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“MODELADO MATEMÁTICO-COMPUTACIONAL Y ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD DE PROCESOS TECTÓNICOS Y SEDIMENTARIOS

EN DOS DIMENSIONES”

Autora: Br. Ana Lucía Molina Quintero

Asesor Industrial: Dr. Asdrúbal Bernal

Tutor Académico: Dr. Herbert Hoeger

Cotutor Académico: Dr. Pablo Guillén

Proyecto de Grado presentado ante la Ilustre Universidad de Los Andes como

requisito final para optar al título de Ingeniero de Sistemas

UNIVERSIDAD DE LOS ANDES

FACULTAD DE INGENIERIA

ESCUELA DE INGENIERIA DE SISTEMAS

Septiembre, 2005

ii

AGRADECIMIENTOS

A PDVSA-Intevep, por facilitarme los recursos y herramientas necesarias para

desarrrollar este proyecto de grado.

A la Escuela de Ingeniería de Sistemas de la Universidad de Los Andes, mi casa de

formación académica profesional, por todo el conocimiento impartido.

A Asdrúbal Bernal, tutor industrial en PDVSA-Intevep, quien propuso y guió el

desarrollo del proyecto.

Al Profesor Herbert Hoeger, tutor académico, y a Pablo Guillén, cotutor académico,

por su apoyo y ayuda cuando así lo requerí.

A Carmen De Andrade, supervisora industrial, por todas las atenciones prestadas,

gracias a su excelente actitud de servicio.

A mis familiares, amigos y compañeros por brindarme su apoyo y colaboración.

iii

RESUMEN

La ecuación general de modelado tectónico-sedimentario directo derivada por

Waltham (1992) consiste en una ecuación diferencial parcial capaz de modelar

matemáticamente la evolución en el tiempo de estructuras geológicas en dos

dimensiones, sometidas a procesos tectónicos y sedimentarios simultáneamente.

Este trabajo se enfoca específicamente en resolver la ecuación general de

modelado tectónico-sedimentario directo mediante diferentes métodos numéricos de

diferencias finitas, tanto explícitos como implícitos, al ser aplicada a una estructura

geológica comúnmente encontrada en la naturaleza denominada pliegue asociado a

falla no plana, cuyo estudio es de interés para la industria petrolera. La ecuación es

discretizada para el caso en que actúan únicamente procesos tectónicos, por los

métodos explícitos de diferencias finitas: Lax, Contraviento, Leapfrog, Lax-Wendroff

y MacCormack y por los métodos implícitos: BTCS y Crank-Nicolson. Y para el caso

en el que actúan procesos tectónicos y sedimentarios acoplados, por los métodos

explícitos de diferencias finitas: Lax, Contraviento de primer y tercer orden, Dufort-

Frankel y MacCormack y por los métodos implícitos: BTCS y Crank-Nicolson.

Todos los algoritmos de los métodos fueron deducidos y luego programados en

lenguaje C++ con el propósito de compararlos y seleccionar el o los métodos más

exactos y eficientes, mediante un análisis de sensibilidad numérica, para finalmente

concluir que el mejor método de diferencias finitas para resolver el modelo tectónico,

al ser comparado con la solución exacta (que fue obtenida geométricamente), es el

método explícito Lax-Wendroff, el cual aporta la mejor relación exactitud/eficiencia

cuando se requieren errores muy bajos (menores al 1%). No obstante, el método

implícito Crank-Nicolson es el más adecuado cuando primordialmente se quiere

iv

minimizar el tiempo de ejecución, acarreando un aumento en los errores relativos

porcentuales verdaderos (con magnitudes mayores al 2%). Este trabajo aporta la

programación de los métodos de diferencias finitas para resolver el modelo tectónico-

sedimentario (ecuación general de modelado tectónico-sedimentario directo), mas no

los compara, debido a la complejidad en el cálculo de la solución exacta, la cual debe

ser calculada analíticamente.

Palabras claves: -Modelado matemático en dos dimensiones. -Procesos tectónicos y sedimentarios

acoplados. -Pliegue asociado a falla no plana. -Diferencias finitas. -Análisis de sensibilidad numérica.

v

TABLA DE CONTENIDO

AGRADECIMIENTOS ................................................................................................. ii

RESUMEN....................................................................................................................... iii

ÍNDICE DE FIGURAS .................................................................................................x

ÍNDICE DE TABLAS..................................................................................................xii

ÍNDICE DE CUADROS............................................................................................xiii

INTRODUCCIÓN........................................................................................................14

1. Antecedentes............................................................................................................16

2. Definición del Problema .......................................................................................18

3. Objetivos ..................................................................................................................19

3.1. Objetivo General ..............................................................................................19

3.2. Objetivos Específicos.......................................................................................19

4. Metodología .............................................................................................................20

Capítulo 1: EL MODELO TECTÓNICO-SEDIMENTARIO............................21

1.1. La Ecuación General de Modelado Tectónico-Sedimentario Directo ........21

1.2. Términos de la Ecuación General de Modelado Tectónico-Sedimentario

Directo ..........................................................................................................................24

1.2.1. Tasa de Sedimentación de Materia p ..........................................................25

1.2.2. Flujo Sedimentario F.....................................................................................25

1.2.3. La Velocidad Vertical yv ..............................................................................26

1.2.4. La Velocidad Horizontal xv ..........................................................................26

1.2.5. Condición de Contacto para los Términos de la Velocidad ...................27

1.3. Aplicaciones de la Ecuación General de Modelado Tectónico-Sedimentario

Directo ..........................................................................................................................29

Capítulo 2: ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES Y MÉTODOS

DE DIFERENCIAS FINITAS PARA SU SOLUCIÓN .......................................30

vi

2.1. Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDPs) .....................................................30

2.2. La Serie de Taylor ................................................................................................33

2.3. Diferencias Finitas ...............................................................................................35

2.3.1. Aproximación de la Primera Derivada con Diferencia Finita Hacia

Adelante .....................................................................................................................37


Atrás ...........................................................................................................................38

2.3.3. Aproximación de la Primera Derivada con Diferencia Finita Central ..39

2.3.4. Aproximación de la Segunda Derivada con Diferencia Finita Central .40

2.4. Métodos de Diferencias Finitas para Resolver Ecuaciones Diferenciales

Parciales.........................................................................................................................41

2.4.1. Métodos de Diferencias Finitas para Resolver el Modelo Tectónico....43

2.4.1.1. Métodos Explícitos de Diferencias Finitas para Resolver el Modelo

Tectónico................................................................................................................45

Método 1: Método Lax aplicado al Modelo Tectónico ...............................45

Método 2: Método Contraviento aplicado al Modelo Tectónico ..............47

Método 3: Método Leapfrog aplicado al Modelo Tectónico......................49

Método 4: Método Lax-Wendroff aplicado al Modelo Tectónico ............50

Método 5: Método Predictor-Corrector MacCormack aplicado al Modelo

Tectónico ............................................................................................................50

2.4.1.2. Métodos Implícitos de Diferencias Finitas para Resolver el Modelo

Tectónico................................................................................................................52

Método 1: Método BTCS aplicado al Modelo Tectónico ...........................52

Método 2: Método Crank-Nicolson aplicado al Modelo Tectónico .........55

2.4.2. Métodos de Diferencias Finitas para Resolver la Ecuación General de

Modelado Tectónico-Sedimentario Directo ........................................................57

vii


Tectónico-Sedimentario.......................................................................................58

Método 1: Método Lax aplicado al Modelo Tectónico-Sedimentario.......58

Método 2: Método Contraviento de Primer Orden aplicado al Modelo

Tectónico-Sedimentario....................................................................................59

Método 3: Método Contraviento de Tercer Orden aplicado al Modelo


Método 4: Método Dufort-Frankel aplicado al Modelo Tectónico-

Sedimentario .......................................................................................................63




Tectónico-Sedimentario.......................................................................................65

Método 1: Método BTCS aplicado al Modelo Tectónico-Sedimentario ..65

Método 2: Método Crank-Nicolson aplicado al Modelo Tectónico-

Sedimentario .......................................................................................................66

2.4.3. Convergencia de los Métodos de Diferencias Finitas ..............................67

2.4.3.1. Condiciones de Estabilidad para los métodos de diferencias finitas

aplicados al Modelo Tectónico ...........................................................................68

2.4.3.2. Condiciones de Estabilidad para los métodos de Diferencias Finitas

aplicados al Modelo Tectónico-Sedimentario ..................................................69

Capítulo 3: PROGRAMACIÓNDE LOS MÉTODOS DE DIFERENCIAS

FINITAS..........................................................................................................................71

3.1. Enfoque de Programación..................................................................................71

3.2. Definición de una Clase de Objeto ...................................................................73

3.2.1. Atributos de la clase línea .............................................................................73

3.2.2. Métodos de la clase línea ..............................................................................74

viii

3.3. Codificación de la clase línea..............................................................................78

Capítulo 4: RESOLUCIÓN DEL MODELO MATEMÁTICO ..........................89

4.1. Determinación de la Solución Exacta del Modelo Tectónico.......................89

4.1.1. Definición y Modelado Geométrico de un Pliegue Asociado a Falla No

Plana ...........................................................................................................................89

4.1.1.1. Cálculo geométrico de la línea de falla .................................................93

4.1.1.2. Cálculo geométrico de las líneas axiales...............................................94

4.1.1.3. Cálculo geométrico de la línea de pliegue para un tiempo Tf ...........97

4.1.2. Gráficos de Soluciones Exactas del Modelo Tectónico (Calculadas

Geométricamente)....................................................................................................99

4.2. Determinación de la Solución Aproximada del Modelo Tectónico...........100

4.3. Determinación de la Solución Aproximada del Modelo Tectónico-

Sedimentario...............................................................................................................102

Capítulo 5: COMPARACIÓN DE RESULTADOS Y ANÁLISIS DE

SENSIBILIDAD..........................................................................................................105

5.1. Error Numérico y Tiempo de Ejecución .......................................................105

5.1.1. Definición de Error Numérico..................................................................105

5.1.2. Errores de Discretización...........................................................................106

5.1.3. Errores de Iteración ....................................................................................107

5.1.4. Definición de Tiempo de Ejecución.........................................................107

5.2. Especificación de los Límites Aceptables para el Error Relativo Porcentual

Verdadero ...................................................................................................................107

5.3. Cálculo y Comparación de los Errores Relativos Porcentuales Verdaderos

y Tiempo de Ejecución.............................................................................................108

5.4. Análisis de Sensibilidad .....................................................................................118

5.5. Comparación de Soluciones Aproximadas por Diferencias Finitas con

Imágenes Sísmicas .....................................................................................................128

ix

5.5.1. Modelado de la Geometría del Campo Petrolífero Rosario (Cuenca

Occidental de Venezuela)......................................................................................128

5.5.2. Modelado de la Geometría del Corrimiento de Pirital (Cuenca Oriental

de Venezuela) ..........................................................................................................131

CONCLUSIÓN............................................................................................................133

RECOMENDACIONES ...........................................................................................134

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS.....................................................................135

APÉNDICES................................................................................................................138

x

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 1.1 Ilustración esquemática de la diferencia entre la descripción lagrangiana y la

euleriana..............................................................................................................................23

Figura 1.2 Especificación de la dirección y sentido en que actúan los procesos representados

por cada término de la ecuación general de modelado tectónico-sedimentario directo .................24

Figura 1.3 Advección de una superficie geológica ................................................................27

Figura 1.4 Representación de los vectores de velocidad para las tres regiones que definen un

pliegue asociado a falla no plana ..........................................................................................27

Figura 2.1 Definición de la derivada y sus aproximaciones ................................................36

Figura 2.2 Representación matricial del sistema de ecuaciones resultante para el método

implícito BTCS ...................................................................................................................54

Figura 4.1 Geometría inicial de estratos planos para el modelo de un pliegue asociado a falla

no plana ..............................................................................................................................90

Figura 4.2 Geometría final para el modelo de un pliegue asociado a falla no plana ............91

Figura 4.3 Línea de falla y función que la define...............................................................93

Figura 4.4 Líneas axiales y función que las define ............................................................96

Figura 4.5 Línea de pliegue para un tiempo Tf .................................................................98

Figura 4.6 Solución exacta del modelo tectónico aplicado a un pliegue asociado a falla no

plana, variando el ángulo de falla θ....................................................................................100

Figura 4.7 Gráficos de soluciones obtenidas por los métodos de diferencias finitas programados

para resolver el modelo tectónico.........................................................................................102

Figura 4.8 Gráficos de soluciones obtenidas por los métodos de diferencias finitas programados

para resolver el modelo tectónico-sedimentario ......................................................................104

Figura 5.1 Gráficos de errores relativos porcentuales verdaderos y especificación del tiempo de

ejecución de cada método de diferencias finitas programado con θ =10° ........................110

xi


ejecución de cada método de diferencias finitas programado, con θ =15° .......................112


ejecución de cada método de diferencias finitas programado, con θ =29°..............................115


ejecución, utilizando un número de puntos mayor (n_puntos=4500 pts).......................121


ejecución, utilizando un número de puntos menor (n_puntos=150pts) ..........................123

Figura 5.6 Gráficos de errores relativos porcentuales verdaderos del método implícito

BTCS al variar Co ...........................................................................................................125

Figura 5.7 Gráficos de errores relativos porcentuales verdaderos del método implícito Crank-

Nicolson al variar Co ........................................................................................................126

Figura 5.8 Ubicación de la Cuenca Occidental de Maracaibo. Tope de la Estructura

Rosario. Línea sísmica Cat-85-1.......................................................................................129

Figura 5.9 Superposición de gráficos obtenidos a través del método Lax-Wendroff sobre una

sección sísmica...................................................................................................................130

Figura 5.10 Ubicación de la Subcuenca de Maturín. Superposición de gráficos obtenidos a

través del método Crank-Nicolson sobre una sección sísmica ...............................................132

xii

ÍNDICE DE TABLAS

Tabla 2.1 Clasificación de las EDPs de primer orden ........................................................31

Tabla 2.2 Clasificación de las EDPs de segundo orden ......................................................32

Tabla 2.3 Condiciones de estabilidad de los métodos de diferencia finitas para resolver la

ecuación de transporte...........................................................................................................70

Tabla 4.1 Valores de R, x

f1

∂

∂ y xf∂

∂ 2 para los ángulos θ =10°, 15° y 29°.....................95

Tabla 5.1 Tiempos de ejecución y máximos errores relativos porcentuales al aumentar Co en

los métodos implícitos: BTCS y Crank-Nicolson................................................................127

xiii

ÍNDICE DE CUADROS

Cuadro 3.1 Código de especificación de la clase línea, en lenguaje C++ ............................81

Cuadro 3.2 Código implantación del método explícito Lax en lenguaje C++...................82

Cuadro 3.3 Código de implantación del método implícito BTCS en lenguaje C++..........85

Cuadro 3.4 Código de implantación de la función amiga Vx en lenguaje C++ ..............86

Cuadro 3.5 Código de implantación de la función tridag en lenguaje C++ .......................88

Cuadro 4.1 Conjunto de valores de los parámetros necesarios para calcular la solución del

modelo tectónico....................................................................................................................99

14

INTRODUCCIÓN

Un modelo permite representar nuestra percepción de la realidad. Un modelo

matemático-computacional es descrito como el conjunto de ecuaciones

diferenciales parciales y condiciones de frontera que describe procesos

geológicos, y que puede ser tratado computacionalmente para experimentación y

análisis de sensibilidad numérica.

El modelado de procesos tectónicos y sedimentarios en dos dimensiones es

abordado mediante el uso de la “ecuación general de modelado tectónico-

sedimentario directo“, propuesta por Waltham en 1992 y es aplicado a una

estructura geológica conocida como “pliegue asociado a falla no plana”, cuyo

estudio es de importancia en la industria petrolera por encontrarse comúnmente

en la naturaleza y específicamente en zonas de explotación petrolera, como lo

son las cuencas sedimentarias.

La solución de la ecuación general de modelado tectónico-sedimentario

directo es tratada mediante métodos numéricos de diferencias finitas, y permite

obtener información sobre la evolución de la estructura geológica en el tiempo,

pudiendo comparar las soluciones arrojadas por los diferentes métodos de

diferencias finitas para seleccionar el o los mejores métodos en cuanto a exactitud

y eficiencia. El contenido de este trabajo está dividido en cinco capítulos. El

primer capítulo define la ecuación general de modelado tectónico-sedimentario

directo, explicando cada uno de los términos que la conforman y menciona

algunas de sus aplicaciones en el modelado de estructuras geológicas.

Introducción

15

El segundo capítulo hace una revisión teórica sobre las ecuaciones

diferenciales parciales y los métodos de diferencias finitas empleados para

resolverlas, aplicados directamente a la ecuación general, inicialmente a la parte

tectónica únicamente (modelo tectónico) y posteriormente a la ecuación general

completa (modelo tectónico-sedimentario).

El tercer capítulo muestra la codificación de algunos de los métodos de

diferencias finitas desarrollados en este trabajo, mediante el uso del lenguaje de

programación C++, para aclarar de qué se tratan los modelos matemáticos-

computacionales, a resolver iterativamente.

El cuarto capítulo se refiere a la resolución de la ecuación general de

modelado tectónico-sedimentario directo. El cálculo de la solución analítica

exacta no está contemplado en los objetivos de este estudio. Sin embargo, la

solución exacta del modelo tectónico, pudiendo obtenerse geométricamente, es

determinada en el Capítulo 4, además de las soluciones aproximadas a través de

los métodos de diferencias finitas programados tanto para el modelo tectónico

como para el modelo tectónico-sedimentario.

El quinto capítulo consiste en la comparación de exactitud y eficiencia de

los métodos de diferencias finitas que resuelven el modelo tectónico y la

realización de un análisis de sensibilidad que permite seleccionar los mejores

métodos. En el Capítulo 5 se muestra también la solución aproximada

superpuesta sobre imágenes de secciones sísmicas extraídas de campos

petrolíferos venezolanos (suministradas por PDVSA-Intevep), tanto para el

modelo tectónico como para el modelo completo (tectónico-sedimentario).

Introducción

16

1. Antecedentes

El primer modelo geométrico en dos dimensiones de un pliegue asociado a falla no

plana1 fue formulado por Suppe (1983), quien demostró su aplicabilidad en la

estructura geológica conocida como Pine Mountain, ubicada al sur de los Montes

Apalaches2, y en el cinturón de pliegues y fallas del oeste de Taiwan. Desde su

introducción, este modelo geométrico ha recibido mucha atención: Medwedeff

(1989), Mitra (1990), Mount et al. (1990), Mosar & Suppe (1991), Deramond et

al. (1993), Jordan et al. (1993) y ha sido usado extensamente para predecir la

geometría de corrimientos a profundidad basándose en geometrías de pliegues

observadas. También se ha usado en el modelado directo para predecir

geometrías de bloque colgante sobre corrimientos: Mitra(1990), Mosar & Suppe

(1991), Zoetemeijer & Sassi (1991), Zoetemeijer et al. (1992).

La evolución de la secuencia estratigráfica depositada durante el

desplazamiento a lo largo del plano de falla y el crecimiento del pliegue asociado,

también han sido temas de interés y fueron estudiados por Mount (1990) y Suppe

(1991), entre otros. Cabe destacar que aunque estos estudios han producido

resultados interesantes e informativos, los modelos de sedimentación usados han

sido un poco simplistas, al haber asumido que la sedimentación es independiente

de la deformación. No obstante, es de esperarse que estilos estratigráficos y tasas

sedimentarias sean afectados por el pliegue en crecimiento, dando nacimiento a

geometrías de estratos más complejas que aquellas predichas por estos modelos.

1 Ver definición en la Sección 4.1.1.

2 Cordillera ubicada en el este de los Estados Unidos que se extiende desde Québec hasta el Golfo de México

Introducción

17

Este estudio utiliza la ecuación general de modelado tectónico-sedimentario directo

propuesta por Waltham (1992) para modelar la evolución en el tiempo de un

pliegue asociado a falla no plana en dos dimensiones espaciales, debido a que en

dicha ecuación los procesos tectónicos y sedimentarios son combinados dentro

de una sola formulación matemática se asegura que ambos procesos sean

modelados como simultáneos y no como secuenciales (Waltham, 1992; Waltham

& Hardy, 1994), reproduciendo más apropiadamente lo que ocurre en la

naturaleza.

A pesar de que han sido descritas anteriormente otras aproximaciones

matemáticas similares para modelar procesos tectónicos y sedimentarios como las

de: Hanks et al. (1984), Syvitski et al. (1988), Leeder (1991), Kaufman et al.

(1991), Willgoose et al. (1991), éstas han sido aplicadas a problemas geológicos

específicos y no son capaces de modelar un amplio rango de procesos geológicos,

mientras que la ecuación general de modelado tectónico-sedimentario directo, ha

sido útil en una amplia variedad de ambientes: plataformas de carbonato

(Bosence et al., 1994), deltas (Hardy & Waltham, 1992; Hardy et al.,1994),

bloques de falla estilo dominó (Waltham et al., 1993; Hardy, 1993), pliegues

asociados a fallas no planas, pliegues asociados a propagación de fallas (Hardy &

Poblet, 1994) y pliegues de despegue basal (Hardy & Poblet, 1994).

La ecuación general de modelado tectónico-sedimentario directo, en los

estudios más recientes ha sido resuelta por Hardy en su tesis doctoral titulada

Mathematical Modelling of Sedimentation in Active Tectonic Settings (1994) mediante la

utilización del método explícito de diferencias finitas contraviento (“upwind

method”) y por Bernal & Hardy (2002) en un estudio de la evolución en el

tiempo de un pliegue asociado a falla no plana en tres dimensiones (que además

Introducción

18

describe algunas posibles geometrías de crecimiento de estratos asociados con

tales estructuras) mediante el método explícito hopscotch, propuesto por

Gourlay (1970).

2. Definición del Problema

Los estudios previos que han simulado la evolución en el tiempo de un pliegue

asociado a falla no plana, si bien coinciden en la importancia de utilizar modelado

matemático-computacional por ser ventajoso en el análisis de diferentes

escenarios (o diferentes conjuntos de datos iniciales) de manera rápida, no han

hecho énfasis en cuál debería ser el método numérico más apropiado en cuanto a

exactitud y eficiencia. El presente estudio realiza una comparación entre varios

métodos numéricos de diferencias finitas (tanto explícitos como implícitos) para

la solución de ecuaciones diferenciales parciales, con el fin de determinar cuál o

cuáles son los métodos que describen de manera más eficiente y exacta la

evolución en el tiempo de un pliegue asociado a falla no plana, modelado en dos

dimensiones a través de la ecuación general de modelado tectónico-sedimentario

directo.

Los resultados obtenidos a lo largo de esta investigación serán de utilidad

para el proyecto titulado “Modelado Cinemático-Geoquímico en Tres

Dimensiones en Cuencas Petrolíferas Venezolanas”, que está siendo desarrollado

actualmente por PDVSA-Intevep3.

3 Instituto Tecnológico Venezolano del Petróleo, descrito como el brazo tecnológico de Petróleos de Venezuela, ubicado en Los Teques, Estado Miranda.

Introducción

19

3. Objetivos

3.1. Objetivo General

Determinar el o los métodos numéricos de diferencias finitas: explícitos y/o

implícitos que provean la solución con mayor exactitud (minimización de errores

de discretización e iteración) y eficiencia de la ecuación general de modelado

tectónico-sedimentario directo en dos dimensiones, la cual modela la evolución

en el tiempo de un pliegue asociado a falla no plana.

3.2. Objetivos Específicos

• Crear una clase en lenguaje C++ que describa las características de las

diferentes superficies que conforman la estructura de un pliegue asociado a

falla no plana en dos dimensiones.

• Codificar los métodos explícitos e implícitos de diferencias finitas en

lenguaje C++, de manera que puedan ser usados para resolver la ecuación

general de modelado tectónico-sedimentario directo, considerando

inicialmente la acción de procesos tectónicos únicamente (primera parte de

la ecuación) y posteriormente la acción de procesos tanto tectónicos como

sedimentarios (ecuación completa).

• Realizar un análisis de sensibilidad numérica que permita comparar los

resultados obtenidos por los métodos codificados, y luego seleccionar el o

los métodos de diferencias finitas que aporten la mejor relación

Introducción

20

exactitud/eficiencia, es decir, que minimicen errores de discretización e

iteración, empleando un tiempo de ejecución aceptable.

4. Metodología

• Revisión bibliográfica y consulta especializada sobre:

• Modelado de un pliegue asociado a falla no plana.

• Discretización por diferencias finitas.

• Métodos numéricos de diferencias finitas (explícitos e implícitos) para

la solución de ecuaciones diferenciales parciales.

• Cálculo de la solución exacta del modelo tectónico, lo cual es posible si se

conoce la geometría final de la estructura geológica.

• Programación de una clase en lenguaje C++ (mediante el enfoque de

orientación a objetos) que incluye entre sus operaciones los métodos de

diferencias finitas.

• Realización de ejecuciones del programa, gráficos de resultados y de errores,

para comparar las soluciones exactas con las aproximadas.

21

Capítulo 1

EL MODELO TECTÓNICO-SEDIMENTARIO

En este capítulo se presenta el modelo matemático que describe el

comportamiento de superficies geológicas sometidas a procesos tectónicos y

sedimentarios. Modelo que será resuelto a lo largo de esta investigación por los

diferentes métodos que utilizan aproximaciones de diferencias finitas.

1.1. La Ecuación General de Modelado Tectónico-Sedimentario

Directo

La ecuación general de modelado tectónico-sedimentario directo fue propuesta por

Waltham (1992) para modelar la evolución de superficies geológicas en dos

dimensiones espaciales. Más específicamente, esta ecuación modela cambios en

la altura de una superficie geológica como resultado de procesos tectónicos y

sedimentarios.

El modelo es basado en la premisa que la altura de una superficie geológica

puede ser modificada de cuatro maneras:

1. Adición y remoción de material de la superficie.

2. Remoción de material de una parte a otra de la superficie.

3. Deformación de la superficie verticalmente y en sentido positivo (de abajo

hacia arriba).

4. Movimiento de la superficie horizontalmente (advección) y en sentido

positivo (de izquierda a derecha).

El Modelo Tectónico-Sedimentario

22

Los primeros dos mecanismos son sedimentarios y los dos últimos son

tectónicos (Hardy & Poblet, 1994).

La ecuación propuesta por Waltham (1992) consiste en una ecuación

diferencial parcial (EDP)4 con una variable dependiente altura (h) y dos variables

independientes distancia horizontal (x) y tiempo (t), como lo vemos a continuación:

tectónicos p.iossedimentar p.

443442143421

∂∂

−+

∂∂

−=∂∂

xh

xvyvxFp

th

(1.1)

donde:

h es la altura de una superficie geológica (m)

t es tiempo (ka) 5

p es la tasa de sedimentación (si p>0) o erosión (si p<0) de materia (m/ka)

F es el flujo sedimentario (m2/ka)

X es la coordenada horizontal (m)

Vy es la velocidad vertical (m/ka)

Vx es la velocidad horizontal (m/ka)

Esta ecuación combina los procesos tectónicos y sedimentarios en un

sistema de coordenadas euleriano, que es un sistema de coordenadas fijo en el

espacio. La superficie geológica en cuestión se mueve a través de este marco de

referencia fijo. La fortaleza del alcance euleriano es que permite combinar los

procesos tectónicos y sedimentarios en una sola formulación matemática 4 En el siguiente capítulo se profundizará sobre este tópico.


23

asegurando que éstos sean modelados como procesos simultáneos y no como

secuenciales (Waltham, 1992; Waltham & Hardy, 1994).

Un método alternativo para describir la deformación es mediante la

utilización de un sistema de coordenadas lagrangiano, que es un sistema de

coordenadas móvil, el cual sufre toda la distorsión y moción de la superficie6. El

principal inconveniente en la descripción lagrangiana es que no permite el

modelado de procesos simultáneos, solo el de procesos que ocurren

secuencialmente (uno después del otro).

La diferencia fundamental entre estos dos esquemas es que en el sistema

lagrangiano, la deformación es descrita en términos de las velocidades de puntos

individuales, mientras que en el sistema euleriano las velocidades son

especificadas por regiones ( Figura 1.1 )

Figura 1.1 Ilustración esquemática de la diferencia entre la descripción lagrangiana y la

euleriana. En el sistema lagrangiano la deformación es descrita en términos de las velocidades

de cada punto (p. ej. Va(t) y Vb(t)), mientras que en el sistema euleriano, las velocidades son

especificadas por regiones (p. ej. V(x,y,t)).

5 1 ka= 1000 años 6 Un ejemplo geológico utilizando un sistema de coordenadas lagrangiano se puede ver en Contreras y Suter, 1990


24

1.2. Términos de la Ecuación General de Modelado Tectónico-

Sedimentario Directo

Figura 1.2 Especificación de la dirección y sentido en que actúan los procesos representados

por cada término de la ecuación general de modelado tectónico-sedimentario directo.


25

1.2.1. Tasa de Sedimentación de Materia p

El término p representa la adición o pérdida de material del sistema (Figura 1.2) y

puede ser una función de tiempo y distancia. En este estudio se va a considerar

constante. Si p es positiva se incrementa la altura de la superficie geológica como

resultado de la adición de material y si es negativa ocurre un decremento de altura

como resultado de la remoción de material. Cuando la ecuación general de

modelado tectónico-sedimentario directo es usada de manera simple para

describir la tasa de cambio de la altura de la superficie únicamente en términos de

p, se denomina ecuación de reacción y adquiere la siguiente forma:

pth=

∂∂

(1.2)

1.2.2. Flujo Sedimentario F

F es el flujo sedimentario en una localidad específica. Este término representa el

movimiento de material de una parte de la superficie a otra como resultado de la

erosión, transporte y deposición (Figura 1.2). Si F aumenta está ocurriendo

erosión y si F disminuye está ocurriendo deposición.

El flujo sedimentario F se asume proporcional a la pendiente local y con

dirección descendente, lo que matemáticamente se expresa así:

xh

∂∂

α−=F (1.3)

donde α es el coeficiente de difusión y su valor y característica (lineal o no

lineal) son difíciles de establecer. En las diferentes publicaciones el coeficiente


26

de difusión puede variar desde a/m 24109 −× (Colman & Watson, 1983) hasta

a/m106.5 25× (Kenyon & Turcotte, 1985) para diferentes situaciones

geológicas. La derivada de la Ecuación (1.3) constituye el segundo término del

lado derecho de la Ecuación (1.1), y está definida como:

2

2

xh

x ∂∂

α−=∂∂F

(1.4)

Si la difusión es el único proceso a ser considerado, la ecuación general de

modelado tectónico-sedimentario directo se convierte en la ecuación de difusión:

2

2

xh

th

∂∂

∂∂

α= (1.5)

1.2.3. La Velocidad Vertical yv

La deformación producida por el desplazamiento de material a lo largo de una

falla no plana implica que los puntos en el bloque levantado se mueven con una

velocidad horizontal y vertical que dependen de la forma que tenga la falla

(Figura 1.2), (Suppe, 1983; Hardy, 1994).

1.2.4. La Velocidad Horizontal xv

El término xv en una determinada región representa la traslación o advección

de la superficie geológica (Figura 1.2). La inclusión del término de la derivada

espacial x/h ∂∂ observado en la Ecuación (1.1) se debe a que en un sistema de

coordenadas euleriano la tasa de cambio de la altura en un punto es afectada por

la geometría espacial de la superficie geológica que está siendo transportada,

como se puede apreciar en la Figura 1.3.


27

Figura 1.3 Advección de una superficie geológica. En un sistema de coordenadas euleriano,

los movimientos verticales pueden ocurrir únicamente como resultado de la traslación

horizontal. De esta manera, la altura de una superficie S en un punto i cambia de H1 a H2

como resultado de movimiento horizontal entre los tiempos T1 y T2.

1.2.5. Condición de Contacto para los Términos de la Velocidad

Cuando existe una serie de regiones dentro de un modelo, cada una de las cuales

es modelada por diferentes ecuaciones de velocidad, se aplica una restricción de

contacto.

Figura 1.4 Representación de los vectores de velocidad para las tres regiones que definen un

pliegue asociado a falla no plana


28

La condición de contacto consiste en que entre dos zonas adyacentes y en

contacto que poseen diferentes funciones de velocidad, no deben aparecer

brechas o superposiciones para ningún tiempo t. Matemáticamente, esto

significa que todos los puntos a lo largo de la línea de frontera representada por

la función f y con pendiente x

f

∂

∂ deben obedecer a la siguiente condición:

xfvv

xfvv 2x2y1x1y ∂

∂−=

∂∂

− (1.6)

donde 1xv y 1yv son las velocidades en una zona y 2xv y 2yv son las

velocidades en la otra zona (Figura 1.4).


29

1.3. Aplicaciones de la Ecuación General de Modelado

Tectónico-Sedimentario Directo

La ecuación general de modelado tectónico-sedimentario directo ha sido útil en

una amplia variedad de ambientes: plataformas de carbonato (Bosence et al.,

1994), deltas (Hardy & Waltham, 1992; Hardy ,1994), bloques de falla estilo

dominó (Waltham, 1993; Hardy et al., 1993), pliegues asociados a fallas no

planas, pliegues asociados a propagación de fallas y pliegues de despegue basal

(Hardy & Poblet, 1994).

La ecuación general de modelado tectónico-sedimentario directo, en los

estudios más recientes ha sido utilizada por Hardy en su tesis doctoral titulada

“Mathematical Modelling of Sedimentation in Active Tectonic Settings” (1994) y ha sido

definida en tres dimensiones por Bernal & Hardy (2002) en un estudio de la

evolución en el tiempo de un pliegue asociado a falla no plana, titulado “Syn-

tectonic sedimentation associated with three dimensional fault bend fold structures: a numerical

approach”.

Capítulo 2

ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES Y MÉTODOS DE

DIFERENCIAS FINITAS PARA SU SOLUCIÓN

Este capítulo presenta una revisión teórica sobre las ecuaciones diferenciales

parciales, por pertenecer la ecuación general de modelado tectónico-

sedimentario directo (1.1) a esta categoría. Luego se explican detalladamente los

métodos de diferencias finitas que se utilizan para su solución, tratando al

comienzo sólo la parte de la ecuación que abarca los procesos tectónicos y

posteriormente la ecuación completa, que incluye procesos tectónicos y

sedimentarios.

2.1. Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDPs)

Dada una función h que depende tanto de x como de t, la derivada parcial de h

con respecto a x en un punto arbitrario (x, t) está definida como:

x)t,x(h)t,xx(hlím

xh

0x ∆−∆+

=∂∂

→∆

(2.1)

De manera similar, la derivada parcial con respecto a t está definida como:

t)t,x(h)tt,x(hlím

th

0t ∆−∆+

=∂∂

→∆

(2.2)

Una ecuación que involucra derivadas de una función desconocida con dos

o más variables independientes, se denomina ecuación diferencial parcial (EDP).

Ecuaciones Diferenciales Parciales y Métodos de Diferencias Finitas

31

El orden de una EDP es el de la derivada más alta que aparece en la

ecuación. Se dice que una EDP es lineal, si es lineal en la función desconocida y

en todas sus derivadas, con coeficientes que dependen sólo de las variables

independientes (Chapra et al., 1999) .

Para dos variables independientes, las EDPs de primer orden se pueden

expresar en la siguiente forma general:

DChxhB

thA +=

∂∂

+∂∂

(2.3)

donde A, B, C y D son funciones de x y t.

Dependiendo de los valores de los coeficientes de los términos de la

primera derivada (A, B y C), la Ecuación (2.3) puede clasificarse en una de las

tres categorías siguientes:

B2-4AC Categoría

<0 Elíptica

=0 Parabólica

>0 Hiperbólica

Tabla 2.1 Clasificación de las EDPs de primer orden

Para dos variables independientes, las EDPs de segundo orden se pueden

expresar en la siguiente forma general:


32

0DthC

txhB

xhA 2

22

2

2

=+∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

(2.4)

donde A, B y C son funciones de x y t, y D es una función de x, t, h, ∂h/∂x

∂h/∂t.

Dependiendo de los valores de los coeficientes de los términos de la

segunda derivada (A, B y C), la Ecuación (2.4) puede clasificarse en una de las

tres categorías siguientes:

B2-4AC Categoría Ejemplo

<0 Elíptica 0

th

xh

2

2

2

2

=∂∂

+∂∂

=0 Parabólica 2

2

xhk

th

∂∂

=∂∂

>0 Hiperbólica 2

2

22

2

th

c1

xh

∂∂

=∂∂

Tabla 2.2 Clasificación de las EDPs de segundo orden


33

2.2. La Serie de Taylor

La serie de Taylor provee un medio para predecir el valor de una función en un

punto en términos del valor de la función y sus derivadas en otro punto. La

expansión completa de la serie de Taylor para una función h se expresa de la

siguiente manera:

Rn)xx(!n

)x(h...)xx(!3

)x(h

)xx(!2

)x(''h)xx)(x('h)x(h)x(h

ni1i

i)n(

3i1i

i)3(

2i1i

ii1iii1i

+−++−

+−+−+=

++

+++

(2.5)

donde )x(h 1i+ indica el valor de h en el nuevo punto y )x(h i indica el valor de h

en el punto anterior.

Nótese que se incluye un término residual para considerar todos los

términos desde n+1 hasta el infinito:

1ni1i

)1n(

)xx()!1n(

)(hRn ++

+

−+

ε=

(2.6)

donde el subíndice n indica que el residuo es de la aproximación a n-ésimo

orden y ε es un valor cualquiera de x que se encuentra entre ix y 1ix + . Existe

un valor ε que da una estimación exacta del error7.

7 En la sección 4.1.1 de CHAPRA. Métodos Numéricos para Ingenieros se profundiza sobre este aspecto. (Ver la referencia bibliográfica al final de este trabajo).


34

Es conveniente definir un paso ii xxx −=∆ +1 , para expresar la serie de

Taylor de la siguiente manera:

Rnx!n

)x(h...

...x!3

)x(hx!2

)x(''hx)x('h)x(h)x(h

ni)n(

3i)3(

2iii1i

+∆+

+∆+∆+∆+=+

(2.7)

donde el término residual es ahora:

1n)1n(

x)!1n(

)(hRn ++

∆+

ε=

(2.8)

La Ecuación (2.8) se expresa usualmente así:

)x(ORn 1n+∆= (2.9)

donde la nomenclatura )x(O 1n+∆ significa que el error de truncamiento es de

orden 1+∆ nx . En otras palabras, el error es proporcional al paso x∆ elevado a la

(n+1)-ésima potencia.

Esta aproximación es útil para evaluar errores en los métodos numéricos

que se basan en las expansiones en series de Taylor, como es el caso de los

métodos de diferencias finitas. Por ejemplo, si el error es )x(O ∆ y el paso x∆ se

reduce a la mitad, entonces el error se reducirá a la mitad. Por otro lado, si el

error es )x(O 2∆ y el paso x∆ se reduce a la mitad, entonces el error se reducirá

a una cuarta parte del valor original.


35

2.3. Diferencias Finitas

Al truncar la serie (2.7) después del término de la primera derivada, se obtiene

1ii1i Rx)x('h)x(h)x(h +∆+=+ (2.10)

y al despejar )(' ixh de (2.10) se obtiene la ecuación:

xR

x)x(h)x(h)x('h 1i1i

i ∆−

∆−

= + (2.11)

Al primer término del lado derecho de la ecuación se le conoce con un nombre

especial en el análisis numérico: diferencia finita, y al segundo término del lado

derecho se le conoce como error de truncamiento.

Si sustituimos la expresión (2.8) en el término del error de truncamiento de

la Ecuación (2.11) obtenemos:

x!2

)(''hx

x!2

)(''h

xR

2

1 ∆ε

=∆

∆ε

=∆

(2.12)

ó

)x(Ox

R1 ∆=∆

(2.13)

Lo que quiere decir que la estimación de la derivada (primera parte de la

Ecuación (2.11)) tiene un error de truncamiento de orden x∆ .

Diferencia Finita

de primer orden Error de

truncamiento


36

Las aproximaciones de derivadas por diferencias finitas pueden abordarse

de diferentes maneras (Figura 2.1), teniendo importantes implicaciones para la

exactitud de la solución de la ecuación. En las siguientes secciones se amplía este

punto.

Figura 2.1 Definición de la derivada y sus aproximaciones. La primera derivada en el punto

i es la pendiente de la recta tangente (línea negra gruesa) a la curva h(x) en ese punto. En la

aproximación de diferencias hacia adelante (línea verde), la derivada en xi es aproximada por

la pendiente de la línea que pasa a través del punto xi y otro punto xi + ∆x. Para el caso de

la aproximación de diferencia hacia atrás (línea anaranjada), el segundo punto es xi – ∆x. En

la aproximación de diferencia central (línea azul), la derivada es aproximada como la pendiente

de la línea pasando a través de dos puntos, ubicados en lados opuestos del punto i.


37


Adelante

La Ecuación (2.11) se representa generalmente de la siguiente manera:

)x(Ox

)x(h)x(h)x('h i1i

i ∆+∆−

= + (2.14)

Esta expresión es una diferencia finita hacia adelante con un error de

truncamiento de orden x∆ . Si incluimos la variable independiente t (tiempo), la

Ecuación (2.14) puede expresarse como:

)x(Ox

)t,x(h)t,x(h)t,x('h i1i

i ∆+∆−

= + (2.15)

Se denomina “hacia adelante” porque usa los datos i e i+1 para estimar la

derivada.

Representando (2.15) en notación indicial obtenemos la discretización

hacia adelante de la derivada espacial con un error de truncamiento de primer

orden:

)x(Ox

hhxh t

it

1it

i∆+

∆−

=

∂∂ +

(2.16)

Por analogía a la Ecuación (2.16) se obtiene la discretización hacia adelante

de la derivada temporal con un error de truncamiento de primer orden:


38

)t(Ot

hhth t

i1t

it

i∆+

∆−

=

∂∂ +

(2.17)

donde los superíndices indican el tiempo y los subíndices indican la posición

espacial.


Atrás

La serie de Taylor se puede expandir hacia atrás como se muestra a

continuación, para calcular un valor anterior sobre el valor actual:

...x!3

)x(hx!2

)x(''hx)x('h)x(h)x(h 3i)3(

2iii1i +∆−∆+∆−=−

(2.18)

Truncando la ecuación después de la primera derivada y ordenando los

términos se obtiene:

)x(Ox

)x(h)x(h)x('h 1iii ∆+

∆−

= − (2.19)

Esta expresión es una diferencia finita hacia atrás con un error de truncamiento de

orden x∆ .

Si incluimos la variable independiente t (tiempo), la Ecuación (2.19) puede

expresarse como:

)x(Ox

)t,x(h)t,x(h)t,x('h 1iii ∆+

∆−

= − (2.20)


hacia atrás de la derivada espacial con un error de truncamiento de primer

orden:


39

)x(Oxhh

xh t

1iti

t

i∆+

∆−

=

∂∂ −

(2.21)

Por analogía a la Ecuación (2.21) se obtiene la discretización hacia atrás de

la derivada temporal con un error de truncamiento de primer orden:

)t(Othh

th 1t

iti

t

i∆+

∆−

=

∂∂ −

(2.22)

2.3.3. Aproximación de la Primera Derivada con Diferencia Finita Central

Una tercera forma de aproximar la primera derivada es truncando en la tercera

derivada las series de Taylor expandidas hacia adelante (2.7) y hacia atrás (2.18):

3i)3(

2iii1i x

!3)x(hx

!2)x(''hx)x('h)x(h)x(h ∆+∆+∆+=+

(2.23)

3i)3(

2iii1i x

!3)x(hx

!2)x(''hx)x('h)x(h)x(h ∆−∆+∆−=−

(2.24)

y luego, restando la Ecuación (2.24) de la Ecuación (2.23), como se muestra a

continuación:

Lo que conduce a:

[ ]

∆−−∆+∆−∆+

∆−−∆+−=− −+

3i)3(

3i)3(

2i2i

iiii1i1i

x!3

)x(hx!3

)x(hx!2

)x(''hx!2

)x(''h

x)x('hx)x('h)x(h)x(h)x(h)x(h

(2.25)


40

3xxhxx'hxhxh!3

)(2)(2)()( i

)3(

i1i1i ∆∆ +=− −+ (2.26)

Si de (2.26) despejamos )(' ixh , obtenemos:

)x(Ox2

)x(h)x(h)x('h 21i1i

i ∆+∆−

= −+ (2.27)

Esta expresión es una diferencia finita central con un error de truncamiento de

orden 2x∆ . Si incluimos la variable independiente t (tiempo), la Ecuación (2.27)

puede expresarse como:

)x(Ox2

)x(h)x(h)x('h 21i1i

it,t,

∆+∆−

= −+ (2.28)


central de la derivada espacial con un error de truncamiento de segundo orden:

)x(Ox2hh

xh 2

t1i

t1i

t

i∆+

∆−

=

∂∂ −+

(2.29)

Por analogía a la Ecuación (2.29) se obtiene la discretización central de la

derivada temporal con un error de truncamiento de segundo orden:

)t(Ot2hh

th 2

1ti

1ti

t

i∆+

∆−

=

∂∂ −+

(2.30)

2.3.4. Aproximación de la Segunda Derivada con Diferencia Finita Central

Además de las primeras derivadas, la expansión en Serie de Taylor, puede ser

usada para desarrollar estimaciones numéricas de las derivadas de orden


41

superior. Sumando las expansiones de series de Taylor hacia adelante y hacia

atrás, es decir, las ecuaciones (2.23) y (2.24).

4i)4(

2ii1i1i x

!4)x(h2x

!2)x(''h2)x(h2)x(h)x(h ∆+∆+=+ −+

(2.31)

Despejando la segunda derivada de (2.31) obtenemos la segunda diferencia finita

central, que tiene un error de truncamiento de segundo orden:

)x(Ox

)x(h)x(h2)x(h)x(''h 22

1ii1ii ∆+

∆+−

= −+

(2.32)

Representando (2.32) en notación indicial obtenemos :

( ))x(O

xhh2h

xh 2

2

t1i

ti

t1i

t

i2

2

∆+∆

+−=

∂∂ −+

(2.33)

Por analogía a la Ecuación (2.33), obtenemos la diferencia finita central

temporal de segundo orden:

( ))t(O

thh2h

th 2

2

1ti

ti

1ti

t

i2

2

∆+∆

+−=

∂∂ −+

(2.34)

2.4. Métodos de Diferencias Finitas para Resolver Ecuaciones

Diferenciales Parciales

Los métodos para resolver EDPs pueden ser clasificados como métodos numéricos

directos y métodos característicos. En los métodos directos las ecuaciones de

diferencias finitas son formuladas a partir de la EDP original y las soluciones

son obtenidas para distancias y tiempos incrementales. En los métodos

característicos, las EDPs son primero transformadas a una forma característica y


42

las ecuaciones características son posteriormente resueltas analíticamente

(Hardy, 1994 ). En este trabajo se emplean los métodos directos para la solución

de la ecuación general de modelado tectónico-sedimentario directo (Ecuación

(1.1) ), específicamente los métodos de diferencias finitas, que se describen a

continuación.

El principio usado para resolver la ecuación general de modelado

tectónico-sedimentario directo por la técnica de diferencias finitas consiste en

aproximar dicha ecuación por una ecuación de diferencia. Si se reemplazan las

derivadas en una EDP por las expresiones de diferencias finitas, ésta se

convierte en una ecuación de diferencias cuya solución es una aproximación a la

solución de la ecuación diferencial. Los cálculos son ejecutados sobre una

cuadrícula numérica ubicada sobre el plano x-t, cuyos puntos son definidos

tomando incrementos de distancia x∆ e incrementos de tiempo t∆ (Hardy,

1994 ). En esta tesis los puntos espaciales son denotados por el índice i y los

puntos temporales por el índice t.

El proceso de discretización, es decir, de conversión de una ecuación

diferencial en una ecuación de diferencias, puede abordarse de varias maneras,

tanto para las derivadas temporales como para las derivadas espaciales,

dependiendo del tipo de aproximación de diferencias finitas utilizado: hacia

adelante, hacia atrás o central. El tipo de aproximación de diferencia finita

utilizada también define si el método numérico es explícito o implícito.

El método es explícito si las aproximaciones de diferencias finitas

empleadas permiten que el valor de la función 1tih+ para cualquier valor de i

pueda ser obtenido a partir de los valores de la función en tiempos anteriores t,


43

t-1, t-2, etc. Y el método es implícito si el valor de la función 1tih+ debe ser

obtenido a partir de valores de la función para diferentes puntos espaciales i que

pertenezcan a los tiempos t y t+1 , lo que implica que un sistema de ecuaciones

algebraicas debe ser resuelto para cada paso de tiempo. Para el caso de

problemas unidimensionales esto no es un gran inconveniente, debido a que los

sistemas lineales en cuestión son tridiagonales como se verá más adelante.

La ecuación (1.1) define un problema de valor inicial (problema de Cauchy), lo

que quiere decir que si los valores de la función h son conocidos para un tiempo

inicial t0 , para todo x, entonces la ecuación (1.1) describe cómo h(x,t) evoluciona

a través del tiempo. Además de los valores iniciales, necesitamos las condiciones

de frontera que se van a aplicar para resolver la EDP.

Existen diferentes maneras para definir las condiciones de frontera. Para

resolver este modelo se utilizan la Condiciones frontera de Dirichlet (Hardy, 1994),

que son aquellas que especifican el valor de la función h en ambos extremos, es

decir, en los puntos ht0 y ht

N, para cualquier valor de t.

2.4.1. Métodos de Diferencias Finitas para Resolver el Modelo Tectónico

El modelado de los procesos tectónicos de manera aislada viene dado por la

siguiente ecuación:

876advección

xy xvv

th h

∂∂

−=∂∂

( 2.35)


44

Los métodos de diferencias finitas explícitos e implícitos usados para

resolver la ecuación de advección x

vth h

x ∂∂

−=∂∂ , son extendidos y aplicados al

modelo tectónico completo (Ecuación ( 2.35)) en este estudio. Para resolver el

modelo tectónico se definen las condiciones de frontera de Dirichlet de la

siguiente manera:

ht0 = ht-1

0

htN-1 = ht-1

N-1

donde N es el número de puntos en que es discretizado el espacio. Al comenzar

la numeración de los segmentos espaciales en 0, el último punto adquiere el

subíndice N-18.

8 Es necesario hacer esta transformación para trabajar con el lenguaje de programación C++, como se muestra en el Capítulo 3


45


Tectónico

Método 1: Método Lax aplicado al Modelo Tectónico

Un método de diferencias finitas conocido como “Forward Time Centered

Space” (FTCS), consiste en discretizar la EDP mediante la sustitución de la

derivada temporal por la diferencia finita hacia adelante (Ecuación (2.17)) y la

derivada espacial por la diferencia finita central (Ecuación (2.16) ).

( ) )x(Ox2hhv)v()t(O

thh 2

t1i

t1it

iti

ti

1ti

xy ∆+

∆−

−=∆+∆− −+

+

(2.36)

pero al ser empleado en la ecuación de advección es incondicionalmente

inestable (Vemuri, 1981). Peter Lax (1954) propuso una modificación del

método para introducir una acción difusiva estabilizante, la cual consiste en

sustituir el término tih en la aproximación temporal (Ecuación (2.17)) con el

valor promedio entre t1ih + y t

1ih −

2hhh

t1i

t1it

i−+ +

= (2.37)

para obtener:

FT CS


46


t2

hhh2

t1i

t1it

iti

t1i

t1i1t

i

xy ∆+

∆−

−=∆+∆

+−

−+

−++

(2.38)

El valor denotado por Co y conocido como número de Courant, es definido

de la siguiente manera:

xt)v(Co

tix

∆∆

= (2.39)

Despejando 1tih + de (2.38) y empleando el término Co (Ecuación (2.39) )

obtenemos la expresión que permite calcular el valor de h en el tiempo posterior

(t+1) de manera explícita, como se muestra a continuación:

t1i

t1i

ti

1ti h)Co1(

21h)Co1(

21t)v(h y +−

+ −+++∆= (2.40)

Para entender mejor el procedimiento de solución de EDPs mediante los

métodos explícitos, a continuación se desarrolla la expresión (2.40) para cada

valor de i, desde i=0 hasta i= N-1.

i=0

Según las condiciones de frontera de Dirichlet: t0

1t0 hh =+ , donde t

0h es especificado en las condiciones iniciales del

problema, al definir 00h .

i=1

t2

t0

t1

1t1 h)Co1(

21h)Co1(

21t)v(h y −+++∆=+

FT modificado CS


47

i= 2

t3

t1

t2

1t2 h)Co1(

21h)Co1(

21t)v(h y −+++∆=+

.

.

. i=N-1

Según las condiciones de frontera de Dirichlet: t

1N1t1N hh −

+− = , donde t

1Nh − es especificado en las condiciones iniciales del

problema, al definir 01Nh − .

En estas expresiones las velocidades Vx y Vy son especificadas por

regiones como se mostrará en los capítulos posteriores, x∆ es una constante

especificada al comienzo, el paso de tiempo t∆ es despejado de la Ecuación

(2.39) para que el método cumpla con la condición de estabilidad de Courant

(Sección 2.4.3.1.), Co es calculado para cada valor de i, mientras que todos los

valores de h para un tiempo t (anterior) son conocidos.

Método 2: Método Contraviento aplicado al Modelo Tectónico

El método de diferencias contraviento está definido de dos maneras, denotadas

por las siglas FTBS o FTFS. La aproximación de la forma FTBS es estable si

( )tixv >0, mientras que la aproximación FTFS es estable si ( )tixv <0. Utilizar una

aproximación FTBS (“Forward Time Backward Space”) consiste en sustituir la

derivada temporal a través de la diferencia finita hacia adelante (Ecuación (2.17))


48

y la derivada espacial a través de la diferencia finita hacia atrás (Ecuación (2.21))

en la Ecuación ( 2.35):

( ) )x(Oxhhv)v()t(O

thh t

1itit

iti

ti

1ti

xy ∆+

∆−

−=∆+∆− −

+

(2.41)

y luego despejar 1tih + empleando a su vez la expresión del número de Courant

Co para obtener: ti

t1i

ti

1ti h)Co1(Coht)v(h y −++∆= −

+ (2.42)

La aproximación FTFS (“Forward Time Forward Space”) consiste en

sustituir tanto la derivada temporal como la espacial a través de diferencias

finitas hacia adelante (Ecuaciones (2.16) y (2.17)) en ( 2.35) ):

( ) )x(Ox

hhv)v()t(Ot

hh ti

t1it

iti

ti

1ti

xy ∆+

∆−

−=∆+∆− +

+

(2.43)

Para finalmente obtener la siguiente ecuación:

t1i

ti

ti

1ti Cohh)Co1(t)v(h y ++ −++∆= (2.44)

FT BS

FT FS


49

Método 3: Método Leapfrog aplicado al Modelo Tectónico

El método Leapfrog utiliza un esquema de segundo orden en tiempo y espacio,

mediante la utilización de una aproximación de la forma CTCS (“Centered Time

Centered Space”). Se obtiene sustituyendo (2.29) y (2.30) en ( 2.35)


t2hh 2

t1i

t1it

iti

21t

i1t

ixy ∆+

∆−

−=∆+∆− −+

−+

(2.45)

Y la ecuación resultante es:

( )t1i

t1i

1ti

ti

1ti hhCoht)v(2h y +−

−+ −++∆= (2.46)

CT CS


50

Método 4: Método Lax-Wendroff aplicado al Modelo Tectónico

El método Lax-Wendroff consiste en un esquema de dos pasos:

Paso 1: esquema Lax con medio paso ∆X/2 y ∆t/2

)hh(2

Co)hh(21

2t)v(h t

it

1iti

t1i

ti

2/1t2/1i y −−++

∆= ++

++

(2.47)

análogamente se obtiene:

)hh(2

Co)hh(21

2t)v(h t

1iti

t1i

ti

ti

2/1t2/1i y −−

+− −−++

∆=

(2.48)

Paso 2: esquema Leapfrog con medio paso ∆X/2 y ∆t/2

( )2/1t2/1i

2/1t2/1i

ti

ti

1ti hhCoh

2t)v(2h y

++

+−

+ −++∆

= (2.49)

Sustituyendo (2.47) y (2.48) en (2.49)obtenemos:

t1i

2t1i

2ti

2ti

1ti h)CoCo(

21h)CoCo(

21h)Co1(t)v(h y −+

+ ++−+−+∆= (2.50)

La expresión (2.50) es una aproximación de segundo orden en tiempo y en

espacio (Vemuri, 1981).


Tectónico

La primera aproximación obtenida de una fórmula explícita es conocida como

predictor y la aproximación sucesiva mejorada por sustitución directa en la

ecuación que intentamos resolver es conocida como corrector (Fox & Mayers,

1987). Según Anderson (1984), el esquema de MacCormack presenta exactitud


51

de segundo orden tanto en tiempo como en espacio. El predictor proporciona la

aproximación de 1tih + , denotada por *

ih , usando el esquema explícito de

diferencias finitas hacia adelante tanto para la primera derivada temporal como

para la primera derivada espacial :

( ) )x(Ox

hhv)v()t(Othh t

it

1iti

ti

ti

*i

xy ∆+

∆−

−=∆+∆− +

(2.51)

Al despejar *ih de (2.51) y emplear el valor Co obtenemos la siguiente

expresión para calcular el predictor en cada paso de tiempo: t

1iti

ti

*i Cohh)Co1(t)v(h y +−++∆= (2.52)

El corrector utiliza un esquema explícito de diferencias finitas hacia delante

(FT) de segundo orden9 para la derivada temporal, y un híbrido de diferencias

finitas hacia adelante (FS) y hacia atrás (BS) para la derivada espacial, como se

muestra a continuación:

( ))x(O

xhh

xhh

2v

)v()t(Ot

hh 2ti

t1i

*1i

*i

tit

i2

ti

1ti x

y ∆+

∆−

+∆−

−=∆+∆− +−

+

(2.53)

Para obtener la expresión del corrector despejamos t1ih + de (2.52):

( )*i

ti

ti

t1i hh)Co1(t)v(

Co1h y −++∆=+

(2.54)

9 La deducción de la aproximación de segundo orden en tiempo se explica más adelante, en el método Crank-Nicolson

FT FS

FT de 2do Orden FS y BS


52

Finalmente sustituimos (2.54) en (2.53) y al despejar 1tih + obtenemos el

corrector:

( ))Cohh)Co1(ht)v(21h *

1i*i

ti

ti

1ti y −+ +−++∆=

(2.55)

El procedimiento consiste en calcular en cada paso de tiempo el predictor

para todos los valores de i y luego sustituir los valores de *ih en el corrector,

que es el que aporta el resultado final para esa iteración.


Tectónico

Método 1: Método BTCS aplicado al Modelo Tectónico

Para obtener estabilidad incondicional, se utiliza un esquema de diferencias

finitas BTCS (“Backward Time Centered Space”), que es una aproximación de

primer orden en tiempo y segundo orden en espacio, y consiste en plantear la

diferencia finita central espacial (Ecuación (2.29)) y la diferencia finita temporal

hacia atrás (Ecuación (2.22)) de manera implícita:

)x(Ox2hh

xh 2

1t1i

1t1i

t

i∆+

∆−

=

∂∂ +

−++

(2.56)

)t(Ot

hhth t

i1t

it

i∆+

∆−

=

∂∂ +

(2.57)


53

Y luego sustituyendo ambas expresiones en la ecuación de modelado

(2.35), como sigue:


thh 2

1t1i

1t1it

iti

ti

1ti

xy ∆+

∆−

−=∆+∆− +

−++

+

(2.58)

De donde se obtiene la expresión final: ti

ti

1t1i

1ti

1t1i h2t)v(2Cohh2Coh y +∆=++− +

+++

− (2.59)

Al igual que en el primer método explícito, vamos a plantear en este

método la expresión (2.59) para cada valor de i desde i=0 hasta i= N-1:

i=0 t0

1t0 hh =+

i=1 t1

t1

1t2

1t1

1t0 h2t)v(2Cohh2Coh y +∆=++− +++ . Como 1t

0h + es conocido, el primer

término del lado izquierdo pasa al lado derecho, resultando la siguiente

expresión para i=1 1t

0t1

t1

1t2

1t1 Cohh2t)v(2Cohh2 y

+++ ++∆=+

i=2 t2

t2

1t3

1t2

1t1 h2t)v(2Cohh2Coh y +∆=++− +++

i=3 t3

t3

1t4

1t3

1t2 h2t)v(2Cohh2Coh y +∆=++− +++

.

.

. i=N-3

BT implícito CS implícito


54

t3N

t3N

1t2N

1t3N

1t4N h2t)v(2Cohh2Coh y −−

+−

+−

+− +∆=++−

i=N-2 t

2Nt

2N1t1N

1t2N

1t3N h2t)v(2Cohh2Coh y −−

+−

+−

+− +∆=++− . Como 1t

1Nh +− es conocido,

el tercer término del lado izquierdo pasa al lado derecho, resultando la siguiente

expresión para i=N-2 1t1N

t2N

t2N

1t2N

1t3N Cohh2t)v(2h2Coh y

+−−−

+−

+− −+∆=+−

i= N-1 t

1N1t1N hh −

+− =

Las ecuaciones desarrolladas desde i=1 hasta i=N-2 conforman un sistema

lineal de N-2 incógnitas y N-2 ecuaciones, que se representa matricialmente

como sigue:

−++

++++

=

−−

−−

−

−−−

−−+−

+−

+

+

+

−

−−

−

t1N

t2N

t2N

t3N

t3N

t3

t3

t2

t2

t0

t1

t1

1t2N

1t3N

1t3

1t2

1t1

2)(N

3)(N3)(N

4)(N

(4)

(3)(3)

(2)(2)

(1)

Coh2h∆t)2(v2h∆t)2(v

2h∆t)2(v2h∆t)2(v

Coh2h∆t)2(v

hh

hhh

2co00000co2co0

0co002co0

0co2co00co2co

00000co2

y

y

y

y

y

M

M

M

M

MMM

OOMM

MOM

MM

MMM

Figura 2.2 Representación matricial del sistema de ecuaciones resultante para el método

implícito BTCS

El sistema de ecuaciones lineales de la Figura 2.2 es tridiagonal, lo que

significa que tiene elementos diferentes de cero únicamente en la diagonal

principal, superdiagonal y subdiagonal.


55

El método implícito requiere que dicho sistema sea resuelto para cada

iteración (t, t+1, t+2, …Tfinal), por lo que es importante contar con un

algoritmo de resolución eficiente. En nuestro caso se utiliza un algoritmo de

descomposición LU (Press, 1988 ), que no usa pivotaje, característica que carece

de importancia en nuestro caso debido a que la matriz tridiagonal goza de

dominancia diagonal,10 lo cual asegura no solo que existe una única solución para el

sistema a resolver, sino que la solución del sistema no requiere de pivotaje

(Sewell, 1988).

Método 2: Método Crank-Nicolson aplicado al Modelo Tectónico

Es un esquema de diferencias finitas de segundo orden tanto en tiempo como

en espacio. Para obtener una aproximación de segundo orden en tiempo, se

expanden las series de Taylor hacia adelante y hacia atrás con un intervalo o

paso de tiempo de 2t∆ y truncamos en la segunda derivada ambas expresiones.

La expansión de la serie de Taylor hacia adelante en un intervalo ∆t/2 es:

...2t

!2

)2tt,x(''h

2t

!1

)2tt,x('h

)2tt,x(h)tt,x(h

2ii

ii +

∆

∆+

+

∆

∆+

+∆

+=∆+

(2.60)

La expansión de la serie de Taylor hacia atrás en un intervalo ∆t/2 es:

10 La dominancia diagonal consiste en que el valor absoluto del coeficiente de la diagonal principal en cada una de las ecuaciones debe ser mayor que la suma del valor absoluto de los otros coeficientes en la ecuación (Chapra et al., 1999).


56

...2t

!2

)2tt,x(''h

2t

!1

)2tt,x('h

)2tt,x(h)t,x(h

2ii

ii +

∆−

∆+

+

∆−

∆+

+∆

+=

(2.61)

Mediante la diferencia de las ecuaciones (2.60) y (2.61) obtenemos la

aproximación central de la derivada del tiempo con paso 2t∆ y con un error de

truncamiento de segundo orden, lo que en sistema de índices se representa así:

( ) )t(Ot

hh'h 2ti

1ti2

tt

i ∆+∆−

=+∆

+

(2.62)

La derivada espacial se aproxima con el valor promedio de las dos

diferencias finitas centrales en t y t+1. Como se muestra a continuación:

( ) )x(Ox2hh

x2hh

21v)v()t(O

thh 2

t1i

t1i

1t1i

1t1it

iti

2ti

1ti

xy ∆+

∆−

+∆−

−=∆+∆− −+

+−

++

+

(2.63)

Que al reordenarla adquiere la siguiente forma: t

1iti

t1i

ti

1t1i

1ti

1t1i Cohh4Coht)v(4Cohh4Coh y +−

++

++− −++∆=++− (2.64)

Al igual que en el método BTCS, en este método hay que resolver sistemas

de ecuaciones tridiagonales para cada t.

CT con paso 2

t∆ CS en t+1 y en t


57

2.4.2. Métodos de Diferencias Finitas para Resolver la Ecuación General

de Modelado Tectónico-Sedimentario Directo

Como ya se explicó en el Capítulo 1, la ecuación general de modelado tectónico-

sedimentario directo modela procesos tectónicos y sedimentarios. Vamos a

replantear la ecuación general de modelado tectónico-sedimentario directo,

sustituyendo la derivada del flujo (segundo término del lado derecho) por la

Ecuación (1.4), y señalando los tres tipos de términos que ésta contiene: reacción,

difusión y advección, en la siguiente ecuación:

}

tectónicos p.iossedimentar p.

4434421

48476

444 3444 21

876

∂∂

−+

∂

∂α+=

∂∂

adveccióndifusiónreacción

xh

xvyv2x

h2p

th

(2.65)

En la resolución de la Ecuación (2.65) se utilizan las aproximaciones de

diferencias finitas tanto para las primeras como para las segundas derivadas, (ver

desarrollo de diferencias finitas en la Sección 2.3.). Para resolver el modelo

tectónico-sedimentario se definen las condiciones de frontera de Dirichlet de la

siguiente manera:

ht0 = ht

1

htN-1 = ht

N-2

donde N es el número de puntos en que es discretizado el espacio. Al comenzar

la numeración de los segmentos espaciales en 0, el último punto adquiere el

subíndice N-1.


58


Tectónico-Sedimentario

Método 1: Método Lax aplicado al Modelo Tectónico-Sedimentario

El método Lax para la ecuación de transporte (difusión-advección) y por lo

tanto para la Ecuación (2.65) consiste en la aplicación del esquema FTCS, es

decir, diferencias finitas hacia adelante para la derivada temporal y de diferencias

finitas centrales, tanto para la primera como para la segunda derivada espacial:

( ) )x(Ox2hhv)v(

xhh2hp)t(O

thh 2

t1i

t1it

iti2

t1i

ti

t1i

ti

1ti

xy ∆+

∆−

−+

∆

+−α+=∆+

∆− −+−+

+

(2.66)

Ahora se define un nuevo valor, denominado número de difusión (D):

2xtD

∆∆α

= (2.67)

Al sustituir Co y D en la Ecuación (2.66) y reordenarla, se obtiene la

expresión final del método Lax para la Ecuación (2.65):

t1i

ti

t1i

ti

1ti h

2CoDh)D21(h

2CoDt)v(tph y +−

+

−+−+

++∆+∆=

(2.68)

FT CS CS


59

Método 2: Método Contraviento de Primer Orden aplicado al Modelo


La extensión del método de diferencias contraviento a la ecuación que modela

procesos tectónico y sedimentarios (2.65), para el caso en el que ( )tixv >0

consiste en sustituir la derivada temporal por la diferencia finita hacia adelante

(FT), la primera derivada espacial por la diferencia finita hacia atrás (BS) y la

segunda derivada espacial por la diferencia finita central (2.33):

( ) )x(Oxhhv)v(

xhh2hp)t(O

thh 2

t1i

tit

iti2

t1i

ti

t1i

ti

1ti

xy ∆+

∆−

−+

∆

+−α+=∆+

∆− −−+

+

(2.69)

Reordenando (2.69) obtenemos: t

1iti

t1i

ti

1ti Dhh)D2Co1(h)DCo(t)v(tph y +−+ +−−+++∆+∆= (2.70)

Para el caso en que ( )tixv <0 , se sustituyen las primeras derivadas, tanto

temporal como espacial, por las diferencias finitas hacia adelante (FT y FS) y la

segunda derivada espacial por la diferencia finita central (2.33) en la ecuación

(2.65):

( ) )x(Ox

hhv)v(x

hh2hp)t(Ot

hh 2ti

t1it

iti2

t1i

ti

t1i

ti

1ti

xy ∆+

∆−

−+

∆

+−α+=∆+

∆− +−+

+

(2.71)

Para finalmente obtener:

FT CS BS

FT CS FS


60

t1i

ti

t1i

ti

1ti h)CoD(h)D2Co1(Dht)v(tph y +−+ −+−+++∆+∆= (2.72)

Método 3: Método Contraviento de Tercer Orden aplicado al Modelo


Para mejorar la exactitud y reducir la difusividad numérica del método

contraviento de primer orden, la primera derivada espacial es aproximada

usando diferencias finitas hacia atrás de tercer orden, envolviendo cuatro puntos

(Ferziger & Peric, 1999), cuya deducción consta de los siguientes pasos:

1) Utilizar expansiones de la serie de Taylor para t2ih − , t

1ih − y t1ih + expandiendo

en torno a tih y truncando el término de la cuarta derivada para obtener un error

de truncamiento de tercer orden. A continuación se representan las series de

Taylor respectivas utilizando notación indicial:

( ) ( ) ( ) ( )4i)4(

3i)3(

2ii

ti

t x2!4

)x(hx2!3

)x(hx2!2

)x(''hx2)x('hhh2i

∆+∆−∆+∆−=−

(2.73)

( ) ( ) ( )4i)4(

3i)3(

2ii

ti

t x!4

)x(hx!3

)x(hx!2

)x(''hx)x('hhh1i

∆+∆−∆+∆−=−

(2.74)

( ) ( ) ( )4i)4(

3i)3(

2ii

ti

t x!4

)x(hx!3

)x(hx!2

)x(''hx)x('hhh1i

∆+∆+∆+∆+=+

(2.75)

2) A continuación las ecuaciones (2.73), (2.74) y (2.75) deben ser multiplicadas

por las constantes a, b y c respectivamente y luego sumadas, para obtener:


61

( )( )

( )( ) ( )( )

( )( ) )x(h!4

xcba2

)x(h!3

xcba2)x(''h!2

xcba2

)x('hxcba2h)cba(chbhah

i)4(

44

i)3(

33

i

22

iti

tt1i

t2i 1i

∆+++

∆+−−+

∆+++

∆+−−+++=+++−−

(2.76)

3) Para hallar una aproximación de la primera derivada debemos imponer las

siguientes condiciones:

( ) 1cba2 =+−− (2.77)

( ) 0!2

1cba22 =++ (2.78)

( ) 0!3

1cba23 =+−− (2.79)

4) Luego se resuelve el sistema de tres ecuaciones y tres incógnitas conformado

por (2.77), (2.78) y (2.79), para obtener los valores de las incógnitas, resultando:

1/3c y 1b 1/6,a =−==

5) Ahora sustituimos los valores de las constantes a, b y c en la Ecuación (2.76)

para obtener la siguiente expresión:

( ) ( ) )x(hx121)x('hxh

21h

31hh

61

i)4(4

iti

t1i

t1i

t2i

∆

+∆+−=+− +−−

(2.80)

6) Finalmente despejamos )x('h i de (2.80), y después de multiplicar el

numerador y denominador del lado derecho por el número 6, obtenemos la

diferencia finita de tercer orden buscada:


62

( )3i1i1i2ii xO

x6h3h2h6h)x('h ∆+

∆++−

= +−− (2.81)

Al igual que en el método contraviento de primer orden, en este método se

sustituye la derivada temporal por diferencias finitas hacia adelante (FT) y la

segunda derivada espacial por la diferencia finita central (CS) para el caso en que

( )tixv >0, pero la primera derivada espacial se sustituye por la diferencia finita de

tercer orden representada por la Ecuación (2.81), como se muestra a

continuación:

( ) )x(Ox6

h2h3h6hv)v(

xhh2h

p)t(Ot

hh 3t

1iti

t1i

t2it

iti2

t1i

ti

t1i

ti

1ti

xy ∆+

∆

++−−+

∆+−

α+=∆+∆− +−−−+

+

(2.82)

Despejando 1tih + y empleando las expresiones de D y Co se obtiene la

expresión final del método:

t1i

ti

t1i

t2i

ti

1ti h

3CoDh

2CoD21h)CoD(h

6Cot)v(tph y +−−

+

−+

−−+++−∆+∆=

(2.83)

Y de la misma manera se procede para el caso en que ( )tixv <0, tomando

en cuenta que en vez de utilizar la diferencia finita hacia atrás de tercer orden

para sustituir la primera derivada espacial, se utiliza la diferencia finita hacia

adelante (FS).

FT CS BS de Tercer Orden


63

Método 4: Método Dufort-Frankel aplicado al Modelo Tectónico-

Sedimentario

Este método es la extensión del método Leapfrog o CTCS explicado en la

Sección 2.4.1.1., ahora aplicado a la ecuación general de modelado tectónico-

sedimentario directo y utilizando la diferencia finita central de segundo orden

para la segunda derivada espacial. Se sustituye el término tih por el promedio

entre los tiempos t-1 y t+1, como lo indica la Ecuación (2.84), para eliminar la

inestabilidad condicional que implica un esquema CTCS aplicado a la ecuación

de transporte (Ferziger & Peric, 1999).

2hhh

1t1tit

i

+− +=

(2.84)

La discretización por este método de la Ecuación (2.65) es como sigue:

( )

( ) )x(Ox2hhv

)v(x

hhh212h

p)t(Ot2hh

2t

1it

1iti

ti2

t1i

1ti

1ti

t1i

21t

i1t

i

x

y

∆+

∆−

−

+∆

+

+−

α+=∆+∆−

−+

−−+

+−+

(2.85)

Y finalmente en:

( )t

1i1t

it

1i

ti1t

i h)D21()D2Co(h

)D21()D21(h

)D21()D2Co(

)D21(t)v(2

D21tp2h y

+−

−+

+−

−+−

+++

++

∆+

+∆

=

(2.86)

CT CS modificado

CS


64



Este método es la extensión del método predictor-corrector MacCormack ya

explicado para el modelo tectónico. El predictor emplea el esquema explícito de

diferencias finitas hacia adelante para las primeras derivadas: temporal (FT) y

espacial (FS) y diferencia finita central para la segunda derivada espacial (CS):

( ) )x(Ox

hhv)v(x

hh2hp)t(Othh 2

ti

t1it

iti2

t1i

ti

t1i

tii

xy

*∆+

∆−

−+

∆

+−α+=∆+

∆− +−+

(2.87)

Al rearreglar la Ecuación (2.87), despejando *ih y empleando los valores

de D y Co obtenemos la siguiente expresión para calcular el predictor en cada

paso de tiempo:

)hh2h(DCohh)Co1(t)v(tph t1i

ti

t1i

t1i

ti

tii y

*−++ +−+−++∆+∆= (2.88)

El corrector utiliza un esquema explícito de diferencias finitas hacia

adelante (FT) de segundo orden para la derivada temporal, central para la

segunda derivada espacial (CS) y un híbrido de BS y FS para la primera derivada

espacial, que resulta ser de segundo orden, como se muestra a continuación:

FT CS FS


65

( ))x(O

xhh

xhh

2v

)v(x

hh2hp)t(O

thh 2

ti

t1i1ii

tit

i2

t1i

ti

t1i2

ti

1ti

**x

y ∆+

∆−

+∆−

−+

∆

+−α+=∆+

∆− +−−+

+

(2.89)

Para obtener la expresión del corrector despejamos t1ih + del cuarto

término de la derecha de la Ecuación (2.88):

( ))hh2h(Dhh)Co1(t)v(tpCo1h t

1iti

t1ii

ti

ti

t1i

*y −++ +−+−++∆+∆=

(2.90)

Finalmente sustituimos (2.90) en (2.89) y al despejar 1tih + obtenemos el

corrector:

( ))hh2h(D)hh(Cohht)v(tp21h t

1iti

t1i1iii

ti

ti

1ti

***y −+−

+ +−+−−++∆+∆= (2.91)



Método 1: Método BTCS aplicado al Modelo Tectónico-Sedimentario

Este método es la extensión del método implícito BTCS para el modelo

tectónico explicado en la Sección 2.4.1.2., utilizando la diferencia finita central

(Ecuación (2.33)) de forma implícita para discretizar la segunda derivada

espacial:

( ))x(O

xhh2h

xh 2

2

1t1i

1ti

1t1i

t

i2

2

∆+∆

+−=

∂∂ +

−++

+ (2.92)

FT CS BS y FS


66

La discretización es como sigue:

( ) )x(Ox2hhv)v(

xhh2hp)t(O

thh 2

1t1i

1t1it

iti2

1t1i

1ti

1t1i

ti

1ti

xy ∆+

∆−

−+

∆

+−α+=∆+

∆− +

−++

+−

+++

+

(2.93)

Despejando 1tih + y empleando las expresiones de D y Co se obtiene la

expresión final del método, la cual genera un sistema algebraico (tridiagonal) de

ecuaciones que debe resolverse para cada iteración temporal:

( ) ti

ti

1t1i

1ti

1t1i h2t)v(2tp2hD2Coh)D21(2h)D2Co( y +∆+∆=−++++− +

+++

−

(2.94)

Método 2: Método Crank-Nicolson aplicado al Modelo Tectónico-

Sedimentario

Este método es la extensión del método implícito Crank-Nicolson para el

modelo tectónico, explicado en la Sección 2.4.1.2., utilizando promedios de

diferencias finitas centrales en t y t+1 para la segunda derivada espacial:

BT implícito CS implícito CS implícito


67

( ) ( )

( ))x(O

x2hh

x2hh

2v

)v(

xhh2h

xhh2h

2p)t(O

thh

2t

1it

1i1t1i

1t1i

tit

i

2

t1i

ti

t1i

2

1t1i

1ti

1t1i2

ti

1ti

xy ∆+

∆−

+∆−

−+

∆

+−+

∆+−α

+=∆+∆−

−++−

++

−++−

+++

+

(2.95)

Al reordenar la ecuación (2.95) obtenemos la ecuación final del método,

que nuevamente genera un sistema algebraico tridiagonal de ecuaciones a

resolver para cada iteración temporal:

( )

( ) t1i

ti

t1i

ti

1t1i

1ti

1t1i

hD2Coh)D1(4h)D2Co(

t)v(4tp4hD2Coh)D1(4h)D2Co( y

+−

++

++−

−−−+++

∆+∆=−++++−

(2.96)

2.4.3. Convergencia de los Métodos de Diferencias Finitas

Convergencia significa que conforme x∆ y t∆ tienden a cero, los resultados de la

técnica por diferencias finitas se aproximan a la solución verdadera (Chapra et

al., 1999). Según Sewell (1988) convergencia = consistencia +estabilidad. Un método

de diferencias finitas es consistente con la ecuación diferencial si el error de

truncamiento tiende a cero a medida que el paso x∆ tiende a cero. No

obstante, la consistencia no garantiza automáticamente convergencia (Sewell,

1988). El error de truncamiento es la cantidad por la cual la solución de la ecuación

diferencial no alcanza a satisfacer la ecuación aproximada (Sewell, 1988). Todas

CT con paso ∆t/2 CS en t+1 y en t

CS en t+1 y en t


68

las expresiones de diferencias finitas mostradas en este capítulo están

acompañadas del término del error de truncamiento )x(O 1n+∆ ú )t(O 1n+∆ . Un

método de diferencias finitas es estable si los errores en cualquier etapa del

cálculo no son amplificados, sino que son atenuados conforme el cálculo avanza

(Chapra et al., 1999).

2.4.3.1. Condiciones de Estabilidad para los métodos de diferencias finitas

aplicados al Modelo Tectónico

Todo método explícito de diferencias finitas aplicado a una EDP con términos

advectivos es estable si está sujeto a la condición de Courant-Friedrichs-Lewy,

mejor conocida como condición de Courant, la cual establece que el número de

Courant (Ecuación (2.39)) debe ser menor o igual que 1 para que el método sea

estable (Vemuri, 1981), es decir:

1x

t)v( tix

≤∆

∆

(2.97)

En la práctica, se determina el valor máximo de ti)v( x al comienzo del

algoritmo del método, el x∆ es fijado inicialmente y el t∆ es calculado a partir

de la condición de Courant, convirtiendo la inecuación en una ecuación que se

iguala a un valor de Co menor a 1 (en este caso Co= 0.5), para asegurar que el

método explícito está cumpliendo con la condición de Courant. Por otra parte,

los métodos implícitos de diferencias finitas son incondicionalmente estables.


69

2.4.3.2. Condiciones de Estabilidad para los métodos de Diferencias

Finitas aplicados al Modelo Tectónico-Sedimentario

A continuación se resumen las condiciones de estabilidad para cada uno de los

métodos de diferencias finitas utilizados en este estudio para resolver la

Ecuación General de Modelado Tectónico-Sedimentario Directo.

Método de Diferencias

Finitas

Condición de

Estabilidad

Expresión para

calcular t∆

Lax 1D2Co2 ≤≤ α∆

≤∆2x5.0t

Contraviento de primer

y tercer orden 1D2CoCo2 ≤+≤

2

tix

x2

x

)v(max1t

∆α

+∆

≤∆

Dufort-Frankel 1Co ≤ . No hay

restricción para D tix )v(max

xCot ∆≤∆

Sin embargo en la

práctica es necesario un

t∆ pequeño para

obtener una solución

que sea suficientemente

exacta y consistente. El

método es consistente

solo si t∆ << x∆

Exp

lícit

os

Predictor-Corrector

MacCormack 9.0Co < y

5.0D ≤ α∆

≤∆2x5.0t


70

BTCS Incondicional-

mente estable

No es necesaria Im

plíc

itos

Crank-Nicolson Incondicional-

mente estable

No es necesaria

Tabla 2.3 Condiciones de estabilidad de los métodos de diferencia finitas para resolver la ecuación de transporte

Capítulo 3

PROGRAMACIÓN

DE LOS MÉTODOS DE DIFERENCIAS FINITAS

En este capítulo se muestran fragmentos de la codificación de los métodos

numéricos explicados en el Capítulo 2, en lenguaje C++, mediante los cuales se

resuelve tanto el modelo tectónico como el modelo tectónico-sedimentario.

3.1. Enfoque de Programación

El enfoque utilizado para programar los métodos explícitos e implícitos vistos

en el Capítulo 2 de este trabajo, aplicados tanto al modelo tectónico como al

tectónico-sedimentario, es el de orientación a objetos.

“…Superficialmente, el término orientación a objeto significa que

organizaremos el software como una colección de objetos discretos que

incorporan tanto estructuras de datos como procedimientos. Esto contrasta con

la programación convencional, en la cual las estructuras de datos y el

comportamiento están solo aproximadamente conectados…” (Hernández,

1990).

“…El proceso de clasificación es el enfoque central de la orientación a

objeto y concierne a la agrupación de objetos con propiedades (estructuras de

datos o atributos) y comportamiento (operaciones) similares dentro de una

clase…”(Hernández, 1990).

Programación de los Métodos de Diferencias Finitas

72

Los atributos o componentes de datos de una clase se llaman miembros de

datos y las operaciones o componentes de función de una clase se llaman funciones

miembros (Deitel y Deitel, 1994). Las operaciones (también denominadas

métodos) de una clase pueden ser de cuatro tipos (Hernández, 1990):

Operación Constructor: Esta operación produce una nueva instancia (objeto),

perteneciente a la clase.

Operación Destructor: Esta operación permite al usuario descartar instancias de

objetos que ya no son necesarias.

Operación de Accesos: Esta operación permite al usuario acceder a los

elementos de la clase, únicamente para visualizarlos.

Operación de Transformación: Esta operación produce nuevos elementos al

permitirle al usuario acceder a los elementos de la clase, y transformarlos.

Existe otro tipo de operaciones que no pertenecen a la clase, que se

denominan funciones amigas, las cuales se definen por fuera del alcance de dicha

clase, pero aún así tiene el derecho de acceso a los miembros privados de la

clase (Deitel y Deitel, 1994). Para culminar esta revisión teórica sobre conceptos

básicos utilizados en la programación orientada a objetos vamos a definir dos

tipos de miembros de clase, según el modo de accesibilidad: los miembros

privados (private) que son aquellos miembros de clase accesibles unicamente a las

funciones miembros de la clase, y los miembros públicos (public) son aquellos

miembros de clase accesibles a cualquier programa que tenga acceso a un objeto

de la clase (Deitel & Deitel, 1994).


73

3.2. Definición de una Clase de Objeto

Para abordar la programación de los métodos de la manera más clara posible,

procedemos a diseñar una clase de objeto que hemos denominado "línea". La

clase línea define a una sucesión finita de puntos que representa los diferentes

tipos de líneas (línea de falla, línea axial, línea de pliegue) que describen el

modelo geométrico de la estructura geológica en estudio, denominada pliegue

asociado a falla no plana, como ya se mencionó. A continuación se describen los

atributos y métodos (u operaciones) de los que consta la clase línea. 3.2.1. Atributos de la clase línea

Los atributos definidos para la clase línea son:

n_puntos: es un entero que indica el número de puntos totales (incluyendo el

punto 0) que representará cada línea al ser discretizada. Este valor debe ser igual

para los tres tipos de línea que pueden ser construidos por esta clase: línea de

falla, línea axial y línea de pliegue.

dx: número real que indica la distancia en x (dada en metros (m)) o el paso que

existe entre los puntos de la línea.

**puntosLinea: es una matriz real dinámica de dos filas que contiene las

coordenadas x de los n_puntos de una línea (de cualquier tipo) en la fila 0 y las

coordenadas y (o altura) en la fila 1.


74

**puntosLineaAuxiliar: es una copia de **puntosLinea, requerida para algunos

metodos de la clase.

corteFallaX1: número real que indica la coordenada x donde ocurre el primer

cambio de pendiente en la línea de la falla en sentido izquierda-derecha, dada en

metros (m).

corteFallaX2: número real que indica la coordenada x donde ocurre el segundo

cambio de pendiente en la línea de la falla en sentido izquierda-derecha, dada en

metros (m).

anguloFalla: número real que representa el ángulo de inclinación θ (en grados)

de la línea de falla en la región 2 de la estructura, respecto al eje x, viene dado en

grados.

tasaDeslizamiento: tasa de deslizamiento S, viene dada en m/ka .

reduccionDeslizamiento: es la proporción R en que se reduce la tasa de

deslizamiento. Se denota por la letra R (adimensional).

3.2.2. Métodos de la clase línea

Los métodos definidos para la clase línea son:

//CONSTRUCTORES DE CLASE:

Constructor de la línea de falla:


75

Método que crea un objeto línea con las características de una línea de falla,

generando las coordenadas x, y de cada uno de los puntos que conforman la

línea de falla e introduciéndolos en una matriz.

Constructor de la línea axial:

Método que crea un objeto línea con las características de una línea axial,

generando las coordenadas x,y de cada uno de los puntos que conforman la

línea axial e introduciéndolos en una matriz.

Constructor de una línea de pliegue:

Método que crea un objeto línea con las características de una línea de

pliegue en condiciones iniciales, es decir, una línea horizontal con una altura

h determinada, generando las coordenadas x,y de cada uno de los puntos que

conforman la línea de pliegue e introduciéndolos en una matriz

//MÉTODOS DE TRANSFORMACIÓN:

a)Métodos aplicados al modelo tectónico:

Son los métodos que calculan los cambios de una línea en el tiempo, producidos

por procesos tectónicos únicamente.

//Métodos explícitos de diferencias finitas aplicados al modelo

tectónico:

Método 1: Método Lax o FTCS (Forward Time Central Space) modificado

Método 2: Método de diferencias Contraviento FTBS (Forward Time Backward Space)

Método 3: Método Leapfrog o CTCS (Central Time Central Space)

Método 4: Método Lax-Wendroff

Método 5: Método Predictor-Corrector MacCormack


76

//Métodos implícitos de diferencias finitas aplicados al modelo

tectónico:

Método 1: Método BTCS (Backward Time Central Space)

Método 2: Método Crank-Nicolson

b) Métodos aplicados al modelo tectónico-sedimentario:

Son los métodos que calculan los cambios de una línea en el tiempo, producidos

por procesos tectónicos y sedimentarios.

//Métodos explícitos de diferencias finitas aplicados al modelo

tectónico-sedimentario:

Método 1: Método Lax o FTCS (Forward Time Central Space) modificado

Método 2: Método de diferencias Contraviento de Primer Orden

Método 3: Método de diferencias Contraviento de Tercer Orden

Método 4: Método Dufort-Frankel

Método 5: Método Predictor-Corrector MacCormack

//Métodos implícitos de diferencias finitas aplicados al modelo

tectónico-sedimentario:

Método 6: Método BTCS (Backward Time Central Space)

Método 7: Método Crank-Nicolson

//Método modificador de altura

Método asignador de altura:

Método que asigna al objeto línea las coordenadas y (altura) de todos los

puntos de otro objeto línea especificado en el argumento de la función


77

//MÉTODOS DE ACCESO:

Método consultor de altura:

Método que retorna la altura de un punto de la línea, especificado por el

índice i

Método comparador de alturas:

Método que compara la altura o coordenada y de todos los puntos que

conforman la línea de pliegue con la altura de una segunda línea de pliegue,

asignando a la primera las alturas que sean mayores de los puntos de la

segunda

Método impresor de línea:

Método que imprime por pantalla las coordenadas x,y de una línea de

cualquier tipo (de falla, axial, de pliegue)

Método impresor de línea en formato gOcad:

Método que imprime las coordenadas x,y de una línea de cualquier tipo (de

falla, axial, de pliegue) en un archivo de extensión .vs que luego puede ser

leído por un paquete computacional gráfico denominado gOcad11

//DESTRUCTOR DE CLASE:

Destructor de línea:

Método que libera la memoria ocupada por cualquier objeto de la clase línea

previamente creado por el constructor de clase


78

//FUNCIONES AMIGAS:

Función amiga Vx:

Función que calcula la componente x de la velocidad de un punto en una

posición dada; Vx depende de la región en la que se encuentre el punto

ubicado en ese momento del proceso evolutivo.

Función amiga Vy:

Función que calcula la componente y de la velocidad de un punto en una

posición dada; Vy al igual que Vx, depende de la región en la que se

encuentre el punto ubicado en ese momento del proceso evolutivo.

3.3. Codificación de la clase línea

En el Cuadro 3.1 se muestra el código fuente de especificación de la clase línea,

contenido en el archivo linea.h , desarrollado en lenguaje C++.

11 El programa gOcad de Earth Decision Sciences es una aplicación que se utiliza en la exploración y modelado del subsuelo, y permite la realización de gráficos en 2 y 3 dimensiones a partir de columnas de valores de coordenadas leídos directamente de un archivo de extensión .vs


79

#include <iostream> using namespace std; class linea { //Atributos de la clase línea: private: int n_puntos; double dx,**puntosLinea,**puntosLinea_Auxiliar,corteFallaX1, corteFallaX2; float anguloFalla, tasaDeslizamiento, reduccionDeslizamiento; //Métodos de la clase línea: public: //CONSTRUCTORES DE CLASE: linea(int, double, double, double, float, float); linea(int, double, float, double, double, float); linea(int, double, double); //MÉTODOS DE TRANSFORMACIÓN: //Métodos explícitos de diferencias finitas para el modelado TECTÓNICO: void metodoLax_Tectonico(double, linea *, linea *, linea *); void metodoContravientoFTBS_Tectonico(double, linea *, linea *, linea *); void metodoLeapfrog_Tectonico(double, linea*, linea *, linea *); void metodoLaxWendroff_Tectonico(double, linea *, linea *, linea *); void metodoMacCormack_Tectonico(double, linea *, linea *, linea *); //Métodos implícitos de diferencias finitas para el modelado TECTONICO: void metodoBTCS_Tectonico(double, linea*, linea *, linea *); void metodoCrankNicolson_Tectonico(double, linea*, linea *, linea *);


80

//Métodos explícitos de diferencias finitas para el modelado TECTONICO-SEDIMENTARIO: void metodoLax_TectonicoSedimentario(double, linea *, linea *, linea *, float, float); void metodoContravientoFTBSprimerOrden_TectonicoSedimentario (double, linea *, linea *, linea *, float, float); void metodoContravientoFTBStercerOrden_TectonicoSedimentario (double, linea *, linea *, linea *, float, float); void metodoDufortFrankel_TectonicoSedimentario(double, linea*, linea *, linea *, float, float); void metodoMacCormack_TectonicoSedimentario(double, linea*, linea *, linea *, float, float); //Métodos implícitos de diferencias finitas para el modelado TECTONICO-SEDIMENTARIO: void metodoBTCS_TectonicoSedimentario(double, linea*, linea *, linea *, float, float); void metodoCrankNicolson_TectonicoSedimentario(double, linea *, linea *, linea *, float, float); void asignaAltura(linea *); //METODOS DE ACCESO: double obtieneAlturaPunto(int); void comparaAltura(linea *); void imprimeLinea(); void imprimeLineaGOCAD(char *); //DESTRUCTOR DE CLASE: ~linea(); //FUNCIONES AMIGAS: friend double Vx(int, linea *, linea *, linea *); friend double Vy(int, linea *, linea *, linea *);

proyecto de gradobdigital.ula.ve/storage/pdftesis/pregrado/tde_arquivos/8/tde-2006-09... ·...

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