química cuántica - oscilador armÓnico
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Qumica Cuntica*El oscilador armnico*BENJAMN SNCHEZ RODRGUEZ
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El oscilador armnicoLos niveles de energa vibracionales ms bajos de una molcula diatmica pueden aproximarse mediante los niveles del oscilador armnico
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El oscilador armnicoSolucin de EDs mediante el mtodo de series de potencia.
Solucin general utilizando la ecuacin auxiliar
Por el mtodo de series de potencias se propone una solucin*:
*Nota: slo si la ED no tiene puntos singulares
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El oscilador armnico
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El oscilador armnicoRelacin de recurrencia
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El oscilador armnicoEl oscilador armnico unidimensionalTratamiento mecanoclsico
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El oscilador armnico
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El oscilador armnicoEn un movimiento armnico simple; A es la amplitud y T es el perodo, dados dos instantes t1 y t2, tales que t1-t2 = 2k presentan la misma fase de la onda.
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El oscilador armnicoPara el caso tridimensional, la energa potencial V(x,y,z) est relacionada con las componentes de la fuerza mediante
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El oscilador armnicoPara una dimensin:
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El oscilador armnico
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El oscilador armnicoTratamiento mecanocuntico
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El oscilador armnico
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El oscilador armnicosustituyendo en la Ec. Diferencial
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El oscilador armnicoRelacin de recurrencia
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El oscilador armnicosolucin general
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El oscilador armnicopara valores grandes de x, examinemos el cociente entre dos coeficientes sucesivos en cada una de las series
n=2l sustituyendo en la relacin de recurrencia
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El oscilador armnico
n=2l+1 sustituyendo en la relacin de recurrencia
Es el comportamiento de la funcin exponencial.
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El oscilador armnicoo sea que para valores grandes de x
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El oscilador armnicoSustituyendo en la solucin general
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El oscilador armnico
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El oscilador armnicoLos niveles de energa estacionarios del oscilador armnico dados por esta ltima ecuacin son,pues, equiespaciados.
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El oscilador armnicoLos cinco niveles de menor energa para el oscilador armnico.
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El oscilador armnicoSustituyendo E en la relacin de recurrencia:
solucin general
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El oscilador armnico
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El oscilador armnicoFunciones pares e impares
El producto de dos funciones pares o de dos funciones impares es una funcin par, y que el producto de una funcin par por una impar es una funcin impar.
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El oscilador armnicoLas funciones de onda del oscilador armnico.Cada estado estacionario del oscilador armnico es bien una funcin par o bien una funcin impar, dependiendo de que el nmero cuntico v sea par o impar.
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El oscilador armnico
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El oscilador armnicoUsando la relacin de recurrencia
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El oscilador armnico
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El oscilador armnico
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El oscilador armnicoEl nmero de nodos de la funcin de onda es igual al nmero cuntico v.Los factores polinmicos de las funciones de onda del oscilador armnico son bien conocidos en matemticas y reciben el nombre de polinomios de Hermite.
De acuerdo con la solucin mecanocuntica, hay cierta probabilidad de encontrar a la partcula en cualquier punto del eje x (excepto en los nodos).
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El oscilador armnicoRegin clsicamente permitida
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El oscilador armnicoEn mecnica cuntica, las funciones de onda estacionarias no son funciones propias de mecnica cunticamecnica clsicayExiste cierta probabilidad por tanto de encontrar a la partcula en las regiones clsicamente prohibidas, en las que V > E
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El oscilador armnicoPara un estado estacionario del oscilador armnicoregin permitida clsicamente
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El oscilador armnicoVIBRACIN DE MOLCULAS
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El oscilador armnicoVIBRACIN DE MOLCULAS
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El oscilador armnicoVIBRACIN DE MOLCULASFigura 13.1 Energa electrnica incluyendo la repulsin internuclear, en funcin de la distancia internuclear R, para una molcula diatmica en un estado electrnico enlazante.
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El oscilador armnicoVIBRACIN DE MOLCULASPara una molcula diatmica, la ecuacin de Schrdinger nuclear es una ecuacin de dos partculas.Cuando la energa potencial de un sistema de dos partculas depende solamente de la distancia entre las partculas, la energa del sistema es la suma de:la energa cintica del movimiento traslacional del sistema como un todo a travs del espacio y la energa del movimiento relativo interno delas partculas.la expresin clsica para la energa del movimiento interno de dos partculas es igual a la suma de la energa potencial de interaccin entre las partculas y la energa cintica de una partcula hipottica cuya masa es m1*m2/ (m1 + m2) = masa reducida .
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El oscilador armnicomovimiento interno = movimiento de vibracin + el movimiento de rotacinEs posible normalmente tratar por separado los movimientos vibracional y rotacional.La ecuacin de Schrdinger para el movimiento vibracional de una molcula diatmica contiene el operador energa cintica para la partcula hipottica de masa = m1*m2/ (m1 + m2) y el trmino de energa potencial dado por U(R).Si hacemos coincidir el origen de coordenadas con el mnimo de la curva U representada en la Figura 13.1 y situamos el cero de energa potencial en la energa de dicho mnimo, entonces la parte inferior de la curva U(R) prcticamente coincide con la curva de energa potencial de un oscilador armnico, con la constante de fuerza apropiada k.
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El oscilador armnicoFIGURA 4.5 Energa potencial para la vibracin de una molcula diatmica (lnea continua) y para un oscilador armnico (lnea a trazos). Tambin se muestran los niveles de energa vibracionales enlazantes de la molcula diatmica. Al contrario que un oscilador armnico, una molcula diatmica tiene un nmero finito de niveles vibracionales enlazantes.
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El oscilador armnicoTheHClmolecule as an anharmonic oscillator vibrating at energy level E3. D0isdissociation energyhere, r0bond length, Upotential energy. Energy is expressed inwavenumbers. The hydrogen chloride molecule is attached to the coordinate system to show bond length changes on the curve.
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El oscilador armnico
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El oscilador armnicoEsta aproximacin es mejor para los niveles vibracionales ms bajos.
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El oscilador armnicoEn lugar de estar equiespaciados, los niveles vibracionales de una molcula diatmica se van acercando ms y ms conforme aumenta v y finalmente la energa vibracional se hace lo suficientemente grande como para provocar la disociacin de la molcula diatmica en sus tomos, que dejan de estar enlazados entre s. Al contrario que el oscilador armnico, una molcula diatmica tiene un nmero finito de niveles vibracionales enlazantes.Una expresin ms precisa para la energa vibracional molecular, que incorpora la anarmonicidad de las vibraciones, es la siguiente:
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El oscilador armnico
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El oscilador armnicoLas poblaciones relativas de dos niveles de energa moleculares vienen dadas por la ley de distribucin de Boltzmann
donde los niveles de energa i y j tienen energas: Ei y Ej, degeneraciones gi y gj, y estn poblados con Ni y Nj molculas, y donde k es la constante de Boltzmann y T la temperatura absoluta. Para un nivel no degenerado, gi = 1.
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El oscilador armnico
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El oscilador armnico
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El oscilador armnicoVisualising normal modes
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El oscilador armnicoRESOLUCIN NUMRICA DE LA ECUACIN DESCHRODINGER INDEPENDIENTE DEL TIEMPO UNIDIMENSIONALEl mtodo de Numerov es un mtodo numrico que permite determinar las energas y las funciones de onda enlazantes de la ecuacin de Schrdinger unidimensional de una partcula.
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El oscilador armnico
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El oscilador armnicoBibliografa.Levine N. Ira; Qumica Cuntica; 5ta Edicin