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Física I. Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica 2015/16 Tema 3Prof.Dr. Emilio Gómez GonzálezDpto. Física Aplicada III, ETS Ingeniería

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Tema 3: Cinemática de

la partícula*

Física I

Grado en Ingeniería Electrónica,

Robótica y Mecatrónica (GIERM)

Primer Curso

*Prof.Dra. Ana Mª Marco Ramírez


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Índice

Introducción

Cinemática del movimiento en una dimensión

(movimiento rectilíneo)

Cinemática del movimiento en dos y tres dimensiones.


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Introducción (I)

La Mecánica es la parte de la Física que

estudia el movimiento de los cuerpos, así

como los conceptos relacionados de fuerza y

energía.

Clasificación:

Cinemática: descripción únicamente geométrica

del movimiento, sin atender a las causas.

Dinámica: principios y leyes físicas. Fuerza,

energía.

Estática: cuerpos en reposo permanente o

equilibrio. Caso particular de la dinámica.


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Introducción (I)

Modelo de partícula o punto material.

Definición: cuerpo de dimensiones tan

pequeñas comparadas con las distancias que

recorre que podemos representarlo como un

punto geométrico.

Ej: La Tierra, en su movimiento en torno al Sol,

puede ser tratada como una partícula:

Diámetro Tierra ~13 × 106m

Distancia Tierra-Sol ~15 × 1010m


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Índice

Introducción



Posición y desplazamiento

Velocidad: media e instantánea

Aceleración

Ejemplos de movimiento rectilíneo

Cinemática del movimiento en dos y tres dimensiones.


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Cinemática del movimiento en una

dimensión: velocidad

Velocidad media: 𝑣𝑚 =∆𝑥

∆𝑡

Velocidad instantánea: 𝑣 = lim∆𝑡→0

∆𝑥

∆𝑡=

∆𝑥

∆𝑡= 𝑥

Dimensiones: 𝑣 = 𝐿 ⋅ 𝑇−1 Unidades SI: m/s


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dimensión: aceleración


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dimensión: ejemplos

Movimiento rectilíneo uniforme:

𝑎 = 0𝑣 = 𝑣0

𝑥 = 𝑥0 + 𝑣0𝑡

Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado:

𝑎 = 𝑐𝑡𝑒𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑡

𝑥 = 𝑥0 + 𝑣0𝑡 +1

2𝑎𝑡2


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Índice

Introducción



Cinemática del movimiento en dos y tres dimensiones

Desplazamiento, velocidad y aceleración

Movimiento de proyectiles (tiro parabólico)

Movimiento circular


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Cinemática del movimiento en

dos y tres dimensiones: 𝒓 y ∆𝒓

Vector posición 𝑟:

𝑟 = 𝑥 𝑖 + 𝑦 𝑗 + 𝑧𝑘 𝑟 = 𝑟 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2

Vector desplazamiento ∆ 𝑟:

∆ 𝑟 = 𝑟2 − 𝑟1 = 𝑥2 − 𝑥1 𝑖 + 𝑦2 − 𝑦1 𝑗+ 𝑧2 − 𝑧1 𝑘

∆ 𝑟 = (𝑥2 − 𝑥1)2+(𝑦2 − 𝑦1)

2+(𝑧2 − 𝑧1)2


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Cinemática del movimiento en

dos y tres dimensiones: 𝒗𝒎 y 𝒗

Vector velocidad media:

𝑣𝑚 =∆ 𝑟

∆𝑡= ∆𝑥 𝑖 + ∆𝑦 𝑗+∆𝑧𝑘

Vector velocidad instantánea:

𝑣 = lim∆𝑡→0

∆ 𝑟

∆𝑡=

𝑑 𝑟

𝑑𝑡= 𝑟 = 𝑥 𝑖 + 𝑦 𝑗+ 𝑧𝑘

𝑣 = 𝑣𝑥 𝑖 + 𝑣𝑦 𝑗 + 𝑣𝑧𝑘

Celeridad: 𝑣 = 𝑣 = 𝑣𝑥2 + 𝑣𝑦

2 + 𝑣𝑧2 =

𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2


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Cinemática del movimiento

en dos y tres dimensiones: 𝒂

𝑎 = lim∆𝑡→0

∆ 𝑣

∆𝑡= lim

∆𝑡→0

𝑣 𝑡 + ∆𝑡 − 𝑣(𝑡)

∆𝑡=𝑑 𝑣

𝑑𝑡


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Cinemática del movimiento en dos

y tres dimensiones: 𝒂, 𝒂𝒕 y 𝒂𝒏 (I)

14


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y tres dimensiones: 𝒂, 𝒂𝒕 y 𝒂𝒏 (II)

Introduciendo el vector unitario tangente, 𝑇 =𝑣

𝑣∶

𝑎𝑡 = 𝑣 ⋅ 𝑎 𝑣

𝑣2= 𝑇 ⋅ 𝑎 𝑇 = 𝑎𝑡𝑇 ; 𝑎𝑡 = 𝑎∥𝑣 = 𝑇 ⋅ 𝑎

𝑎𝑛 =( 𝑣 × 𝑎) × 𝑣

𝑣2= 𝑇 × 𝑎 × 𝑇 ; 𝑎𝑛 = 𝑎⊥𝑣 = 𝑇 × 𝑎

Definiendo el vector unitario normal, 𝑁 =𝑎𝑛

𝑎𝑛=

𝑇×𝑎 ×𝑇

𝑇×𝑎∶

𝑎𝑛= 𝑎𝑛𝑁

𝑎 = 𝑎𝑡𝑇 + 𝑎𝑛𝑁


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y tres dimensiones: 𝒂, 𝒂𝒕 y 𝒂𝒏 (III)

A partir de 𝑎 =𝑑𝑣

𝑑𝑡y de 𝑣 = 𝑣𝑇, obtenemos:

𝑎 =𝑑 𝑣𝑇

𝑑𝑡=𝑑𝑣

𝑑𝑡𝑇 + 𝑣

𝑑𝑇

𝑑𝑡=𝑑𝑣

𝑑𝑡𝑇 + 𝑣

𝑑𝑇

𝑑𝑡

𝑑𝑇 𝑑𝑡

𝑑𝑇 𝑑𝑡

Identificamos el vector unitario normal 𝑁 = 𝑑𝑇 𝑑𝑡

𝑑𝑇 𝑑𝑡, y vamos

a probar que 𝑁 ⊥ 𝑇. Para ello, basta probar que 𝑇 ⋅𝑑𝑇

𝑑𝑡= 0:

𝑇 ⋅𝑑𝑇

𝑑𝑡=

1

22𝑇 ⋅

𝑑𝑇

𝑑𝑡=

1

2𝑇 ⋅

𝑑𝑇

𝑑𝑡+𝑑𝑇

𝑑𝑡⋅ 𝑇 =

1

2

𝑑 𝑇 ⋅ 𝑇

𝑑𝑡= 0

c.q.d.


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y tres dimensiones: 𝒂, 𝒂𝒕 y 𝒂𝒏 (IV)

𝑎𝑡 =𝑑𝑣

𝑑𝑡(cambio en la celeridad)

𝑎𝑡 = 0 ⇔ Movimiento uniforme

𝑎𝑡 = 𝑐𝑡𝑒 ⇔ Mov. uniformemente acelerado

𝑎𝑛 =𝑣2

𝑅(cambio dirección trayectoria)

𝑅, radio de curvatura 𝑅 =𝑣2

𝑎𝑛

𝑎𝑛 = 0 ⇔ Movimiento rectilíneo (𝑅 = ∞)


18

Cinemática del movimiento en dos y

tres dimensiones: tiro parabólico

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Condiciones iniciales:

𝑥0 = 0 𝑦0 = 0𝑣0𝑥 = 𝑣0 cos 𝜃0 𝑣0𝑦 = 𝑣0 sin 𝜃0

Aceleración: 𝑎 = −𝑔 𝑗

Velocidad:

𝑣𝑥 = 𝑣0𝑥 𝑣𝑦 = 𝑣0𝑦 − 𝑔𝑡

Posición:

𝑥 = 𝑣0𝑥𝑡 𝑦 = 𝑣0𝑦𝑡 −1

2𝑔𝑡2


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Cinemática del movimiento en dos y tres

dimensiones: movimiento circular (I)

La trayectoria es una circunferencia:

radio de curvatura constante

𝑟(𝑡) = 𝑟(𝑡 + ∆𝑡) = 𝑅 = 𝑐𝑡𝑒

Se trata de un movimiento plano.

Se introduce 𝜔,velocidad angular,

vector de dirección perpendicular al

plano de la trayectoria y módulo 𝜔 = 𝜃


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dimensiones: movimiento circular (II)

Derivamos para obtener la aceleración:

𝑎 =𝑑 𝑣

𝑑𝑡=𝑑𝜔

𝑑𝑡× 𝑟 + 𝜔 ×

𝑑 𝑟

𝑑𝑡= 𝛼 × 𝑟 + 𝜔 × 𝜔 × 𝑟

con 𝛼 =𝑑𝜔

𝑑𝑡,aceleración angular (𝛼 = 𝜔 = 𝜃 en módulo)


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dimensiones: movimiento circular (III)

Ahora, desarrollamos para poner 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛𝑁:

𝑎𝑛 = 𝜔 × 𝜔 × 𝑟 = 𝜔 ⋅ 𝑟 𝜔 − 𝜔 ⋅ 𝜔 𝑟 = −𝜔2 𝑟 = −𝑣

𝑅

2

𝑟

Podemos escribir 𝑎𝑛 =𝑣2

𝑅𝑁, siendo 𝑁 = −

𝑟

𝑅


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dimensiones: movimiento circular (IV)

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