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Física I. Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica 2015/16 Tema 9Prof.Dr. Emilio Gómez GonzálezDpto. Física Aplicada III, ETS Ingeniería

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Tema 9: Movimiento

oscilatorio*

Física I

Grado en Ingeniería Electrónica,

Robótica y Mecatrónica (GIERM)

Primer Curso

*Prof.Dr. Joaquín Bernal Méndez/Prof.Dra. Ana M. Marco Ramírez


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Índice

Introducción: movimiento oscilatorio

Representación matemática del MASDinámica del MAS

Periodo y frecuencia

Velocidad y aceleración

Energía del MAS

Sistemas oscilantes:Muelle vertical

Péndulo simple

Oscilaciones amortiguadas

Oscilaciones forzadas: resonancia


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Movimiento oscilatorio

Movimiento periódico

Ejemplos:

Barcas sobre el agua

Bandera al viento

Péndulo de un reloj

Moléculas en un sólido

V e I en circuitos de corriente alterna

En general, cualquier objeto desplazado ligeramente de su posición de equilibrio


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Movimiento oscilatorio

Forma más básica de movimiento

oscilatorio: movimiento armónico simple

(MAS)

¿Por qué estudiar el MAS?

Ejemplo sencillo de movimiento oscilatorio

Aproximación válida en muchos casos de

movimiento oscilatorio

Componente básico de la ecuación del

desplazamiento de movimientos oscilatorios más

complejos


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Índice





Energía del MAS


Péndulo simple




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Representación matemática

del MAS: dinámica del MAS

Cuerpo unido a un muelle

F kx

0 0x

x• k : constante del muelle

• Signo: fuerza restauradora

F

• Segunda ley de Newton:

F ma kx kx

am

Condición de MAS

para la aceleración


7


del MAS

Segunda ley de Newton:

Solución:

F ma kx 2

20

d xm kx

dt

22 2

20 con:

d x kx

dt m

( ) cos( )x t A t

sen( )dx

A tdt

22 2

2cos( )

d xA t x

dt

• Comprobación:


8


del MAS

Significado físico de las constantes:

A Amplitud (m)

Frecuencia angular (rad/s)

Constante de fase (rad)

Determinación de A y :

( ) cos( )x t A t

(0) sen( )v A

(0) cos( )x A Dos ecuaciones

con dos incógnitas


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del MAS: Ejemplo

x

0t

02A

(0) sen( ) 0v A 0(0) cos( )x A A

Solución:

0( ) cos( )x t A t

x

t

0

0

A A

0A

0A

0A


10


del MAS: Resumen

Fuerza que provoca un MAS:

Ecuación diferencial del MAS

Ecuación del MAS

F kx

22

20

d xx

dt

( ) cos( )x t A t

Ley de Hooke


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Representación del MAS:

periodo y frecuencia

Periodo (T): Tiempo necesario para cumplir

un ciclo completo

( ) ( )x t x t T

( ) cos( )x t T A t T 2T

x

t2

T

T

TUnidades:

segundos (s)


12


periodo y frecuencia

Frecuencia ( f ): Número de oscilaciones

por unidad de tiempo (ciclos por segundo)

Para el resorte:

-11 Unidades: s Hz

2f

T

1 1

2

kf

T m

22

mT

k

k

m

La frecuencia

no depende de

la amplitud

Instrumentos musicales: la nota

no depende de la fuerza con que

se pulse la cuerda o la tecla del

piano.


13


aplicaciones

El hecho de que la frecuencia de las

oscilaciones del resorte no dependa de la

amplitud tiene interesantes aplicaciones:

Medida de masas a partir de periodo de

oscilación

El astronauta Alan L.

Bean midiendo su masa

durante el segundo

viaje del Skylab (1973)


14


aplicaciones

El hecho de que la frecuencia de las

oscilaciones del resorte no dependan de la

amplitud tiene interesantes aplicaciones:

Medida de masas a partir de periodo de

oscilación

Instrumentos musicales: la frecuencia del sonido

no depende de la fuerza con que se pulse la

cuerda del instrumento o la tecla de un piano.


15


velocidad y aceleración

( ) sen( )dx

v t A tdt

22 2

2( ) cos( ) ( )

d xa t A t x t

dt

( ) cos( )x t A t Posición:

Velocidad:

Aceleración:maxv A

2

maxa A

(para el resorte)k

Am

(para el resorte)k

Am

El signo indica el

sentido

El signo indica el

sentido


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velocidad y aceleración( ) cos( )x t A t

( ) sen( )v t A t

• Desfase /2 con x(t)

• Desfase /2 con v(t)

• Desfase con x(t)

cos( )2

A t

2( ) cos( )a t A t 2 cos( )A t

• Suponemos =0

A

-A

-A

A

-A2

A2

x

( )v t

( )a t

2T

2T

2T

32T

32T

32T

T

T

T


17

A

-A

-A

A

-A2

A2

x

( )v t

( )a t

2T

2T

2T

32T

32T

32T

T

T

T



-A2

x

x

x

x

x

0t 0v 2a A

4Tt

2Tt

v A 0a

0v 2a A


18

A

-A

-A

A

-A2

A2

x

( )v t

( )a t

2T

2T

2T

32T

32T

32T

T

T

Tx

x



34Tt

t T

v A 0a

0v 2a A

x

x

x

2Tt

0v 2a A


19

Índice





Energía del MAS


Péndulo simple




20

Energía del MAS

Si no hay rozamiento: energía mecánica

constante

Energía cinética:

Energía potencial:

cteE K U

21

2K mv

0

( ) (0)

x

muelleU x U W Fdx 0

x

Kx dx 21

2kx

21( )

2U x kx


21

Energía del MAS

Energía mecánica:

( ) cos( )con:

( ) sen( )

x t A t

v t A t

2 21 1

2 2E mv kx

2 2 2 2 21 1sen ( ) cos ( )

2 2E mA t kA t

Usando: (para un resorte)2m k

2 2 2 2

1

1 1(sen ( ) cos ( ))

2 2E kA t t kA


22

Energía del MAS

21

2E kA

¡ No depende de la masa !

2

max

1

2x A E U kA

2 2

max max

1 10

2 2x E K mv kA

• La energía se trasvasa

continuamente de cinética a

potencial y viceversa

K

21

2E kA


24

Índice





Energía del MAS


Péndulo simple




25

Supongamos muelle vertical

Definimos eje y hacia abajo

Fuerza del muelle

Sistemas oscilantes:

muelle vertical

yF kyu

y


26

Añadimos una masa m

Aparece una fuerza adicional, el peso:

Se puede hallar el alargamiento del

muelle ( y0 ):

Condición de equilibrio:


muelle vertical

yP mgu

0F P

0mg ky

0

mgy

k

Puede usarse

para medir kk


27

Hacemos oscilar el sistema:

Definimos:


muelle vertical

mg ky ma

0y y y

mg ky ky 2 2

2 2

d y d yma m m

dt dt

0

mgy y y y

k

2

2

d ym ky

dt


28

Solución:


muelle vertical

2

2

d y ky

dt m

Ecuación diferencial

de un MAS

cos( )y A t

k

m

2; 2

mT

k

El único efecto de m es desplazar

la posición de equilibrio


29

Índice





Energía del MAS


Péndulo simple




30


péndulo simple

Objeto de masa m

Suspendido de una cuerda

ligera (mc<<m) de longitud L

Extremo superior fijo

Si lo desplazamos del

equilibrio y lo soltamos:

oscilaciones

¿Es un M.A.S.?


31


péndulo simple

2

2sen

d smg m

dt usando: s L

2

2sen

dg L

dt

senmg ma

Si sen

2

2

d g

dt L

Ecuación diferencial de un MAS

Segunda Ley de Newton:


32


péndulo simple2

2

d g

dt L

Solución:

0 cos( )t con: g

L

Periodo del péndulo simple:

22

LT

g

¡ T no depende de m !

¡ T no depende de 0 !


33

Péndulo simple: aplicaciones

El hecho de que el periodo de oscilación de

un péndulo simple no dependa de la masa ni

de la amplitud (para amplitudes pequeñas)

resulta llamativo y tiene interesantes

aplicaciones:

Técnica sencilla para calcular la aceleración de

la gravedad.

Medida del tiempo: péndulo de un reloj


34

Índice





Energía del MAS


Péndulo simple




35

Oscilaciones amortiguadas (I)

Las oscilaciones en sistemas oscilantes

reales no son permanentes: rozamiento

Este efecto puede incluirse en los cálculos:

Segunda Ley de Newton:

constante con:

velocidad

bR bv

v

Fuerza resistiva:

Amortiguamiento lineal (muy habitual)

kx bv ma 2

2

dx d xkx b m

dt dt

k


36

Oscilaciones amortiguadas (II)

2

20

d x dxm b kx

dt dt

Solución: 2( ) cos( )b

tmx t Ae t

2 2

2

0 ;2 2

k b b

m m m

Ecuación:

0

k

m

Frecuencia natural

(corresponde a b=0) 0

El sistema oscila con frecuencia menor

que si no hubiera rozamiento (b=0)


37

Oscilaciones amortiguadas (III)

2( ) cos( )b

tmx t Ae t

La amplitud decrece exponencialmente

decrece más rápido cuanto mayor es b


38

Oscilaciones amortiguadas (IV)

La solución propuesta es válida para

Si : el sistema no oscila

02b m 2

2

02

b

m

Sistema subamortiguado

02b m

Críticamente amortiguado

Sobreamortiguado

0( 2 )b m

0( 2 )b m

Cuanto mayor sea b

más tarda en alcanzar el

equilibrio


39

Índice





Energía del MAS


Péndulo simple




40

Oscilaciones forzadas

En un sistema amortiguado la

energía decrece con el

tiempo

Para mantener las

oscilaciones es preciso

suministrar energía de forma

continua

Esto precisa la acción de una

fuerza externa

0 cos( )eF F t


41

Oscilaciones forzadas:

resonancia

Movimiento del oscilador forzado:

Estado inicial transitorio

Estado estacionario:

Oscila con e y A(e)

Energía es constante (suministrada=disipada)

Resonancia: ocurre cuando 0e

El sistema oscila con

amplitud y energía máximas


42

Resonancia: ejemplo

Puente de Tacoma Narrows

• El 7 de noviembre de 1940, se derrumbó el puente

colgante de Tacoma Narrows (Washington, USA) debido

a las vibraciones provocadas por el viento.

• El puente llevaba abierto al tráfico unos pocos meses.


43

Resonancia: ejemplo

Puente de Tacoma Narrows


44

Resonancia: ejemplo

Bahía de FundyLa bahía de Fundy se conoce por registrar la máxima diferencia en el nivel del agua entre la marea alta y la bajamar (alrededor de 17 metros).

Se cree que el nombre “Fundy” data del siglo XVI, cuando exploradores portugueses llamaron a la bahía "Rio Fundo“ (río profundo).

El folklore popular afirma que las mareas son causadas por una ballena gigante que chapotea en el agua.

Los oceanógrafos atribuyen el fenómeno a la resonancia, como resultado de la coincidencia entre el tiempo que necesita una gran ola para penetrar hasta el fondo de la bahía y regresar y el tiempo entre mareas altas (12.4 horas).


45

Resonancia: ejemplo

Bahía de Fundy


46

Resumen del temaEl MAS tiene lugar cuando una partícula está sometida a una fuerza restauradora de valor proporcional al desplazamiento desde el equilibrio.

La posición de una partícula que experimenta un MAS varia con el tiempo de forma sinusoidal

La energía total de un oscilador armónico simple es una constante del movimiento.

Las oscilaciones amortiguadas tienen lugar en un sistema en que hay una fuerza resistiva que se opone al movimiento del cuerpo oscilante.

Para compensar la disminución de energía con el tiempo en un oscilador amortiguado debe emplearse una fuerza externa: oscilaciones forzadas.

Cuando la frecuencia de la fuerza externa es similar a la frecuencia natural del oscilador no amortiguado la amplitud de las oscilaciones es máxima: resonancia

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