Solución de la Ecuación de Schrödinger para el

Oscilador Armónico

Díaz Ortiz Mario

Figueroa Villanueva Catalina

García Beleño Jeniffer

Hernández Flandes Atzin

INTRODUCCIÓN

2

Osc

ilad

or

arm

ónic

oEstudio de sistemas con pequeñas oscilaciones en torno a

una posición de equilibrio

Estudio de oscilaciones de los átomos en moléculas diatómicas H2 o HCl

Tiene una solución analítica sencilla de la ecuación de Shcröedinger

Sistema físico de importancia en el estudio de vibraciones de moléculas, átomos, o iones en red cristalina

IMPORTANCIA DEL OSCILADOR ARMÓNICO

3

Energía en una molécula

Traslacional

Partícula en caja

tridimensional

Rotacional

Rotor rígido de dos partículas

Vibracional

Oscilador armónico

Electrónica

OSCILADOR ARMÓNICO UNIDIMENSIONAL

• Tratamiento clásico:

a) Una masa unida a una pared por medio

de un resorte ideal que se rige por la ley de

Hooke.

b) Está sometido a una fuerza

recuperadora, que tiende a devolverlo al

punto de equilibrio estable.

F = - k (x)

4

TRATAMIENTO CLÁSICO

5

6

TRATAMIENTO CLÁSICO

TRATAMIENTO CUÁNTICO

7

8

• La ecuación (1) queda:

[−ђ2

2𝑚

𝜕2

𝜕𝑥2+ 2𝜋2𝑚𝑣2𝑥2] Ѱ(x) = EѰ(x) (2)

Al multiplicar (2) por −2𝑚/ℏ2:

𝑑2Ψ

𝑑𝑥2+

2𝑚𝐸

ℏ2−

2𝜋

ℏ

2𝑥2 Ψ(x) = 0 (3)

9

• Si se definen:

𝛼 =2𝜋𝑣𝑚

ђy 𝛽 =

2𝑚𝐸

ђ2

Entonces la ecuación (3) queda:

𝜕2Ѱ 𝑥

𝜕𝑥2+ 𝛽 − 𝛼2𝑥2 Ѱ 𝑥 = 0 (4)

10

• Por conveniencia se define la variable

adimensional u como:

𝑢 = 𝛼𝑥 =2𝜋𝑚

2𝜋ℏ

𝐾

𝑚

1/2 1/2

𝑥 =(𝐾𝑚)1/4

ℏ1/2𝑥

Con: 𝑑Ψ

𝑑𝑥=

𝑑𝑢

𝑑𝑥

𝑑Ψ

𝑑𝑢= 𝛼

𝑑Ψ

𝑑𝑢

Y:𝑑2Ψ

𝑑𝑥2=

𝑑𝑢

𝑑𝑥

𝑑

𝑑𝑢

𝑑Ψ

𝑑𝑥= 𝛼

𝑑2Ψ

𝑑𝑢2

11

De tal manera que la ecuación (4) resulta en:

𝛼𝑑2Ψ

𝑑𝑢2+ 𝛽 − 𝛼𝑢2 Ψ = 0

o

𝑑2Ψ

𝑑𝑢2+

𝛽

𝛼− 𝑢2 Ψ = 0 (5)

12

• Para cualquier valor finito de energía total, E, 𝛽/2 resulta

despreciable con respecto a 𝑢2 cuando 𝑢 ⟶ ∞, entonces la

ecuación anterior queda:

𝑑2Ψ

𝑑𝑢2= 𝑢2Ψ

La solución general para esta ecuación diferencial es:

Ψ = 𝐴𝑒−𝑢2/2 + 𝐵𝑒𝑢

2/2 cuando 𝑢 ⟶ ∞

Se tiene: Ψ(u) = 𝐴𝑒−𝑢2/2

13

Se deberán buscar soluciones para:

𝑑2Ψ

𝑑𝑢2+

𝛽

𝛼− 𝑢2 Ψ = 0 (5)

Que se puedan escribir de la forma:

Ψ 𝑢 = 𝐴𝑒−𝑢2/2𝐻(𝑢)

Por lo que (5) se transforma en:

𝑑2𝐻

𝑑𝑢2− 2𝑢

𝑑𝐻

𝑑𝑢+

𝛽

𝛼− 1 𝐻 = 0

Que se resuelve por la técnica de series de potencias

14

0

1

2

3

15

Tabla1. Polinomios de Hermite y funciones de onda para el oscilador armónico n=0,1,2,3

𝐸𝑛 = ℏ𝜔 𝑛 +1

2(4) 𝑛 = 0, 1, 2…

16

ENERGÍA DE UN OSCILADOR ARMÓNICO

ENERGÍA DE UN OSCILADOR ARMÓNICO

17

Fig. 2. Funciones de onda para los primeros cuatro autoestados, n = 0 a 3.

18

ENERGÍA DE UN OSCILADOR ARMÓNICO

𝜆 =2𝐸

(ℏ𝜔)

𝐸𝑛 =1

22𝑛 + 1 ℏ𝜔 = 𝑛 +

1

2ℏ𝜔 = 𝑛 +

1

2ℎ𝑣 (5)

Energía

del

punto

cero

19

ENERGÍA DE UN OSCILADOR ARMÓNICO

Fig. 3 Desde el punto de vista clásico Fig. 4 Desde el punto de vista cuántico

20

ENERGÍA DE UN OSCILADOR ARMÓNICO

Fig. 5. Se muestran las densidades de probabilidad

espacial de la partícula para los diferentes

autoestados.

Ejercicios

21

22

23

CONCLUSIONES

Todo sistema que se rige por la ley clásica de Hooke, puede

considerarse como oscilador armónico, ya que por medio de esta

se logró tratar el sistema tanto clásica como cuánticamente,

obteniendo así la ecuación general del oscilador armónico

cuántico. Esta ecuación se usa para hallar constante de fuerza,

energía total de un sistema y para determinar la frecuencia

vibracional de una molécula diatómica. Por lo que a partir del

oscilador armónico se puede obtener información acerca de

movimiento, propiedades y estados de los átomos.

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BIBLIOGRAFÍA

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http://www.lawebdefisica.com/dicc/oscil/. Oscilador armónico simple.].

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Reverté.

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