oscilaciones, ondas fluidos y...

Oscilaciones, ondas fluidos y termodinámica

Prof. Germán Moncada M.Área común de física

February 16, 2017

Oscilaciones, ondas fluidos y termodinámica

Prof. Germán Moncada M.Area común de fí[email protected]/Notas de clase/

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Introducción

El propósito de esta guía es formular una posible respuesta a la pregunta ¿ Cuál es el mejor forma depotenciar el aprendizaje y la comprensión de los fenómenos oscilatorios y por qué es importante modelardesde la física utilizando herramientas matemáticas estos fenómenos?. Por lo general la relación entre fenó-menos oscilatorios y aplicaciones a la ingeniería se ha estudiado de una sola manera:describir la variablesfísicas, sus relaciones lógicas y su modelo matemático. Los osciladores se han explicado casi siempre sobrela idea de periodicidad, amplitud frecuencia, fase y una estructura que permita relacionar estas idéas y elfuncionamiento de máquinas y circuitos o el comportamiento de estructuras solidas.Debe anotarse que elmodelo utilizado en la enseñanza de los movimientos vibratorios tienen un régimen de aplicabilidad fun-damentado en que todas las ecuaciones obtenidas no son más que casos particulares de la Segunda ley deNewton, y por lo tanto, todas las consideraciones de aplicabilidad de la segunda ley de newton son, a lavez, aplicables a este caso. Por otra parte, como se observa de la ecuación , el oscilador armónico no es másque la aproximación de quedarse tan solo con el término de segundo orden en el desarrollo de Taylor, por loque los resultados obtenidos serán válidos si no suponen desplazamientos del equilibrio demasiado grandes,de forma que sea una buena aproximación no tomar en consideración términos de orden superior.Ademásdebe tenerse en cuenta que, para los casos con amortiguamiento, tomar la fuerza como proporcional a lavelocidad es, de nuevo, una aproximación. En este caso, la expresión del rozamiento viscoso es difícil deobtener, y una aproximación como la utilizada suele será útil, tan solo, en régimen laminar, lo que se sueletraducir en pedir que la velocidad de la oscilación no sea excesivamente alta.

Para su realización se utilizan la teoría conocida de resultados anteriores tanto desde la mecánica como elelectromagnetismo para fundamentar esto se formula la pregunta: Â£Qué trabajos anteriores existen quese fundamentaron en hechos de fenómenos oscilatorios amortiguados modelados por medio de ecuacionesdiferenciales?. Se formula como método de trabajo el trabajo conjunto del profesor presentando los difer-entes modelos los estudiantes con el material entregado y estos desarrollaran los problemas de aplicación,para el desarrollo del tema. en cuanto a la intencionalidad educativa para la culminación el profesor y losestudiantes determinaran cual fue el aprendizaje y comprensión lograda.

Este material muestra como se modela desde la enseñanza de la Física aquellos sistemas que se comportancomo osciladores amortiguados debido a la disipacion de energia por efecto del rozamiento, o por el efectoJoule de las resistencias si de circuitos eléctricos, se trata. Para efectos de este modelamiento se utilizacomo herramienta matemática las ecuaciones diferenciales homogeneas de segundo orden y sus solucionestomando en cuenta las condiciones inicales y las condiciones de frontera.

Los conceptos estructurantes son: el movimiento armónico simple, movimiento armonico amortiguado,ecuación diferencial homogenea de segundo orden, condiciones iniciales disipación de energía, números com-plejos, amplitud,periodo,factor de amortiguamiento.

Lograr los propósitos del aprendizaje de los modelos que describen los movimientos oscilatorios implica unagrupammiento de los diferentes tipos de movimiento oscilatorio y al modelo matemático como una sisntesis

1

de la comprensión de stos fenómenod de la naturaleza.Adiionalmente utilizar alternativamente el enfoqueenergético como una estrategia para la resolución de los problemas, herramienta que permanecerá invariableen el tiempo.

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Chapter 1

Movimiento oscilatorio

El oscilador armónico es uno de los sistemas más estudiados en la física, ya que todo sistema que oscilaal rededor de un punto de equilibrio estable se puede estudiar en primera aproximación como si fueraun oscilador ideal cuyo modelo formal se fundamenta en una ecuación diferencial de segundo orden concoeficientes constantes. La característica principal de un oscilador armónico es que está sometido a unafuerza recuperadora conocida como la ley de Hooke, que tiende a devolverlo al punto de equilibrio estable,con una intensidad proporcional a la separación respecto de dicho punto F = −k (x− x0) donde k es laconstante de recuperación yx0 es la posición de equilibrio. La fuerza recuperadora es conservativa, por loque tiene asociado una energía potencial y una cinética cuya suma permanece constante por el principio deconservación de la energía mecánica.

Em =1

2Kx2 +

1

2mv2 (1.1)

1.1 Oscilador armónico simple

Para el caso del oscilador armónico simple que es el caso más sencillo, donde únicamente se considera lafuerza recuperadora. Teniendo en cuenta que derivando la ecuación (1) se obtiene e la siguiente ecuacióndiferencial homogenea de segundo orden

x+ ω20x = 0 (1.2)

donde los puntos sobre la x indican la derivación de segundo orden con respecto del tiempo (notación deNewton), y ω0 es la frecuencia natural de vibración. La solución general a esta ecuación se puede escribirde la forma

x (t) = A cos (ωt+ φ) (1.3)

donde A y φ se obtienen imponiendo las condiciones iniciales. En la siguiente gráfica se muestra unarepresentación de la función que hace de solucón del movimiento armónico simple.

ejemplo Un objeto se 200 gramos oscila unido a un resorte de constante k = 40N/m con una amplitudde 4cm, si el movimiento comenzo con el bloque a 2cm de la posición de equilibrio. calcular la energía totaldel sistema. La velocidad inicial del bloque, La fase inicial. La velocidad máxima y escriba la ecuación quedescribe el movimiento.solución

x20 = A2 cos2 (φ)

v20x

ω2= (−A)

2sin2 (φ)

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1.1. OSCILADOR ARMÓNICO SIMPLE CHAPTER 1. MOVIMIENTO OSCILATORIO

Figure 1.1: solución oscilador ideal

sumando las dos ecuciones anteriores se obtiene:

v20x

ω2+ x2

0 = A2√v2

0x

ω2+ x2

0 = A

e la ecuacion anterior se tiene que

ω·√A2 − x2

0 = v0x

1.1.0.1 Péndulo simple

En la figura de abajo se representa un péndulo simple. Al la partícula desde la posición de equilibriohasta que el hilo forme un ángulo θ con la vertical, y luego la abandonamos partiendo del reposo, elpéndulo oscilará en un plano vertical bajo la acción de la gravedad. Las oscilaciones tendrán lugar entre

Figure 1.2: solución oscilador ideal

las posiciones extremas θ y −θ, simétricas respecto a la vertical, a lo largo de un arco de circiunferenciacuyo radio es la longitud,l del hilo. El movimiento es periódico, pero no puede asegurarse que sea armónico.Para determinar la naturaleza de las oscilaciones debe escribirse la ecuación del movimiento de la partícula.La partícula se mueve sobre un arco de circunferencia bajo la acción de dos fuerzas: su propio peso w y latensión del hilo T , siendo la fuerza motriz la componente tangencial del peso. Aplicando la segunda ley deNewton se obtiene:

Ftmg sin θ = mat (1.4)

siendo at = lθ la aceleración tangencial puesto que la trayectoria de la masa ase puede aproximar a un arcode circunferencia y se incluye el signo negativo para manifestar que la fuerza tangencial tiene siempre sentidoopuesto al desplazamiento (fuerza recuperadora). D modo que la ecuación diferencial del movimiento es:

mg sin θ = mlθ (1.5)

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Esta ecuación. diferencial no corresponde a un movimiento armónico simple (m.a.s.) debido a la presenciade la función sin θ, de modo que puede afirmarse que el movimiento del péndulo simple no es armónicosimple, en general.A partir de la dinámica de cuerpo rígido. también se obtien una ecuación equivalenteaplicando las ecuaciones de rotación a la masa del péndulo. De la figura de abajo se obtiene mediante lautilización de la dinámica de cuerpo rígido la siguiente expresión:

lmg sin θ = Iθ (1.6)

escribiendo la expresión para el momento de inercia se tiene

lmg sin θ = ml2θ

mgl sin θ = ml2θ

dividiendo por ml2 se tiene la siguiente ecuación

¨θ +

g

lsin θ = 0

se trata de un ecuación diferencial de segundo orden no lineal. sin embargo tomando el limitelimθ →0 sin θ ≈ θ la ecuación puede escribirse como

θ +g

lθ = 0

cuya solución ya se conoce.

1.1.0.2 péndulo físico

el dispositivo de cuerda de un reloj mecánico es un resorte de torsión. El resorte ejerce un momento defuerza de restitución que es proporcional al desplazamiento angular θ, por lo tanto, el movimiento es MASangular.aplicando la segunda ley de Newton para un cuerpo rígido,∑

τ = Iα

la ecuación del movimiento es

−κθ = Id2θ

dt2

2

Oscilación de un sólido El péndulo físico es un sistema con un solo grado de libertad, el correspondientea la rotación alrededor del eje fijo (Figura abajo). La posición del péndulo físico queda determinada, encualquier instante, por el ángulo θ que forma el plano formado por el punto de pivote y el centro de gravedaddel péndulo con el plano vertical que pasa por el eje de rotación. se identifica la distancia del centro degravedad del péndulo al eje de rotación.Cuando el péndulo está desviado de su posición de equilibrio (estable) un ángulo theta, actúan sobre él dosfuerzas cuyo momento resultante con respecto al punto O es un vector dirigido a lo largo del eje de rotaciónZZ, en el sentido negativo del mismo;

τ = −mgh sin (θ)

Si el el momento de inercia del péndulo respecto al eje de suspensión Z es I y la aceleración angular es

θ

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Figure 1.3: Péndulo físico

del mismo, el teorema del momento angular permite escribir la ecuación diferencial del movimiento derotación del péndulo:que puede escribirse en la forma:

−mgh sin (θ) = I0θ

que es una ecuación diferencial de segundo orden, del mismo tipo que la que se obtuvo para el péndulosimple. En el caso de que la amplitud angular de las oscilaciones sea pequeñas, puede escribirse sin (θ) ∼ θpara ángulos pequeños y la ecuación adopta la forma que corresponde a un movimiento armónico simple.

θ +mgh sin (θ)

I0

El periódo de las oscilaciones es

T = 2π

√I0mgh

(1.7)

La fase La constante de fase identificada con la letra φ de la ecuación (4) es el ángulo de fase, que indicaen qué punto del ciclo se encontraba el movimiento cuando t = 0 (o en qué parte del círculo estaba el puntoQ ent=0). Se identifica la posición en t = 0 con x0. Sustituyendo t=0 y x = x0en la ecuación (4) se obtienela sigueinte expresión.

x0 = A cosφ (1.8)

Si φ = 0 entonesx0 = A cos 0 = A, entonces , la partícula parte del desplazamiento positivo máximo. Siφ = π, entonces x0 = A cosπ = −A esto significa que, la partícula parte del desplazamiento negativomáximo. Si φ =

π

2, entonces x0 = A cos

π

2= 0 por consiguiente la partícula parte del origen. Si se conoce

la posición y la velocidad inicialesx0 y v0x del cuerpo oscilante, puede calcularse la amplitud A y el ángulode faseφ como sigue. v0x es la velocidad inicial ent = 0; sustituyendo vx = v0x y t = 0 en la ecuación dela velocidad v (x) , se observa que v0x = −ωAsenφ. Para calcular φ , se divide la ecuaciónanterior entre laecuación x0 = A cosφ . Obteniéndose

φ = arctan

(− v0x

ωx0x

)(1.9)

Sistema masa resorte Uno de los casos de un oscilador ideal,es el sistema masa resorte donde únicamenteactúa la fueza recuperadora e Hooke.

1.1.1 Energá de un oscilador ideal

cuando se cumple el principio de conservación de la energía mecánica se puede escribir:

1

2kA2 =

1

2Kx2 +

1

2mv2 (1.10)

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SIstema masa resorte

De la ecuación anterior se puede calcular la velocidad v (x) del cuerpo en cierto desplazamiento:

v (x) = ±√k

m√

(A2 − x2) (1.11)

ejemplo Un sistema de masa y resorte horizontal cuya constante de elasticidad es k =200N

m, M = 50kg

se le imprime una velocidad inicial v0 = 40ms ,cuando se encuentra en la posición inicial x0 = 0.015m.Determine:

• La amplitud, el periodo y el ángulo de fase del movimiento

• Escriba ecuaciones para desplazamiento, velocidad y aceleración en función del tiempo.

ejemplo Un deslizador de 0.500kg, conectado al extremo de un resorte ideal con constante de fuerza

k =450N

m, está en MAS con una amplitud de 0.040m. Calcule a) la rapidez máxima del deslizador; b)

su rapidez cuando está en x = −0.015m; c) la magnitud de su aceleración máxima; d) su aceleración enx = −.015m; e) su energía mecánica total en cualquier punto de su movimiento.Solución: aplicando laconservacion de la energia mecánica

1

2kA2 =

1

2mv2 +

1

2kx2

en x = 0 la velocidad es máxima y se cumple:

1

2kA2 =

1

2mv2

Max

la velocidad se calculamediante la siguiente ecuación:

vMax =

√k

m√A2 − x2

la aceleración maáxima se calcula mediante

aMax =kA

m

la energía en cualquier punto es E =1

2kA2

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1.1.1.1 Energía de un oscilador eléctrico ideal

La energía magnética y eléctrica estan expresadasa mediante las siguientesecuaciones respectivamente

Emag =1

2LI2

Eelec =1Q2

2C

La energía eléctrica total puede escribirse por amanlogía con un sistema mecánico de la manera siguiente:

1Q2maxi

2C=

1

2LI2 (t) +

1Q2 (t)

2C(1.12)

La ley de conservación análoga permite escribir

i = ±√

1

LC

√Q2max − q2

con la corriente i (t)=dq

dt, ω =

√1

LCy la carga eléctrica q (t) = Qmax cos

(√1

LCt+ Φ

)

Ejercicio resuelto La solución general de la ecuación de movimiento

md2x

dt2= −kx

es de la formax = a cos(ωt) + b sen (ωt) con

ω =

√k

m

con a y b dos constantes dependientes de las condiciones iniciales.

• Halle el valor de las constantes a y b si la posición inicial de la partícula es x0 y su velocidad iniciales v0. Haciendo t = 0 en la ley horaria, el resultado debe ser igual a la posición inicial Haciendo t = 0en la ley horaria, el resultado debe ser igual a la posición inicial.

x0 = x(0) = a cos(ω · 0) + b sen (ω · 0) = a y a = x0

Para hallar b se requiere la velocidad, esto se hace derivando la posición con respecto al tiempo setiene:

v =dx

dt= −aω sen (ωt) + bω cos(ωt)

y su valor en t = 0 da como resultado b

v0 = −aω sen (ω · 0) + bω cos(ω · 0) = bω ⇒ b =v0

ω

Por tanto, la posición en cualquier instante, en función de las condiciones iniciales, es

x = x0 cos(ωt) +v0

ωsen (ωt)

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1.2. OSCILADOR ARMÓNICO AMORTIGUADO CHAPTER 1. MOVIMIENTO OSCILATORIO

En el resultado anterior se identifican dos casos particulares: el de una partícula que se libera desdeuna cierta posición en reposo

v0 = 0

de modo quex = x0 cos (ωt)

el de una partícula a la que se comunica un impulso inicial en la posición de equilibrio

x0 = 0

de modo que la posicion esta dada por

x =v0

ωsin (ωt)

]

• Calcule la velocidad de la partícula para cualquier instante en función de la posición y velocidadiniciales.

• Demuestre que la ecuación horariax = A cos (ωt+ φ)

es también solución de la misma ecuación de movimiento.

• Empleando relaciones trigonométricas, deduzca la relación entre las constantes (A,ϕ) y las constantesa,b. Exprese A y ϕ en función de la posición y la velocidad iniciales, x0 y v0.

• Demuestre que la cantidad1

2kA2 =

1

2Kx2 +

1

2mv2 (1.13)

no depende del tiempo. Â£Cuánto vale en función de las condiciones iniciales?

• Demuestre que x = ejωt, con j =√−1, la unidad imaginaria, es una solución particular de la ecuación

de movimiento.

• Aplicando los resultados anteriores, demuestre la relación

ejωt = cos (ωt) + j sin (ωt)

1.2 Oscilador armónico amortiguado

Este modelo puede aplicarse en muchas situaciones de la vida real. por ejemplo: los amortiguadores de unvehículo, un circuito R-L-C ,una boya,El caso más real consiste en tener en cuenta el rozamiento del aire o de cualquier fluido , que tiende aamortiguar la oscilación. El modelo más usual consiste en tomar un rozamiento proporcional a la velocidad:

Fr = −bv (1.14)

con lo que la ecuación diferencial, obtenida a partir de la segunda ley de Newton, queda de la forma;

d2x

dt2+ γ

dx

dt+ ω2

0x = 0 (1.15)

La solución general a esta ecuación depende de la relación entre γ y ω0 La solución general es de la forma:

x (t) = Ae−γt cos (ωt+ φ)

Para este modelo se tienen tres casos

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Figure 1.4: Osilador amortiguado impulsado

• débil o subamortiguado, los parámetros de la frecuencia total cumplen γ2 < ω20

• crítico ,en este caso se cumple: γ2 = ω20

• fuerte o subamortiguado, en este caso se cumple: ω20 < γ2

1. Oscilador subamotiguado. Este es el caso. La ecuación que describe la solución es de la formax (t) =Ae−γt cos (ωt+ φ) donde:ω =

√γ2 − ω2

o

2. Oscilador crítico En este caso la solución general es :

x (t) = (A+B (t)) e−γt (1.16)

3. Por último, se tiene el casoγ > ω0 ,esta condición caracteriza al oscilador sobreamortiguado. La nuevasolución general es donde:

ω =√γ2 − ω2

0

Características del oscilador amortiguado El oscilador armónico amortiguado por una fuerza pro-porcional a la velocidad, tiene las siguientes características esenciales:

1. La amplitud decrece exponencialmente con el tiempo

2. El oscilador tarda un tiempo teóricamente infinito en pararse.

Sin embargo, el oscilador armónico amortiguado por una fuerza de módulo constante, tiene las sigu-ientes características:

3. La amplitud decrece una cantidad constante en cada semioscilación

4. Se para al cabo de un tiempo finito

5. El factor de calidad Q es un parámetro que describe para un oscilador débil la variacion de la energíacon respecto a la energía ia total (el decrecimiento de energía) en un ciclo:

Q =2π(

4EE

)ciclo

=ω0

2γ

El oscilador amortiguado experimenta una fuerza de rozamiento viscoso

Fr = −bv

de forma que su ecuación de movimiento, para un movimiento unidimensional es ma = −bv−kx Demuestre:

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1. que la energía mecánica E = 12mv

2 + 12kx

2 es una función decreciente con el tiempo. Si buscamosuna solución particular de la forma x = Aeλt,

2. calcule que la energía mecánica E = 12mv

2 + 12kx

2 es una función decreciente con el tiempo. Sibuscamos una solución particular de la forma x = Aeλt, calcule los dos valores que puede tener λ. Lasolución general será una combinación de las dos posibilidades: x = A1eλ1t +A2eλ2t con A1 y A2 dosconstantes a determinar mediante las condiciones iniciales.

3. ¿Cuál es el máximo valor de b para que haya oscilaciones?

4. ¿cómo es el movimiento si b supera ese valor? Considere el caso particular de una partícula de masam = 1 kg se encuentra sujeta a un muelle de constantek = 1 N/m, existiendo un rozamiento b.

5. Determine la posición en cualquier instante si se impulsa desde la posición de equilibrio con velocidadv0 = 0.6 m/s

a si (a) b = 1.6 N · s/m;

6. b b = 2.5 N · s/m,

c b = 2.0 N · s/m. dos valores que puede tener λ. La solución general será una combinación de las dosposibilidades: x = A1eλ1t+A2eλ2t con A1 y A2 dos constantes a determinar mediante las condicionesiniciales.

7. ¿Cuál es el máximo valor de b para que haya oscilaciones?

8. ¿cómo es el movimiento si b supera ese valor? Considere el caso particular de una partícula de masam = 1 kg se encuentra sujeta a un muelle de constantek = 1 N/m, existiendo un rozamiento b.

9. Determine la posición en cualquier instante si se impulsa desde la posición de equilibrio con velocidadv0 = 0.6 m/s si (a) b = 1.6 N · s/m ; (b) b = 2.5 N · s/m , (c)b = 2.0 N · s/m

Solución

1. Disipación de la energía. Para ver que en presencia de rozamiento la energía mecánica se va perdiendoprogresivamente, simplemente calculamos la derivada de la energía respecto al tiempo, para ver susigno. Aplicando el mismo método que en el caso sin rozamiento:

dE

dt= m

dv

dt+ kx

dx

dt= v (ma+ kx)

De acuerdo con al ecuación de movimiento para el oscilador armónico con rozamiento

ma+ kx = −bv

así que queda:

dE

dt= −bv2

Esta cantidad siempre es negativa, por lo que la energía es una función que decrece de forma contin-uada. El decrecimiento no es constante. Se anula en los puntos de retorno (en los que la velocidad escero) y es máximo cuando lo es la velocidad.

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2. utilizando soluciones exponenciales.Suponer ahora soluciones particulares de forma exponencial: x =Aeλt,Ahora se calcula la velocidad y la aceleración de este movimiento:

v =dx

dt= λAeλt

a =dv

dt= aλ2Aeλt

Sustituyendo en la ecuación de movimiento:

0 = ma+ bv + kx =(mλ2 + bλ+ k

)Aeλt (1.17)

puede observarse que para que esta exponencial sea una solución, λ no puede tener cualquier valor,sino que debe cumplir la ecuación de segundo grado:

mλ2 + bλ+ k = 0 (1.18)

Resolviendo esta ecuación se obtiene dos posibles valores de λ:

λ =−b±

√b2 − 4mk

2m(1.19)

La solución general de la ecuación de movimiento será una combinación lineal de dos soluciones, unapor cada exponente, exponenciales:

x (t) = A1eλ1t +A2e

λ2t (1.20)

con A1 y A2 dos constantes a determinar mediante las condiciones iniciales.

1.2.0.1 Tipos de Oscilaciones amortiguadas

Dependiendo del valor de la constante de rozamiento b se pueden tener tres casos posibles para los valoresde λ.

En general En la vibración subamortiguada, el desplazamiento tiende a cero cuando el tiempo es infinitocomo en los casos anteriores; sin embargo puede que el sistema oscile entre los límites fijados por las curvasexponenciales decrecientes. Este movimiento es periódico en el tiempo. Oscila en torno a la posición deequilibrio, pero la amplitud de la oscilación disminuye. Por este motivo, las oscilaciones subamortiguadascarecen de periodo, aunque por analogía, se definen la pulsación propia amortiguada (ω0), la frecuenciapropia amortiguada (Ω) y el periódo amortiguado (Td). Finalmente, es importante observar que el periodoamortiguado es el doble de tiempo comprendido entre dos puntos sucesivos correspondientes a la posiciónde equilibrio.

1 Rozamiento fuerte Cuando b es lo suficientemente grande se tieneb > 2√mk ⇒ b2 − 4mk > 0 esto

quiere decir que la raíz que aparece en la expresión del exponente λ es real. Por tanto, los dos valores de λson reales y negativos (uno más grande en magnitud que el otro). La solución general es una combinaciónde dos exponenciales decrecientes:

x = A1e−|λ1|t +A2e−|λ2|t

en este caso no hay oscilación alguna, sino que la partícula tiende, de forma más o menos rápida, hacia laposición de equilibrio x=0. Este caso de conoce como de oscilador sobreamortiguado o amortiguamientosupercrítico.

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2 Rozamiento débil Si el coeficiente b es lo suficientemente pequeño:

b < 2√mk ⇒ b2 − 4mk < 0

Se tiene entonces que en la expresión deλ aparece la raíz de número negativo, que es una cantidad imaginaria.De hecho, resultan dos valores para el exponente que son complejos conjugados

λ1 = −α+ jω λ2 = −α− jω α =b

2mω =

√k

m−(

b

2m

)2

(1.21)

Una exponencial de un número imaginario significa una oscilación, ya que, por aplicación de la fórmula deEuler puede escribirse que:

eλt = e(−α+jω)t = e−αt (cosωt+ j sinωt) (1.22)

de forma que la solución general de la ecuación de movimiento se puede escribir en la siguiente forma:

x = ae−αt cos(ωt) + be−αt sen (ωt) (1.23)

Cada una de estos sumandos es lo que se conoce como oscilaciones amortiguadas: la elongación varía con eltiempo como un coseno o un seno, pero la amplitud de esas oscilaciones decae exponencialmente. Al final,pasado un tiempo más o menos largo dependiendo de la intensidad del rozamiento, la partícula tiende ala posición de equilibrio x = 0. Este caso se conoce como de oscilador subamortiguado o amortiguamientosubcrítico.Así pues, el valor máximo para que haya oscilaciones es

bmax = 2√km = 2m

√k

m= 2mω0

con ω0 la frecuencia natural que tendría el oscilador si no hubiera rozamiento.

Ejemplo

1.2.1 Circuito R L C paralelo

Una de las características de los circuitos en paralelo es que el voltaje entre los extremos de sus elementospermanece constante, y otra es que la suma de las corrientes en un nodo es la suma algebráica de las quellegany lasque se van , po lo que: ∑

Ii = 0

que no es otra cosa que la ecuacion de continuidad.

IL + Ic + IR = 01

L

ˆVLdt+ c

dV

dt+V

R= 0

tomando la derivada de la ecuacion anterior se tiene:

d2V

dt2+

1

RC

dV

dt+

V

CL= 0 (1.24)

Estas ecuaciones son análogas a la del oscilador amortiguado mecánico;por tanto la solución general puedeescribirse como:

V (t) = (A+B (t)) e−γt

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Los parámetros físicos de interes se encuentran a partir de:[D(2) +

1

RCD(1) + ω0D

(0)

]V (t) = 0

resolviendo la ecuación de operadores se obtiene:

Di = − 1

2RC±

√(1

2RC

)2

− ω20

Figure 1.5: Circuito R L C paralelo

1.2.2 Circuito R L C serie

Una de las características de los circuitos en serie es que la suma de las caidas de voltaje entre los extremos delos elementos que forman una malla (trayectoria cerrada) es cero y la corriente a través de estos permanececonstante. Esto se puede representar por medio de la siguiente ecuación:

LdI

dt+RI +

1

c

ˆIdt = 0 (1.25)

la anterior ecuación representa el principio de conservación de la energía electromagnética.Derivando estaecuación, se obtiene la ecuacioón diferencial lineal homogénea de segundo orden con coefiecientes constantes:

LdI

dt+RI +

1

c

ˆIdt = 0 (1.26)

Ld2I

dt2+R

dI

dt+I

c= 0 (1.27)

d2I

dt2+RdI

Ldt+

I

LC= 0 (1.28)

Los parametros físicos se encuentrana a partir de:[D(2) +

R

LD(1) +

1

LCD(0)

]I (t) = 0

resolviendo la ecuación de los operadores diferenciales se obtiene:

Di =R

2L±

√(R

2L

)2

− ω20

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Figure 1.6: Circuito R L C serie

Sintesis Par el movimiento oscilatorio amortiguado se tiene:Las ecuaciones de movimiento

d2x

dt2+

(b

m

)dx

dt+

(k

m

)x = 0

Los casos de amortiguamiento son:

ω20 > γ2 debil subamortiguado

ω20 = γ2 critico

ω20 < γ2 fuerte sobreamortiguado

La solución para el amortiguamiento débil u oscilacion subamortiguada:

x (t) = Ae−γt sin (Ωt+ ϕ)

Ω =√ω2

0 − γ2

La amplitud de la oscilación en cualquie instante:

x (t) = Ae−γt

el tiempo de extinción de la oscilación se representa con el siguiente parámetro:

τ =m

b

El factor de calidad para el amortiguamiento relativamente pequeño:

Q =2π(

4EE

)ciclo

=ω0

2γ

La energá del sistema decrece con el tiempo:

E = Epot + Ecine = E0e−tτ

En el instante t, la energÃŋa total E del sistema amortiguado es:

E (t) = (Ep + EK) (1.29)

E (t) = E0e−

t

τ (1.30)

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1.3. OSCILADOR AMORTIGUADO Y FORZADO CHAPTER 1. MOVIMIENTO OSCILATORIO

dondeτ = m/b hace que la energía decrezca con el tiempo debido a la fuerza de rozamiento. Se observa comoa medida que la amplitud del oscilador amortiguado disminuye con el tiempo, la energíaa de la partículatambién lo hace. La energía perdida es absorbida por el medio circundante o radiada de alguna manera.La energÃŋa, después de un intervalo T = 1/τ tiene un valor menor al que tenía al comienzo del intervalo.La energía se ha disipado, gradualmente el oscilador alcanzarÃą el reposo. La cantidad es conocida comotiempo de relajación, tiempo necesario para que la energÃŋa despuÃľs de cada perÃŋodo se reduzca a 1/esu valor (al comienzo del perÃŋodo).

1.3 Oscilador amortiguado y forzado

En este caso más general se incluye una fuerza impulsora de forzamiento del tipo o si se trata de un circuitoeléctrico una fuente de voltaje o de corriente sinusoidal ( voltaje o corriente alterna) resistencia que disipaenergia por efecto Joule(10) a un oscilador amortiguado. La ecuación diferencial completa es,

d2x

dt2+ γ

dx

dt+ ω2

0x = F cos(ωt)

Utilizando números complejos y la identidad de Euler:

Ae(jωt) = A (cos (ωt) + j sin (ωt)) (1.31)

Donde A cos (ωt) es la parte real y j sin (ωt) es la parte imaginaria, con j =√−1 y cambiando la variable

x por la variable zEn este caso, la solución general utilizando números complejos es de la forma

d2z

dt2+ γ

dz

dt+ ω2

0z = ejωt

suponiendo que la solución es de la formaz = ej(wt−δ)

derivando y reemplazando en a ecuacion dinámica se obtienen los siguientes parámetros físicos:(ω2 − ω2

0

)A+ jγωA =

F0

mejδ

Así, se tiene un estado estacionario, correspondiente a oscilaciones de amplitud . En este caso, la soluciónes válida para todas las frecuencias de la fuerza de forzamiento. Sin embargo, vemos que la amplitudde respuesta es máxima para una frecuencia: la frecuencia de resonancia. Los resultados representativosobtenidos a partir de l solución son: la amplitud en función de la frecuencia, el ángulo de fase, el factor decalidad. Para un oscilador armónico forzado la fuerza externa se representa mediante la siguiente ecuación:

F (t) = Fextcos(ωt)

Utilizando la segunda ley de Newton:

mx = −bx− kx+ Fex cos (ωt)

Así, se tiene un estado estacionario, correspondiente a oscilaciones de amplitud . En este caso, la soluciónes válida para todas las frecuencias de la fuerza de forzamiento. Sin embargo, se obdrva que la amplitudde respuesta es mxima para una frecuencia: la frecuencia de resonancia. suponiendo que la solución es dela forma

z = Aej(wt−δ)

z = Ajωej(wt−δ)

z = −Aω2ωej(wt−δ)

16

1.3. OSCILADOR AMORTIGUADO Y FORZADO CHAPTER 1. MOVIMIENTO OSCILATORIO


La amplitud en función de la frecuencia se escribe como:

A (ω) =

F0

m[(ω2 − ω2

0)2

+ (γω)2]1

2

(1.33)

suponiendo que la solución es de la formaz = ej(wt−δ)


reemplazando z en la ecuación dinámica se obtiene:

−Aω2ej(wt−δ) + γAjωej(wt−δ) + ω0Aej(wt−δ) =

F

mejωt (1.35)

Aejωte−jδ(−ω2 + jγω + ω0

)=

F

mejωt (1.36)

A(−ω2 + jγω + ω0

)=

F

mejδ (1.37)

A continuación se representa geométricamente el resultado obtenido al resolver la ecuacion dinámica demovimiento

Figure 1.7: oscilador amortiguado impulsado

1.3.0.1 Resonancia

Este fenómeno está asociado con la máxima absorción de potencia del sistema amortiguado impulsado. Laamplitud contrastada con la frecuencia para un oscilador amortiguado cuando se aplica una fuerza periódica.Cuando la frecuencia externa de la fuerza externa es igual a la frecuencia natural del oscilador, ocurre laresonancia.

17

1.4. PRIMERA EVALUACIÓN CHAPTER 1. MOVIMIENTO OSCILATORIO

1.4 Primera evaluación

Taller fecha de entrega 27 de febero

1. En una catedral hay una lámpara que cuelga desde el techo de una nave y que se encuentra a 2m delsuelo.Se observa que oscila levemente con una frecuencia de 0, 1Hz. ¿Cuál es la altura h de la nave?

Figure 1.8: Lampara oscilando

2. Considere el sistema de resortes mostrado en la Figura de 3, una característica de este sistema deresortes previo analisis de cuerpo libre para cada uno de los resortes se deduce que, la fuerza aplicadaa cada uno de los resortes es igual. Este es la caracterıstica fundamental de los resortes que actuanen serie. Suponiendo que la fuerza com un, aplicada a todos y cada uno de los resultados, esta dadapor F , la deformacióon de cada uno de los resortes esta dada por las ecuaciones:

Figure 1.9: Resortes conectados en serie

4x1 =F

k14x2 =

F

k24x3 =

F

k3...4xn =

F

kn

La deformación total del sistema está dada por:

4xtot =∑

ni=14xi =

F

k1+F

k2+F

k3+ ...+

F

kn

4xtot = F

[1

k1+

1

k2+

1

k3+ ...+

1

k4

]

como la fuerza por el sistema de resortes que actúan en serie es F , se tiene que la constante del resorte

18


equivalente Keff está dada por:

keff =F

4xtot=

F

F

[1

k1+

1

k2+

1

k3+ ...+

1

k4

]keff =

1[1

k1+

1

k2+

1

k3+ ...+

1

k4

]3. Elija la respuesta correcta. Para un sistema masa resorte si la constante K del resorte se reduce a al

mitad, el periodo::

• Se reduce a la mitad

• Se aumenta al doble

• Se disminuye un factor√

3

• Se aumenta un factor de 1.4142

4. Un resorte se deforma 1.2cm cuando de este se suspende una masa 45g , hallar:

• el periodo de una oscilación cuando se cuelga una masa de0.5kg

• La frecuencia en hz

• La frecuencia en radianes

5. Se cuelga de un resorte un objeto de 250g y se deja oscilar. Para t = 0 el desplazamiento era de 3.5cm

y la aceleración de a (t) =35.6 cm

s2.Cual es la constante del resorte?

6. Hallar:a) el periodo de oscilación para un péndulo de longitd 100cm en la luna sabiendo que la gravedadde esta es la sexta parte de la gravedad en la tierra. b)¿Cuantos periodos dará este péndulo en latierra?.

7. Una masa unida a un resorte oscila con una amplitud de 15cm, la constante de elasticidad del resorte

es de 20N sobre metro k =20N

my . cuando la posición es la mitad de la amplitud, la masa se mueve

con una velocidad de 25cm sobre segundo.v = 25cms−1. Encuentre el periodo del movimiento y elvalor de la masa.

8. Un oscilador armónico simple tiene frecuencia angular ω y amplitud A:calcular:

a la amgnitud del desplazamiento y de la velocidad cuando la,energíaa potencial elástica es iguala la energia cinética. (suponga que en equilibrio el sistma tiene energía potencial nula)

• ¿cuantas veces sucede este caso en cada ciclo?. ‘? cada cuanto sucede?

• ¿En un instante en que el desplazamiento es igual aA

2. ?’qué fracción de la energía total del

sistema es cinética y qué fracción es potencial?

• ¿que fracción de la energía total del sistema es cinética y que fracción es potencial?

Solución:U +K = E si U = K se tiene que 2U = Etotde modo que

19


–

2.1

2Kx2 =

1

2KA2

x = ± A√2

Ahora:Ahora 2K = E de modo que

2.1

2mv2 =

1

2KA2

v = ±√

K

2 m.A

v = ±ω A√2

b para calcular el número de veces que sucede esta situación ( energía potencial elástica esigual a la energía cinética)se tiene:

x (t) = A cos (ωt) = − A√2

en consecuencia

ωt = arccos

(−√

2

2

)=

3π

4

t =3π

4ω

omando el caso positivo se tiene:

x+ =A√2

= A cos (ωt)

1√2

= cos (ωt)

ωt = arccos

(1√2

)t =

π

4ω

Ahora tomando el caso negativo

x− = − A√2

= A cos (ωt)

− 1√2

= cos (ωt)

t =3π

4ω

La diferencia de tiempo entre los dos sucesos es

4ta =3π

4ω− π

4ω=

π

2ω=T

4

20


c La relacionK

E=

3

8KA2

1

2kA2

=3

4yU

E=

1

8KA2

1

2kA2

=1

4

• Una masa de 0.0404kg esta sujeta a un resorte con una constante de elasticidad de206.9N

msu

oscilación esta amortiguada con una constante de amortiguamiento b = 14.5kg/s.Â£cual es lafrecuencia de esta oscilación amortiguada?.Solución: la frecuencia: para un oscilador amortiguado

• El periódo de un péndulo en la tierra es de T = 1s se quiere construir un péndulo en un planetadonde la gravedad es15ms−2 de tal forma que su periódo sea igual al del péndulo de la tiera.que longitud debe tener?Solución: despejar la longitud para que se cumpla que T = 1s

4π2L

g= 1

L =15ms−2 · 1s2

4π2

1. Una masa de 3kg sujeta aun resorte de constante K = 140Nm−1,esta oscilando en una tina de aceiteel cual amortigua las oscilaciones.

• Si la constante de amortiguamiento del aceite es de 10kgs−1. Cuanto tiempo le tomará a la amplitudde la oscilación para decrece al 1% de su valor original?Solucion:


0, 01A = A exp

(− b

2mt

)ln (0, 01) = − ln (e)

b

2mt

t = ln (0, 01)2m

b

• Â£Cuanto debe ser la contante de amortiguamiento para reducir la amplitud de las oscilaciones en99% en 1 segundo.solución:La expresión que repreenta como es la amplitud del movimiento de un oscilador armonicoamortiguado es:


0, 99A = A exp

(− b

2mt

)ln (0, 99) = − ln (e)

b

2mt

b

2m=

ln (0, 99)

1s

PREGUNTAS DE SELECCIÓN MúLTIPLE CON ÚNICA RESPUESTA (Justifique su respuesta alfrente)

2. En Un movimiento armónico simple se cumple que mientras aumenta la elongación:

21


A Disminuye la velocidadB Aumenta la velocidadC Disminuye la aceleraciónD Ninguna de las anterioresE Todas las anteriores

1. Si en un resorte se duplica la deformación, entonces la fuerza recuperadora

(a) Se duplica(b) Se reduce a la mitad(c) No varía .(d) Se cuadruplica(e) Ninguna de las anteriores

2. Si la masa que oscila suspendida de un resorte se cuadruplica, entonces el periodo:

(f) Se cuadruplica(g) Se duplica(h) Se reduce a la cuarta parte(i) Se reduce a la mitad(j) Ninguna de las anteriores

1. El tiempo mínimo que necesita una partícula con movimiento armónico simple para estar en la

posiciónx =A

2es:

(a) T/2(b) T/3(c) T/6(d) T/12(e) N.A

2. La elongación de una partícula que se mueve con movimiento armónico simple en un tiempo t =T

4es:

(a) x =A

2

(b) x = A√

2

(c) x =A√2

(d) x = A

(e) Ninguna de las anteriores

1. Si la longitud de un péndulo se reduce a la mitad el nuevo periodo será:.

(a) T/2(b) 2T

22


(c) 2 √ T(d) T / √ 2(e) N.A

2. Para reducir a la mitad el periodo de un péndulo, la longitud se debe:

(a) Reducir a la mitad(b) Duplica(c) Cuadruplica(d) Reducir a la cuarta parte(e) Ninguna de las anteriores(f) Un cuerpo que se mueve con M.A.S. tiene máxima velocidad en la:

i. Posición de equilibrioii. Máxima elongacióniii. Amplitudiv. Mitad de la amplitudv. E. N.A

Segunda evaluación

1. Una barra delgada de masa 2.50kg y longitud 1.25m, se balancea en torno de un pivote sin fricciónen el extremo de la barra. La barra se desplaza un ángulo θ = 15° con respecto a ala vertical:

Figure 1.10: Barra oscilando

• ¿ cuala es el periodo de este movimiento?• ¿ cual es la frecuencia angular• ¿ cual es la frecuencia en hz?

2. En sistema de masa y resorte horizontal con la constante de elasticidad k = 200Nm−1 y m =0.50kg. Esta vez se imparte al cuerpo un desplazamiento inicial de +0.015m y una velocida inicial de+0.40ms−1a) Determine:

• el periodo,la amplitud yel ángulo de fase• Escriba ecuaciones para desplazamiento,velocidad y aceleración en función del tiempo.

3. En un sistema masa resorte , k = 200Nm−1 ym = 0.50kg. la masa se suelta del reposo en x = 0.020my comienza a oscilar.

23


• Calcule las velocidades máxima y mínima que alcanza el cuerpo al oscilar.

• Calcule la aceleración máxima.

• Determine la velocidad y la aceleración cuando el cuerpo se ha movido a la mitad del caminohacia el centro desde su posición inicial.

• Determine las energías total, potencial y cinética en esta posición.

4. Un péndulo con una longitud de 1.00m se suelta de un ángulo inicial de 15°. Después de 1.00 s, suamplitud se reduce por la fricción a 5.50°. Calcule b/2m.

5. Una masa de 3kg está vibrando en un resorte . Tiene una frecuencia angular resonante de 2.40rad/sy una frecuencia de amortiguamiento de0, 140rad/s si la fuerza imulsora senosoidal es de 2.00Nencuentre la amplitud máxima si la frecuencia impulsora es de:

• 1.20rad/s

• 2.40rad/s

• 4.80rad/s

6. Una masa de 500 g oscila con una amplitud decreciente en el tiempo, unida a un muelle de constanteelástica 125N/m. Si la mitad de su energía se pierde en 4 s, la pérdida relativa de energía por cicloes:

a 68.9

b 89.6

c 8.96

d 6.89

Tercera evaluación

1. Un objeto de 100gramos de masa vibra con movimiento armónico simple a una frecuencia de 2Hz,si el movimiento comienza a 2cm de la posición de equilibrio y se libera desde el reposo ¿Cual es laenergía total,cual la amplitud , la fase inicial, la velocidad máxima?, escriba la ecuación de movimientopara este objeto.

2. Un objeto solido de 5kg oscila con un movimiento armonico simple, su posicion en funcion de tiempoesta dada porx (t) = 2 sin

(π2t+

π

6

)donde x esta en metros y t en segundos:

• Â£cual es es la posición ,la velocidad y la aceleración en t=0 segundos

• Â£cuales son el periodo y la frecuencia del movimiento?

• en que tiempo despues de t=0 la energía cinética tiene su primer máximo’

3. Una persona salta de un cable de bunge y empieza a oscilar con amplitudes cada vez más pequñas, siel cable se puede tratar como un resorte con k = 200n/m y el periodo de oscilación de este sistema esde T = 1segundo ¿cuál es el valor de la constante de amortiguamiento, ¿en cuánto tiempo la amplitudde la oscilación será la cuarta parte de la amplitud inicial?

4. Considérense la mismas condiciones del ejercicio anterior, si se aplica una fuerza impulsora F (t) =F0 cos (ωt) ¿con que frecuencia de oscilación de la fuerza impulsora se tiene una amplitud máxima?,¿con que valor de F0 se obtiene unaamplitud máxima igual a 2metros

24


5. Un bloque de 200gramos oscila unido a un resorte de constante k = 40N/m con una amplitud de4cm, si el movimiento comenzo con el bloque a 2cm de la posición de equilibrio. Calcular:

a La energía total del sistema

b La velocidad inicial del bloque

c La fase

d La velocidad máxima y escriba la ecuación que describe el movimiento.

6. Si la posición en función del tiempo de un objeto sólido de 500kg que oscila con un movimiento

armónico simple esta da por x (t) = 30 cos

(π

2t+

π

6

)donde x esta en centimetros y t en segundos.

Calcular:

a La posición , la velocidad y la aceleración en t = 2segundos

b El periodo y la frecuencia del movimiento

c ¿En que tiempo despues de t = 0 la energía cinética tiene su primer máximo?

7. Una masa de 2kg está oscilando bajo la acción de una fuerza amortiguada de la forma −bv, si lafrecuencia de oscilación es de ω = 10rad/s y en cada oscilación la amplitud se reduce a la cuarta partede la amplitud inicial.Responda:

a ¿ Cuál es el valor de la constante amortiguadora?

b ¿ Cuál es periodo de oscilación?

c ¿Cuál es el valor de la constante k?

d ¿con que valor de la constante b la amortiguación será crítica?

8. Considérense las misas condiciones delproblema anterior, si se aplica una fuerza impulsora F (t) =F0 cos (ωt),Responder

a ¿ Con que frecuencia de la oscilación de la fuerza impulsora se tiene ampitud máxima?

b ¿ Que valor de F0 da como resultado unaamplitud máxima igual a 80cm?

25

Chapter 2

Propagación de ondas

Los fenómenos ondulatorios se decriben mediante las ondas y estas a su vez pueden clsificarse como:

• Ondas mecánicas

• Ondas transversales y longitudinales

• Ondas longitudinales

En una onda longitudinal la vibración de las partículas se produce en la misma dirección en que se propagala onda.

El caso más común de onda longitudinal es el de las ondas de compresión, en el que las partículas vibranen un sentido, tradmitiendo su vibración a las partículas adyacentes. A este tipo de ondas de compresiónpertenece el sonido (en particular, para el caso de que el medio material sea el aire), y las ondas sísmicas P.

Onda sinusoidal en el caso de oscilaciones periódica, cada partícula oscila en torno a su posición de equilibriocon una variación de la forma:

xi (t) +A0 cos (ωt− kx+ Φ) (2.1)

Aunque la onda avanza, observando cada una de las partículas individualmente, puede verse que en prome-dio cada una permanece inmóvil.

Pulso. Una onda (longitudinal o transversal) no tiene por qué ser necesariamente una sinusoide. Un golpeseco en un extremo de un material produce un pulso, que se mueve a lo largo de él. Este pulso es tambiénuna onda.

Ondas transversales. En una onda transversal cada partícula se mueve perpendicularmente a la direcciónen que avanza la onda, de forma que para una onda sinusoidal sería

y = A cos(ωt− kx)

Más en general, una onda transversal es una combinación de una señal que se propaga en un sentido másuna que se propaga en el sentido opuesto, lo cual se puede escribir en la forma general

y = f (x− vt) + g(x+ vt)

26

CHAPTER 2. PROPAGACIÓN DE ONDAS

, siendo f y g funciones arbitrarias de una variable (aunque si representan ondas físicas reales, además sonacotadas).

Combinaciones de ondas. Una onda puede ser una combinación de una onda longitudinal y una transversal,de forma que cada partícula describe un movimiento elíptico.

En particular, la trayectoria individual puede ser una circunferencia, esto es lo que ocurre para las ondassuperficiales en agua (qque no son transversales, como suele suponerse), el movimiento de cada partícula es

x = xeq +A cos(ωt− kxeq) y = A sen (ωt− kxeq) (2.2)

2.0.1 Ecuación de onda

Una onda puede definirse, de forma matemática, como una solución de la ecuación de onda, que es unaecuación diferencial concreta.Si el análisis de una magnitud de un sistema físico conduce a una ecuación diferencial de la misma formaque la ecuación de onda, se puede concluir que la solución para dicha magnitud es un comportamientoondulatorio, aunque no se trate de un sistema mecánico y no haya verdadero movimiento de partículas(esto es lo que ocurre, por ejemplo, con las ondas electromagnéticas).

En una dimensión En una dimensión Si tenemos una magnitud u que depende de una coordenada xy del tiempo, esta magnitud presenta comportamiento ondulatorio si se satisface la ecuación diferencial enderivadas parciales

∂2u

∂x2− 1

v2

∂2u

∂t2= 0 (2.3)

siendo v la velocidad de la onda.Ondas en una cuerda tensa Por ejemplo, en el caso de una cuerda tensa puede demostrarse que los movimien-tos transversales verifican la ecuación

µ∂2y

∂t2= FT

∂2y

∂x2

siendo Îĳ la densidad lineal de masa y FT la tensión de la cuerda. Reescribiendo esta ecuación como

∂2y

∂x2− 1

FT /µ

∂2y

∂t2= 0

vemos que el movimiento de la cuerda tensa es ondulatorio, siendo su velocidad

v =

√FTµ

Ondas electromagnéticas Al analizar el comportamiento de los campos eléctricos y magnéticos dependientesdel tiempo, Maxwell llegó a la conclusión de que en el espacio vacío un campo eléctrico dependiente de unasola coordenada verifica la ecuación

∂2E

∂x2− µ0ε0

∂2E

∂t2= 0 (2.4)

siendo ε0 y µ0 dos constantes físicas denominadas permitividad y permeabilidad del vacío:

ε0 '1

36π × 109

F

mµ0 = 4π × 10−7 H

m

27


De esta ecuación resulta que el campo eléctrico (y el magnético) tiene un comportamiento ondulatorio,siendo su velocidad

c =1

√ε0µ0

' 3× 108 m

s

que es exactamente la velocidad de la luz. De esto Maxwell concluyó que la luz es una onda electromagnético.3.1.1 Principio de superposición Una propiedad importante de la ecuación de onda es que es lineal, esto es,que verifica el principio de superposición: si u1 y u2 son dos soluciones, cualquier superposición

u = au1 + bu2

, con a y b constantes es también una solución.

2.0.1.1 La Solución general de la ecuación de onda

Puede demostrarse que la solución general de la ecuación de onda se puede modelar mediante:

∂2u

∂x2− 1

v2

∂2u

∂t2= 0 (2.5)

que es una función de la forma

u = f(x− vt) + g(x+ vt)

, siendo f y g dos funciones cualesquiera de una variable. No obstante, para una onda real de un sistemafísico no pueden ser cualesquiera, sino que deben ser continua, derivable y acotada (no irse a infinito). Aunasí, esto dejea mucha libertad a las soluciones: pulsos, ondas viajeras y estacionarias son soluciones de laecuación de onda. En particular, si g = 0 se obtiene la siguiente solución

u = f(x− vt)que es una onda viajera que se propaga en la dirección x positiva. Esta onda conserva su forma (ya quef(s) es siempre la misma, solo va cambiando su posiciónSi f = 0, la solución es de la forma u = g(x+ vt), que es una onda viajera propagándose hacia los valoresde x decrecientes. En el caso general, la solución es una superposición de una señal que se propaga haciala derecha con una que se propaga hacia la izquierda. Así, por ejemplo, una onda estacionaria puede versecomo la suma de dos sinusoides de igual amplitud moviéndose en sentidos opuestos.

El principio de superposición im plica que, aunque cuando las dos señales coinciden en el espacio y el tiempola solución resultante puede tener una aspecto muy complicado, una vez que separan cada una de las señalescontinúa sin cambios, como si no se hubiera encontrado con la otra.

2.0.1.2 Deducción de la ecuación de onda en una dimensión

La expresión matemática de la ecuación de onda puede inducirse a partir de la solución. Partiendo delprincipio físico de que una onda es una propagación de una señal sin transmisión de materia, y de que lasondas pueden superponerse, se busca una ecuación diferencial tal que

f (x− vt)es una solución general para todo f

g (x− vt)es una solución general para todo g la superposición es solución para todo f y todo g. Imponiendo estastres condiciones se llega a que la ecuación diferencial más sencilla que las verifica es la ecuación de onda.

28


2.0.1.3 En tres dimensiones

La ecuación de onda puede generalizarse al caso de una magnitud que depende de las tres coordenadasespaciales. En este caso la ecuación diferencial es

∂2u

∂x2+∂2u

∂y2+∂2u

∂z2− 1

v2

∂2u

∂t2= 0 (2.6)

En el caso tridimensional, aunque v sigue siendo la velocidad de la onda, ya las soluciones no poseen laforma snecilla de funciones que se mueven sin deformarse. Por ejemplo, un sonido que se extiende desdeuna fuente puntual en todas las direcciones se va atenuando, a medida que la energía de la onda sonora seva expandiendo y alejándose de la fuente.A continuación se representa una onda que se desplaza hacia la derecha:

Figure 2.1: Onda desplazandose hacia la derecha

• El propósito es hallar la ecuación diferencial que deben verificar las soluciones para las ondas en unadimensión y esta debe cumplir los siguientes requisitos:

• Ondas hacia la derecha Debe admitir como soluciones las de la forma:

y = f(x− vt)

que representan señales que se propagan hacia la derecha sin deformarse.

• Ondas hacia la izquierda una cuerda, u otro sistema vibrante, normalmente es simétrica respectoal sentido de propagación de las ondas. No hay diferencia entre agitar el extremo de la izquierda yproducir una onda que se mueve hacia la derecha, que agitar el de la derecha y que la onda resultante semueva hacia la izquierda. Por tanto, la ecuación diferencial buscada debe admitir también solucionesde la forma

y = g(x+ vt)

con g una función arbitraria.

29


• Superposición

La ecuación resultante debe admitir además que sobre la misma cuerda vibrante se propaguen si-multáneamente dos o más señales, sin afectarse mutuamente. Por ello la solución general debe ser dela forma

y = f(x− vt) + g(x+ vt)

• Para obtener la ecuación de onda se procedea a derivar una vez La solución general ques es una funciónde dos variables, x y t, siendo la velocidad de las ondas una constante.Se necesita una ecuación queligue las derivadas parciales respecto a la posición y respecto al tiempo.

Derivando respecto al espacio y al tiempo se comienza con las soluciones de la forma

y = f(x− vt)

donde f es una función arbitraria de una sola variable, esto significa que se pueden escribir estas solucionesen la forma

y(x, t) = f(s) s = x− vt

esto es, y depende de x y t no de cualquier forma, sino a través de la combinación definida por s. Si ahorase deriva respecto a la posición x, aplicando la regla de la cadena

∂y

∂x=

df

ds

∂s

∂x(2.7)

∂y

∂x= f

′(s) (2.8)

Si se deriva con respecto al tiempo, se obtiene la siguiente expresión

∂y

∂t=df

ds

∂s

∂t= −vf

′(s)

Eliminando f ′(s) entre las dos derivadas se obtiene la relación

∂s

∂t=∂(x− vt)

∂t= −v

Esta ecuación en derivadas parciales la verifican todas las soluciones de la forma y = f(x−vt). Sin embargo,como veremos, eso no es suficiente para lograr el propósito buscado.5.2 El

problema del signo La ecuación anterior es válida para las ondas que viajan hacia la izquierda, pero nopara las que van hacia la derecha. Si se realiza un anĺisis similar para las soluciones de la forma

y(x, t) = g(x+ vt) ⇒ ∂y

∂x= +

1

v

∂y

∂t(2.9)

que no es la misma ecuación que en el caso anterior. Por ello, no tienen validez ni una ni la otra, puestoque se desea una ecuación que valga para los dos casos a la vez. Tomando la segunda derivada. Regresandoa las soluciones de la forma:

y = f (x± vt) (2.10)

30


Ahora se toman las derivadas y se obtiene escribiendo de manera equivalente recordando

y = f (x± vt) (2.11)

Retomando las soluciones de la forma y (x, t) = f (x− vt) y calculando su segunda derivada respecto a laposición

∂2y

∂x2=

∂

∂x

(f

′(s))

=d

ds

(f

′(s)) ∂s∂x

= f” (s)

∂2y

∂x2=

∂

∂x(f ′(s)) =

d

ds(f ′(s))

∂s

∂x= f ′′(s)

Si se deriva respecto al tiempo, resulta lo siguiente

∂2y

∂t2=

∂

∂t(−vf ′(s)) = −v d

ds(f ′(s))

∂s

∂t= v2f ′′(s)

Eliminando f ′(s) entre las dos derivadas se encuentra la relación:

∂2y

∂x2=

1

v2

∂2y

∂t2

Veamos si esta ecuación tiene validez. Obsérvese que la anterior ecuación, es satisfecha por las funcionesde la forma

y1(x, t) = f(x− vt) ⇒ ∂2y1

∂x2=

1

v2

∂2y1

∂t2

Puesto que la velocidad aparece al cuadrado, también es satisfecha por las ecuaciones que viajan hacia laizquierda

y2(x, t) = g(x+ vt) ⇒ ∂2y2

∂x2=

1

v2

∂2y2

∂t2

Al ser la derivada de la suma la suma de las derivadas, también es satisfecha por una combinación de lassoluciones anteriores

y = y1 + y2 = f(x− vt) = g(x+ vt) ⇒ ∂2y

∂2x=∂2y1

∂x2+∂2y2

∂x2=

1

v2

∂2y1

∂t2+

1

v2

∂2y1

∂t2=

1

v2

∂2y

∂t2

Puesto que cumple todas las condiciones, esta sí es la ecuación que estamos buscando.

Modelo ondas en una cuerda vibrante La figura 2.2 representa el diagrama de fuerzas que actúansobre una cuerda cuando es pulsada: Observe que la resultante de las fuerzas en x es cero o si no la cuerdase reventaría o habría desplazamiento en esa dirección. por consiguiente se tiene:

limα→0

sinα = tan (α)∑Fx = T (cosα1 − cosα2) = 0

para las componentes Fy se tiene: ∑Fy = T (sinα1 − sinα2)∑Fy = T (tanα1 − tanα2)∑Fy = T

(∂y

∂x)α1− ∂y

∂x)α2

)T

(∂y

∂x)α1− ∂y

∂x)α2

)= µdx

∂2y

∂t2

31


Comparando las expresiones obtenidas se tiene

T

(∂ (∂y)

∂x2

)= µdx

∂2y

∂t2(2.12)

T

µ

(∂2y

∂x2

)=

∂2y

∂t2(2.13)

la anterior ecuación es una ecuación de onda y su velocidad de propagación es

v =

√T

µ(2.14)

Figure 2.2: Deducción ecuación de onda en una cuerda

Definición de onda A partir de la ecuación , una onda se define matemáticamente como una soluciónde la ecuación de onda. Puede demostrarse que la solución general de esta ecuación es de la forma

∂2y

∂x2− 1

v2

∂2y

∂t2= 0⇒ y(x, t) = f(x+ vt+ g(x− vt)

esto es, que no hay más soluciones que las que ya se conocen. Hay que señalar que, al ser f y g funcionesarbitrarias, la forma de la solución y(x, t) puede ser muy diversa. En particular no tiene por qué resultaruna onda viajera.

una onda que no viaja Por ejemplo, la onda estacionaria: es aquella que se forma por la superposiciónde dos ondas: una onda que viaja en una dirección y su reflejo en un obstáculo

y = A cos(ωt) cos(kx)

, en la que las crestas no se desplazan, sino que simplemente suben y bajan, es una onda, ya que es soluciónde la ecuación diferencial. Las segundas derivadas valen

∂2y

∂x2= −k2A cos(ωt) cos(kx) = −k2y

∂2y

∂xt= −ω2A cos(ωt) cos(kx) = −ω2y

Sustituyendo en la ecuación de onda

32


∂2y

∂x2− 1

v2

∂2y

∂t2= −

(k2 − ω2

v2

)y que se anula si se cumple

v =ω

kpuede comprobarse que esta solución estacionaria es una combinación de una onda que viaja a la derechay otra que viaja hacia la izquierda.

y = A cos(ωt) cos(kx) =A

2cos(ωt−kx)+

A

2cos(ωt+kx) =

A

2cos(k(x−vt))+A

2cos(k(x+vt)) = f(x−vt)+g(x+vt)

Figure 2.3: Superposición ondas

y = A cos (ωt) cos (kx) =1

2A [cos (ωt− kx) + cos (ωt+ kx)] (2.15)

La expresión de ondas estacionarias describe los máximos y los mínims (Vientres y nodos),a continuaciónse describen las condicones de frontera para que estos tengan lugar:se produce un vientre cuando

cos (Kx) =

+ 1

− 1

Kx = π, 2π, 3π ...nτ

se produce un nodo cuando

cos (Kx) = 0

Kx =π

2, 3π

2, 5π

2... (2n+ 1)π

tomando k como factor comun se puede reescribir nuevamente la ecuación como

1

2A [cos (ωt− kx) + cos (ωt+ kx)] =

1

2A [cos(k (x− vt)) + cos(k (x+ vt))]

esta última ecuación es de la forma:y = f(x− vt) + g(x+ vt)

Donde se utilizó la identidad trigonométrica

cos (A) cos (B) =1

2[cos (A+B) + cos (A−B)]

Las soluciones particulares son entonces:

y (x, t) = A sin2π

λ(x− vt) o y (x, t) = A sin

2π

λ(x+ vt) (2.16)

33


Figure 2.4: Parámetros onda viajera

2.0.1.4 Descripción movimiento transversal

y (x, t) = A sin(2π

λ(x− vt)) (2.17)

∂y (x, t)

∂t= vy = ωA cos(k (x− vt)) (2.18)

∂2y (x, t)

∂t2= ay = −ω2 sin(k (x− vt)) (2.19)

2.0.2 Ondas estacionarias

un caso particular de la superposición de ondas de importancia fundamental en el estudio de las ondassonoras, por su aplicación en la música es el de las ondas estacionarias. Estas ondas aparecen en todos losinstrumentos de cuerda: guitarras, pianos, violines, etc.

Estas ondas se forman por la interferencia de dos ondas de la misma naturaleza con igual amplitud, longitudde onda (o frecuencia) que avanzan en sentido opuesto a través de un medio, como puede observarse en unafigura de abajo. En ella dos ondas, una que viaja hacia la derecha y otra que viaja hacia la izquierda, sesuperponen para dar lugar a la onda estacionaria.

Figure 2.5: Superposición ondas en una cuerda

Obsérvese que una característica de las ondas estacionarias es que hay puntos que no vibran (nodos) , quepermanecen estacionarios en un valor mínimo , mientras que otros (vientres o antinodos) lo hacen con una

34


amplitud máxima, igual al doble de la de las ondas que interfieren.una onda estacionaria es un fenómeno de superposición (interferencia) entre ondas idénticas propagándoseen sentidos opuestos por un mismo medio.

En una onda estacionaria no se transporta energía de un punto a otro, a diferencia de las ondas viajeras.De ahí la existencia de nodos en ella.También las ondas estacionarias pueden modelarse mediante:

y (x, t) = 2A sin (Kx) · cos (ωt) (2.20)

De la ecuación anterior puede deducirse que:

• Su frecuencia es similar a las de las ondas que se superponen

• Su amplitud es función de la posición, existiendo nodos que no oscilan y vientres de amplitud máxima.

• La localización de los nodos está dada por sin(kx) = 0 por lo que aparecerán en las posiciones

kx = 0, π, 2π, 3π, ...nπ

• la localización de los vientres se describe mediante:sin(kx) = 1 por lo que se localizarán en los puntosdeterminados por:

sin (Kx) = 1 (2.21)

Kx =π

2,

3π

2,

5π

2, ... (2n+ 1)

π

2(2.22)

Recuerde que k estaba definida como K = 2πλ , lo que permite encontrar la posición de los nodos como

relaciń entre la posición y la longitud de la onda estacionaria: K = 2πλ K = 2π

λ

Kx = (n)π

22πx

λ= (n)

π

2

x =n

2λ

De la relación anterior se observa que se cumple en general para x = 0,λ

2, λ, 3

λ

2, 2λ, ...nλ lo anterior repre-

senta que los nodos se encuentran situados en las posiciones consecutiva , por lo que la distancia entre dos

nodos consecutivos será siempre media longitud de ondaλ

2.

Análogamente puede encontrarse la expresión para los vientres, que resultan encontrarse en las posiciones.En el caso particular de una cuerda como la de una guitarra, que está fija en ambos extremos, estos deberánser siempre nodos. Si la longitud de la cuerda es L, y deberá cumplirse que , por lo que las longitudes deonda permitidas (Îżn) serán las dadas por la ecuación:Primer armónico y sucesivos El nombre de onda estacionaria proviene de la aparente inmovilidad de losnodos, siendo la distancia que separa dos nodos o dos vientres consecutivos igual a la mitad de la longitudde onda (/2) de las ondas que interfieren.

ejemplo La velocidad de onda de una determinada cuerda tensa, de longitud 65cm, es de 105m/s, sufrecuencia fundamental, por tanto es:

v = λf pero como se trata de una cuerda L = nλ

2por consiguiente λ =

2L

nsi n = 1λ = 0.13m y

f =105

0.13= 8.07Hz

35


2.0.3 Energía de una onda

La energía cinética almacenada en un instante dado en una longitud dada de la cuerda es la suma de lasenergías cinéticas de cada una de las partículas que la forman.Si se divide la cuerda en porciones de longitud dx, la masa de cada porción es

dm = µdx

con la densidad lineal de masa. La energía cinética de esta pedazo será

dK =1

2dmv2 =

1

2µdx

(∂y

∂t

)2

Integrando obtenemos la energía cinética almacenada en una porción de cuerda

K =1

2

ˆ L

0

µ

(∂y

∂t

)2

dx (2.23)

Onda viajera sinusoidal Aplicando la ecuación anterior a una longitud de onda de una onda viajera

y = A cos (ωt− kx)

y = A cos(ωt− kx)

obtenemos la energía cinética de una porción de cuerda

dK =1

2µA2ω2 sin2 (ωt− kx) dx (2.24)

y la integral sobre una longitud de onda

dK =1

2µA2ω2 sin2 (ωt− kx) dx (2.25)

K =

ˆ λ

0

dK =1

2µA2ω2

ˆ λ

0

sen2(ωt− kx) dx =1

4µA2ω2

ˆ λ

0

(1− cos(2ωt− 2kx)) dx (2.26)

donde se utiliza la identidad del ángulo doble

sen2(x) =1− cos(2x)

2

Resultan dos integrales, la primera de las cuales vale simplemente λ, mientras que la segunda es una integralde cos(s) sobre dos periodos, por lo que se anula. Por tanto

K =1

4µω2A2λ

Lo más importante de este resultado es que resulta una función cuadrática en la amplitud, esto es, a dobleamplitud corresponde cuádruple energía.una cantidad derivada de esta es la densidad de energía cinética, obtenida suponiendo que la energía cinéticase reparte uniformemente sobre la longitud de onda (lo cual es cierto solo en promedio).

K

λ=

1

2µω2A2

Esta densidad de energía no solo es cuadrática en en la amplitud, sino también la frecuencia.

36


2.0.4 Actividad en clase

1. Justifique su respuesta.Escribir (V) Si es verdadero o (F) si es falso

(a) Una onda que viaja a lo largo de un resorte es un ejemplo de onda transversal. ( )

(b) La relación de transferencia de energía por unidad de tiempo en una onda senoidal es proporcionala la amplitud de desplazamiento. ( )

(c) Para una temperatura dada, la velocidad de las ondas sonoras en un gas ideal es independientede la presión.

(d) La frecuencia fundamental de un sistema dado corresponde a la longitud de onda estacionariade mayor duración posible en el sistema. ( )

(e) La velocidad de onda de una determinada cuerda tensa, de longitud 65cm, es de 105m/s, sufrecuencia fundamental, por tanto es

i. 161.5 Hz. ( )ii. 16150Khz. ( )

2. La La función de una onda longitudinal es E (x, t) =2voltio

metrosin (2π (4x+ 3t))

(a) En qué dirección viaja la onda.

(b) Calcular el periodo y la rapidez de la onda.

3. Un tubo abierto por ambos extremos tiene una frecuencia fundamental de 300Hz cuando la rapidezdel sonido en el aire es de 333m/s.

(a) ¿Cuál es la longitud del tubo?

(b) Si ahora, el tubo es cerrado ¿en cuánto cambia la longitud?

4. La boca de un bebé está a 40 cm de la oreja de su madre y a 2.0m de la de su padre.¿Qué diferenciahay entre los niveles de intensidad de sonido que escuchan ambos padres?

5. Justifuque su respuesta. Colocar V si es verdadero y F si es falso.

(a) Una onda que viaja a lo largo de un resorte es un ejemplo de onda longitudinal. ( )

(b) La longitud de un tubo cerrado en uno de sus extremos, cuya frecuencia fundamental es 240 Hzcorresponde a 0.715 m. ( )

(c) Una onda sonora viaja con mayor rapidez en un fluido que en un metal.()

(d) La frecuencia fundamental de un sistema dado corresponde a la longitud de onda estacionariade mayor duración posible en el sistema. ( )

(e) La velocidad de onda de una determinada cuerda tensa, de longitud 65cm, es de 105m/s, sufrecuencia fundamental, por tanto es 161.5Hz. ( )

6. La función de una onda longitudinal es :y (x, t) = 5cm sin (2π (3x+ 3t))

(a) En qué dirección viaja la onda.

(b) Calcular el periodo y la rapidez de la onda.

7. Una onda sonora se propaga en helio. La presión de equilibrio del gas es de 1.2·105Pa y su temperaturaes 310K.

37


(a) Determinar la velocidad del sonido;

(b) Si la onda es armónica con una amplitud de presión, ∆pmax = 0.75Pa .determinar la intensidadpromedio.(Nota: el peso atómico del helio es de 4 g/mol y su índice adiabático vale 1.63).La velocidad delsonido en un gas esta dada por:

vson =

√γRT

M

donde γ es la constante adabatica,Rla constante de los gases M la masa molecular del gas y T latemperatura absolutaLa intensidad promedio medida en decibeles cuando se conocen las variaciones de presion conrespecto a una presion de equilibrio se calcula mediante la siguiente expesion;

N (dB) = 20 lg

[∆pmaxpatm

]8. La boca de un bebé está a 40cm de la oreja de su madre y a 2.0m de la de su padre. ¿Qué diferencia

hay entre los niveles de intensidad de sonido que escuchan ambos padres?

9. En una onda sonora senoidal de moderada intensidad, las variaciones máximas de presión son del orden

de 3 10−2Pa por arriba y por debajo de la presión atmosférica pa (nominalmente patm = 1.013 105 N

m2

al nivel del mar). Calcule el desplazamiento máximo correspondiente, si la frecuencia es de 1000Hz.En aire a presión atmosférica y densidad normales, la rapidez del sonido es de 344menunsegundom>s y el módulo de volumen es de 1.42 105Pa.

k =ω

v

A =pmaxBk

=3 10−2Pa

(1.42 105)

(18.3

rad

m

)10. Un barco usa un sistema de sonar para detectar objetos submarinos. El sistema emite ondas sonoras

submarinas y mide el tiempo que tarda la onda reflejada (eco) en volver al detector. Determine larapidez del sonido en el agua con la ecuación y calcule la longitud de onda de una onda de 262 Hz.

11. Una profesora de física cuando da clase produce un sonido con una intensidad de 500 veces mayor quecuando susurra. Â£Cuál es la diferencia de niveles en decibelios?La diferencia en los niveles de inensidad se escribe como:

N2 −N2 = 10 log

[500I

I0

]− 10 log

[I

I0

]10 log

[500I

I0

]− 10 log

[I

I0

]= 10 (log (500I)− log (I0)− (log I − log I))

N2 −N2 = 10 [log (500I)− log (I)]

N2 −N2 = 10 log (500)

12. Un hombre A está situado entre dos altavoces que vibran con la misma frecuencia y en fase. Si lamínima frecuencia a la cual se observa interferencia destructiva es 122Hz. Determinar la velocidadde propagación de las ondas. A qué otras frecuencias se observa interferencia destructiva

38


Figure 2.6: Interferencia ondas de sonido

2.0.5 Potencia de una onda

Supongamos una cuerda tensa que se extiende desde x = 0 en adelante. Si desde extremo se genera unaonda agitando la cuerda, se introduce una energía en el sistema. El ritmo al que entra este energía lo da lapotencia desarrollada por el agente que está moviendo la cuerda

P = F v

En el extremo de la cuerda la velocidad del punto es puramente perpendicular a la cuerda, por tratarse deuna onda transversal

v =∂y

∂tj

por lo que la potencia desarrollada es

P = Fy∂y

∂t

La componente transversal de la fuerza puede calcularse si se observa que por tratarse de una tensión estangente a la cuerda

F = −FT (cos θi + sen θj)⇒ Fy = −FT sen θ

Si el ángulo de desviación es pequeño se cumple que

cos θ ' 1⇒ sen θ ' tg θ

y la tangente del ángulo es la pendiente de la curva en x = 0

tg θ =∂y

∂x⇒ Fy ' −FT

∂y

∂x

Por tanto la potencia desarrollada por el agente que mueve la cuerda es:

P = −FT∂y

∂x

∂y

∂t(2.27)

4E =

ˆ T

Pdt = −ˆ T

FT∂y

∂x

∂y

∂tdt

La energía inyectada en el sistema durante un tiempo T será

4E =

ˆ T

Pdt = −ˆ T

FT∂y

∂x

∂y

∂tdt

39


2.0.5.1 Onda viajera sinusoidal

Para una onda viajeray (x, t) = A cos (ω −Kx)

la potencia desarrollada en x = 0 es:

∂y

∂t

∣∣∣∣x=0

= −Aω sin (ωt)

∂y

∂x

∣∣∣∣x=0

= −AK sin (ωt)

efectuando las correspondientes operaciones se obtiene

P = FTωKA2 sin2 (ωt) (2.28)

∂y

∂t

∣∣∣∣x=0

= −Aω sen(ωt)∂y

∂x

∣∣∣∣x=0

= Ak sen(ωt)⇒ (2.29)

P = FTωkA2 sen2(ωt) (2.30)

y la energía que se introduce en un periodo se representa mediante la siguiente ecuación

∆E =

ˆ T

0

P dt = FTωkA2

ˆ T

0

sen2(ωt) dt = FTωkA2T

2

Aplicando que

T =λ

v, K =

ω

v, FT = µv2

resulta

∆E =µω2A2λ

2que es exactamente la energía almacenada en una longitud de onda. Este resultado nos dice que la cantidadde energía que entra en la onda durante un periodo se distribuye hasta ocupar una longitud de onda, y portanto la velocidad a la que se propaga la energía es justamente v, la velocidad con la que avanza la onda.

Ejemplo ondas estacionarias en un tubo abierto un tubo de longitud L = 34cm tiene sus dosextremos abiertos a la atmósfera. Si la velocidad de transmisión del sonido en ella es de 340 m/s. Calcularla menor frecuencia de excitación sonora para la que se formará una onda estacionaria en el interior del tuboe indica la posición de los nodos y vientres de la misma. Solución La menor longitud de onda correspondepara el valor mínimo de n, es decir, n = 1. Como la longitud del tubo es L = 34cm = 0.34m. Despejandoλ, se tiene:

2L

1= λ = 0.68m

ahora

f =v

λ=

340

0.68mms−1

f = 500hz

Dado que la primera onda estacionaria en un tubo abierto tiene la forma habrá un nodo en la mitad deltubo (x = 0.17 m) y dos vientres en cada uno de sus extremos x = 0 y x = 0.34.La siguiente figura modelael fenómeno en cuestión

40


Figure 2.7: Ondas estacionarias en un tubo abierto

Ejemplo ondas estacionarias en un tubo cerrado Al tubo del ejercicio resuelto anterior se le cierrauno de sus extremos. Calcular la menor frecuencia de excitación sonora para la que se formará una ondaestacionaria en su interior y la posiciń de sus nodos y vientres. La condición para la formación de una ondaestacionaria en un tubo de longitud L con un extremo cerrado es

L = (2n+ 1)λ

4

La menor longitud de onda corresponde para el valor mínimo de n , en este caso n = 0. Por tanto

L =λ

4λ = 4L

λ = 4 0.34

λ = 1.36m

y entonces

f =v

λ=

340ms−1

1.36m= 250Hz

Dado que la primera onda estacionaria en un tubo abierto tiene la forma habrá un nodo al final del tubo

Figure 2.8: Ondas estacionarias en un tubo cerrado

(x = 0.34 m) y un vientre en el otro extremo (x = 0).

Ejercicios resueltos

1. una onda sinusoidal transversal que se desplaza por una cuerda tiene un periodo T = 25.0ms y viajaen la dirección negativa del eje x a una velocidad de 30ms−1.En el instante t = 0s una partícula dela cuerda situada en la posición x = 0mtiene un desplazamiento de 2.0cm y se mueve hacia abajo conuna velocidad de 2ms . Halle la amplitud, la longitud de onda, y el desfase inicial de esta señal.Solución. La onda se describe medainte la expresión

y (x, t) = A cos (ωt+Kx+ Φ)

donde el signo positivo se debe a que viaja en la dirección negativa del eje x. La frecuencia angular ωse obtiene del periodo

ω =2π

T=

2π

25ms=

80πrad

s= 251rad s−1

λ = v T = 30 ms 25 ms 1 s

1000 ms = 0.750 m

41


y de aquí que el nmero de onda

k =2π

λ=

8π

3m−1 = 8.38 m−1

.La amplitud y el desfase se calculan a partir de las condiciones iniciales: de la posición y la velocidadiniciales.La velocidad de desplazamiento de cada punto de la onda es

y = A cos(ωt+ kx+ φ) ⇒ ∂y

∂t= −Aω sen (ωt+ kx+ φ)

y en x = 0 y t = 0.La condición inicialpara la posición es

0.02 m = y0 = A cos(φ)

y la velocidad inicial

−2m

s=∂y

∂t

∣∣∣∣0

= −Aω sen (φ)

Deespejando

A =

√y2

0 +v2

0

ω2= 2.15 cmφ = − arctg

v0/ω

y0= 0.377 rad

con lo que, finalmente, la expresión de la onda es

y (x, t) = 2.15 cos (251.3t+ 8.38x+ 0.377)

2. una perturbación a lo largo de una cuerda se describe mediante la ecuación

y = 0.3 cos(126t− 0.628x)

con x e y medidos en centímetros y t en segundos. Para esta onda, halle su amplitud, frecuenciaangular, periodo, número de onda y longitud de onda.

Solución.

La figura representa una onda viajera medainte una función de onda cosenoidal

Figure 2.9: Representación de una onda viajera

Esta función es una onda viajera correspondiente a la la forma general

y = A cos(ωt− kx) = A cos (k (x− vt))

42


que, por ser de la forma f (x− vt) es una solución de la ecuación de onda. La amplitud de esta onda,A, es el coeficiente que multiplica al coseno. En este caso

A = 0.300 cm

La frecuencia angular, ω, es el coeficiente que precede al tiempo en el argumento del coseno

ω = 126rad

s

A partir de la frecuencia angular se obtiene la frecuencia natural y el periodo

f =ω

2π= 20.0 Hz

T =1

f= 0.050 s = 50.0 ms

El número de onda es la cantidad que multiplica a x en el argumento del coseno

k = 0.628 cm−1 = 62.8 m−1

La longitud de onda se calcula a partir del número de onda

λ =2π

k= 0.100 m = 10.0 cm

La velocidad de avance de la onda es igual a:

v =ω

k=λ

t=

0.100 m

0.050 s= 2.00

m

s

3. una perturbación de una cuerda es de la forma y = 0.200 cos(126t) sen (0.314x) con x e y medidosen centímetros y t en segundos. Demuestre que esta función verifica la ecuación de ondas. ¿Quévelocidad le corresponde?.

Solución nótese que no es una señal que viaje ni hacia la derecha ni hacia la izquierda. Significa quese trata de una onda estacionaria.La solución en la forma más general es

y = A cos(ωt) sen (kx)A = 0.200 cmω = 126 s−1k = 0.314 cm−1

Se trata de demostrar que esta solución cumple una ecuación de la forma

∂2y

∂x2− 1

v2

∂2y

∂t2= 0

con v una constante que debe calcularse. Hallando las dos derivadas parciales segundas. Respecto altiempo

∂y

∂t= −Aω sen (ωt) sen (kx)

∂2y

∂t2= −Aω2 cos(ωt) sen (kx) = −ω2y

Ahora se efectúan las derivadas con respecto a la posición

43


∂y

∂x= −Ak cos(ωt) cos(kx)

∂2y

∂x2= −Ak2 cos(ωt) sen (kx) = −k2y

Sustituyendo en la ecuación de onda

∂2y

∂x2− 1

v2

∂2y

∂t2= −k2y +

ω2

v2y = −

(k2 − ω2

v2

)y

Esta expresión se anula en todo instante y para todos los puntos si la velocidad de las ondas es

k2 − ω2

v2⇒ v =

ω

k

para este caso se cumple que

v =ω

k=

126

0.314

cm

s' 4

m

s

Otra forma de resolver este problema es descomponiendo esta onda estacionaria en suma de ondasviajeras. En general se cumple la siguiente identidad trigonométrica:

sen (a) cos(b) =1

2sen (a+ b) +

1

2sen (a− b)

así que la señal del enunciado puede escribirse como

A cos(ωt) sen (kx) =A

2sen (kx+ ωt) +

A

2sen (kx− ωt)

Nuevamente esta combinación se representa mediante:

A

2sen (k (x+ vt)) +

A

2sen (k(x− vt)) = g(x+ vt) + f(x− vt)v =

ω

k

esto es, que la señal equivale a la suma (superposición) de dos ondas viajeras, una de las cuales vahacia la derecha y la otra hacia la izquierda, ambas con la misma velocidad

v =ω

k

4. Las cuerdas de los pianos están hechas esencialmente de acero ρ = 7.85 g/cm3 tensado. Determine laecuación para la tensión de una cuerda si su diámetro es d y su longitud L y debe producir una nota defrecuencia f . La nota más grave de un piano es la de la subcontraoctava 27.5Hz. Calcule la longitudque debería tener esta cuerda si está hecha de hilo de 1.224mm de diámetro y sometida a una tensiónde 600. ¿Es factible esta longitud? Si la longitud de la cuerda está limitada a 110cm, ¿con qué tensiónhabría que tensar el hilo anterior para producir la misma nota? Si la tensión debe ser 600Ny la longi-tud 110cm, ¿qué grosor debería tener la cuerda para producir esta nota? ¿Cuál es el problema de estegrosor? Si un piano tiene un total de 200 cuerdas, ¿a qué tensión se encuentra la estructura del piano?.

a Solución.general Las ondas estacionarias en una cuerda poseen una longitud de onda

λ =2L

n

44


siendo la longitud correspondiente al modo fundamental el caso n=1,λ = 2L. La frecuenciacorrespondiente a esta longitud de onda es

v =λ

T⇒ f =

1

T=v

λ=

v

2L

Sustituyendo el valor de la velocidad para las ondas en una cuerda vibrante

f =1

2L

√FTµ

A su vez, la densidad lineal de masa de una cuerda se puede expresar en términos de la densidadvolumétrica del material

µ =m

L=ρV

L=ρSL

L= ρS =

πρD2

4

siendo S = πD2/4 la sección transversal del cable, supuesto circular. Llevando esto a la expresiónde la frecuencia se obtiene:

f =1

LD

√FTπρ

Normalmente, lo que se desea conocer es la tensión a la que hay que someter la cuerda paraobtener la frecuencia deseada, lo que nos da la fórmula del afinador de pianos

FT = πρL2D2f2

En la vida real, las cuerdas no se comportan según este modelo tan sencillo y la fórmula seconvierte en

FT = CρL2D2f2

siendo C una constante empírica dependiente del piano y de la cuerda en cuestión. Se mantieneno obstante, el hecho de que la tensión es cuadrática con la frecuencia.

b Longitud necesaria Los siguientes apartados consisten en sustituir en la fórmula anterior.Si se conoce la tensión, la densidad de masa, el diámetro y la frecuencia deseada, la longitudnecesaria será (suponiendo la cuerda ideal)

L =1

fD

√FTπρ

=1

27.5s× 1

1.224× 10−3m×

√600 N

π7.85 (10−3kg)/(10−2 m)3= 4.63 m

Esta longitud es excesiva. Es claro que para construir una cuerda de piano habrá que variar osu tensión o su grosor para que quepa dentro del armazón.

c Tensión necesaria Veamos si puede conseguirse la longitud adecuada cambiando la tensión. Parauna longitud fijada de 1.1m y el resto de los datos iguales que en el apartado anterior, la tensiónnecesaria es

T = πρL2D2f2 = 33.8 N

que es demasiado pequeña equivale a colgar sólo 3.4kg. la cuerda no estaría suficientemente tensay se comportaría de una manera muy poco armónica.

45


d Diámetro preciso,se puee probar a usar una cuerda más gruesa, que tendrá por tanto una mayordensidad lineal de masa.Suponiendo los datos iguales a los de los apartados anteriores con una tensión de 600N y despe-jando el diámtro

D =1

Lf

√FTπρ

= 5.2 mm

Este grosor es excesivo para una cuerda de piano. Medio centímetro es ya una varilla en lugarde una cuerda tensa. El resultado sería una cuerda demasiado rígida y difícil de hacer vibrar.¿Cómo se hacen entonces las cuerdas de piano correspondientes a las notas bajas?. La soluciónes efectivamente aumentar su grosor, pero no a base de usar un cable más grueso ya que estoaumenta su rigidez. En su lugar, alrededor del núcleo de acero se enrolla hilo de cobre, queaumenta el grosor manteniéndolo flexible; es el mismo principio que hace que las cuerdas debajas frecuencias de la guitarra estén forradas.

e Tensión total Este último apartado es simplemente una curiosidad práctica. Los 600N que seobtuvieron es la tensión de cada cuerda del piano, que es soportada por la estructura a la queestá atada. Puesto que un piano tiene del orden de 200 cuerdas (ya que algunas son dobles yotras triples), la tensión total que soporta la estructura es

Ftotal = 600 N× 200 = 120000 N

Esta fuerza es gigantesca, equivale a unas 12btoneladas. El valor es solo indicativo (ya quedepende de la tensión, que podrá ser mayor) y del número de cuerdas. Pero es cierto que elcuerpo de un piano soporta una tensión entre 10 y 20 toneladas. Es por ello que, en el interiorde la cubierta de madera existe una estructura de hierro, que posee la resistencia necesaria.

5. El oído humano percibe sonidos cuyas frecuencias están comprendidas entre 20 y 20000 hertz . Calcularla longitud de onda de los sonidos extremos, si el sonido se propaga en el aire con la velocidad devs = 330ms−1

las longitudes de onda correspondientes a los sonidos extremos que percibe el oído humano serán,respectivamente:

vs = 330ms−1

λ20 =vsf20

=330ms−1

20= 16.5m

λ20kH =vsf20

=330ms−1

20, 000= 0.0165m

6. Un hombre A está situado entre dos altavoces que vibran con la misma frecuencia y en fase. Si lamínima frecuencia a la cual se observa interferencia destructiva es 122Hz. Determinar la velocidadde propagación de las ondas. A qué otras frecuencias se observa interferencia destructiva

Figure 2.10: Interferencia ondas de sonido

46


r1 − r2 =2n+ 1

2λ

3.2− 1.8 =λ

2λ = 2.8m

obsérvese que n = 0 La velocidad de propagacion se calcula medainte la ecuación

λ =v

f

2, 8m =v

122Hzv = 341.6m

47

Chapter 3

Ondas longitudinales

Una onda es una perturbación que avanza o que se propaga en un medio material o incluso en el vacío.A pesar de la naturaleza diversa de las perturbaciones que pueden originarlas, todas las ondas tienen uncomportamiento semejante. El sonido es un tipo de onda que se propaga únicamente en presencia de unmedio que haga de soporte de la perturbación. Los conceptos generales sobre ondas sirven para describir elsonido, pero, inversamente, los fenómenos sonoros permiten comprender mejor algunas de las característicasdel comportamiento ondulatorio.

3.0.0.1 Tipos de ondas

ondas transversales y ondas longitudinales. En función del tipo de soporte que requieren para su propagaciónlas ondas se clasifican en mecánicas y electromagnéticas. Las mecánicas requieren un medio elástico parapropagarse y las electromagnéticas no, se pueden propagar en el vacío.Si se clasifican en función de como vibran respecto a la dirección de propagación se presentan dos casos:las ondas transversales y las longitudinales.

Si las partículas del medio en el que se propaga la perturbación vibran perpendicularmente a la direcciónde propagación las ondas se llaman transversales. Si vibran en la misma dirección se llaman longitudinales.

3.0.1 propagación de una onda en un sólido

La siguiente figura representa una parte infinitesimal de un solido sometidoa una fuerza externa que produceuna perturbación que se propaga a travez de este.

Figure 3.1: Deducción ecuación de onda en un sólido

48

CHAPTER 3. ONDAS LONGITUDINALES

construcción del modelo Aislar una porción del solidoa estudiar: el espesor es dx, suponer que la deformaciónque ocurre en el sólido es tan pequeña como ∆ψ << ∆x,aplicar una fuerza que produce una deformación,supongase que en una sola dirección; por la ley de hooke se tieneLa fuerza neta que actúa sobre la porción es

(F +4F )− F = SY

(∂ψ

∂x

)x+dx

− SY(∂ψ

∂x

)x

= SY∂2Ψ

∂x

SY∂2Ψ

∂x2= ρS

∂2Ψ

∂t2

v =

√Y

ρ

3.0.2 Velocidad del sonido en un gas

La dedución de la fórmula de la velocidad del propagación del sonido en un gas, es similar al de las ondasen una barra elástica, pero con una diferencia importante. Los gases son muy comprensibles y su densidadcambia al modificarse la presión.

Considerése el problema en dos partes la deformación del elemento de volumen que estaba inicialmente enla posición x, y su desplazamiento Y .La siguiente figura representa la deformación del elemento de volumen.

Figure 3.2: Onda de presión en un gas

La masa de gas contenida en el elemento de volumen, es la misma antes y después de la deformación.

ρS (dx+ dΨ) = ρ0Sdx

ρ =ρ0

1 +∂Ψ

∂x

ρ− ρ0 ≈ −ρ0∂Ψ

∂x

Si ρ es la densidad del gas antes de pasar la perturbación, la densidad del elemento perturbado es ρ.Obsérvese que se trata de una derivada parcial que ψ es una función de dos variables x (posición) y t(tiempo), y que el término que se suma a la unidad en el denominador es muy pequenõ por lo que podemosaproximarlo usando el desarrollo del binomio de Newton 1 + x)−1≈1− xcuandox << 1

3.0.2.1 Ecuación de estado

La presión es una función de la densidad. Dado que la diferencia de presión p respecto de la de equilibriop0 es muy pequenã puede hacerse la siguiente aproximación

p = p0 + (ρ− ρ0)

(∂p

∂ρ

)0

49

CHAPTER 3. ONDAS LONGITUDINALES

lo que simplifica el resultado.

La temperatura en una onda sonora no permanece constante. El gas localizado en una región de compresiónestá levemente más caliente que su temperatura de equilibrio. En las regiones vecinas, el gas está rarificado(el gas se ha expansionado), y su temperatura es ligeramente inferior a la de equilibrio. Medio periododespués, la región que estaba comprimida pasa a estar expandida, y así sucesivamente.

• A bajas frecuencias, el tiempo disponible entre sucesivas variaciones de la temperatura para que sepueda establecer el equilibrio térmico es grande, sin embargo, la longitud de las regiones es tambiéngrande. Por ejemplo, f=100 Hz, el periodo es T = 0.01s, y la longitud de onda es = 340/100 = 3.4m

• A altas frecuencias, el tiempo disponible entre sucesivas variaciones de la temperatura para quese pueda establecer el equilibrio térmico es pequenõ, sin embrago, la longitud de las regiones estambién pequenã. Por ejemplo, f = 10000Hz, el periodo es T = 0.0001s, y la longitud de onda es= 340/10000 = 0.034m.

Newton supuso que la relación entre la presión y el volumen era la ley de Boyle, es decir, que la transfor-mación era isoterma. En los libros de texto, se emplea una transformación adiabática argumentándose queno hay tiempo suficiente para que el calor fluya desde las regiones comprimidas (temperatura más alta) alas expandidas (temperatura más baja). Antes de que esto suceda, medio periodo después, la región queestaba comprimida pasa a estar expandida, y así sucesivamente. Esta argumentación, equivocadamente,nos sugiere que a altas frecuencias las ondas sonoras son más adiabáticas que a bajas frecuencias.La solución se encuentra en la teoría de la absorción y dispersión de ondas sonoras elaborada por Kirchhoff,Langevin y otros, la velocidad del sonido depende de la frecuencia. A bajas frecuencias, la velocidad delsonido se aproxima a la deducida suponiendo una transformación adiabática pV γ = cte y a altas frecuencias,la velocidad del sonido se aproxima a la deducida utilizando la ecuación de la trasformación isoterma pV=cte.(Véase el segundo artículo citado en las referencias)La relación entre la presión y el volumen en una transformación adiabática es:

P0Vγ0 = PV γ

La diferencia de presión p respecto de la de equilibrio p0 es

p = p0 −∂ψ

∂xγP0

La relación entre la presión y el volumen en una transformación adiabática es:

p0Vγ0 = pV γ (3.1)

como la densidad es el inverso del vilumen se tienep0

ργ0=

p

ρδ

P =p0ρ

γ

ργ0dP

dρ

)0

= γp0

ρ0

La diferencia de presión p respecto de la de equilibrio p0es

p = p0 −∂Ψ

∂xγp0

ρ0

dp

dx= −∂

2Ψ

∂x2γp0

ρ0

50

3.1. EL SONIDO Y SU PROPAGACIÓN CHAPTER 3. ONDAS LONGITUDINALES

3.0.2.2 Desplazamiento del elemento de volumen

Ahora se modela el movimiento del volumen elemental que contiene una masa (densidad por volumen)ρ0A · dx. El gas a la izquierda del elemento de volumen lo empuja hacia la derecha con una fuerza pS y elgas que está a la derecha lo empuja hacia la izquierda con una fuerza p′S. Por tanto, la fuerza resultanteen la dirección +X

F − F ′ = dF = (p− p′)S = −Sdp

−Sdp = −∂2Ψ

∂x2γp0

ρ0dx

Aplicando la segunda ley de Newton, fuerza igual a masa contenida en el elemento de por aceleración(derivada segunda del desplazamiento).

dF = ρSdx∂2Ψ

∂t2

Igualando ambas expresiones de la fuerza tenemos, la ecuación diferencial del movimiento ondulatorio

∂2Ψ

∂x2γp0

ρ0=∂2Ψ

∂t2(3.2)

La velocidad de propagación v.es

v =

√γp0

ρ0(3.3)

3.1 El sonido y su propagación

Las ondas que se propagan a lo largo de un resorte como consecuencia de una compresión longitudinal delmismo constituyen un modelo de ondas mecánicas que se asemeja bastante a la forma en la que el sonidose genera y se propaga. Las ondas sonoras se producen también como consecuencia de una compresión delmedio a lo largo de la dirección de propagación. Son, por tanto, ondas longitudinales.

Las ondas sonoras se representan medainte de variaciones de presión en diversos puntos. En una ondasonora senoidal en aire, la presión fluctúa por arriba y por debajo de la presión atmosférica pa en formasenoidal con la misma frecuencia que los movimientos de las partículas de aire. El oído humano funcionadetectando tales variaciones de presión. Una onda sonora que entra en el canal auditivo ejerce una presiónfluctuante sobre un lado del tímpano; el aire del otro lado, comunicado con el exterior por la trompa deEustaquio, está a presión atmosférica. La diferencia de presión entre ambos lados del tímpano lo pone enmovimiento. Los micrófonos y dispositivos similares por lo regular también detectan diferencias de presión,no desplazamientos, así que resulta muy útil establecer una relación entre estas dos descripciones. Seap (x, t)la fluctuación de presión instantánea en una onda sonora en cualquier punto x en el instante t. Estosignifica que p (x, t) es la cantidad en que la presión difiere de la presión atmosférica normal pa. Supóngasep (x, t) como la presión manométrica : puede ser positiva o negativa. La presión absoluta en un punto esentonces pa + p (x, t)

Para ver el vínculo entre la fluctuación de presión p (x, t) y el desplazamiento y (x, t) en una onda sonoraque se propaga en la dirección ox, considere un cilindro imaginario de un material (gas, líquido, sólido) conárea transversal s y su eje a lo largo dela dirección de propagación . Si no está presente una onda sonora,el cilindro tiene longitud dx y volumen V = Sdx, como se muestra en la siguiente figuraSi una onda está presente, al tiempo t el extremo del cilindro que estaba en x tiene un desplazamiento dadopor y1 = y (x, t), y el extremo que estaba en x+4x se desplaza y2 = y (x+4x, t). Si y2 > y1 el volumen del

51


Figure 3.3: Onda de sonido

cilindro aumentó, originando una disminución de la presión. , el volumen disminuyó, y la presión aumentó.Si y2 = y1, el cilindro simplemente se desplazó a la izquierda o a la derecha; no hay cambio de volumen nifluctuación de presión.La fluctuación de presión depende de la diferencia entre el desplazamiento de puntos vecinos del medio.Lasiguiente ecuacion describe como es el cambio de volumen:

4V = S (y2 − y1) = S [y (x+4x, t)− y (x, t)] (3.4)

Tomando el limite cuabdo 4x→ 0, el cambio de la relacion de volunendV

Ves

dV

V= limx→0

(S [y (x+4x, t)− y (x, t)]

S4x) =

∂y (x, t)

∂x

Esta razón de cambio fraccional del volumen se realciona con elcambio de presión en la atmosfera medianteel modulo de comprensibilida volumétrico Bque se define medainte la ecuación

B = −p (x, t)dVV

despejando se obtiene:

p (x, t) = −B∂y (x, t)

∂x

el signo negativo se debe a ∂y(x,t)∂x es positivo y un aumento en el volumen significa una disminucion en la

presion y viceversa.

Al calcular∂y (x, t)

∂xse obtiene

−B∂y (x, t)

∂x= −B ∂

∂xA cos (kx− ωt)

−B∂y (x, t)

∂x= BkA sin (kx− ωt)

p (x, t) = BkA sin (kx− ωt)

Nota Obsérvese que la onda de presión es una función senosoidal y la onda de sonido una funcioncosenoidal, esto significa que estan desfasadas noventa grados.

3.1.1 Cualidades del sonido

El oído es capaz de distinguir unos sonidos de otros porque es sensible a las diferencias que puedan existirentre ellos en lo que concierne a alguna de las tres cualidades que caracterizan todo sonido y que son laintensidad, el tono y el timbre. Aun cuando todas ellas se refieren al sonido fisiológico, están relacionadascon diferentes propiedades de las ondas sonoras.

52


3.1.1.1 Intensidad

La intensidad del sonido percibido, o propiedad que hace que éste se capte como fuerte o como débil, estárelacionada con la intensidad de la onda sonora correspondiente, también llamada intensidad acústica. Laintensidad acústica es una magnitud que da idea de la cantidad de energía que está fluyendo por el mediocomo consecuencia de la propagación de la onda.

Se define como la energía que atraviesa por segundo una superficie unidad dispuesta perpendicularmente ala dirección de propagación. Equivale a una potencia por unidad de superficie y se expresa en W/m2. Laintensidad de una onda sonora es proporcional al cuadrado de su frecuencia y al cuadrado de su amplitudy disminuye con la distancia al foco.

La magnitud de la sensación sonora depende de la intensidad acústica, pero también depende de la sensibil-idad del oído. El intervalo de intensidades acústicas que va desde el umbral de audibilidad, o valor mínimoperceptible, hasta el umbral del dolor.

La intensidad fisiológica o sensación sonora de un sonido se mide en decibelios (dB). Por ejemplo, el umbralde la audición está en 0 dB, la intensidad fisiológica de un susurro corresponde a unos 10 dB y el ruidode las olas en la costa a unos 40 dB. La escala de sensación sonora es logarítmica, lo que significa que unaumento de 10dB corresponde a una intensidad 10 veces mayor por ejemplo, el ruido de las olas en la costaes 1.000 veces más intenso que un susurro, lo que equivale a un aumento de 30dB.

Debido a la extensión de este intervalo de audibilidad, para expresar intensidades sonoras se emplea unaescala cuyas divisiones son potencias de diez y cuya unidad de medida es el decibelio (dB).La conversión entre intensidad y decibelios sigue esta ecuación:

N (db) = 10 log

(I

I0

)(3.5)

donde I0 = 10−12watt

m2corresponde a un nivel de 0 decibelios. Por ejmplo si el umbral de dolor corrresponde

a 1watt

m2el nivel de intensidad es:

N (db) = 10 log

I

10−12watt

m2

N (db) = 10 log

1watt

m2

10−12watt

m2

N (db) = 10 log

(1012

)N (db) = 120 log (10)

N (db) = 120

Esto significa que una intensidad acústica de 10decibelios corresponde a una energía diez veces mayor queuna intensidad de cero decibelios; una intensidad de 20 dB representa una energía 100 veces mayor que laque corresponde a 0 decibelios y así sucesivamente.

La intensidad debida a un número de fuentes de sonido independientes es la suma de las intensidadesindividuales.

53

3.2. EFECTO DOPPLER CHAPTER 3. ONDAS LONGITUDINALES

Ejemplo ¿Cuántos decibelios mayor es el nivel de intensidad cuando cuatro niños lloran que cuando llorauno?

Ejemplo Si un espectador de un partido de futbol puede animar a su equipo oyéndose su sonido en elcentro de la pista a 80dB, ¿Qué marcará un sonómetro en un encuentro con 10000 hinchas del equipo rival.TonoEl tono es la cualidad del sonido mediante la cual el oído le asigna un lugar en la escala musical, permi-tiendo, por tanto, distinguir entre los graves y los agudos. La magnitud física que está asociada al tono es lafrecuencia. Los sonidos percibidos como graves corresponden a frecuencias bajas, mientras que los agudosson debidos a frecuencias altas. Así el sonido más grave de una guitarra corresponde a una frecuencia de82,4 Hz y el más agudo a 698,5 hertzs.

No todas las ondas sonoras pueden ser percibidas por el oído humano, el cual es sensible únicamente aaquellas cuya frecuencia está comprendida entre los 20 y los 20 000 Hz. En el aire dichos valores extremoscorresponden a longitudes de onda que van desde 16 metros hasta 1,6 centímetros respectivamente. Engeneral se trata de ondas de pequeña amplitud. Aquí se observa perfectamente:TimbreEl timbre es la cualidad del sonido que permite distinguir sonidos procedentes de diferentes instrumentos,aun cuando posean igual tono e intensidad. Debido a esta misma cualidad es posible reconocer a unapersona por su voz, que resulta característica de cada individuo.Pocas veces las ondas sonoras corresponden a sonidos puros, sólo los diapasones generan este tipo de sonidos,que son debidos a una sola frecuencia y representados por una onda armónica. Los instrumentos musicales,por el contrario, dan lugar a un sonido más rico que resulta de vibraciones complejas. Cada vibracióncompleja puede considerarse compuesta por una serie de vibraciones armónico simples de una frecuencia yde una amplitud determinadas, cada una de las cuales, si se considerara separadamente, daría lugar a unsonido puro. Esta mezcla de tonos parciales es característica de cada instrumento y define su timbre.

3.2 Efecto Doppler

Las observacines muestran cómo el tono de las sirenas de las ambulancias, de los bomberos o de la policía,cambia a medida que el auto se nos acerca. La frecuencia es mayor a medida que el auto se nos acerca, luego,cambia súbitamente a una frecuencia menor a medida que se aleja. Este fenómeno es conocido como elEfecto Doppler. (La frecuencia es el número de vibraciones completas por segundo medidas en una posiciónfija).Casos:

1. bservador acercándose a una fuente supóngse un observador O se mueve con una velocidad vo , quetiene una dirección y sentido hacia una fuente de sonido S que se encuentra en reposo. El medioes aire y también se encuentra en reposo. La fuente emite un sonido de velocidad v, frecuenciaf , y longitud de onda λ, Por lo tanto, la velocidad de las ondas respecto del observador no será vsino la siguiente:v′ = v + vo Sin embargo, no debemos olvidar que como la velocidad del medio nocambia, la longitud de onda será la misma, por lo tanto, si: v = f · λ ⇒ f = v

λ . Al acercarse elobservadoe hacia la fuente oirá un sonido más agudo, esto implica que su frecuencia es mayor. A estafrecuencia mayor captada por el observador se la denomina frecuencia aparente, que la denominamos

f ′. f ′ = v′

λ = v+voλ = v

λ + voλ = f + vo

λ = f ·(

1 + vof ·λ

)= f ·

(1 + vo

v

)El observador escuchará un

sonido de mayor frecuencia debido a que (1 +

v0

v

)≥ 1 (3.6)

54


2. Ahora el observador se aleja de la fuente:

v′ = v − vo

Supóngse un observador O se aleja de la fuente de sonido con una velocidad vo , con dirección ysentido alejándose ede la fuente de sonido S que se encuentra en reposo. El medio es aire y tambiénse encuentra en reposo. La fuente emite un sonido de velocidad v, frecuencia f , y longitud de onda λ,Por lo tanto, la velocidad de las ondas respecto del observador no será v sino la siguiente:v′ = v − voSin embargo, debe olvidarse que como la velocidad del medio no cambia, la longitud de onda será lamisma, por lo tanto, si:

v′ = v − v0 (3.7)

f ′ =v − v0

λ(3.8)

f ′ =v

λ− v0

λ(3.9)

f ′ = f − v0

λ(3.10)

f − v0

λ= f

(1− v0

fλ

)(3.11)

f ′ = f(

1− v0

v

)(3.12)

Al alejarse el observadoe hacia la fuente oirá un sonido menos agudo, esto implica que su frecuenciaes menor. A esta frecuencia menor captada por el observador se la denomina frecuencia aparente f ′.El observador escuchará un sonido de menor frecuencia debido a que(

1− vov

)< 1

3. El caso general se presenta cuando la fuente del sonido y el observador se mueven simultáneamente.Este fenómeno se modelamediante la sigueinte ecuacuón:

fo = ffv ± vov ∓ vf

(3.13)

• Si la fuente y el observador se dirigen el uno hacia el otro• Si la fuente y el observador se mueven alejandose el uno del otro

En la figura de abajo dibujo se puede ilustrar este efecto. La fuente sonora se mueve hacia la derecha, conuna cierta velocidad, emitiendo ondas que se propagan en círculos centrados en la posición de la fuente losobservadores están ubicados uno adelante y otro atrás de la fuente en el momento que se generan las ondas.

La frecuencia de la fuente sonora no cambia, pero cuando la fuente se acerca hacia el observador de ade-lante, más ondas se acumulan entre ellos. La longitud de onda se acorta. Aunque la velocidad del sonidono cambia, la frecuencia del sonido detectado aumenta.

En cambio, cuando la fuente se aleja del detector (de la persona que está detrás), la longitud de ondaaumenta y la frecuencia detectada es menor. El efecto Doppler también se presenta si la fuente se encuentraestacionaria, y el detector está en movimiento.Si la fuente emisora está detenida (sin movimiento) ambos observadores percibirán la misma frecuencia enla misma longitud de onda.

55


Figure 3.4: Efecto Doppler

Si la fuente emisora se mueve hacia adelante las ondas se juntan (se acortan) aumentando la frecuencia.Para el observador de atrás, las ondas se alargan (se separan), disminuyendo la frecuencia.

El efecto Doppler posee muchas aplicaciones. Los detectores de radar lo utilizan para medir la rapidez delos automóviles y de las pelotas en varios deportes. Los astrónomos utilizan el efecto Doppler de la luzde galaxias distantes para medir su velocidad y deducir su distancia. Los médicos usan fuentes de ultra-sonido para detectar las palpitaciones del corazón de un feto; los murciélagos lo emplean para detectar ycazar a un insecto en pleno vuelo. Cuando el insecto se mueve más rápidamente que el murciélago, la fre-cuencia reflejada es menor, pero si el murciélago se está acercando al insecto, la frecuencia reflejada es mayor.

El caso general se presenta cuando la fuente del sonodo y el observador se mueven simultáneamente. Estefenómeno se modelamediante la sigueinte ecuacuón:

fo = ffv ± vov ∓ vf

(3.14)

Ejemplo UN radio emite un sonido con frecuencia de 440 Hz,un observador camina hacia el radio convelocidad de 20m/s. Calcular : ¿con qué frecuencia recibe el sonido el receptor? Analicemos los datos quetenemos:fo = x (desconocida): frecuencia que percibe el observadorff = 440Hz: frecuencia real que emite la fuentev = 343m/s: velocidad del sonidovo = 20m/s: velocidad del observador (con signo + ya que se acerca a la fuente)vf = 0: velocidad de la fuente (fuente en reposo)Utilizr la fórmula general y colocar los valores de interés:

56

Chapter 4

MECANICA DE FLUIDOS

4.1 Estados de la materia

States of matter Los átomos hacen que toda la materia en el universo se organice a sí misma en diferentesformas o estados, por ejemplo las rocas , el agua, las galaxias, los aŕboles o los organís smos humanos. Losdiferentes átomos interactúan de diferentes maneras para formar la materia. Cuando los átomos de unasustancia interactúan de forma que nose mueven mucho y están ocupando en promedio la misma posición.Se organizan a sí mismos en patrones geométricos minimizando sus interaciones energéticas, estos patronesse repiten a travez de la sustancia y estas repeticiones se denominan cristales.Los átomos de una sustanciapueden tambien organizarse a ellos mismos de tal manera que presentan otras configuraciones de energía, lascuales no son ordenadas y no muestran patrones repetitivos aún cuando los átomos no se estan moviendorelativamente entre ello mucho. En este caso la sustancia es no cristalina y se le denomina amorfa.No

Figure 4.1: Sólido cristalino

obstante los materiales cristalinos y amorfos son sólidos. Las fuerzas de enlace entre los átomos de unsólido son lo suficienteménte fuertes para que el sólido conserve su forma. Cundo los enlaces son ddbileslos átomos o las moléculs no ocupan posiciones fijas y tienden a moversen aleatoriamente, esos materialesson llamados fluidos.Los Líquidos y gases son fluidos.En un líquido las fuerzas de enlace entre las moléculason lo suficienteménte fuertes para hacer que el lquido se mantenga junto, pero los suficientemente débilpara permitir que fluya.Las moléculas de un gas de otra parte estan en constante moviemiento aleatorioe interactuan entre estas durante intervalos muy cortos de tiemoi. De modo que las moléculas de un gasno estan enlazadas entre ellas.Una particularidad de los gases es que se expanden y llenan cualquier volumen.

La parte de la Física que se ocupa de la acción de los fluidos en reposo o en movimiento, así como delas aplicaciones y mecanismos de ingeniería que utilizan fluidos. La mecánica de fluidos es fundamentalen campos tan diversos como la aeronáutica, la ingeniería química,civil e industrial, la meteorología, las

57

4.1. ESTADOS DE LA MATERIA CHAPTER 4. MECANICA DE FLUIDOS

construcciones navales y la oceanografía.

La mecánica de fluidos puede subdividirse en dos campos principales: La estática de fluidos, o hidrostática,quese ocupa de fluidos en reposo, y la dinámica de fluidos, que trata de fluidos en movimiento. El términode hidrodinámica se aplica al flujo de líquidos o al flujo de los gases a baja velocidad, en el que puedeconsiderarse que el gas es esencialmente incompresible. La aerodinámica,o dinámica de gases, se ocupa delcomportamiento de los gases cuando los cambios de velocidad y presión son suficientemente grandes paraque sea necesario incluir los efectos de compresibilidad.

Entre las aplicaciones de la mecánica de fluidos están la propulsión a chorro, las turbinas, los compresoresy las bombas. La hidráulica estudia la utilización en ingeniería de la presión del agua o del aceite.Losestudiosos de los fluidos lo sintetizarian como:

• flujos libres

• flujos a presión

4.1.1 Conceptos inherentes

Se percibe en un muy importante porcentaje del alumnado gran dificultad para evaluar conceptualmentela simbología que se utiliza como lenguaje obligado de las ecuaciones básicas de la Mecánica del Continuo.Por ello se hace énfasis en el análisis de conceptos básicos como el enfoque vectorial con una interpretaciónfísica que posibilite comprender su utilidad en la formulación básica de la mecánica de fluidos.

Es destacable el hecho que en general el equilibrio de fuerzas es un concepto rector de la física aplicada.En particular en fluidos, dos de sus cuatro ecuaciones fundamentales están relacionadas con el equilibrio delas fuerzas dinámicas mientras que una tercera, basada en el principio de la conservación de la masa, estáampliamente vinculada con los conceptos básicos del enfoque vectorial.

Por otra parte, la invariancia de las expresiones en notación vectorial, es decir su independencia del sistemade coordenadas, es otra virtud que amerita su uso generalizado. Conocida la expresión, su utilización en elsistema de coordenadas más adecuado a cada aplicación, no sólo brinda una concepción general y ampliadel conocimiento de la misma, sino que además implica una fácil adaptación al sistema elegido.

4.1.1.1 Energía interna

La energía interna se define como la energía asociada con el movimiento aleatorio y desordenado de lasmoléculas. Está en una escala separada de la energía macroscópica ordenada, que se asocia con los objetosen movimiento. Se refiere a la energía microscópica invisible de la escala atómica y molecular. Por ejemplo,un vaso de agua a temperatura ambiente sobre una mesa, no tiene energía aparente, ya sea potencial ocinética. Pero en escala microscópica, es un hervidero de moléculas de alta velocidad que viajan a cientosde metros por segundo. Si el agua se tirase por la habitación, esta energía microscópica no sería cambiadanecesariamente por la superimposición de un movimiento ordenada a gran escala, sobre el agua como untodo.

4.1.1.2 característica de un fluido

sustancia capaz de fluir, el término comprende líquidos y gases. Volumen (V): En matemáticas, medidadel espacio ocupado por un cuerpo sólido. El volumen se mide en unidades cúbicas, como metros cúbicoso centímetros cúbicos en el sistema métrico decimal de pesos y medidas. El volumen también se expresa a

58


veces en unidades de medida de líquidos, como litros: 1 litro = 1 dm3 Densidad ρrelación entre la masa my el volumen que ocupa.

ρ =m

V

Peso específicoγ =

w

V

la anterior ecuacion describe el peso específico que es la relación entre el peso w y el volumen que ocupa.

Presión La presión (p) en cualquier punto es la razón de la fuerza normal, ejercida sobre una pequeñasuperficie, que incluya dicho punto.

P =F

A

En la mecánica de los fluidos, fuerza por unidad de superficie que ejerce un líquido o un gas perpendicular-mente a dicha superficie. La presión suele medirse en atmósferas (atmósfera); en el Sistema Internacionalde unidades (SI), la presión se expresa en newton por metro

P =F

A

[N ]

[m2]

: La atmósfera se define como 101.325Pa, y equivale a 760mm de mercurio en un barómetro convencional.

4.1.1.3 Cálculo de la presión atmosférica

como la presión atmosférica se define como la fuerza por unidad de área. Torriceli empleo el siguiente mtodopara medir la presiń atmosférica: utilizando una cubeta y un tubo de secciń transversa pequeña comparadacon la longitud de este virtio un líquido en la cubeta previamente con el mismi líquido, de tal manera queel líquido quedará atrapado dentro del tubo. La columna del líquido utilizado dentro del tubo cambia sualtura dependiendo de la altura geográfica. La presión soportada por el tubo es:

F

A=

ρgV

A(4.1)

Patm =ΓAh

A(4.2)

Patm = Γh (4.3)

donde Gamma es el peso especifico del liquido y h es la altur del liquido dentro del tubo.Si el fluido utlizadoes mercurio (Hg) cuya densida es de 13600kg por cada metro cúvico. se obtiene un valor par a la presionatmosférica de aproximadamente 100KPa

4.1.2 Estática de fluidos o hidrostática

Una característica fundamental de cualquier fluido en reposo es que la fuerza ejercida sobre cualquierpartícula del fluido es la misma en todas direcciones. Si las fuerzas fueran desiguales, la partícula sedesplazaría en la dirección de la fuerza resultante. Del diagrama de cuerpo libre se tiene que la presión enla superficie inferior p; la componete y de la fuerza total hacia arriba sobre esa superficie es pA. La presiónen la superficie superior es p+dp,el peso del elemento de volumen es ρgA∆y y la componente y de la fuerzatotal (hacia abajo) sobre esta superficie es

− (p+ dp)A+ pA− ρgA∆y

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Figure 4.2: La presion de la columna del líquid se equilibra con la presión atmosférica

Figure 4.3: Fuerzas sobre un fluido en reposo

− (p+ dp)A. El elemento del fluido está en equilibrio, así que la componente y de la fuerza total, incluidoel peso y las fuerzas en las superficies de arriba y de abajo, debe ser 0:∑

Fy = 0

− (p+ dp)A− ρgA∆y = 0

Si se divide entre el área A, se obtiene:dp

dy= −ρg

Esta ecuación indica que a medida que y aumenta, osea al subir en el fluido, la presión disminuye. Si p1 yp2 son las presiones en las alturas y1, y2, y si ρ g son constantes, entonces

p2 − p1 = Γ (y1 − y2)

donde Γ es el peso específico del fluido y la ecuación modela la presión en un fluido de densidad uniforme.Suele ser útil expresar esta ecuación en términos de la profundidad bajo la superficie de un fluido. Tómeseel punto 1 en cualquier nivel en el fluido y sea p la presión en ese punto. Tómese el punto 2 en la superficiedel fluido, donde la presión es p0. La profundidad del punto 1 es h = y2 − y1, entonces:

p0 − p = −ρg (y2 − y1)− ρgh (4.4)

60


p0 − p = −ρgh (4.5)

Finalmente:La presión p a una profundidad h es mayor que la presión p0 en la superficie en una cantidadρgh

p = p0 + ρgh (4.6)

Obsérve que la presión es la misma en dos puntos situados en el mismo nivel en el fluido. La formadel recipiente no importa. Si aumentamos la presión p0 en la superficie, tal vez usando un pistón queajusta exactamente con el recipiente para empujar contra la superficie del fluido, la presión p a cualquierprofundidad aumenta en la misma cantidad. De ello se deduce que la fuerza por unidad de superficie(Presión) que el fluido ejerce contra las paredes del recipiente que lo contiene, sea cual sea su forma,es perpendicular a la pared en cada punto. Si la presión no fuera perpendicular, la fuerza tendría unacomponente tangencial no equilibrada y el fluido se movería a lo largo de la pared. Este concepto se conocecomo

4.1.2.1 principio de Pascal

La presión aplicada a un fluido contenido en un recipiente se transmite íntegramente a toda porción dedicho fluido y a las paredes del recipiente que lo contiene,siempre que se puedan despreciar las diferenciasde presión debidas al peso del fluido. Este principio tiene aplicaciones muy importantes en hidráulica.

4.1.2.2 La superficie de los líquidos

La superficie superior de un líquido en reposo situado en un recipiente abierto siempre será perpendiculara la fuerza total que actúa sobre ella. Si la gravedad es la única fuerza, la superficie será horizontal. Siactúan otras fuerzas además de la gravedad, la superficie libre se ajusta a ellas. Por ejemplo, si se hacegirar rápidamente un vaso de agua en torno a su eje vertical, habrá una fuerza centrífuga sobre el aguaademás de la fuerza de la gravedad, y la superficie formará una parábola que será perpendicular en cadapunto a la fuerza resultante. Cuando la gravedad es la única fuerza que actúa sobre un líquido contenido enun recipiente abierto, la presión en cualquier punto del líquido es directamente proporcional al peso de lacolumna vertical de dicho líquido situada sobre ese punto. El peso es a su vez proporcional a la profundidaddel punto con respecto a la superficie, y es independiente del tamaño o forma del recipiente. La presiónvaría con la altura.

P = Patm + γh

Así, la presión en el fondo de una tubería vertical llena de agua de 1 cm de diámetro y 15 m de altura esla misma que en el fondo de un lago de 15 m de profundidad. La superficie de los líquidos Veamos otroejemplo: La masa de una columna de agua de 30 cm de altura y una sección transversal de 6.5cm2 es de195 g, y la fuerza ejercida en el fondo será el peso correspondiente a esa masa. Una columna de la mismaaltura pero con un diámetro 12 veces superior tendrá un volumen 144 veces mayor, y pesará 144 veces más,pero la presión, que es la fuerza por unidad de superficie, seguirá siendo la misma, puesto que la superficietambién será 144 veces mayor. La presión en el fondo de una columna de mercurio de la misma altura será13,6 veces superior, ya que el mercurio tiene una densidad 13,6 veces superior a la del agua.

4.1.2.3 Principio de Arquímedes

El segundo principio importante de la estática de fluidos fue descubierto Arquímedes. Cuando un cuerpoestá total o parcialmente sumergido en un fluido en reposo, el fluido ejerce una presión sobre todas laspartes de la superficie del cuerpo que están en contacto con el fluido. La presión es mayor sobre las partessumergidas a mayor profundidad. La resultante de todas las fuerzas es una dirigida hacia arriba y llamadael empuje sobre el cuerpo sumergido. Un cuerpo total o parcialmente sumergido en un fluido es empujado

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hacia arriba con una fuerza que es igual al peso del fluido desplazado por dicho cuerpo. Empuje y fuerzaascencional:

B = ρ.g.Vd

La fuerza de empuje se relaciona con la fuerza ascencionalque puede escribirse como:

Fa = ρgVd −mg (4.7)

El Principio de Arquímedes explica por qué flota un barco muy cargado; su peso total es exactamente igualal peso del agua que desplaza, y ese agua desplazada ejerce la fuerza hacia arriba que mantiene el barcoa flote. El punto sobre el que puede considerarse que actúan todas las fuerzas que producen el efecto deflotación se llama centro de flotación, y corresponde al centro de gravedad del fluido desplazado. El centrode flotación de un cuerpo que flota está situado exactamente encima de su centro de gravedad. Cuantomayor sea la distancia entre ambos, mayor es la estabilidad del cuerpo.

Mg −Mapag = Γliquid Vobj (4.8)

La fuerza de empuje hidrostático sobre un objeto sumergido, es igual al peso del líquido desalojado porel objeto. Para el agua, con una densidad de un gramo por centÃŋmetro cÃžbico, esto proporciona unamanera conveniente de determinar el volumen de un objeto con forma irregular, y por tanto determinarluego su densidad. Por ejemplo si se tiene una corona de oro que tiene una masa de 440g y se pesa dentrodel agua se encuentra que su peso aparente es de 400g fuerza para determinar su densidad se ejecuta el porejemplo si se tiene una fcorona de oro que tiene una masa de 440g y se pesa dentro del agua se encuentraque su peso aparente es de 400g fuerza para determinar su densidad se ejecuta el siguiente proceso

440gramfuerza− 400gramfuerza =1gram

cm3 Vobje

31gram

1gram cm3 = Vobje

por consiguiente la densidad del objeto (de oro) es

m

V=

440gram

31cm3= 14, 19

gram

cm3

4.1.2.4 Densidad

La densidad puede obtenerse de varias formas. Por ejemplo, para objetos macizos de densidad mayor queel agua, se determina primero su masa en una balanza, y después su volumen; éste se puede calcular através del cálculo si el objeto tiene forma geométrica, o sumergiéndolo en un recipiente calibrando, conagua, y viendo la diferencia de altura que alcanza el líquido. La densidad es el resultado de dividir la masapor el volumen. Para medir la densidad de líquidos se utiliza el densímetro, que proporciona una lecturadirecta de la densidad. El principio de Arquímedes permite determinar la densidad de un objeto cuyaforma es tan irregular que su volumen no puede medirse directamente. Si el objeto se pesa primero en airey luego en agua, la diferencia de peso será igual al peso del volumen de agua desplazado, y este volumenes igual al volumen del objeto, si éste está totalmente sumergido. Así puede determinarse fácilmente ladensidad del objeto. Si se requiere una precisión muy elevada, también hay que tener en cuenta el pesodel aire desplazado para obtener el volumen y la densidad correctos. Densidad relativa ρr: es la relaciónentre la densidad de un cuerpo y la densidad del agua a4gradoscecius que se toma como unidad. Como uncentímetro cúbico de agua a 4 grados celcius tiene una masa de1 gramo , la densidad relativa de la sustanciaequivale numéricamente a su densidad expresada en gramos por centímetro cúbico. La densidad relativa notiene unidades.

62


4.1.2.5 Manómetros

La mayoría de los medidores de presión, o manómetros, miden la diferencia entre la presión de un fluido y lapresión atmosférica local. Para pequeñas diferencias de presión se emplea un manómetro que consiste en untubo en forma de U con un extremo conectado al recipiente que contiene el fluido y el otro extremo abiertoa la atmósfera. El tubo contiene un líquido, como agua, aceite o mercurio, y la diferencia entre los nivelesdel líquido en ambas ramas indica la diferencia entre la presión del recipiente y la presión atmosférica local.Para diferencias de presión mayores se utiliza el manómetro de Bourdon, este manómetro está formado porun tubo hueco de sección ovalada curvado en forma de gancho. Los manómetros empleados para registrarfluctuaciones rápidas de presión suelen utilizar sensores piezoeléctricos o electrostáticos que proporcionanuna respuesta instantánea. Como la mayoría de los manómetros miden la diferencia entre la presión delfluido y la presión atmosférica local, hay que sumar ésta última al valor indicado por el manómetro parahallar la presión absoluta. Una lectura negativa del manómetro corresponde a un vacío parcial.

Las presiones bajas en un gas (hasta unos 10-6 mm de mercurio de presión absoluta) pueden medirse conel llamado dispositivo de McLeod, que toma un volumen conocido del gas cuya presión se desea medir,locomprime a temperatura constante hasta un volumen mucho menor y mide su presión directamente con unmanómetro. La presión desconocida puede calcularse a partir de la ley de Boyle-Mariotte. Para presionesaún más bajas se emplean distintos métodos basados en la radiación, la ionización o los efectos moleculares.Rango de presiones Las presiones pueden variar entre 10−2 mm y 10−8 de mercurio de presión absolutaen aplicaciones de alto vacío, hasta miles de atmósferas en prensas y controles hidráulicos. Con finesexperimentales se han obtenido presiones del orden de millones de atmósferas, y la fabricación de diamantesartificiales exige presiones de unas 70.000 atmósferas, además de temperaturas próximas a los 3000 gradoscelcius En la atmósfera, el peso cada vez menor de la columna de aire a medida que aumenta la altitud haceque disminuya la presión atmosférica local. Así, la presión baja desde su valor de 101.325 Pa al nivel delmar hasta unos 2.350 Pa a 10.700 m (altitud de vuelo típica de un reactor). Por presión parcial se entiendela presión efectiva que ejerce un componente gaseoso determinado en una mezcla de gases. La presiónatmosférica total es la suma de las presiones parciales de sus componentes (oxígeno, nitrógeno, dióxido decarbono y gases nobles).

4.1.3 Tensión superficial

Condición existente en la superficie libre de un líquido, semejante a las propiedades de una membranaelástica bajo tensión. La tensión es el resultado de las fuerzas moleculares, que ejercen una atracción nocompensada hacia el interior del líquido sobre las moléculas individuales de la superficie; esto se reflejaen la considerable curvatura en los bordes donde el líquido está en contacto con la pared del recipiente.Concretamente, la tensión superficial es la fuerza por unidad de longitud de cualquier línea recta de lasuperficie líquida que las capas superficiales situadas en los lados opuestos de la línea ejercen una sobreotra. La tendencia de cualquier superficie líquida es hacerse lo más reducida posible como resultado de estatensión,como ocurre con el mercurio, que forma una bola casi redonda cuando se deposita una cantidadpequeña sobre una superficie horizontal. La forma casi perfectamente esférica de una burbuja de jabón, quese debe a la distribución de la tensión sobre la delgada película de jabón, es otro ejemplo de esta fuerza.La tensión superficial es suficiente para sostener una aguja colocada horizontalmente sobre el agua.

La tensión superficial es importante en condiciones de ingravidez; en los vuelos espaciales, los líquidos nopueden guardarse en recipientes abiertos porque ascienden por las paredes de los recipientes.

4.1.3.1 Cohesión

La atracción entre moléculas que mantiene unidas las partículas de una sustancia. La cohesión es distintade la adhesión; la cohesión es la fuerza de atracción entre partículas adyacentes dentro de un mismo cuerpo,

63

4.2. ENERGIA EN UN FLUIDO REAL CHAPTER 4. MECANICA DE FLUIDOS

mientras que la adhesión es la interacción entre las superficies de distintos cuerpos. En los gases, la fuerzade cohesión puede observarse en su licuefacción, que tiene lugar al comprimir una serie de moléculas yproducirse fuerzas de atracción suficientemente altas para proporcionar una estructura líquida. En loslíquidos, la cohesión se refleja en la tensión superficial, causada por una fuerza no equilibrada hacia elinterior del líquido que actúa sobre las moléculas superficiales, y también en la transformación de un líquidoen sólido cuando se comprimen las moléculas lo suficiente. En los sólidos, la cohesión depende de cómoestén distribuidos los átomos, las moléculas y los iones, lo que a su vez depende del estado de equilibrio(o desequilibrio) de las partículas atómicas. Muchos compuestos orgánicos,por ejemplo, forman cristalesmoleculares, en los que los átomos están fuertemente unidos dentro de las moléculas,pero éstas se encuentranpoco unidas entre sí.

4.1.3.2 Capilaridad

Elevación o depresión de la superficie de un líquido en la zona de contacto con un sólido, por ejemplo, enlas paredes de un tubo. Este fenómeno es una excepción a la ley hidrostática de los vasos comunicantes,según la cual una masa de líquido tiene el mismo nivel en todos los puntos; el efecto se produce de formamás marcada en tubos capilares, es decir, tubos de diámetro muy pequeño. La capilaridad depende de lasfuerzas creadas por la tensión superficial y por el mojado de las paredes del tubo. Si las fuerzas de adhesióndel líquido al sólido (mojado) superan a las fuerzas de cohesión dentro del líquido (tensión superficial), lasuperficie del líquido será cóncava y el líquido subirá por el tubo, es decir, ascenderá por encima del nivelhidroestático. Este efecto ocurre por ejemplo con agua en tubos de vidrio limpios. Si las fuerzas de cohesiónsuperan a las fuerzas de adhesión, la superficie del líquido será convexa y el líquido caerá por debajo delnivel hidroestático. Así sucede por ejemplo con agua en tubos de vidrio grasientos (donde la adhesión espequeña) o con mercurio en tubos de vidrio limpios (donde la cohesión es grande). La absorción de agua poruna esponja y la ascensión de la cera fundida por el pabilo de una vela son ejemplos familiares de ascensióncapilar. El agua sube por la tierra debido en parte a la capilaridad, y algunos instrumentos de escrituracomo la pluma estilográfica (fuente) o el rotulador (plumón) se basan en este principio.

4.2 Energia en un fluido real

El modelo que representa un fluido real es la ecuación de Bernoulli para fluidos con perdidas y se deducede la ecuación dinámica de las fuerza sobre un fluido en movimiento: De la figura se observa:

Figure 4.4: Perdidas por rozamiento en un fluido

∑Fx = ∆max (4.9)

pA−A (p+ ∆p)− ρgA∆L∆z

∆L− fr = ρgA∆L

dV

dt(4.10)

−A∆p− ρgA∆z − fr = ρgAV dV (4.11)

−∆p

Γ−∆z − fr

AΓ= V dv (4.12)

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integrando la parte derecha y la parte izquierda se obtiene:La ecuacion de energías del fluidoen la seción Ay B del tubo y las perdidas de energia durante el trayecto AB

pA − pBΓ

− (zA − zB)−HA→B =1

2g

(V 2B − V 2

A

)4.2.0.1 tiempo de vaciado de un depósito

Experimentlamente puede medirse el tiempo de vaciado de un depósito dpendiendo de la altura del fluido quecontiene. En la deducción del teorema de Torricelli se supone que la velocidad del fluido en la sección mayorA1 es despreciable (v1 ∼ 0) comparada con la velocidad del fluido v2 en la sección menor A2. Supóngaseahora, que v1 no es despreciable frente a v2, la ecuación de continuidad se escribe:

A1v1 = A2v2

y la ecuación de Bernoulli para un fluido ideal es:

p1

Γ+v2

1

2g+ z1 =

p2

Γ+v2

2

2g+ z2 (4.13)

como se trata de un depósito abierto en ambos extremos p1 = p2 = patm. De estas dos ecuaciones se obtienev1 y v2. Si A1 >> A2 Se tiene el terorema de de Torricelli

v2 =√

2gh

El volumen de fluido que sale del depósito en la unidad de tiempo es A2v2, y en el tiempo 4t será

A2v24t

Como consecuencia disminuirá la altura h del depósito

−A1dh = A2v2dt

Si la altura inicial del depósito en el instante t=0 es H. Integrando esta ecuación diferencial, obtenemos laexpresión de la altura h en función del tiempo.

A1dh = A2v2dt

−ˆ h

H

dh√h

= A2

√2g

A21 −A2

2

ˆ t

0

dt

Cuando h = 0, se despeja el tiempo t que tarda el depósito en vaciarse por completo.

A1dh = A2v2dt

−ˆ h

H

dh√h

= A2

√2g

A21 −A2

2

dt

−ˆ h

H

dh√h

= A2

√2g

A21 −A2

2

ˆ t

0

dt

2√H − 2

√h = A2

√2g

A21 −A2

2

t

65


cuando h = 0 se despeja ty se obtiene:

t =1

A2

√A2

1 −A22

2g

√H

Si A1 >> A2, se puede despreciar la unidad obteniendose la siguiente ecuación:

t =

√(A2

1

A22

− 1

)2H

g

t =A1

A2

√2H

g

Ejemplo Para los siguientes datos calcular el tiempo de vaciado de uh depósito: Radio del depósito 10cm, luego, S1=p (0.1)2 m2 Radio del orificio 0.8 cm, luego, S2=p (0.008)2 m2 Altura inicial 45 cm, H=0.45m. Sustituyendo estos datos en la fórmula del tiempo obtenemos t=47.34 s, que es el tiempo que tardaen vaciarse completamente el depósito. Si aplicamos la aproximación S1»S2, obtenemos prácticamente elmismo tiempo t=47.35 s.

4.2.1 Tipos de fluidos reales

Los fluidos reales escurren básicamente según dos tipos de regímenes, a saber:

1. Régimen laminar: Es un desplazamiento ordenado de capas de fluido que resbalan unas respecto deotras, acusando una velocidad máxima sobre el eje del conducto cuando el escurrimiento se realiza através de una tubería de sección circular, que va decreciendo hacia la periferia hasta hacerse cerca a cero(v ∼ 0). para el caso del flujo laminar en una tubería circular. El fluido se desplaza ordenadamenteen capas anulares concéntricas. Este tipo de movimiento se ha denominado a veces movimientotelescópico. Este tipo de escurrimiento está regido por la ecuación de viscosidad de Newton: (v ∼ 0)

τ = −µ dvdy

siendo τ la tensión tangencial que origina la resistencia al escurrimiento. Si bien el régimen es orde-nado, entre capa y capa las partículas ejecutan movimientos de rotación sobre sus ejes instantáneosde giro flujo rotacional. El movimiento principal es el del flujo, el de la partícula es un movimientosecundario sin salirse de la capa.

2. Régimen turbulento: Es el escurrimiento en el cual las partículas se trasladan describiendo trayectoriastortuosas, con retornos y desviaciones laterales respecto al movimiento general de la masa fluida,produciéndose mezcla de porciones de fluido, siendo el movimiento principal el del flujo y el secundario,las turbulencias que origina la mezcla. En este tipo de flujo, la velocidad en cada punto de una seccióntransversal al movimiento, oscila rápidamente, en magnitud y dirección, alrededor de un valor medio.La ley que rige este tipo de flujo responde a la ecuación: (v ∼ 0)

τ = (µ+ η) dv

dy

donde µ es la viscosidad absoluta o dinámica y η un factor denominado viscosidad aparente o deturbulencia, que tiene en cuenta el desorden y que no es una propiedad del fluido. La viscosidad deturbulencia puede alcanzar valores miles de veces mayores que la viscosidad del fluido.Tipos de flujosde fluidos reales

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Chapter 5

Termodinámica

Al tratarse del estudio de los fenomenos relacionadso con la energia térmica se agrupan todos los conceptos en la termodinámica.

5.1 Calor y temperatura

Cuando se empuja un objeto que esta sobre una mesa con una superficie lisa, parte del trabaj que ustedhace se convierte en energía cinética y el libro comienza a moverse con cierta velocidad. después de queusted lo deja libre el libro no continua moviendose con la misma velocidad: esta comienza a disminuir yeventualmente se detiene.‘? Que paso con la energía cinética inicial del libro?. Como no hay cambio en laenergí potencial, ya que ellibro permanece sobre la mesa, la energía mecánica no se conserva. como ya sevioen mecánica se tienen fuerzas de fricción las que afectan la conservaciónde la enegía mecánica, medir estoscambios requieren de alguna técnica más sofisticada, no obstante se puede detectar que el libro y la mesa seponen m’as calientes que antes de la interacción. De la experiencia se sabe que la fricción, causa el efectode poner los objetos que interactúan más calientes. Cuando el clima es frío, por ejemplo, nos frotamos lasmanos para calentarlas; la ruedas de una motocicleta se calientan durante el frenado debido a la friccióncon las pastillas de freno; y los neumáticos se calientan debido a la fricción.

El calor parece ser entonces una forma de energía. Este concepto no era conocido hasta mediados del sigloXIX. Antes el calor era concebido como un fluido que se transmitia de de los cuerpos calientes a los frios,Lavoisier lo llamo el fuido calórico.Este enfoque llevaba a pensar que si se mesclaban partes iguales deagua caliente con agua fria el resultado era una mezcla de agua con una temperatura que era exactamentela media de las temperaturas iniciales. Se concluia que el fluido calórico había sido transmitido del aguacaliente al gua fria sin ninguna clase de perdida.?

Si cuando se empujo el libro sobre la mesa y fue moviendose léntamente hasta parar ‘? que sucedió conla energía cinética del libro?. El rozamiento entre las ruedas y las pastillas de los frenos hacen que lasruedas se calienten Friction between the wheels and the brake pads makes the wheels hot. Los neumái-cos también n se calientan después que la motocicleta se ha impulsado debido a la fricción con el pavimento.

El inconveniente con la idéa del calórico era que no podía explicar como se producía el calor cuando exisíarozamiento entre los cuerpos que interactuaban. La correcta representación del calor comenzo con un cien-tífico nacido en América que tomo la ciudadanía británica que tenía un título de nobleza alemana, el condeRumford(Benjamin Thompson), nació en Woburn, Massachusetts, en 1753.

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5.1. CALOR Y TEMPERATURA CHAPTER 5. TERMODINÁMICA

Mientras Rumford supervisaba en 1978 la fabricación de un cañón de hierro notó que se calentaba y debíarefrigeralo con agua fria, Rumford decidió estudiar este fenómeno y realizó muchos experimentos en loscualea sumergia metales caliente en el agua fria, para medir la razón de cambio del aumento de la tem-peratura, así fué capaz de determinar que la cantidad de calor generado por la fricción mientras que laherramienta (broca que perforaba) bruñía el material fué lo suficienteménte alta para fundir el metal, paraevitar esto tenía que enfriarlo se dió cuenta de que la cantidad de calor que pudiera generarse no sólo era noes constante como lo proponía la teoría calórica. La conclusión correcta de Rumford fue que el movimientode la broca se convertía en calor y ese calor era una forma de movimiento. Su cálculo de la relación de calora el trabajo estaba muy cerca de los valores aceptados en la actualidad.

Joule en su informe de 1890 a la Royal Society, titulado Sobre la Equivalente mecánico del calor Jouleconcluyó de este experimento que la cantidad de calor producido por la fricción de los cuerpos, ya seasólido o líquido, es siempre proporcional a la cantidad de la energía] gastada. Por consiguiente el calor, esentonces, como Joule fue capaz de establecer, es una forma de energía, contrariamente a la teoría calórica.

5.1.1 Variables termodinámics

Las variables termodinámicas o variables de estado son las magnitudes que se emplean para describir elestado de un sistema termodinámico.este estaddo se caracteriza porque está en constante cambio y por con-siguiente demanda. produce o intercambia enegía Dependiendo de la naturaleza del sistema termodinámicoobjeto de estudio, pueden elegirse distintos conjuntos de variables termodinámicas para describirlo. En elcaso de un gas, estas variables son:

Masa Conceptualmente la cantidad de sustancia que tiene el sistema. En el Sistema Internacional seexpresa respectivamente en kilogramos (kg) o en número de moles (mol).

Volumen es el espacio tridimensional que ocupa el sistema. En el Sistema Internacional se expresa enmetros cúbicos (m3). Si bien el litro (l) no es una unidad del Sistema Internacional, es ampliamenteutilizada. Su conversión a metros cúbicos es: 1l = 10−3m3.

Presión Es la fuerza por unidad de área aplicada sobre un cuerpo en la dirección perpendicular a susuperficie. En el Sistema Internacional se expresa en pascales (Pa). La atmósfera es una unidad de presióncomúnmente utilizada. Su conversión a pascales es: 1atm = 105Pa. De esta forma la ecuación que definela presión es:

P =F

A

[N

m2

]

Densidad Se describe mediante la expresión:

ρ =m

V

La ecuación anterior es la que modela el volumen ocupado por determinada sustancia. la densidad engeneral no es constante, sino que es función de la temperatura

Temperatura A nivel microscópico la temperatura de un sistema está relacionada con la energía cinéticaque tienen las moléculas que lo constituyen. Macroscópicamente, la temperatura es una magnitud quedetermina el sentido en que se produce el flujo de calor cuando dos cuerpos se ponen en contacto. Enel Sistema Internacional se mide en kelvin (K), aunque la escala Celsius se emplea con frecuencia. Laconversión entre las dos escalas es:

T (K) = t(ÂžC) + 273.

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5.1.2 Función de estado

Una función de estado es una propiedad de un sistema termodinámico que depende sólo del estado delsistema, y no de la forma en que el sistema llegó a dicho estado. Por ejemplo, la energía interna y laentropía son funciones de estado.El calor y el trabajo no son funciones de estado, ya que su valor depende del tipo de transformación queexperimenta un sistema desde su estado inicial a su estado final.Las funciones de estado pueden verse como propiedades del sistema, mientras que las funciones que no sonde estado representan procesos en los que las funciones de estado varían.

5.1.3 Trabajo

Es una intercambio ,transferencia o consumo de energía de energía a través de la frontera de un sistema estoimplica un cambio en las variables macroscópicas como, presión, volumen, temperatura, energía interna,entalpía. En esta definición hay que remarcar varios aspectos que se explican en las secciones siguientes y enlos artículos relativos al calor y al primer principio de la termodinámica: Como l trabajo es una transferenciade energía, o paso de energía de un sitio a otro, no es algo que se tiene o se almacena. El trabajo se localizaen la frontera del sistema, es una entrada o salida por las paredes del sistema, y no se refiere al interiorde este. Está asociado al cambio de las variables macroscópicas, como pueden ser el volumen, la presión,la posición y velocidad del centro de masas, el voltaje, etc. Se realiza trabajo cuando se acelera un objeto,cambiando la velocidad de su CM. Por contra, si lo que se hace es aumentar la temperatura de un gas,incrementando la energía cinética de cada partícula, a este proceso se le denomina intercambio de energíaen forma de calor. El calor y el trabajo no son funciones de estado, ya que su valor depende del tipo detransformación que experimenta sistema desde su estado inicial a su estado final.Las funciones de estadopueden verse como propiedades del sistema, mientras que las funciones que no son de estado representanprocesos en los que las funciones de estado varían.

Calor Se conceptualiza como transferencia de energía que se transfiere entre diferentes cuerpos o difer-entes zonas de un mismo cuerpo que se encuentran a distintas temperaturas, sin embargo en termodinámicageneralmente el término calor significa simplemente transferencia de energía. Este flujo de energía siempreocurre desde el cuerpo de mayor temperatura hacia el cuerpo de menor temperatura, ocurriendo la trans-ferencia hasta que ambos cuerpos se encuentren en equilibrio térmico : puede modelarse como transferenciade energía cinética de traslación, rotación o vibración de las molecular o átomos que conforman los cuerpos, eso si deben estar en contacto térmico. La energía puede ser transferida por diferentes mecanismos detransferencia, estos son la radiación, la conducción y la convección, aunque en la mayoríade los procesosreales todos se encuentran presentes en mayor o menor grado. Cabe resaltar que los cuerpos no tienencalor, sino energía térmica. La energía existe en varias formas. En este caso nos enfocamos en el calor,que es el proceso mediante el cual la energía se puede transferir de un sistema a otro como resultado dela diferencia de temperatura.El calor y el trabajo no son funciones de estado, ya que su valor depende deltipo de transformación que experimenta un sistema desde su estado inicial a su estado final. Las funcionesde estado pueden verse como propiedades del sistema, mientras que las funciones que no son de estadorepresentan procesos en los que las funciones de estado varían. La energía transferida de un sistema a otro(o de un sistema a sus alrededores) debido en general a una diferencia de temperatura entre ellos. El calorque absorbe o cede un sistema termodinámico depende normalmente del tipo de transformación que haexperimentado dicho sistema. Dos o más cuerpos en contacto que se encuentran a distinta temperatura al-canzan, pasado un tiempo, el equilibrio térmico (misma temperatura). Este hecho se conoce como PrincipioCero de la Termodinámica, y se ilustra en la siguiente figura. Un aspecto del calor que conviene resaltar esque los cuerpos no almacenan calor sino energía interna.El calor es por tanto la transferencia de parte de dicha energía interna de un sistema a otro, con la condiciónde que ambos estén a diferente temperatura. Sus unidades en el Sistema Internacional son los julios J . La

69


Figure 5.1: transferencia de calor

expresión que relaciona la cantidad de calor que intercambia una masa m de una cierta sustancia con lavariación de temperatura 4T que experimenta es:

Q = cm4T

donde c es el calor específico de la sustancia. El calor específico (o capacidad calorífica específica) es laenergía necesaria para elevar en un 1grado la temperatura de 1kg de masa. Sus unidades en el SistemaInternacional son J/kgK.En general, el calor específico de una sustancia depende de la temperatura. Sin embargo, como esta depen-dencia no es muy grande, suele tratarse como una constante.

Cuando se trabaja con gases es bastante habitual expresar la cantidad de sustancia en términos del númerode moles n. En este caso, el calor específico se denomina capacidad calorífica molar C. El calor intercam-biado viene entonces dado por:

Q = nC4T[

J

molK

]Criterio de signos: A lo largo de estas guias , el calor absorbido por un cuerpo será positivo y el calor cedidonegativo.

Capacidad calorífica de un gas ideal Para un gas ideal se definen dos capacidades caloríficas molares:a volumen constante CV , y a presión constante Cp. CV: es la cantidad de calor que es necesario suministrara un mol de gas ideal para elevar su temperatura un grado mediante una transformación isócora. Cp: esla cantidad de calor que es necesario suministrar a un mol de gas ideal para elevar su temperatura ungrado mediante una transformación isóbara. El valor de ambas capacidades caloríficas puede determinarsecon ayuda de la teoría cinética de los gases ideales. Los valores respectivos para gases monoatómicos ydiatómicos se encuentran tabuldos en los textos y manuales de física. Monoatómico Diatómico donde R esla constante universal de los gases ideales, R = 8.31J/molK.

Calor latente de un cambio de fase Cuando se produce un cambio de fase, la sustancia debe absorbero ceder una cierta cantidad de calor para que tenga lugar. Este calor será positivo (absorbido) cuando elcambio de fase se produce de izquierda a derecha en la figura, y negativo (cedido) cuando la transición defase tiene lugar de derecha a izquierda.

El calor absorbido o cedido en un cambio de fase no se traduce en un cambio de temperatura, ya que laenergía suministrada o extraída de la sustancia se emplea en cambiar el estado de agregación de la materia.Este calor se denomina calor latente.Latente en latín quiere decir escondido, y se llama así porque, al no cambiar la temperatura durante elcambio de estado, a pesar de añadir calor, éste se quedaba escondido sin traducirse en un cambio detemperatura.

70


Calor latente (L) o calor de cambio de estado, es la energía absorbida o cedida por unidad de masa desustancia al cambiar de estado. De sólido a líquido este calor se denomina calor latente de fusión, de líquidoa vapor calor latente de vaporización y de sólido a vapor calor latente de sublimación. El calor latente paralos procesos inversos (representados en azul en la figura anterior) tienen el mismo valor en valor absoluto,pero serán negativos porque en este caso se trata de un calor cedido.En el Sistema Internacional, el calor latente se mide en J/kg.La cantidad de calor que absorbe o cede una cantidad m de sustancia para cambiar de fase viene dada por:Este calor será positivo o negativo dependiendo del cambio de fase que haya tenido lugar.

5.1.3.1 El calor específico de un gas

Es una variable física que describe como si de una huella digital se la cantidad de calor necesaria que hayque suministrar a la unidad de masa de una sustancia o sistema termodinámico para elevar su temperaturaen una unidad de temperatura (kelvin o grado Celsius). En general, el valor del calor específico depende dedicha temperatura inicial y del tipo de proceso que se esta haciendo por ejemplo si es a volumen constanteo a presión constante. Se le representa con la letra CV o CP

Q = nCV dT

Q = nCP dT

por conservación de energía, el calor absorbido por un gas cumple con dos funciones; por un lado aumentala energia interna del gas y por el otro proporciona el trabajo por la expansión del gas.

dQ = dU + PdV

nCP dT = dU + PdV

nCP dT = nCV dT + PdV

nCP dT = nCV dT + nRdT

CP = CV +R

5.1.3.2 capacidad calorífica

Es la cantidad de calor que hay que suministrar a toda la masa de una sustancia para elevar su temperaturaen una unidad (kelvin o grado Celsius). Se la representa con la letra (mayúscula). Por lo tanto, el calorespecífico es el cociente entre la capacidad calorífica y la masa, esto es donde es la masa de la sustancia.

5.1.3.3 Calor latente

Cambios de estado. Cada ves que una sustancia experimenta un cambio de temperatura cuando absorbeo cede calor al ambiente que le rodea. Sin embargo, cuando una sustancia cambia de fase absorbe o cedecalor sin que se produzca un cambio de su temperatura. El calor Q que es necesario aportar para que unamasa m de cierta sustancia cambie de fase es igual a

Q = mL

L es el calor latente y es propia de cada sustancia y del cambio de fase que tenga lugar. Por ejemplo para

pasar el agua de estado solido a liquido Lf = 334000J

kg.

71

5.2. LEY GENERAL DE LOS GASES CHAPTER 5. TERMODINÁMICA

5.1.4 Variables extensivas e intensivas

En termodinámica, una variable extensiva es una magnitud cuyo valor es proporcional al tamaño delsistema que describe. Esta magnitud puede ser expresada como suma de las magnitudes de un conjunto desubsistemas que formen el sistema original. Por ejemplo la masa y el volumen son variables extensivas.

Una variable intensiva

es aquella cuyo valor no depende del tamaño ni la cantidad de materia del sistema. Es decir, tiene elmismo valor para un sistema que para cada una de sus partes consideradas como subsistemas del mismo.La temperatura y la presión son variables intensivas.

Función de estado

Una función de estado es una propiedad de un sistema termodinámico que depende sólo del estado del sis-tema, y no de la forma en que el sistema llegó a dicho estado. Por ejemplo, la energía interna y la entropíason funciones de estado. La magnitud que designa la energía almacenada por un sistema de partículas sedenomina energía interna (U). La energía interna es el resultado de la contribución de la energía cinéticade las moléculas o átomos que lo constituyen, de sus energías de rotación, traslación y vibración, ademásde la energía potencial intermolecular debida a las fuerzas de tipo gravitatorio, electromagnético y nuclear.La energía interna es una función de estado: su variación entre dos estados es independiente de la trans-formación que los conecte, sólo depende del estado inicial y del estado final. Como consecuencia de ello, lavariación de energía interna en un ciclo es siempre nula, ya que el estado inicial y el final coinciden:

5.2 Ley general de los gases

La ley combinada de los gases o ley general de los gases es una ley de los gases que combina la ley deBoyle, la ley de Charles y la ley de Gay-Lussac. Estas leyes matemáticamente se refieren a cada una delas variables termodinámicas con relación a otra mientras todo lo demás se mantiene constante. La leyde Charles establece que el volumen y la temperatura son directamente proporcionales entre sí, siemprey cuando la presión se mantenga constante. La ley de Boyle afirma que la presión y el volumen soninversamente proporcionales entre sí a temperatura constante. Finalmente, la ley de Gay-Lussac introduceuna proporcionalidad directa entre la temperatura y la presión, siempre y cuando se encuentre a un volumenconstante. La interdependencia de estas variables se muestra en la ley de los gases combinados, que establececlaramente que: La relación entre el producto presión-volumen y la temperatura de un sistema permanececonstante. Esto se expresa mediante la siguiente ecuación;

P1V1

T1=P2V2

T2= CTE (5.1)

donde:P es la presión V es el volumen y T es la temperatura absoluta en K es una constante (con unidadesde energía dividido por la temperatura).

Ley de Boyle

Obsérvese que si en la ecuación 1 la temperatura permanece constante la ley tomas la siguiente forma

PV = nRT (5.2)

La fórmula anterior es la que describe normalmente la relación entre la presión, el volumen, la temperaturay la cantidad (en moles) de un gas ideal.

72

5.2. LEY GENERAL DE LOS GASES CHAPTER 5. TERMODINÁMICA

5.2.1 Ley de Charles y Gay Lussac

Esta afirma que si la presión se mantiene constante la razón del volumen a temperatura permanecenconstantes conforme una cantidad de gas dada se enfría o se calienta. Obsérvese que si la presión permanececonstante la ecuación 2 toma la siguiente forma:

V1

T1=V2

T2=VnTn

= CTE (5.3)

La ley del gas ideal se expresa utilizando conceptos como el número de moles, el numero de Avogadro, elnumero de molléculas, entre los cuales existen las siguientes relaciones:

NA=6.02 · 1023moleculas pormol

Por consiguiente si el número de moles es n el numero de moléculas N se representa mediante la siguienterelación:

N = nNA

Â£Cual es el número de moléculas en 1.00cm3de aire a una temperatura de de 273K y a una presión de1atm? Â£Cual es la densidad de la masa del aire en condiciones normales. datos. la masa de un mol deaire en condiciones normales es de 29g

5.2.1.1 Energía interna de un gas ideal

Para el caso de un gas ideal la energía interna depende exclusivamente de la temperatura, Como en un gasideal se desprecia toda interacción entre las moléculas o átomos que lo constituyen, por lo que la energía in-terna es sólo energía cinética, que depende sólo de la temperatura. Este hecho se conoce como la ley de Joule.

La variación de energía interna de un gas ideal (monoatómico o diatómico) entre dos estados A y B semodela mediante la ecuación:

∆U0→1 = ncv (T1 − T0) (5.4)

donde n es el número de moles y cv la capacidad calorífica molar a volumen constante. Las temperaturasdeben ir expresadas en Kelvin. Para justificar esta expresión supóngase dos isotermas caracterizadas porsus temperaturas T0 y T1 como se muestra en la siguiente figura. La Energía interna de un gas ideal sufrirá

Figure 5.2: Representación gráfica de un proceso isotérmico atmosférica

la misma variación de energá interna:4U

siempre que su temperatura inicial sea T0 y su temperatura finalT1, según la Ley de Joule, sea cual sea eltipo de proceso realizado. Si se elije una transformación isócora (a volumen constante) para llevar el gas

73

5.3. LEY CERO DE LA TERMODINÁMICA CHAPTER 5. TERMODINÁMICA

de la isoterma T0 a otro estado de temperatura T1. El trabajo realizado por el gas es nulo, ya que no hayvariación de volumen. Aplicando el Primer Principio de la Termodinámica: El calor intercambiado en unproceso viene dado por:siempre que su temperatura inicial sea T0 y su temperatura finalT1, según la Ley deJoule, sea cual sea el tipo de proceso realizado. Si se elije una transformación isócora (a volumen constante)para llevar el gas de la isoterma T0 a otro estado de temperatura T1. El trabajo realizado por el gas es nulo,ya que no hay variación de volumen. Aplicando el Primer Principio de la Termodinámica:El calor intercambiado en un proceso viene dado por:Proceso Politrópico Calor Intercambiado: Por el primer principio y la ecuación (22), para un mol de gasidealδQ = C.dT = CV.dT + P.dV entre dos estados 1 y 2:

Q =

ˆ f

0

CdT =

ˆ f

0

CV dT +

ˆ f

0

pdV = CV (Tf − T0) (5.5)

La variación de energía interna dU = CV.dT, entre el estado inicial y el estado final.suponiendo queCV = cte, siendo C la capacidad calorífica. En este proceso, por realizarse a volumen constante, se usaráel valor Cv (capacidad calorífica a volumen constante). Entonces, se obtiene finalmente:

Q = Cem∆T

Esta expresión permite calcular la variación de energía interna sufrida por un gas ideal, conocidas lastemperaturas inicial y final y es válida independientemente de la transformación sufrida por el gas.

5.3 Ley cero de la termodinámica

El equilibrio térmico permite utilizar y calibrar las sustancia termométricas, esto significa definir una escalade temperatura: aprovechando que al colocar sos sistemas en contacto térmico se transfiere energía cinéticade las moléculas de uno hacia el otro después de cierto tiempo la energía cinética promedio de una de lasmoléculas o de los átomos permanece constante , esto es a igual temperatura, además: dos sistemas enequilibrio térmico con un tercero, están en equilibrio térmico entre sí. El equilibrio érmico debe entendersecomo el estado en el cual los sistemas equilibrados tienen la misma temperatura. Esta ley es de granimportancia porque permitió definir a la temperatura como una propiedad termodinámica y no en funciónde las propiedades de una sustancia. La aplicación de la ley cero constituye un método para medir latemperatura de cualquier sistema escogiendo una propiedad del mismo que varíe con la temperatura consuficiente rapidez y que sea de fácil medición, llamada propiedad termométrica. En el termómetro de vidrioesta propiedad es la altura alcanzada por el mercurio en el capilar de vidrio debido a la expansión térmicaque sufre el mercurio por efecto de la temperatura. Cuando se alcanza el equilibrio térmico, ambos sistemastienen la misma temperatura. La temperatura no es una medida de calor en el cuerpo, la temperatura esuna magnitud física que nos indica cuantitativamente, el estado de caliente o fríode un cuerpo, se expresamediante un némero asociado convencionalmente al cuerpo.Realmente, en la actualidad la temperatura se considera como una medida de la mayor o menor agitaciónde las moléculas o átomos que constituyen un cuerpo. Para cuantificarla se relaciona la energía cinéticapromedio de las moléculas, de modo que una temperatura elevada corresponde una mayor energía cinéticapromedio de las moléculas, debido a una mayor agitación molecular. Esta relación se expresa de la siguientemanera:

T =2Ec3k

(5.6)

T La temperatura es directamente proporcional a la energía cinética media de traslación de las moléculas.Laecuación resultante En donde K es la constante de Boltzman e igual a K = 1.38x10−23J/(Kmolecula

74

5.4. PRIMERA LEY DE LA TERMODINÁMICA CHAPTER 5. TERMODINÁMICA

Figure 5.3: El mercurio dentro del capilar de vidrio se pone en contacto térmico con otro sistema

5.4 Primera ley de la termodinámica

Los sistemas termodinámicos pueden intercambiar energía con su entorno en forma de trabajo y de calor, yacumulan o pierden energía en forma de energía interna. La relación entre estas tres magnitudes viene dadapor el principio de conservación de la energía. Para establecer el principio de conservación de la energía serecurre nuevamente al concepto de trabajo hecho sobre un sistema de partículas de partículas que relacionael trabajo de las fuerzas externas Wext y la variación de la energía propia4U .La energía propia se nombras igual que a la energía interna porque coinciden, porque no se considera latraslación del centro de masas del sistema . Por otra parte, el trabajo de las fuerzas externas es el mismoque el realizado por el gas pero cambiado de signo: si el gas se expande realiza un trabajo (W ) positivo, encontra de las fuerzas externas, que realizan un trabajo negativo; y a la inversa en el caso de una compresión.Entonces ahora se tiene otra forma de suministrar energía a un sistema que es en forma de calor (Q).Primeraley de la termodinámica Artículo principal: Primera ley de la termodinámica.También conocida como principio de conservación de la energía para la termodinámica, establece que sise realiza trabajo sobre un sistema o bien éste intercambia calor con otro, la energía interna del sistemacambiará.En palabras llanas: La energía ni se crea ni se destruye: solo se transforma. Visto de otra forma, estaley permite definir el calor como la energía necesaria que debe intercambiar el sistema para compensar lasdiferencias entre trabajo y energía interna,fue propuesta por Nicolás Léonard Sadi Carnot en 1824, en suobra Reflexiones sobre la potencia motriz del fuego y sobre las máquinas adecuadas para desarrollar estapotencia, en la que expuso los dos primeros principios de la termodinámica. Esta obra fue incomprendidapor los científicos de su época, y más tarde fué utilizada por Rudolf Clausius y Lord Kelvin para formular,de una manera matemática, las bases de la termodinámica.La ecuación general de la conservación de la energía es la siguiente:

Eentra − Esale = ∆Esistema

Que aplicada a la termodinámica teniendo en cuenta el criterio de signos termodinámico, queda de laforma:∆U = Q−WDonde U es la energía interna del sistema (aislado), Q es la cantidad de calor aportado al sistema y W esel trabajo realizado por el sistema.Esta última expresión .

Wext +Q = 4U (5.7)

−W +Q = 4U (5.8)

Luego la expresión final queda:Q = W + ∆U (5.9)

75

5.5. SEGUNDA LEY DE LA TERMODINÁMICA CHAPTER 5. TERMODINÁMICA

Este es el principio de conservación de la energía aplicado a sistemas termodinámicos se conoce como PrimerPrincipio de la Termodinámica

5.4.1 Forma diferencial del Primer Principio

Si el proceso realizado por el gas es reversible, todos los estados intermedios son de equilibrio por lo quelas variables termodinámicas están bien definidas en cada instante a lo largo de la transformación. En estasituación podemos escribir el primer principio de la siguiente manera:

δQ = δW + ∆U (5.10)

La diferencia de símbolos empleados para designar la diferencial del calor, del trabajo y de la energía internarepresenta que la energía interna es una función de estado, mientras que el calor y el trabajo dependen dela transformación que describe un sistema.

5.5 Segunda ley de la termodinámica

La segunda ley de la termodinámica es un principio general que impone restricciones a la dirección de latransferencia de calor, y a la eficiencia posible en los motores térmicos. De este modo, va más allá de laslimitaciones impuestas por la primera ley de la termodinámica. Sus implicaciones se pueden visualizar entérminos de la analogía como una maquina que convierte un tipo de energía en otra. Esta ley establece laimposibilidad de convertir toda la energía calórica en energía mecánica.Esto se modela mediante la siguienteexpresión:

QH −QC = W (5.11)

A continuación se representa el modelo de una máquina termica:

Figure 5.4: Intercambio de energía mecánica en térmica

5.5.1 Ciclo de Carnot

El ciclo de motor térmico mas eficiente es el ciclo de Carnot, consistente en dos procesos isotérmicos y dosprocesos adiabático. El ciclo de Carnot se puede considerar como, el ciclo de motor térmico mas eficientepermitido por las leyes físicas. Mientras que la segunda ley de la termodinámica dice que no todo el calorsuministrado a un motor térmico, se puede usar para producir trabajo, la eficiencia de Carnot establece elvalor límite de la fracción de calor que se puede usar.

76

5.5. SEGUNDA LEY DE LA TERMODINÁMICA CHAPTER 5. TERMODINÁMICA

Con el fin de acercarse a la eficiencia de Carnot, los procesos que intervienen en el ciclo del motor de calordeben ser reversibles y no implican cambios en la entropía. Esto significa que el ciclo de Carnot es unaidealización, ya que no hay procesos de motores reales que sean reversibles y todos los procesos físicos realesimplican un cierto aumento de la entropía.El valor conceptual del ciclo de Carnot es que, establece la máxima eficiencia posible para un ciclo de motoroperando entre TH y TC. La eficiencia de una máquina de Carnot se define así:

TH − TCTH

· 100% = η

No es un ciclo de motor práctico, porque la transferencia de calor en el motor en el proceso isotérmico esdemasiado bajo para ser un valor práctico.Todas las magnitudes definidas a lo largo de esta guía se han introducido desde el punto de vista macroscópico;esto significa, que en ningún momento se ha tenido en cuenta la naturaleza molecular de la materia. La en-tropía no ha sido una excepción a esta regla. La parte de la Física que se ocupa de estudiar las propiedadestermodinámicas de un sistema relacionándolas con el comportamiento microscópico del mismo se denominatermodinámica estadística. Para ver un ejemplo de cómo se relaciona el comportamiento microscópico deun sistema con su comportamiento macroscópico, vamos a analizar la expansión libre de Joule desde elpunto de vista de las moléculas que constituyen el gas. En el siguiente dibujo se ha representado un sis-tema aislado: un gas encerrado en un recipiente. Para simplificar, el gas representado está constituido porcuatro moléculas; sin embargo hay que tener en cuenta que los sistemas reales poseen un número muchomayor de partículas. El gas se encuentra en el compartimento de la izquierda, y en el derecho está hechoel vacío. Cuando se elimina la pared que separa ambos compartimentos, la experiencia nos dice que el gastiende a ocupar todo el volumen disponible. En principio, sin embargo, cualquiera de las configuracionesrepresentadas en la figura inferior sería posible.Dichas configuraciones se denominan macroestados del sistema. Para un macroestado determinado, lasmoléculas que constituyen el gas pueden a nivel microscópico (en nuestro ejemplo, asignando distintos coloresa las moléculas) distribuirse según diferentes configuraciones, denominadas microestados. La multiplicidades el número de microestados que conducen al mismo estado macroscópico (macroestado) de un sistema.De todos los macroestados representados en la figura anterior, el (c) tiene mayor multiplicidad, ya que anivel microscópico, las moléculas pueden adoptar las siguientes configuraciones: A finales del siglo XIX,el físico austriaco Ludwig Boltzmann definió la entropía como: donde k es la constante de Boltzmann (k= 1.3806504 × 10-23 J K-1 ) y Ω es el número de microestados accesibles a un macroestado dado. Laconfiguración (c) representada en la figura anterior es la que más microestados accesibles tiene y por tantoes la de mayor entropía. El sistema tratado en este ejemplo tenderá a estar en esta configuración porque esla que mayor entropía tiene.

4S =

ˆ Tf

T0

4QT

(5.12)

ˆ Tf

T0

4QT

=

ˆ Tf

T0

cm4TT

(5.13)

ˆ Tf

T0

cm4TT

= cm lnTfT0

(5.14)

obsérvese que cuando hay cambios de estado la temperatura permanece constante:

S =mL

T

La Segunda ley de la termodinámica: en cualquier proceso cíclico, la entropía aumentará, o permaneceráigual.la entropía es una variable de estado cuyo cambio se define por un proceso reversible en T , y dondeQ

77

5.6. PROCESOS TERMODINÁMICOS CHAPTER 5. TERMODINÁMICA

es el calor absorbido. es una medida de la cantidad de energía que no está disponible para realizar trabajo.Entropía: una medida del desorden de un sistema. Entropía: una medida de la multiplicidad de un sistema.Puesto que la entropía da información sobre la evolución en el tiempo de un sistema aislado, se dice que dala dirección de la flecha del tiempo. Si las instantáneas de un sistema en dos momentos diferentes, muestranuno que está más desordenado, entonces se puede deducir que este estado se produjo mas tarde en el tiempoque el otro. En un sistema aislado, el curso natural de los acontecimientos, lleva al sistema a un mayordesorden (entropía más alta) de su estado.

5.5.2 Relación entre la primera ley y la entropía

en termodinámica se utiliza una fórmula útil, que usa la fuerza del cálculo y particularmente las derivadasparciales. Se puede aplicar para examinar procesos, en los cuales se mantienen constantes una o másvariables de estado, como por ejemplo volumen constante, presión constante, es conocida como una identidadtermodinámica. La identidad termodinámica se mantiene válida para cualquier cambio infinitesimal en unsistema, tanto tiempo como la presión y la temperatura estén bien definidas. Se debe mantener la restricciónde que el número de partículas es constante significa que es el mismo sistema antes y después del cambio.Lasiguiente ecuación es una identidad termodinámica

dU = TdS − PdV (5.15)

Una forma de definir la cantidad entropía es hacerlo en función de la multiplicidad.

N de estados posibles del sistema = Ω (5.16)Entropia = k ln Ω (5.17)

donde k es la constante de Boltzmann. La k se incluye como parte de la definición histórica de la entropía,

y dá las unidades deJ

Ken el sistema de unidades SI. Se usa el logaritmo para que la entropía definida

tenga un tamaño razonable. La multiplicidad de colecciones de materia ordinaria son del orden del númerode Avogadro, de modo que es conveniente usar el logaritmo de la multiplicidad.En un sistema con un gran número de partículas, como una mol de átomos, el estado más probable seráabrumadoramente probable. Se puede esperar con confianza que el sistema en equilibrio, se encontrará enel estado de máxima multiplicidad, ya que por lo general, las fluctuaciones de ese estado serán demasiadopequeñas para ser medidas. Cuando un sistema grande alcanza el equilibrio, su multiplicidad (entropía)tiende a aumentar. Esta es una forma de establecer la segunda ley de la termodinámica.

5.6 Procesos termodinámicos

Un sistema termodinámico Se modela mediante una serie de transformaciones que lo llevan desde un estadoinicial ( presión, volumen y temperatura) a un estado final en que en general las variables termodinámicastendrán un valor diferente. Durante ese proceso el sistema intercambiará energía con los alrededores.Los procesos termodinámicos pueden ser de tres tipos:

• Cuasiestático: es un proceso que tiene lugar de forma infinitamente lenta, esto implica que el sistemapasa por sucesivos estados de equilibrio, en cuyo caso la transformación es también reversible.

• Reversible: es un proceso que, una vez que ha tenido lugar, puede ser invertido (recorrido en sentidocontrario) sin causar cambios ni en el sistema ni en sus alrededores.

• Irreversible:es un proceso que no es reversible. Los estados intermedios de la transformación no sonde equilibrio.

78


5.6.1 Isotérmico

Un proceso isotérmico o proceso isotermo se identifica cuando se cambian las condiciones termodinámicas,no obstante en el proceso de cambio la temperatura permanece constante. La compresión o expansión deun gas ideal en contacto permanente con un termostato es un ejemplo de proceso isotermo, y puede llevarsea cabo colocando el gas en contacto térmico con otro sistema de capacidad calorífica muy grande y a lamisma temperatura que el gas; este otro sistema se conoce como foco caliente. De esta manera, el calor setransfiere muy lentamente, permitiendo que el gas se expanda realizando trabajo. Como la energía internade un gas ideal sólo depende de la temperatura y esta permanece constante en la expansión isoterma, elcalor tomado del foco es igual al trabajo realizado por el gas:

Q = W (5.18)

Una curva isoterma es una línea que sobre un diagrama representa los valores sucesivos de las diversasvariables de un sistema en un proceso isotermo. Las isotermas de un gas ideal en un diagramaP − V ,llamado diagrama de Clapeyron, son hipérbolas equiláteras, cuya ecuación es

PV = nRT

con la temperatura constante. El trabajo realizado en este tipo de procesos se calcula mediante la ecuación:

W =

ˆ Vf

V0

PdV

W = nRT

ˆ Vf

V0

dV

V

W = nRT ln

[VfV0

]La siguiente gráfica ilustra el area bajo la curva isoterma la cual representa el trabajo hecho

Figure 5.5: Trabajo realizado en un proceso iasotermico

5.6.2 Isobárico

Una expansión isobárica es un proceso en el cual un gas se expande (o contrae) mientras que la presión delmismo no varía, es decir si en un estado inicial del proceso la presión es P0 y en el estado final del mismoproceso la presión es Pf , entonces P0 = Pf .

79


Aplicando La primera ley de la termodinámica :

dQ = dU + dW

Integrando la expresión anterior, tomando como estado inicial el estado 0 y estado final el estado f , seobtiene:

ˆ f

0

dQ =

ˆ f

0

dU +

ˆ f

0

dW

Por la definición de trabajo dada en mecánica se tiene que:

dW = ~F · d~r

Pero la fuerza ~F ; se puede expresar en función de la presión que se ejerce el gas, y el desplazamiento d~r; sepuede escribir como dx, entonces:

dW = ~F · d~r = PAdx

Pero Adx equivale a dV , el aumento en el volumen del gas durante esta pequeña expansión, entonces eltrabajo efectuado por el gas sobre los alrededores como resultado de la expansión es:

dW = PAdx = PdV (5.19)

Ahora reemplazando en la expresión de la primera ley de la termodinámica e integrando desde el estadoinicial al estado final se obtiene: ˆ f

0

dQ =

ˆ f

0

dU +

ˆ f

0

PdV (5.20)

Como la presión P es constante, puede salir fuera de la integral y se puede representar la primera ley como:ˆ f

0

dQ =

ˆ f

0

dU + P

ˆ f

0

dV

Al efectuar la integración:[Q]f0 = [U ]f0 + P [V ]f0

y evaluando en los límites:Qf −Q0 = Uf − U0 + P (Vf − V0) (5.21)

Finalmente se obtiene la forma general para este tipo de proceso:

∆Q = ∆U + P∆V (5.22)

5.6.3 Isocórico

Un proceso isocórico, también llamado proceso isométrico o isovolumétrico es un proceso termodinámicoen el cual el volumen permanece constante; V = 0. Esto implica que el proceso no realiza trabajo presión-volumen, ya que éste se define como:W = PV , donde P es la presión (el trabajo es positivo, ya que esejercido por el sistema). Aplicando la primera ley de la termodinámica:

∆Q = ∆U + P∆V (5.23)

como el volumen permanece constante∆V puede deducirse que Q, el cambio de la energía interna del sistemaes:

Q = ∆U

80


para un proceso isocórico: todo el calor que se transfiere al sistema se agregará a su energía interna, U . Sila cantidad de gas permanece constante, entonces el incremento de energía será proporcional al incrementode temperatura

Q = nCV T (5.24)

donde CV es el calor específico molar a volumen constante. En un diagrama P versus V , un proceso isocóricoaparece como una línea vertical. Desde el punto de vista de la termodinámica, estas transformaciones debentranscurrir desde un estado de equilibrio inicial a otro final; es decir, que las magnitudes que sufren unavariación al pasar de un estado a otro deben estar perfectamente definidas en dichos estados inicial y final.De esta forma los procesos termodinámicos pueden ser interpretados como el resultado de la interacción deun sistema con otro tras ser eliminada alguna ligadura entre ellos, de forma que finalmente los sistemas seencuentren en equilibrio (mecánico, térmico y/o material) entre si. De una manera menos abstracta, unproceso termodinámico puede ser visto como los cambios de un sistema, desde unas condiciones inicialeshasta otras condiciones finales, debidos a la desestabilización del sistema.

Ejemplo ¿Cuanto se incrementa la energía interna de 10g de hielo que esta a cero grados centigradoscuando se transforma en agua manteniendo el volumen constante?.

SoluciónComo el proceso es isocórico, ya que no cambia el volumen, entonces w = 0 y de acuerdo con laprimera ley de la termodinámica la cantidad de calor ganado por el hielo es igual al cambio en su energiainterna, esto significa que decir:

Q = U

. Ahora bien, el calor de fusión del hielo esQ = mLf

en donde Lf = 80cal/g. sustituimos valores en la relación anterior:

Q = (10g)(80cal/g) = 800cal

por tanto, el cambio en la energía interna es:

∆U = Q = 800cal4.19J/1cal = 3352J

5.6.4 Adiabático

Un proceso adiabático es aquel en que el sistema no pierde ni gana calor. La primera ley de Termodinámicacon Q=0 muestra que todos los cambios en la energía interna estan en forma de trabajo realizado. Estopone una limitación al proceso del motor térmico que le lleva a la condición adiabática mostrada abajo.Esta condición se puede usar para derivar expresiones del trabajo realizado durante un proceso adiabático.

En general las máquinas térmicas operan de la siguiente manera: dentro de un cilindro se tiene un gas apresión y temperatura elevadas, el gas empuja el pistón hacia arriba y realiza trabajo sobre el , tal procesode expansión contra el pistón convierte la energía térmica en energía mecánica útil y la temperatura delgas disminuye conforme entrega trabajo el pistón, supóngase que el gas esta térmicamente aislado:En esta clase de transformación no se produce intercambio de calor del gas con el exterior (4Q = 0). Sedefine el coeficiente adiabático de un gas γ a partir de las capacidades caloríficas molares tomando distintosvalores según el gas sea monoatómico o diatómico: El gas se encuentra encerrado mediante un pistón en unrecipiente de paredes aislantes y se deja expansionar.

81


Figure 5.6: Modelo piston cilíndro aislado termicaménte

Expansión adiabática de un gas ideal En una representación en un diagrama P − V : el volumenaumenta y la presión y la temperatura disminuyen.

γ =cpcv

=

5

3monoatomico

7

5diatomico

(5.25)

En este caso varían simultáneamente la presión, el volumen y la temperatura, pero no son independientesentre sí. Se puede demostrar usando el Primer Principio que se cumple:

dW = PdV (5.26)

como el intercambio de calor es cero el cambio de energía del gas se debe por completo al trabajo realizadopor el gas, luego se tiene:

dU = −dW = −PdV (5.27)

el cambio de energía interna se puede formular mediante:

dU = nCV dT (5.28)nCV dT = −PdV (5.29)

de acuerdo con la ley del gas ideal se tiene

nCV dT = nRTdV

V(5.30)

PV γ = cte

P1Vγ1 = P2V

γ2

(5.31)

Haciendo cambios de variable mediante de la ecuación de estado del gas ideal, se obtiene las relaciones entrelas otras variables de estado:

P 1−γT γ = cte

P 1−γ1 T γ1 = P 1−γ

2 T γ2TV γ−1 = cte

T1Vγ−11 T2V

γ−12 =

(5.32)

82

5.7. ACTIVIDADES PARA MEJORAR LA COMPRENSIÓN CHAPTER 5. TERMODINÁMICA

El trabajo realizado por el gas lo calculamos a partir de la definición, expresando la presión en función delvolumen. Integrando se llega a:La variación de energía interna se calcula usando la expresión general para un gas ideal: Aplicando elPrimer Principio: Es decir, en una expansión adiabática, el gas realiza un trabajo a costa de disminuir suenergía interna, por lo que se enfría. En el proceso inverso, el gas se comprime (W<0) y aumenta la energíainterna. En esta tabla se encuentra un resumen de cómo calcular las magnitudes trabajo, calor y variaciónde energía interna para cada transformación.

5.7 Actividades para mejorar la comprensión

1. Se calienta 1Kg de agua hasta convertirla en vapor de agua a la temperatura de ebullición del agua ya al presión atmosférica normal( 1atmosfera) ¿cual es el volumen del vapor?.Solución. la densida del vapor de agua esuna función que depende de la presión y de la temperatura:

ρvap.Agua (100C, 100 kPa) = 0.598kg

m3

como la densida se define:

ρ =m

V

V =m

ρ

V =1kg

0.598kg

m3

V = 1.67m3

2. Describa un modelo molecular para sólidos, líquidos y gases.

3. Extienda este modelo a los cambios de fase.

4. Describa cómo la calefacción o refrigeración cambia el comportamiento de las moléculas.

5. Describa cómo cambiando el volumen puede afectar a la temperatura, presión y estado.

6. Relacionar un diagrama de presión-temperatura en el comportamiento de las moléculas

7. Un recipiente de cobre, de masa 1.5kg, contiene un trozo de hielo de 10 kg a la temperatura de −10°C,si al recipiente se le agregan se 5 kg de vapor de agua a 100°C.

(a) Determinar el estado de la mezcla.

(b) Determinar la variación de entropía.Datos: Calor específico del cobre 397 J/(kgÂůK). Calor defusión del hielo 334 400 J/kg. Calor específico del agua 4180 J/(kgÂůK). Calor específico delhielo 2090 J/(kgÂůK).Calor de licuefacción del vapor del agua 2 257 200 J/kg.Solución: Conceptualmente debe observarse que en primer lugar el hielo debe pasar de estadosolido a estado líquido,al poner en contactolas dos fases se producirá un flujo de calor desde elvapor al hielo. Uno se irá enfriando a medida que el otro se calienta, quedando el sistema enun estado final en que ambos subsistemas tienen la misma temperatura.Supóngase que el estadofinal será un punto intermedioen el que las dos fases se encuentran en el estado de agua líquida.Para convertir el hielo en agua a una temperatura T es necesario proporcionar un calor este

valor es el calor de fusión del hielo Q = mL = 334400J

Kg,haciendo un balance de energía: calor

83


necesario para derretir el hielo, calor necesario para cambiar su temperatura, calor necesario paracalentar el agua

Qp = Qf +Qhielo +Qagua +QCu

Qp = 10Âů2090∆T + 10Âů334400J

kg+ 10Âů4180∆T

Qp = = 7733000J + 65505J = 7798505J

El calor necesario para elevar la temperatura del cobre es:

QCu = cCumCu4T = 1.5Kg.397J

kgKÂů110K = 65505J

El calor de licuefacción del agua (calor de condensación) 2257200J

kg. Para que el vapor de agua

se condense este debe perder energía y esta es: calor de licuefaccion del vapor de agua mLl =2257200Jkg = 7798505J

mc =7798505J

2257200J= 3.45kg de agua condensada

para calcular el cambio de entropía se utiliza la ecuación 11:ˆ Tf

T0

cm4TT

= cm lnTfT0

debe contextualizarse en cada parte del proceso:

Variación de entropía cuando se convierten 10 kg de hielo a -10 °C en agua a 100°C.

10 · 2090 ln273

263+ 10 · 334400

273+ 10 · 4180 ln

373

273

Variación de entropía cuando se eleva la temperatura de 1.5 kg de cobre de −10°C a 100°C

1.5kg · 397Jkg−1 ln373

263

La variación de entropía cuando se condensa una masa de 3.45 kg de vapor de agua

−7798505

373

1. Un trozo de hielo de 583cm3 a 0°Cse calienta y se convierte en agua a 4°C. Calcular el incrementode energía interna •el incremento de entropía que ha experimentado. Datos: ρhielo = 0.917g/cm3ρagua = 1g/cm3, calor de fusión del hielo 80 cal/g. 1atm = 101293Pa. 1cal = 4.186J.

2. Para una muestra de helio (gas perfecto monoatómico cv=3R/2) en el estado inicial A: pA=105 Pa,VA=10-2 m3 y TA=300 K. Se llevan a cabo las siguientes transformaciones:

A→ B: Transformación isoterma reversible siendo VB = 2 · 10−2m3

B → C: Transformación isócora (V = cte) reversible siendo TC = 189K

C → A: Transformación adiabática reversible, que devuelve al gas a sus condiciones ini-ciales.:Determinar

84


• el número de moles de helio, confeccionar una tabla en la que aparezcan los valores p, V y T en lostres estados A, B y C, y dibujar el ciclo en el diagrama P − V

• b) Calcular, en unidades del sistema internacional, de forma directa (siempre que sea posible) eltrabajo W , el calor Q, y la variación de energía interna 4U , del gas para cada uno de los procesos.

• Determinar el rendimiento de este ciclo como motor térmico .Dato: R=8.314J

molÂůK

1. Diez moles de un gas diatómico (cv =5

2R) se encuentran inicialmente a una presión de PA = 5·105Pay

ocupando un volumen de VA = 249 · 10−3m3. Se expande adiabáticamente (proceso A → B) hastaocupar un volumen VB = 479 · 10−3m3. A continuación el gas experimenta una transformaciónisoterma (proceso B → C) hasta una presión PC = 105Pa. Posteriormente se comprime isobárica-mente (proceso C → D) hasta un volumen VD = VA = 249 · 10−3m3. Por último, experimenta unatransformación a volumen constante (proceso D → A) que le devuelve al estado inicial.

1. Representar gráficamente este ciclo en un diagrama P-V.

2. 2.Calcular el valor de las variables termodinámicas desconocidas en los vértices A, B, C y D.

3. 3.Hallar el calor, el trabajo, la variación de energía interna, en Joules, de forma directa y/o empleandoel Primer Principio, en cada etapa del ciclo.

4. 4.Calcular el rendimiento. R = 0.082atmÂůl

(molÂůK)= 8.314

J

mol; 1cal = 4.186J ; 1atm = 1.013105Pa

Estrategia de solución: hacer el diagrama del proceso de acuerdo con la información proporcionada.Escribirel valor se las variables en cada uno de los vértices de la gráfica obtenida, con la ecuación de estadocalcular cada una de la variables faltantes en los vértices de la gráfica presión versus volumen.

Figure 5.7: Modelo piston cilíndro aislado termicaménte

γ =cpcv

=7

5

PAÂůVA, = nRTA

TA =PAÂůVAnR

85


A→ B, proceso adiabático

PAVγA = PBV

γB

PB =PAV

γA

V γB= 2 · 105Pa

Vértice B. Observe que se está calculando la temperatura TB utilizando la variables termodinámicasen el mismo punto

pBVB = nRTB

TB =pBVBnR

TB = 1152.7K

Para la transición del punt B al punto C

B → C, proceso isotérmico

pBVB = pCVC

VC =pBVBpC

VC = 958.3 · 10−3m3

Vértice P V TA 5 105Pa 249 103m3 1497.5KB 2 105Pa 479 103m3 1152.7KC 105Pa 958.3 · 10−3 1152.7KD 105Pa 249 · 10−3m3 299.5K

∆QA→B = 0 ∆UA→B = 10CV (TB − TA)

∆UA→B = 10 · 5

28.314 (1152.7-1497.5) = −71667J

WA→B = ∆UA→B = −71667J

Ahora se obtiene el cálculo del trabajo de forma directa:

86


PV γ = cte

PAVγA = PBV

γB

WA→B =

ˆ B

A

PdV

ˆ B

A

PdV =

ˆ B

A

cte

V γdV

ˆ B

A

cte

V γdV = cte

V −γ+1

.γ + 1ˆ B

A

cte

V γdV = cte

V 1−γB − V 1−γ

A

1− γ

cteV 1−γB − V 1−γ

A

1− γ=

PBVγBV

1−γB − PAV γAV

1−γA

1− γPBV

γBV

1−γB − PAV γAV

1−γA

1− γ=

PBVB − PAVA1− γ

reemplazando los valores obtenidos en la tabla anterior se obtiene: WA→B = ∆UA→B = −71667

B → C es un proceso isotérmico y se tiene:∆UB→C = 0

W =

ˆ C

B

PdV

ˆ C

B

PdV = nRT

ˆ C

B

dV

V

nRT

ˆ C

B

dV

V= nRT (lnC − lnB)

nRT (lnC − lnB) = nRTlnVBlnVC

= 66458J

Como se trata de un proceso isotérmico se tiene:

QB→C = WB→C = 66458J

De C → D es un proceso a presión constante (isobárico)

∆UC→D = ncv(TD−TC)

∆UC→D = 10 · 5

2· 8.314(299.5−1152.7)J

∆UC→D = −177338J

QC→D = ncp(TD−TC)

QC→D = 10 · 7

2· 8.314(299.5−1152.7)

QC→D = −248273J

WC→D = p(VD−VC)

WC→D = 105(249.10−3−958.10−3)

WC→D = −70930J

87


Compruebe que ∆U v Q −W . proceso de D → A isocoro ( a volumen constante). como no haycambio de volumen el trabajo mecánico es cero:

WD→A = 0

∆UD→A = Q

∆UD→A = ncv (TA − TD)

ncv (TA − TD) = 10 · 5

2· 8.314 (1497, 5A − 299.5)

ncv (TA − TD) = 249004J

Proceso ∆U [J ] Q [J ] W [J ]

A→ B -71667 0 71667B → C 0 66458 66458C → D -177338 -248773 -70930D → A 249004 -249004 0Total 0 67278

Por último se calcula la eficiencia de la máquina:

η =W

Qabsorvido

(a) Una máquina térmica trabaja con 3 moles de un gas monoatómico, describiendo el ciclo reversibleABCD de la figura. Sabiendo que VC = 2VB :ver figura 1

Figure 5.8: Grafíca ciclo termodinámico

(a) Calcular el valor de las variables termodinámicas desconocidas en cada vértice.(b) Deducir las expresiones del trabajo en cada etapa del ciclo.(c) Calcular de forma directa en cada etapa del ciclo (siempre que sea posible), el trabajo, el calor,

la variación de energía interna y la variación de entropía(d) El rendimiento del ciclo. datos: R=0.082 atmÂůl/(molÂůK) = J/(molÂůK); 1cal=4.186 J;

1atm=1.013Âů105Pa,cv =3

2R Solución::γ =

cPCV

=5

3

para el vértice A:

PAVA = nrTA

VA =3 · 0.082.293K

1.5= 48.04l

88


PAVATA

=PBVBTB

PCVC = PDVD

A→ B se trata de un proceso adiabáticoQA→B = 0

PAVγA = PBV

γB

V γB =PAV

γA

V γA

V γB =PAV

γA

PB

V γB =15.(48.05)5/3

30V γB = 7.96l

Vertice B

PBVB = nRTBPBVBnR

= TB = 972K

Vertice C

PCVC = PB2VBPB2VBnR

= TC = 1942.3K

C → Dproceso isotérmico

PCVC = PDVDPCVCVD

= PD9, 95 atm

Vertice P V TA 1.5 48,02 293B 30 7.96 971.1C 30 15,93 1942.3D 9.95 48,05 1942.3

4UA→B = −nCV (TB − TA) = 3 · 3

2· 0′082 (971− 293)

4UA→B = −250.2atm l

calculo del trabajo :PBVB − PAVA

1− γ=

1.5 · 48, 04− 30 · 7, 96

1− 5

31.5 · 48, 04− 30 · 7, 96

1− 5

3

= 250.1 l atm

∆S = 0

89


Proceso de B → C isobárico

∆UB→C = nCV (TC − TB)

∆UB→C = 3 · 3

2· 0.082 (1942.4− 971.1)

∆UB→C = 358.4 atm l

El calor en el proceso

QB→C = nCP (TC − TB)

nCP (TC − TB) = 3 · 5

2· 0.082 (1942.4− 971.1)

nCP (TC − TB) = 597.3 atm l

Trabajo WB→C

W = P (VC − VB)

P (VC − VB) = 30 (15.93− 7.96)

P (VC − VB) = 239.1 atm l

el cambio de entropía en el proceso B → C

4BC =

ˆ Tf

T0

4QT

=

ˆ Tf

T0

nCP4TTˆ Tf

T0

nCP4TT

= nCP lnTCTB

= 3 · 5

2· 0.082 ln

194.2

971.1

nCP lnTCTB

= 0.43 atmlK−1

ProcesoC → D isotérmico

W =

ˆ D

C

PdV

ˆ D

C

PdV = nRT

ˆ D

C

dV

V

nRT

ˆ D

C

dV

V= nRT ln

VDVC

QCD = WCD = 527.5 atm l

Una máquina térmica trabaja sobre 3 moles de un gas monoatómico, realizando el ciclo reversibleABCDverfigura de abajoSi el volumen del gas en el estado Ces el doble del volumen del gas en el estado B:

1. Calcular las variables desconocidas en cada vértice del ciclo.

2. Calcular de forma directa el trabajo en cada etapa del ciclo

3. El calor, la variación de energía interna y la variación de entropía

4. Hállese el rendimiento del ciclo.

90


Preguntas de selección múltiple y respuesta única

Elija la repuesta correcta.La temperatura mide

1. la cantidad de calor que absorbe un cuerpo

(a) La energía cinética de las moléculas

(b) La cantidad de frio de un termómetro

(c) La energía cinética de un sistema

(d) La sensacion de calor o frio

2. Acerca del proceso energético iniciado cuando un helado se introduce dentro del refrigerador, se puedeafirmar que

(a) No hay intercambio de energía entre el helado y el refrigerador.

(b) Fluye energía del helado al refrigerador.

(c) Fluye energía del refrigerador al helado.

(d) la temperatura del helado aumenta

(e) La temperatura del helado disminuye

3. Mientras el helado y el refrigerador estén en equilibrio térmico, se puede afirmar que

(a) Hay flujo neto de calor del helado al refrigerador.

(b) La energía interna del helado disminuye.

(c) El flujo neto de calor entre el helado y el refrigerador es cero.

(d) Hay flujo neto de calor del refrigerador al helado.

(e) Ninguna de las anteriores

4. Se comprime un gas diatómico γ = 1.4 adiabáticamente, desde un volumen inicial de630cm3 a unvolumen final de 30cm3, la temperatura inicial del gas es de 45C .Hallar: la temperatura final y lapresión final y el trabajo efectuado

5. Un gramo de agua se convierte en 1671cm3de vapor de agua a una atmósfera de presión , si el calorde vaporización del agua es 539 calorias g−1 ¿cual es el trabajo realizado y ¿cual la variación de laenergía interna?.Solución:

W = −p (Vf − V0) = 1.013 105Pa(1671 10−5m3 − 1 10−6m3

)W = −169J

El calor latente de vaporización está dado por:

mLv =(1 · 10−3kg

) (2, 22 106J/kg

)mLv = 2260J

Para el cambio de la energía interna se tiene:

∆U = Q+W

∆U = 2200J + (−169J)

∆U = 2009J

91


En un calorímetro de aluminio de masa 50g que contiene 200g de agua a una temperatura inicial de 19°C,se introduce un bloque de aluminio a una temperatura de 100°C. Hallar la temperatura final del agua,Se colocan 0.5 kg de hielo a 0C° en un recipiente y se calienta hasta que el hielo se funde y el agua hiervey se evaporan 100gmde agua.Â£Cuanto calor se debe suministrar para poder hacerlo.Una barra de acero con longitud de 230cm y temperatura de 50 C se introduce en un horno en donde sutemperatura aumenta hasta los 360CÂ£Cuál será la nueva longitud de la barra?Un recipiente de vidrio está lleno con 50cm3 de mercurio a 18C. Calcular el volumen a 38 °C que sale delbulbo si se eleva su temperatura hasta 38 °C. El coeficiente de dilatación lineal del vidrio es 9x10−6C−1yel correspondiente cúbico del mercurio es 18x10−6C−1. Nota: se dilatan simultáneamente el recipiente yel mercurio.En el aire se encuentran 700g de vapor de agua que están a temperatura de ebullición y a la presión atmosf’erica normal Â£Que volumen ocupará este vapor de agua?

92

oscilaciones, ondas fluidos y...

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