Un estudio de los polinomios Un estudio de los polinomios ortogonales asociados con el oscilador ortogonales asociados con el oscilador armónico cuántico sobre espacios de armónico cuántico sobre espacios de

curvatura constantecurvatura constante

Christophe Vignat

y

PWL

ContextosContextos Estudio de Haces Lorentzianos

Estudio de soluciones de la

Ec. de Schödinger para potencial

del tipo Pochl-Teller

2( )

cosh ( )

DV x

x potencial anarmónico

•Información de Fisher, entropía, ... evaluadas para funciones especiales (física atómica).

Oscilador harmónico cuántico relativista V. Aldaya, J. Bisquert y J. Navarro-Salas (1991)

• Dificultades en la generalización de cualquier ecuación cuántica para estados ligados al caso relativista.

Una posibilidad (naif) ( )V x x x

Conduce a funciones de onda que tienen una dependencia temporal Gaussiana y la dependencia espacial dada por los polinomios de Hermite

Aldaya et. al. usan los operadores energía, posición y momento , ,E x p

2, , , , ,E x i p E p im x x p im

hh h No relativista

22

1, , , , , 1E x i p E p im x x p i E

m mc

h

h h

Estados cuánticos , , , ,E x p t x p

Por ejemplo:0

2

00

2 0

1cos sin sin

coscos sin

( )

P xpx t t t

i mc mc p m x

x t i PP x t t

mc t P mc

h

h

....

1

ip

Ei t

h

h

donde2

2 21

c x

0 2 2 2 2 2 2P m c p m x

Los estados excitados son de la forma:

2/ ( )2exp( )2 ( ); ;

nit N n N

n n

m mce in t H x N

h

h h

donde son los polinomios de Hermite relativistas ( )NnH

Existe una restricción sobre N>-1/2!!

Esta función es una q-gaussiana!!0 ( ) Nx

El estado fundamental es

Las funciones verifican la ecuación de Klein-Gordon asociada con la métrica anti-de Sitter:

( )n x

2 2 2 2 2 2ds c dt dx

Los polinomios fueron relacionados con los polinomiosde Gegenbauer los cuales, a su vez son un caso particular de los polinomios de Jacobi.

( )NnH

2 2

( ) ( 1) 1 1N n Nn

N nn n

dH

N d N

12 2

( ) ( ) 1

m nN

N Nn m n mnH H d c

N

Polinomios de Gegenbauer1 1

2 22 2( ) ( 1) (1 ) (1 )n

nnn n n

dC X X X

dX

Polinomios de Hermite extendidos

2 2

( ) ( 1) 1 1nn

nn n

X d XE X

dX

1 1N+ N-2 2

N

N N

donde para y cuando X ¡ N>0 ,X N - N N<0

Tanto los polin. de Gegenbauer como los de Hermite extendidos son ortogonales con respecto a medidas no usuales.

Aparecen como solución de la ec. de Schrödinger asociadaal potencial de Pöschl-Teller

Teorema 1: El EHP está relacionado al RHP por medio de la expresión

2( )

n

Nn n

N NE X H x con N n

N 1N+

N N 2

( ),nE XN N>0 ( )NnH X

Teorema 2: El EHP está relacionado al polinomio deGegenbauer

2

,

1( )

n

n nn

XE X C con

N N=- <0

( ),nE X N N=- <0

RHP EHP

Gegenbauer EHP

( ),nE XN N>0

( ),nE X N N=- 0

Correspondencia Geométrica:

Conjunto de funciones ortogonales:

12 2 4

1

12 4

2

12 2

3

( ) 1 ( )

( ; , ) 1 ( )

( ; , ) 1 ( )

n

m

N n

Nn

X X C X

XX n E X

XX n N H X

N

N2

NNN

A partir de ellas construimos las correspondientes densidades deprobabilidad:

2 2

, 3 , 1( ) ( )n N nf X g X

Teorema: Si X (variable aleatoria) se distribuye de acuerdo a ,n Nf

entonces

2(*)

1

X

NYXN

se distribuye de acuerdo a ,ng con N

21

Y NX

Y

La inversa de (*) es Proyección gnomonica

Extensión al oscilador armónico sobre una esfera y sobre el plano hiperbólico

Esfera 2DPlano EuclídeoPlano hiperbólico

Tres casos con curvatura (como parámetro)constante (k>0, k=0 y k<0)

1sin 0

( ) 0

1sinh 0

k x si kk

S x x si k

k x si kk

2 2 2 2( )k kds dR S R d Usando coord. (R,) el elem. de línea

R

El Lagrangeano de un oscilador armónico sobre alguno de estos espacios es:

2 2 2 2 2 ( )1 1( ) ( ( ) ) ( ) ( )

2 2 ( )k

R k k kk

S RL k v S R v T R donde T R

C R

1cos 0

( ) 1 0

cosh 0

k x si kk

C x si k

k x si k

De este modo el potencial del oscilador armónico, para cada caso, es

2 2 2 2 2 21 0 1

1 1 1( ) tan ; ( ) ; ( ) tanh

2 2 2U R R U R R U R R

Cambios de variables: ( ),kr S R

Coord. Cartesianas: 2 2 2r x y

Teorema: Consideremos el oscilador armónico sobre el plano hiperbólico descripto por sus coordenadas (x,) y cos densidad de probabilidad

2 2

, , 2 2 2( , ) ( ; , 1/ 2) ( ; , )

1m n N

xf z y y n N m z m N con z

y

Si este sistema es transformado como2 2 2 2

;1 1

x yX Y

x y x y

entonces el nuevo sistema tiene densidad de probabilidad dada por

2

2

, , 1 1 2

1( , ) ; , ; , ;

2 1m n

Xg Z Y Y m n Z n donde Z N m n

Y

Un enfoque entrópico:Un enfoque entrópico:

Entropía de Tsallis 1

1q

q X XH f fq

distribución de probabilidadXf

En el caso q=1, la distribución con máxima entropía y dada variancia es la Gaussiana:2

2

1( ) exp

22X

Xf X

Las funciones de Hermite están definidas como2

2( ) exp ( ); 0

2n n

Xh X H X n

En el caso q<1 las distribuciones canónicas son las q-Gaussianas

12 1

2

2 11 2 2

( ; ) 1 ; 2 112

1

q

X

qq X q

f X q dd qq

dq

1

2 2 41( ; , ) 1 ( )nX n X C X

•La densidad de probabilidad que describe el oscilador armónico sobre una superficie de curvatura constante

22

, , 1 1

1( , ) ( , , ( , , )

2m ng Y Z Y n m Z m donde

Polinomios deGegenbauer2

; 01

X mZ

Y

h

•El oscilador armónico en el contexto relativista tiene densidad de probabilidad2

2

, ( ) ( ) ;Nn N n

mcf X h X N

c corresponde a N

h

El comportamiento del oscilador armónico, tanto en el caso relativistaComo en el caso de espacios de curvatura constante pueden contextualizarseEn el marco del formalismo no extensivo