el oscilador armónico mecanocuántico
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El Oscilador ArmnicoHaga clic para B. Boves de Prof.a Mirixa modificar el estiloB. subttulo del patrn Departamento de Qumica Facultad Experimental de Ciencias
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El Oscilador ArmnicoTraslacional es Vibracionale s Rotacionale s
Molcul aGradosde Libertad
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El Oscilador ArmnicoPartcula Libre
Oscilador ArmnicoRotor Rgido de dos partculas3/17/12
Molcul a Molcul a Molcul
Modelo para describir el Movimiento Traslacional de una Molcula til para describir las Vibraciones Moleculares til para describir las3 33 Rotaciones
Resolucin de Ecuaciones Diferenciales Por Desarrollo en Serie de PotenciasSea la ecuacin diferencial2
y( x ) + c y ( x ) = 0, para c > 02
y( x ) = e y ( x ) = A cos( cx ) + Bsen( cx )sx3/17/12
Suponiend o
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Resolucin de Ecuaciones Diferenciales Por Desarrollo en Serie de PotenciasEsta misma ecuacin se puede resolver, si se supone como solucin, el siguiente desarrollo en serie de potencias
y ( x ) = an x n = a o + a1 x + a2 x 2 + a3 x 3 + ...n =0
y( x ) = a1 + a2 x + a3 x + ... = nan x2 n =1
n -1
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y( x ) = 2a2 + 3( 2 ) a3 x 2 + ... = n( n 1) an x n -2n=2555
Resolucin de Ecuaciones Diferenciales Por Desarrollo en Serie de PotenciasSustituyendo las expresiones de y(x) y y(x) en la ecuacin: 2 2
y( x ) + c y ( x ) = 0, para c > 0n( n 1) an x n -2 + c 2 an x n = 0 n=2 n =0
Es posible sumar dos series infinitas trmino a trmino de la forma: 3/17/12
bn =0
j
x + c j x = ( b j + 66 j ) x cj j n =0 n =0
j
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Resolucin de Ecuaciones Diferenciales Por Desarrollo en Serie de PotenciasPara aplicar esta relacin a nuestra ecuacin problema es conveniente definir el trmino k=n-2, de tal modo que la expresin de la segunda derivada queda como:
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Resolucin de Ecuaciones Diferenciales Por Desarrollo en Serie de PotenciasPor lo que nuestra ecuacin problema queda como:
Para que esta ecuacin se cumpla deben anularse todos los coeficientes de las potencias de x, de tal modo que se obtiene la siguiente relacin de recurrencia3/17/12
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Resolucin de Ecuaciones Diferenciales Por Desarrollo en Serie de PotenciasPara que esta ecuacin se cumpla deben anularse todos los coeficientes de las potencias de x, de tal modo que se obtiene la siguiente relacin de recurrencia
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Resolucin de Ecuaciones Diferenciales Por Desarrollo en Serie de PotenciasDados los valores de las constantes ao y a1, es posible conocer el resto de los coeficientes
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Resolucin de Ecuaciones Diferenciales Por Desarrollo en Serie de PotenciasDados los valores de las constantes ao y a1, es posible conocer el resto de los coeficientes
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Resolucin de Ecuaciones Diferenciales Por Desarrollo en Serie de PotenciasPor lo que la solucin de la ecuacin problema puede escribirse como:
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Resolucin de Ecuaciones Diferenciales Por Desarrollo en Serie de Potenciasdond e
Son los desarrollos de serie de Taylor para el cos(cx) y sen(cx) respectivamente. La solucin del problema puede expresarse como: 1313 3/17/12 13
El Oscilador Armnico UnidimensionalDel tratamiento clsico del Oscilador Armnico se obtiene el potencial:
Tratamiento Cuntico del Oscilador Armnico
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El Oscilador Armnico UnidimensionalTratamiento Cuntico del Oscilador Armnico
Donde est definida como:
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El Oscilador Armnico UnidimensionalLa ecuacin de Schrdinger
H = ESe expresa como
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El Oscilador Armnico UnidimensionalSuponiendo como funcin de onda la siguiente expresin
y determinando la segunda derivada
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El Oscilador Armnico UnidimensionalSustituyendo estas expresiones en la ecuacin de onda:
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El Oscilador Armnico UnidimensionalSe obtiene:
Suponiendo el siguiente desarrollo en serie de potencias
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El Oscilador Armnico UnidimensionalSe obtiene:
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El Oscilador Armnico UnidimensionalSustituyendo en:
Se obtiene
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El Oscilador Armnico UnidimensionalDe donde surge la siguiente relacin de recurrencia
Se tienen las constantes arbitrarias co y c1
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El Oscilador Armnico UnidimensionalLa solucin general de la ecuacin es por tanto:
Donde A y B son constantes arbitrarias.
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El Oscilador Armnico Unidimensional
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El Oscilador Armnico Unidimensional
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Las funciones de onda del Oscilador Armnico Unidimensional
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Las funciones de onda del Oscilador Armnico Unidimensional
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Las funciones de onda del Oscilador Armnico Unidimensional
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Las funciones de onda del Oscilador Armnico Unidimensional
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Las funciones de onda del Oscilador Armnico Unidimensional
( 1 ) x 3 3 ( x ) = ( 2x 3x )e 2 9 33939
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