proyecto metodos

UNIVERSIDAD PRIVADA DEL NORTE

“TRUJILLO”

FACULTAD:

INGENIERÍA.

CARRERA:

INGENIERÍA CIVIL.

TEMA:

TRABAJO REALIZADO EN EL VACIADO DE UN

LÍQUIDO.

CURSO:

MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIERÍA.

DOCENTE:

ALVITES CALIPUY, MELBA ELIZABETH.

INTEGRANTES:

Aguilar Moscoso. Jose Calderon Suarez, Jhon

TRUJILLO – PERÚ2016

TRABAJO REALIZADO EN EL VACIADO DE UN DEPÓSITO

METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIERÍAPágina 2

RESUMEN

El presente proyecto “TRABAJO REALIZADO EN EL VACIADO DE UN LÍQUIDO”

tiene como objetivo, usar integración numérica para evaluar el trabajo realizado en el

vaciado de un depósito.

Para desarrollar el problema planteado se usa la regla de integral definida, regla

Trapezoidal, regla Simpson 1/3 y regla Simpson 3/8, luego se hace una comparación

de los resultados, y se define cual método es más exacto.

La regla Trapezoidal Simple presenta un error relativo porcentual de 2.22%

El análisis muestra que la regla de Trapezoidal Simple presenta un error del 2.22% y

que la regla Trapezoidal compuesta presenta un erro del 0.0%9.

Además, las reglas de Simpson 1/3 y Simpson 3/8, tanto simple como compuestas

presentan un error del 0.00%.


INTRODUCCIÓN:

El presente trabajo aporta, la elaboración de un programa en MATLAB para aproximar

integrales definidas al valor real de dichas funciones.

El contenido del trabajo está organizado de forma modular que se ajusta a los

problemas expuestos con condiciones fijas de frontera.

En este proyecto se resolverá un ejercicio aplicativo a la Ingeniería, del cual

resolveremos tanto el método analítico, es decir, se hallará la solución del modelo

matemático; como en el computador.

Los cálculos hechos con computador se presentan mediante un algoritmo.

Utilizaremos los distintos métodos de integración para cumplir los objetivos trazados

en la investigación del proyecto.


INDÍCETRABAJO REALIZADO EN EL VACIADO DE UN DEPÓSITO......................................2

RESUMEN...................................................................................................................3

INTRODUCCIÓN:........................................................................................................4

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA:........................................................................6

OBJETIVOS:................................................................................................................6

Objetivo general:......................................................................................................6

Objetivos específicos:..............................................................................................6

MARCO TEÓRICO:.....................................................................................................7

Trabajo para el vaciado de un depósito...................................................................7

Regla Trapezoidal Simple........................................................................................7

Regla Trapezoidal Compuesta................................................................................8

Regla de Simpson 1/3 Simple.................................................................................8

Regla de Simpson 1/3 Compuesta..........................................................................9

Regla de Simpson 3/8 Simple.................................................................................9

Regla de Simpson 3/8 Compuesta........................................................................10

MODELO MATEMÁTICO:.........................................................................................10

SOLUCIÓN:...............................................................................................................11

ALGORITMO COMPUTACIONAL:............................................................................17

RESULTADOS:.........................................................................................................19

CONCLUSIONES:.....................................................................................................20

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS:.........................................................................20


PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA:

¿Se podrá usar integración numérica para evaluar el trabajo realizado en el vaciado de

un depósito?

OBJETIVOS:

Objetivo general:

Usar integración numérica para evaluar el trabajo realizado en el vaciado de un

depósito.

Objetivos específicos:

Usar la regla trapezoidal y Simpson para la solución del problema.

Diseñar un algoritmo en matlab de las reglas trapezoidal y Simpson.


MARCO TEÓRICO:

Trabajo para el vaciado de un depósito.

Para levantar un objeto se ha de contrarrestar la fuerza de la gravedad. Por

consiguiente, el trabajo realizado al levantar un objeto viene dado por:

Trabajo=( pesodel objeto)∗(alturaa la quese eleva)

Trabajo en fuerza variable:

W=∫a

b

F(x )dx

Regla Trapezoidal Simple.

La razón por la que se llama regla trapezoidal es que si f(x) es una función con valores

positivos, entonces ∫a

b

f ( x )dx se aproxima al área del trapecio mostrado en la Figura X.

I=∫a

b

f ( x )dx≅ h2[ f (x0 )+ f (x1)]

Dónde: X0 = a, X1 = b, h = b – a (es el tamaño de paso)

Regla Trapezoidal Compuesta.


La regla del trapecio se amplía si subdividimos el intervalo [a, b] en “n” sub intervalos,

todos de la misma longitud, h=b−an

I=∫a

b

f ( x ) dx≅ h2[ f (x0 )+2∗∑

k=1

n−1

f (xk )+ f (xn)]

Dónde:

X0 = a, Xn = b, h=b−an

Regla de Simpson 1/3 Simple.

La regla se Simpson 1/3 se obtiene cuando se utiliza polinomios de Lagrange de

segundo orden, con tres nodos:

I=∫a

b

f ( x ) dx≅ h3[ f (x0 )+4∗f (x1)+f ( x2)]

Dónde:

X0 = a, X1 = a + h, X2 = b, h=b−a2


Regla de Simpson 1/3 Compuesta.

La regla se Simpson se mejora al dividir el intervalo de integración en varios

segmentos de un mismo tamaño.

Dónde:


Regla de Simpson 3/8 Simple.

La regla se Simpson 3/8 se obtiene cuando se utiliza polinomios de Lagrange de tercer

orden, usando cuatro puntos.

Dónde:


X0 = a, X1 = a + h, X2 =a + 2*h, X3 = b, h=b−a3

Regla de Simpson 3/8 Compuesta.

La regla se Simpson 3/8 se mejora al dividir el intervalo de integración en varios

segmentos de un mismo tamaño.

Dónde:


Es importante notar que para el método de Simpson 3/8, el número de intervalos “n”,

solo puede ser múltiplo de 3.

MODELO MATEMÁTICO:

Un depósito de agua semiesférico de 10 metros de radio se vacía mediante bombeo.

Hallar el trabajo realizado cuando el nivel del agua desciende desde 2 a 4 metros por

debajo de la cúspide del depósito.


SOLUCIÓN:

La sección transversal a x metros de la parte más alta del depósito, es un disco de

radio:

r=√90−x2

Luego su área es:

A ( x )=π∗(90−x2)

Entonces:

W=∫a

b

F(x )dx

W=∫a

b

m(x)∗g dx

W=∫a

b

ρ∗V ( x)∗gdx

W=∫2

4

1000∗9,8∗(π ¿¿ x∗(90−x2))dx¿

W=∫2

4

9800∗π∗x∗(90−x2 )dx [N∗m ]

W=∫2

4

9,8∗π∗x∗(90−x2 )dx [kN∗m]


Solución por Integral Definida (Valor verdadero)

W=∫2

4

9,8∗π∗x∗(90−x2 )dx [kN∗m]

u = 90-x2

du = -2*x dx

W=−9,8∗π∗∫2

4 u2du [kN∗m]

W=−4,9∗π∗(u22 )2

4

[kN∗m ]

W=−4,9∗π∗¿¿¿

W=−4,9∗π∗¿

W=−4,9∗π∗(2738−3698 )[kN∗m ]

W=−4,9∗π∗(−960 )[kN∗m ]

W=14778.05184 [kN∗m ]

Solución: Regla Trapezoidal Simple

Datos:

a = 2

b = 4

h = 4 – 2 = 2

f(x) = 9,8* π *x*(90-x2)

Solución:

W ≅ h2[ f (a )+ f (b)]

W ≅ 22[ f (2 )+ f (4)]

f(2) = 5295.4685

f(4) = 9113.13197

W ≅ [5295.4685+9113.13197]

W ≅ 14408.60047 [kN.m]

Error relativo porcentual:

Et=14778.05184−14408.60047

14778.05184∗100%=2.5%


Solución: Regla Trapezoidal Compuesta

Datos:

a = x0 = 2

b = xn = 4

n = 5

h=4−25

=0,4

f(x) = 9,8* π *x*(90-x2)

Solución:

W ≅ h2[ f (x0 )+2∗∑

k=1

n−1

f (xk )+ f (xn)]

W ≅ 0,42

[ f (2 )+2∗( f (2,4 )+ f (2,8 )+ f (3,2 )+f (3,6 ))+ f (4 )]

f(2,0) = 5295.468577

f(2,4) = 6224.5154

f(2,8) = 7082.6276

f(3,2) = 7857.9828

f(3,6) = 8538.758355

f(4,0) = 9113.13197

W ≅ 0,2∗[5295.467+2∗(29700.88 )+9113.13197 ]

W ≅ 14762.07179 [kN.m]


Et=14778.05184−14762.07179

14778.05184∗100%=0.11%


Solución: Regla Simpson 1/3 Simple

Datos:

a = 2

b = 4

h=4−22

=1

Solución:

W ≅ h3[ f (x0 )+4∗f (x1)+ f (x2)]

W ≅ 13[ f (2 )+4∗f (3 )+f (4)]

f(2) = 5295.4686

f(3) = 7481.3889

f(4) = 9113.13197

W ≅ 13[5295.4686+4∗7481.3889+9113.13197 ]

W ≅ 14778.05186 [kN.m]


Et=14778.05184−14778.05186

14778.05184∗100%=0.00%

Solución: Regla Simpson 1/3 Compuesta

Datos:

a = x0 = 2

b = xn = 4

n = 6

h=4−26

=13

f(x) = 9,8* π *x*(90-x2)

Solución:

W ≅ h3¿

W ≅ 19[ f (2 )+4∗( f (2,33 )+ f (3 )+ f (3,67))+2∗( f (2,67 )+ f (3,33 ))+ f (4 )]

f(2,00) = 5295.467

f(2,33) = 6066.718

f(2,67) = 6812.246


f(3,00) = 7481.389

f(3,33) = 8090.1818

f(3,67) = 8647.2889

f(4,00) = 9113.13197

W ≅ 19∗[5295.467+4∗(22195.3959 )+2∗(14902.4278 )+9113.13197]

W ≅ 14777.22646 [kN.m]


Et=14778.05184−14777.22646

14778.05184∗100%=0.00%

Solución: Regla Simpson 3/8 Simple

Datos:

a = x0 = 2

b = x3 = 4

h=4−23

=23

f(x) = 9,8* π *x*(90-x2)

Solución:

W ≅ 3∗h8

[ f ( x0 )+3∗f (x1 )+3∗f ( x2 )+ f (x3)]

W ≅ 14

[ f (2 )+3∗f (2,67 )+3∗f (3,33)+ f (4 )]

f(2,00) = 5295.4685

f(2,67) = 6812.248

f(3,33) = 8090.18

f(4,00) = 9113.13197

W ≅ 14

[5295.4685+3∗6812.248+3∗8090.18+9113.13197 ]

W ≅ 14778.97 [kN.m]



Et=14778.05184−14778.97

14778.05184∗100%=0.00%

Solución: Regla Simpson 3/8 Compuesta

Datos:

a = x0 = 2

b = xn = 4

n = 6

h=4−26

=13

f(x) = 9,8* π *x*(100-x2)

Solución:

W ≅ 3∗h8

¿

W ≅ 18[ f (2 )+3∗(f (2,33 )+ f (3,33 ) )+3∗( f (2,67 )+ f (3,67 ) )+2∗(f (3 ) )+ f (4)]

f(2,00) = 5295.468577

f(2,33) = 6066.7185

f(2,67) = 6812.2458

f(3,00) = 7481.3887

f(3,33) = 8090.181

f(3,67) = 8647.288

f(4,00) = 9113.13197

W ≅ 18∗[5295.468577+3∗(6812.2458 )+3∗(8647.288 )+2∗(7481.3887 )+9113.13197 ]

W ≅ 14778.05184 [kN.m]



Et=14778.05184−14778.05184

14778.05184∗100%=0.00%

ALGORITMO COMPUTACIONAL:

Funciónfunction y=f(x)y=9.8*pi*x*(90-(x^2));end

Trapecio Simple Resultadofunction int=trapsim(f,a,b)%Variables de entrada:%f:función a integrar%a, b son los límites de integraciónint=((b-a)/2)*(feval(f,a)+feval(f,b));end

>>

int=trapsim('f',2,4)

int =

1.4409e+04

Trapecio Compuesto Resultadofunction int=trapcom(f,a,b,n)%Variables de entrada:%f:función a integrar%a, b son los límites de integración%n: numero de subtervalos% ============================h=(b-a)/n;%crear al vector de coordenadas xfor i=1:n+1 x(i)=a+(i-1)*h;ends=0;for j=2:n s=s+feval(f,x(j));endint=(h/2)*(feval(f,a)+2*s+feval(f,b));

end

>>

trapcom('f',2,4,5)

ans =

1.4763e+04

Simpson 1/3 Simple Resultadofunction int=simp1_3(f,a,b)%Variables de entrada:%f:función a integrar%a, b son los límites de integraciónh=(b-a)/2;x1=a+h;

>>

int=simp1_3('f',2,4)

int =


int=h/3*(feval(f,a)+4*feval(f,x1)+feval(f,b));end

1.4778e+04

Simpson 1/3 Compuesto Resultadofunction int=simpcom(f,a,b,n)% Variables de entrada:% f: función a integrar% a,b son los límites de integración% n: número se sub intervalos%====================h=(b-a)/n;% Generamos el vector k; es decir las coordenadas de x.for i=1:n+1 x(i)=a+(i-1)*h;end% Realizamos las sumatorias% Pares:s=0;for j=2:2:n s=s+feval(f,x(j));end% Imparess1=0;for j=3:2:n-1 s1=s1+feval(f,x(j));end% Hallando la integralint=(h/3)*(feval(f,a)+4*s+2*s1+feval(f,b)); end

>>

int=simpcom('f',2,4

,6)

int =

1.4778e+04

Simpson 3/8 Simple Resultadofunction int=simp3_8(f,a,b)%Variables de entrada:% f:función a integrar% a, b son los límites de integraciónh=(b-a)/3;x2=a+h;x3=a+2*h;int=((3*h)/8)*(feval(f,a)+3*feval(f,x2)+3*feval(f,x3)+feval(f,b));end

>>

int=simp3_8('f',2,4)

int =

1.4778e+04

Simpson 3/8 Compuesto Resultadofunction int=simpcomp3_8(f,a,b,n)%variables de entrada:f,a,b,nh=(b-a)/n;% Generamos el vector k; es decir las coordenadas de x.for i=1:n+1 x(i)=a+(i-1)*h;end% Realizamos las sumatorias% primera sumas=0;for j=2:3:n-1 s=s+feval(f,x(j));end

>>

int=simpcomp3_8('

f',2,4,6)

int =

1.5713e+04


%segunda sumas1=0;for j=3:3:n s1=s1+feval(f,x(j));end%tercera sumas2=0;for j=4:3:n-2 s2=s2+feval(f,x(j));end% Hallando la integralint=((3*h)/8)*(feval(f,a)+3*s+3*s1+3*s2+feval(f,b)); end

RESULTADOS:

- Los resultados del trabajo realizado por los distintos métodos se muestran

en la siguiente tabla:

Integral Resultados

Por Integral Definida (Valor Verdadero) 14778.05184

Regla Trapezoidal Simple 14408.60047

Regla Trapezoidal Compuesta 14762.07179

Regla Simpson 1/3 Simple 14778.05186

Regla Simpson 1/3 Compuesta 14777.22646

Regla Simpson 3/8 Simple 14778.97

Regla Simpson 3/8 Compuesta 14778.05184

- Los errores relativos porcentuales obtenidos en cada método, se muestran

a continuación.

Integral Error Relativo Porcentual

Por Integral Definida (Valor Verdadero) 0.00%

Regla Trapezoidal Simple 2.5%

Regla Trapezoidal Compuesta 0.11%

Regla Simpson 1/3 Simple 0.00%

Regla Simpson 1/3 Compuesta 0.00%

Regla Simpson 3/8 Simple 0.00%

Regla Simpson 3/8 Compuesta 0.00%


CONCLUSIONES:

- La regla Trapezoidal Simple presenta un error relativo porcentual de 2.5%

- La regla Trapezoidal Compuesta presenta un error relativo porcentual de

0.11%.

- Las reglas de Simpson 1/3 y Simpson 3/8, tanto simple como compuestas,

presentan un error del 0.00%.

- Las reglas de Simpson son más exactas que la Trapezoidal, debido a que

presenta menor error.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS:

TareaPlus (2012). Trabajo Vaciado de Tanques. [En línea] Recuperado el 23

de noviembre de 2015, de https://www.youtube.com/watch?v=ds3r3B6j99U

Zaballa, I. (s.f.). Prácticas de Ampliación de Métodos Numéricos con Matlab.

[En línea] Recuperado el 24 de noviembre de 2015, de

http://www.ehu.eus/izaballa/Ana_Matr/Matlab/practicas.pdf

Chapra (s.f.). Métodos Numéricos para Ingenieros (quinta edición). Mexico:

Interamericana.


http://www.ehu.eus/izaballa/Ana_Matr/Matlab/practicas.pdf

https://www.youtube.com/watch?v=ds3r3B6j99U

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