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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO

FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y • MATEMÁTICA

®

INSTITUTO DE INVESTIGACIÓfU.-1,...._-----• R UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO E VICE·P~~TI')rl.I':·C 1)~ !~NESTIGACIÓN e ,/.\}'0 ! 15 ABR 201\ ~ 1 HOf<A:/6"4 ..................... ~ .. - ·

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INFORME FINAL DEL PROYECTO DE INVESTIGACIÓN

1 1 1

"TEXTO: TOPICOS DE MECANICA CLASICA -Parte II. Teoría y Problemas con Programas

Computacionales"

AUTOR

Mg. PABLO GODOFREDO ARELLANO UBILLUZ

(Período de ejecución: 01/03/12 al 28/02/14) (Resolución NO 195-2012-R del 12 de marzo de 2012)

ÍNDICE

Contenido Pág.

Resumen 03

Introducción 04

Parte teórica OS

l'!'ateriales y métodos 06

Resultados 07

Capítulo 1. Ecuaciones de movimiento de Hamilton OS 1.1 La función hamiltoniana

1.2 Teorema general de conservación

1.3 Coordenadas de traslación y de rotación

1.4 Propiedades de simetría

1.5 Coordenadas cíclicas y fuerzas generalizadas

1.6 Conservación del hamiltoniano

1. 7 Conservación de la energía

1.8 Ecuaciones canónicas de Hamilton

1.9 Teoremas de conservación hamiltoniana

Problemas desarrollados

Capítulo 2. Transformaciones canónicas 2.1. Espacio de las fases

2.2. Transformación canónica de variables

2.3. Corchetes de Poisson

2.4. Ecuaciones del movimiento y teoremas de conservación

2.5. Ecuaciones de movimiento usando corchetes de Poisson.


Capítulo 3. Teorema de Hamilton - lacobi 3.1 Teoría de Hamilton-Jacobi

3.2 Ecuación de Hamilton-Jacobi

3.3 Función principal de Hamilton

34

52

3.4 El problema del oscilador armónico

3.5 Ecuación de Hamilton-Jacobi para la función característica

de Hamilton

3.6 Ejemplos de separación de variables en la ecuación de

Hamilton-Jacobi

3. 7 Variables acción-ángulo para sistemas con un grado de libertad


Capítulo 4. Teoría canónica de la perturbación 4.1. Introducción

4.2. El método de transformaciones canónicas

4.3. El péndulo simple

4.4. El oscilador anharmónico

4.5. Invariantes Adiabáticos


83

Capítulo S. Formulaciones de Lagrange y Hamilton 104 5.1 Introducción

5.2 Transición a sistemas continuos

5.3 Oscilaciones longitudinales 5.4 Oscilaciones transversales

5.5 Formulación Lagrangiana y Principio de Hamilton para sistemas continuos Problemas desarrollados

Discusión

Referenciales

Apéndice

Anexo

122

123

124

125

2

RESUMEN

En el presente trabajo de investigación se ha elaborado un texto

intitulado "TÓPICOS DE MECÁNICA CLÁSICA - Parte II. Teoría y

Problemas con Programas Computacionales", en donde se ha

desarrollado la segunda parte del curso de Mecánica Clásica, con un

tratamiento computacional, a fin de que los estudiantes se familiaricen

con el uso de la simulación en la resolución de problemas en el campo

de la física.

' Los capítulos tratados en este trabajo son los siguientes: Ecuaciones de

movimiento de Hamilton, Transformaciones canónicas, Teorema de

Hamilton - Jacobi, Teoría canónica de la perturbación y Formulaciones

de Lagrange y Hamilton. Al final de cada capítulo se presentan la

solución de algunos problemas resueltos, a fin de afianzar los

conocimientos que se imparten en los mismos.

Finalmente se han seleccionado algunos problemas para su desarrollo

computacional usando lenguaje de computadoras, y que fueron

desarrollados en un ordenador personal.

, INTRODUCCION

El desarrollo de este trabajo es la continuación del trabajo intitulado

"Texto: Tópicos de Mecánica Clásica - Parte I. Teoría y Problemas con

Programas Computacionales", en donde se desarrolló la primera parte

del curso de Mecánica Clásica con un nuevo enfoque, el cual contempla

el uso de la computadora como un instrumento de ayuda en la

simulación y comprensión de los tópicos de esta asignatura.

Los estudiantes de física y de otras especialidades de ingeniería, tienen

dentro de su currículo la asignatura de mecánica clásica, sin embargo,

de la bibliografía existente relacionado con dicho curso, no se adapta

necesariamente a los requerimientos que se solicitan. Tampoco se

dispone de bibliografía que solucione problemas de mecánica clásica,

con el uso del ordenador. Esto motivó la elaboración de este texto,

resultado de una investigación bibliográfica, a fin de ser usado por los

estudiantes de nuestra universidad.

Con el presente trabajo se espera cubrir en cierta manera esta

deficiencia bibliográfica que presentan los estudiantes que llevan esta

asignatura.

PARTE TEÓRICA

Las teorías que sirvieron como fundamento para el desarrollo del

presente trabajo de investigación son aquellas que se encuentran en la

bibliografía existente, esto es, el presente trabajo ha sido desarrollado

usando una bibliografía actualizada, a fin de cubrir los temas

comprendidos de la segunda parte de la asignatura de mecánica clásica,

correspondiente a la aplicación de las ecuaciones de movimiento de

Hamilton, Transformaciones canónicas (Marion, 1995), Teorema de

Hamilton - Jacobi, Teoría canónica de la perturbación y las

Formulaciones de Lagrange y Hamilton (Goldstein, 1998), siendo por lo

tanto este trabajo, básicamente, una investigación bibliográfica.

Con respecto a la solución de problemas con programas

computacionales, se consideró lenguaje de computadoras en Fortran,

así como trabajos de autores (Valadez et al, 2006), que usan la

programación en la física.

, MATERIALES Y METODOS

Materiales

Para desarrollar este trabajo se ha usado información bibliográfica,

separatas y apuntes de clase relacionados con la asignatura.

Esta información ha sido procesada, obteniéndose el presente trabajo

incluyendo los temas de soluciones numéricas mediante un ordenador.

Métodos

Por ser una investigación bibliográfica relacionada con la enseñanza a

nivel superior, se ha usado el método inductivo y deductivo para

mostrar el desarrollo del formulismo que describen los conceptos físicos

descritos, así como también, en el análisis de solución en los problemas

resueltos.

RESULTADOS

CAPÍTULO I

ECUACIONES DE MOVIMIENTO DE HAMIL TON

1.1 LA FUNCIÓN HAMILTONIANA

Se define como Hamiltoniana de un sistema de partículas de

Lagrangiana L, a la función siguiente:

(1.1)

donde las Pi son las correspondientes componentes de momento

lineal.

En un sistema sometido a un campo exterior de potencial V,

sabemos que la Lagrangiana es de la forma:

r 1 2 1 ¿N · 2 .~..-=-mv -V=-m ·- q· -V 2 2 J-1 } (1.2)

por tanto, se tiene:

N N N

= L mi¡] -~m L q] + V = ~m L q] + V = ~ mv2 + V j=l j=l j=l

Por lo tanto:

JC= L+V (1.3)

Es decir, la Hamiltoniana de un sistema sometido a un campo

exterior constante, no dependiente del tiempo ni de la velocidad,

es la energía total del sistema, esto es, la suma de la energía

cinética más la energía potencial.

1.2 TEOREMA GENERAL DE CONSERVACIÓN

Si el Lagrangiano de un sistema no considera una coordenada

generalizada qj (aunque pueda tener su derivada temporal i¡j), se

dice que esa coordenada es cíclica o ingnorable.

El teorema de Woother señala que el momento canónico o

conjugado Pi = :~i de una coordenada cíclica qj se conserva.

Teorema que se demuestra tomando la ecuación de Lagrange para

qj donde se tiene que:

0 = ~ (aL)_ aL = dpj _ 0 (lA) dt aqj aqj dt

Por lo que Pi es constante.

1.3 COORDENADAS DE TRASLACIÓN Y DE ROTACIÓN

Supongamos que qj es tal que oqj representa una traslación del

sistema en su conjunto en una dirección ñ arbitraria (por ejemplo

las coordenadas cartesianas del centro de masa del sistema). Por

lo que:

(1.5)

Si qi es una coordenada de traslación, es decir oqi representa sólo

una traslación del sistema en su conjunto en una dirección ñ

arbitraria, en este caso:

Por lo que Pi viene a ser el impulso total del sistema en la

dirección ñ : N

' • ---+ p ---+ Pi = L miri · n = · n i=l

Si qi es tal que oqi representa una rotación alrededor del eje ñ ,

entonces se obtiene que:

se tiene que Pi es la

componente del impulso angular total en la dirección ñ:

(1.6)

Con estos últimos resultados concluimos que:

a) Si una coordenada de traslación es cíclica, entonces se

conserva la componente del impulso total según la dirección de

traslación.

b) Si una coordenada de rotación es cíclica, se conserva la

componente del momento angular según la dirección de

rotación.

1.4 PROPIEDADES DE SIMETRÍA

Para conocer si una coordenada es cíclica o no, no es necesario

calcular el Lagrangiano, sino sólo se debe conocer las propiedades

de simetría del sistema.

Para el caso de un sistema invariante respecto a una traslación en

una determinada dirección, entonces esa coordenada de traslación

figurará en el Lagrangiano. Entonces esta coordenada de

traslación es cíclica y se conserva el impulso total correspondiente.

En forma análoga, si un sistema es invariante respecto a una

determinada rotación, se conserva el momento angular

correspondiente.

Un caso particular, es el de un sistema con simetría esférica,

donde se conservan todas las componentes del impulso angular.

1.5 COORDENADAS CÍCLICAS Y FUERZAS GENERALIZADAS

Consideremos la ecuación de Lagrange:

(1.7)

Si una coordenada q¡ es tal que oq¡ representa un desplazamiento

(traslación o rotación) del sistema en su conjunto, no aparece en

la expresión de la energía cinética, porque las velocidades no se

alteran al desplazar el sistema en su conjunto. Por lo que:

Pj = Rj

La conservación del momento conjugado de una coordenada

cíclica implica que se anula la fuerza generalizada

correspondiente.

De la definición de fuerza generalizada, tenemos: N ~ ar-

Ri = ¿ Fi · aq~ i=l ]

donde Ri es la componente en la dirección ñ de la fuerza total

aplicada sobre el sistema para una coordenada de traslación en

dicha dirección:

Ri = F ·ñ

e igual a la componente en la dirección ñ del momento de fuerza

total para una coordenada de rotación alrededor de dicha

dirección:

Ri = M·ñ

Por lo tanto, se tiene que Pi= P · ñ en una traslación y Pi= L · ñ

para una rotación, y como ñ e~ una dirección arbitraria, se tiene

que:

Í'=F y i=M (1.8)

Por tanto, la expresión Pi = Ri es una generalización de la

segunda ley de Newton, tanto para partículas individuales como

para sistemas complejos.

1.6 CONSERVACIÓN DEL HAMIL TONIANO

Según vemos, existe una generalización de los teoremas de

conservación del impulso y del momento angular. Asimismo se

puede encontrar una generalización similar del teorema d~

conservación de la energía.

A partir del Lagrangiano, tenemos:

3N-k 3N-k dL ~ aL ~ aL aL dt = ~ aq

1· qj + ~ aq

1· qj +-at

j=l J=l

= 3rk (:t (::.)- Qj) i¡j + 3r :~ qj + ~~ j=l ] j=l ]

3N-k 3N-k

= I (p j - Qj) qj + I p j qj + ~~ j=l j=l

3N-k 3N-k ~ ~ d aL

=- L -Qi izi + L dt (Piizi) + at j=l j=l

Esta ecuación nos permite definir el Hamiltoniano de un sistema

mediante la ecuación:

por lo que:

qr ~3N-k · r JL = L..j=l qjpj - .lw (1.9)

Para un sistema conservativo, las fuerzas se deducen de un

potencial, por tanto:

ax at

aL

at (1.10)

Este es el teorema de conservación del Hamiltoniano, que se

enuncia como: "Si el tiempo es una coordenada cíclica, entonces

el Hamiltoniano se conserva".

1.7 CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA

La energía cinética en función de las velocidades generalizadas qi

se representa mediante la ecuación:

13

~

(1.11)

3N-k 3N-k3N-k

= b + ¿ bilj + ¿ ¿ bjt([/lt j=l j=l f=l

donde los valores de b, bi ybie están dados por las ecuaciones:

1 f (ar·)2

b = z¿ mí att ' í=l

N

b. = ~ . arí arí J ¿ mt aq· at '

í=l 1

Si las ligaduras no contienen el tiempo, es decir, si son

esclerónomas, entonces ~i = o , entonces la energía cinética

·tendrá una forma cuadrática homogénea respecto a las

velocidades generalizadas:

3N-k 3N-k

T = L L bje4ile (1.12) j=l f=l

Entonces:

(1.13)

Por lo tanto:

El valor constante del Hamiltoniano para vínculos esclerónomos

(independientes del tiempo) implica que la energía mecánica total

se conserva.

Es necesario tener en consideración que Jf y la energía E son

diferentes, porque el tiempo puede existir en las ecuaciones de

transformación ri = ri(q, t) y no en Jf, y en este caso Jf es una

constante del movimiento, pero no es la energía total.

1.8 ECUACIONES CANÓNICAS DE HAMILTON

Las ecuaciones diferenciales acopladas de segundo orden

obtenidas de las ecuaciones de Lagrange para un sistema de 3N-k

grados de libertad, se pueden reducir duplicando su número. Por

ejemplo para el caso de un problema unidimensional general, . 2

donde el Lagrangiano es: L = mq - V(q), de la ecuación de 2

Lagrange se obtiene que mq = -av ¡aq, que es una ecuación

diferencial de segundo grado para la función q(t). Como el

momento es p = !~ = mi¡, entonces de la ecuación de Newton se

obtienen dos ecuaciones acopladas de primer orden para las

funciones q(t) y p(t).

av p=-aq y

. p q=

m

Estas expresiones pueden ser escritas en función del Hamiltoniano 2

Jf = é¡p- L = L + V(q) por las ecuaciones: 2m

. aJf . aJf p=-a;¡ Y q=·ap (1.14)

Donde se observa que se ha reducido el orden de las ecuaciones

diferenciales pero duplicando su número.

Este resultado se · puede generalizar en vez de tener 3N-k

ecuaciones diferenciales acopladas _de segundo orden para q1(t),

. q3N-k(t), se usen 2(3N-k) ecuaciones de primer orden para q1(t),

.' q3N-k(t) y Pl(t), . P3N-k(t).

'

El H "1 . t1f ~3N-k . L am1 ton1ano JL = L.,j=l qjpj - como función ya no

depende de llt (t), . q3N-k(t) sino de

P1(t), ·P3N-k(t) Y t.

Además,

De igual manera:

(

3N-k ) 3N-k 3N-k a1f a ~ . . ~ aq1 ~ aL aq1 ap. = ap. L q¡p¡ - L = qj + L ap. Pt - L aq

1 ap.

} } f=l f=l } f=l }

3N-k . ~ ( aL) aq1 . = qj + L Pt - -¡¡- ~ = qj + o

t=l q¡ p1

Ecuaciones que corresponden al caso unidimensional, con un

término adicional Qj que corresponde a las fuerzas no

conservativas. Así tenemos:

iJ:J[ = Q· - p· iJq¡ J J

(1.15)

En estos casos se debe encontrar el Hamiltoniano del sistema

como función de los momentos conjugados Pj y no de las

velocidades generalizadas qj . Se debe encontrar una expresión

16

~

que relacione ambos conjuntos de variables. De la expresión de

energía cinética:

3N-k 3N-k3N-k

T = b + I bjl¡j + I I bHiJ/lt (1.16) j=l j=l f=l

Se observa que los potenciales independientes de la velocidad, las

velocidades generalizadas y. los momentos conjugados están

relacionado mediante una trasformación lineal:

(1.17)

Donde b¡ y b¡.e son funciones de las coordenadas generalizadas y

de tiempo dadas por:

Usando esta ecuación y la ecuación para el Hamiltoniano:

3N-k

1f = ¿ qipi -L (1.18)

j=l

Se obtiene finalmente el Hamiltoniano JC como función de las

coordenadas generalizadas, los momentos conjugados y el tiempo.

1.9 TEOREMAS DE CONSERVACIÓN HAMILTONIANA

Considerando la definición del Hamiltoniano, se obtiene que:

at at (1.19)

17

Además se encontró que:

(1.20)

Lo que significa que si el Hamiltoniano no considera el tiempo,

entonces t es cíclico, porque tampoco aparece en el Lagrangiano y

viceversa; o, si el Hamiltoniano no considera a una coordenada qj,

entonces qi es cíclica y viceversa.

Así de las ecuaciones:

dJf aH

dt at '

donde los teoremas de conservación en la formulación

Hamiltoniana, son más inmediatos, se tiene que:

- Si el tiempo es una coordenada cíclica, entonces el

Hamiltoniano se conserva.

- El momento conjugado Pj de una coordenada cíclica se

conserva, en ausencia de fuerzas no conservativas.

PROBLEMAS DESARROLLADOS

PROBLEMA 1.-

Sean los tres sistemas mecánicos de las correspondientes figuras. En

todos ellos el campo g es paralelo al eje Z, como habitualmente se

describe, y paralelamente al eje X, y en su sentido positivo, se dispone

18

un campo E. Ambas masas son también cargas, siendo idénticas para

estos dos campos.

1) ¿cuántas ligaduras y cuánt9s grados de libertad tiene cada uno de

ellos?·

2) ¿cuántas ecuaciones de Hamilton son nec;:esarias en cada caso?

Solución

Sistema 1

(a)

'

Se trata de dos partículas libres, moviéndose en tres

dimensiones. Así que hay seis grados de libertad sin

restricción alguna. Como coordenadas generalizadas

sirven bien las cartesianas, y por tanto el Hamiltoniano

será de la forma: H =, H(xn, yn, zn; pxn, pyn, pzn; t) (n =

1,2), lo que significa que hay doce ecuaciones de Hamilton.

Sistema 2

:: .,

(b)

E .. Consideremos que el movimiento no tiene porqué

efectuarse en un plano. Usando coordenadas

esféricas se puede definir completamente la

posición de·la masa !mediante los dos ángulos 61 y

<1> 1, ya que la restricción del sistema obliga a la

coordenada r a permanecer constante.

Como la masa 1 se mueve en tres dimensiones, pero bastan dos

coordenadas para definir su posición, se deduce que el subsistema de la

masa 1 tiene dos grados de libertad, y por tanto una ligadura. El mismo

razonamiento aplicado a la masa 2 lleva a las mismas conclusiones. En

este caso además hay que decir que las coordenadas para la masa 2

tienen su origen en unos ejes paralelos a los de la masa 1, y que se

mueven solidarios con ésta.

Como en total son dos partículas que se mueven en tres dimensiones,

pero bastan cuatro coordenadas generalizadas, se deduce que el

sistema tiene cuatro grados de libertad, y por tanto dos ligaduras. El

hamiltoniano tendrá la forma H = H(Bn, <J.n; pBn,p<J.n; t), lo que significa

que hay ocho ecuaciones de Hamilton.

Como en total son dos partículas que se mueven en tres dimensiones,

pero bastan cuatro coordenadas generalizadas, se deduce que el

sistema tiene cuatro grados de libertad, y por tanto dos ligaduras. El

hamiltoniano tendrá la forma H = H(Bl, B2; pBl,pB2; t), lo que significa

que hay ocho ecuaciones de Hamilton.

Sistema 3

(C)

Para este último caso volvemos a la situación inicial.

Se han eliminado las restricciones que estaban

impuestas sobre las coordenadas r, que ahora pueden

tomar cualquier valor que permita la elongación de los

muelles. A fin de cuentas, si los muelles no tienen

masa, las fuerzas que aquellos aplican sobre éstas

resultan indistinguibles de las del tipo de acción a distancia, como las

gravitatorias o electromagnéticas. Si ahora se puede dar valores a la

coordenada r, es que la ligadura que había en el caso anterior también

ha desaparecido, tenemos otra vez seis grados de libertad y por tanto el

hamiltoniano será de la forma:

H = H(rn,Bn, <J.n; prn, pBn, plf>n t), lo que significa que habrá doce

ecuaciones de Hamilton.

PROBLEMA 2.-

Unas varillas L que sujetan un bastidor BD en el que se desplaza una

masa m unida al bastidor mediante un muelle de constante k, y todo

ello, colgado de un techo. Para ir introduciendo suavemente nuevos

términos, comencemos sin masa en las varillas ni el bastidor, y dejemos

también para un poco más adelante el término con las fuerzas

disipativas que surge del rozamiento de m con el bastidor:

Solución

Supongamos que el movimiento se efectúa en un plano.

Las coordenadas generalizadas serán el

ángulo aque forma el péndulo con la

vertical, con el cero de potencial en el

plano XV (el techo), y la coordenada

"x", con su cero correspondiente en el

p..x...x....ll.-l-X....L.X ____ __,, D extremo del muelle en equilibrio (su

,\' longitud natural). Para encontrar el

Hamiltoniano, realizamos los pasos siguientes:

Paso 1.- Escribir la Lagrangiana

V= +Yíkx2 - mg(L- Lcos6)

T:> = T- v = Y.!rn[e 2L2 + x 2 + 2e x Leos e- ~x2 + 2gL(l-cos6)), .....

Paso 2.- Procedamos ahora a utilizar las ecuaciones de Hamilton para

encontrar los momentos p asociados:

aL • Pe=-.-= m(L26 +X Leos a) ca aL • Pv = -.- = m(x +6 Lcos6)

~ ax Resolviendo este sistema de dos ecuaciones mediante el método de

Cramer para x y é:

x = - 1 -(&- Pe cosa) sen2a m ml

a• l ( l>e Px a) = ---cos Lsen:za ml m

Paso 3-. Ahora la función energía h=h(e,x,é,x) es:

h(6,x;6 ,X)= e m(L2S +X Leos e') +X m(x +S lcos6)- b.

= 3<Smxz + Y.!mL2á 2 -+ mlcosex á + ~kx2 -mgl(l- cos9) . Paso 4.- Sustituyendo ahora xy 6, obtenemos finalmente el

Hamiltoniano:

li=Yltr~_!_(f)., -l!.tcos6P)+Y,;nl1l 1 <~-P, cos6)']+ sen49 m mt Llser1'e ml m

.fmlcos8f_!_(~- .!J..cos9)][_2_(.Et_- B:.cos9)) • Yikxl-mgl(l- cosS) setiS m mL LseriS ml m

Tras agrupar términos, la hamiltoniana presenta este aspecto más

manejable:

H = m 1. ((&)2 + (~)l- (~)(J!JL)cosSsenlS) + Y?kxl -mgl(l- cosS) 2sen e •n rnl m mL

PROBLEMA 3.-

El potencial de un oscilador armónico está dado por:

1 V(q) = -mw2 q2

2

Utilizando coordenadas rectilíneas, encontrar el lagrangiano, los

momentos conjugados y el hamiltoniano del sistema.

Solución

El lagrangiano de un sistema mecánico se escribe de la forma

L(q, q) = T(q, q)- V(q)

En coordenadas rectilíneas, la energía cinética está dada por:

1 T(q) = -mq2

2

Por lo que:

Los momentos conjugados se definen como la derivada respecto de q

del lagrangiano,

Obteniendo que:

Jp =mq,l

Por lo que, el momento conjugado viene a ser la cantidad de

movimiento, o momento lineal del sistema.

De otro lado, el hamiltoniano se define de la forma

H(q,p,t) = p · q- L(q,q),

Operando se obtiene que el hamiltoniano expresado en función del

momento lineal, es:

PROBLEMA 4.-

Usando las ecuaciones de Hamilton, determinar las ecuaciones del

movimiento de un péndulo ideal de masa m y longitud r.

y R.

... ___

X

Solución

Consideremos el eje X como el nivel de referencia de las energías

potenciales. De la gráfica se obtiene que:

x = r sene ~ X. = r é cose

y= r cose ~ y= -r é sen e

La energía cinética está dada por:

T = ~m(x2 + y2 ) = ~m(r2 é2 cos2 e + r2 é2 sen2 e) = ~mr2 é2

2 2 2

La energía potencial está dada por:

V = - mgy = - mgr cose

El hamiltoniano de este sistema es:

H = T + V = ~ mr2 é2 - mgr cose 2

Si usamos e como posición generalizada, el momento generalizado será:

aT 2

. p = -. = mr e a e

que representa el momento de la cantidad de movimiento, entonces:

p2 H = -

2 2- mgrcose

mr

Las ecuaciones de Hamilton quedarán:

Por lo tanto:

ap at

a e at

aH a e

aH ap

ae P . ~ -=-=e at mr2

~ ;t (mr2 é) = -mgr sene

.. g e= --sene

r

e o ·o ·¡¡; o

Cl..

PROBLEMAS DESARROLLADOS CON PROGRAMAS

COMPUTACIONALES

PROBLEMA N° 1

Un péndulo simple es uno tal, que se puede considerar como una masa

puntual, suspendida de una cuerda o varilla de masa despreciable. Es un

sistema resonante con una frecuencia de resonancia simple.

0.08

0.06

0.04

0.02

o

-0.02

-0.04

-0.06

-0.08

d2() 9 -=--sen() dt 2 l

Posicion vs tiempo para el pendulo simple

Tiempo

6 o

o ... e

Trayectoria en el espacio de fase del pendulo simple

e----~----------~~----------~~---~.1

PROGRAMA COMPUTACIONAL

PROGRAM PENDULO

INTEGER NSTEP,NVAR

PARAMETER(NVAR=2)

INTEGER i,j

Posicion

REAL x(100000),xl,x2,y(S0,100000),vstart(NVAR),h

COMMON /path/ x,y

EXTERNAL derivs

OPEN(S,FILE='archiv.dat') ! archivo donde se depositan phi y t

0.1

OPEN(lO,FILE='archivl.dat') ! archivo donde se depositan dphidt y t

OPEN(lS,FILE='trayectoria.dat') ! archivo donde se depositan dphidt e phi

xl=l. ! Tiempo inicial

vstart{l)=O.OOS ! phi inicial

vstart(2)=0.3 ! dphidt inicial

h=O.Ol ! paso de integración

x2=55.0 ! tiempo final

NSTEP=(x2-x1)/h !Numero de pasos o numero de pares de valores

call rkdumb(vstart,NVAR,x1,x2,NSTEP,derivs)

write(5,'(/1x,t9,a,t17,a,t31,a/)') 't','Theta','Omega'

do i=1,NSTEP

j=i

end do

END

write(5,'(1x,f10.4,2x,2f12.6)') x(j),y(1,j) !escribe t y phi

write(10,'(1x,f10.4,2x,2f12.6}') x(j),y(2,j) !escribe t y dphidt

write(15,'(1x,f10.4,2x,f12.6)')y(1,j),y(2,j) !phi y dphidt

1------------------------------------------------------------SUBROUTINE derivs(x,y,dydx)

REAL x, y( *),dydx( *),1

X=X

1=0.53

dydx(1)=y(2)

dydx(2)=-(9.8/l)*sin(y(1))

return

END

1-------------------------------------------------------------SUBROUTINE rkdumb(vstart,nvar,x1,x2,nstep,derivs)

INTEGER nstep,nvar,NMAX,NSTPMX

PARAMETER (NMAX=SO,NSTPMX=100000)

REAL x1,x2,vstart(nvar),xx(NSTPMX),y(NMAX,NSTPMX)

EXTERNAL derivs

COMMON /path/ xx,y

USES rk4

INTEGER i,k

REAL h,x,dv(NMAX),v(NMAX)

do 11 i=1,nvar

v(i )=vsta rt(i)

y(i,1)=v(i)

11 continue

xx(1)=x1

x=x1

h=(x2-x1)/nstep ' do 13 k=1,nstep

call derivs(x,v,dv)

call rk4(v,dv,nvar,x,h,v,derivs)

if(x+h.eq.x)pause 'stepsize not significant in rkdumb'

x=x+h

xx(k+1)=x

do 12 i=1,nvar

y(i,k+1)=v(i)

12 continue

13 continue

return

END

r k 4. f o r -------------------------------------------------

SUBROUTINE rk4(y,dydx,n,x,h,yout,derivs)

INTEGER n,NMAX

REAL h,x,dydx(n),y(n),yout(n)

EXTERNAL derivs

PARAMETER (NMAX=SO)

INTEGER i

REAL hG,hh,xh,dym(N MAX),dyt(N MAX), yt(NMAX)

hh=h*O.S

hG=h/6.

xh=x+hh

do 11 i=1,n

yt(i)=y(i)+hh*dydx(i)

11 continue

call derivs(xh, yt,dyt)

do 12 i=1,n

yt(i)=y(i)+hh *dyt(i)

12 continue

call derivs(xh,yt,dym)

do 13 i=1,ri

yt(i)=y(i)+h*dym(i)

dym(i)=dyt(i)+dym(i)

13 continue

call derivs(x+h,yt,dyt)

do 14 i=1,n

yout(i)=y(i)+h6 *( dydx(i)+dyt(i)+2. *dym(i))

14 continue

8

return

END

PROBLEMA N° 2

Una partícula de masa m está vinculada suavemente a un tubo liso el

cual se hace rotar en torno de la vertical con velocidad angular Q

constante, de modo que el ángulo de inclinación del tubo con la vertical

es constante a . Para la coordenada generalizada r, la distancia de la

partícula al punto fijo del tubo se pide

.. 0 2 . 2 r == r ..... s1n ü- g cosa.

RESULTADOS

r vs t 400

3SO

300

2SO ... r::: o

·¡:¡ 200 ·¡¡¡ o a.

1SO

100

so

o o 10 20 30 40 so 60

Tiempo

9

so

40

30

o 20 "D

"' .!:::! ¡¡ 10 ... QJ e QJ o ti.O o ... ~ -10 E o ~ -20

-30

-40

-50

so

40

30

~ 20 "D o -g 10 .!:::! "E ~ o QJ ti.O o 1: -10 QJ

E o ~ -20

-30

-40

-50

Momento generalizado vs t

60

Tiempo

Trayectoria en el espacio de fase

150 350 400

r

30

qv


PROGRAM BARRAROT INTEGER NSTEP,NVAR PARAMETER(NVAR=2) INTEGER i,j REAL x(lOOOOO),xl,x2,y(SO,lOOOOO),vstart(NVAR),h COMMON /path/ x,y EXTERNAL derivs

OPEN(S,FILE='archiv.dat') ! archivo donde se depositan r y t OPEN(lO,FILE='archivl.dat') ! archivo donde se depositan drdt y t OPEN(lS,FILE='trayectoria.dat') ! archivo donde se depositan drdt e r

xl=l. ! Tiempo inicial vstart(l)=O.Ol ! r inicial vstart(2)=0.2 ! drdt inicial

h=O.Ol ! paso de integración x2=55.0 ! tiempo final NSTEP=(x2-xl)/h !Numero de pasos o numero de pares de valores

call rkdumb(vstart,NVAR,xl,x2,NSTEP,derivs)

do i=l,NSTEP j=i

write(S,'(lx,f10.4,2x,2f12.6)') x(j),y(l,j) !escribe t y r write(lO,'(lx,f10.4,2x,2f12.6}') x(j),y(2,j) !escribe t y drdt write(15,'(1x,fl0.4,2x,fl2.6)')y(l,j),y(2,j) !r y drdt

end do END

1------------------------------------------------------------SUBROUTINE derivs(x,y,dydx) REAL x,y(*),dydx(*),g,ohmio,alfa

X=X .

g=9.8 ohmio=0.8 alfa=0.3

dydx(l)=y(2) dydx(2)=-y( 1) *ohmio* *2 * (sin(alfa)) * * 2+g*cos( alfa)

return END

!-------------------------------------------------------------

SUBROUTINE rkdumb(vstart,nvar,x1,x2,nstep,derivs) INTEGER nstep,nvar,NMAX,NSTPMX PARAMETER (N MAX=SO,NSTPMX=100000) REAL x1,x2,vstart(nvar),xx(NSTPMX),y(NMAX,NSTPMX) EXTERNAL derivs COMMON /path/ xx,y USES rk4 INTEGER i,k REAL h,x,dv(NMAX),v(NMAX) do 11 i=1,nvar v(i)=vstart(i) y(i,1)=v(i)

11 continue xx(1)=x1

x=x1 h=(x2-x1)/nstep do 13 k=1,nstep

call derivs(x,v,dv) call rk4(v,dv,nvar,x,h,v,derivs) if(x+h.eq.x)pause 'stepsize not significant in rkdumb' x=x+h xx(k+1)=x do 12 i=1,nvar y(i,k+1)=v(i)

12 continue 13 continue

return END r k 4. f o r -------------------------------------------------

SUBROUTINE rk4(y,dydx,n,x,h,yout,derivs) INTEGER n,NMAX REAL h,x,dydx(n),y(n),yout(n) EXTERNAL derivs PARAMETER (NMAX=SO) INTEGER i REAL hG,hh,xh,dym(NMAX),dyt(NMAX),yt(NMAX) hh=h*O.S hG=h/6. xh=x+hh do 11 i=1,n

yt(i)=y(i)+hh*dydx(i) 11 continue

call derivs(xh,yt,dyt) do 12 i=1,n

yt(i)=y(i)+hh *dyt(i) 12 continue

call derivs(xh,yt,dym) do 13 i=1,n

yt(i)=y(i)+h*dym(i) dym(i)=dyt(i)+dym(i)

13 continue call derivs(x+h,yt,dyt) do 14 i=1,n

yout(i)=y(i)+h6 *( dydx(i)+dyt(i)+2. *dym(i)) 14 continue

return END

33

~

CAPÍTULO 11

TRANSFORMACIONES CANÓNICAS

2.1. ESPACIO DE LAS FASES

El espacio de las fases de un sistema de partículas es el espacio cuyos

puntos son las 2n componentes qv q2 , .•. , qn, Pv p2, ... , Pn 1 es decir, las

coordenadas generalizadas y las correspondientes componentes de

momento lineal.

En el espacio de fases del sistema, se dice, para cada valor de k, que

qk y Pk son variables conjugadas entre sí.

Se define el Corchete de Poisson para dos funciones f1 y f2 , en las

variables del espacio de las fases, y se representa por [fv f2], a la suma

de derivaciones parciales siguiente:

(2.2)

Si una coordenada no es considerada, y como su componente de

momento lineal es constante, el espacio fásico tendría dos componentes

menos.

En el caso de que hubiera m coordenadas ignoradas, las dimensiones

del espacio de las fases sería, entonces, 2(n-m).

2.2. TRANSFORMACIÓN CANÓNICA DE VARIABLES

La condición necesaria y suficiente para que una transformación de

variables de la forma (qi, pJ ~ (Qi, PJ mantenga la invariancia de las

ecuaciones de Hamilton

. oH Pi=- oq¡

. oH q¡ = op¡ i = 1, 2, 3, ... , n (2.3)

es que exista una función de las coordenadas generalizadas y del

tiempo, f = f( q¡, Qi' t), tal que

of p¡ = oq¡

of H=--

• oQ¡ H' = H + of

ot (2.4)

siendo H' la función hamiltoniana del sistema con respecto a las nuevas

coordenadas. Este tipo de transformación se dice Transformación

canónica de variables.

En efecto, es necesaria esa condición si se cumplen las ecuaciones de

Hamilton en las nuevas coordenadas y cantidades de movimiento

generalizados.

Sea L' y H' las funciones de Lagrange y Hamilton respecto de las nuevas

coordenadas. Entonces se debe cumplir, para toda función de las

coordenadas y del tiempo f(q¡, Qi' t) que:

L = L' + :: ~ Lf=1 p¡dq¡- Hdt = Lf=1 P¡dQ¡- H'dt + df (2.5)

Entonces:

(2.6)

el diferencial de la función f está dado por:

d ""n ar d ""n af dQ af d f = L..i=1 -a q¡ + L..i=1-a i +-a t q¡ Q¡ t

Comparando las ecuaciones se obtiene que:

ar -a = p¡,

q¡

ar -=-P aQ¡ JI

ar = H'- H at

que es la condición necesaria para su cumplimiento.

(2.7)

(2.8)

Esta condición es suficiente para que se deduzcan las ecuaciones de

Hamilton en las nuevas coordenadas y cantidades de movimiento

genera 1 izados:

Si se cumplen las ecuaciones (2-8), se tendrá entonces que:

df = ""!1_ p· dq¡ - H- ""!1_ P dQ¡ + H' = L- L' (2.10) dt L..1- 1 1 dt L.. 1- 1 1 dt

Finalmente se tiene que:

L = L' + df dt

(2.11)

Donde se tiene que las funciones L' y H' son respectivamente

lagrangiana y hamiltoniana del sistema en las nuevas variables,

cumpliéndose por tanto las ecuaciones de Hamilton:

. aH P=--

1 aQ¡

. aH Q¡ = aP¡ i = 1,2,3, ... ,n (2.12)

2.3. CORCHETES DE POISSON

La variación temporal de una función f = f(q¡(t), p¡(t), t), de las

coordenadas y cantidades de movimiento generalizadas, está dada por:

df = of + [H f] dt at ' (2.13)

Donde H es la función hamiltoniana del sistema, y [H, f] es el corchete

de Poisson de las funciones H y f.

En efecto:

Los corchetes de Poisson es otra manera, más compacta y genérica, de

establecer las leyes de conservación y las ecuaciones del movimiento de

un sistema. Abre el paso a la formulación más rigurosa de la mecánica

cuántica, donde las distintas magnitudes físicas están representadas por

operadores matriciales, según la visión de Heisenberg de dicha

mecánica, así que el corchete de Poisson obedece ese tipo particular de

álgebra no asociativa que se llama álgebra de Lie.

El corchete de Poisson de dos funciones, que ahora llamaremos "f" y

"H", respecto de las variables canónicas p y q se define como:

(2.15)

Sean ahora f(q,p), H(q,p), entonces los corchetes cumplen las

siguientes propiedades:

Donde ó es la delta de Kronecker.

De una manera general, las propiedades que cumplen son:

a) [f,f]=[H,H]=O

b) [f, H] = -[H, f] (antisimetría)

e) [af1 + bf2, H] = a[f11 f2] + b[f2, H] (linealidad)

d) [f1 f2, H] = f1 [f2, H] + [f11 H]f2

e) [f11 [f2, HJ] + [H, [f11 f2J] + [f2, [H, f1]] = O (identidad de Jacobi)

La identidad de Jacobi quiere decir que "la suma de las permutaciones

cíclicas de los corchetes de Poisson dobles de tres funciones es cero", y

que se cumplirá siempre que tales funciones posean derivada segunda

continua. Esta es una propiedad importante, necesaria para deducir las

ecuaciones del movimiento. La ventaja que ofrece esta formulación de la

mecánica es que los corchetes de Poisson son invariantes ante cualquier

transformación canónica, con lo que se constituye entonces en una

herramienta poderosa que se ha de considerar cuando se efectúen

dichas transformaciones.

2.4. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO Y TEOREMAS DE

CONSERVACIÓN

Sea una función u(q,p,t). Entonces su derivada total:

(2.16)

38

$

Usando las ecuaciones de Hamilton:

du ou dH ou dH ou -=----·-+-dt aq, dp, op1 dql or (2.17)

pero sabemos que:

du [ H.] au -=u +-dt ' ot (2.18)

de manera que cuando la función u(q,p,t) es una constante del

movimiento, entonces:

du = 0 dt (2.19)

"El corchete de Poisson de H con cualquier constante del movimiento es

igual a la derivada explícita de esa constante respecto del tiempo".

Si la función u no depende del tiempo, se tiene que:

[H,u] =o

Cuando la función u es una de las variables canónicas q o p:

dq dt = q = [ q, H] + O = [ q, H]

dp =P =[p,H]+O=[p,H) dt

(2.20)

(2.21)

2.5. ECUACIONES DE MOVIMIENTO USANDO CORCHETES DE

POISSON

La ecuación diferencial (2-18) tiene como solución el desarrollo de

Taylor en torno a las condiciones iniciales t=t0 :

Entonces:

du ( H) ou -=U +-dt ' at

du t2 d2u U(t) = Uo + t(-1 )o +-(d l)o + .... e t 2! t (2.22)

Como la derivada respecto a t de una función, es el corchete de esa

función con la hamiltoniana, entonces:

. tl u(t) = U0 + t[u,H]0 + 2[[u,H),H]0 + ...

(2.23)

Esta serie concluye a partir del término que resulte ya constante.

Apliquemos este caso a una partícula de masa "m" que se mueve con

aceleración constante "a" en una dimensión, con coordenadas

generalizadas "p" y "x", y que por tanto su hamiltoniana es:

J pl H = T + V = T + -Fdx =--rnax

2m

Lá ecuación del movimiento que buscamos es de la forma x(t):

f2 x(t) = xo + t[x,H]o + 2 [(x.H].H]o + ....

Los corchetes de Poisson están dados por:

, dx p [x,H]= -·=

dt m d 1 dp F [[x,H),H] = -[x,H) =--=-=a dt m dt m

(2.24)

(2.25)

(2.26)

Como "a" es constante, las derivadas de orden superior son todas nulas

y termina la serie. Sustituimos ahora los valores obtenidos en el

desarrollo de Taylor, obteniendo finalmente que:

X(t) =X + E._(t- t ) - 2-a(t- t )2 o m o 2 o (2.27)

que corresponde a la ecuación de un movimiento uniformemente

acelerado.

Teorema de Poisson

Es ahora cuando la identidad de Jacobi empieza a adquirir importancia.

Apoyándose en ésta, se enuncia el teorema de Poisson:

[H, [u, v]] = O (2.28)

"El corchete de Poisson de dos constantes del movimiento es también

una constante del movimiento".


PROBLEMA 1.-

Obtener la Hamiltoniana y las ecuaciones canónicas correspondientes a

una partícula libre, sometida a un potencial V (x; y; z).

z

•m

V(x,y,z)

r-----------------~ y

Figura 2.1. Partícula libre sometida a un campo conservativo de fuerzas

1

Solución

En coordenadas cartesianas la energía cinética es:

1 T = -m(x 2 + y2 + i 2

) 2

y los momentos generalizados:

ar ar pX = ax = mi; pY = ay = my;

ar pz = az =mi

Expresando el cambio de variables, se obtiene el primer grupo de

ecuaciones canónicas:

. pX x=-· 1 m

La Hamiltoniana es:

. pY y=

m

. pz z=

m

H = px .X + pY y + pz i - (T - V)

1 = px.x + pYy + pzi- 2m(x2 + y2 + i 2) + V(x,y,z)

Remplazando las velocidades en función de los momentos

generalizados, se obtiene finalmente que:

1 H =2m [(px)z + (pY)2 + (pz)Z] + V(x,y,z)

Derivando H para obtener las ecuaciones canónicas 8

8H = -

8

8L = -pi (i =

. q¡ q¡

1,2,3, .... , n), se obtiene:

av ax = -px;

av ay= -pY;

av -= -pz az

Derivando H respecto de los momentos generalizados se obtienen las

mismas expresiones de x, y y i, deducidas por el cambio de variables,

del primer grupo de ecuaciones canónicas qi íJH

íJpi U = 1, 2, .... , n).

PROBLEMA 2.-

Encontrar las ecuaciones canónicas para el caso del movimiento de una

partícula de masa m en un campo central, definido por un potencial

V(r).

Solución

Al conservarse el momento cinético, el movimiento es plano, por lo que

utilizaremos coordenadas polares (r;<p):

x = r cos qJ

y = r sen qJ

entonces tenemos que:

La Lagrangiana es

L = T- V = liz m(r2 + r 2 <j)2)- V (r)

y los momentos generalizados:

Comprobamos la condición de regularidad

H = piq¡- (T- V) = piq¡- [1/z a¡¡(¡¡q¡ + a¡q¡ + 1/ 2 ao] +V

haciendo el cambio de variables de q¡ a pi:

La Hamiltoniana la podemos obtener aplicando H = 1j2 p¡q1 + V, tenemos

que:

Siendo las ecuaciones canónicas:

. aH pr . aH p<fJ r = apr = m ; <p = ap<p = mr2

. aH (p<fJ) 2 av Pr- - p' <p = O - - ar - mr3 - ar

Comprobamos que q> es cíclica, por lo que p<fJ = l (cte), siendo l el módulo

del momento cinético.

También, al ser H independiente del tiempo

dH aH dt = at = O entonces H = T + V = cte

PROBLEMA 3.-

Un oscilador armónico simple de masa m y constante lineal del resorte

k, tiene una elongación q medida desde la posición de equilibrio, y p el

momento generalizado correspondiente. Realizar una transformación

canónica a coordenadas cíclicas (P,Q).

q

fVL. m

Figura 2.2: Oscilador armónico simple.

Solución

La hamiltoniana está dada por:

mq2 kqz pz mw2q2 H = -2- + T = 2m + 2

donde p = mq es el momento generalizado, y w = jkfm

Veamos una transformación canónica que convierta a la coordenada q

en otra coordenada Q que es cíclica. Para ello consideramos la función

generadora

0(q, Q) = liz mwq2cot Q

que es del tipo M= 0(qi, Qi, t).

Aplicando las relaciones pi = ~; -Pi = ~ · K= H + 80

ap¡ oQ¡' at

a0 p = aq = mwq cotQ

a0 1 q2

P=--=-mw--aQ 2 sen2 Q

eliminando p y q entre estas igualdades resulta

p = v'2mwP cosQ

Sustituyendo en la hamiltoniana se tiene que:

comprobando que se verifica que:

a K aQ =o

Por lo tanto: Q es cíclica

Al tratarse de una coordenada cíclica, las ecuaciones canónicas resultan

triviales de plantear y de integrar, en función de dos parámetros (a,~)

que se obtendrán con las condiciones iniciales

Por lo que

Por lo que

. aK p =--=o

aQ

P =a (cte)

. aK Q=-=w aP

Q = wt + ~

Una vez realizada esta integración, y de las ecuaciones de p y q, se

obtiene para q:

q(t) = ~sen(wt+ ~) que es la solución general, conocida ya, de oscilaciones armónicas en

vibraciones libres, en función de dos constantes de integración a y~' que

se determinarán a partir de las ecuaciones iniciales.


COMPUTACIONALES

PÉNDULO AMORTIGUADO

Se considera un péndulo con masa puntual, como se muestra en la

figura adjunta. Las fuerzas que actúan sobre este objeto son el peso y la

fuerza de disipación por parte del aire. Aplicando la segunda ley de

Newton en la dirección del movimiento, se tiene: Pero la aceleración se

puede expresar en función del desplazamiento angular como:

0.08

0.06

0.04

0.02

z o u o ¡;:¡ o Cl..

-0.02

-0.04

-0.06

-0.08

d 28 g b de -=--sene--dt2 l ml dt

Diagrama de fuerzas y aceleración para el péndulo con disipación.

PENDULO AMORTIGUADO

ftAAAAAAAAAAAAaaaA ~V V Jo V V V y V V 4~ ........ - so

TIEMPO

6 o

Trayectoria en el espacio de fase del pendulo amortiguado


PROGRAM PENAMOR

INTEGER NSTEP,NVAR

PARAMETER(NVAR=2)

INTEGER i,j

Posicion

REAL x(lOOOOO),xl,x2,y(SO,lOOOOO),vstart(NVAR),h

COMMON /path/ x,y

EXTERNAL derivs





vstart(l)=O.OOS ! phi inicial




NSTEP=(x2-xl)/h !Numero de pasos o numero de pares de valores

8


write(5,'(/1x, t9,a, t17,a, t31,a/)') 't', 'Theta','Omega'

do i=1,NSTEP

j=i

end do

END

write(5,'(1x,f10.4,2x,2f12.6)') x(j),y(1,j) !escribe t y phi

write(10,'(1x,f10.4,2x,2f12.6)') x(j),y(2,j) !escribe t y dphidt

write(15,'(1x,f10.4,2x,f12.6)')y(1,j),y(2,j) !phi y dphidt


REAL x,y(*),dydx(*),m,l,b

X=X

m=0.150

1=0.53

b= 0.013

dydx(1)=y(2)

dydx(2 )=-b *y(2)/( m* 1)-(9.8/1) *sin(y( 1))

return

END



PARAMETER (NMAX=50,NSTPMX=100000)


EXTERNAL derivs

COMMON /path/ xx,y

USES rk4

INTEGER i,k


do 11 i=1,nvar

v(i)=vstart(i)

y(i,1)=v(i)

11 continue

xx(1)=x1

x=x1

h=(x2-x1)/nstep

do 13 k=1,nstep

call derivs(x,v,dv)



x=x+h

xx(k+1)=x

do 12 i=1,nvar

y(i,k+1)=v(i)

12 continue

13 continue

return

END

rk 4. f o r -------------------------------------------------

SUBROUTINE rk4{y,dydx,n,x,h,yout,derivs)

INTEGER n,NMAX


EXTERNAL derivs

PARAMETER (NMAX=SO)

INTEGER i

REAL h6,hh,xh,dym(N MAX),dyt(N MAX), yt(N MAX)

hh=h*O.S

h6=h/6.

xh=x+hh

do 11 i=1,n


11 continue


do 12 i=1,n

yt(i)=y(i)+hh*dyt(i)

12 continue


do 13 i=1,n

yt(i)=y(i)+h*dym(i)


13 continue


do 14 i=1,n

yout(i)=y(i)+hG*( dydx(i)+dyt(i)+2. *dym(i))

14 continue

return

END

CAPÍTULO 111

TEOREMA DE HAMIL TON - JACOBI

3.1. TEORÍA DE HAMILTON-JACOBI

Las transformaciones canónicas son de gran utilidad, por lo que es

necesario estudiar algunas de ellas que por su definición se convierten

en soluciones de problemas concretos. En el caso en que se conserve la

hamiltoniana H, se puede realizar una transformación a unas nuevas

coordenadas cíclicas, y el problema se reduce entonces a simples

cuadraturas. Otra transformación interesante es aquella donde las

coordenadas que se transforman lo hacen en unas cantidades

constantes. Si estas constantes son la posición inicial q0 y la cantidad de

movimiento inicial p0 , la inversa de la transformación será de la forma:

q = q (qo,po,t)

p = p (qo,po,t),

que, evidentemente, es la solución del problema.

(3.1)

Esta segunda transformación es más general que la anterior porque no

se exige que se conserve la hamiltoniana

3.2. ECUACIÓN DE HAMIL TON-JACOBI

Las ecuaciones de Lagrange para un sistema descripto por n

coordenadas generalizadas son n ecuaciones de segundo orden de

derivación en el tiempo. El mismo sistema puede ser estudiado de

acuerdo a Hamilton con 2n ecuaciones de primer orden. Existe una

notable alternativa, la descripción de Hamilton y Jacobi, que se reduce a

una única ecuación en derivadas parciales.

La condición que han de satisfacer las nuevas coordenadas q0i y Poil que

desde ahora llamaremos Q y P, resaltando que esta es una

transformación canónica, para que sean constantes, es que la

hamiltoniana transformada K cumpla que:

8K • -=P. =0 OQ. 1

1 (3.2)

Podemos asegurar esto si K es idénticamente nula. Recordando ahora

cómo estaban relacionadas H y K:

aF K(Q, P, t) = H(q, p, t) + at

Entonces si K=O se obtiene que:

(3.3)

(3.4)

y por tanto, tenemos la denominada: Ecuación de Hamilton-Jacobi.

La ecuación de Hamilton-Jacobi también se representa por la ecuación

diferencial para la función generatriz S(q11 •• ,qn, Q11 ••• ,Qn, t), que es

función de los qk y del tiempo t y con Qk = ak como constantes de

integración, esto es:

( as as ) as

H qv .. , qn, aql, ... , aqn + at = O (3.5)

Para la solución de problemas se realiza el siguiente procedimiento:

3

1. Se encuentra una solución completa de la ecuación (3.5); esto es,

una solución que contenga n constantes de integración ak:

2. Usando las ecuaciones Qk = ak = cte, Pk = flk = cte y as;aQk = -Pk = -pk, derivamos parcialmente la solución encontrada respecto de las

constantes ak y las igualamos a las constantes pk:

(3.6)

3. Resolvemos las n ecuaciones (3.6) para hallar las qk en términos de

las constantes ak, ~k y del tiempo t:

(3.7)

Con lo que se obtiene la solución dinámica completa del problema ya

que se encuentran las n coordenadas generalizadas como funciones

explícitas del tiempo y de 2n constantes de integración que permiten

ajustar condiciones iniciales genéricas.

No existen métodos generales para obtener soluciones completas de la

ecuación de Hamilton-Jacobi; sin embargo, existen casos importantes en

los que es posible obtener una solución completa de ésta por el método

de separación de variables. Si consideramos hamiltonianos que no

dependen explícitamente del tiempo, sabemos que H = E, por lo que se

propone:

donde hemos defnido la acción reducida S0 , que simpli.ca la ecuación de

Hamilton-Jacobi a:

( as as ) H q¡, .. ,qn,-a , ... ,- =E q¡ aqn

(3.8)

Análogamente, si H no depende de alguna coordenada (coordenada

cíclica), digamos q1 , entonces se puede plantear:

de donde:

( as' as' ) as'

H qz, .. , qn, av aqz, ... , aqn + at = O

habiéndose simplificado una variable.

Para coordenadas no cíclicas la idea es proponer que la acción reducida

es de la forma:

(3.9)

y reemplazar en (3.8). La ecuación resultante se debe separar en

grupos que dependan de sólo una coordenada cada uno. Como la suma

de estos grupos (o en general una combinación más complicada de

éstos) es igual a la constante E para cualquier combinación de las

variables qk, esto es posible sólo si cada grupo es constante. Así,

igualamos el grupo que depende de cada qk a la constante cxk, para

escribir, por ejemplo, E = a 1 + a2 + ··· + an (éste es el caso más sencillo;

en general se obtiene una forma más complicada).

Por otro lado, cada grupo igualado al cxk, correspondiente nos provee de

una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, que puede entonces

resolverse por cuadraturas. Nótese que las constantes de integración

(las cxk) provienen de la separación de variables y no de constantes de

integración de estas cuadraturas, que no son esenciales ya que suman a

una constante aditiva a S.

3.3. FUNCIÓN PRINCIPAL DE HAMILTON

A la solución "S" de la ecuación de Hamilton-Jacobi se le llama Función

principal de Hamilton:

(3.10)

donde cada ai = Pu de manera que las ecuaciones de la transformación

quedan:

oS(q,<X, t) P= =Ot ' aq .

= aS(q,<X, t> = Q

q ocx. IJ; 1

Invirtiendo ahora estas ecuaciones:

p¡ = p¡(()(,~,t)

Q1 = q¡(CX,{3,t),

que constituye una solución completa del problema.

(3.11)

(3.12)

Por lo visto hasta ahora, podría parecer que la introducción de la función

S es un tanto artificiosa. Sin embargo, posee una propiedad importante:

ya que S queda definida únicamente en función de las coordenadas qi y

del tiempo, su derivada total:

y por tanto:

dS as • as dt = aq qi + at

= P/11 -H = L

S= J ldt +Cte. (3.13)

56

3.4. EL PROBLEMA DEL OSCILADOR ARMÓNICO

Un oscilador armónico es un sistema conservativo, lo que implica que se

conserve H, y por tanto que los dos métodos de resolución sean

aplicables. Nominemos a este primer método como el "método de la

función S".

Método de la función S

Lo que estamos buscando es una transformación canónica que nos dé

las expresiones de a y {3 en función de q y p, con lo que se resuelve el

problema. Una vez logrado esto, se encuentra la expresión de la función

principal de Hamilton "S", es decir, la función generatriz de esa

transformación. Para que quede claro, lo que se hace es trabajar con la

función S sin tener que calcularla sino a posteriori, y si acaso nos la

piden. Se aprovecha por tanto la invariancia formal que tienen las

ecuaciones de las transformaciones canónicas para definir las nuevas

coordenadas y momentos. Una vez resuelto el problema, se podrá

comprobar que S satisface las ecuaciones de la transformación:

oS< oc, (3, t) --... a;..:...;.....;..= OC¡

o...,¡

oS< oc, (3, t) = (3. oOC· 1

1

Paso 1-. Condiciones para la función principal de Hamilton S

Sabemos que la solución S tiene que cumplir que:

os H+-=0

at

(3.14)

La hamiltoniana para un oscilador armónico en una dimensión es:

es la frecuencia natural del oscilador.

Paso 2-. La función S hace las veces del hamiltoniano. Sustitución de p.

Sustituyendo ahora P = (l>S/oq):

1 as as -[(-)2 + (mwq)2] +-=O 2m oq at

de forma que la condición exigible a S queda:

1 as -[(-)2 + (mwq)2J = oc 2m oq

Ya que de momento S = S( q,t), la teoría de derivadas en ecuaciones

parciales nos dice que cuando cada sumando es función únicamente de

cada una de las variables, entonces son idénticamente iguales a una

constante. Aprovechamos esto para definir lX:

Paso 3. Separación de variables. Identificación del hamiltoniano con la

energía H = E y aparición de W(q,a)

De esta forma,

as -=-OC 8t

_t_[(os)2 + (mwq)2] = (){ 2m cq

lX=H=E

58

$

De la primera de estas igualdades se obtiene:

S = -O<t + W(q,O<).

Sustituyendo esto en la segunda:

1 aw -[{-)2 + (mwq)2] =oc 2m aq

que se puede integrar inmediatamente:

W = n1wJ dq ( 2m oc)- q2, y por tanto: mlw2

Lo que nos interesa ahora es utilizar la segunda ecuación de Hamilton

en las nuevas variables, es decir, 1>= dS/dLX.

Paso 4. Solución por el método de Hamilton-Jacobi. Usando la segunda

ecuación de Hamilton para obtener las coordenadas qi.

Finalmente, al despejar q((l( ,l>,t):

.J2moc . q(<X,J3,t) = --smw(f3+t) ({3' = wl))

mw

.J2moc . ( n ') = Slll Wt + v rnw

que es la conocida solución del oscilador armónico.

9

Paso S. Obtención de la cantidad de movimiento p. Para encontrar

la cantidad de movimiento, usamos la relación:

as aw p¡(<X,[$, t) = - = -~aq, oq,

Y ahora sustituimos la q obtenida más arriba:

y se comprueba fácilmente que:

p = m(dq/dt)

Paso 6. Determinar las constantes tx y ~ a partir de las condiciones

iniciales es hallar la energía E y el ángulo de fase B.

Sólo queda entonces encontrar la relación entre a y ~ con las

condiciones iniciales Po y q0 • La forma que tienen p y q sugieren elevar al

cuadrado y comparar:

p2 = 2m <X e os 2(wt + 13 ') 2mO< .

q2 = --sm2(wt + ~'), entonces (mw)2

p2 + (mwq)2 = 2mO<(cos2(wt + ~') + sin2(wt+ ~')

o bien, teniendo en cuenta que en las condiciones iniciales t=O;

Para hallar la ~' volvemos a tener en cuenta que las condiciones

iniciales son para un tiempo t = 0:

o

_rn_w__;q~o = tgj3 '• Po

R.' -1 mwqo , .. = tg Po

Así que la función principal de Hamilton S, no es más que una función

generatriz de una transformación, que en este caso transforma las

coordenadas q y p a las coordenadas LX y 13', energía total y ángulo de

fase inicial, respectivamente.

Paso 7. Obtención final de la función principal de Hamilton S a partir de

la lagrangiana

Una vez determinados q(oc,~,t) Y p(oc~~,t) se puede escribir la lagrangiana,

y desde ésta, mediante una integración temporal, se encuentra la

función principal de Hamilton S:

y finalmente:

1 L = T -V = -(p2 + (mwq)2)

2m

S= JLdt=()(Jcos2(wt+~')dt

= 2: sin2(wt+f3'). (3.15)

3.5. ECUACIÓN DE HAMIL TON-JACOBI PARA LA FUNCIÓN

CARACTERÍSTICA DE HAMIL TON

En el apartado anterior nos encontrábamos con una función W que

surgía como necesidad en una integración de una derivada parcial, y

que por tanto era una función de todas las demás variables que no

estaban afectadas por el proceso de integración. En ese caso veíamos

que:

as J H + Ot = O ~ Hdt = -S+ W(q.)

En el proceso posterior aplicamos la condición de separabilidad que la

función S debe cumplir. Ahora se ve claramente que la separación entre

las coordenadas espaciales qi y el tiempo que se practicó a la ecuación:

1 as . as -[(-)2 + (mwq)2] +-=O 2m aqi at

siempre será posible si la hamiltoniana no depende explícitamente del

tiempo, de forma que tendremos:

os as H(q,-)+-=0

'aq, at

es decir, un sumando es función únicamente de las coordenadas qi y el

otro es función únicamente del tiempo.

Una vez separada la ecuación encontrábamos que S era de la forma:

S(qt,OC,t) = W(qt,<X) - oct. (3.16)

A la función W se le llama "Ecuación característica de Hamilton".

Después, se sustituía esta S en la condición de las coordenadas, es

decir, la que debe cumplir la hamiltoniana, resultando que:

62

es decir, H es constante.

as H(q,-) =Ot , aq , (3.17)

Hasta aquí nos han valido las cuentas que echamos con el oscilador

armónico. Al principio de ese apartado se hacía notar que era un

ejemplo resoluble con los dos métodos. Utilizaremos el hecho de que la

hamiltoniana es constante para explicar el segundo método, que exige

que la hamiltoniana se conserve. Nominaremos a este segundo método

el "método de la función W".

Método de la función W

La transformación que se persigue ahora es aquella en la cual todas las

nuevas cantidades de movimiento ~ i sean constantes, pues así la

resolución de las ecuaciones de la transformación es trivial. Si hacemos

que la función generatriz (en este caso W) sea de la forma W(q, P)

tendremos que:

de manera que cuando se toma como valor particular ~ 1 = H, según se

indicaba más arriba, la hamiltoniana será:

(jW H = H(Q,-) =oc,

. oq, (3.18)

A esta ecuación también se le llama de Hamilton-Jacobi, ya que se

deduce de aquella como consecuencia de la forma de W.

Ahora bien, W no contiene al tiempo, luego:

aw -=0 Ot

y si recordamos como están relacionadas las hamiltonianas H y K:

aw K = H +- <::::> K = H = (,)(1

at

o lo que es lo mismo, las nuevas cantidades de movimiento P í = C<í

conjugadas a las nuevas coordenadas cíclicas Qít son todas constantes:

oP¡ __ _ oK = O n -=- r, = ()(. at oQ1 • •

De la otra mitad de las ecuaciones canónicas se deduce que:

aQ, cK aK {1. si i = 1 Ot = oP, = oC<¡ = 0, Si í ;: l.

Evidentemente, tienen como solución:

J aw} Q =t+~ =-1 1 ~IV o"',

l ow Q =~=-¡ , aoc

i

Relacionando oc y f3 con los valores iniciales de p íY qí, usando las

mismas ecuaciones que en ejemplo de más arriba, evaluadas sabiendo

que en las condiciones iniciales t=O.

Finalmente, como W no depende del tiempo tenemos que:

dW oWdq • dt = aqi dt=P;Q¡'

W = f P/J, dt = f P1dQ1 (3.19)

Estas ecuaciones se pueden aplicar al sistema de una partícula en un

campo de fuerzas central.

3.6. EJEMPLOS DE SEPARACIÓN DE VARIABLES EN LA

ECUACIÓN DE HAMIL TON-JACOBI

Se dice que la ecuación de Hamilton-Jacobi es separable, si todas las

coordenadas del sistema son separables. Entonces una solución S para

la función principal de Hamilton será de la forma:

" S= L Sl(q¡;<X¡;t)

l•l

as H,(Q,:<X.,<Xz•"' oq .... ,<X,:t) =<X.

• (3.20)

A las constantes cx.i se les llama ahora constantes de separación.

Cada una de estas ecuaciones es una ecuación diferencial de primer

orden y por tanto su resolución será posible mediante cuadraturas, lo

que resuelve el problema.

Hay que decir que la separabilidad de un sistema, además de la

naturaleza propia del mismo, depende de la elección de las coordenadas

generalizadas.

Por ejemplo, en un problema con fuerzas centrales, el sistema será

separable en coordenadas polares cuando V = V(r), pero no en

coordenadas cartesianas. Hay otros problemas, como el de los tres

cuerpos, que no son separables en ningún sistema de coordenadas.

Este es el motivo principal por el que se usan distintos sistemas de

coordenadas en la Física: hacer más fácil la resolución de problemas.

Veamos finalmente un ejemplo en el que el potencial es de una forma

particularmente sencilla: un campo de fuerzas central. Como ya se ha

dicho antes, un sistema así es separable en coordenadas polares planas,

ya que la órbita del movimiento se realiza en un plano.

Por tanto, el sistema tiene dos grados de libertad, y la hamiltoniana es

de la forma:

Paso 1. Determinación del Hamiltoniano

1 pz H = -(p2 +J..)+ V(r)

2m ' r2

Como no aparece la coordenada <P, entonces es cíclica, y por tanto su

momento cinético conjugado p4> es constante. Sea LX 4> = p4>, de manera

que la función característica de Hamilton W, una vez separada, va a ser

de la forma:

Paso 2. Formación de la ecuación característica de Hamilton W y

su uso en la ecuación de Hamilton-Jacobi

w = W1(r) + oc.,\1)

Sustituyendo esta W en la ecuación de Hamilton-Jacobi

aw H = H(q,. ~q ) = <X1

() '

aw <X2

(-1)2 +--± + 2mV(r) =2m <X,

ar r 2

Se puede ya resolver esto para W, y queda:

Ahora ya tenemos W en función de las nuevas variables. Entonces al

usar las ecuaciones de la transformación para Qi obtenemos las

ecuaciones del movimiento:

Paso 3. Obtención de las nuevas coordenadas oc1 y oc0 usando la

función característica de Hamilton W como si fuera el

Hamiltoniano.

dW = f3 = <t> _ f <XQ doc z r2 -r=====oc~z

4> 2m( oc -V)-___..!. 1 .-z

dr

Si identificamos oc1 =E, oc<t>= 1, y recordamos también que Pi = Qu la

primera de estas ecuaciones es la solución encontrada para el problema

de los dos cuerpos:

Ir dr t[r0 ,r] =

2 F '• -(E-V--) m 2mr1

Cuando disponemos que <t> = 8, {32 = 80 , y hacemos el cambio de 1

variable u=ru la segunda de estas ecuaciones nos da la ecuación de la

órbita:

J du 8(U0,U) = 80 - -;=======

2mE 2mV 2 -~2-- -~2-- u

Para que quede aún más claro el proceso de separación de variables,

ana/icemos este mismo ejemplo sin dar por sentado que el movimiento

se va a efectuar en un plano. Usaremos entonces coordenadas esféricas

para reflejar el hecho de que el movimiento nos es, en principio,

desconocido. En este sistema de coordenadas la hamiltoniana H y la

función característica de Hamilton W tienen la forma:

W = W,(r) + W9 (8} + W.¡.(cp)

Según se puede ver, en la hamiltoniana no aparece la coordenada .P,

por tanto esta coordenada es cíclica, y esto implica que p ct> = a ct> = cte, y

entonces el sumando correspondiente a dicha componente es Wcp(</>) =

act><P·

Así que la ecuación de Hamilton-Jacobi, sabiendo que

nos queda:

aw H=H(q,-)=<X =E , aq 1

Como cada sumando es función únicamente de una variable, cada uno

de ellos es igual a una constante. Por conveniencia, definimos

como a~ dicha constante. Esto es:

y finalmente:

""W oe (.~-~Y + - 0 = 2m(E - V(r)) 8r r 2 (3.21)

Estas ecuaciones se pueden resolver para W, obteniéndose Wr(r) y W<P(6)

respectivamente, mediante cuadraturas, para posteriormente encontrar

las ecuaciones del movimiento utilizando las ecuaciones de

transformación.

Cada una de las tres constantes de integración necesarias tiene su

significado físico claro como consecuencia de los diversos teoremas o

leyes de conservación:

<X1 = H = E

como ya se había mencionado antes. Obsérvese que la última ecuación

es entonces una forma de enunciar el teorema de conservación de la

energía.

aw oc =P =--~

4> 4> e<l>

es el momento cinético alrededor del eje polar, es decir, la tercera

componente del momento angular Lz es constante.

es el cuadrado del módulo del momento angular, que también es

constante.

Cuando se sustituyen los valores de Prp y de Pe en la hamiltoniana se

descubre que el movimiento se produce en un plano. Efectivamente:

(3.22)

Es decir, el movimiento se describe únicamente con dos coordenadas.

Comparando esta hamiltoniana con la anterior, obtenida en el caso del

uso de coordenadas polares planas, se puede identificar a a9 = Pl/J = l, el módulo del momento angular.

3.7. VARIABLES ACCIÓN-ÁNGULO PARA SISTEMAS CON UN

GRADO DE LIBERTAD

Por la importancia que tiene en diversas ramas de la mecánica, veamos

finalmente una transformación especial: es aquella en la que las

coordenadas generalizadas van a ser, como el título del apartado indica,

la acción J y el ángulo de fase <1». Como todo sistema de referencia en

que una de las coordenadas es un ángulo, el uso de esta pareja de

variables será especialmente útil en el caso de sistemas que lleven

asociados ejes de simetría.

Se podría mencionar que para conseguir esta ventaja ya disponemos de

sistemas de referencia más conocidos, pero un vistazo al aspecto que

presentaban las hamiltonianas de los ejemplos del capítulo 3 son

suficientes, para convencer al más conservador, de las bondades de

estas nuevas variables, como al final del apartado se podrá comprobar.

Al igual que sucede en el resto de los capítulos, el entramado elemental

necesario para poder atacar esta sección reside en aquella otra donde

una vez domadas las transformaciones canónicas, encontrábamos

algunas que parecían ayudar en la resolución de sistemas didácticos.

Retomemos la senda abierta en la sección 5.2., e intentemos describir el

comportamiento de un oscilador armónico bajo estas nuevas variables.

Sin duda, parte del trabajo realizado allí será de utilidad ahora.

Necesitaremos saber cómo es el hamiltoniano de un oscilador en una

dimensión, así como las coordenadas tal y como quedaron en forma de

esféricas, o de polares planas, si así se prefirió. También será necesario

recordar la definición de la acción J, y de la del nuevo ángulo, e~>*

símbolo.

Usando las expresiones de p, de q y de IX= H = E obtenidas tenemos: -

(3.23)

y de la definición de la variable acción J cuando el hamiltoniano se

conserva, se deduce que:

J = ,h pdq = ,h J2mH e os a .J2rñH e os 9d9 'f ':t' rnw

2H12'" 2n =- e os 29d9 :::: -H = J(H)

wo w

Por tanto el Hamiltoniano será:

wJ . • d<P oH w H(J) = -, y la frecuencia v = <1> =- = - =-2n dt ~ 2n (3.24)

Como vemos, el hamiltoniano es independiente de la coordenada ~, es

decir, esta es una coordenada cíclica. Su momento asociado es entonces

constante. La otra ecuación de Hamilton queda:

(3.25)

Es decir, para un sistema holónomo (conservativo), la acción se

conserva en el tiempo.

Para encontrar las ecuaciones que transforman q y p en l y ~ tenemos

en cuenta que el ángulo ~ se puede escribir como 4> = vT+W = (WT/2n)+~'

donde T= 1/T y w· es el ángulo inicial. Sustituyendo esto y el valor de l

encontrado, nos queda:

~2m 00J q(J, <f>) = 2n sin2nvT = 4 J sin2n(<f> + 6 ')

mw mwn

p(J, el>)= ~2m~,! COS2TTVT = Jn':j COS 2n(<f> + 6') (3.26)


PROBLEMA 1

Utilizando la ecuación de Hamilton-Jacobi, resolver el movimiento de un

oscilador armónico de masa m y frecuencia w, en una dimensión.

Solución

El hamiltoniano del oscilador armónico es:

H( ) p2 1 ') 2

qdJ = - + -mw-q • 2m 2 (1)

La ecuación de Hamilton-Jacobi se escribe de la forma:

OS(q.(l!:t) H( DS(q:n,t)) =O D + q. D .

t . q (2)

En este caso, la ecuación de Hamilton-Jacobi toma la forma,

8S(q,a,t) + 2_ (8S(q,a,t))2 + !mu..·2q2 =O ..

8t 2m oq 2 (3)

Dado que el oscilador armónico es conservativo, podemos proponer la

siguiente solución

S(q. n~ t) = -Et + n:(lJ: o), (4)

donde la energía, E, representa la constante del movimiento ex. En estas

condiciones la ecuación (3) se escribe de la forma

2~n (Hl'(q: o:))2 + ~mw2q2 =B.

(5)

donde la prima representa derivación respecto de 11. A partir de la

ecuación (5) podemos aislar la derivada de la función característica en

función de las constantes del movimiento y de q:

1V'(q,a') = /2mE- (mu.:q)2, (6)

de donde obtenemos:

lF(q: (l!) = Jdqyl2mB- (mwq)2. (7)

La integral anterior se puede resolver fácilmente, aunque las ecuaciones

del movimiento se encuentran mediante las relaciones:

OS(q, n·, t) OlF(q: a) 1'(t) = . = , Dq fJq (8)

ro~= OS(q, n, t) = OS(q: a, t) IJ Oo: OE . (9)

De la ecuación (8) tenemos:

Olt!( q. o) {) ¡ / . . ? p(t.) = · =- dq\ 2m.E- (mwq)-

Dq Dq

= yl2mB- (mwq)2. (lO)

De la ecuación (9) obtenemos

= -t + dq---¡::==:::¡;¡::= m ¡ l J2mE · mw2

2 l- 2E q

m ¡gE (fg-mw2 ) =-t+ ~ --2 arc~in . --, q .

2mE mw 2H

y la coordenada en función del tiempo es:

q(t) = 2E --? sinw(t + ¡3)~ 1nw-

(11)

(12)

de donde vemos que un oscilador armónico realiza oscilaciones

sinusoidales con pulsación w y una amplitud proporcional a la raíz

cuadrada de la energía total, con una fase inicial dada por {1. Usando la

ecuación (10), podemos encontrar el momento conjugado en función del

tiempo, o sea:

jp(t) = ~cosw(t+ {:J).I

PROBLEMA 2

Determine las variables de acción angular para el caso particular del

oscilador armónico, con hamiltoniano H = p2 /2m+ kq 2 /2 = a.

Solución

Tenemos que:

] = f pdq = f ±.J2ma-mkq2 dq

Como los puntos de retorno (p = O) son q1,2 = ±../2a/k, la integral puede

reducirse a:

1 = 4 Lq1

.Jzma- mkq2 dq

que al calcularse resulta:

a 1 = 2n

w

por lo que se obtiene que:

con

1w H=-

2n siendo entonces

PROBLEMA 3

w= ffi 1 2rr

T = H'U) = -z;-

Determine la posición de una partícula en caída libre dentro de un

campo gravitacional dirigido en el eje Z, con un Hamiltoniano de la

forma:

Solución

- 1 ( 2 2 2) H -- Px +py +pz +mgz. 2m

Aplicando separación de variables, la ecuación de Hamilton-Jacobi se

expresa como:

Observando que E es constante, por lo que cada término de esta

expresión es también constante por ser cada uno independientes, esto

es:

Teniendo como soluciones:

Las constantes a11 a 2 , a3 definen los nuevos momentos en una

transformación canónica generada por: S= S(x,y,z, a 11 a2 , a 3 ). La otra

parte de las nuevas coordenadas generalizadas definen las ecuaciones:

/31 = - = ± - X - t as ~ aa1 2a1 f3z = - = ± - x - t as ~ aa2 2a2

De estas ecuaciones tenemos finalmente que:

~ X= ± ~---;;-- ({31 + t)

r;-: Y = ± ~---;;-- (f3z + t)

PROBLEMA 4

Usando el método de Hamilton-Jacobi,

resolver el problema del potencial lineal

dado en la siguiente figura.

Solución

El Hamiltoniano está dado por:

p2 H = Zm +klxl

Con el valor de:

Por lo tanto: X o

a Xo = +--k

a3 g z z = --- ({33 + t)

mg 2

xn

1 = ~ J .Jzm(a- kx) dx o

Entonces se tiene que:

(9 )1/3

a= 8mk 2n 2 J2 2 (9m )113 w =- --k 2n 2

3 8 1

PROBLEMA 5

Una partícula se mueve con movimiento periódico en una dimensión

bajo la influencia de un potencial V(x) = Flxl, donde F es una constante.

Utilizando variables acción-ángulo, hallar el periodo del movimiento en

función de la energía de la partícula.

Solución

De acuerdo con el potencial dado, tenemos en este caso que el

hamiltoniano está dado por:

p2 H =E=-+ Flxl

2m

De donde obtenemos p como función de x, esto es:

p = .fiñi)E- Flxl

A partir de esta ecuación obtenemos la variable acción, siendo: E/F

f f J 8..J2iñ E3/2

] = pdx = .JZiñ)E- Flxl dx = 4.J2m )E- Flxl dx = 3

F o

Esta integral ha sido calculada considerando que la función recorre

cuatro veces el camino desde o hasta x = EJF (que es el punto de

retorno) sobre el contorno cerrado de integración, además se hizo el

cambio de variable y= E- Flxl.

De esta última ecuación se obtiene que E= H como función de]:

(3F])2/3

H= Vm 4V2

Considerando que la frecuencia está dada v =oH y T =.!. = 81 por ~ v oH

entonces, se tiene finalmente que:

4.J2mE T=--F-

7

PROBLEMAS DESARROLLADOS CON PROGRAMAS COMPUTACIONALES

PÉNDULO ELÁSTICO

Consideremos el péndulo elástico representado en la figura que se

encuentra moviendo en el plano XY. Calcular los espacios de fase con

respecto a r y e.

o "ti

0.8

0.6

0.4

.g¡ 0.2 "! Cll e :0 o .S o e Cll E -O 2 o . ~

-0.4

-0.6

-0.8

y X

Posicion generalizada

Espacio de fase respecto a 11theta ..

o "a

-~----~~------------------~r-----------------~~~-----E Cll e ~--~~--------------------~+----------------------------~.6 0.6 Cll

E----~~------------------~+-----------------~~~-----0 :!!!


PROGRAM PENDELAS

INTEGER NSTEP,NVAR

PARAMETER(NVAR=4)

INTEGER i,j

Poscion generalizada

REAL x(lOOO),xl,x2,y(SO,lOOO),vstart(NVAR)

REAL xx(lOOO),yy(lOOO),E(lOOO),m,ro,g,h,k

COMMON /path/ x,y

EXTERNAL derivs

OPEN(S,FILE='archiv.dat') ! archivo donde se depositan r y w

OPEN(lO,FILE='archivl.dat') ! archivo donde se depositan theta y z

OPEN{lS,FILE='trayectoria.dat') ! archivo donde se depositan x e y

OPEN(20,FILE='Energía.dat') ! archivo donde se depositan la energía

xl=O.O ! Tiempo inicial

vstart(l)=O.S ! r inicial

vstart(2)=0.5 ! w inicial

vstart(3)=0.5 ! Theta inicial

vstart(4)=0.5 ! z inicial

h=0.01 ! paso de integración


NSTEP=(x2-x1)/h !Numero de pasos o numero de pares de valores


write(S,'(/1x,t9,a,tl7,a,t31,a/)') 't','Theta','Omega'

m=O.OS ! masa del péndulo

ro=O.S ! longitud natural del péndulo

k=20. ! constante elastica

g=9.8 ! gravedad

do i=1,NSTEP

j=i

EÜ)=O.S *m* (y(2,j) * * 2+y( 1,j) * *2 *y( 4,j) * *2)-

m*g*y(1,j)*cos(y(3,J))+O.S*k*(y(1,j)-ro)**2 !Calcula la energía

XX(J)=y(1,j)*sin(y(3,j))! calcula la coordenada x

YY(J)=-y(1,j)*cos(y(3,j)) ! calcula la coordenada y

write(S, '(1x,f10.4,2x,2f12.6)') x(j),y(1,j),y(2,j) !escribe r y w

write(10,'(1x,f10.4,2x,2f12.6)') x(j),y(3,j),y(4,j) !escribe theta y z

write(15,'(1x,f10.4,2x,f12.6)')xx(j),yyÜ) !escribe la coordenada x e y

write(20,'(1x,f10.4,2x,f12.6)')x(j),EÜ) !escribe la energía

end do

END


REAL x,y(*),dydx(*),g,ro,k,m

x=x ! variable tiempo

g=9.8 ! gravedad

ro=O.S ! longitud natural del resorte

k=20. ! constante elastica del resorte

m=O.OS ! masa del pendulo

dydx(1)=y(2)

dydx(2)=y( 1) *y( 4) * * 2+g*cos(y( 3) )-k* (y( 1)-ro )/m

dydx(3)=y(4)

dydx( 4)=-2. *y(2) *y( 4 )/y( 1)-g*si n(y(3) )/y( 1)

return

END

!-------------------------------------------------------------

SUBROUTINE rkdumb(vstart,nvar,x1,x2,nstep,derivs)




EXTERNAL derivs

COMMON /path/ xx,y

USES rk4

INTEGER i,k


do 11 i=1,nvar

v(i)=vstart(i)

y(i,1)=v(i)

11 continue

xx(1)=x1

x=x1

h=(x2-x1)/nstep

do 13 k=1,nstep

call derivs(x,v,dv)



x=x+h

xx(k+1)=x

do 12 i=1,nvar

y(i,k+1)=v(i)

12 continue

13 continue

return

END

r k 4. f o r -------------------------------------------------

SUBROUTINE rk4(y,dydx,n,x,h,yout,derivs)

INTEGER n,NMAX


EXTERNAL derivs

PARAMETER (NMAX=SO)

INTEGER i

REAL h6,hh,xh,dym(N MAX),dyt(N MAX), yt(N MAX)

hh=h*O.S

h6=h/6.

xh=x+hh

do 11 i=1,n


11 continue

call derivs(xh,yt,dyt)

do 12 i=1,n

yt(i)=y(i)+hh*dyt(i)

12 continue


do 13 i=1,n

yt(i)=y(i)+h*dym(i)


13 continue


do 14 i=1,n

yout(i )=y(i)+h6 * ( dydx(i)+dyt(i)+2. * dym(i))

14 continue

return

END

8

CAPÍTULO IV , , ,

TEORIA CANONICA DE LA PERTURBACION

4.1. INTRODUCCIÓN

Se demuestra que en el caso del problema de los dos cuerpos,

cada uno describe una elipse o una cónica en relación a su centro

de masa o en torno al otro. Con la presencia de un tercer cuerpo,

ninguno de ellos describe una cónica, y la ecuación de la cónica no

es la solución de sus ecuaciones de movimiento.

Con la teoría canónica de la perturbación se obtienen soluciones

aproximadas a partir de soluciones conocidas de problemas

resolubles correspondientes a hamiltonianos no perturbados. Este

procedimiento se puede aplicar a hamiltonianos que se pueden

considerar próximos a los no perturbados, tal que la diferencia

entre el hamiltoniano perturbado y el no perturbado se puede

considerar pequeña de modo que la perturbación es proporcional a

un parámetro pequeño adimensional A«l. La solución aproximada

se da entonces como una serie en potencias de dicho parámetro.

La teoría de perturbaciones se aplica en el desarrollo de la

mecánica celeste, así como en el estudio y predicción de órbitas

para vehículos espaciales ayudado por el incremento en la

capacidad de cálculo con las modernas computadoras.

Considerando la mecánica cuántica, se tiene la teoría de

perturbaciones dependiente e independiente del tiempo. También

se tiene la teoría de perturbaciones directa que no hace uso del

formalismo de transformaciones canónicas.

4.2. EL MÉTODO DE TRANSFORMACIONES CANÓNICAS

Un problema dinámico con hamiltoniano H0 es resuelto usando la

función principal S0 , donde los nuevos momentos a y coordenadas

p son constantes. Cuando el hamiltoniano tiene un término

adicional, llamada perturbación, entonces tenemos que encontrar

la nueva solución. La transformación generada por S0 sigue siendo

canónica, aunque el hamiltoniano haya variado, pero los valores

de a y p no serán constantes. La variación en el tiempo de estos

valores estarán relacionadas con la perturbación llH.

La función principal S0 produce la transformación S0 : (p, q) ~ (a,p)

donde los momentos y coordenadas a y p serán variables, y el

nuevo hamiltoniano es:

H = Ho + llH +aso at

Pero la suma H0 +a;;= o, por lo que:

H = llH(a,p, t)

(4.1)

(4.2)

de esta ecuación se deduce que las ecuaciones dinámicas que

satisfacen a, p son:

da· iJllH _t- ---dt

(4.3)

Es de observar que si en este sistema de 2n ecuaciones se

obtienen ai,pi en función del tiempo, entonces las ecuaciones de

transformación entre (p, q) y (a,p) darán los valores de Pj y qj en

función del tiempo, o sea, el problema se resuelve. En general, la

solución exacta de las ecuaciones (4.3) no son fáciles de obtener,

por lo que en la técnica de la perturbación se usa el hecho de ser

!1H pequeño, y las cantidades a,p aun no siendo constantes, no

varían rápidamente.

Las variables (a,fl) dependen del tiempo y la transformación

canónica S0 : (p, q) ~(a, {1) se determina resolviendo la ecuación de

Hamilton-Jacobi para el problema no perturbado, entonces las

variables (a,fl) en un tiempo t, determinan la configuración y

movimiento (velocidades) instantáneo del sistema de la misma

forma que en el caso no perturbado.

Por ejemplo, si se trata el caso de una órbita elíptica planetaria,

las constante (a,fl) deben estar relacionadas con las características

de la elipse y el estado del sistema debe estar dado de la misma

manera que en el caso no perturbado, pero en este caso los

parámetros (excentricidad, semiejes, etc.) eran constantes, y

ahora son variables dependientes del tiempo t. Si la perturbación

es pequeña, la variación de los parámetros es lenta en

comparación con el movimiento orbital no perturbado.

4.3. EL PÉNDULO SIMPLE

El péndulo simple tiene como hamiltoniano a la siguiente

ecuación:

2

H = ~ + mgl(l- cos<p) 2ml

(4.3)

a. En el caso sin perturbación:

Como:

. p qJ = mF

y la energía total del sistema es:

E = ~ml2 ifJ2 + mg l (1 - COS({J)

con puntos de retorno que satisfacen la ecuación:

E 1 - COS(/)1 = -l

mg

por lo que el periodo está dado por:

(/)1 (/)1

T = 4 f d~ = 4 f dqJ ({J j 2E 2g o o mZZ- -z (1- COS((J)

que puede ser reducida a una función elíptica completa K(k),

rr/2

T = 4 f dqJ

o j1- _E_sen2 qJ 2mgl

como la función elíptica K(k) tiene la expansión para k 2 < 1

siguiente:

T=4 IT ~ (1+-1 __ E_~+ 1x3 (-E-)2~+···) (4.4) ~g 2 2x1! 2mgl 2 22x2! 2mgl 4

b. En el caso con perturbación:

El hamiltoniano del péndulo simple se puede expandir, para

oscilaciones no muy grandes, de la siguiente manera:

p2 1 l 2 1 l 4 H =-+-mg m --mg m + ··· 2ntl2 2 ~ 4! ~

(4.5)

Ecuación semejante a un oscilador armónico más una

perturbación:

1 11H = - -mglqJ 4

4!

Si consideramos la función principal asociada a H0 tal que el

nuevo momento es la variable de acción 1 y sea I = ml2,

w0 = l/g, tenemos que:

wo1 S=W--t

2n

~ = J 11

sen(w0 t + 2n{3) n w0

/Ji:: p = ~--;---cos(w0 t + 2n{3)

donde el momento o acción 1 y la coordenada {3 no son

necesariamente constantes. Así tenemos que 11H es:

1 4 1 12 4 11H = --mgl<p =-----sen (w0 t + 2n{3)

4! 24n2 mF

Obteniéndose que las ecuaciones de Hamilton para 1 y {3 están

dadas por:

df3 _ a11H _ 1 1 4 dt ---¡¡¡--- 12n2 mF sen (wot + 2n{3)

d1 a11H 1 12

dt = - ap = 3nml2 sen3 (wot + 2n{3)cos(wot + 2n{3)

La teoría de la perturbación coloca en el lado derecho los

valores no perturbados: 1 >o, {3 = o, por simplicidad. Así

entonces se tiene:

d11- 1 1~ 3 dt - 3n mF sen w0 t cosw0 t

87

que corresponden a derivadas periódicas de primer orden,

donde sus valores promedios en un periodo perturbado,

asociado a w0 son:

Si hacemos una mayor aproximación, tenemos que:

h =Jo

se obtiene como solución a este orden para el valor de lfJ:

~ ( ( 1 Jot)) qJ = ~~sen w0 t + 2n - 32rr2 mP

de donde se obtiene que el cambio en la frecuencia respecto al

péndulo no perturbado es:

w-w0 E =---

w0 8mgl

donde se observa que esta expresión corresponde a la misma

corrección encontrada en primer orden usando funciones

elípticas.

T = 4 fi ?!. (1 + _E ) ...Jg 2 8mgl (4.6)

4.4. EL OSCILADOR ANHARMÓNICO

En el caso no perturbado el período no depende de la amplitud

mientras que en el caso perturbado el período sí depende de la

amplitud.

Consideremos el hamiltoniano de un péndulo simple de

longitud 1:

En el límite de pequeñas oscilaciones, para el caso no

perturbado, se tiene:

pz mgl8z Ho = 2mZZ + 2

Asimismo se tiene que la energía no perturbada está dada por:

mgl8~áx Eo =--2--

porque cuando é = O, el valor de () = ()máx·

Si consideraremos que nuestro parámetro pequeño es

proporcional a ()11 entonces tenemos que:

Sea el valor de A.:

2 2E () =-

1 mgl

ef Eo A.=-=--

6 3mgl

Así el Hamiltoniano se puede reescribir como:

Nótese que ¡e;e1 1 puede hacerse 1, ya que ()1 es el valor

máximo de e en el caso no perturbado. El parámetro pequeño

es A. oc ()1 •

Para el caso del oscilador armónico se tiene:

S = -Qt + l.j2mQ J d()

con w 2 = gfl y Q la energía ,

89

donde 1 = ml 2 (momento de inercia).

Por otra parte, a partir de la ecuación de S es directo obtener

que:

l~Q fJ =- -- sen(wt- wP) l mw 2

p = l.j2mQ cos(wt- wP)

Recordemos que Q representa la nueva coordenada y P el

nuevo momento. La variación temporal de Q y P viene dada

por:

a K a K P=-- ~

wP =- a(Qfw) aQ

a K Q a K Q = aP ~ =

w a(wP)

Haciendo cambio de variables para las nuevas coordenadas y

momentos:

Q'= Q w

P'= wP

En estas nuevas variables reescribimos e y p como:

l~Q' fJ =- - sen(wt- P') l mw

p = l.j2mwQ'cos(wt- P')

Considerando la primera corrección a H0 se tiene que:

mglfJ4

mgl (2Q') 2

K= flH =- = --- -- sen4 (wt- P') 24 2414 mw .

90

~

Q'2 K= !:J.H = ---sen4 (wt- P')

6mL2

Para la evolución temporal de Q' y P' en primer orden resulta:

. aK 2Qb2

Q' = aP' = 3

mL2 sen3(wt- P¿) cos(wt- P¿)

., - aK- Qb 4 , P -- aQ'- 3mL2 sen (wt- P0 )

Calculando el promedio de p/ sobre un período:

2rr

. ' - ow w 4 ' - o Q' ¡- Q' (P)- 6nmL2

0 dt sen (wt- P0 ) - BmL2

De este modo P/ tiene un comportamiento secular. De modo

que la fase P/ en e y p oscila alrededor del valor:

(P) = (P(t)}t + P¿ = 8~bl 2 t + P¿

Este resultado introducido en e y p da un cambio promedio en

la frecuencia angular:

w' = w - _o_ = w - o = w 1 - ....!. Q' E ( ez) 8ml2 8mwl2 16

(4.7)

y efectivamente la frecuencia angular pasa a depender de la

amplitud. Por contra:

. 2Qb2 (Q') = -

3ml 2 (sen 3(wt- P¿) cos(wt- P¿)) = O

Por lo tanto, Q'(t) es periódica a primer orden (con período

igual a nfw, es decir, 1/2 del período del movimiento sin

perturbar). y se tiene un comportamiento oscilatorio. Así, en

91

promedio, y a primer orden, el valor de la energía no

perturbada no cambia. También podemos decir, a partir de la

ecuación para 8máx y 811 que en promedio y a primer orden la

oscilación máxima del movimiento no cambia respecto del caso

sin perturbar.

4.5. INVARIANTES ADIABÁTICOS

Si en el Hamiltoniano H(q, p, .A), .A no es una constante sino que

varía lentamente con el tiempo en un determinado intervalo, las

variables acción siguen siendo útiles ya que se mantienen

constantes de forma muy aproximada.

Si .A cambia en ll.A en un intervalo de tiempo T, el cambio en J es

proporcional a ll.A/T. Esto implica que, independientemente de lo

grande que sea el cambio en ll.A, el cambio en J se puede hacer

arbitrariamente pequeño haciendo que suceda en un intervalo de

tiempo T suficientemente grande.

Si .A=cte., las variables acción-ángulo, son:

h (Q,íl.) = ~pidqi (4.8)

De la primera de ellas, invirtiéndola, se obtiene:

Qi U,íl.) y w (q,J,íl.) = w (q,QU,íl.) ,íl.)

Asimismo:

Pi

donde w = w (q,J,íl.) es una función generatriz y aunque .A varíe

con el tiempo sigue dando lugar a transformaciones canónicas dadas

por las ecuaciones anteriores.

El nuevo Hamiltoniano viene dado por:

H no depende de w ya que, para 'A constante, tenemos variables

usuales de acción-ángulo donde H no depende de w y la relación

funcional entre (q, p) y U, w) no cambia independientemente del

valor de 'A. Por otra parte, una vez evaluada aw ¡aA. la expresamos

como una función de (w,J) en lugar de (q,J) y la llamamos

W.1 (w,j,A.):

K(w,],A.) = HU, A.) + WJc(w,],A.) ,l

Hallemos las ecuaciones de movimiento:

. aK aH awA ; U ,) + aw.1 ; wi =-a =-a + -a-/1. = vi , /1. a /1. li li li li

(4.10)

A las funciones víU,A.) se las llama frecuencias locales (si 'A fuese

constante serían las frecuencias del sistema). Además,

que no son constantes de movimiento (sólo lo son si ,l =O).

Calculemos a continuación el cambio de W.1 en un ciclo de qí:

(4.11)

ya que en W se toma la derivada parcial respecto de 'A

manteniendo (q,J) constantes. Así, W.1 es una función periódica en

las wí, que siguen cumpliendo que varían en una unidad cuando qí

hace un ciclo y cero en cualquier otro ciclo. Recuérdese que estos

ciclos se toman en el espacio de fase (qi,pi), dado que el sistema

se supone separable, y que no involucran cambios en el resto de

variables ni en el tiempo. De este modo, W.1 admite el desarrollo

de Fourier que ya hemos visto con anterioridad en las variables wu

y, por lo tanto, aW;Jawi carece de términos con mi = O, para todo

i, así que:

f.wi+l aw.A. d , _ 0 - W·-

Wí aw[ l (4.12)

Supongamos que A. es una función que varía lentamente con el

tiempo tal que:

1 i 1 <E (4.13)

con e arbitrariamente pequeño. Sea t = o el tiempo inicial,

tomemos wa(O) = o por conveniencia.

Entonces:

(4.14)

donde hemos supuesto que de wi(t) se puede despejar t = t(wa.

De la ecuación wu se obtiene que:

1

~ 1:i 1 = 1:i1 + B(E)

Introduciendo este resultado en lllr hl se tiene:

En virtud de ( 4.12) la integral ( 4.14) está acotada:

ya que:

B lllr Id <E

vi

(4.15)

no depende de T (4.16)

y viene dada por el remanente del último ciclo que todavía no se

ha completado tras el tiempo T. Haciendo e arbitrariamente

pequeño en ( 4.13) así resulta el correspondiente cambio en fu

puesto que el resto de factores a la derecha de ( 4.13) son finitos y

no crecen con T.

A lo largo del desarrollo hemos supuesto que wi era

suficientemente pequeño, siendo este el "punto débil" del

razonamiento. Es decir, hemos supuesto que vi tuviese inversa

para todo A. y que en el intervalo o~ T no se hace arbitrariamente

pequeña al variar A. de modo que ( 4.16) quede justificada.

Ahora consideremos un sistema periódico con un grado de libertad

descrito por las variables de acción angular J y e. Además que el

hamiltoniano dependa de un parámetro a que sea dependiente del

tiempo, con una variación muy pequeña durante cada periodo no

perturbado, correspondiente a una variación adiabática del

parámetro.

Entonces:

H = HU,a) (4.17)

La transformación W0 : (p, q) ~ u, e) generada por W sigue siendo

canónica aunque el parámetro a sea función del tiempo. Si la

transformación contiene el parámetro, el nuevo hamiltoniano será

distinto y posiblemente] y e variarán de otra forma. Por razones

de periodicidad en e, conviene usar como función generadora de la

transformación a la función:

W*(q,e,a) = W(q,],a)- e¡

De modo que el nuevo hamiltoniano es:

95

- aw• da aw• H = HU,a) +a¡= HU, a)+ dt aa (4.18)

Y las correspondientes ecuaciones de Hamilton son:

d] aH da a aw· = =-----dt ae dt ae aa

de _ aR _ aH + da a aw· ----- ---dt a¡ a¡ dt a¡ aa

(4.19)

Que son exactas. Como W = f pdq, se tiene que su variación en un

periodo no perturbado es justamente J. El cambio de la variable

angular en el periodo lo podemos tomar el valor de 1, de manera

que W* no cambia en el periodo. Se concluye entonces que w· es

una función periódica para cambios enteros de 8, así también lo

serán sus derivadas, por lo cual podemos expandir:

00

aw•(], a, 8) _ ~A (] ) zírcne aa -L., n ,a e

n=O

00

a aw·u,a,e) ¿ z· e - = 2innA (] a)e mn ae aa n 1

n=O

De manera que los valores promedios en un periodo no

perturbado serán:

(4.20)

Lo que define a] como un invariante adiabático.


PROBLEMA 1

Consideremos un oscilador armónico donde w es variable en forma

adiabática. Calcular los valores de j y é.

Solución

El hamiltoniano del oscilador armónico es:

p2 1 ?

Ii(q~p) = 2- + -2mw-q2. m

p2 1 = 2m+ -zkqz,

k wz =

m

Las ecuaciones que satisfacen J y e son:

PROBLEMA 2

. w ] = --] cos( 4n6) w

. w w () = -

2 + -

4- sen(4n6)

n nw

Calcular la variación de energía de un péndulo simple cuya longitud

varia lentamente (Péndulo de Ehrenfest).

Solución

Consideremos el hamiltoniano dado por la ecuación:

En t:::;; o se tiene:

La variable acción es:

h = f pdq = f (AiAi sen (Ait)) 2 dt = AT Af ~ = AiAT n

Después de iniciarse la dependencia temporal A. cambia con el tiempo,

tal que tras un tiempo T la elongación final es A¡ . La nueva variable

acción viene dada por:

]¡ = nA¡A}

con A¡ el valor de A(t) característico para un ciclo alrededor de t = t1

dado que A varía lentamente.

Entonces, igualando los valores de la variable acción para los tiempos

inicial y final:

A¡=~ Ai ~;:;:

que da la relación entre las elongaciones. Para la energía, teniendo en

cuenta que,

Realizando el cociente:

luego:

Sustituyendo

tenemos:

LlA LlE =-E

A


COMPUTACIONALES

PROBLEMA

El extremo de una barra uniforme de largo 1 está montado sobre un eje

de modo que la barra puede rotar libremente en un plano normal al eje,

como se indica en la figura. Si el eje se hace rotar sobre un plano

horizontal con velocidad de rotación constante Q, permaneciendo fija la

unión de la barra al eje, determine la trayectoria en el espacio de fase

de la barra cuyo ángulo que forma con la vertical descendente satisface

la siguiente ecuación diferencial:

.. 2 . :3g . () = n sm () cos () - 2l sm ().

RESULTADOS

Theta vs tiempo 0.1

0.08

0.06

0.04

0.02

IQ ... o Cll .S::. 1- ~( 60

-0.02

-0.04

-0.06

-0.08

-0.1 Tiempo

Momento generalizado vs tiempo 0.25

0.2

0.15

o 0.1 -e IQ

.!::! 0.05 ¡¡¡ ... Cll e Cll o tiO o S 60 ... e ~ -0.05 o ~

-0.1

-0.15

-0.2

-0.25 Tiempo

Trayecotoria en el espacio de fase

0--------~------------~~~--------------~--------"CC 111

.!::! e-------+--------------~~r-----------------~-------01 e ~------~----------------~~----------------~-------~.1 0.08 0.1 01------~--------------~b-~----------------~------E o ~--------~------------~~~--------------~---------


PROGRAM BARRA INTEGER NSTEP,NVAR PARAMETER(NV AR=2) INTEGERi,j

theta

REAL x( 1 OOOOO),x 1 ,x2,y( 50, 1 00000), vstart(NV AR ),h COMMON /path/ x,y EXTERNAL derivs

OPEN(5,FILE='archiv.dat') ! archivo donde se depositan theta y t OPEN(lO,FILE='archiv1.dat') ! archivo donde se depositan dthetadt y t OPEN(l5,FILE='trayectoria.dat') ! archivo donde se depositan dtheta e theta

x1=1. ! Tiempo inicial vstart(l)=0.01! theta inicial vstart(2)=0.2 ! dtheta inicial

h=O.O 1 ! paso de integración x2=55.0 ! tiempo final NSTEP=(x2-x1)/h !Numero de pasos o numero de pares de valores

call rkdumb( vstart,NV AR,x 1 ,x2,NS TEP ,derivs)

do i=1,NSTEP j=l

enddo END

write(5,'(1x,f10.4,2x,2f12.6)') xG),y(l j) !escribe t y theta write(10,'(1x,f10.4,2x,2f12.6)') xG),y(2,j) !escribe t y dtheta write(15,'(1 x,fl 0.4,2x,f12.6)')y(l ,j),y(2,j) !theta y dthetadt

!------------------------------------------------------------SUBROUTINE derivs(x,y,dydx) REAL x,y(*),dydx(*),g,ohmio,l

X=X g=9.8 ohmio=0.1 1=0.5

dydx(1)=y(2) dydx(2)=-ohmio* *2*sin(y( 1) )*cos(y( 1) )-(3 *g/2 *l)*sin(y( 1))

retum END

!-------------------------------------------------------------SUBROUTINE rkdumb(vstart,nvar,x 1 ,x2,nstep,derivs) INTEGER nstep,nvar,NMAX,NSTPMX PARAMETER (NMAX=50,NSTPMX=100000) REAL x 1 ,x2,vstart(nvar),xx(NSTPMX),y(NMAX,NSTPMX) EXTERNAL derivs COMMON /path/ xx,y USES rk4 INTEGER i,k REAL h,x,dv(NMAX),v(NMAX) do 11 i=1,nvar v(i)=vstart(i) y(i,1)=v(i)

11 continue xx(l)=x1

x=x1 h=(x2-x1)/nstep do 13 k= 1 ,nstep

call derivs(x,v,dv) call rk4(v,dv,nvar,x,h,v,derivs) if(x+h.eq.x)pause 'stepsize not significant in rkdumb' x=x+h xx(k+ 1)=x do 12 i=1,nvar

y(i,k+ 1 )=v(i) 12 continue 13 continue

102

cf

retum END rk 4. for-------------------------------------------------

SUBROUTINE rk4(y ,dydx,n,x,h,yout,derivs) INTEGER n,NMAX REAL h,x,dydx(n),y(n),yout(n) EXTERNAL derivs PARAMETER (NMAX=50) INTEGER i REAL h6,hh,xh,dym(NMAX),dyt(NMAX),yt(NMAX) hh=h*0.5 h6=h/6. xh=x+hh do 11 i=1,n

yt(i)=y(i)+hh*dydx(i) 11 continue

cáll derivs(xh,yt,dyt) do 12 i=1,n

yt(i)=y(i)+hh *dyt(i) 12 continue

call derivs(xh,yt,dym) do 13 i=1,n

yt(i)=y(i)+h*dym(i) dym(i)=dyt(i)+dym(i)

13 continue call derivs(x+h,yt,dyt) do 14 i=1,n

yout(i)=y(i)+h6*( dydx(i)+dyt(i)+ 2. *dym(i)) 14 continue

re tu m END

CAPÍTULO V

FORMULACIONES DE LAGRANGE Y HAMIL TON

5.1 INTRODUCCIÓN

El estudio de la mecánica realizado hasta ahora, es con sistemas que

tengan un número de grados de libertad finito y el formalismo utilizado

es con sistemas discretos. Sin embargo, En la mecánica clásica existen

casos que poseen sistemas continuos, por lo tanto, estos formalismos

usados pueden ser extendidos a sistemas continuos con infinitos grados

de libertad, como el problema de un sólido elástico vibrante, en donde

cada punto del sólido continuo actúa en las oscilaciones, y el

movimiento total puede ser descrito por el desplazamiento de la cuerda

especificando las coordenadas de posición de todos los puntos, es decir

una función campo que dependa de r y t.

5.2 TRANSICIÓN A SISTEMAS CONTINUOS

No resulta difícil modificar las formulaciones anteriores de la mecánica

para poder tratar dichos problemas. El método más directo consiste en

aproximar el sistema continuo a uno que contenga partículas discretas y

luego examinar cómo cambian las ecuaciones que describen el

movimiento, cuando nos aproximamos al límite continuo. Con las

formulaciones de la mecánica clásica se pueden resolver estos

problemas.

Cuando el número de grados de libertad es grande, el tratamiento de las

ecuaciones de valores propios se hace complejo, pero si hay ciertas

simetrías, el problema se puede resolver para un número arbitrario de

04

grados de libertad. Se pueden estudiar los casos particulares de simples

soluciones y luego se generalizan los resultados a sistemas con infinitos

grados de libertad, esto es, los sistemas continuos.

Para observar el paso de un sistema discreto a uno continuo,

estudiaremos los casos de las oscilaciones o vibraciones longitudinales y

transversales de una cuerda o una varilla infinitamente larga.

5.3 OSCILACIONES LONGITUDINALES

Para el caso de una varilla infinitamente larga, consideremos sus

vibraciones longitudinales de forma aproximada al correspondiente a un

sistema discreto de infinitas partículas de masa m separadas una

distancia a y unidas por resortes de constante k. Si solamente posee

desplazamientos longitudinales, sea r¡¡(t) el desplazamiento longitudinal

de la partícula i de este sistema.

La energía cinética total de este sistema es:

T 1"' ·2 = 2 L..i mr¡i (5.1)

y la energía potencial es la suma de las energías potenciales del

conjunto de todos los resortes, esto es:

(5.2)

En estos casos, el lagrangiano de este sistema discreto está dado por:

(5.3)

A efectos de llevar al límite esta expresión para pasar de un sistema

discreto a uno continuo, multiplicamos y dividimos por la distancia entre

las masas a. Esto es:

L =~a¿. [mr¡·?- ka(rJiH-rJi)2

] _ a"'·L· 2 t a t a .L..t t (5.4)

105

Las ecuaciones que se derivan de este lagrangiano son:

m ··? + ka (rli - 'YJi-1) _ ka (r¡i+1 - 'YJi) a r¡t az az

El cambio de este sistema discreto al continuo se realiza llevando al

límite a algunas cantidades. Estas son:

Siendo ít = densidad lineal de masa de la varilla.

La varilla obedece a la ley de Hooke, esto es, el alargamiento de la

varilla por unidad de longitud es proporcional a la tensión.

F = Yt:

donde Y es el módulo de Young y t: es el alargamiento por unidad de

longitud.

Entonces la fuerza necesaria para estirar el resorte es:

('YJi+1 - 'Yli)

F = k(r¡i+1 - r¡a = ka a

Donde ka~ Y y el índice i que corresponde a cada una de las masas en

el sistema discreto, al pasar al sistema continuo representará la

posición x: rJi ~ r¡(x), esto es, llevando al límite se tiene que:

'YJi+1 - 'Yli r¡(x +a) - r¡(x) ---~....:..___ ___ ....:..___~

a a

l. 7](X+a)-7](X) _ a11 Ima~o --a a x

(5.5)

Concordante con la ecuación (5.5), en el lagrangiano de la ecuación

(5.4), la sumatoria se transforma en una integral en x al pasar del

sistema discreto al sistema continuo en el límite.

(5.6)

Finalmente la ecuación de movimiento viene a estar dadá.por:

. a2r¡ azr¡ A.--Y-=0 at2 ax2

o por la ecuación:

(5.7)

Expresión conocida como la ecuación de onda de una varilla que se

propaga lOngitudinalmente con una velocidad de propagación v, dada

por:

v=J% (5.8)

De las ecuaciones (5.4) y (5.6) se define la densidad lagrangiana por la

ecuación:

(5.9)

Siendo: L = f L dx

5.4 OSCILACIONES TRANSVERSALES

Veamos el caso de un sistema de N partículas de igual masa m

separadas una distancia a y unidas por resortes sin masa de la misma

longitud natural y constante elástica k ubicadas en línea recta, y los

resortes sometidos a una tensión igual r. Si las partículas se desplazan

lateralmente, estarán sometidos a fuerzas de modo que por la segunda

ley de Newton se tiene que:

(5.10)

si no hay desplazamientos longitudinales en x y los transversales en y

son pequeños, entonces se tiene que:

(5.11)

O sea:

(Yi+l - Yi Yi - Yi-1)

~T -----a a

Por consiguiente, tenemos que la ecuación aproximada del movimiento

es:

(5.12)

a. Límite continuo

Cuando N ~ oo y a ~ O, así también las masas tiendan a cero, y

considerando m~ A. (densidad lineal de masa), entonces la ecuación a

(5.3) se convierte en una variable continua de la posición, esto es:

Yi --+ y(x, t)

donde:

- ay(x, t) 1 a 2y(x, t) 2 Yi+l --+ y(x +a, t) - y(x, t) + ax a+ z axz a

- ay(x, t) 1 a2 y(x, t) 2 Yi-1--+ y(x- a,t)- y(x,t)- ax a+ 2 axz a

Además tenemos que:

a2y(X, t) = T a2y(X, t) aZ

at2 ma ax2

Obteniendo finalmente que:

a2 y(x,t) -:!.. a2 y(x,t) = o at 2 (]' ax 2 (5.13)

que viene a ser la ecuación de onda para una cuerda elástica.

b. Lagrangiano para la cuerda continua

Cuando tenemos un sistema de N partículas, el lagrangiano de este

sistema es:

2 L = ! ~.(V m . ?- _ ar ~.(V (Yi+l -Yi)

2 L..t=l Yt 2 L..t=l a

el cual cumple con las ecuaciones de movimiento (5.3), estas son:

donde:

T Y· =-(y-+1 + Y·-1- 2y·) t ma t t t

aL -a· =myi

Yi

(5.14)

Pasando del sistema discreto al continuo, tenemos que:

a --7 O

Yi (t) --7 y(x, t)

Yi+t - Yi ay(x, t) a ax

ay(x, t) Yi --7 --

at

De la ecuación (5.5) tenemos que el lagrangiano está dado por:

N N lLm .2 TL (Yi+l - Yi)2

L=- -y. a-- a 2 a t 2 a

i=l i=l

L = ~ f (ay(x,t))2 dx - :_ f (ay(x,t))2 dx 2 at 2 ax (5.15)

Para esta cuerda continua, la densidad lagrangiana (la lagrangiana por

unidad de longitud), se expresa por:

L = 3:. (ay(x,t))2

_ ~ (ay(x,t))2

2 at 2 ax (5.16)

5.5 FORMULACIÓN LAGRANGIANA Y PRINCIPIO DE HAMILTON

PARA SISTEMAS CONTINUOS

Consideremos la existencia de densidades lagrangianas de la forma:

( ay ay) L = L y, ax' at

Por lo que la acción S es:

y considerando el principio de Hamilton que señala que la variación a

extremos fijos es nula, se tiene:

Usa11do el formalismo de las variaciones 8, se tiene que:

como:

y

Por lo que:

La segunda integral puede ser integrada parcialmente respecto a x, la

tercera parcialmente respecto a t, la parte integrada se anula por la

condición de extremos fiJos

8y = O en t = t 1 y t = t 2

obteniéndose que:

111

ft2 J (aL a aL a aL ) oS= t

1 dt ay- axa(ayjax)- ata(ayjat) oydx =O

De donde encontramos que:

.!..._ aL + ~ aL _ aL = 0 ax a(ay/ax) at a(ay/at) ay (5.17)

que corresponden a la ecuación de Lagrange para un sistema continuo.

Para el caso de la cuerda:

De acuerdo con la ecuación (5. 7) la densidad lagrangiana de una cuerda

continua está dada por:

L = ~ (ay(x, t)) 2 _ ::_ (ay(x, t))2

2 at 2 ax

Remplazando esta ecuación en la ecuación de Lagrange dada por la

ecuación (5.8) obtenemos:

_ !__ r (ay(x, t)) +~u (ay(x, t)) = 0 ax ax at at

que corresponde a la ecuación de onda la cual se puede reescribir

mediante la siguiente ecuación:

a2 y(x,t) - v2 a2 y(x,t) = o at2 ax2

(5.18)

donde:

v=jh


PROBLEMA 1

Encontrar la ecuación de movimiento de una partícula de masa m que

está sometida a un potencial V= -Fq cuya posición en cualquier

instante es q, velocidad v y con condiciones iniciales q1 y t 1 •

Solución

En este caso la acción está dada por:

PROBLEMA 2

Determinar el hamiltoniano y las ecuaciones canónicas para un sistema

cuyo lagrangiano es:

Solución

13

Como:


aL Pl = aq_l

En forma semejante tenemos que:

Por lo que:

Siendo:

aL P2 =-a. = 4qlq2q2

qz

. P2 y q2 = 4qlq2

H = éJ.1P1 + éJ.2P2 - L = éJ.1P1 + éJ.2P2 - (q¡ + q2)4i - 2q¡ q2q~ + 4qi + 3q~ - Sq1 q2

Remplazando,

_ P1 P2 [ P1 ]2

[ P2 ]2

2 H- 2(q¡ + q2) Pl + 4qlq2 P2- (q¡ + q2) 2(q¡ + q2) - 2qlq2 4q¡q2 + 4q¡

+ 3q~- 5q1q 2

Obteniendo finalmente que el hamiltoniano está dado por:

Utilizando este valor del hamiltoniano, podemos obtener nuevamente los

valores de q1 y q2 , a saber:

. aH P2 y q2=-=--

ap2 4q¡qz

1 4

y que corresponden a los mismos valores hallados usando el

lagrangiano. /

De igual manera obtenemos que:

PROBLEMA 3

Consideremos dos partículas que se encuentran unidas con un resorte

de longitud f 0 y coeficiente de elasticidad k que caen a lo X

largo de un tubo, como se muestra en la figura. Calcular:

a) La energía cinética, la energía potencial y el

lagrangiano,

b) El hamiltoniano, y

e) Las ecuaciones canónicas del sistema

Solución o

Las energías cinética y potencial están dadas por: • 2 • 2

mlxl m2x2 T=-2-+-2-'

El lagrangiano es:

El hamiltoniano está dado por:

m1xi m2x~ k(x1 - x2 - f 0 ) 2

H =T+Y=-2-+-

2-+

2 +m1gx1 +m2gx2

pero las coordenadas p1 y p2 están relacionadas con las velocidades x1 y

x2 por las ecuaciones:

Pt = m1x1 y Pz = IDzXz

o Pt Pz

:Xt=- y Xz=-ml mz


Pi P~ k(xl - Xz - f 0)2

H = T + V = -2

- + -2

- + 2

+ m1gx1 + m2gx2 ml mz

Las ecuaciones canónicas están dadas por:

aH P1 = -- = -k(xl- Xz- fo)- m1g

axl

aH Pz = -- = k(xl - Xz - f o) - mzg

axz


COMPUTACIONALES

PEONZA SIMÉTRICA

Cuando lanzamos una peonza observamos una serie de movimientos

aparentemente independientes unos de otros. Por una parte tenemos la

rotación de la peonza sobre su eje de simetría, tal vez sea el

menos llamativo de todos los movimientos que puede realizar. Cuando

la peonza empieza a inclinarse, su eje de simetría describe un

movimiento en torno a la vertical (como describiendo un cono), que

se conoce con el nombre de precesión. Finalmente, es posible lograr un

tercer movimiento, llamado nutación, consistente en un acercamiento

de la peonza a la vertical; coloquialmente, lo que se conoce como

"bamboleo".

z'

y•

yl

Recta de nodos

Gráficos del momento generalizado vs la posición generalizada para cada uno de los ángulos de Euler de la peonza simétrica.

3

2

o -g 1 .!:!

~ Cll e g¡, o 2 e Cll

6 -1 :E

-2

-3

Espacio de fase respecto a theta

2 2.5 3


3.5

25

o 20 "C

111 .!::!

7!! 15 Cll e 2'o o ~10 Cll E o :E 5

o

16

14 o

"C 12 .~ 7!!10 Cll e 2'o 8 B ; 6 E

o 10

-/'

"\

Espacio de fase respecto a phi

20 30 40 50 60 70 80

Posición generalizada

Espacio de fase respecto a psi

- -1' 1'

/\. /\. /\. ~ 4

2 \ J ' 1 \ J \ 1 \ J \ 1 \ V V V o

o 5


PROGRAM PEONZA

INTEGER NSTEP,NVAR

PARA M ETER(NVAR=G)

INTEGER i,j

V V 10 15


REAL x(lOOOOO),xl,x2,y(SO,lOOOOO),vstart(NVAR),h

V \ 20

90 100

25

18

COMMON /path/ x,y

EXTERNAL derivs





vstart(l)=0.3 ! theta inicial

vstart(2)=0.0 ! dthetadt inicial

vstart(3)=0.3 ! phi inicial


vstart(S)=0.3 ! psi inicial

vstart(G)=S.O ! dpsidt inicial



NSTEP=(x2-xl)/h !Numero de pasos o numero de pares de valores

call rkdumb(vstart,NVAR,xl,x2,NSTEP,derivs)

! write(S,'(/lx,t9,a,t17,a,t3l,a/)') 't','Theta','Omega'

do i=l,NSTEP

j=i

end do

END

write(S,'(lx,f10.4,2x,2fl2.6)') x(j),y(l,j) !escribe t y phi

write(lO,'(lx,f10.4,2x,2fl2.6)') x(j),y(3,j) !escribe t y dphidt

write(1S,'(lx,f10.4,2x,f12.6)')x(j),y(S,j) !phi y dphidt


REAL x,y(*),dydx(*),lx,ly,lz,m,g,r

x=x

lx=0.036

ly=lx

lz=2.604e-4

m=0.0875

g=9.8

r=0.07

119

dydx(1)=y(2)

dydx(2)=y( 6) * *2 *sin(y( 1)) *cos(y( 1) )-lz*y( 4) *y( 6)*sin(y( 1) )/lx-

lz*y( 6) * *2 *si n(y( 1) )*cos( y( 1) )/lx+m * g*r*si n(y( 1) )/lx

dydx(3)=y(4)

deno=lx*sin(y( 1) )* *2+1z* ( cos(y( 1) )+cos(y( 1)) * *2)

dydx( 4 )=-lz *y(2)*sin(y( 1) )*cos(y( 1)) *y( 4 )/deno+y( 6) *y(2) *sin(y( 1) )-2 *(lz

lx) *y( 6) *y(2)* sin(y( 1) )*cos(y( 1)) * *2/ den o

dydx(S)=Y(6)

dydx( 6)=(2 *( lz-lx) *y( 6)*y(2) *sin(y( 1)) *cos(y( 1) )+lz*y( 4) *y(2)*sin(y( 1)) )/den o

return

END





EXTERNAL derivs

COMMON /path/ xx,y

USES rk4

INTEGER i,k


do 11 i=1,nvar

v(i)=vstart(i)

y(i,1)=v(i)

11 continue

xx(1)=x1

x=x1

h=(x2-x1)/nstep

do 13 k=1,nstep

call derivs(x,v,dv)



x=x+h

xx(k+1)=x

120

do 12 i=1,nvar

y(i,k+1)=v(i)

12 continue

13 continue

return

END

rk~.for-------------------------------------------------

SUBROUTINE rk~(y,dydx,n,x,h,yout,derivs)

INTEGER n,NMAX

REAL h,x,dydx(n)N(n)NOUt(n)

EXTERNAL derivs

PARAMETER (NMAX=SO)

INTEGER i

REAL h6,hh,xh,dym(NMAX),dyt(NMAX),yt(NMAX)

hh=h*O.S

hG=h/6.

xh=x+hh

do 11 i=1,n


11 continue


do 12 i=1,n

yt(i)=y(i)+hh *dyt(i)

12 continue

call derivs(xhNt,dym)

do 13 i=1,n

yt(i)=y(i)+h*dym(i)


13 continue

call derivs(x+hNt,dyt)

do 1~ i=1,n

yout(i)=y(i)+h6 * ( dydx(i)+dyt(i)+2. *dym(i))

14 continue

return

END

121

" DISCUSION

De acuerdo a los resultados obtenidos se observa que

comparados con otros textos similares, el presente

trabajo se ajusta más al contenido de los sílabos y

sumillas requeridas por las escuelas profesionales

mencionadas, por lo que consideramos que será más

utilizado con respecto a los otros textos existentes.

122

REFERENCIALES ·

1 GOLDSTEIN, HERBERT. Mecánica Clásica, Barcelona: Editorial Reverté, Primera Edición, 1998.

2 HAUSER, WALTER. Introducción a los Principios de Mecánica, México: Editorial UTEHA, Primera Edición, 1969.

3 KIBBLE, T.W.B. Mecánica Clásica, Madrid: Fondo Editorial Mixto, Primera Edición. 1974.

4 MARION, JERRY B. Dinámica clásica de las partículas y sistemas, Barcelona: Editorial Reverte, Segunda Edición, 1995.

5 OLLER, JOSÉ A., Mecánica Teórica, Murcia: Universidad de Murcia, www.um.es/oller/docencia/versionmteor.pdf, 2013

6 RODRÍGUEZ VALENCIA, LUIS. Mecánica Clásica, Santiago de Chile: Universidad de Santiago de Chile, http://fisica.usach.cl/rv lhrodrig/libromecanica.pdf, 2000.

7 SOLDOVIERI, TERENZIO. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton, Maracaibo: Universidad de Zulia, www.cmc.org.ve/ tsweb/documentos/ApuntesMecii.pdf, 2013.

8 SPIEGEL, MURRAY R. Teoría y Problemas de Mecánica Teórica, Madrid: Editorial McGraw-Hill, Colección Schaum, Segunda Edición, 1989.

9 VALADEZ, SERGIO; ATENCIO, ANA MARÍA; LEÓN, JAVIER. Análisis de Fenómenos de la Mecánica Clásica a través de Programas de Simulación, México: Editorial CFIE- IPN, Primera Edición, 2006.

123

, APENDICE

Concordante con el trabajo desarrollado (el cual es la

elaboración de un texto universitario), y por la

naturaleza de ser una investigación bibliográfica, los

aportes del autor vienen a ser los programas

computacionales para la solución de problemas en

cada temática, los cuales se encuentran insertos al

finalizar cada capítulo, a fin de que los lectores

puedan tener una mejor comprensión del tema en

estudio.

124

ANEXO

En este informe no se consideran Anexos porque los

gráficos están incluidos dentro del mismo texto.

125

universidad nacional del callao - biblioteca...

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