7/25/2019 Oscilador armnico cuntico

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Oscilador Armnico

CunticoAplicacin de los polinomios de Hermite

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Charles HermiteDiciembre 1822 - Enero1901

Erwin ShrdingerAgosto 1887- Enero 1961

~1850 1926

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Oscilador armnico clsico

a !"er#a $"e e%erceel resorte sobre la

masa es&

'( por laseg"nda le) de*e+ton&

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,enemos la ec"acin di!erencial&

con

")a sol"cin general es&

Donde A ) . dependen de las condiciones iniciales

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Oscilador armnico cuntico

Ec"acin de mo/imiento de crdinger&

con

Donde es el potencial

(1)

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*otemos $"e

es la misma $"e en el caso cl3sico

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"stit")endo 4 en 1

donde podemos acer '1

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$"e tiene la !orma

onde A'1 .'0 ) '2E-2

(2)

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Grfca del potencial con k=

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a !"ncin de onda : $"e b"scamos debede acerse cero en '

Esto por$"e la !"ncin ;'

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Entonces como -( ((2E 2 secon/ierte en

2

onemos $"e la sol"cin a esta ec"acin sea de la !or

)a $"e c"ando -( e -(o sia(0>

-a 2

r lo $"e aora tenemos $"e encontrar a a>

(3)

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Deri/ando B dos /eces&

)

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) como -(

-

(

pero ab=amosdico $"e atiene $"e serma)or $"e cero

or lo tanto la sol"cin c"ando -( es

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Entonces podemos acer $"e la sol"cingeneral sea de la !orma

a encontrar deri/amos dos /eces ) s"stit"imos

)

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impliCcamos ) s"stit"imos en la ec"acin decrdinger ) tenemos $"e

"e s= acemos 2E-1'2n tiene la !orma de

la ec"acin de Hermite con n'E-12 enteropositi/o c")a sol"cin es el polinomio deHermite de grado n>

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o $"e la sol"cin para el oscilador armnico c"3ntico

con n'12B>>>

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*otemos $"e

!"a energ#a est cuanti$ada%

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Entre dos /alorescontig"os de Eno a) energ=a

@sta toma/alores discretosno contin"oscomo en la

mec3nica cl3sica