4. movimiento oscilatorio

TECSUP-PFR Ondas y Calor

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Unidad IV

MOVIMIENTO OSCILATORIO

Figura 1. El resorte automotriz que se muestra aqu tiene un amortiguador que fue diseado

para reducir la vibracin y lograr un recorrido suave. (GIANCOLI, 2008)

1. MOVIMIENTO ARMNICO SIMPLE

1.1 LEY DE HOOKE Equation Chapter 3 Section 1 En 1676 Robert Hooke descubri y estableci la ley que lleva su nombre y que se utiliza para definir las propiedades elsticas de un cuerpo. En el estudio de los efectos de las fuerzas de tensin, y compresin, observ que haba un aumento en la longitud del resorte, o cuerpo elstico, que era proporcional a la fuerza aplicada, dentro de ciertos lmites. Esta observacin puede generalizarse diciendo que la deformacin es directamente proporcional a la fuerza deformadora.

F k x (3.1) Donde F es la fuerza, medida en Nel alargamiento, o compresin. El signo negativo indica que la fuerza del

Ondas y Calor TECSUP-PFR

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resorte es restitutiva, u opuesta a la fuerza externa que lo deforma. Esta expresin se conoce con el nombre de ley de Hooke. Si la fuerza deformadora sobrepasa un cierto valor, el cuerpo no volver a su tamao (o forma) original despus de suprimir esa fuerza. Entonces se dice que el cuerpo ha adquirido una deformacin permanente. La tensin ms pequea que produce una deformacin permanente se llama lmite de elasticidad. Para fuerzas deformadoras que rebasan el lmite de elasticidad no es aplicable la ley de Hooke.

1.2 MOVIMIENTO ARMNICO SIMPLE Cuando el movimiento de un objeto se repite en intervalos regulares, o perodos, se le llama movimiento peridico. Si tomamos las oscilaciones de un pndulo simple hacia los lados, tenemos un ejemplo de movimiento peridico. Consideremos una partcula de masa m, sujeta a un resorte, que oscila en la direccin x sobre una superficie horizontal, sin friccin. Ver la figura 1, y acceder el siguiente enlace de Internet en donde aparece la animacin de dos osciladores armnicos simples con diferentes frecuencias de oscilacin:

Figura 2. El oscilador armnico simple reacciona con una fuerza que se opone a

la deformacin (Raymond A. Serway, 2008)

Aplicando la segunda ley de Newton al resorte tenemos:

kx ma (3.2) Por otro lado, la aceleracin instantnea se define como,

2

2

d xa

dt

(3.3)


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De donde obtenemos que: 2

2

d xm kx

dt

(3.4) O bien,

2 22

2 20 0

d x k d xx o x

dt m dt

Proponemos una solucin de la forma,

( ) ( )x t Asen t (3.5)

frecuencia. Esta solucin es correcta si

k

m

(3.6)

escribir como:

2m

Tk

(3.7)

Figura 3.

1.3 ENERGA EN EL MOVIMIENTO ARMNICO SIMPLE

La fuerza ejercida por un resorte ideal es conservativa y las fuerzas verticales no efectan trabajo, as que se conserva la energa mecnica total del sistema. Tambin supondremos que la masa del resorte es despreciable.

Funcin seno


50

La energa cintica del cuerpo es

21

2K mv

y la energa potencial del

resorte es

21

2U kx

. No hay fuerzas no conservativas que efecten trabajo, as que se conserva la energa mecnica total

2 21 1

2 2E mv kx

(3.8) La energa mecnica total E tambin est relacionada directamente con la amplitud A del movimiento. Cuando el cuerpo llega al punto x = A, su desplazamiento es mximo con respecto al equilibrio, se detiene momentneamente antes de volver hacia la posicin de equilibrio. Es decir, cuando x = A (o bien, -A), vx= 0. Aqu, la energa es slo potencial, y

21

2E kA

Puesto que E es constante, esta cantidad es igual a

21

2E kA

en cualquier otro punto.

Figura 4. Grfica de E, K y U contra desplazamiento en un MAS. La velocidad del

cuerpo no es constante, de manera que las imgenes del cuerpo en posiciones equidistantes no estn igualmente espaciadas en el tiempo. (YOUNG, 2009)


51

Figura 5. Energa cintica K, energa potencial U y energa mecnica total E en funcin de la posicin en un MAS. (YOUNG, 2009)

2. PNDULO SIMPLE

En el caso de un pndulo ideal o simple, se cuelga una partcula material (la bola) de una cuerda inextensible de masa despreciable. Aunque no hay ningn pndulo real que tenga estas propiedades idealizadas, puede considerarse con pequeo error como pndulo simple el formado por una bola pequea y pesada colgada de un punto fijo mediante un hilo. La posicin de dicho pndulo se describe

mediante su distancia angular respecto a la vertical, como se ve en la figura. EL momento de la fuerza gravitatoria sobre la bolita del pndulo respecto al punto de suspensin es

mglsen , que tiende a restaurarlo a su posicin vertical de equilibrio. Como el

momento de inercia del pndulo es 2I ml , la

ecuacin del movimiento I se convierte en

22

2

dml mglsen

dt

(3.9)

o sea.


52

C

L

mg

O

2

20

d gsen

dt l

Si es pequeo, podemos utilizar la aproximacin sen (radianes), que

resulta vlida hasta un 10%, para < 45 y hasta el 1% para


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2I

TmgL

(3.13)

Valor que corresponde a la frecuencia de oscilacin de un pndulo ideal de

longitud l, en donde

Il

mL

En otras palabras, un pndulo fsico suspendido por O oscilara como si fuese un pndulo ideal con toda su masa concentrada en un punto O, situado a una distancia l de O sobre la prolongacin que pasa por C.

4. MOVIMIENTO AMORTIGUADO

Hemos pasado por alto cualquier fuerza disipativa o amortiguadora presente en el sistema oscilante. Las fuerzas amortiguadoras reducen la energa mecnica total del sistema, normalmente mediante una transformacin en calor. Un pndulo puede estar oscilando durante un tiempo considerable; sin embargo, si no se le suministra energa para compensar la resistencia del aire y el rozamiento en el pivote de giro, la amplitud de oscilaciones ira disminuyendo gradualmente, la energa total es proporcional al cuadrado de la amplitud. Como la fuerza de amortiguamiento se opone siempre a la velocidad podemos

expresarla como F bv , en donde b es una constante llamada coeficiente de

amortiguamiento. En el caso del movimiento unidimensional, la ecuacin del movimiento es:

2

2

d x dxm b kx

dt dt

(3.14) que despus de reordenarla, toma la forma

22

20n

d x dxx

dt dt

En donde /b m y 2 / .n k m

Una solucin es de la forma:

( ) ( )t dx t Ae sen t

(3.15) en donde A es la amplitud sin amortiguar, d es la frecuencia angular

amortiguada y es una constante positiva denominada constante de

amortiguamiento.

Para hallar y d reemplazando x(t) en la ecuacin diferencial obtenemos:


54

1

2

2 2 2 2 2 21

4d n n n

La solucin es:

/ 2( ) ( )t dx t Ae sen t

En donde

2 21

4d n

y la amplitud A y el ngulo de fase son

constantes arbitrarias que dependen de las condiciones iniciales.

Figura 6. Grfica de desplazamiento contra tiempo para un oscilador con poco amortiguamiento (YOUNG, 2009)

5. MOVIMIENTO FORZADO

A veces el oscilador amortigundose encuentra sometido tambin a una fuerza impulsora peridica externa que impide la disminucin de las oscilaciones, o incluso acta incrementando su amplitud, como sucede en el caso de los relojes accionados elctricamente, juguetes y relojes accionados por una cuerda mecnica, tropas en marcha rtmica sobre un puente o los impulsos que se dan

en un columpio. Si representamos la fuerza por 0 FF F sen t= w , siendo F la frecuencia de la fuerza, la ecuacin del movimiento correspondiente a f0 = F0/m se transforma en

2

2

02 n F

d x dxx F sen t

dt dt

(3.16)


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Cuando se resuelve esta ecuacin, suponiendo que el oscilador esta subamortiguado, resulta que la respuesta del sistema a la fuerza impulsora se compone de dos movimientos, la respuesta transitoria y la respuesta estacionaria. La primera corresponde a la oscilacin armnica libre y

subamortiguada de frecuencia d que se anula con el tiempo; la segunda corresponde a una oscilacin forzada que continua con amplitud constante y con

la frecuencia F de la fuerza impulsora. La solucin general de la ecuacin diferencial anterior es:

t/ 2

d F F Fx(t) Ae sen( t ) A sen( t )- m= w + f + w + f

(3.17)

en donde AF es la amplitud de las oscilaciones estacionarias forzadas, no es arbitraria sino que puede determinarse sustituyendo en la ecuacin diferencial. Como el trmino transitorio no contribuye a AF, obtenemos:

0

F2 2 2 2

n F n

fA

( )=

w - w + mw (3.18)

La diferencia de fase o desplazamiento de fase F, entre la fuerza impulsora y el

desplazamiento estacionario es

FF 2 2

F n

arctg 0mw

- p f = w - w

lo cual implica que el desplazamiento no estar exactamente sincronizado con la fuerza, sino desfasado en un ngulo constante. Obsrvese que AF y F no son

arbitrarias, sino que quedan determinadas por las condiciones fsicas.

6. RESONANCIA MECNICA

La respuesta del oscilador es un mximo cuando la amplitud AF(F) posee su valor ms grande. Este fenmeno, conocido como resonancia, aparece a frecuencias

2 21

F res n 2w = w = w - m

(3.19)

La figura muestra a AF y F como valores de F/n para 110n nym= w m= w

. En el caso de valores extremos de F, la fuerza impulsora y la velocidad de

oscilacin son paralelas nicamente una parte del tiempo, durante el cual la fuerza realiza trabajo positivo. Sin embargo cuando la frecuencia impulsora se aproxima gradualmente a la frecuencia natural, la diferencia de fases entre la fuerza y la velocidad disminuye rpidamente y la amplitud alcanza un mximo

valor en la resonancia, res nw = w


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Figura 7.

7. PREGUNTAS

1. Explique por qu el movimiento de un pistn en un motor de automvil es aproximadamente armnico simple?

2. Si un reloj de pndulo es exacto al nivel del mar, al llevarlo a una gran

altitud se atrasar o se adelantar? Por qu? 3. Para un oscilador armnico simple, cundo (si acaso) los vectores de

desplazamiento y de velocidad tienen el mismo sentido? Cundo los vectores de desplazamiento y de aceleracin tienen el mismo sentido?

4. Dos masas iguales estn unidas a resortes separados idnticos uno junto al

otro. Se jala una masa de modo que su resorte se estira 20 cm, y el otro tambin se jala y su resorte se estira slo 10 cm. Las masas se sueltan simultneamente. Cul masa alcanzar primero el punto de equilibrio?

5. Una varilla delgada uniforme de masa m est suspendida de un extremo y

oscila con una frecuencia f. Si se le une una pequea esfera de masa 2m al otro extremo, la frecuencia aumenta o disminuye? Explique su respuesta.

6. Un diapasn con frecuencia natural de 264 Hz est sobre una mesa al frente

de una habitacin. En la parte de atrs del cuarto, dos diapasones, uno de frecuencia natural de 260 Hz y el otro de 420 Hz, estn inicialmente en silencio; sin embargo, cuando el diapasn al frente se pone en vibracin, el diapasn de 260 Hz comienza espontneamente a vibrar pero no lo hace el de 420 Hz. Explquelo.

7. Puede el traqueteo de un automvil llegar a ser un fenmeno de

resonancia? Explique su respuesta.


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8. Los sistemas de masaresorte y los de pndulo pueden usarse como dispositivos para medir el tiempo en forma mecnica. Cules son las ventajas de usar un tipo de sistema en lugar del otro en un dispositivo diseado para generar mediciones de tiempo reproducibles por un periodo extendido?

9. El pndulo A tiene una pesa de masa m colgada de una cuerda de longitud

L; el pndulo B es idntico al A excepto porque su pesa tiene una masa de 2m. Compare las frecuencias de las oscilaciones pequeas de los dos pndulos.

10. Un pico agudo en la curva de la frecuencia puede representarse como la

suma de funciones sinusoidales de todas las frecuencias posibles, con amplitudes iguales. Una campana golpeada con un martillo suena con su frecuencia natural, esto es, la frecuencia con la que vibra como un oscilador libre. Explique por qu, tan clara y concisamente como pueda.

8. EJERCICIOS. La numeracin entre parntesis, marca el nivel del ejercicio planteado. 1. (I) Los resortes de un automvil de 1500 kg se comprimen 5.0 mm cuando

una persona de 68 kg se sienta en el lugar del conductor. Si el automvil pasa por un tope, cul ser la frecuencia de las vibraciones? Ignore el amortiguamiento.

2. (II) Los edificios altos se disean para balancearse con el viento. Con un viento de 100 km/h, por ejemplo, la parte superior de la torre Sears de 110 pisos oscila horizontalmente con una amplitud de 15 cm. El edificio oscila a su frecuencia natural, que tiene un periodo de 7.0 s. Suponiendo MAS, encuentre la velocidad horizontal mxima y la aceleracin experimentadas por un empleado de la torre Sears cuando se sienta a trabajar en su escritorio localizado en el piso superior. Compare la aceleracin mxima (como un porcentaje) con la aceleracin debida a la gravedad.

3. (II) Una mosca pequea de 0.25 g es atrapada en una telaraa. sta oscila predominantemente con una frecuencia de 4.0 Hz. a) Cul es el valor de la constante efectiva de rigidez del resorte k de la telaraa? b) A qu frecuencia vibrara la telaraa si fuera atrapado un insecto con masa de 0.50 g?

4. (II) Una masa m en el extremo de un resorte vibra con una frecuencia de 0.83 Hz. Cuando se agrega a m una masa adicional de 0.83 kg, la frecuencia es de 0.60 Hz. Cul es el valor de m?

5. (II) Una vara uniforme de 1.0 m de longitud y masa M est articulada en un extremo y se sostiene horizontalmente con un resorte de constante k en el otro extremo (figura). Si la vara oscila poco hacia arriba y hacia abajo, cul es su frecuencia? [Sugerencia: Escriba una ecuacin de torca con respecto a la bisagra].


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6. (II) Un bloque de madera de balsa con masa de 55 g flota sobre un lago, oscilando verticalmente a una frecuencia de 3.0 Hz. a) Cul es el valor de la constante de resorte efectiva del agua? b) Una botella parcialmente llena de agua con masa de 0.25 kg, y casi del mismo tamao y forma que la del bloque de madera, se lance al agua. A qu frecuencia esperara usted que la botella oscilara verticalmente? Suponga un MAS.

7. (II) La figura muestra dos ejemplos de MAS, designados como A y B. Para cada uno, cul es a) la amplitud, b) la frecuencia y c) el periodo? d) Escriba las ecuaciones para A y B en la forma de seno o coseno.

8. (II) Un resorte vertical con constante de rigidez de 305 N/m vibra con una amplitud de 28.0 cm cuando se cuelgan de l 0.260 kg. La masa pasa por el punto de equilibrio (y = 0) con velocidad positiva en t = 0. a) Cul es la ecuacin que describe este movimiento en funcin del tiempo? b) En qu tiempos el resorte tendr sus extensiones mxima y mnima?

9. (II) La posicin de un OAS en funcin del tiempo est dada por x = 3.8

cos(5t/4 + /6) donde t est en segundos y x en metros. Encuentre a) el periodo y la frecuencia, b) la posicin y velocidad en t = 0, y c) la velocidad y aceleracin en t = 2.0 s.

10. (II) Un objeto de masa desconocida m se cuelga de un resorte vertical de constante k desconocida, y se observa que el objeto est en reposo cuando el resorte se extiende 14 cm. Luego se le da al resorte un ligero empujn y experimenta MAS. Determine el periodo T de esta oscilacin.

11. (II) Un objeto de 1.60 kg oscila cada 0.55 s desde un resorte ligero que cuelga verticalmente. a) Escriba la ecuacin que da su posicin y (+ hacia


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arriba) en funcin del tiempo t, suponiendo que cuando se comprime 16 cm a partir de la posicin de equilibrio (donde y = 0), y luego se libera. b) Cunto tiempo le tomar alcanzar por primera vez la posicin de equilibrio? c) Cul ser su rapidez mxima? d) Cul ser su aceleracin. Mxima y dnde ocurrir?

12. (II) Elabore una grfica como la figura para un resorte horizontal, cuya constante sea 95 N/m y que tenga una masa de 55 g en su extremo. Suponga que el resorte empez con una amplitud inicial de 2.0 cm. Ignore la masa del resorte y cualquier friccin con la superficie horizontal. Utilice su grfica para estimar a) la energa potencial, b) la energa cintica y c) la rapidez de la masa, para x = 1.5 cm.

13. (II) Una masa de 0.35 kg en el extremo de un resorte vibra 2.5 veces por segundo con una amplitud de 0.15 m. Determine a) la velocidad cuando pasa por el punto de equilibrio, b) la velocidad cuando est a 0.10 m de la posicin de equilibrio, c) la energa total del sistema, y d) la ecuacin que describe el movimiento de la masa, suponiendo que en t = 0, x fue un mximo.

14. (II) Una bala de 0.0125 kg golpea un bloque de 0.240 kg unido a un resorte fijo horizontal, cuya constante de resorte es de 2.25 x 103 N/m y lo pone en vibracin con una amplitud de 12.4 cm. Cul fue la rapidez inicial de la bala, si los dos objetos se mueven juntos despus del impacto?

15. (II) Una masa se encuentra en reposo, sobre una superficie horizontal sin friccin, unida a un extremo de un resorte; el otro extremo est fijo a una pared. Se requieren 3.6 J de trabajo para comprimir el resorte 0.13 m. Si la masa se libera del reposo con el resorte comprimido, experimenta una aceleracin mxima de 15 m/s2. Encuentre el valor de a) la constante del resorte y b) la masa.

16. (II) En t = 0, una masa de 785 g en reposo en el extremo de un resorte horizontal (k = 184 N/m) se golpea con un martillo que le da una rapidez inicial de 2.26 m/s. Determine a) el periodo y la frecuencia del movimiento, b) la amplitud, c) la aceleracin mxima, d) la posicin en funcin del tiempo, e) la energa total, y f) la energa cintica cuando x = 0.40A donde A es la amplitud.


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17. (II) Un pndulo simple tiene 0.30 m de largo. En t = 0 se suelta desde el reposo iniciando con un ngulo de 13. Ignorando la friccin, cul ser la posicin angular del pndulo en a) t = 0.35 s, b) t = 3.45 s, y c) t = 6.00 s?

18. (II) Obtenga una frmula para la rapidez mxima vmx de la lenteja de un pndulo simple en trminos de g, la longitud l, y el ngulo mximo de

oscilacin mx. 19. (II) Una estudiante quiere usar una vara de un

metro como pndulo. Planea taladrar un pequeo agujero a travs de la vara y suspenderla desde un pasador liso unido a la pared (figura). En qu punto de la vara debera taladrar el agujero para obtener el periodo ms corto posible? Qu tan corto puede ser el periodo de oscilacin con una vara de un metro oscilando de esta manera?

20. (II) Un disco de madera contrachapada con radio de 20.0 cm y masa de 2.20 kg tiene un pequeo agujero taladrado a travs de l, a 2.00 cm de su borde (figura). El disco cuelga de la pared por medio de un pasador metlico que pasa a travs del agujero y se usa como un pndulo. Cul es el periodo de este pndulo para oscilaciones pequeas?

21. (II) Un bloque de 0.835 kg oscila en el extremo de un resorte cuya constante de resorte es k = 41.0 N/m. La masa se mueve en un fluido que ofrece una fuerza de resistencia F =-bv, donde b = 0.662 N.s/m. a) Cul es el periodo del movimiento? b) Cul es el decremento fraccional en amplitud por ciclo? c) Escriba el desplazamiento en funcin del tiempo, si en t = 0, x = 0, y en t = 1.00 s, x = 0.120 m.

22. (II) Un resorte vertical con constante de 115 N/m soporta una masa de 75 g. La masa oscila en un tubo de lquido. Si a la masa se le da inicialmente una amplitud de 5.0 cm, se observa que la masa tiene una amplitud de 2.0 cm despus de 3.5 s. Estime la constante de amortiguamiento b. Ignore las fuerzas de flotacin.


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23. (III) Un deslizador sobre una va de aire est conectado con resortes a ambos extremos de la va (figura). Ambos resortes tienen la misma constante de resorte, k, y el deslizador tiene masa M. a) Determine la frecuencia de la oscilacin, suponiendo que no hay amortiguamiento, si k = 125 N/m y M = 215 g. b) Se observa que despus de 55 oscilaciones, la amplitud de la oscilacin ha disminuido a la mitad de su valor original. Estime el valor de a. c) Cunto tiempo pasar para que la amplitud disminuya a un cuarto de su valor inicial?

24. (II) Un automvil de 1150 kg tiene un resorte con k = 16,000 N/m. Uno de los neumticos no est adecuadamente balanceado, ya que tiene una pequea masa adicional en un lado, comparndolo con el otro, lo cual ocasiona que el auto vibre a ciertas rapideces. Si el radio del neumtico es de 42 cm, con qu rapidez vibrar ms la rueda?

25. (II) La amplitud de un oscilador armnico impulsado alcanza un valor de 23.7 F0/m a una frecuencia de resonancia de 382 Hz. Cul es el valor Q de este sistema?

26. (III) Considere un pndulo simple (lenteja es una masa puntual) de 0.50 m de longitud con una U de 350. a) Cunto tiempo se requiere para que la amplitud (que se supone pequea) disminuya en dos tercios? b) Si la amplitud es de 2.0 cm y la lenteja tiene masa de 0.27 kg, cul es la tasa de la prdida de energa inicial del pndulo en watts? c) Si se va a estimular la resonancia con una fuerza impulsora senoidal, qu tan cerca debe estar la

frecuencia impulsora de la frecuencia natural del pndulo (de f = f - f0)?


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ANOTACIONES:

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4. movimiento oscilatorio

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