejemplo Encuentre la proyección escalar y el vector proyección de a sobre b, Si 1,1,2a sobre

2,3,1b

Solución:

1,1,2 2,3,1 3a b

14b

Luego:

Proyección escalar ó componente escalar: 3

14b

a bComp ab

El vector proyección: 3 ( 2, 3,1) 3 6 9 3

Pr ( 2, 3,1) , ,14 14 14 1414 14

boy a

PRODUCTO VECTORIAL (Ó PRODUCTO CRUZ)

El producto vectorial de los vectores1 2 3

( , , )a a a a y 1 2 3, ,b b b b vectores en 3 , se define como

un vector, donde su dirección es perpendicular al plano de a y b , su sentido lo determina la regla delsacacorchos o de la mano derecha y se denota como:

c a b



Semestre 2015-1 3

Definición El producto vectorial de a y b es:

2 3 3 2 1 3 3 1 1 2 2 1a b a b a b i a b a b j a b a b k

NOTA Esta definición es aplicable solamente a vectores en tres dimensiones. El producto vectorial devectores en el plano bidimensional no está definido

Una manera conveniente de calcular a b consiste en usar determinantes

Recordemos que (1,0,0)i , (0,1,0) j , (0,0,1)k , entonces podríamos escribir como:

2 3 3 2 1 3 3 1 1 2 2 1, ,a b a b a b a b a b a b a b

Esta fórmula se puede escribir en la forma de un determinante como sigue.

1 2 3

1 2 3

i j k

a b a a a

b b b

Ejemplo Si 1,2,3a y 4,0,1b calcular b a

Solución:

4 0 1 2,13, 8

1 2 3

i j k

b a

Ejemplo Si (5,0, 2)u y (2,1, 2)v entonces:

5 0 2 ( 2,3 2,5)

2 1 2

i j k

u v

2 1 2 2,3 2, 5

5 0 2

i j k

v u



Semestre 2015-1 4

Propiedades del Producto Vectorial

Si a , b y c son tres vectores en 3 R y Rr , es un escalar, entonces se verifican las propiedadessiguientes:

1. a b c a b a c

2. a b c a c b c

3. r a b ra b a rb

4. a b b a

5. 0 0 0a a

6. 0a a

7. a b c a b c

8. a b c a c b a b c

9. 22 2 2

a b a b a b

TEOREMA: Si a y b son vectores no nulos en 3 R y es el ángulo entre a y b , entonces severifican las propiedades siguientes:

1. a b es ortogonal simultáneamente a los vectores a y b .

2. a b a b sen

3. 0 //a b a b

4. a b = área del paralelogramo que tiene a a y b como lados adyacentes.

De la igualdad

22 2 2

a b a b a b

Si

denota el ángulo entre a y b , entonces cosa b a b

, por lo que

22 2 2

a b a b a b

22 2

cosa b a b

2 2 2 22cosa b a b

2 2

2

2 22

1 cosa b

a b sen

Entonces a b a b sen



Semestre 2015-1 5

Sin embargo b sen es la altura del paralelogramo determinado por a y b

A= (base)(altura) a b sen a b

- En otras palabras, la norma de a b es igual al área del paralelogramo determinado por a y

b .

- Área de un paralelogramo cuyas diagonales son los vectores a y b 1

2 A a b .

- Área de un triángulo cuyos vértices son P, Q y R es:1

2 A PQ PR .

Ejemplo El área del triángulo con vértices en ),2,3,1( P )4,1,2(Q )6,1,3( R es:

1 2 6

5 0 2 1140

2 2 2

i j k

PQ QRarea

PRODUCTO MIXTO O PRODUCTO TRIPLE ESCALARDados los vectores a , b y c vectores en 3 R , se llama producto mixto de los vectores a , b y c , en

ese orden, (se representa por ( a , b , c )) al número real definido por :



Semestre 2015-1 6

, , ( )a b c a b c

Luego el producto mixto de los vectores a , b y c , se obtiene por el determinante:

1 2 3

1 2 3

1 2 3

a a a

a b c b b b

c c c

Ejemplo Calcular el producto mixto de los vectores (1, 2,4)a , (2,0,1)b , (3,2, 3)c

Solución:

1 2 4

2 0 1 4

3 2 3

a b c

El volumen del paralelepípedo determinado por los vectores a , b y c es la magnitud de su triple

producto escalar , , ( )a b c a b c

El área de la base es b c

La altura h del paralelepípedo es cosh a

Volumen cosV Ah b c a a b c

El volumen del tetraedro determinado por los vectores a , b y c es: 1 1, , ( )

6 6V a b c a b c

Ejemplo Calcular el volumen del paralelepípedo que tiene a 3 5u i j k , 2 2v j k y

3w i j k como aristas adyacentes.

Solución:

( )V u v w

3 5 1

0 2 2 36

3 1 1

Propiedades del producto mixto

Consideremos los vectores a , b y c vectores en 3 R , entonces se verifica:

1. , , ( ) ( ) ( )a b c a b c b c a c a b

2. , , ( ) a

b ca b c a b c b c comp



Semestre 2015-1 7

3. , , , , , ,a b c b c a c a b

DIRECCIÓNPara definir la dirección de un vector 1 2 3, ,v v v v no nulo en tres dimensiones queda determinado

por tres ángulos de dirección, denominados ángulos directores coordenados, cada uno de los cualessepara a la representación geométrica ordinaria de una de las partes positivas de los ejescoordenadas.

Estos ángulos de dirección se denotan normalmente mediante letras griegas de la siguientemanera:

: Es el ángulo de dirección con respecto a la parte positiva del eje x

: Es el ángulo de dirección con respecto a la parte positiva del eje y

: Es el ángulo de dirección con respecto a la parte positiva del eje z

La definición de los ángulos directores se realiza con los llamados Cosenos directores, los cualesse obtienen a través de los triángulos rectángulos mostrados en las siguientes figuras.

Para la determinación de los ángulos utilizamos las funciones coseno es decir,1 cosv v 2 cosv v 3 cosv v

Por lo tanto:



Semestre 2015-1 8

1cos v

v 2cos

v

v 3cos

v

v

Así se pueden determinar los ángulos directores , y .

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Calcular el área del triángulo que tiene vértices en P , Q y R

a) (1,5, 2) (0,0, 0) (3,5,1) P Q R b) (2,0, 3) (1,4,5) (7,2,9) P Q R

2. En los siguientes ejercicios obtenga los cosenos directores del vector dado.

a) 1,2,2a

b) 5,0,12a 4, 4,2a

c)

3, 5, 2a

3. Si para un vector v ,2

cos11

y6

cos11

, calcule cos .

4. En los siguientes ejercicios obtenga la componente escalar de v sobre u para los vectores

u y v dados.

a) (2,1,2), (2,1,1)u v b) (12,5,0), (3,1, 2)u v

5. Demuestre que el triángulo cuyos vértices son R , S y T es un triángulo rectángulo.

a) R (2,7,1), S (8,5,5) y T (7,3,4) b) R (3,1,-2), S (8,4,6) y T (6,7,0)

6.

En los siguientes ejercicios calcular u v y v u , y demuestre que u v es perpendicular a

u y v .

a) ( 2, 3, 1), ( 1, 2, 1)u v

b) ( 2,1, 1), (2,1, 1)u v

c) (3,5, 3), ( 2,1,7)u v

d) (2, 3,1), (1, 2,1)u v

e) (12, 3,0), ( 2,5,0)u v

f) 6 , 2u j k v i j k

7. Calcular u v , si:

a) (8, 4,2), (2,5,2)u v b) ( 2,6,10), (3,8,5)u v

8. Calcular el área del paralelogramo que tiene a los vectores dados como lados adyacentes

a) ,u j v j k

b) (3,2, 1), (1,2,3)u v

c) ,u i j k v j k

d) (2, 1,0), ( 1,2,0)u v

9. En los siguientes ejercicios calcular u v w

a) , ,u i v j w k b) (1,1,1), (2,1,0), (0,0,1)u v w

10. Calcular el volumen del paralelepípedo con lados u , v y w

a) , ,u i j v j k w i k b) (1,3,1), (0,5,5), (4,0,4)u v w

11.

Dados los puntos (3,6, 3) A , ( 3,0, 3) B y (6,3,6)C

a) Demostrar que es un triángulo rectángulo

b) Calcular la magnitud de la proyección del cateto AB sobre la hipotenusa BC .



Semestre 2015-1 9

12.

Dados los vectores ( ,15,0), (9, 6,3) (3,3, 3)a x b y c , calcular el valor de x para que el

volumen del paralelepípedo determinado por dichos vectores sea 72 3u .

13. Un tetraedro ABCD tiene volumen 33u . Si A(4,3,1) , B(6,4,2) y C(1,5,1), determinar el vértice D

sabiendo que está sobre el eje x .

14. El módulo de la suma de los vectores es 34 , su producto escalar es 4 y su producto vectorial

tiene módulo 3. Hallar:

a) El ángulo que forma dichos vectores.

b) El módulo de cada uno de los vectores.

15. Calcular a b sabiendo que 13a , 19b y 24a b

16. Los vectores a y b forman un ángulo 60º , se sabe además que 5a y 8b .

Determinar a b

y a b

17. Si el vector (2,1, 1)a forma un ángulo de 60 con el vector PQ determinado por los puntos

3;1; 2 P , 4;0;Q x . Hallar x .

18. sean a y b dos vectores que forman entre si un ángulo de 45 y el módulo de 3a . Hallar el

módulo de b para que a b forme con a un ángulo de 30 .

19.

Sea 4 3 A i j k , 4 B bi a j k , para que valores de a y b ; el vector A es perpendicular

con B sí 36 B .

20.

Halle el valor de t , de manera que a tb sea ortogonal a b , también halle el valor de h , tal que:b ha sea ortogonal a a ; donde 3 3a i j k y 2 2b i j k .

21. Determinar para que valores de los vectores 3 2a i j k y 2b i j k son

perpendiculares entre sí.

22. Si 3; 1;0a , 1.5;0;2.5b , 3 2c i j k , 2d k . Hallar el módulo de

2 3a b c a b

23. Hallar el valor de sabiendo que 1 1 2i j k .

24.

Halla un vector V en la dirección de a i j k y cuya longitud sea la mitad del vector a .

25. Si 1;0; 1 A y 3;4; 5C son los extremos de una diagonal de un rombo ABCD . Hallar

vectorialmente los vértices B y D si el lado AB es paralelo al vector 8;10;6a .

26. Los vectores a , b y c de 2 cumple que: 2 3a b c y 3 2 5a b c siendo a un vector

unitario, calcular la norma de b c .

27. Sean a , b y c vectores diferentes, mostrar con un ejemplo que si se cumple a b a c , no se

puede afirmar que b c .

28.

Hallar el valor de 4 5 7 M x y z , si el modulo del vector 4 12; 2 ;3a x x y z x z esigual a cero.

29. Pruébese que: si 0c y si a y b son paralelos al vector c , entonces a y b son paralelos.



Semestre 2015-1 10

30. Demostrar que el vector b a c c a b es perpendicular al vector a .

31. Demostrar que si a y b son vectores paralelos en 2 entonces a b a b .

32.

Halle u , 2 3u v ; si 6v y u v , además los vectores u v y 4 9u v son

ortogonales.

33. Los puntos A , B y C son colineales, tales que 1;0;2 A , 5;3; 10 B y 39 AC . Hallar el

punto C , si B se encuentra entre A y C .

34. Si 1;3;2 A y 3; 5;0C son los extremos de una diagonal del rectángulo ABCD . Hallar B y

D si el lado AB es paralelo al vector 1;1;1 x .

35. Si 0a b c d , calcular 2c d , sabiendo que 6a b , 3c , 4d

36. Si 3;1;1 A , 0; 2;1 B , 2;1;0C y D son puntos coplanares. Halle el punto D , de modo que

el triángulo ABD sea equilátero.

37. Dados los vectores 1;2;3;4;5a y1 1 1 1

1; ; ; ;2 3 4 5

b

, hallar los vectores c y d con la

condición / /c a , d a y b c a .

38. Se dan tres vectores 2 3a i j k , 3 2b i j k , 3 2 4c i j k . Hallar el vector x , de

modo que verifique las condiciones 5 x a , 11 x b , 20 x c .

39.

Dados 1a

, 23b

, 30a b

. Calcular a b

.40. Hallar el vector x , que es colineal al vector 2;1; 1a y satisface la condición 3 x a .

41. Si 0a b c , 3a , 4b y 6c . Hallar el valor de 2a b a

42.

Sean los vectores a , b y c tales que 26a , 3 2b y 12b c , si a b c . Hallar c

43. Si 0a b c y 2a , 4 3b , 8c . Calcular a c

44. Dados los vectores 5; 2;1a , 6;1; 4b y 1;2;1c . Calcular el producto de las

componentes de un vector x , tal que 3a x

, 62b x

, 15c x

.45. Sabiendo que 3a , 1b , 4c y 0a b c . Calcular a b b c a c .

46. Si 3 2 3a i j k , 0;0; 1b , 1 2 32 3 2c e e e . Calcular

b c a

a c bb proy comp

47. Los lados de un triangulo son los vectores a , b y a b , si 5a , 3b , además

5

2

a

bcomp . Hallar a b .

48. Los lados de un triangulo son los vectores a , b y a b , si 4a , 6b y 2a

bcomp .

Hallar a b .



Semestre 2015-1 11

49. Los lados de un triangulo son los vectores a , b y a b , tales que 3a , 2 2b y

53a b . Calcular

2a a b

b acomp comp

.

50.

Los vectores a y b son los lados de un paralelogramo si 6a , 2a b y10

3

a

bcomp .

Determinar a b

51. Si 4a b , 3b y22

3

a b

bcomp

. Hallar la norma de a .

52. Sea 65a , 164a b y102a b

a acomp

. Hallara b

bcomp

53. Sean los vectores a y c ortogonal al vector j que satisface las condiciones 6a c ,

1a

bcomp . Hallar c .

54. Si a y b son dos vectores no nulos tal que a b k , y el ángulo entre a y b es3

y la

norma de su diferencia es 2 k . Hallar k .

55. Dados los vectores 3 3 3 A i j k y 2 3 B i j k encontrar: la proyección de A sobre B .

El ángulo entre los dos vectores.

56.

Dado el ABC con 45 A , 8 AB , 6 2 AC , encontrar BC y las componentes de

las proyecciones de AB y AC sobre BC .

57. Dado ABC con 10 AB , 9 AC , 7 BC , encontrar las componentes de las

proyecciones de AC y BC sobre AB .

58.

Si 3a , 26b y 72a b . Calcular a b

59. Los vectores a y b forman un ángulo de2

3

, sabiendo que 1a , 2b . Calcular: a b ,

2 2a b a b y 3 3a b a b .

60.

Si 2;1; 3a y 1; 2;1b . Hallar un vector de modulo 5 perpendicular al vector a b .

61. Sea 2; 1;2a y 3;4; 1c . Hallar un vector b tal que a b c y 1a b .

62. Los vectores a y b son perpendiculares si 3a y 12b . Hallar el valor de

2 3 3a b a b .

63. Calcular el seno del ángulo formado por los vectores 2; 2;1a y 2;3;6b

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