propiedades magnéticas y entrelazamiento cuántico en...

TESIS DE DOCTORADOCARRERA DE DOCTORADO EN FÍSICA

PROPIEDADES MAGNÉTICAS Y ENTRELAZAMIENTO CUÁNTICO ENSISTEMAS NANOSCÓPICOS

Mag. Marco Alfredo Nizama MendozaDoctorando

Dra. Karen HallbergDirectora

Febrero de 2011

Instituto BalseiroComisión Nacional de Energía Atómica

Universidad Nacional de CuyoConsejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas

Argentina

A mi familia

Resumen

Los corrales cuánticos presentan propiedades interesantes debido a la interesantecombinación de confinamiento y focalización algunas de las cuales fueron observadasexperimentalmente. Estudiamos el comportamiento estático y dinámico de estos sistemas.En primer lugar analizamos el caso del corral cuántico no interactuante (sin impurezas),y con parámetros realistas obtuvimos los autoestados la elipse con el modelo de pareddura. Posteriormente estudiamos el sistema en presencia dedos impurezas de Kondo deespínS = 1/2 localizadas en los focos de la elipse. Éstas interactúan con los electronesitinerantes en la elipse vía un término de superintercambioJ. Diagonalizamos este sistemanuméricamente y estudiamos propiedades tales como correlación de espín y correlacionesdinámicas. Encontramos que, para valores deJ chicos comparado con el ancho de banda,los espines están en un estado singlete para número par de electrones en la elipse o tripletepara número impar (régimen RKKY). En ese límite es posible describir el comportamientoa bajas energías con un hamiltoniano efectivo entre las impurezas. Para valores grandes deJ más estados electrónicos están involucrados y los espines se descorrelacionan formandoun estado de Kondo local con los electrones itinerantes. Estudiamos algunas magnitudesde la teoría de la información cuántica que es una herramienta alternativa para el análisis desistemas cuánticos. Calculamos la entropía de von Neumann para diversas particiones delsistema y caracterizamos el cambio de régimen de RKKY al de Kondo ante el incrementode J, de acuerdo a los resultados obtenidos con el cálculo de funciones de correlacionesestáticas y dinámicas.

Adicionalmente consideramos fluctuaciones de carga en los estados de las impurezasy analizamos propiedades estáticas y dinámicas en función de los parámetros relevantesdel sistema. El modelo estudiado consiste de dos impurezas de Anderson localizadas enlos focos e hibridizadas con magnitudV a los electrones en la elipse. Con el estudio dela correlación de espín entre las impurezas, y entre una impureza y los electrones en unmismo foco, caracterizamos los regímenes RKKY y Kondo. Estoestá de acuerdo con losresultados obtenidos con la densidad de estados electrónica calculada usando un modelomás realista que incluye la hibridización con estados del continuo.

Encontramos una relación entre el entrelazamiento entre las impurezas de espín yobservables físicos del sistema. Con ésto obtuvimos el diagrama de fases de entrelaza-miento entre las impurezas para llenado par e impar, que presenta regiones en las que estánentrelazadas y otras de estados separables. Mostramos resultados numéricos que sustentanlas relaciones encontradas.

Como aplicación adicional de los conceptos de información cuántica al estudio de laspropiedades físicas de sistemas correlacionados, analizamos una cadena de espínS = 1con condiciones de contorno abiertas y con interacción a primeros vecinos bilineal ybicuadrática (β). En particular estudiamos los modelos de Heisenberg (β = 0) y AKLT(β = 1/3). Realizamos diversos estudios en sistemas bipartitos puros y mixtos. Paracaracterizar el entrelazamiento en un sistema bipartito puro usamos la entropía de vonNeumann, en cambio para un sistema bipartito mixto, usamos la negatividad. Estosestudios nos permitieron estudiar las excitaciones de espín 1/2 localizadas en los bordesde la cadena [87, 88].

Un resultado interesante aparece cuando analizamos el entrelazamiento entre dospartes del sistema; que es máximo entre los extremos de la cadena y disminuye haciael centro, reflejando el carácter fraccionario y la localización de las excitaciones de espíndel modelo, que han sido observadas experimentalmente.

En conclusión, usando tanto técnicas tradicionales (correlaciones estáticas y dinámi-cas) como novedosas (información cuántica) para el estudiode sistemas interactuantes,investigamos el comportamiento de algunos sistemas nanoscópicos paradigmáticos. Paraésto utilizamos técnicas tanto analíticas como numéricas de actualidad. Esperamos quelos resultados obtenidos en esta tesis sean útiles para una mejor comprensión de estossistemas, así como para posibles aplicaciones nanotecnológicas.

Abstract

Quantum corrals have intriguing properties due to the interesting combination ofconfinement and focalization, some of which have been observed experimentally. Westudy the static and dynamic behavior of these systems. First, we analyze the case ofnon-interacting quantum corrals (without impurities) using realistic parameters to obtainthe eigenstates of the ellipse within the hard-wall approximation. Subsequently, we studythe system in the presence of two spin-half Kondo impuritieslocated in the foci of theellipse. These spins interact with itinerant electrons in the ellipse via a superexchangeterm J. We diagonalize this system numerically and study properties such as static anddynamic correlations. We found that for small values ofJ (RKKY regime) compared withthe bandwidth, the spins are in a singlet state for even number of electrons in the ellipse ortriplet for odd number of electrons. In this limit it is possible to describe the behavior at lowenergies with an effective Hamiltonian between the impurities. For large values of J moreelectronic states are involved and the spins are uncorrelated forming a local Kondo statewith the itinerant electrons. We also studied some magnitudes from quantum informationtheory, which is an alternative tool for analyzing quantum systems. We calculated the vonNeumann entropy for different partitions in the system and characterize the change of theregime from RKKY to Kondo with the increase ofJ, according to the results obtainedwith the calculation of static and dynamic correlation functions.

We further consider charge fluctuations in the states of impurities and analyze staticand dynamic properties in terms of relevant parameters of the system. The model studiedconsists of two Anderson impurities located at the foci and hybridized with magnitudeVwith the electrons in the ellipse. By studying the spin correlations between the impurities,and between an impurity and the electrons at the same foci, wecharacterize the RKKYand Kondo regimes. This is in accordance with results obtained with the density ofelectronic states calculated using a more realistic model which includes the hybridizationwith continuum states.

We found a relation for the entanglement between the two impurity spins and physicalobservables of the system. With this we obtained the phase diagram of entanglementbetween the impurities for even and odd fillings, which has regions in which they areentangled and others in separable states. We show numericalresults that support therelation found.

As an additional application of the concepts of quantum information to the studyof physical properties of correlated systems, we analyze a chain of spinS = 1 withopen boundary conditions and a bi-linear and bi-quadratic nearest-neighbor interaction(β). In particular we study the Heisenberg (β = 0) and AKLT models (β = 1/3). Wehave performed several studies in pure and mixed bipartite systems. To characterize theentanglement in a pure bipartite system we use the von Neumann entropy, and for mixedbipartite systems we use the negativity. These studies allow us to study the behavior ofspin 1/2 excitations localized at the chain edges [87, 88].

An interesting result appears when we analyze the entanglement between two parts ofthe system: It is maximum between the ends of the chain and decreases towards the center,reflecting the fractional nature and location of the spin excitations in the model, whichhave been observed experimentally.

In conclusion, we use both traditional techniques (static and dynamical correlations)and a novel perspective for the study of interacting systemswhich is the use of quantuminformation, to investigate the behavior of some paradigmatic nanoscopic systems. Forthis, we have used analytical and new trends in numerical techniques. We expect the resultsobtained in this thesis to be useful for a better understanding of these systems, and therebyfor possible applications in nanotechnology.

Índice general

1. Introducción a corrales cuánticos elípticos 11.1. Corral cuántico elíptico no interactuante. . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2. Modelo de dos impurezas de Kondo en un corral elíptico 72.1. Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2. Caso interactuante - Modelo de dos impurezas de Kondo. . . . . . . . . 8

2.2.1. Propiedades estáticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2.2. Comportamiento dinámico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2.3. Densidad local de estados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3. Información cuántica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3.1. Caso no interactuante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Fidelidad y concurrencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17Entropía cuántica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3.2. Caso interactuante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Partición 1: a lo largo del eje menor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Partición 2: separación de los espines de los estados de la elipse . . . . . 25Partición 3: en el espacio de la energía. . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.4. Conclusiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3. Modelo de Anderson con dos impurezas en un corral elíptico 313.1. Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2. Modelo de Anderson de dos impurezas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2.1. Propiedades estáticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.2.2. Propiedades estáticas en función del nivel de Fermi. . . . . . . . . 383.2.3. Propiedades dinámicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.3. Efecto de una interacción directa entre las impurezas. . . . . . . . . . . 473.4. Conclusiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4. Entrelazamiento cuántico entre dos impurezas de Kondo enun corral elíptico 514.1. Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.2. Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.3. Matriz densidad reducida de las dos impurezas de Kondo. . . . . . . . . 54

4.3.1. Entrelazamiento para espines S=1/2 en estados mixtos. . . . . . . 564.3.2. Diagrama de fases del entrelazamiento cuántico. . . . . . . . . . . 594.3.3. Resultados numéricos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.4. Importancia de los estados electrónicos en la concurrencia . . . . . . . . 64

ÍNDICE GENERAL

4.4.1. Relación entre observables del sistema. . . . . . . . . . . . . . . 664.4.2. Resultados numéricos para los observables físicos de interés . . . . 67

4.5. Entrelazamiento cuántico entre las impurezas y los estados electrónicos. 704.6. Conclusiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5. Correlaciones cuánticas y entrelazamiento en cadenas deespín S=1 735.1. Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.1.1. Modelo AKLT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.2. Matriz densidad reducida y medidas de entrelazamientocuántico . . . . . 78

5.2.1. Negatividad en dos sitios de la cadena. . . . . . . . . . . . . . . 825.2.2. Concurrencia parcial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5.3. Negatividad versus concurrencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.3.1. Resultados numéricos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

5.4. Negatividad y excitaciones de espín. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935.4.1. Efecto de tamaño. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.5. Conclusiones y perspectivas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

6. Conclusiones generales 103

A. Medidas de entrelazamiento cuántico 107A.1. Entropía de von Neumann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

A.1.1. Descomposición de Schmidt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108A.2. Concurrencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108A.3. Negatividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

Bibliografía 111

Capítulo 1

Introducción a corrales cuánticoselípticos

Recientemente, gracias al avance de la nanotecnología, se han podido manipularátomos y colocarlos sobre superficies metálicas en diversasformas [1]. Esto ha sidoposible, en parte, gracias al desarrollo de la microscopía de efecto túnel (STM, por sussiglas en inglés). Un experimento de interés fue realizado por Manoharan y colaboradores[2]. Ellos lograron construir corrales cuánticos elípticos con átomos de cobalto Co (usando34 y 36 átomos, con excentricidades deǫ = 0.786 y ǫ = 0.5 respectivamente) separadosentre sí una distancia ded = 10A, sobre la superficie (111) de cobre Cu. El eje mayorde la elipse es del orden de 100A (la distancia entre focos es 71.3A). Posteriormentecolocaron una impureza magnética en un foco y con la punta delSTM pudieron detectarel efecto Kondo [2] no sólo en el foco de las impurezas, sino también en el foco vacío.Este fenómeno fue llamado espejismo cuántico, ya que a pesarde no estar presente unaimpureza en el foco, se observa el efecto Kondo como una consecuencia de las propiedadesde focalización de la elipse. De esta manera lograron observar experimentalmente lasconsecuencias de los estados electrónicos confinados en el corral, ya que estos son losresponsables del espejismo cuántico. En la figura1.1se muestra una representación gráficadel espejismo cuántico (obtenida de [3]).

El efecto Kondo es el resultado de la interacción de una impureza magnética conlos electrones de conducción, los cuales orientan sus espines de forma que apantallenel momento magnético local de la impureza, formándose un estado singlete de muchoscuerpos alrededor de la impureza [4]. Este efecto físico se observa a temperaturas menoresque la temperatura de Kondo (TK ≈ 53K para Co sobre una superficie de Cu(111) [2], yTK ≈ 88K para Co sobre una superficie de Cu(100), y la temperatura de Kondo para Coen el bulk es del orden de 500K [5]).

En el experimento realizado en [2] reportaron que los estados electrónicos estánprácticamente desacoplados de los estados del bulk, con lo cual se tiene un gas deelectrones bidimensionales confinados en el corral. Éste hecho es crucial para el espejismocuántico. Estos estados superficiales desacoplados del bulk son llamados estados deSchokley y fueron estudiados en detalle en [6].

2 Introducción a corrales cuánticos elípticos

Figura 1.1: Representación de la imagen topográfica obtenida con el STM en un corral elípticoformado con 36 átomos de Co (figura inferior), y con un átomo deCo localizado en el focoizquierdo. Se observa la densidad electrónica en el corral que tiene una mayor densidadelectrónica en el foco con impureza comparada con el foco vacío (de menor magnitud quela del foco derecho). Sobre el foco izquierdo está representada la impureza de espín y sobre elderecho su imagen (“átomo fantasma”). La figura fue obtenidade [3].

3

En la figura1.2se muestra la topografía obtenida con el STM de los corrales elípticoscon una impureza en el foco izquierdo (panel izquierdo superior) y con una impureza fuerade los focos de la elipse (panel derecho superior). Los átomos de Co están representadospor puntos de color verde (esferas). También se muestran la diferencia de la conductanciadiferencial (∆[dI/dV]) entre los corrales con impureza en su interior y los casos sinimpurezas. Ésto se realizó con el objetivo de realzar la imagen Kondo en el sistema. Enel panel izquierdo inferior se observa la imagen Kondo en losdos focos de la elipse,notándose el espejismo cuántico en el foco vacío. En cambio en el panel derecho inferiorsólo se observa imagen Kondo en la posición de la impureza dentro del corral, y no seobserva espejismo cuántico en el sistema, porque al no estarla impureza localizada en unfoco, no se produce el efecto de focalización cuántica.

Figura 1.2: Imagen topográfica de un corral elíptico con excentricidadǫ = 0.5, con 36 átomosde Co formando el corral y un átomo en el foco izquierdo de la elipse (panel izquierdo superior)[2]. En el panel izquierdo inferior se muestra∆[dI/dV] en el corral (diferencia entredI/dVpara los casos con y sin impureza dentro del corral) acá se observa la imagen “fantasma” delefecto Kondo en el foco vacío (foco derecho). También se muestra la imagen topográfica parala impureza dentro del corral, pero fuera de los focos (panelderecho superior). Para este casose muestra la señal∆[dI/dV], y sólo se observa Kondo en la posición de la impureza (panelderecho inferior).

El efecto de confinamiento de los corrales cuánticos en diferentes superficies metálicas(Au, Cu, Ag) ha sido estudiado intensamente tanto para una como para dos impurezas enlos trabajos teóricos [7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17]. En uno de estos trabajos seha usado un modelo de tight binding (modelo de confinamiento fuerte) para estudiar elrol de los estados del corral en el espejismo cuántico [10]. Los autores de este trabajousan una red triangular con parámetros realistas para el elemento de hopping. Tambiénmuestran densidades de carga de diferentes estados del corral elíptico, observando queciertas autofunciones del sistema presentan máxima proyección en los focos del corral.


Notan que las autofunciones se modifican ante la presencia deuna impureza en los focosdel corral elíptico.

En los trabajos [15, 16] se estudian las correlaciones de espín en corrales elípticosentre el espín de una impureza con los electrones de conducción, y también se estudianlas correlaciones de espín de una impureza sobre una superficie abierta de Cu (dondelos estados electrónicos superficiales están desacopladosde los estados del bulk). Losautores predicen una interacción efectiva del tipo RKKY entre las impurezas hibridizadasa los electrones superficiales dentro del corral, usando para ello parámetros realistas paracorrales cuánticos [2]. El modelo RKKY fue propuesto en el pasado por Ruderman,Kittel, Kasuya y Yosida (ver [18]). En este modelo los electrones itinerantes actúan comomediadores en la interacción efectiva entre las impurezas magnéticas presentes en unamuestra (esta interacción es dependiente de la muestra).

Hasta ahora hemos enfatizado en las referencias la interacción deuna impureza en unfoco con los electrones confinados en corrales elípticos. En[8] y [17, 19] estudiaron laspropiedades físicas de los corrales elípticos en presenciade dos impurezas magnéticas enlos focos que interactúan con los electrones confinados en elcorral cuántico embebidoen el resto del sistema (bulk). Con tal motivo estudiaremos en la tesis dos impurezaslocalizadas en el corral con diversos modelos (el modelo de Kondo y el de Anderson),con el objetivo de estudiar la interacción efectiva entre las impurezas (régimen de RKKY)y estudiar también en el espacio de parámetros de nuestros sistema cuándo ocurre el efectoKondo en cada impureza. Para ésto estudiaremos diversas propiedades físicas del sistema,las cuales serán detalladas en el desarrollo de la tesis en los capítulos2, 3 y 4.

En este breve capítulo describimos al corral con un modelo detight-binding en laaproximación de paredes duras (o infinitas), con el objetivode obtener los autoestados demás baja energía de la elipse [10].

1.1. Corral cuántico elíptico no interactuante

En esta sección daremos una breve descripción del modelo no interactuante en laelipse. En todo el trabajo adoptamos una descripción simplificada del sistema basada enun modelo de tight-binding (sin espín), y definido en una red cuadrada con condiciones decontorno de la elipse (pared dura, implicando que la probabilidad de encontrar un electrónfuera del sistema es cero). La excentricidad de la elipse considerada esǫ = 0.6 y elelemento de matriz de hoppingt∗ (2t∗ es usado como unidad de energía en los capítulos2,3,4). El hamiltonianoHel (en la elipse) en este caso es muy sencillo y es de la forma:

Hel = −t∗∑

〈i, j〉c+i cj (1.1)

En la expresión anterior,ci, c+i representan al operador de destrucción y creaciónrespectivamente de un electrón (spinless), y los índicesi, j recorren los sitios dentrode la elipse (el símbolo〈〉 significa que la sumatoria es sobre primeros vecinos). Los

1.1 Corral cuántico elíptico no interactuante 5

sitios (átomos) considerados en la elipse son de alrededor de 1000. Consideramos unagrilla rectangular como se muestra en la figura1.3, con x en el intervalo [−20, 20] y lavariabley en [−16, 16] y ∆x = ∆y = 1. Esto fija los valores de los semiejes de la elipse ena = 20 (semieje mayor) yb = 16 (semieje menor), y la ecuación de la elipse está dada por(x/a)2+ (y/b)2 = 1. La excentricidad de la elipse esǫ =

√1− (b/a)2 = 0.6. Los puntos en

la grilla para los cuales se cumple (x/a)2 + (y/b)2 ≤ 1 forman una elipse “mordida”.

Figura 1.3: Representación de la superficie de Cu por una grilla rectangular con semiejesa = 20 y b = 16. Los puntos azules representan a los sitios dentro del corral elíptico, y lossímbolos en cuadrados son obtenidos con la ecuación de la elipse ((x/a)2 + (y/b)2 = 1) querepresenta a la pared ideal del corral.

Consideramos la energía local, en cada sitio igual a cero (yaque sólo representa uncorrimiento constante en la banda de energía de los estados superficiales). Analizaremoslas funciones de onda de más baja energía, donde la longitud de onda en el nivel de Fermi,λF ≈ 30A [19], es más grande que la separación entre los átomos (la distancia entreprimeros vecinos para Cu(111) es 2.55A [2]). También se conoce del experimento [2] quela separación entre los átomos de Co,dc = 10A, que forman el corral es menor que lalongitud de onda del nivel de FermiλF > dc, con lo cual se tiene poca hibridizacióndel sistema con electrones fuera del corral y por consiguiente poco ensanchamientode los niveles de la elipse, con lo cual el modelo de pared duraes una muy buenaaproximación. Por consiguiente la distribución de los átomos en la red es irrelevante[20]. En [10] estudiaron una red triangular y no se observó ninguna discrepancia conlas funciones de onda obtenidas en una red cuadrada. Para niveles de más alta energíase necesita un discretización del sistema mucho más fina. La distancia entre los focosdel corral en el experimento es del orden dedf ≈ 70A, con lo cual podemos estimar elvalor ∆x en nuestro modelo (longitud usada en la discretización de lared) y obtenemos∆x = df /(2aǫ) ≈ 70A/24≈ 2.9A, y se observa que es del orden de la separación atómicade primeros vecinos en la superficie de Cu(111) (2.55A [2]).

Cabe resaltar que el sistema tiene solución exacta en el continuo, y las soluciones sonlas funciones de Mathieu [21]. Estas soluciones son similares a las obtenidas por estemétodo dentro de la aproximación de red discreta. En la figura1.4se muestra la densidad


de probabilidad|ψαi |2, dondeψαi es la amplitud de probabilidad del autoestado|α〉 enel sitio i de la elipse. Se muestran|ψαi |2 para los primeros 25 autoestados de la elipseordenados por filas, donde están marcados los primeros autoestados de cada fila.

Figura 1.4: Densidad de probabilidad de los autoestados|α〉. Está marcado el autoestado|23〉que será nuestro nivel de Fermi para el caso interactuante, estudiado en los próximos capítulos.

La energía del nivel de Fermi fue elegida en el nivel 23 (figura1.4), cuya energía essimilar a la energía en el experimento [2] (450meV medida desde el primer autoestadodel sistema) para lo cual se observa experimentalmente similar distribución espacial deprobabilidad electrónica. En el siguiente capítulo mostramos la distribución espacial delautoestado|23〉 de la elipse sin impurezas proyectada en el planox,y, en el modelo depared dura. Esta configuración no es crucial para los resultados, y otras excentricidadesy niveles de referencias tendrían similares resultados en la física del problema, siemprey cuando éstas tengan pesos apreciables en los focos [7, 11]. En todo el trabajo de tesisconcerniente a corrales elípticos consideramos como escala de energía al valor 2t∗ = 1eV(parámetro realista obtenido de [10]).

Capítulo 2

Modelo de dos impurezas de Kondo enun corral elíptico

2.1. Introducción

Los recientes avances en las técnicas de fabricación de sistemas nanoscópicos hanayudado a revelar una gran variedad de fenómenos físicos. Esto se debe, en parte, aque es posible la manipulación de átomos con la ayuda del microscopio de efecto túnel,STM (Scanning Tunneling Microscope, por sus siglas en inglés) [1]. Un ejemplo de unfenómeno interesante fue la observación delespejismo cuántico[2]. Este efecto se observaen sistemas nanoscópicos llamados corrales cuánticos donde la función de onda de loselectrones está confinada en una región por medio de una barrera que está formada deátomos (por ejemplo átomos de cobalto), encerrando una región de una superficie deCu(111).

Los corrales cuánticos son construidos colocando átomos con la ayuda del STMsobre una superficie limpia de un metal noble (libre de impurezas) [22, 23]. En recientesexperimentos, Manoharan y colaboradores [2] fueron capaces de construir corraleselípticos con átomos de Co sobre una superficie de Cu(111). Lasuperficie de Cu(111),tiene una banda de estados superficiales desacoplados de losestados del bulk (electronessuperficiales con una relación de dispersión de electrón casi libre [24]), la cual puede serrepresentada como un gas de electrones bi-dimensional confinado en el corral. El nivel deFermi está a 450 meV por arriba del fondo de la banda de los estados de superficie.

Un número de trabajos teóricos ha analizado estos experimentos con una o másimpurezas, y considerando diferentes configuraciones [7, 8, 9, 10, 11, 13, 12, 14, 15, 16].También se puede ver un estudio detallado sobre corrales cuánticos en [19, 20]. En lasreferencias [15, 16] fue sugerido que, como una consecuencia de las propiedadesdefocalización de los corrales cuánticos elípticos, dos impurezas localizadas en cada foco delsistema podrían interactuar fuertemente. Tal predicción ha sido sustentada por Stepanyuky colaboradores en [17]. Ellos reportaron resultados de cálculos de primeros principiospara la interacción de intercambio entre dos impurezas magnéticas localizadas en cadafoco del corral. Consideraron diferentes tipos de átomos magnéticos, localizados en los

8 Modelo de dos impurezas de Kondo en un corral elíptico

focos de la elipse, de tamaños diferentes.

Las propiedades físicas de los corrales cuánticos son afectadas por muchos factores,como el confinamiento, interferencia cuántica y efecto de muchos cuerpos. Hasta ahora lostrabajos anteriores se han centrado en el estudio las propiedades estáticas de los corralescuánticos dejando sin explorar el comportamiento dinámico.

En este capítulo estudiamos las propiedades estáticas y dinámicas más relevantes enlos corrales elípticos para diversos modelos (no interactuantes e interactuantes) y diversasperturbaciones. Las propiedades de focalización tienen importantes consecuencias en elcomportamiento físico del sistema.

Los corrales cuánticos ofrecen también un escenario ideal para estudiar el entrelaza-miento cuántico entre las impurezas y los estados electrónicos en el corral, así como otrasposibles particiones en el sistema. El entrelazamiento nosproporciona información sobrelas posibles transiciones en el sistema [25], sin la necesidad de definir un parámetro deorden.

En la primera parte del capítulo estudiaremos una elipse aislada (sección1.1). Lamisma está descripta por un sistema cuántico cerrado (no disipativo), conteniendo unnúmero arbitrario de electrones no interactuantes, y ocupando niveles hasta la energía deFermi (similar a la del experimento [2]). En la segunda parte estudiaremos dos impurezasde espínS = 1/2 interactuantes vía un término de superintercambio con loselectrones enlos focos del corral elíptico . Este problema de muchos cuerpos fue tratado numéricamentey analizamos propiedades estáticas y respuestas dinámicas(sección2.2). En la sección2.3, recurrimos a la perspectiva de la información cuántica, y calculamos diferentesmagnitudes cuánticas estadísticas, tales como la fidelidad, la concurrencia y la entropíade von Neumann, para ciertas particiones en el sistema. Y porúltimo, en la sección2.4mostramos las conclusiones más importantes del presente capítulo.

2.2. Caso interactuante - Modelo de dos impurezas deKondo

En esta sección estudiamos el caso más interesante del efecto de las propiedades defocalización de la elipse sobre la interacción de dos espines interactuantesS = 1/2 queinteractúan vía un término de superintercambio con los electrones en la elipse [26, 27, 28,29, 30].

En la figura2.1 se observa una representación de las interacciones en el sistemasuperpuesta sobre un autoestado de la elipse no interactuante |α〉 = |23〉 (nivel de Fermi,similar al del experimento [2]). Las zonas claras en la figura indican alta densidad deprobabilidad, y las zonas oscuras indican el caso opuesto. El hamiltoniano del sistema esel siguiente:

2.2 Caso interactuante - Modelo de dos impurezas de Kondo 9

Figura 2.1: Módulo al cuadrado del autoestado en el nivel de Fermi|ψ23|2 para la elipsesin impurezas y con excentricidadǫ = 0.6. Las zonas claras y oscuras representan alta y bajadensidad de probabilidad electrónica respectivamente. Las líneas oscuras representan las líneasnodales del autoestado electrónico|α〉 = |23〉, el cual tiene alta densidad de probabilidad enlos focos de la elipse. También son representados los espines de las impurezas en los focosS1

y S2 que interactúan con los espinesσi vía una interacción de superintercambioJ.

H=Hel + J(~S1 · ~σ1 + ~S2 · ~σ2); (2.1)

con:~Si · ~σi=Sz

iσzi +

12

(S+i σ−i + S−i σ

+i ), (2.2)

y σ+i =ci↑ci↓, σzi = (ni↑ − ni↓)/2, dondeniσ = c+iσciσ es el operador número con espínσ y ciσ

el operador de destrucción de un electrón con espínσ en el focoi de la elipse (i = 1, 2). Enla base de los autoestados|α〉 de la elipse, estos operadores locales pueden ser expandidosde la forma:ciσ =

∑αΨαicασ, dondecασ es el operador de destrucción del estado|α〉 con

espínσ y Ψαi es la amplitud del estado|α〉 en el focoi. Hel es el hamiltoniano de laelipse sin impurezas, descripto en el capítulo anterior (ver ecuación (1.1) del capítulo1)al cual le hemos agregado el espínσ en forma trivial. Podemos reescribir el hamiltonianono interactuante en la elipse de la forma:Hel = −t∗

∑〈i j〉

∑σ ci+σcjσ. Consideramos una

interacción de superintercambio antiferromagnética,J > 0 a menos que indiquemos locontrario. En esta base, los operadores de espín para los electrones pueden ser expresadoscomo:

σzi =

12

(ni↑ − ni↓) =12

∑

α1α2

Ψ∗α1iΨα2i(c†α1↑cα2↑ − c+α1↓cα2↓)

σ+i = c+i↑ci↓ =∑

α1α2

Ψ∗α1iΨα2ic+α1↑cα2↓

σ−i = c+i↓ci↑ =∑

α1α2

Ψ∗α1iΨα2ic+α1↓cα2↑ (2.3)

Obtuvimos numéricamente el estado fundamental|γ0〉 de H, usando el método deLanczos [31] (alternativamente también se podría usar el método de Davidson [32]), para


diversos llenados en la elipse (par e impar) y diversos valores deJ. El nivel de Fermi(EF), es similar al del experimento [2]. Si observamos la ecuación (2.3), notamos quenecesitaríamos todos los estados|α〉 de la elipse para localizar al electrón itinerante enel foco i, lo cual numéricamente es imposible, debido a que el espaciode Hilbert creceexponencialmente con el número de niveles considerados (elespacio de Hilbert másgrande que hemos estudiado es del orden de 106 estados). El número de niveles en la elipseobtenido con el modelo de pared dura es del orden de 1000 (ver sección1.1 del capítulo1), y por limitaciones numéricas sólo consideramos hasta 10 niveles electrónicos|α〉 en laelipse. El máximo número de electrones considerados esNe = 12. A pesar de tener tamañofinito más adelante veremos que, podemos estudiar el sistemaen forma satisfactoria. Eneste caso sólo consideramos los estados|α〉 con alta densidad de probabilidad en los focosde la elipse, y que estén cercanos en energía al nivel de Fermi. Para la elección de dichosniveles utilizamos un criterio, que consiste en considerara los estados|α〉 con valor más

alto dePαn = |ψαniψ

∗αRi

Eαn−EαR|, dondeψαni es la proyección del estado|αn〉 en el focoi, Eαn es la

energía del estado|αn〉, y |αR〉 es el último nivel lleno para llenado par (o el nivel de Fermi,para llenado impar) y conn , R. |α〉 son estados pares o impares respecto del eje menorde la elipse (ψα1 = ±ψα2). En general la cantidad de estados escogidos de simetría par escasi la misma que los estados de simetría impar. El criterio usado para la elección de losniveles relevantes a considerar en la ecuación (2.3) no es único y se podrían considerarotros criterios en su reemplazo. Con este criterio escogimos los estados más cercanos alnivel de Fermi con mayor peso en los focos (y que se hibridizanmás con los espinesS1 yS2).

Figura 2.2: Representación gráfica de los procesos involucrados enH (ver ecuaciones (2.1) y2.3). Consideramos 4 partículas y 4 niveles|αn〉 de la elipse en el sistema (n = 1, 2, 3, 4). Lasflechas a trazos indican el proceso de destruir un electrón enun nivel ocupado y crearlo enotro desocupado.S1 y S2 representan los espines de las impurezas.

Cabe resaltar que la excentricidad de la elipse se fijó enǫ = 0.6 (para más detallesde la elección de esta excentricidad ver sección1.1 del capítulo1). Se puede notar quelos términos del hamiltanonianoH dado por la ecuación (2.1) mezclan todos los estados|α〉 (mezcla de todos con todos). En la figura2.2se observa una representación gráfica delos procesos involucrados enH, donde se destruye un electrón en un nivel ocupado y secrea en cualquier nivel desocupado (ver ecuación (2.3)). En la figura2.2 consideramos a


manera de ejemplo, 4 partículas y 4 niveles|αn〉 (n = 1, 2, 3, 4) de la elipse no interactuante.También están representados los espines de las impurezas como S1 y S2.

2.2.1. Propiedades estáticas

Una de las consecuencias más importantes sobre las impurezas de espín en lapresencia del corral elíptico es que la correlación entre las impurezas se ve aumentadacuando ellas se encuentran localizadas en los focos comparado con impurezas sobre unasuperficie abierta (esto fue observado en los trabajos teóricos en [15, 16]). Por ejemplo, si

Figura 2.3: a) Correlación de espín entre las impurezas localizadas en los focos en el estadofundamental para número par e impar de electrones y diferentes niveles en la elipse.b)Panel superior:Ne par, para el primer estado excitado (espín totalS = 1), se observa elcarácter triplete entre los espines localizados para valores deJ chicos. Panel inferior: funciónde correlación de espín entre el espín localizadoS1 y el espín del electrón itineranteσ1;comparado con la correlación〈S1.S2〉 en el estado fundamental (Ne par). Para valores deJ chicos los espines localizados están en un estado singlete ydescorrelacionados de loselectrones itinerantes. Para valores grandes deJ, estos espines se desacoplan mientras surgeuna interacción local con los electrones itinerantes.

analizamos la función de correlación de espín entre la impurezas en el estado fundamental〈γ0|~S1~S2|γ0〉 (el procedimiento para el cálculo del estado fundamental fue descripto enla subsección anterior), encontramos que ellas forman un estado singlete o triplete paraJ chicos (respecto de la escala de energía antes mencionada 2t∗), y llenado par o impar


respectivamente (ver figura2.3a). En este caso decimos que el sistema se encuentra enel régimen de RKKY (Ruderman-Kittel-Kasuya-Yosida), en elcual los electrones actúancomo mediadores de una interacción efectiva entre las impurezas [18]. Una interacciónferromagnética entre las impurezas localizadas para llenado impar fue encontrado en [8].Para valores grandes deJ las impurezas se descorrelacionan, tanto para llenado par comoimpar. En este caso las impurezas se encuentran en un régimende Kondo, en el que losespines de los electrones apantallan localmente el espín decada impureza [4]). El resultadoes débilmente dependiente del número de niveles considerados, tal como se observa en lafigura2.3a

También es interesante analizar la correlación de espín en un foco entre el espínlocalizadoS1 y el espín del electrón itineranteσ1. En la figura2.3b, observamos queesta correlación antiferromagnética aumenta ante el incremento deJ, mientrasS1 y S2

se descorrelacionan. Por lo tanto, cuandoJ aumenta la correlación local entre un espínlocalizado y los electrones en un foco aumenta y debería crecer hasta el valor de un estadosinglete de−0.75. Sin embargo encontramos un valor absoluto más bajo debido a la finituddel sistema (consideramos hasta 10 niveles electrónicos enla elipse, el nivel de Fermicorresponde al nivel|23〉). En este límite son necesarios más estados|α〉 para formar elestado localizado en los focos (ver ecuación (2.3), donde los operadores fermiónicos enlos focos involucran los estados extendidos de la elipse).

2.2.2. Comportamiento dinámico

En esta sección calculamos la función respuesta a una excitación de espín realizadaen el foco 1 [33]. La función respuestaC al operadorA = Sz

1, está dada por la expresión[33, 34, 35]:

C(ω) = −1π

lımη→0+

ImG(ω + iη + E0) (2.4)

con:G(z) = 〈ψ0|A+(z− H)−1A|ψ0〉. (2.5)

En la expresión anteriorG es la función de Green,ω es la energía,E0 es la energíadel estado fundamental,η es el ancho de la lorentziana y|ψ0〉 es el estado fundamental delsistema.

La función de GreenG(z) se expresa en la representación de fracción continua, paralocual se usa el procedimiento de Lanczos (ver Lanczos [31]). Se usaA|ψ0〉 = | f0〉 como unvector inicial en el método de Lanczos y se genera de manera recursiva una base ortogonalcompleta. Usando el procedimiento de Lanczos se tiene:

| fn+1〉 = H| fn〉 − an| fn〉 − b2n| fn−1〉; (2.6)

se tienen ≥ 0; b0 = 0 (para inicializar el procedimiento); y〈 fn| fn′〉 = 0 paran , n′. PorconsiguienteH es tridiagonal en esta base. Los coeficientesan y bn son obtenidos de laforma:

an =〈 fn|H| fn〉〈 fn| fn〉

; (2.7)


bn =〈 fn| fn〉〈 fn−1| fn−1〉

; (2.8)

El resolvente deGA(z) se puede escribir como una fracción continua [36] de la forma:

G(z) =〈ψ0|A†A|ψ0〉

z− ao −b2

1

z− a1 −b2

2

z− · · ·

(2.9)

Figura 2.4: Función espectralC(ω) para un número par de electrones, 3 valores diferentes deJ y diferentes número de niveles en la elipse. No se observa un efecto apreciable de “tamañofinito” en el sistema. Para valores chicos deJ, el gap de espín es chico y la primera excitaciónes principalmente un estado triplete (ver figura2.3b, curva superior). Consideramosη ∼ 10−3.

La expresión anterior, converge antes de recorrer toda la base {| fn〉} y el criteriode convergencia se elige cuandobn tiende a cero (< 10−10) o cuandoan y bn son losuficientemente grandes (> 1010).

En las figuras2.4 y 2.5 mostramos los resultados de la función espectralC(ω)para diferentes valores deJ y para llenados par e impar, respectivamente. ParaNe par,encontramos que las excitaciones para valores chicos deJ consisten principalmente de unpico localizado en el gap de espín∆s, el cual es muy chico (∆s ∼ 10−5). En este caso, losespines localizados forman un estado singlete bien definido, mientras la primera excitaciónde espín tiene un carácter triplete, como se puede ver en la figura2.3b. Para valores másgrandes deJ, el peso de este pico disminuye, y otros estados se involucran en la dinámica,con lo cual la densidad espectral es más complicada. ParaNe impar y valores deJ chicos


Figura 2.5: Función espectralC(ω) con los mismos parámetros usados en la figura2.4, parael casoNe impar.

Figura 2.6: Dependencia temporal de la función de correlación de espín entre las impurezaslocalizadas en los focos para la función perturbada|ψ(t)〉 = U(t)Sz

1|ψ0〉, para valoresmoderados deJ. Para valores chicos deJ, la correlación es casi un triplete, similar a lo vistoen las figuras anteriores.


(ver figura2.5), los espines localizados en los focos forman un estado triplete bien definidoen el estado fundamental.

El hecho de que, para valores deJ chicos y un número par de partículas, la primeraexcitación es casi un estado triplete, puede también ser interpretado como una excitaciónrobusta, la cual varía suavemente en el tiempo (ver figura2.6). En dicha figura, mostramosla función de correlación〈ψ(t)|S1S2|ψ(t)〉 para |ψ(t)〉 = U(t)Sz

1|ψ0〉, donde U(t) esel operador de evolución temporal y|ψ0〉 es el estado fundamental interactuante delhamiltoniano dado por la ecuación (2.1). ParaJ = 0.1, encontramos un comportamientocasi constante y el estado es casi un triplete; en cambio paraJ grandes la correlación varíamás debido a que están involucrados más estados en la evolución temporal. Usamos lafunciónU(t)Sz

1|ψ0〉 normalizada.

2.2.3. Densidad local de estados

En esta subsección usaremos otro recurso para determinar cuándo el sistema seencuentra en el régimen de Kondo. Para ello analizaremos unapropiedad dinámica enel sistema. En este caso, podemos analizar la densidad localde estados electrónica en unode los focosj ( j = 1, 2). La densidad local de estados, queda definida por las expresiones[33, 34, 35]:

ρ j(ω) = −1π

lımη→0+

ImG(ω + iη + E0),

ρ∗j (ω) = −1π

lımη→0+

ImG∗(−ω + iη + E0), (2.10)

y

G(z) = 〈ψ0|c†jσ(z− H)−1cjσ|ψ0〉,G∗(z) = 〈ψ0|cjσ(z− H)−1c†jσ|ψ0〉 (2.11)

En las expresiones anteriores,ω es la energía,j = 1, 2 (referido a los focos de laelipse),E0 es la energía del estado fundamental,ρ(ω) y ρ∗(ω) corresponden a los espectrosde fotoemisión y fotomoemisión inversa y|ψ0〉 es el estado fundamental del sistema. Lasfunciones de GreenG y G∗ son calculadas con el método de fracción continua (ecuación(2.9)), estudiada en la subsección anterior. Se inicia el procedimiento de Lanczos (ecuación(2.6)) con | f0〉 = cjσ|ψ0〉 para obtenerG y con | f0〉 = c+jσ|ψ0〉 para calcularG∗.

En la figura2.7 mostramos resultados para la densidad local de estados electrónicaen el foco 1 de la elipse para valores deJ antiferromagnéticos AFM (panel izquierdo) yvalores deJ ferromagnéticos FM (panel derecho). Para este estudio nos interesó estudiartambién el caso deJ ferromagnético con el fin de comparar los resultados de la densidad deestados con el caso AFM, en donde aparece el efecto Kondo. En la figura2.7, para valoresde J de carácter AFM podemos distinguir dos regímenes diferentes (ya caracterizadoscon funciones de correlación de espín). Para valores chicosde J el espectro consiste


Figura 2.7: Densidad local de estados (en unidades arbitrarias) en el foco 1 de la elipse paraestados ocupados (línea llena), y estados desocupados (línea de trazos). Hemos considerado8 niveles y 10 electrones en la elipse para diferentes valores de J de carácter AFM (panelizquierdo) y de carácter FM (panel derecho). Consideramosη = 10−3.

principalmente de niveles discretos aproximadamente coincidentes con los de la elipsesin impurezas. Sin embargo observamos que, cuando la interacción de superintercambioJincrementa su valor (J/2t∗ > 1), un seudogap o reducción de la densidad local de estadosempieza a desarrollarse. Esto sucede alrededor del nivel deFermi. Dicha reducción es unaconsecuencia de la interferencia de Fano entre los estados de la elipse y el espín localizado[37]. Entonces se forma un singlete entre el espín localizado y los electrones itinerantes[4] (régimen de Kondo), lo cual implica el desacople entre las impurezas.

También mostramos resultados de la densidad local de estados electrónica paraJ decarácter FM (J < 0). Para el caso FM (J < 0) observamos que la densidad local de estadosno desarrolla un seudogap alrededor del nivel de Fermi, siendo para todo valor deJ decarácter FM (figura2.7, panel derecho). En este caso no hay efecto Kondo entre el espínde la impureza y los electrones.

2.3. Información cuántica

Con el fin de tener una visión alternativa sobre las propiedades cuánticas de nuestrosistema, y debido a que éste ofrece de manera natural un sistema de qubits (sistema de dosniveles), estudiamos este sistema desde el punto de la la teoría de información cuántica(para un estudio más detalle se puede consultar las páginas 528-593 de [25]). La teoríade información cuántica ha sido utilizada, entre otras cosas, para caracterizar las fases encadena de espinesS = 1 [38, 39] sin recurrir a un parámetro de orden que el sistema.

2.3 Información cuántica 17

En la presente sección estudiaremos las propiedades de correlaciones cuánticas en estesistema. El objetivo es caracterizar las fases en el sistemacon magnitudes de la teoríainformación cuántica. Hemos usados dos modelos para el estudio del entrelazamientocuántico en diversas particiones en los sistema estudiados. En el presente capítulo sóloanalizaremos el entrelazamiento cuántico en sistemas bipartitos en un estado puro.

El primer modelo consideramos es el caso no interactuante (estudiado en la sección1.1 del capítulo1), que consiste de una elipse aislada que contiene un número fijo deelectrones confinados.

El segundo modelo estudiado es el caso interactuante (modelo de Kondo de dosimpurezas), estudiado en la sección2.2). En este modelo se consideraron dos impurezasmagnéticas localizadas en los focos de la elipse, las cualesinteractúan con los electronesitinerantes en la elipse vía un un término de superintercambio J (ver [26, 27, 28, 29, 30]).Posteriormente, analizamos el entrelazamiento cuántico entre dos partes del sistema. Paraello calculamos la entropía de von Neumann [40] (ver apéndiceA.1) en un sistemabipartito (partición del sistema en dos partesA y B). Las particiones realizadas fueron:

a) A lo largo del eje menor de la elipse, quedando una impureza como el sistemaA yla otra como sistemaB.

b) Las dos impurezas como un sistema (A) y los estados electrónicos en la elipse comoel segundo sistema (B).

c) En el espacio de energía, considerando como sistemaA a los estados de una partículade la elipse hasta el nivel de Fermi incluyendo a las dos impurezas, y como sistemaB losestados excitados.

2.3.1. Caso no interactuante

En esta subsección, estudiaremos el entrelazamiento cuántico en el modelo analizadoen la sección1.1, al que le aplicaremos un potencial local en el focoe1. El hamiltonianodel sistema está dado por la ecuación (1.1) más un términoH′ = e1c+1c1, dondec1 es eloperador de destrucción de un electrón en el foco 1. Calculamos la fidelidad (F(t)), quees una medida de la transferencia de un estado cuántico en el sistema, en un tiempo dado[25, 41]. Luego, calculamos la concurrencia (C(t)) que mide el grado de entrelazamientoentre dos estados cuánticos (para más detalle ver el apéndice A.2). También obtenemosla entropía de von Neumann (entropía cuántica, una medida del entrelazamiento paraestados puros), para una partición en el sistema. Para más detalles sobre medidas deentrelazamiento ver el apéndiceA.

Fidelidad y concurrencia

Se tiene mucha evidencia que el uso de la teoría de información permite un análisisconfiable de las propiedades físicas relevantes de sistemascuánticos de muchos cuerpos.En [42] y [43] se estudia detalladamente esa relación para diversos sistemas cuánticos.

En el pasado las cadenas de espínS = 1/2 [44, 45, 46] han sido estudiadas en detalle,ya que se piensa que podrían ser útiles como canales de comunicación cuánticos. En estos


sistemas se analiza la transferencia de un estado arbitrario desde cualquier sitio de lacadena a otro sitio alejado y miden la eficiencia de ese proceso (llamado fidelidad). En [38]usan la fidelidad para caracterizar las fases presentes en una cadena de espín, y reportanque sus resultados son satisfactorios, en comparación con la obtención del diagrama defases obtenido con otras magnitudes físicas.

Veremos qué tan eficiente es nuestro sistema como canal de comunicación cuánticoy si podemos proponer alguna aplicación práctica con este propósito. Estudiaremos latransferencia cuántica de estados (fidelidad, ver [25, 41]) en nuestro sistema. Inicialmentepreparemos el sistema at = 0 en|23〉 y al “prender” un potencial local en un foco at = 0,analizaremos su evolución en el tiempo. Posteriormente analizaremos para qué tiempost , 0 recuperamos el estado inicial parcial o totalmente respecto a su imagen especular at = 0. Esto nos dirá si nuestro sistema es eficiente para tareas deinformación cuántica.

También calculamos el entrelazamiento entre dos partes de la elipse respecto de sueje menor (en este caso, obtenemos la concurrenciaC(t) [47], que es una medida delentrelazamiento para sistemas de dos niveles, llamados qubits, para más detalles verA.2).Consideramos como estado inicial el estado|23〉 (ver figura2.1, similar al del experimento[2]), a t = 0 aplicamos un potencial local negativo en el foco 1 (e1) y analizamos larespuesta temporal del sistema.

Definimos la fidelidad como [48]:

F1(t) = |〈 Rψ0|U(t)|ψ0〉| = |〈ψ0|R†U(t)|ψ0〉|, (2.12)

dondeR es el operador reflexión con respecto del eje menor de la elipse, U(t) = e−iHt esel operador evolución de tiempo del hamiltonianoHpert = Hel+H′, Hel es el hamiltonianode la elipse no interactuante sin potenciales locales (ecuación (1.1)), H′ = e1c+1c1 esel hamitoniano de la perturbación locale1 en un foco,c1 y c+1 son los operadoresde destrucción y de creación de un electrón en el foco 1 respectivamente. Además|ψ0(t=0)〉= |23〉 es el autoestado número 23 de la elipse no interactuante cone1 = 0.

Definimos la concurrencia en el sistema con simetría de reflexión como [48, 49]:

C(t) =∑

j

|ψ( j, t)||Rψ( j, t)| (2.13)

dondeψ( j, t) es la función de onda evolucionada conHpert = Hel + H′ y proyectada en elsitio j en la elipse.

En la figura2.8mostramos la fidelidad y la concurrencia para este sistema. Se observaF1(t = 0) = 1, C(t = 0) = 1. Esto se debe a que la función de onda escogidatiene simetría de reflexión con respecto del eje menor de la elipse (R|ψ23〉 = ±|ψ23〉).También encontramos que, para ningún valor det > 0, se recupera en totalidad el estadoinicial reflejado, pero sí se logra un alto overlap (∼ 0.8). Tampoco, se obtiene máximoentrelazamiento en el sistema, esto se debe a la pérdida de simetría de la función de ondaevolucionada. Las oscilaciones observadas en la fidelidad yla concurrencia se deben a quela función de onda evolucionada es una combinación principalmente de dos estados consimetría especular y con alta proyección en los focos de la elipse.


Figura 2.8: Evolución de la fidelidadF1 y la concurrenciaC, para una elipse sin impurezasdespués de aplicar un potenciale1 = −1 at = 0 en el foco 1.

Adicionalmente, estudiamos la respuesta del sistema a la adición de un electrón enun foco a t = 0 y lo destruimos en el otro foco, at , 0 para lo cual calculamosla magnitud (fidelidad definida de una forma alternativa):F2(t) = |〈ψ0|c2e−iHel tc+1 |ψ0〉|,dondec+1 , c2 son los operadores de creación y destrucción de un electrón en los focos1 y 2 respectivamente,|ψ0〉 es la función de onda de 23 partículas (spinless) yHel es elhamiltoniano no interactuante sin potenciales locales en los focos.

En la figura2.9 observamos que la fidelidadF2 tiene un comportamiento constantehastat = t0 ∼ 20 (en unidades de~/2t∗), después del cual la perturbación alcanza elsegundo foco. El tiempo de respuesta a la perturbación,t0, está relacionado semiclásica-mente al tiempo que tarda un electrón en ir del foco 1 al foco 2.También notamos uncomportamiento oscilatorio en la fidelidad.

Entropía cuántica

Adicionalmente hemos estudiado el entrelazamiento para una partición en el sistemaa lo largo del eje menor de la elipse para el caso no interactuante. Una medida importantedel entrelazamiento cuántico es la entropía de von Neumann (ver el apéndiceA.1). Elentrelazamiento cuántico entre dos sistemas cuánticosAy B (sistema bipartito de un estadopuro), se calcula comoS = −Tr(ρAlog2ρ

A) = −Tr(ρBlog2ρB), dondeρA = TrB[ρ] y

ρB = TrA[ρ] son las matrices densidades reducidas en los sistemasA y B respectivamente.La matrizρ es la matriz densidad total del sistema,ρ = |ψ〉〈ψ|, donde|ψ〉 es cualquierestado puro, por ejemplo, el estado fundamental.

Es conveniente diagonalizarρA y ρB ya que de esta forma es fácil obtener la entropíacuántica (para más detalle ver el apéndice ver el apéndiceA.1) que queda expresada como:


Figura 2.9: Fidelidad del sistema cuando se crea un electrón en un foco dela elipse at = 0 yse destruye en el otro foco at , 0.

S = −d∑

k

ωAk log2ω

Ak = −

d∑

k

ωBk log2ω

Bk (2.14)

En la expresión anteriorωA(B)k es un autovalor deρA(B) y d es la dimensión más chica

entreρA y ρB. Una propiedad importante de la matriz densidad esTr[ρ] = 1 con lo cualtenemos:

∑dk ω

Ak =

∑dk ω

Bk = 1. En el caso queωA

k = ωBk = 1, para algúnk se tieneS = 0,

con lo cual, podemos escribir a|ψ〉 como un producto directo de un estado deA y de Brespectivamente:|ψ〉 = |ΦA〉⊗|ΦB〉, |ΦA(B)〉 es un estado en el subsistemaA(B). Lo anterior,S = 0 es un criterio de separabilidad para estados puros, y diremos que un estado|ψ〉 esno separable cuandoS , 0.

En las figuras2.10 y 2.11 mostramos resultados del entrelazamiento para una y 23partículas respectivamente, para una partición a lo largo del eje menor de la elipse, y conun potencial local aplicado en un focoe1 (en el lado izquierdo de la elipse, respecto a sueje menor). Consideramos una bipartición en el sistema, donde A corresponde a la parteizquierda de la elipse respecto a su eje menor e incluye los sitios localizados incluso en eleje menor y el sistemaB corresponde al lado derecho de la elipse.

En la figura2.10mostramos resultados para el estado fundamental de una partícula.La matriz densidad reducidaρA(B) tiene dos autovaloresω1 y ω2 en función dee1. Usandolas expresiones de la ecuación (A.4) del apéndiceA.1.1para reescribirρA y ρB (referido ala descomposición de Schmidt), notamos que lo anterior se debe que hay una probabilidadPA =

√ω1 de encontrar a la partícula en el sistemaA (lado izquierdo de la elipse) y una

probabilidadPB =√ω2 de encontrarla enB (lado derecho de la elipse). Parae1 = 0

(sistema sin perturbar) y una partícula, los dos autovalores difieren ligeramente, como sepuede observar en la figura2.10(panel izquierdo). Esto se debe, a que el sistemaA tienemás estados que elB (la función de onda escogida tiene peso a lo largo del eje menor de


la elipse). Si la función de onda presentara un nodo a lo largodel eje menor de la elipse,entonces los dos autovalores sería igualesω1 = ω2. Observamos que, ante el incremento de|e1|, un autovalor empieza a aumentar (aumenta la probabilidad de encontrar a la partículaen el sistemaA). Esto quiere decir, que la partícula empieza a localizarse, en el ladode la elipse donde está ubicadoe1 (sistemaA). Por lo tanto, disminuye la probabilidadde encontrarlo en el sistemaB. Esto se ve reflejado en la entropía de von Neumann delsistema, tal como se observa en la figura2.10(panel derecho) donde la entropía empieza adisminuir hasta acercarse a cero, con el aumento de|e1|. En este límite (|e1| ≥ 2t∗), el estadoes separable y es un producto directo de un estado ocupado enA, por un estado vacío enB, y se expresa:|ψ0〉 = |A〉 ⊗ |ΦB〉, donde|A〉 es un estado del sistemaA con probabilidad1 y |ΦB〉 es el estado vacío del sistemaB. Esto quiere decir que no hay entrelazamientoentre los sistemasA y B en el estado fundamental, para valores de|e1| grandes (estadoseparable).

Figura 2.10:Panel izquierdo: los dos autovalores (i = 1, 2) deρA, ρB en el estado fundamental,para una partícula y para un potencial local en un focoe1. Los autovalores representan laprobabilidad de encontrar a la partícula en el sistemaA (curva superior) o en el sistemaB (curva inferior). La línea de puntos muestra el valor de 0.5, que representa máximoentrelazamiento en el sistema. Panel derecho: entropía cuántica S en función del potenciallocal e1. Para valores de|e1| grandes, los sistemasA y B no están entrelazados (estadosseparables).

Por otro lado, estudiamos el caso con 23 partículas (spinless) en la elipse con unpotencial locale1 aplicado en un foco (figura2.11). En este caso, la entropía cuántica secalcula como la suma de la entropía de todos los estados de unapartícula hasta el estado23. Esto es porque el sistema es no interactuante, y el estadofundamental es un productode estados de una partícula hasta el nivel de Fermi). Para valores de|e1| chicos, la entropíaes muy cercana a su valor máximo (Smax = 23). Para valores de|e1| grandes, solamentecontribuyen 22 estados, dado que la entropía del primer estado de la elipse es cero.


Figura 2.11: Entropía cuántica en función del potencial local en un focoe1 con 23 partículasen la elipse. El mínimo en la entropía se debe a un cruce de niveles parae1 ≈ −1.

2.3.2. Caso interactuante

En esta parte analizamos las propiedades cuánticas en la elipse desde el punto devista de la información cuántica para el caso de dos impurezas magnéticas localizadasen los focos (espínS = 1/2), interactuantes con los electrones confinados en la elipsevía un término de superintercambio. Este modelo fue estudiado en la sección2.2, dondeanalizamos las correlaciones estáticas y dinámicas. Con elfin de caracterizar los regímenesKondo y RKKY, estudiamos el entrelazamiento para diversas biparticiones al sistema.

Partición 1: a lo largo del eje menor

Una partición al sistema fue realizada respecto del eje menor de la elipse quedandouna impureza en el sistemaA (lado izquierdo de la elipse), y la otra enB (lado derechode la elipse). En la figura2.12se observa la representación de tal partición. El espacio deHilbert es el mismo paraA y B. Obtuvimos la matriz densidad reducida en los sistemasA y B en el estado fundamental del hamiltonianoH (ecuación (2.1)) y diagonalizamosρA

(ρB) para diferentes números de niveles y de electrones en la elipse (llenado par y impar).

En las figuras2.13a) y b) observamos los autovalores deρA (ρB) en función deJ para4 niveles, 4 partículas y 6 niveles, 6 partículas respectivamente. Notamos que el número deautovalores deρ diferentes de cero aumenta conJ y con el número de niveles y partículasconsiderados en la elipse. Esto quiere decir que se entrelazan muchos estados al aumentarJ. Este comportamiento es un poco anti-intuitivo ya que pensamos que, para valores deJgrandes, se formaría un estado singlete alrededor de cada impureza (de cada foco), y elestado fundamental sería un producto directo de estos dos estados. Sin embargo el aumentode J hace que se involucre una mayor cantidad de niveles electrónicos en la elipse lo queda lugar a un aumento de la entropía (y por ende del entrelazamiento cuántico) entreA yB.


Figura 2.12: Representación de la bipartición a lo largo del eje menor de la elipse con unaimpureza en cada subsistema. También está representada la interacción en el sistema. Losespines localizados en los focos están representados porS1 y S2 y los espines de los electroneslocalizados en los focos porσi , i = 1, 2.

Figura 2.13:Autovalores de la matriz densidad reducidaρA en función del índice del autovalori para 4 niveles y 4 partículas en la elipse (panel izquierdo) ypara 6 niveles y 6 partículas enla elipse (panel derecho) y valores deJ = 0.1; 1; 3; 10. En ambos casos, la distribución de losautovalores se ensancha con el incremento deJ.


Figura 2.14: Autovalores de la matriz densidad reducidaρA para 4 niveles y 5 electrones(panel izquierdo) y para 6 niveles y 9 partículas en el sistema. Para este caso, la distribuciónde los autovalores es más extendida lo que implica una mayor entropía cuántica que en el casode llenado par.

Figura 2.15:Diferencia de entropías de von Neumann en función deJ entre el caso del sistemacon y sin impurezas (S−S(J = 0)) para los mismos parámetros que en las figuras2.13y 2.14.

Para número impar de electrones, el comportamiento de los autovalores deρA (ρB) esparecido al caso par, como se observa en la figura2.14. En este caso, también, se observaun ensanchamiento en la distribución de los autovalores deρA, con el aumento deJ.

En la figura2.15, observamos la entropía de von NeumannS, en los sistemasA yB. Ésta aumenta con el valorJ y con el número de niveles y partículas en la elipse. Elcomportamiento de la entropía no muestra “efecto de tamaño”apreciable en función deJ.Para llenado impar, la entropía cuántica es mayor que el casode llenado par. Esto se debe


a que, para llenado impar, el sistema tiene más grados de libertad involucrados (tiene máspartículas), lo cual se ve reflejado en la entropía cuántica.

Partición 2: separación de los espines de los estados de la elipse

Es importante conocer el entrelazamiento entre los espineslocalizados y los estadoselectrónicos, lo cual es un estudio complementario al de lascorrelaciones estáticas de espín(estudiadas en la subsección2.2.1). La bipartición consiste en los espines localizados enlos focos constituyendo el sistemaA, y los estados electrónicos en el sistemaB. En la figura2.16, observamos una representación gráfica de la partición estudiada, con los impurezasen el sistemaA y lo restante en el sistemaB.

CalculamosρA (ρB) y la entropía cuántica en función deJ para diferentes niveles yllenados en la elipse (ver figura2.17). Para número par de electrones y para valores chicosde J, los espines localizados forman un estado singlete en el estado fundamental deH(ecuación (2.1)) tal como lo muestran los resultados de la subsección2.2.1. Esto se vereflejado en la entropía cuántica que, para valores de chicosJ, es cercana a cero. Estoquiere decir que el sistema es separable y puede expresarse como producto de un estadodeA y otro deB. En cambio, para valores deJ grandes, la entropía aumenta y converge aS = log24 = 2. Esto se debe a que tenemos 4 estados posibles en el sistemaA (B1 = {| ↑↑〉,| ↑↓〉, | ↓↑〉, | ↓↓〉}), los cuales se mezclan con igual probabilidad, para valores deJ grandes.

Figura 2.16: Representación de la partición en el sistema agrupando los espines localizadosen el sistemaA y estados electrónicos enB.

Por otro lado, para llenado impar en la elipse, la entropía cuántica tiene un compor-tamiento diferente al caso par para valores chicos deJ. El valor de la entropía cuánticaes S = log22 = 1, para valores deJ cercanos a cero. Esto se debe, a que el estadofundamental tiene dos estados fuertemente entrelazados (2estados tripletes entre lasimpurezas magnéticas, debido a escogimos el subespacio conSz

T = −1/2, para númeroimpar de partículas). En cambio, para valores grandes deJ tiene el mismo comportamiento


Figura 2.17: Entropía de von Neumann en función deJ para diversos llenados en el sistemapara la partición 2. El incremento de la entropía conJ es claramente observado. Esto refleja elincremento del entrelazamiento de los espines con los estados electrónicos con el aumento deJ.

que el caso de llenado par, en ese límite. En este caso, la entropía tiende aS = log24 = 2;los cuatro estados que conforman la baseB1 en el sistemaA se mezclan con igualprobabilidad.

Partición 3: en el espacio de la energía

Finalmente realizamos una última partición en el sistema, el cual consiste en unabipartición en el espacio de la energía. La bipartición consiste en agrupar los estados nointeractuantes hasta el nivel de Fermi más las dos impurezasmagnéticas en el sistemaA, ylos estados no interactuantes desocupados en el sistemaB. En la figura2.18, observamos larepresentación gráfica de la partición. Esta partición nos dará evidencia de la participaciónde los estados vacíos ante el incremento deJ.

Figura 2.18: Representación de la partición del sistema en el espacio de energías.

2.4 Conclusiones 27

La entropía cuántica en este caso aumenta conJ. Para valores chicos deJ, la entropíaes aproximadamente cero (figura2.19). Esto se debe a que, para valores chicos deJ,tenemos estados llenos hasta el nivel de Fermi, con un estadosinglete entre las impurezasmagnéticas, el cual está desacoplado de los estados electrónicos en el estado fundamental.Esto quiere decir que la función de onda puede escribirse como producto directo de unestado singlete entre las impurezas (A) y un estado correspondiente a la parte electrónicallena hastaEF . Los estados por encima del nivel de Fermi no participan en forma relevanteen el entrelazamiento.

Figura 2.19: Entropía de von Neumann en función deJ para la partición 3 en el espacio deenergías.

En cambio, para valores grandes deJ, se observa que la entropía depende ligeramentedel número de niveles considerados en la elipse, y se observaun ligero aumento con elnúmero de niveles y partículas consideradas. Esto quiere decir, que los estados por encimadel nivel de Fermi son importantes ante el aumento deJ.

2.4. Conclusiones

Hemos estudiado las propiedades estáticas y dinámicas de uncorral elíptico, con unapared dura. Para el caso no interactuante obtuvimos los autoestados de la elipse a bajasenergías.

Por otro lado hemos estudiado el caso interactuante, donde dos impurezas magnéticaslocalizadas en los focos de la elipse interactúan vía un término de superintercambioJcon los electrones itinerantes. Encontramos diferentes comportamientos para llenado pare impar en la elipse.

Para llenado par y valores chicos deJ, ambas impurezas se encuentran en un estadosinglete en el estado fundamental, y en un estado triplete enel primer excitado. En este


caso, el sistema puede ser modelado por dos espines interactuantes vía una interacciónefectiva de carácter antiferromagnéticaJe f f. Por lo tanto podemos escribir un hamiltonianoefectivo para las impurezasHe f f = Je f f ~S1. ~S2, dondeJe f f = ∆s, y ∆s es el gap de espín enel sistema.

Una característica importante aparece al analizar las funciones de correlación de espíncon el aumento deJ. Las funciones de correlación de espín entre las impurezas,〈 ~S1. ~S2〉y entre una impureza en un sitio y el espín local de los electrones,〈 ~S1. ~σ1〉, permitencaracterizar la transición del régimen RKKY al régimen Kondo al aumentarJ. Dichascorrelaciones tienen un comportamiento opuesto conJ. Para valores grandes deJ lasimpurezas interactúan fuertemente con los espines de los electrones locales. Y en el límitetermodinámico se formaría un estado singlete local alrededor de cada impureza indicandoel régimen de Kondo. En cambio, para valores chicos deJ, las impurezas interactúanfuertemente entre sí, dando lugar al régimen de RKKY.

Para número impar de electrones, la interacción efectiva entre las impurezas esferromagnética en el estado fundamental. Esto sugiere que,experimentalmente, estainteracción podría ser controlada al cambiar el potencial químico en el sistema (porejemplo yendo de llenado par a impar, la interacción efectiva entre las impurezas cambiade AFM a FM, en el estado fundamental).

Si bien hemos despreciado la interacción con otros grados delibertad u otrosdecaimientos en el sistema, en este tipo de corrales cuánticos la interacción entre espineslocalizados en los focos puede ser robusta (distancias típicas entre espines son del ordende 10nm y con un gap de espín del orden de 10−5eV [26, 27], obtenido con parámetrosrealistas). Por lo tanto, estos sistemas son excelentes candidatos para aplicaciones eninformación cuántica [25], donde al poder contar con un sistema con dos estados biendiferenciados de espín que se puede determinar arbitrariamente. Estos se encuentranmáximamente entrelazados a pesar de encontrarse a una distancia mucho mayor que elparámetro de red del Cu(111).

Hemos analizado algunas magnitudes relacionadas con la Teoría de InformaciónCuántica (fidelidad, concurrencia y entropía de von Neumann) para diversas particionesen el sistema en el estado fundamental. Estas medidas ofrecen perspectivas alternativaspara estudiar sistemas cuánticos fuertemente correlacionados.

.

Para el caso no interactuante estudiamos el entrelazamiento entre dos partes del sistemay una perturbación local en un focoe1 (e1 < 0), particionando a la elipse a lo largo de su ejemenor. La entropía de von Neumann es una buena medida del entrelazamiento en sistemasbipartitos puros. Se puede capturar con la entropía cuántica el efecto de localización deun electrón en el foco 1 al aumentar|e1| y con una partícula en el sistema. En este caso laentropía cuántica es cero, indicando que el sistema es separable (debido a la localizacióndel electrón en un subsistema).

2.4 Conclusiones 29

En el caso interactuante, realizamos una partición en la elipse a lo largo de su eje menor(con una impureza en cada sistemaA y B) y encontramos que la entropía cuántica aumentacon el término de superintercambioJ. Otra partición considerada, fue incluir a los espineslocalizados en el sistemaA y los electrones itinerantes en el sistemaB. Para el caso par,observamos que la entropía cuántica tiende a cero con valores chicos deJ y aumenta conJ hasta que satura enlog24 = 2. Esto se debe a que, paraJ chicos, los espines localizadosy los estados electrónicos están desacoplados, y se mezclanaumentandoJ. Encontramosun comportamiento similar para número impar de partículas,sólo que paraJ chicos laentropía eslog22 = 1, debido a que las impurezas están en una mezcla de dos estadostripletes. Para valores grandes deJ tiene el mismo comportamiento que para el caso dellenado par.

La última partición realizada fue en el espacio de energías.La partición consiste enestados hasta el nivel de Fermi más las impurezas magnéticasformando el sistemaA yestados por encima del nivel de Fermi conformando el sistemaB. La entropía cuánticaaumenta conJ y con el número de niveles|α〉 considerados en el sistema, tanto parallenado par como impar.

Las impurezas de espínS = 1/2 en los focos tienen proyecciónz de espín±1/2,y cada una es equivalente a un sistema de dos niveles, llamados qubits en teoría dela información. Recordamos que en computación clásica las unidades para transmitir oguardar información son los bits. Los estados de las impurezas en el corral son robustosante perturbaciones, y para valores chicos del parámetro decontrolJ, estas se encuentranfuertemente entrelazadas para llenado par, incluso para llenado impar hay entrelazamientofinito. La existencia de entrelazamiento cuántico entre ellas hace posible que éstas puedanser definidas como qubits robustos y ser usadas para guardar información.

Capítulo 3

Modelo de Anderson con dos impurezasen un corral elíptico

3.1. Introducción

Un fenómeno muy estudiado en la física de materia condensadaes el efecto Kondo[4]. Este fenómeno físico es originado cuando una impureza magnética está inmersa enun material no magnético metálico. Los electrones de conducción del material alineansu espines de tal forma que apantallan el espín de la impurezamagnética a temperaturasmenores que la escala de energía relevante en el sistema (temperatura de Kondo) y seforma un estado singlete entre los electrones de conduccióny la impureza magnética.Cabe resaltar que el efecto Kondo fue estudiado experimentalmente en átomos adsorbidosy en superficies abiertas de Ag y Au(111) en los trabajos [50, 51] (dichos trabajosfueron realizados casi simultáneamente). Ellos observaron el efecto Kondo sobre átomosmagnéticos absorbidos y aislados (Ce y Co) sobre superficiesde metales nobles y en [51]pudieron caracterizar la temperatura de Kondo y reportaronque era mucho menor que elcaso de 3D (tri-dimensional).

Con estos antecedentes, Manoharan y colaboradores observaron física novedosa encorrales cuánticos [2]. En ese trabajo experimental, ellos construyeron corrales elípticoscon paredes de átomos de cobalto y diferentes excentricidades (para ver detalles técnicossobre la construcción de corrales ver [23]). Observaron que, al colocar un átomo decobalto (magnético) en un foco del corral, se originaba el efecto Kondo en dicho foco[4], y también observaron el efecto Kondo en el foco sin impureza. Dicho fenómenoes debido al proceso de focalización de la elipse que fue llamado espejismo cuántico.Esta observación experimental motivó muchos estudios teóricos del espejismo cuántico[7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16] (ver capítulo1 para un descripción más detallada).

En otros trabajos anteriores [7, 11] estudiaron el espejismo cuántico (una impureza enel foco de un corral elíptico) en función del tamaño del corral, para el nivel de Fermi fijo.Ellos estudiaron teóricamente la densidad local de estadosde los electrones en el nivel deFermi, al modicar el tamaño de la elipse con la excentricidadfija enǫ = 0.5 y reportaronun comportamiento oscilatorio de dicha propiedad física con el tamaño de la elipse.

32 Modelo de Anderson con dos impurezas en un corral elíptico

En los trabajos teóricos [15, 16], los autores reportaron, a partir de cálculos sobreespejismos cuántico, que dos impurezas magnéticas localizadas en el focos podríaninteractuar fuertementemente entre sí, a pesar que éstas seencuentran a distancias delorden de 50 veces la distancia interatómica. Luego, en un trabajo teórico realizado en [17]estudiaron dos impurezas magnéticas colocadas en los focosde un corral elíptico usandocálculos ab initio (de primeros principios). Estudiaron lainteracción entre impurezas delmismo tipo en un corral así como en una superficie abierta analizando el efecto del corralen la interacción entre las impurezas. Reportaron que la interacción entre las mismas seveía magnificada en el corral.

En [8] estudiaron dos impurezas en los focos con el modelo de Anderson, observaron elpico de Kondo y un pico adicional (en el régimen deU grande), e hicieron comparacionescon el efecto Kondo de una sola impureza. Un experimento interesante fue realizado en[52] donde se observa que en dímeros de átomos de Co adsorbidos sobre una superficiede un metal noble (distancia entre átomos del orden de la separación atómica del metalnoble) el efecto Kondo local en cada impureza desaparece.

El problema de dos impurezas de Kondo ha sido extensamente estudiado (en bulk), congrupo de renormalización en [53], donde encuentran una competencia entre dos escalasde energía en el sistema: la energía de Kondo (referido al de una sola impureza), y lainteracción efectiva de RKKY,JRKKY. Debido a la competencia entre el orden magnéticoy el efecto Kondo se origina un punto fijo inestable [53]. En otro trabajo teórico en[54], estudiaron el problema de dos impurezas de Anderson en el bulk, con teoría deperturbaciones, donde reportaron una relación entre el ancho y la magnitud del picoen el nivel de Fermi en la densidad espectral de una impureza con la distancia entrelas impurezas. En [55] estudiaron experimentalmente la dependencia de la interacciónRKKY, para dos impurezas magnéticas adsorbidas sobre un metal noble, en función de laseparación de las mismas con el objetivo de estudiar el efecto de la interacción RKKY enlas propiedades del sistema [55].

En trabajos anteriores [26, 27, 28, 29, 30], analizamos el modelo de Kondo dedos impurezas (con grados de libertad de espín solamente), ypudimos caracterizar dosregímenes, cuando el sistema se encuentra en la fase RKKY y enla fase Kondo en funciónde una interacción de superintercambio entre las impurezasy la densidad de electronesconfinados en un corral elíptico.

Teniendo en cuenta el estudio previo de los trabajos anteriores mencionados condos impurezas, nos preguntamos qué sucede con la competencia entre la interacciónRKKY entre las impurezas y la energía de Kondo en el sistema; en particular si estánpresentes las fluctuaciones de carga en el sistema que son tenidas en cuenta al considerarel modelo de Anderson para dos impurezas. Para lograr nuestros objetivos, estudiamos lascorrelaciones estáticas y dinámicas de espín, para el modelo de dos impurezas de Andersonlocalizadas, en los focos de un corral cuántico elíptico. Enmás detalle, analizamos lasfunciones de correlación de espín tanto entre las impurezaslocalizadas en los focos yentre cada impureza con los electrones itinerantes en función de su energía de sitioEd y

3.2 Modelo de Anderson de dos impurezas 33

la hibridización con los electrones de la elipseV. Posteriormente, obtenemos el diagramade fases que caracteriza la transición continua entre los regímenes presentes en el sistema(RKKY ⇐⇒ Kondo). Para valores grandes deV y de Ed (comparables con el ancho debanda del sistema) las impurezas forman un singlete local y están descorrelacionadas entresí, mientras que para valores chicos de la hibridización, las impurezas están fuertementeentrelazadas entre sí, y una consecuencia es que el efecto Kondo desaparece en el sistema.Adicionalmente, analizamos la correlación de espín entre las impurezas localizadas en losfocos en función del nivel de Fermi, para algunos valores fijos deEd y V, con el objetivode entender el efecto del nivel de Fermi en las propiedades del sistema.

Con el fin de comparar con resultados experimentales consideramos el sistema dela elipse acoplado a un baño electrónico con densidad de estados constante. Con estotratamos de simplificar la interacción de las impurezas y de los electrones confinados conlos estados del bulk, y otros procesos físicos en el sistema.Una propiedad dinámica delsistema es la densidad local de estados de las impurezas y de los electrones. Estudiamostambién comportamientos característicos de esta propiedad en cada fase del sistema.

Con el afán de comparar con resultados experimentales [55] consideramos unainteracción adicional y directa entre las impurezas,Js. Analizamos el gap de espín y lacorrelación entre las impurezas en función deJs, y observamos la transición de la faseantiferromágnetica (AFM) a la ferromágnetica (FM) en función deJs. Estos resultadostambién fueron observados en nuestros cálculos de la densidad local electrónica en losfocos del corral, lo que nos da una herramienta experimentalpara detectar el estadomagnético de las impurezas.

La estructura del presente capítulo es la siguiente: en la sección 3.2 describimos elmodelo de Anderson de dos impurezas. En la subsección3.2.1mostramos el estudio delas propiedades estáticas de las impurezas localizadas en los focos, y de los electronesitinerantes en la elipse. En la subsección3.2.2, estudiamos las propiedades estáticas enfunción del nivel de Fermi y también estudiamos con teoría deperturbaciones el papel quejuega la paridad de los estados electrónicos en las propiedades del sistema en el estadofundamental. En3.2.3estudiamos las propiedades dinámicas calculando la densidad localde estados. En la sección3.3 analizamos las transiciones de fase posibles en el sistemacuando las impurezas interactúan entre sí, vía un término magnético Js. En la últimasección3.4, mostramos las conclusiones relevantes del trabajo.

3.2. Modelo de Anderson de dos impurezas

En el capítulo2 estudiamos dos impurezas de Kondo localizadas en los focos de uncorral elíptico, las cuales interactúan vía un término de superintercambioJ (AFM), con loselectrones itinerantes en la elipse [56]. Analizamos las funciones de correlación estáticasy dinámicas de espín entre las impurezas y con los electronesen la elipse. Con estascorrelaciones pudimos caracterizar la transición RKKY-Kondo sin considerar el efecto delas fluctuaciones de carga en el sistema [4]. Para estudiar dicho efecto, estudiaremos en


este capítulo el modelo de Anderson, ampliamente estudiadoen física del estado sólido(para más detalles ver [4]).

En esta sección estudiamos dos impurezas de Anderson localizadas en los focos de uncorral elíptico interactuantes con los electrones confinados en el sistema vía un términode hibridizaciónV1 = V2 = V (Vi es la hibridización de los electrones con la impureza enel foco i), donde modelamos a los electrones en la elipse como un gas bidimensional. Eneste modelo la energía de un nivel de la impureza en el focoi esEd,i (por simplificación,consideramosEd,1 = Ed,2 = Ed); los electrones en los niveles de las impurezas tambiénexperimentan una repulsión coulombianaUi en el focoi (consideramosU1 = U2 = U). Elsistema está descripto por el hamiltonianoHA:

HA = Hel +∑

iσ

V(c+iσdiσ + d+iσciσ) + U∑

i

d+i↑di↑d+i↓di↓ + Ed

∑

i,σ

d+iσdiσ, (3.1)

donde:ciσ =

∑

α

ψαicασ, , (3.2)

ciσ es el operador local de destrucción fermiónico en el focoi (i = 1, 2), con espínσ,ψαi es la proyección del autoestado de la elipse|α〉 sin impurezas en el focoi, cασ es eloperador de destrucción de un electrón en el estado|α〉 con espínσ y diσ es el operador dedestrucción de un electrón en el nivel de la impureza en el foco i de la elipse con un dadoespínσ. La energía de los electrones itinerantes en la elipse sin impurezas está consideradaen el hamiltonianoHel (estudiado anteriormente, ver ecuación (1.1)). Por simplificacióndel modelo consideramosEd ≈ EF − U/2 (caso casi simétrico). La unidad de energíaconsiderada es 2t∗ (elemento de hopping entre sitios vecinos en la elipse sin impurezas, versección1.1del capítulo2). EF es la energía del nivel de Fermi en la elipse sin impurezas.

El espacio de parámetros (V,Ed,EF,D, dondeD es el ancho de banda de los electronesen la elipse) definirá los diversos regímenes en el sistema. No estamos interesados en elrégimen de valencia intermedia [4] (los niveles de la impureza están dentro del ancho debanda de los electrones), con lo cual elegimosEF−Ed > D/2 (los niveles de las impurezasestán fuera de la banda). Éste es el límite de Kondo para el quetenemos un electrón en elnivel de la impureza cuandoV → 0. El ancho de banda de los electrones confinados en laelipse está definida por los niveles considerados, siendoD ≈ 0.25.

El hamiltoniano de dos impurezas de Anderson dado por la ecuación (3.1), parael límite de U >> D, se puede expresar en un hamiltoniano de Kondo usando latransformación de Schrieffer-Wolff [57] (ecuación (2.1)). La derivación de la relaciónde parámetros entre modelos es sencilla de obtener (por ejemplo ver [4]). Para el casode una impureza se puede expresarJ (interacción de intercambio) de la forma:J =

U |V|2(U+Ed−EF )(EF−Ed) . Para el caso simétrico (EF − Ed = U/2) la expresión queda simplificadade la forma:

J =2|V|2

EF − Ed=

4|V|2

U. (3.3)

Para estudiar las propiedades de nuestro sistema, obtuvimos numéricamente el estadofundamental|γ0〉 de HA usando el método de Lanczos [31] (alternativamente también se


podría usar el método de Davidson [32]), para diversos llenados en la elipse (par e impar) ydiversos valores deEd y V, y consideramos hasta 10 niveles electrónicos|α〉 en el sistema.El criterio usado para la elección de estos estados|α〉 está descripto en la sección2.2 delcapítulo1. El nivel de Fermi (EF), es similar al del experimento [2].

Con las consideraciones anteriores, el nivel de Fermi en la elipse se fijó alrededor delestado|23〉 autoestado de hamiltonianoHel debido a que dicho estado tiene mucho pesoen los focos de la elipse Dependiendo del llenado, sería nivel resonante o no (para llenadoimpar el nivel de Fermi coincide con dicho estado, nivel resonante). En la figura3.1,podemos observar la densidad de probabilidad en el nivel|23〉. Las zonas claras indicanmayor densidad de probabilidad, en cambio las zonas oscurasindican baja densidad deprobabilidad de encontrar a los electrones. También, en la figura 3.1, observamos larepresentación gráfica de la interacción en la elipse. Estántambién representados losniveles localizados de las impurezas en los focos con sus respectivas energías.

Figura 3.1: Densidad de probabilidad en el autoestado|23〉 de la elipse (nivel de Fermi, similaral del experimento [2]); las zonas claras indican mayor densidad de probabilidad, y las oscurasel caso contrario. También podemos observar la representación gráfica de la interacción en elcorral elíptico con las impurezas localizadas en los focos,σi es la representación del espíndel electrón itinerante en el focoi = 1, 2. Adicionalmente, representamos los niveles de lasimpurezas con energíasEd y Ed + U. La hidridización de los electrones en la elipse con lassitios de las impurezas es representada porV.

3.2.1. Propiedades estáticas

Para un estudio detallado del sistema, necesitamos caracterizar las posibles transicio-nes en el mismo. Para eso, estudiamos la función de correlación de espín entre las dosimpurezas, y entre las impurezas y los electrones itinerantes en la elipse.

La función de correlación de espín entre las impurezas está definida como〈γ0| ~S1. ~S2|γ0〉en el estado fundamental|γ0〉, donde~S1. ~S2 = Sz

1Sz2+ (S+1S−2 +S−1S+2 )/2; S+i es el operador

de espín de subida en el focoi (S+i | ↓〉 = | ↑〉 y S−i | ↑〉 = | ↓〉). Los operadores de espín


para impurezas en el focoi se expresan en función de los operadoresdiσ (σ es el espín) dela forma:S+i = d+i↑di↓, S−i = d+i↓di↑ y Sz

i = (d+i↑di↑ − d+i↓di↓)/2.

Para el cálculo de estas funciones de correlación estamos considerando 6 nivelesrelevantes en la elipse (escogidos con el criterio estudiado en la sección anterior) y 6electrones confinados.

Figura 3.2: a) Función de correlación de espín entre las impurezas〈 ~S1. ~S2〉 en función deEd y V (caso simétrico): observamos un cambio en la concavidad de la gráfica, indicativodel cambio de régimen (RKKY-Kondo). Enb) observamos la proyección de la función decorrelación en el plano deEd y V. El llenado considerado en el sistema es par (6 electrones)y el número de niveles es 6 (el nivel de Fermi no está en resonancia). La curva de trazos y decolor rojo es un fiteo de los puntos que indican el cambio de régimen (RKKY⇐⇒ Kondo), yestá dada por la ecuación:E(∗)

d = −2.174|V∗ |2 − 1.717.

En la figura3.2a, observamos la función de correlación de espín entre las impurezas〈 ~S1. ~S2〉 en el estado fundamental|γ0〉, en función deV y Ed. En la figura3.2b observamosla proyección de la función de correlación en el plano. En color rojo indicamos el régimenKondo, en cambio color azul indica el régimen RKKY. Por consiguiente, con este resultadopodemos caracterizar la transición del régimen RKKY-Kondo, en función deV y Ed. Enel régimen RKKY (para valores chicos deV) los electrones actúan como intermediariosentre la interacción efectiva entre las impurezas, y esto correspondería a〈 ~S1. ~S2〉 cercanoal valor de−3/4 [18, 58]. En cambio en el régimen de Kondo (para valores grandes deV) los electrones apantallan el espín de cada impureza, formándose una nube de Kondoalrededor de las mismas [4]. En este caso las impurezas están descorrelacionadas. Elapantallamiento completo sucedería en el límite termodinámico, considerando todos losestados de la elipse. En cambio en nuestro caso, en el que tenemos pocos estados, es difícildefinir una temperatura de Kondo (en [12] realizan un estudio del efecto de tamaño en elrégimen de Kondo, referido al número de niveles electrónicos |α〉 de la elipse considerado


en la diagonalización deHA). Por lo tanto podemos decir que en nuestro caso sólo tenemosevidencia que, para valores deU grandes (U >> 2t∗), las impurezas están en el régimende Kondo.

Figura 3.3: a) Función de correlación de espín entre las impurezas y los electrones itinerantesen el foco 1 de la elipse〈Sz

1.σz1〉 en función deEd y V (caso simétrico). Observamos los

regímenes RKKY y Kondo, donde el cambio de concavidad en la gráfica indica el cambio derégimen (consideramos 6 electrones y 6 niveles en la elipse). Enb) observamos la proyecciónde la función de correlación en el plano deEd y V.

El criterio que usamos para caracterizar el paso de un régimen a otro (RKKY-Kondo),es el punto de inflexión de la curva de la función de correlación de espín donde lamisma cambia de concavidad. Como en este caso el cambio de régimen es continuoes difícil usar un sólo criterio para definirlo. En nuestro caso, los regímenes Kondo yRKKY estarían separados por la franja de color amarillo en lafigura 3.2b. La curva detrazos y de color rojo corresponde al fiteo de la curva donde seproduce el cambio de unrégimen a otro (RKKY⇐⇒Kondo), para los parámetrosV y Ed. En la sección anteriorvimos la transformación de Schrieffer-Wolff entre los modelos Anderson y Kondo parados impurezas, y para el caso simétrico el término de superintercambioJ se expresó comoJ = 2|V|2

Ef −Ed, (ecuación (3.3)). Podemos fácilmente reescribir dicha ecuación de la forma:

Ed = −2J |V|

2 + EF, y comparando con la ecuación obtenida del fiteo de la curva roja atrazos en la figura3.2b (E(∗)

d = −2.174|V∗|2 − 1.717); obtenemosE∗F = −1.717 (cercanoal valor de la energía de Fermi del sistemaE f ≈ −1.8) y J∗ = 0.92. Este último valor esestimativo y es del orden del valor deJ obtenido en el modelo de Kondo de dos impurezas(capítulo2), para el cambio de régimen RKKY⇐⇒Kondo, tal como se observa en lafigura2.3b (capítulo2) para llenado par. El valor deJ∗ = 0.92 también puede ser obtenidocualitativamente del análisis del entrelazamiento entre las impurezas, tal como veremos enel siguiente capítulo.


Complementariamente, estudiamos la función de correlación entre una impureza y loselectrones itinerantes en el foco 1,〈Sz

1σz1〉 (para el foco 2 es equivalente), dondeσz

1 esla componentez de espín del electrón itinerante en el foco 1,σz

i = (c†i↑ci↑ − c†i↓ci↓)/2, yciσ =

∑α ψαicασ, i = 1, 2 (dichos términos están definidos en la sección3.2).

En la figura3.3 observamos〈Sz1σ

z1〉 en función deEd y V y con proyección en el

plano. Apreciamos dos regímenes diferentes correspondientes al régimen RKKY (rojo)para valores deV chicos y régimen Kondo paraU grandes (azul). Para valores chicos deV (V << t∗ y Ed > V2), los electrones están descorrelacionados de las impurezas. Encambio en el caso contrario (V ∼ t∗) los electrones están fuertemente correlacionados conlas impurezas, tratando de apantallar sus espines y formar un estado singlete (Kondo).Observamos que la función de correlación de espín para valores de|Ed| chicos no es−3/4 (correspondiente al valor del estado singlete). Esto se debe a que tenemos efectode tamaño en el sistema (no estamos considerando todos los niveles de la elipse, sino losmás relevantes). Es importante resaltar el comportamientoopuesto entre las correlaciones〈 ~S1. ~S2〉 y 〈Sz

1.σz1〉 en el espacio de parámetros de estudio del problema de dos impurezas

de Anderson.

3.2.2. Propiedades estáticas en función del nivel de Fermi

En los trabajos teóricos [7, 11], estudiaron cómo afecta el cambio de tamaño de uncorral elíptico al espejismo cuántico (una impureza en el corral), manteniendo fija laexcentricidad de la elipseǫ = 0.5, y fijando también el nivel de Fermi. En esta subsecciónanalizamos el efecto del nivel de Fermi en las propiedades estáticas del sistema (referidoal llenado). Para responder a esa pregunta estudiamos la función de correlación de espínentre las impurezas, localizadas en los focos de la elipse〈 ~S1. ~S2〉, en función del nivelde referenciaNR (NR está referido al último nivel lleno de estados de una partícula dela elipse contando a partir del estado de más baja energía, para V → 0). Consideramosla componentez de espín totalSz

T = 0 y 1/2 para llenado par e impar respectivamente,Ed = −3, y diversos valores deV. Con esto también podemos analizar lo que sucede en elrégimen RKKY⇐⇒Kondo, al cambiar elEF.

En la figura3.4, observamos la correlación〈 ~S1. ~S2〉 en función deNR para V =

0.5 (régimen RKKY) y V = 0.8; 1.0; 1.5 (régimen Kondo), y para todos los casos,consideramosEd = −3. El comportamiento de〈 ~S1. ~S2〉 es oscilatorio. Notamos que para unvalor deV = 0.5, hay picos grandes en la correlación paraNR = 17 y 22. En ambos casos seobserva un cambio de un singlete a un triplete entre las impurezas (cambia la interacciónefectiva entre las impurezas de AFM a FM). Adicionalmente, también observamos unapequeña subida en la correlación en el nivel 28. Para otros valores deV, se observa uncomportamiento similar al caso anterior.

Estos resultados nos llevarían a suponer que el nivel de Fermi podría ser utilizadocomo un parámetro de control con el que se podría sintonizar la interacción deseada entrelas impurezas.


Figura 3.4: Función de correlación de espín entre las impurezas en función del nivel dereferenciaNR, para diversos valores deV. Consideramos 6 electrones y 6 niveles|α〉 cercanosal nivel de Fermi y con pesos relevantes en los focos,Ed = −3 y V = 0.5; 0.8, 1.0; 1.5.

Figura 3.5: a) InteracciónEexc entre impurezas magnéticas localizadas en los focos decorrales elípticos conǫ = 0.5; 0.74 y distancias fijas entre los focos (la figura fue obtenidade la referencia [17]. Por comparación también calcularonEexc sobre una superficie abierta deCu(111). Enb hay una representación gráfica de la interacción magnética entre dos impurezasde Co, sobre una nano-isla de Cu, en la superficie (111). En la figura se observa que, almantener fija la distancia entre las impurezas, sería posible manipular la interacción magnéticaentre las mismas variando el tamaño del sistema (la figura fueobtenida de la referencia [59]).


Un resultado similar fue obtenido por Stepanyuk y colaboradores en [17]. Concálculos ab initio ellos obtuvieron la interacción de intercambioEexc entre dos impurezasmagnéticas del mismo tipo (Ti, V, Cr, Mn, Fe, Co, Ni) localizadas en los focos sobre unasuperficie de Cu(111) en un corral con paredes de átomos de Cu ycon excentricidadesǫ = 0.5; 0.74 (el nivel de Fermi es diferente paraǫ diferentes, la distancia entre los focosestá fija en ambos casos). Los valores deEexc fueron comparados con los obtenidos enuna superficie libre, y observaron que el efecto del confinamiento realzaba la interacciónentre las impurezas (ver figura3.5a). En este caso, para átomos de vanadio, la interacciónentre las impurezas y una superficie libre es FM (Eexc < 0); dicha interacción es realzadapor el efecto de confinamiento del corral y cambia a AFM (Eexc > 0), paraǫ = 0.5. Estoindicaría que, al cambiar el nivel de Fermi como consecuencia de la variación deǫ, cambiala interacción magnética entre las impurezas. En la figura3.5a, también podemos observarotros valores de la interacción magnética para diversos tipos átomos localizados en losfocos.

En [59] obtuvieron, con cálculos ab initio, la interacción magnética entre dosimpurezas de Co sobre la superficie de la nanoislas de Cu. Las nanoislas tienenforma hexagonal y diversos tamaños (R = 20A, 36A y 40A, dondeR es el radio dela circunferencia que circunscribe a los hexágonos). En3.5b están representadas lasnanoislas de tres tamaños diferentes. Las nanoislas tienenel mismo efecto que los corralesmencionados anteriormente (confinan estados electrónicossuperficiales desacoplados delbulk). En este caso, manteniendo las distancias entre los átomos de Co y variando eltamaño de las nanoislas, fueron capaces de manipular la interacción entre las impurezas.

En nuestro trabajo, en la figura3.4, el cambio de signo en la función de correlaciónentre las impurezas podría depender de la paridad de los niveles considerados en cadallenado, ya que al cambiar el nivel de Fermi, los niveles relevantes en la elipse también semodifican (los niveles con mucha densidad de probabilidad enlos focos de la elipse sonlos que más contribuyen en la localización del espín del electrón, ver ecuación (3.2)).

Con el objetivo de entender a qué se debe que la correlación entre las impurezas seaAFM o FM (paraV << 2t∗) estudiamos el caso donde manipulamos las paridades delos niveles de la elipse, y consideramos a todos los niveles relevantes en la elipse con lamisma paridad, y llenado par. El resultado de lo anterior, conduce a una correlación FMentre las impurezas. Esto nos impulsa a estudiar el efecto dela paridad de las estados|α〉en el sistema.

Efecto de la paridad en〈S1S2〉

En un intento por explicar el efecto de la paridad en la función de correlación entrelas impurezas, usamos teoría de perturbaciones a segundo orden [60]. Para simplificar elestudio, analizaremos el modelo de dos impurezas de Kondo estudiado en la sección2.2del capítulo2.

La corrección de la energía para el autoestado|γ0〉 del hamiltoniano no interactuanteHel (ver ecuación (2.1)) está dada por la expresión:


∆E = E − E0 =∑

m

|〈αm|H′|γ0〉|2

Eγ0 − Eαm

. (3.4)

En la expresión anterior, tenemosH′ = J(~S1 · ~σ1 + ~S2 · ~σ2), |αm〉 y Eαm corresponden a unautoestado y su respectivo autovalor deHel, E y E0 corresponden a la energía corregida ya la energía de|γ0〉 respectivamente. Un caso sencillo para calcular∆E es el caso de doselectrones y dos niveles en la elipse en el subespacioSz

T = 0 (analizamos la corrección dela energía del estado fundamental).

En este caso la base del sistema es:|1〉 = d+2↓d

+1↑c+α1↑c

+α1↓|0〉; |2〉 = d+2↑d

+1↓c+α1↑c

+α1↓|0〉; |3〉 = d+2↓d

+1↑c+α2↑c

+α2↓|0〉;

|4〉 = d+2↑d+1↓c+α2↑c

+α2↓|0〉; |5〉 = d+2↓d

+1↑c+α2↓c

+α1↑|0〉; |6〉 = d+2↑d

+1↓c+α2↓c

+α1↑|0〉;

|7〉 = d+2↓d+1↑c+α2↑c

+α1↓|0〉; |8〉 = d+2↑d

+1↓c+α2↑c

+α1↓|0〉; |9〉 = d+2↑d

+1↑c+α2↓c

+α1↓|0〉;

|10〉 = d+2↓d+1↓c+α2↑c

+α1↑|0〉.

En las expresiones anteriores,d+iσ es el operador de creación de una partícula en el sitiode la impureza en el focoi con un dado espínσ, c+αpσ

y Eαp son el operador de creaciónde un electrón y su respectivo autovalor en el autoestado|αp〉 deHel (en este caso tenemosdos niveles,p = 1, 2) y |0〉 es el estado vacío. ConsideramosEα2 > Eα1. Calculamos lacorrección a la energía para un estado singlete y triplete entre las impurezas (ambos estadosson autoestados degenerados deHel). El estado en cuestión es|γ0〉 = (|1〉 + δ|2〉)/

√2 con

δ = ±1. Paraδ = −1 el estado es un singlete y paraδ = 1 es un triplete. La corrección enenergía al estado|γ0〉 queda expresada como:

∆E(δ) =1

8(Eα1 − Eα2){(J1 − J2)

2 + (δJ1 + J2)2 + (J1 + δJ2)

2}. (3.5)

En la expresión anterior, tenemosJi = Jψα1iψα2i (i = 1, 2 referido a los focos de laelipse);ψαi es la proyección del autoestado de la elipse|α〉 sin impurezas en el focoi.Los términos de la formaψα1iψα2i vienen de aplicar el hamiltoniano de Kondo (ecuación2.1, donde los términos del hamiltoniano para la parte de los electrones están dados porla ecuación2.3) al estado|γ0〉. La corrección de la energía depende de la paridad delos estados|α〉 de Hel. Para el caso de igual paridad entre|α1〉 y |α2〉, J1 = J2 porqueJψα11ψα21 = Jψα12ψα22, la corrección a la energía para el estado singlete es∆E(−1) =

∆Es =3J2|ψα11ψα21|2

2(Eα1−Eα2) y la del triplete∆E(1) = ∆Et =J2|ψα11ψα21|2

2(Eα1−Eα2) (dondeEα1 − Eα2 < 0). Enconsecuencia el estado singlete tendrá menor energía que eltriplete.

En cambio, para diferente paridad tenemosJ1 = −J2 (Jψα11ψα21 = −Jψα12ψα22); conlo cual la corrección a la energía para el estado singlete es∆Es = 0 y la del estado triplete

∆Et =J2|ψα11ψα21|2

(Eα1−Eα2) . En este caso el estado triplete tendrá menor energía que el singlete.Con los resultados anteriores vemos que, para el caso de dos niveles con paridades

opuestas y dos electrones, el estado fundamental es un estado singlete entre las impurezas.En cambio, para dos niveles con la misma paridad y dos electrones en el sistema, el estadofundamental es un estado triplete. El caso con muchos niveles en la elipse (con proyecciónno nula en los focos) es complicado, y su generalización no esuna tarea sencilla. Si todoslos estados tuvieran la misma paridad (J1 = J2), y observando la ecuación (3.5), podríamosdecir que el estado fundamental es un triplete entre las impurezas. En cambio, si los estados


tuvieran diversas paridades, habría una competencia entretérminos similares aJ1 y J2, yno sería sencillo predecir la correlación entre las impurezas. En ese caso, tendríamos quecalcular numéricamente la corrección a la energía, y así obtener la correlación entre lasimpurezas.

3.2.3. Propiedades dinámicas

En el experimento del espejismo cuántico realizado en [2], se mide la conductanciadiferencial (dI/dV) en el foco de la elipse con impureza (átomo de Co) y en el focovacío, que es proporcional a la densidad local de estadosdI/dV ∝ LDOS [20] (localdensity of states, por sus siglas en inglés). Ellos encontraron un dip en la conductanciadiferencial, tanto en el foco con la impureza como en el foco sin la impureza (la interacciónde Kondo es la responsable de la aparición de una depresión (dip) en la densidad de estadoselectrónica). Cabe aclarar que, para resaltar el efecto Kondo, ellos restaron la conductanciadiferencial de fondo del sistema (la conductancia diferencial del corral sin impureza) yreportaron que el efecto Kondo es transmitido del foco con impureza al foco vacío laseparación entre focos es de 71.3A. En la figura3.6, se puede observar la conductanciadiferencial extraída de la referencia [2]. Con esta motivación, trataremos de analizar elefecto Kondo en nuestro sistema, estudiando la densidad local de estados electrónica enlos focos.

Figura 3.6: Conductancia diferencial,dI/dV, experimental extraída de la referencia [2].dI/dV cerca del foco izquierdo (a) y cerca del foco derecho (b). La excentricidad de la elipseesǫ = 0.5, y la distancia entre focos es 71.3A. El corral está formado por átomos de Co sobreuna superficie de Cu(111). Las líneas sólidas corresponden amedidas directamente sobre elfoco (izquierdo y derecho), y se observa el efecto Kondo. Laslíneas a trazos corresponden adI/dV medidas 5A fuera del foco correspondiente hacia el centro de la elipse (en este caso elefecto Kondo desaparece). La atenuación de la señal en el foco vacío está dado por un factor∼ 1/8 con respecto al foco con impureza.


Otra forma de caracterizar las posibles transiciones en nuestro sistema a temperaturaT = 0 es mediante el estudio de las propiedades dinámicas. Para calcular las propiedadesdinámicas en el corral elíptico con dos impurezas de Anderson, usamos diagonalizaciónexacta con el método de Lanczos [31] (alternativamente se puede usar el método deDavidson [32]) y obtenemos el estado fundamental|γ0〉 del hamiltonianoHA.

Calculamos la densidad local de estados electrónica (para una descripción másdetallada de cálculos de propiedades dinámicas ver la subsección 2.2.2 del capítulo2,o las referencias [34, 35]). Los resultados obtenidos están aproximados por funcioneslorentzianas con un ancho artificialη (son deltas paraη → 0, debido a la finitud delsistema) centradas en las energías involucradas en la dinámica, para dos impurezas deAnderson.

Las siguientes expresiones corresponden a la densidad de estados local (bandaselectrónicas llenas y vacías):

ρ j(ω) = −1π

lımη→0+

ImGj(ω + iη + E0),

ρ∗j (ω) = −1π

lımη→0+

ImG∗j (−ω + iη + E0), (3.6)

yG jσ(z) = 〈ψ0|c+jσ(z− H)−1cjσ|ψ0〉,G∗jσ(z) = 〈ψ0|cjσ(z− H)−1c+jσ|ψ0〉, (3.7)

dondeω es la energía,j = 1, 2 corresponde a los focos en la elipse,E0 es la energía delestado fundamental,G jσ y G∗jσ son las funciones de Green locales para los operadoresfermiónicoscjσ y c+jσ, y con un dado espínσ y ρ y ρ∗ corresponden a los espectros defotoemisión y fotoemisión inversa respectivamente.

En el experimento [2], las paredes de los corrales son permeables. Esto podría permitirque los electrones escapen fuera del corral o ingresen al mismo. Estos efectos producenun ensanchamiento en los niveles de la elipse (tienen un tiempo de vida media finita).En nuestro caso, con el propósito de simular el efecto del ensanchamiento de los niveles,consideramos al sistema embebido a un baño electrónico externo [8], [12], [61],[62]. Paraello consideramos a los niveles de la elipse y los sitios de las impurezas acoplados conuna hibridización de valor constanteth a un baño electrónico externo con densidad deestados constanteρe. Una representación gráfica del embebimiento de nuestro sistemaen un baño externo se muestra en la figura3.7. En este caso podemos decir que el bañoelectrónico externo representa a todas las interacciones del bulk con la elipse en una formamuy simplificada (simulando el ensanchamiento de los niveles de la elipse).

Para obtener la densidad de estados vestida (embebida), tendríamos que resolver laecuación de Dyson matricial (por ejemplo ver [12], [33]):

g = g0 + g0Tg, (3.8)

dondeg es la matriz de Green vestida (embebida, acoplada a un baño electrónico externo)y g0 es la matriz con las funcionesgαβσ0 de Green sin vestir (no embebida),T es la


perturbación, en este caso es un acoplamiento constanteth de cada impureza y de losniveles electrónicos en la elipse a un baño externo de densidad de estados constanteρe.Las matrices están representadas en la base de los niveles electrónicos de la elipse|α〉, |β〉y las impurezas.

Figura 3.7: Representación gráfica del acoplamiento (de valorth, para todos los niveles y sitiosde las impurezas) del sistema a un baño electrónico externo de densidad de estados constanteρe. La X representa a un sitio de una impureza,|α〉 es un autoestado de la elipse sin impurezasy EF es la energía en el nivel de Fermi.

Para utilizar el método del embebimiento (ecuación3.8), se requiere las funcionesde Green locales y no locales (diagonales y no diagonales en ecuación3.8). Para laslocales usamos las expresiones en la ecuación (3.7). Una forma de obtener los elementosno locales deG (no diagonales) en los operadorescασ y cβσ (α , β y representan a losestados de los electrones en la elipse y en las impurezas), esrepresentar a la función deGreen en la base de los operadores fermiónicos de los nivelesde la banda en la elipse y enlas impurezas:

gαβσ =< c+ασcβσ > + < cασc+βσ > . (3.9)

En la expresión anteriorcασ y c+ασ son los operadores de destrucción y creación de unelectrón en un autoestado de la elipse no interactuante o en un estado de las impurezas enel foco i = 1, 2 con un dado espínσ. gαβσ representa la función de Green no local en esabase. Para obtenergαβσ, realizamos un cambio de base en los operadores fermiónicos, ydefinimosAwzσ = wcασ+zc+βσ, conw y zcomplejos. La función de Green para un operadorA y su complejo conjugadoA+ se calcula como:

GA(z) = 〈ψ0|A+(z− H)−1A|ψ0〉,GA+(z) = 〈ψ0|A(z− H)−1A+|ψ0〉. (3.10)

Posteriormente, obtenemosgαβσ en función de funciones de Green diagonales (locales)del operadorAwzσ y su complejo conjugadoA+wzσ:

gαβσ =12{GA11σ+GA+11σ

−i(GA1iσ−GA+1iσ)−(1−i)(GA10σ+GA01σ)−(1+i)(GA+10σ

+GA+01σ)}. (3.11)


Con la expresión anterior, podemos acceder a las funciones de Green no localesgαβσ,para lo cual tenemos que calcular funciones de Green diagonales de la formaGAwzσ y GA+wzσ

que son obtenidas con la ecuación (3.7).

Una vez obtenidas las funciones de Green vestidas (embebidas) para los niveles dela elipse y en las impurezas calculamos la función de Green enel espacio real para loselectrones en la elipse (por ejemplo en las posicionesr y r ′):

〈r |g|r ′〉 = grr ′ =∑

α,β,σ

ψ∗α(r)ψβ(r′)gαβσ, (3.12)

dondegrr ′ es la función de Green proyectada en las posicionesr y r ′ respectivamente (g esla matriz de Green vestida),ψα(r) es el peso de la función de onda del nivel|α〉 de la elipse(sin impurezas), proyectada en la posiciónr. En este casogαβσ es la función de Greenvestida proyectada en los operadores locales y no locales correspondientes a los estadosde la elipse sin impurezas con un dado espínσ (obtenidas con la ecuación3.8).

En las figuras3.8a y 3.8b observamos la diferencia en la densidad de estadoselectrónica embebida en el focoj, ∆ρ j(ω) = ρ j(ω) − ρ(0)

j (ω), para llenado par y 6niveles en la elipse, dondeρ0

j (ω) es la densidad local de estados electrónica embebidasin impurezas, yρ j(ω) es la densidad embebida con impurezas (en este casoj = 1). Elvalor del acoplamiento de los niveles electrónicos y de los sitios de las impurezas conel baño electrónico externo esth, y es considerado constante (th = 0.2 en unidades delhopping en la elipse 2t∗). En la figura3.8a, observamos∆ρ j(ω) para diversos valores deV = 0.2; 0.5; 0.8; 1.0; 2.0 conEd = −3.0. En la figura3.8b, observamos la densidad paraEd = −5.0, con los mismos valores deV del caso anterior. En ambos casos notamos que,al aumentar el valor deV, aparece un dip en∆ρ(ω) centrado cerca del nivel de Fermi delsistema. La aparición del dip es un indicio de la transición del régimen RKKY al Kondo,similar al dip observado para una impureza de Co en el trabajoexperimental en [2] (verfigura 3.6). La diferencia entre las figuras3.8a y 3.8b es una disminución en el anchodel dip para un mismo valor deV, al aumentar|Ed|. Esto quiere decir que, al aumentar|Ed|, la temperatura de Kondo (determinada cualitativamente por el ancho del dip, que a suvez, está relacionada con el ancho del pico de Kondo en la impureza) disminuye. Ademásobservamos en la figura3.8a que el sistema alcanza el régimen Kondo para valores deVmás chicos que para el caso de la figura3.8b y esto está en concordancia con el resultadoanterior.

Por completitud en la figura3.9, mostramos∆ρ(ω) para dos valores fijos deV, enfunción deEd y observamos un comportamiento similar al de la figura3.8, donde tambiénpodemos caracterizar los regímenes, RKKY y Kondo.

En [63] estudian dos impurezas de Anderson en un doble punto cuántico, y resuelvenel hamiltoniano de Anderson usando el formalismo de bosonesesclavos en aproximaciónde campo medio. Los autores observan un desdoblamiento en elpico de Kondo, efectode la competición de las dos escalas de energía:TK (temperatura de Kondo de una sola


Figura 3.8: Densidad local de estados electrónica∆ρ j(ω) con j = 1 (llenado par), paraEd =

−3.0 (a) y Ed = −5.0 (b). Consideramos 6 niveles y 6 electrones en la elipse, conη = 0.01;th = 0.2 y ρe = 1/16 y diversos valores deV.

Figura 3.9: Densidad local de estados electrónica∆ρ j(ω) con j = 1 (llenado par), paraV = 1.0(a) y V = 1.5 (b), para diversos valores deEd. Consideramos los mismos parámetros que enla figura3.8.

3.3 Efecto de una interacción directa entre las impurezas 47

impureza) yJRKKY (interacción RKKY). En [8] observan un desdoblamiento del picode Kondo, el cual no es muy bien entendido. En [64] estudian puntos cuánticos doblesacoplados (un punto cuántico interactuante y el otro no interactuante) y reportan tambiénun desdoblamiento en el pico de Kondo. Nosotros no pudimos determinar la existencia deldesdoblamiento del pico de Kondo debido a la finitud de nuestro sistema.

Los resultados que obtuvimos estudiando las propiedades dinámicas para la transiciónde RKKY al Kondo concuerdan con los obtenidos calculando propiedades estáticas,confirmando el diagrama de fases de la figura3.2.

3.3. Efecto de una interacción directa entre las impurezas

Una forma de estudiar la competencia entre las escalas de energías RKKY y Kondo, esintroducir un término de interacción directa entre las impurezas, el cual simularía el efectode acercar las impurezas.

En esta sección estudiamos el modelo de Anderson de dos impurezas (ver sección3.2), y adicionalmente consideramos una interacción magnética Js entre las impurezas.El estudio actual está motivado en el estudio experimental realizado en [55] y en unestudio teórico realizado en [65]; en ambos trabajos utilizan los valores de la interacciónRKKY obtenidos numéricamente con cálculos ab initio en [66]. En esos trabajos estudianla competencia entre la interacción RKKY entre las impurezas (átomos de cobalto sobreCu(111)) y el efecto Kondo. Para ello consideran diversas separaciones entre las impurezasd = 2.56A, 5.12A, 7.24A, 7.68A y 8.1A. En nuestro caso, al variarJs podemos analizar lacompetencia entre la interacción RKKY y Kondo entre las impurezas inducida porJs.

En la figura3.10 observamos la representación gráfica de la interacción entre lasimpurezas de Anderson.

Figura 3.10: Representación gráfica de la interacción entre las impurezas, |α〉 = |23〉 es unnivel de la elipse sin impurezas. También están representados los espines de las impurezaslocalizadas en los focos del corral.


En nuestro caso el hamiltoniano que describe al sistema es:

H = HA + Js ~S1. ~S2, (3.13)

dondeHA es el hamiltoniano de dos impurezas de Anderson estudiado (ecuación3.1),Js es el término de magnético entre las impurezas y~Si es el operador de espín para lasimpurezas en el focoi = 1, 2 (S = 1/2).

Figura 3.11: Función de correlación de espín entre las impurezas〈 ~S1. ~S2〉 en función deJs

(a), para valores deV = 0.5 y 0.7. Las líneas de trazos representan a los ejes en la gráfica.b)Gap de espín en función deJs para los mismos valores deV que en la figuraa). En amboscasos consideramos 6 niveles en la elipse y 6 electrones.

Analizamos la función de correlación de espín entre las impurezas (figura3.11a), elgap de espín (figura3.11b) y la diferencia de la densidad de estados electrónica∆ρ j(ω) =ρ j(ω)−ρ0

j (ω) embebida en un baño electrónico externo (figuras3.12a y 3.12b), empleandoel método de embebimiento descripto en la subsección3.2.3. El estudio de las propiedadesestáticas y dinámicas se realizó en función deJs tanto de carácter FM (Js < 0) como AFM(Js > 0).

En la figura3.11a observamos que, para el valor deJs = 0, el sistema se encuentracercano al régimen RKKY paraV = 0.5 (〈S1.S2〉 ≈ −0.6), y Kondo paraV = 0.7(〈S1.S2〉 ≈ −0.2). Podemos observar que si el carácter FM de la interacción entre lasimpurezas aumenta, las impurezas se encuentran en un estadotriplete para ambos valoresde V = 0.5, 0.7. En cambio, si aumenta el carácter AFM de la interacción entre lasimpurezas, entonces éstas se encuentran en un estado del tipo singlete.

Si analizamos el gap de espín en el sistema (figura3.11b), para ambos valores deVestudiados en la figura3.11a, también observamos la transición en el sistema (FM a AFMcon el aumento deJs). ParaJs < 0 el gap de espín es cero (debido a la degeneración en elsistema), en cambio paraJs > 0 el gap de espín es diferente de cero, y satura para valoresgrandes deJs (un estado singlete entre las impurezas).

3.3 Efecto de una interacción directa entre las impurezas 49

Figura 3.12: Densidad local de estados electrónica∆ρ(ω) en función deω/2t∗, paraJs decarácter FM (a) y AFM (b). ConsideramosV = 0.7, Ed = −2.8,η = 0.01,th = 0.2 yρe = 1/16,6 niveles y 6 electrones.

También analizamos la densidad local de estados en los electrones∆ρ1(ω) = ρ1(ω) −ρ0

1(ω), paraV = 0.7 (Js = 0, en el régimen Kondo) y diversos valores deJs, FM y AFM(figura3.12a y 3.12b). En la figura3.12a observamos una disminución en la profundidaddel dip al aumentar el carácter FM deJs (pero no se destruye el efecto Kondo en elsistema). En la figura3.12b paraJs AFM observamos un cambio en el comportamiento de∆ρ(ω) ante el aumento deJs y podemos obtener un valor deJ∗s (entre 0.01 y 0.05) para elcual desaparece el efecto Kondo en el sistema. En este caso, podemos interpretar queJs

de carácter AFM es más eficaz que el de carácter FM para destruir el efecto Kondo en elsistema [67].

Cabe resaltar que, para el cálculo de la densidad local de estados, consideramos elmétodo del embebimiento estudiado en la sección anterior, ylos parámetros para elembebimiento usando los mismos parámetros.

El estudio realizado en esta sección fue realizado con el objetivo de entender lacompetencia entre la interacción RKKY (Js) y Kondo en un sistema de dos impurezasen un corral para realizar algunas comparaciones cualitativas con el experimento [55](superficie abierta). Notamos que, para un cierto valor deJs > 0, el efecto Kondo local encada impureza desaparece ([55, 52]).

Podemos concluir que, al considerar una interacción directa Js entre las impurezas,podemos acceder al régimen RKKY de carácter AFM. Observamosque una interacciónde carácter FM no destruye el efecto Kondo. En cambio sucede lo contrario con una


interacción AFM, que aumenta el carácter singlete entre lasimpurezas y se desacoplande los estados electrónicos, destruyendo el efecto Kondo decada una.

3.4. Conclusiones

Usando el modelo de Anderson simétrico analizamos dos impurezas en un corralelíptico y estudiamos las propiedades estáticas y dinámicas del sistema. Calculamos lacorrelación de espín entre las impurezas localizadas en losfocos de la elipse〈S1.S2〉,en función de diversos parámetros del sistema, la energía desitio de las impurezasEd,la hibridización con los electrones itinerantes en la elipse V y el nivel de FermiEF.También caracterizamos la transición RKKY-Kondo: en el régimen RKKY las impurezasestán en un estado singlete para llenado par (S = 0) y en el Kondo están completamentedescorrelacionadas (〈S1.S2〉 ≈ 0).

Complementariamente estudiamos la correlación de espín〈Sz1.σ

z1〉 entre una impureza

magnética y los electrones itinerantes en la elipse. En estecaso observamos un com-portamiento opuesto a la función correlación〈S1.S2〉, y con estos resultados tambiénlogramos caracterizar la transición entre el régimen RKKY-Kondo para un amplio rangode parámetros.

Adicionalmente analizamos la densidad de estados de los electrones embebida en unbaño electrónico externo con densidad de estados constante. Observamos la transiciónRKKY-Kondo en función de los parámetros del sistemaEd y V. Dichos resultados estánde acuerdo con lo observado en las correlaciones de espín〈S1.S2〉 y 〈Sz

1.σz1〉.

Por último, estudiamos al sistema con una interacción adicional entre las impurezasJs

(FM y AFM). Analizamos la función de correlación de espín entre las impurezas, el gapde espín y la densidad local de estados embebida en los electrones y en las impurezas,para diversos valores deJs. De esta manera pudimos estudiar la competencia entre lainteracción RKKY y la interacción Kondo en el sistema.

Una consecuencia importante de la presencia del corral cuántico en la interacciónRKKY entre las impurezas magnéticas, es que el corral aumenta la interacción RKKY,a pesar de que las impurezas se encuentren a distancias del orden de 70A (distancia entrefocos en un corral elíptico en el experimento [2]). En ausencia del corral, la interacciónRKKY disminuye con la distancia [18], y a esas distancias (70A) las impurezas estarían enun estado singlete local con los electrones de la superficie (efecto Kondo local) [52, 55].En el caso de una superficie libre, por ejemplo en Cu(111) [52, 55], se tienen estadoscontinuos para los electrones en la superficie, en cambio ante la presencia del corral, elefecto de confinamiento origina estados discretos para estos. Esta discretización, sumadoal efecto de focalización del corral juegan un papel importante en la interacción efectivaentre las impurezas localizadas en los focos del corral elíptico cuántico [8, 15, 16, 17].

Capítulo 4

Entrelazamiento cuántico entre dosimpurezas de Kondo en un corralelíptico

4.1. Introducción

El entrelazamiento cuántico entre dos impurezas de Kondo, ha sido extensamenteestudiado en [68] (en el bulk) y en [69] (con interacciones espín-órbita) por sus posiblesaplicaciones en información cuántica y computación cuántica [25]. El entrelazamientoentre dos partes de un sistema cuántico (por ejemplo, entre dos espines localizadosinteractuantes con los electrones de la banda de conducción) en un sistema tripartito esútil, ya que la tercera parte del sistema podría actuar como un canal de comunicacióncuántico entre estas dos primeras partes. En el pasado se ha estudiado la transferencia deestados cuánticos entre dos sitios en los bordes de una cadena de espín abierta (S = 1)[38] y el entrelazamiento entre los mismos [70]. En general un sistema de espinesS = 1/2es un sistema natural de qubits (sistemas de dos niveles) quepuede usarse en informacióncuántica [25].

En el modelo de dos impurezas de Kondo en el bulk [53, 54, 67] se han caracterizadolas posibles transiciones de fase, que están determinadas por la competencia entre dosescalas de energía: la de RKKY (orden magnético, por ejemplopara más detalle de dichainteracción se puede ver [18]) y la de Kondo (apantallamiento del espín de la impurezapor los electrones de la banda de conducción [4]). En [68] se pudo establecer una relaciónentre el entrelazamiento de dos impurezas de Kondo y las funciones de correlación entrelas mismas. El sistema compuesto por las dos impurezas de Kondo y los electronesde conducción se encuentra en un estado con espín totalST = 0, y las impurezas seencuentran en un estado mixto (estado de Werner [71], un estado con máxima simetría).En ese caso el entrelazamiento cuántico queda bien determinado sólo por la función decorrelación entre las impurezas.

En un trabajo teórico [72] los autores estudiaron el entrelazamiento cuántico entredoselectrones confinados en dos puntos cuánticos adyacentes acoplados débilmente de una

52 Entrelazamiento cuántico entre dos impurezas de Kondo enun corral elíptico

manera controlada (figura4.1a). El elemento de matrizt (interacción entre los puntoscuánticos) determina la interacción de superintercambio efectiva J = 4t2/U, dondeU esla interacción coulombiana entre dos electrones confinadosen un mismo punto cuántico.Mediante un ajuste del voltaje global de compuerta en los puntos cuánticos, se puedenconfinar dos electrones en los puntos cuánticosA y B en promedio. Voltajes adicionalespueden ser aplicados independientemente en los electrodosL y Rpara controlar el valor dela interaccióntn (n = 1, ..., 4). Dependiendo de los valores detn varias topologías puedenser realizadas. En todas las configuraciones posibles los espines están no entrelazadospara valores deJ < Jc, donde el valor deJc (valor crítico) depende fuertemente de latopología usada. Por otro lado para una fuerte repulsión coulombiana entre los electronesen cada punto cuántico a temperaturas elevadas y con un campomagnético externoB , 0, el entrelazamiento cuántico es adicionalmente suprimidocuandoJ . max{T, B} (figura4.1b). También para un régimen de parámetros reprodujeron los resultados de [68] parapequeñas fluctuaciones de carga en el sistema. Los trabajos anteriores fueron nuestramotivación para estudiar el entrelazamiento cuántico entre dos impurezas de Kondo enun corral elíptico y generalizar el entrelazamiento cuántico entre las impurezas para todollenado en nuestro sistema. Veremos más adelante que el entrelazamiento cuántico entrelas impurezas en nuestro sistema también aparece a partir deciertos parámetros críticos.

Figura 4.1: a) Representación gráfica de puntos cuánticosA y B y sus respectivasinteracciones con las partes constituyentes del sistema (L y R representan los electrodosizquierdo y derecho respectivamente).b) Entrelazamiento cuántico entre puntos cuánticos enfunción del parámetro de controlJ = 4t2/U, dondeU es la repulsión coulombiana en unpunto cuántico. Las figuras fueron obtenidas de [72]. Se observa que, paraJ < Jc, los puntoscuánticos no están entrelazados. En general para temperatura finita y un campo magnéticopresente en el sistema, el entrelazamiento cuántico es cerosi J . max{T, B}.

Motivados por los trabajos previos, nos avocamos al estudiodel entrelazamientoentre las dos impurezas de Kondo en un corral elíptico (estudiado en el capítulo2).

4.2 Modelo 53

Ambas impurezas están en un estado mixto cuando se traza sobre los grados de libertadelectrónicos estando en un estado de Werner siST = 0 (llenado par) [71].

En el capítulo2 hemos estudiado las propiedades estáticas y dinámicas de dosimpurezas de Kondo (S = 1/2) localizadas en los focos de un corral elíptico e interac-tuantes con los electrones confinados en el corral vía un término de superintercambioJ([26, 27, 28, 29, 30]) en función del llenado. Observamos que, para llenado par yJ chicorespecto a la energía cinética de los electrones itinerantes, las impurezas se encuentranprácticamente en un estado singlete (los electrones actúancomo mediadores entre lasimpurezas, régimen RKKY). En este caso los estados electrónicos actúan como canalesde comunicación cuántico entre las impurezas. Con el fin de cuantificar el entrelazamientocuántico entre las impurezas, tendremos en cuenta que, comolas impurezas tienenS = 1/2, son equivalentes a sistemas de dos niveles llamados qubits. Usaremos entoncesla definición de entrelazamiento entre qubits [47] para encontrar una relación entre elentrelazamiento y algún observable físico en el sistema como por ejemplo las funcionesde correlación de espín. Estos resultados se pueden generalizar para el entrelazamiento dedos espines (S = 1/2) en un sistema arbitrario y con invariancia rotacional.

El presente capítulo está distribuido de la siguiente manera: en la sección4.2repasaremos una brevemente el modelo que consiste de dos impurezas de Kondolocalizadas en cada foco de un corral elíptico (estudiado endetalle en el capítulo2). Enla sección4.3 calculamos la matriz densidad reducida de las dos impurezasde Kondo(subsistemasA y B), para lo cual trazamos sobre los grados de libertad electrónicos delsistema (C), para luego calcular el entrelazamiento entre las mismas.Encontramos unarelación entre el entrelazamiento y los observables físicos del sistema. En la sección4.4,analizamos la importancia de los estados electrónicos en elentrelazamiento cuántico entrelas impurezas, y mostramos algunos resultados numéricos relevantes. En la sección4.5estudiamos el entrelazamiento cuántico de las dos impurezas de Kondo con los gradoselectrónicos y su dependencia con los observables físicos del sistema. Por último, lasección4.6comprende las conclusiones más relevantes de este capítulo.

4.2. Modelo

En la presente sección, discutiremos brevemente el modelo que será usado para elestudio del entrelazamiento entre dos impurezas de Kondo enun corral elíptico [73](este modelo fue estudiado en detalle en el capítulo2). En [2] fue realizado el primerestudio experimental del fenómeno físico llamado espejismo cuántico, que se producecuando una impureza es localizada en un foco de un corral elíptico y, debido al efectode focalización del corral, se observa el efecto Kondo en ambos focos. Posteriormenteen [66], estudiaron dos impurezas magnéticas localizadas en los focos de un corralelíptico, y con cálculos ab-initio (cálculos de primeros principios) obtuvieron resultadospara la interacción magnética entre las impurezas. Ésta se ve aumentada por el efectodel confinamiento, y el efecto fue predicho en [15, 16] con estudios de funciones decorrelación de espín en el corral elíptico. Con esta motivación estudiamos un modelo


simplificado, el modelo de Kondo con dos impurezas en un corral elíptico a temperaturaT = 0. Este modelo, nos servirá para estudiar el entrelazamiento entre dos impurezasmagnéticas y sus posibles aplicaciones a información cuántica [25].

El modelo consiste de dos impurezas de espínS = 1/2 localizadas en los focos, y aco-pladas a los electrones confinados en el corral a través de un término de superintercambioJ. El hamiltonianoH del sistema en estudio es (ver ecuación2.1):

H = Hel + J(~S1.~σ1 + ~S2.~σ2), (4.1)

donde:~Si.~σi = Sz

i .σzi +

12

(S+i .σ−i + S−i .σ

+i ), (4.2)

conσ+i = c+i↑ci↓, σzi = (ni↑ − ni↓)/2, dondeniσ es el operador número yciσ el operador de

destrucción de un electrón en el focoi de la elipse, con espínσ. Estos operadores puedenser expresados en la base de los autoestados de la elipse|α〉 sin impurezas (funciones deMathieu [21]) de la forma:ciσ =

∑αΨαicασ, dondecασ es el operador de destrucción del

estado|α〉 y Ψαi la amplitud en el estado|α〉 en el focoi = 1, 2. Hel es el hamiltoniano dela elipse sin impurezas, modelada con paredes infinitas (versección1.1 del capítulo). Laexcentricidad de la elipse es tomada comoǫ = 0.6, pero los resultados son independientesde la elección de este parámetro. En esta base los operadoresquedan expresados de lasiguiente forma (expandida):

σzi =

12

∑

α1α2

Ψ∗α1iΨα2i(c†α1↑cα2↑ − c†

α1↓cα2↓),

σ+i =∑

α1α2

Ψ∗α1iΨα2ic†α1↑cα2↓,

σ−i =∑

α1α2

Ψ∗α1iΨα2ic†α1↓cα2↑. (4.3)

El hamiltoniano en la ecuación (4.1) es diagonalizado con el método de Lanczosconsiderando hasta 10 niveles|α〉 en la elipse y diversos llenados (par e impar), ya quetienen diferentes propiedades físicas en el estado fundamental [26, 27]. La aplicación deH en el espacio de Hilbert del sistema fue dado en la sección2.2.

4.3. Matriz densidad reducida de las dos impurezas deKondo

Es importante notar que, para caracterizar el entrelazamiento entre las impurezas,debemos primero obtener la matriz densidad reducida sobre ellas, para lo cual debemostrazar sobre los grados de libertad electrónicos de la elipse en el estado de interés|ψ〉(impurezas en un estado mixto). La matriz densidad total delsistema está en un estado puroρ = |ψ〉〈ψ| (por ejemplo,|ψ〉 es un autoestado deH). En este caso el estado|ψ〉 representa aun sistema tripartito: las dos impurezas en los subsistemasA y B, y los estados electrónicosenC. En la figura4.2observamos la representación del sistema tripartito en estudio, donde

4.3 Matriz densidad reducida de las dos impurezas de Kondo 55

los subsistemasA y B representan a las impurezas yC a los estados electrónicos enla elipse. Para obtener la matriz densidad reducida en las impurezas trazamos sobre losgrados de estados electrónicos y obtenemos:ρAB = TrC[ρ]. La matriz densidad reducidade las impurezaρAB está representada en la baseB1 = {| ↑↑〉, | ↑↓〉, | ↓↑〉, | ↓↓〉}.

Figura 4.2: Representación gráfica de dos impurezas de Kondo (subsistemas A y B), y losestados electrónicos en la elipse|α〉 (subsistemaC), S1 y S2 representan los espines de lasimpurezas.

En nuestro caso tenemos queH conmuta conSzT ([H,Sz

T ] = 0), y por lo tantoρAB nomezcla estados con diferente componente de espín, por ejemplo: 〈↑↓|ρAB|↑↑〉 = 0. PodemosexpresarρAB en la baseB1 como:

ρAB =

v 0 0 00 w z 00 z x 00 0 0 y

. (4.4)

Consideramos al estado|ψ〉 normalizado con lo cualTr[ρAB] = 1 (ν, w, x, y representanprobabilidades, por lo cual son reales, dondezy su compleja conjugada ¯zson elementos nodiagonales deρAB y representan la transición entre los estados|↑↓〉 ⇐⇒ |↓↑〉. En generalpodemos reescribirρAB en función de la matrices de Pauli, de la forma [25]:

ρAB =14

∑

α,β=0,x,y,z

rαβσαA ⊗ σ

βB, (4.5)

donde los coeficientesrαβ están dados por la relación:

rαβ = Tr[σαA ⊗ σ

β

BρAB] = 〈σα

A ⊗ σβ

B〉. (4.6)


En la expresiones anteriores tenemos:σ0j es la matriz identidad yσα,β

j son las matrices

de Pauliα, β = x, y, z, con j = A, B, donde las matrices de Pauli son:σx =

(0 11 0

),

σy =

(0 −ii 0

), σz =

(1 00 −1

).

Hemos usado la relación:〈R〉 = Tr[ρR] = Tr[ρABR], dondeρ la matriz densidad totaly ρAB es la matriz densidad reducida de interés (en nuestro casoρAB = TrC[ρ]) y R es unoperador que actúa en el subsistema representado porAB (para más detalles ver páginas:99− 111 en [25]).

La matriz densidad reducidaρAB queda expresada en términos derαβ de la forma (sinconsideraciones de simetría):

ρAB=14

1+ rzz+ rz0 + r0z rxz− ir yz+ rx0 − ir y0 rzx+ ir zy+ r0x − ir 0y rxx − ryy − ir xy − ir yx

rxz+ ir yz+ rx0 + ir y0 1− rzz+ r0z− rz0 rxx + ryy − ir xy + ir yx −rzx+ ir zy+ r0x − ir 0y

rzx+ ir zy+ r0x + ir 0y rxx + ryy + ir xy − ir yx 1− rzz− r0z+ rz0 −rxz+ ir yz+ rx0 − ir y0

rxx − ryy + ir xy + ir yx −rzx− ir zy+ r0x + ir 0y −rxz− ir yz+ rx0 + ir y0 1+ rzz− rz0 − r0z

(4.7)

Una consideración importante con respecto aρAB es que es simétrica ante el intercam-bio deA y B, esto quiere decirρAB = ρBA (y la matriz densidad reducida es real), lo cualimplica rαβ = rβα. Teniendo en cuenta lo anterior y el hecho queρAB no mezcla estados dediferenteSz en el subespacioB1, obtenemos una expresión más simplificada paraρAB entérminos de arαβ de la forma:

ρAB =14

1+ rzz+ 2r ′ 0 0 00 1− rzz 2rxx 00 2rxx 1− rzz 00 0 0 1+ rzz− 2r ′

, (4.8)

donderxx = ryy; r ′ = r0z = rz0 y rxy = ryx = rzx =xz= ryz = rzy = r0x = rx0 = r0y = r0y = 0.

4.3.1. Entrelazamiento para espines S=1/2 en estados mixtos

El entrelazamiento cuántico entre dos sistemas bipartitosA y B en un estado puroes fácil de obtener, ya que la entropía de von Neumann, calculada en cualquiera de losdos subsistemas nos proporciona información sobre el entrelazamiento entre los mismos(para más detalle ver apéndiceA.1). En cambio para un sistema bipartito en un estadomixto la entropía cuántica deja de ser válida como medida delentrelazamiento cuántico(ver páginas: 510− 517 en [25]). Para estados mixtos tenemos que recurrir a otra medidadel entrelazamiento cuántico, y para un par de qubits se puede usar la relación obtenidaingeniosamente por Wootters [47] (para más detalles se puede ver el apéndiceA.2). Engeneral el entrelazamiento cuántico en un estado mixtoρ es muy complicado de obtener, yse calcula como el mínimo promedio del entrelazamiento de unensamble de estados purosque representan aρAB [47]. Wootters en un trabajo teórico en [47] obtuvo una relaciónpara el entrelazamiento de formación entre dos qubits en un estado mixtoρ (ver también


apéndiceA.2):

E(C) = h(1+√

1−C2

2), (4.9)

dondeh(x) = −xlog2x− (1− x)log2(1− x) y C es la concurrencia calculada de la forma:

C(ρ) = max{0, λ1 − λ2 − λ3 − λ4}; (4.10)

dondeλi son los autovalores en orden decreciente de la matriz hermitianaR=√√

ρ ρ√ρ,

y ρ = (σy⊗σy)ρ∗(σy⊗σy),σy es la matriz de Pauli. Ademásλi es también la raíz cuadradade los autovalores de la matriz no hermitianaρρ.

Calculamos la concurrencia usando la ecuación (4.10) en un estado mixto, el cualestá representado por la matriz densidad reducidaρAB dada por la ecuación (4.4). Paraello diagonalizamos la matriz no hermitianaρABρAB, con lo cual la concurrencia quedaexpresada de la forma [74]:

C(ρAB) = max{0, 2(|z| − √yv)}. (4.11)

Podemos reemplazar los elementos de la matriz dados por la ecuación (4.8) en laecuación (4.11), con lo cual obtenemos una relación para la concurrencia enfunción derαβ de la forma:

C(ρAB) = max{0, |rxx| −12

√(1+ rzz)2 − 4r ′2}. (4.12)

Reescribimos la ecuación anterior, teniendo en cuenta que :〈SαASβ

B〉 = 〈σαAσ

β

B〉/4 = rαβ/4,paraα, β = x, y, z (conSα

A = σαA/2), con lo cual tenemos:〈Sx

ASxB〉 = rxx/4; 〈Sz

ASzB〉 = rzz/4

y r ′ = 〈SzA + Sz

B〉 = (rz0 + r0z)/2 = rz0 = r0z.

C(ρAB) = max{0, 4|〈SxASx

B〉| −12

√(1+ 4〈Sz

ASzB〉)2 − 4(〈Sz

A + SzB〉)2}. (4.13)

En la ecuación (4.13) el caso de〈SzA+Sz

B〉 , 0, podría deberse a un campo magnético enla direcciónzo al hecho que el sistema tiene número impar de partículas, por consiguientese tendría una magnetización efectiva en la direcciónz.

El caso de〈SzA+Sz

B〉 = 0, es fácil de analizar y se produce cuando el estado fundamentaltieneST = 0. En este casoρAB, dado por la ecuación (4.8), es un estado de Werner [71].Usando la ecuación (4.5) un estado de Werner [71] se puede escribir de la forma:

ρWAB =

14

(I4×4 + r∑

α=x,y,z

σαA ⊗ σα

B), (4.14)

dondeρWAB es la matriz densidad para un estado de Werner y es un estado isotrópico con

r = rxx = ryy = rzzy conST = 0 eI4×4 es la matriz identidad de 4×4. Este estado se escribecomúnmente como [68]:

ρWAB =

1− ps

3I4×4 +

4ps− 13|Ψ−〉〈Ψ−|, (4.15)


dondeps = 1/4 − 〈SASB〉 representa la probabilidad de encontrar aρWAB en un estado

singlete, con−3/4 ≤ 〈SASB〉 ≤ 1/4, y |Ψ−〉 = (|↑↓〉 − |↓↑〉)/√

2 es un estado singlete.

Para este caso de〈SzA+Sz

B〉 = 0 (llenado par en el sistema) reproducimos los resultadosobtenidos por Cho y McKenzie que describiremos a continuación [68]. En la figura4.3mostramos resultados relevantes del trabajo [68] que corresponden a un caso especial delnuestro, ya que los autores sólo estudiaron el caso conST = 0 en el estado fundamental.En cambio nosotros estudiamos llenado par (Sz

T = 0) e impar (SzT = 1/2) en el sistema.

En el caso de llenado impar los subespaciosSzT = ±1/2 son degenerados y en todo este

capítulo fijaremos el subespacioSzT = 1/2. Experimentalmente esto es posible si se aplica

un campo magnéticoB > 0 chico (menor que el campo magnético que produce un crucede niveles en los subespacioSz

T = 1/2 y SzT = 3/2).

Figura 4.3: a) Representación gráfica de dos impurezas de Kondo (A y B), y los electronesde conducción (C) en un sistema tripartito.b) Concurrencia entre las dos impurezasA y B,C(ρAB) en función de〈SA.SB〉 comparado con el diagrama de fases de dos impurezas en elbulk [53] en función de la relación de las dos escalas de energía presentes en el sistema: lade RKKY y la de Kondo (ver texto).SA y SB representan a los espines de las impurezas. Lasfiguras fueron obtenidas del trabajo en [68]

En la figura4.3a se observa la representación del sistema (dos impurezas de Kondoen el bulk [53]), donde los sistemasA y B representan a las impurezas yC representalos estados de los electrones de conducción. En4.3b observamos la concurrencia paralas dos impurezas de Kondo en función de〈SA.SB〉. También están representadas lasprobabilidades de obtener un singleteps (línea morada) y tripletept (línea marrón) enρAB. La concurrenciaC(ρAB) está representa por la línea de puntos. Para〈SA.SB〉 >−1/4, el sistema es separable [la ecuación (A.7) del apéndiceA.2, representa a estados


separables]. Para〈SA.SB〉 < −1/4 las impurezas de Kondo están entrelazadas. LanegatividadN es una medida del entrelazamiento cuántico (ver apéndiceA.3). En este casomuestran la negatividad normalizada y para un par de qubits máximamente entrelazadoses 1. La negatividad normalizada para estados de Werner es igual a la concurrencia.Adicionalmente enb) se observa la representación del diagrama de flujo del grupode renormalización en función de la relación entre las escalas de energía del sistema(I/TK), la de RKKY I y la de KondoTK, y a temperatura cero [53]. Notar que hay unacorrespondencia uno a uno entre el punto fijo inestable ((I/TK)c) y el valor crítico de lacorrelación de espín〈SA.SB〉c = −1/4. ParaI/TK → −∞ se tiene que la matriz densidadreducida de las impurezas cumple:ρAB→ ρS (matriz densidad de un singlete). En cambioparaI/TK → ∞ se tiene queρAB → ρT (matriz densidad de un triplete). Se observa laseparación enI/TK = 0 de la región con correlaciones antiferromagnética AFM, delaregión correlación ferrogmagnética FM. Se puede concluir que no es suficiente que existacorrelación entre las impurezas para que estén entrelazadas. Para ello, la correlación debeser 〈SASB〉 < −1/4. Esta cota está relacionada con la transición de fase cuántica en elsistema.

En nuestro caso, para llenado par, se cumple:rxx = rzz =43〈SA.SB〉. En el caso de

llenado impar verificamos numéricamente que, para diversosnúmero de partículas secumple que:rxx = rzz (resultados de esta propiedad se verán en la subsección4.4.2). Estapropiedad es importante ya que podemos simplificar más aún laecuación (4.13) para laconcurrencia y obtener la siguiente expresión paraC:

C = max{0,43|〈SASB〉| −

12

√(1+

43〈SASB〉)2 − 4(〈Sz

A + SzB〉)2}, (4.16)

La relación anterior es útil, ya que con los observables físicos〈SASB〉 y 〈SzA+Sz

B〉 se puededefinir la matriz densidad reducida entre las impurezas y porende su entrelazamiento.Cabe resaltar que para cada valor deJ en el sistema, las magnitudes〈SASB〉 y 〈Sz

A + SzB〉

tienen valores diferentes, lo cual quiere decir que hay una correspondencia entreJ y losobservables físicos.

En la próxima sección veremos que existe una relación entre〈SASB〉 y 〈SzA +Sz

B〉 parallenado impar (para llenado par〈Sz

A + SzB〉 = 0, para todo valor de la correlación de espín

〈SASB〉), y de esta manera quedaría aún más sencilla la expresión para la concurrencia.

4.3.2. Diagrama de fases del entrelazamiento cuántico

En esta subsección estudiamos el diagrama de fases de entrelazamiento cuánticoentre las impurezas usando la concurrenciaC como una medida del entrelazamiento (verapéndiceA.2), con la condición de querxx = rzz, y que el sistema sea invariante ante alintercambio de las impurezasA y B (ver subsección4.3.1).

En la figura4.4 observamos el diagrama de fases para la concurrencia obtenido conla ecuación (4.16), en función defs = 〈SASB〉 y Sz

AB = 〈SzA + Sz

B〉. Este diagrama defases representa las fases para cualquier sistema de dos espinesS = 1/2 en un medio que


0−1−3/4

−1/2

−1/4

0

1/4

< S S>

S+S< >z z

A B

A B

3

4

2 2

1

63

5

separablesestados

entrelazados

estadosprohibidosestados

estadosprohibidos

1 1/2 2/3

1/ 3

−2/3−1/2

−1/

Figura 4.4: Diagrama del entrelazamiento cuántico (concurrenciaC) paraρAB en un sistemadonde se cumplerxx = ryy = rzz y es invariante ante el intercambio de las impurezas.Analizamos la concurrencia (ecuación (4.16)) en función de fs = 〈SASB〉 y de Sz

AB =

〈SzA + Sz

B〉. La curva (1) es la frontera entre los estados separables y los estados entrelazados.La curva (2) separa los estados entrelazados de los estados prohibidos. La región sombreadarepresenta a los estados entrelazados. La línea (6) de trazos y puntos corresponde al caso dellenado impar en nuestro sistema (curva no lineal de la figura4.9). También está representadoel caso de llenado par en el sistema, por la línea (3), la cual representa a los estados de Werner.Las curvas (3) y (6) son los resultados correspondientes a nuestro modelo. Los demás puntosdel diagrama de fases corresponden a modelos más generales.


cumpla querxx = rzz. La curva (1) separa los estados separables (C = 0, ver ecuaciónA.7del apéndiceA.2) de los estados entrelazados (C , 0), la cual está dada por la relaciónfs = −1/4 + (1 −

√1− 3(Sz

AB)2)/2. También se obtienen estados sin significado físico alos cuales llamaremos estados prohibidos, que resultan cuando (1+ 4

3〈SASB〉)2 − 4(〈SzA +

SzB〉)2 < 0 en la ecuación4.16(correspondiendo a un valor imaginario en la concurrencia).

Los estados entrelazados están separados de la región prohibida por la curva (2)fs =

−3/4 + (3/2)|SzAB|. A lo largo de la curva (1), la concurrencia esC = 0, en cambio en la

curva (2) la concurrencia está dada porC = |2|SzAB| − 1|.

La línea de trazos (3) representa los estados de Werner [71] (con SzAB = 0, para todo

valor de fs, −3/4 ≤ fs ≤ 1/4), los cuales están dados por la ecuación (4.15). Correspondea nuestro modelo con llenado par. También observamos que, enla curva (3), parafs >

−1/4, los estados de Werner son separables en concordancia con los resultados en [68]. Elmáximo entrelazamiento (C = 1) es alcanzado conSz

AB = 0 y fs = −3/4 (estado singleteentre las impurezas) y decrece monótonamente cuandofs se acerca a cero. En cambiopara fs < −1/4 el estadoρAB es separable (la ecuaciónA.7 del apéndiceA.2, representa aestados mixtos separables en un sistema bipartito), y el valor de la concurrencia es cero.

En el diagrama de fases (figura4.4) analizamos el valor umbral superior defs, y luegoal reemplazarfs = 1/4 en la ecuación (4.16) obtenemosC = 1/3−

√4/9− (Sz

AB)2. Para elcaso que exista entrelazamiento diferente de cero,C ≥ 0 (estados con significado físico),se debe cumplir que 1/

√3 ≤ Sz

AB ≤ 2/3, y ésto corresponde a las lineas horizontales (4) y(5). Vemos que para este valor defs = 1/4 correspondiente a un estado de Werner se tienequeC es cero. El resultado anterior corresponde a estados tripletes entre las impurezas yaque hemos fijado el subespacio total del sistemaSz

T = 1/2, y tenemos contribución delestado triplete en las impurezas con proyeccioneszde espín 0 y 1 ([|↑↓〉+ |↓↑〉]/

√2 y |↑↑〉).

Adicionalmente en la figura4.4 observamos una línea de trazos y puntos, la cualrepresenta a nuestro sistema para llenado impar. Este comportamiento de la concurrenciaes totalmente diferente que para los estados de Werner [68] que ocurren a llenado par.Observamos que el intervalo de valores defs para el cual existe entrelazamiento (zonasombreada) es mucho menor que en el caso para estados de Werner (llenado par en nuestrosistema). Estos resultados nos permiten ir más allá de los estados de Werner para cualquiersubespacio conSz

T bien definido en el sistema que cumplarxx = rzz.

4.3.3. Resultados numéricos

En esta subsección mostramos algunos resultados calculados numéricamente en elestado fundamental usando las ecuaciones (4.11) y (4.16) para su comparación; de estamanera buscamos la validación de la ecuación (4.16) para el caso de llenado impar.

En primer lugar mostraremos resultados para el entrelazamiento cuánticoE, obtenidocon la ecuación (4.9) (ver también el apéndiceA.2) entre las dos impurezas de Kondoen un corral elíptico. En la figura4.5 observamosE en función deJ (en unidades delhopping en la elipse 2t∗), para 3 niveles (en círculos), 6 niveles (en cuadrados) y 10


niveles (en triángulos), y llenados par e impar. Para llenado par y J chicos (J << 2t∗)el entrelazamiento es máximo, debido a que las impurezas se encuentran en un estadosinglete (régimen RKKY), y con el aumento deJ se desentrelazan (régimen Kondo).En este caso, observamos que el efecto del número de niveles considerado en el sistemano es relevante para el entrelazamiento cuántico (ver estudio de propiedades estáticas decorrelaciones de espín en subsección2.2.1). Por otra parte, para llenado impar y paraJ chicos el entrelazamiento es 1/3 (menor que 1). Esto se debe a que las impurezas seencuentran en una mezcla de estados triplete de proyecciónz de espín 0 y 1, ya que sefijó el subespacio del sistema enSz

T = 1/2 [30]. Con el estudio anterior (figura4.5)analizamos el efecto de los niveles|α〉 considerados en el hamiltonianoH ecuación (4.1), yno observamos un efecto de “tamaño” importante, con lo cual en adelante consideraremosen la mayoría de los resultados 6 niveles en la elipse, y el nivel de Fermi en el estado 23(similar al del experimento [2]).

Se evidencia una posible discontinuidad en la derivada del entrelazamiento cuánticoEparaJ ≈ 1.5 para llenado impar yJ ≈ 2 para llenado par. Esto se debe a la definición dela concurrencia (ecuaciónA.6), y no es debido a un cruce de niveles en el sistema. Parael caso de llenado par (estado de Werner) ésto corresponde a una correlación entre lasimpurezas de〈SASB〉c = −1/4, como se observa en la figura4.4. Esta discontinuidad ennuestro caso puede ser removida por el uso de otra medida paralas correlaciones cuánticas,por ejemplo una medida llamada “quantum discord” [75]. Esta magnitud cuántica es unamedida de la discrepancia entre la información mutua cuántica (página 514 en [25])y la información mutua clásica (página 506 en [25]). Ésta caracteriza y cuantifica lascorrelaciones cuánticas en estados bipartitos y es fundamentalmente diferente de variasmedidas del entrelazamiento cuántico. En [76] usan esta medida en estados de Werner yla comparan con el entrelazamiento cuántico calculado con las relaciones obtenidas porWootters [47], y observan que esta medida (quantum discord) no presenta discontinuidaden su derivada, que sí aparece en la relación de Wootters.

En la figura4.6a observamos el entrelazamiento cuánticoE entre las 2 impurezasde Kondo, (obtenida con la ecuación(4.9), ver también el apéndiceA.2), en función deJ para llenado par (6 niveles y 6 electrones). Aquí se evidencia la transición entre losregímenes RKKY y Kondo ante el incremento deJ [26, 27]. En la figura4.6b observamosla concurrencia entre las dos impurezasA y B en función de〈SASB〉 para el mismo llenado,donde se nota un comportamiento lineal deC con〈SASB〉 (C = max{2〈SASB〉 − 1/2 ; 0}),debido a que el estado fundamental está en el subespacioSz

T = 0. Con esto reproducimoslas relaciones obtenidas en [68] (C = max{2ps − 1, 0}, con ps = 1/4− 〈SASB〉, dondeps

es la probabilidad de un singlete enρAB).En la figura4.6c, observamos la concurrencia en función de la inversa de la pureza

(P = Tr[(ρAB)2], que indica el grado de mezcla de un estado, siP = 1 el estado espuro, caso contrario está en un estado mixto). Se nota que la concurrencia es cercana alvalor máximoC → 1, cuando la pureza también es cercana a su valor máximoP → 1.Ésto quiere decir queρAB está en un estado puro con lo cual podemos escribir el estadofundamental del sistema como un producto directo de un singlete en las impurezas por losestados electrónicos. Notamos que la concurrencia disminuye con el aumento de 1/P, esto


Figura 4.5: Entrelazamiento cuántico obtenido con la ecuación (4.9), ver también el apéndiceA.2, para diversos llenados (par e impar), para 3 niveles (círculos), 6 niveles (cuadrados) y 10niveles (triángulos).

quiere decir que el estadoρAB es mixto. Es fácil encontrar un relación para la pureza enfunción de〈SASB〉 y 〈Sz

A + SzB〉: usando la ecuación (4.8) obtenemosP = Tr[(ρAB)2] =

14(1+ 16

3 〈SASB〉2 + 2〈SzA + Sz

B〉2) (considerandorxx = rzz). Para〈SzA + Sz

B〉 = 0 (estado deWerner) tenemosP = 1

4(1 + 163 〈SASB〉2), y si ρAB está en un estado singlete (〈SASB〉 =

−3/4) obtenemosP(singlete) = 1.

En la figura4.7observamos resultados para el caso de llenado impar en el subespacioSz

T = 1/2 (para el subespacioSzT = −1/2, se obtienen los mismos resultados, debido a que

ambos subespacios son degenerados). Usamos los mismos parámetros que para el casode llenado par. En la figura4.7a observamos el entrelazamientoE en función deJ. Paravalores deJ chicosE → 1/3 que es menor que el valor máximo, y es diferente al casode llenado par, ya que las impurezas están en estados triplete [26, 27]. El comportamientodeC en función de〈SASB〉 no cumple la relación encontrada en [68], ya que en este caso〈Sz

A + SzB〉 , 0, con lo cual se tendría que usar la ecuación (4.16) encontrada por nosotros.

Más adelante, mostraremos que〈SASB〉 y 〈SzA + Sz

B〉 están relacionados.

En la figura4.7b observamos resultados paraC (obtenida de manera general usando laecuación (4.9),ver también el apéndiceA.2), y en este caso también usamos la ecuación(4.16) para verificar su validez. Vemos que la concurrenciaC se puede ajustar con unalínea recta con pendiente> 0, que es opuesta a la pendiente para el caso de llenado par (lapendiente es−2, dondeC = max{−2〈SASB〉 − 1/2; 0}).

En la figura4.7c observamosC en función de la inversa de la purezaP y notamos queρAB siempre está en un estado mixto. ParaC = 1/3 (el máximo valor que puede tomar


Figura 4.6: a) Entrelazamiento cuántico (ecuación (4.9), ver también el apéndiceA.2) entrelas dos impurezas de Kondo, en función del término de superintercambioJ, para llenadopar. b) ConcurrenciaC en función de la correlación de espín entre las impurezas〈SASB〉.c) Concurrencia en función de la inversa de la purezaP. El llenado en el sistema es de 6niveles con 6 electrones en la elipse y el estado fundamentaltieneSz

T = 0.

para llenado impar, donde en este caso se tiene〈SASB〉 = 1/4 y 〈SzA+Sz

B〉 = 2/3) tenemos1/P = 9/5 = 1.8.

En conclusión, en esta parte del trabajo, hemos encontrado una relación entre elentrelazamiento y las funciones de correlación de espín de las impurezas (C = max{ 4

3 | fs|−√(4

3 fs+ 1)2 − 4〈SzA + Sz

B〉2/2 , 0 }) y verificamos el cumplimiento de dicha relaciónnuméricamente para el caso de llenado impar en el sistema (Sz

T = 1/2). Cabe resaltarque esta relación se cumple en particular para llenado par donde 〈Sz

A + SzB〉 = 0 e

independientemente del valor defs, y por lo tanto recuperamos la expresión obtenida en[68] (estado de Werner).

4.4. Importancia de los estados electrónicos en la concu-rrencia

En la sección anterior encontramos una relación entre la concurrencia y las funcionesde correlación de espín entre las impurezas〈SASB〉 y la suma de los valores medios dela componentez de espín en las dos impurezas〈Sz

A + SzB〉, la cual es útil en el cálculo

del entrelazamiento cuánticoE. En esta sección buscamos encontrar una relación entre〈SASB〉 y 〈Sz

A + SzB〉 a partir de consideraciones de simetría en el sistema y teniendo en

cuenta queSzT es un buen número cuántico en el sistema. El estado fundamental |ψ〉 del

4.4 Importancia de los estados electrónicos en la concurrencia 65

Figura 4.7: Similar a la figura4.6, para llenado impar. En (b) podemos observar un ajustelineal para la concurrencia (línea punteada). El estado fundamental tieneSz

T = 1/2.

hamiltoniano del sistemaH (ecuación (4.1)) se puede escribir de la forma:

|ψ〉 = a1|↑↑〉|Φ1〉 + a2|↑↓〉|Φ2〉 + a3|↓↑〉|Φ3〉 + a4|↓↓〉|Φ4〉. (4.17)

En la expresión anterior, la base{|↑↑〉, |↑↓〉, |↓↑〉, |↓↓〉} representa a los estados de lasimpurezas, y|Φn〉 (conn = 1, .., 4) es un estado electrónico en la elipse deN partículas ycon componentez de espín bien definida de la forma:Sz = Sz

T − 1 paran = 1, Sze = Sz

T

paran = 2, 3, y Sze = Sz

T + 1 paran = 4. Como|ψ〉 está normalizada, 0≤ an ≤ 1 (lossuponemos reales, sin pérdida de generalidad) y

∑n |an|2 = 1 . Podemos reescribrir los

estados electrónicos en la base deN electrones de la forma:

|Φ1〉 =∑

k

ϕ1k|γ

(−)k 〉, |Φ2〉 =

∑

k

ϕ2k|γ

(0)k 〉,

|Φ3〉 =∑

k

ϕ3k|γ

(0)k 〉, |Φ4〉 =

∑

k

ϕ4k|γ

(+)k 〉

Tenemos que, en la expresión anterior,{|γ(−)k 〉} es la base paraN electrones conSz

e = SzT−1,

la base{|γ(0)k 〉} corresponde aSz

e = SzT , y la base{|γ(+)

k 〉} corresponde aSze = Sz

T+1. Ademásse cumple:〈Φ1|Φn〉 = δ1n, 〈Φ4|Φn〉 = δ4n, 〈Φ2|Φ2〉 = 1,〈Φ3|Φ3〉 = 1 y 〈Φ2|Φ3〉 , 0. Obtenerla matriz densidad reducida para la impurezas es una tarea sencilla, para lo cual tenemosque trazar sobre los estados electrónicosρAB = TrC[ρ], con ρ = |ψ〉〈ψ| (matriz densidadtotal), yC representa los estados electrónicos.


ρAB =

1− 2a22 − a2

4 0 0 00 a2

2 a2a3〈Φ3|Φ2〉 00 a2a3〈Φ3|Φ2〉 a2

2 00 0 0 a2

4

. (4.18)

Notamos en la expresión anterior queρAB no mezcla estados con diferente componentez de espín (como ya habíamos dicho antes en la sección4.3, ya queSz

T del sistema esun buen número cuántico). Teniendo en cuenta la simetría de reflexión deρAB al cambiode A por B (ρAB = ρBA), tenemosa2

2 = a23, y 〈Φ2|Φ3〉 = 〈Φ3|Φ2〉 = cosφ, donde la fase

0 ≤ φ ≤ π mide la proyección del estado|Φ2〉 y |Φ3〉. Luego con las consideracionesanteriores obtenemos la matriz densidad reducida enA y B de la forma:

ρAB =

1− 2a22 − a2

4 0 0 00 a2

2 a22cosφ 0

0 a22cosφ a2

2 00 0 0 a2

4

, (4.19)

con 0≤ a21 = 1− 2a2

2 − a24 ≤ 1, 0≤ a2

2 ≤ 1/2 y 0≤ a24 ≤ 1. Notamos que si|Φ2〉 y |Φ3〉 son

ortogonales (cosφ = 0), ésto origina que la coherencia desparezca (ρAB sin términos nodiagonales). Y esto no sería de utilidad para información y computación cuántica [25, 68]ya que las impurezas están en un estado mixto separable, ver la ecuación (4.11) para laconcurrencia (z = 0 =⇒ C = 0). Podemos expresarρABde una manera alternativa, enfunción de estados singlete y tripletes de la forma:

ρAB = (1− 2a22 − a2

4)|↑↑〉〈↑↑| + a24|↓↓〉〈↓↓| +

a22

2(1+ cosφ)|ψ+〉〈ψ+| +

a22

2(1− cosφ)|ψ−〉〈ψ−|,

(4.20)donde |ψ±〉 = (| ↑↓〉 ± | ↓↑〉)/

√2 son estados triplete (+) y singlete (−), que tienen

entrelazamiento máximo. Se puede notar de la ecuación (4.20) que paraa22 = 1/2 y

cosφ = ±1 se obtiene un triplete (+) o un singlete (−) entre las impurezas (a4 = 0 pornormalización).

4.4.1. Relación entre observables del sistema

Podemos encontrar una relación entre los observables físicos〈SASB〉 y 〈SzA+Sz

B〉 paralo cual comparamos las ecuaciones (4.20) y (4.8) y obtenemos las siguientes expresiones:〈SASB〉 = (2rxx + rzz)/4 = 1/4 + (cosφ − 1)a2

2 y 〈SzA + Sz

B〉 = r0z = rz0 = 1 − (a22 + a4

4).Si adicionalmente consideramos que se cumple:rxx = rzz (para todo llenado), tenemos dosexpresiones equivalentes para〈Sz

A + SzB〉:

〈SzA + Sz

B〉 =12+

23〈SASB〉 − 2a2

4 (a)

〈SzA + Sz

B〉 = −12−

23〈SASB〉 + 2a2

1 (b) (4.21)


La expresión anterior es válida para cualquier llenado. El valor dea24 es la probabilidad

de encontrar el estado| ↓↓〉 (de las impurezas), en el estado fundamental del sistema;además se cumple:16 ≤ a2

2 ≤12. Lo anterior se obtiene de usar la relaciónrxx = rzz,

con lo cual se obtienecosφ = (−2 + 12a2 ), y teniendo en cuenta que:−1 ≤ cosφ ≤ 1.

Es fácil ver de la ecuación (4.21) que sia21 = a2

4 entonces〈SzA + Sz

B〉 = 0, con lo cualrecuperamos el estado de Werner dado por la ecuación (4.15) (corresponde a llenado paren nuestro modelo, ya que se tieneSz

T = 0).

Podemos encontrar una relación para la concurrencia en función de estos parámetros,para eso reemplazamos la ecuación (4.21a) en la ecuación (4.16) y obtenemos:

C = max{ 43|〈SASB〉| − |a4|

√2+

83〈SASB〉 − 4a2

4 ; 0 }. (4.22)

En la expresión anterior notamos que sia4 = 0 se tieneC = max{43 |〈SASB〉|}, ycorresponde al caso en que〈SASB〉 y 〈Sz

A +SzB〉 tienen una dependencia lineal entre sí. En

el diagrama de fases de entrelazamiento (figura4.4) el caso dea4 = 0 está representadopor la línea (2) (Sz

AB = 〈SzA+Sz

B〉 > 0, corresponde al subespacio deSzT = 1/2 para llenado

impar en el sistema). Para el caso dea4 , 0 la concurrencia tiene un comportamientono trivial y depende básicamente del sistema en estudio (en nuestro caso del número departículas y del número de niveles considerados en el sistema, tal como se verá en lasiguiente subsección).

4.4.2. Resultados numéricos para los observables físicos de interés

En esta subsección mostramos algunos resultados numéricosrelevantes al considerarla relación entre〈SASB〉 y 〈Sz

A + SzB〉.

En la figura4.8, observamos〈SzA + Sz

B〉 en función de〈SA.SB〉 para dos niveleselectrónicos|α〉 en la elipse (con diferente paridad), y una partícula en el sistema (llenadoimpar). Se observa que para los siguientes autoestados 1,2,4 y 5 del hamiltonianoH(ecuación4.1) con espín totalST = 1/2, 〈Sz

A + SzB〉 tiene un comportamiento lineal con

〈SA.SB〉: 〈SzA + Sz

B〉 =12 +

23〈SA.SB〉, paraa4 = 0. Esto se debe a que se tiene un efecto

de “tamaño finito” (dos niveles electrónicos y una partícula) en el sistema. Por lo tantoel estado triplete entre las impurezas| ↓↓〉 no aparece (ver ecuación (4.17)) al fijar elsubespacioSz

T = 1/2, ya que se necesitarían 3 niveles electrónicos|α〉 y 3 electrones,para una posible participación de dicho estado triplete en el sistema. Este comportamientoestá representado por la línea (2) en la figura4.4 que representa al diagrama de fasesdel entrelazamiento cuántico. Adicionalmente se cumple que rxx = ryy = rzz. En cambiopara los autoestados 3 y 6, cuyo espín total es igual a 3/2, se tiene〈Sz

A + SzB〉 = 1/3, y

〈SA.SB〉 = 1/4. En este caso:rxx = ryy , rzz, por lo tanto para estos autoestados deH, laconcurrencia no satisface la ecuación (4.16), pero sí la ecuación más general (4.13).

Analizamos numéricamente la validez de la ecuación (4.22) en función del llenado enla elipse (número impar de partículas). En la figura4.9observamos〈Sz

A + SzB〉 en función

de 〈SA.SB〉, para diversos llenados en la elipse (manteniendo fijo el nivel de Fermi en la


Figura 4.8: Suma de las funciones de correlación de la componentez de espín de cadaimpureza〈Sz

A + SzB〉 en función de la correlación de espín entre las impurezas de Kondo

〈SA.SB〉. Se consideraron dos niveles electrónicos|α〉 con diferente paridad y una partícula.

Figura 4.9: Suma de las funciones de correlación de la componentez de espín de cadaimpureza〈Sz

A + SzB〉 en función de la correlación de espín entre las impurezas de Kondo

〈SzA + Sz

B〉 y diferente número de partículas y de niveles|α〉 en la elipse (llenado impar).


Figura 4.10: Elemento diagonal de la matriz reducidaa24 = ρ

AB44 en función deJ para varios

niveles |α〉 y partículas en la elipse para llenado impar (manteniendo fijo el nivel de FermiNF = 23).

elipseNF = 23). Para el caso par, se tiene que〈SzA + Sz

B〉 = 0, para todo valor de〈SA.SB〉en el estado fundamental. Observamos tres casos posibles para el estado fundamental:

i) El primer caso corresponde a〈SzA+Sz

B〉 = 2/3, y 〈SA.SB〉 = 1/4, para todo valor deJ,correspondiendo a un punto en la figura4.9(símbolo en diamante); este caso correspondea un nivel en la elipse y una partícula o dos niveles en la elipse y tres partículas en losniveles electrónicos.

ii ) El segundo caso, corresponde a un comportamiento lineal dela forma:〈SzA+Sz

B〉 =12 +

23〈SA.SB〉 con a4 = 0. El número de niveles electrónicosNv y los correspondientes

llenadosNe considerados en la elipse con dicha relación lineal son:Nv = 2 y Ne = 1 (encruces),Nv = 3 y Ne = 3 (en círculos),Nv = 4 y Ne = 1 (en cuadrados),Nv = 4 y Ne = 3(en triángulos verticales), y por últimoNv = 5 y Ne = 3 (en triángulos horizontales).

iii ) El tercer caso corresponde a un comportamiento no lineal entre〈SzA+Sz

B〉 y 〈SA.SB〉,donde el número de niveles electrónicos y los correspondientes llenados en la elipse quetienen este comportamiento son:Nv = 5 y Ne = 5 (trazos),Nv = 6 y Ne = 5 (trazo ypunto),Nv = 8 y Ne = 7 (trazo y con dos puntos),Nv = 10 y Ne = 9 (línea continua).

En la figura4.10observamos el comportamiento dea24 en función deJ (llenado impar),

el cual no es lineal y tiene una leve dependencia con el númerode niveles consideradosen el sistema. ParaNv = 5 y Ne = 3, el valor dea2

4 es del orden de 10−5 (J ≈ 2), yse hace importante a partir deNv = 5 y Ne = 5. Podemos decir que el comportamientode a2

4 está determinado porH, y su dependencia con los parámetros del sistema no essencillo de entender. Pero podemos concluir que paraJ grandes aumenta la contribuciónde la componente|↓↓〉 en el estado fundamental para llenado impar en el subespaciode


SzT = 1/2.

4.5. Entrelazamiento cuántico entre las impurezas y losestados electrónicos

Como complemento de lo analizado en secciones anteriores, es importante conocer elentrelazamiento cuántico entre las dos impurezas de Kondo (subsistemaAB) y los estadoselectrónicos en el corral (subsistemaC).

Figura 4.11: Entropía de von NeumannS para caracterizar el grado de entrelazamientocuántico de las impurezas con los estado electrónicos en función deSz

AB = 〈SzA + Sz

B〉 yfs = 〈SA.SB〉 (ecuación4.24). La línea de trazos de color blanca indica los estados de Werner(en nuestro modelo corresponde a llenado par en el sistema) yla línea azul es la curva de unfiteo de la relación entrefs y Sz

AB (curva ajustada,SzAB = 0.104− 1.624fsln( fs)) para nuestro

sistema con llenado impar. Se tiene que: 0≤ S ≤ 2.

La entropía de von Neumann es una buena medida del entrelazamiento entre estossubsistemas (ver apéndiceA.1), debido a que el sistema bipartito (AB y C) está en unestado puro. En la sección4.3obtuvimos la matriz densidad reducida de las impurezasρAB

dada por la ecuación (4.8). Si consideramos que se cumple querxx = rzz=43〈SASB〉 = 4

3 fs,y con〈Sz

A + SzB〉 = Sz

AB, podemos expresarρAB de la forma:

4.6 Conclusiones 71

ρAB =14

1+ 43 fs+ 2Sz

AB 0 0 00 1− 4

3 fs83 fs 0

0 83 fs 1− 4

3 fs 00 0 0 1+ 4

3 fs− 2SzAB

. (4.23)

Los autovalores deρAB nos proporcionan información sobre el entrelazamiento entrelas dos impurezas de Kondo y los estados electrónicos en la elipse. Con ese objetivodiagonalizamosρAB y los autovalores son:ω1 =

14 +

13 fs +

SzAB

2 , ω2 =14 +

13 fs −

SzAB

2 ,ω3 =

14 −

13 fs +

23 | fs|, ω4 =

14 −

13 fs− 2

3 | fs|.

La entropía de von Neumann en los subsistemasAB se calcula con los autovaloresωi de la forma (apéndiceA.1): S = −

∑4i=1ωi log2ωi. Reemplazamos los autovaloresωi

(i = 1, .., 4) deρAB, en la relación anterior y obtenemos la siguiente expresiónparaS:

S = −(14+

13

fs+Sz

AB

2)log2(

14+

13

fs+Sz

AB

2)

−(14+

13

fs−sz

AB

2)log2(

14+

13

fs−Sz

AB

2)

−(14− 1

3fs+

23| fs|)log2(

14− 1

3fs+

23| fs|)

−(14− 1

3fs−

23| fs|)log2(

14− 1

3fs−

23| fs|). (4.24)

En la figura4.11se muestra la entropíaS en función deSzAB y fs sólo para estados

con sentido físico (ver figura4.4). La línea a trazos de color blanca representa laentropía correspondiente a los estados de Werner, conSz

AB = 0 (caso de llenado par ennuestro sistema). Estos resultados están de acuerdo con losresultados obtenidos en [68].La entropíaS tiene un comportamiento opuesto a la concurrencia entre lasimpurezas(ecuación (4.16)), y cuando la entropía alcanza su valor mínimoSmin = 0, parafs = −3/4 ySz

AB = 0 la concurrencia es máxima (Cmax= 1). La línea continua de color azul representaa la entropía para el caso de llenado impar en nuestro sistema, conSz

AB , 0.

4.6. Conclusiones

Estudiamos el entrelazamiento cuántico entre dos impurezas de Kondo en un corralelíptico con el objetivo de relacionar el sistema con posibles aplicaciones de informacióncuántica (página 528 en [25]) y computación cuántica (página 171 en [25]), debido a quelas impurezas pueden considerarse como qubits naturales ennuestro sistema. Encontramosregiones del espacio de parámetros con un alto grado de entrelazamiento, lo cual esimportante para las aplicaciones mencionadas [68].

Encontramos una relación entre la concurrenciaC para dos impurezas de Kondo en uncorral elíptico en función de las correlación de espín entrelas impurezas〈SA.SB〉 y 〈Sz

A +

SzB〉, para cualquier llenado en la elipse, y cualquier espín total del estado fundamental,


extendiendo resultados previos [68], donde se reportaron resultados para el subespacio deSz

T = 0.

Observamos que la relación entre〈SA.SB〉 y 〈SzA + Sz

B〉 depende del número departículas y de la paridad de los niveles electrónicos en el sistema. Observamos que, parapocos niveles y electrones en el sistema y llenado impar, el comportamiento de〈SA.SB〉 y〈Sz

A + SzB〉 es lineal (〈Sz

A + SzB〉 = 1/2+ 2/3〈SA.SB〉). Al aumentar el número de niveles y

el número de partículas (sin modificar el nivel de Fermi), el comportamiento deja de serlineal. Para llenado par (Sz

T = 0) se tiene〈SzA+Sz

B〉 = 0 (simetría up-down en el sistema) yla matriz densidad reducidaρAB queda bien definida solamente por〈SA.SB〉 (las impurezasestán en un estado de Werner [71]).

Es importante notar que existe una zona amplia en parámetrosdonde las impurezasse encuentran entrelazadas y otras en las cuales están en estados separables. La caracte-rización de las zonas con entrelazamiento cuántico apreciable es de interés en teoría deinformación cuántica, ya que el sistema puede ser usado paratransferir estados de un focode la elipse al otro que se encuentra alejado (separación entre focos del orden de 70A).

La presencia de un corral elíptico tiene consecuencias importantes para la posiblerealización experimental de la física descripta en este capítulo. Debido a la discretizaciónde los niveles cuánticos en un sistema finito y a las propiedades de focalización de laelipse, las impurezas interactúan fuertemente entre sí aúna distancias grandes (∼ 100A).Los estados cuánticos son más robustos que sin la presencia del corral.

Capítulo 5

Correlaciones cuánticas yentrelazamiento en cadenas de espínS=1

Con el objetivo de estudiar el entrelazamiento cuántico en otro tipo de sistemasnanoscópicos confinados analizamos propiedades de información cuántica en cadenas deespín. Por su propiedad de poseer un gap frente a excitaciones de espín, las cadenas deS = 1 son buenas candidatas a mostrar comportamientos interesantes en esta temática.Las cadenas de espínS = 1 unidimensionales han sido extensamente estudiadas por suvariedad de fases. Actualmente este tipo de sistemas están siendo estudiados por susposibles aplicaciones en información cuántica [25, 38]. Por ejemplo en un trabajo teórico[38], estudian la transferencia de estados cuánticos de una punta en una cadena abiertaa la otra. Estudiando la fidelidad y el entrelazamiento pudieron caracterizar las fases enuna cadena de espínS = 1 interactuante a primeros vecinos con un término bilineal yotrobicuadrático [38]. La transferencia de estados cuánticos en dos sitios alejados (por ejemploen las puntas de una cadena de espínS = 1/2 y S = 1) fue también estudiada en [70, 77].También estudiaron el entrelazamiento cuántico en dos sitios localizados en los bordes decadenas de espínS = 1 en [38, 70]. Para ello se requiere que los sitios entre los cualesse va a realizar la transferencia de estados o teleportacióncuántica estén fuertementeentrelazados. Es por esto que resulta importante caracterizar el entrelazamiento cuánticode estos sistemas.

En los trabajos realizados en [78, 79] calcularon correlaciones de espín en unacadena de espinesS = 1 usando el método de Density Matrix Renormalization Group(DMRG) desarrollado por White [78, 80, 81, 82, 83] y estudiaron las excitaciones deespín localizadas cerca de los bordes de la cadena. En [84, 85] con cálculos del métodoDMRG reportaron que las excitaciones de espín en cadenas de espínS = 1 juegan un rolimportante en las propiedades físicas del sistema. Las excitaciones de espín en el modeloAKLT (Affleck, Kennedy, Lieb y Tasaki) para una cadena abierta, se pueden caracterizarpor el estudio de las funciones de correlación de espín [79, 86]. En dichos trabajos seobserva que las excitaciones de espín están muy localizadasen los bordes de la cadena,y decaen exponencialmente con una longitud de correlación del bulk deξ = 1/ln(3)

74 Correlaciones cuánticas y entrelazamiento en cadenas deespín S=1

(en unidades del parámetro de red). En [87, 88] construyeron el estado fundamentalexactamente para ese modelo y mostraron que ese sistema tiene un gap de espín (por endelas funciones de correlación de espín tienen un decaimientoexponencial) y caracterizaronlas excitaciones de espín 1/2 en los bordes de una cadena abierta en una dimensión. Encambio para el caso de una cadena abierta de Heisenberg (sin el término bicuadrático),las excitaciones de espín están extendidas desde el borde dela cadena hasta una longitudfinita dentro de la cadena (longitud de correlaciónξ ≈ 6) [89].

El estudio de correlaciones cuánticas entre dos subsistemas con más de dos grados delibertad, llamados qudits, en un estado mixto, no es una tarea sencilla. Existen muchasmedidas para el entrelazamiento cuántico o criterios de separabilidad entre qudits (verapéndiceA, ecuaciónA.7, para más detalles ver [90]). En el caso de dos qubits (sistemade dos niveles) el entrelazamiento de formación fue obtenido por Wootters en [47]. Elentrelazamiento entre dos qubits [47] (o concurrencia), en algunos sistemas presentauna discontinuidad en su derivada al variar un parámetro relevante del sistema. Estadiscontinuidad no necesariamente implica una transición de fase cuántica, y en general espropia de la definición del entrelazamiento de formación [47]. Una correlación cuántica,que no presenta esta discontinuidad fue obtenida en [75], y fue llamada "QuantumDiscord", Q. En [76] obtienen una relación deQ entre dos qubits en función decorrelaciones de espines de los qubits involucrados y obtienen una buena comparacióncon el entrelazamiento de formación obtenido en [47]. TambiénQ fue utilizado paracaracterizar transiciones cuánticas en cadenas de espínS = 1/2 [91, 92] siendo una buenamedida para caracterizar transiciones de fases cuando la temperatura está presente.

Con el objetivo de caracterizar las excitaciones de espín presentes en los bordes de unacadena abierta deS = 1 [78, 87, 88], estudiamos las correlaciones cuánticas estáticas endicho sistema. En primer lugar caracterizamos el entrelazamiento entre dos espinesS = 1(subsistemasA y B), que están ubicados en los bordes de una cadena unidimensionalabierta, tanto en el modelo AKLT [87, 88] como en el modelo de HeisenbergS = 1 [89].En este caso en cada sitio de la cadena, se tienen tres grados de libertad (llamados qutrits,sistemas de tres niveles) y para los que las relaciones obtenidas en [47] (concurrencia), noson aplicables. Por lo tanto usamos otra medida del entrelazamiento llamadanegatividad[93], la cual requiere calcular la transposición parcial de la matriz densidad reducidaρAB

sobre un subsistema enA o B (para más detalles sobre la negatividad ver subsección5.2.1yapéndiceA.3). Pero si consideramos que un espínS = 1 en cada sitio puede expresarse enla base de dos espinesS = 1/2 [87, 88], entonces podemos aplicar la concurrencia comouna medida del entrelazamiento entre espinesS = 1/2 (qubits) localizados en diferentessitios en la cadena. Con esto podemos comparar cualitativamente la concurrencia con lanegatividad y analizar si proporcionan la misma información.

También caracterizamos el entrelazamiento de uno o dos sitios diferentes en la cadenacon el resto de la cadena en un estado puro, el cual es fácil de obtener, ya que sólo sedebe calcular la entropía de von Neumann en cualquiera de losdos subsistemas (página510 en [25] y [40]). En los estudios anteriores se pierde parte de la información sobrelas excitaciones de espín generadas por los bordes de la cadena ya que la longitud de

5.1 Modelo 75

correlación del sistema es del orden o más grande que el tamaño de cada subsistemainvolucrado. Por eso consideramos bloques de más sitios, detamañoLA = LB = 2, 3y 4. Hemos trazado sobre todos los sitios restantes para obtener la matriz densidadreducidaρAB. El número de sitios a considerar en cada subsistema está limitado por elcálculo numérico específicamente dado por el proceso de diagonalización deρAB. El estadofundamental del sistema es obtenido con diagonalización exacta. En este caso usamos elmétodo de Lanczos [31], o el de Davidson [32]. Por último estudiamos las excitaciones deespín usando el método de DMRG [78, 80, 81, 82, 83] para cadenas de tamaños deL = 80.

La organización del presente capítulo es la siguiente: en lasección5.1 describimosuna cadena de espínS = 1 unidimensional, con interacción bilineal y bicuadráticoaprimeros vecinos. En la sección5.2calculamos la matriz densidad reducida sobre diversasparticiones (AB) en el sistema, y posteriormente calculamos el entrelazamiento cuántico.En la sección5.3 comparamos la negatividad con la concurrencia al considerar a cadaespínS = 1 compuesto de dos espinesS = 1/2. En la sección5.4 analizamos sistemasmás grandes (mayores de 2ξ) con el objetivo de incluir las excitaciones de espín en losbordes en forma completa. Por último, la sección5.5 comprende las conclusiones másrelevantes del trabajo y perspectivas.

5.1. Modelo

Anteriormente mencionamos la riqueza del hamiltoniano bilineal y bicuadrático (H)de espínS = 1, que presenta varias fases en una dimensión. El hamiltoniano H estárepresentado por la relación:

H = JL−1∑

i=1

[~Si .~Si+1 + β(~Si.~Si+1)2]. (5.1)

Los términos involucrados en el hamiltoniano son:~Si es el operador de espín en el sitioi = 1, ...L, L es la longitud de la cadena,J es la interacción de intercambio entre los espinesy Jβ es la magnitud de la interacción del término bicuadrático. Consideramos la energíaen unidades deJ.

El hamiltonianoH puede ser expresado en función del ánguloθ, dondeθ representa larelación entre el término bilineal y el bicuadrático del hamiltoniano. Por lo tanto, podemosreescribir la ecuación5.1, de la forma [38, 94, 95]:

H(θ) = JL−1∑

i=1

[cosθ(~Si .~Si+1) + senθ(~Si .~Si+1)2]. (5.2)

A continuación daremos una breve descripción de las fases presentes en el sistemadado por el hamiltonianoH(θ) (ver figura5.1). En la figura5.1 observamos el diagramade fases deH(θ) [38, 94, 95]. Para−3π/4 < θ < π/2 el estado fundamental tienepropiedades físicas antiferromagnéticas, y la magnetización total es igual a cero. En la fase


de Haldane−π/4 < θ < π/4, el sistema presenta gap de espín, y el estado fundamentaltiene correlaciones de espín con decaimiento exponencial [94, 95, 96]. En particular, paraθ = arctan(1/3) el modelo es soluble analíticamente y fue estudiado por Affleck-Kennedy-Lieb-Tasaki (modelo AKLT) en [87, 88]. Ellos construyeron el estado fundamental yprobaron la existencia de un gap en el sistema (gap de Haldane). Paraπ/4 ≤ θ ≤ π/2el sistema se encuentra en una fase crítica (sin gap de espín), con un estado fundamentalno degenerado y una longitud de correlación divergente.θ = π/4 corresponde al puntocrítico de Uimin-Lai-Sutherland yθ = −π/4 al de Takhtajan-Babujian. En la región−3π/4 ≤ θ ≤ −π/4 el sistema está en la fase dimerizada y se debate sobre la existencia deuna posible fase nemática cercana aθ = −3/4.

Nosotros analizaremos el entrelazamiento en la fase de Haldane específicamente paraβ = 1/3 (modelo AKLT,tanθ = 1/3) y β = 0 (modelo de Heisenberg,θ = 0) [97].

Figura 5.1: Diagrama de fases deH(θ) (ecuación5.2), en una cadena de espínS = 1 en unadimensión. Se indican los modelos de AKLT y de Heisenberg conpuntos en el diagrama defases.

Para ello, resolvimos numéricamente el hamiltonianoH (ecuación5.1), utilizandodiagonalización exacta con el método de Lanczos [31] o el método de Davidson [32].El proceso de diagonalización del hamiltonianoH lo realizamos para una longitud en lacadena deL = 4 hastaL = 14 (conL par) y con condiciones de contorno abiertas.

5.1.1. Modelo AKLT

A continuación daremos una breve descripción del modelo de AKLT para una cadenaabierta. El sistema descripto por el hamiltoniano dado por la ecuación (5.1) paraβ = 1/3fue resuelto exactamente por Affleck, Kennedy, Lieb y Tasaki (llamado modelo AKLT)[87, 88]. Encontraron que el estado fundamental con condiciones decontorno abiertas escuatro veces degenerado. En cambio, la cadena con condiciones de contorno periódicaspresenta un estado fundamental no degenerado conST = 0.

El estado fundamental del sistema puede representarse asignando a cada espínS = 1,dos espinesS = 1/2, donde los espinesS = 1/2, a su vez, están formando un singlete entre

5.1 Modelo 77

sitios vecinos. Mostraron que el estado fundamental está enun estado sólido de ligadurade valencia “valence bond solid state” (VBS) [87, 88]. Un estado de “valence bond” esformado con los espinesS = 1/2 en un estado singlete ((|↑↓〉 − |↓↑〉)/

√2). En la figura

5.2se muestra la representación de un espínS = 1 en cada sitio por dos espinesS = 1/2combinados formando un estado singlete entre sitios (líneallena). Los círculos representanla simetrización de dos espinesS = 1/2 en un sitio de la cadena. También se observa aα

y β representando los espinesS = 1/2 en los bordes de la cadena abierta (excitaciones deespínS = 1/2). Las proyecciones posibles enz de espín enα y β son±1/2.

Figura 5.2: Representación de un estado VBS en el estado fundamental delsistema para unacadena de espínS = 1 (modelo AKLT [87, 88]). Cada punto representa a un espínS = 1/2,las líneas respresentan a un singlete, y el círculo de puntosrespresenta a la simetrización delos espinesS = 1/2 para crear un espínS = 1. α y β representan a los espinesS = 1/2 en losbordes de la cadena abierta.

El estado fundamental del sistema (AKLT) en este caso se puede escribir de una formasencilla [98]:

|Ψ〉 =∏

k

ϕk, ϕk =

1√

2| 0 〉k −| 1 〉k

| − 1 〉k − 1√

2| 0 〉k

. (5.3)

En la expresión anterior|1〉, |0〉 y | − 1〉 son estados de espínS = 1 en el sitiok = 1, ..., L.En la ecuación (5.3) se puede ver que se tiene un producto de matrices que contienen a labase de espín; el resultado es una matriz de 2x2, donde las entradas contienen informaciónde los cuatro estados degenerados deH (ecuación (5.1]) para β = 1/3. Los términosno diagonales superior e inferior en|Ψ〉 representan a los estados con magnetizaciónSz

T = 1, S = 1 y SzT = −1, S = 1. Los dos términos diagonales corresponden al

estado conSzT = 0 y son expresados como:|Ψ〉s = 1√

Q(ψ + SI(ψ)), (estado singlete), y

|Ψ〉t = 1√Q

(ψ − SI(ψ)), (estado triplete), dondeSI es el operador inversión de espín.Q es laconstante de normalización yψ es el término diagonal superior

Para el caso deβ = 0 enH (ecuación (5.1)), tenemos el modelo de Heisenberg paraS = 1, y tiene un estado fundamental único. Éste modelo tiene comportamiento similar almodeloAKLT (ambos están en la fase de Haldane), pero con una longitud de correlacióndeξ ≈ 6 [89].


5.2. Matriz densidad reducida y medidas de entrelaza-miento cuántico

En la presente sección queremos cuantificar el entrelazamiento entre dos subsistemasde la cadena. Podemos, por ejemplo, calcular el entrelazamiento cuántico entre un sitiode la cadena,A, y el resto del sistema (figura5.3a), o entre un subsistema de dos (o más)sitios llamadoAB (figura5.3b) y el resto de la cadena (usualmente denominadoC). Paracaracterizar, a su vez, el entrelazamiento cuántico entreA y B, trazamos sobre los otrossitios del sistema y de esta manera calculamos la matriz densidad reducidaρAB = TrC[ρ],dondeρ = |GS〉〈GS| es la matriz densidad del estado fundamental (esto también es válidopara cualquier estado puro del sistema).

Figura 5.3: Representación gráfica de una cadena de espínS = 1 con condiciones de contornoabiertas. En la figuraa) observamos el subsistemaA (líneas de puntos) yA representa elcomplemento deA. Se traza sobre el resto de sitios (A) para obtenerρA. En la figurab)observamos la representación del subsistemaAB (líneas de puntos), compuesto de dos sitiosdiferentesi y j, y el sistema de sitios restantes está representado porC.

La matriz densidad reducida para dos sitios cualquierai y j en la cadena abierta tienedimensión 9x9, debido a que se tienen tiene 3 grados de libertad de espín en cada sitio(Sz

i = 1, 0,−1). La base usada para describir un sitio esB1 = {|Sz〉 = |1〉, |0〉, | −1〉} (Sz esla proyecciónz del espín) y para dos sitios la base es obtenida del producto directo de lossubespacios de un sitioB2 = B1 ⊗ B1.

En el caso en que deseemos caracterizar el entrelazamiento de un sitio con el restode la cadena, la matriz densidad reducida en el subsistemaA es calculada como:ρA =

TrA[ρ] (en la figura5.3a, observamos el subsistemaA y su complementoA en una cadenade longitudL). En A es calculada de manera similarρA = TrA[ρ]. La matriz densidadreducida para un sitio es de dimensión 3x3 y por simetría no mezcla estados con diferentecomponente de espín, debido a que el hamiltoniano del sistema (ecuación5.1) conmutaconSz

T ([HBB,SzT] = 0, conSz

T =∑

i Szi ). Por consiguiente la formaρA es diagonal:

ρA =

ρA11 0 00 ρA

22 00 0 ρA

33

. (5.4)

Los valores deρA11, ρ

A22 y ρA

33 son reales no negativos y representan las probabilidades

5.2 Matriz densidad reducida y medidas de entrelazamiento cuántico 79

de encontrar a un estado en el sitioi con proyecciónSz = 1, 0,−1 respectivamente (Arepresenta al sitioi), con lo cual se tiene tambiénTr[ρA] = 1 (normalización).

Es sencillo encontrar una relación entreρA y los valores medios deSγ, dondeγ =x, y, z. Primero escribimos la representación matricial para las diferentes componentes de

espín en la baseB1, de la siguiente forma:Sx = 1√2

0 1 01 0 10 1 0

, Sy = 1√2i

0 1 0−1 0 10 −1 0

,

Sz = 1√2

1 0 00 0 00 0 −1

.

Finalmente, después de un poco de álgebra, podemos obtener los elementos deρA enfunción de〈Sz

i 〉 y 〈(Szi )

2〉 (hemos resuelto un sistema de ecuaciones dado por〈(Szi )

n〉 =Tr[(Sz

i )nρ] = Tr[(Sz

i )nρA], paran = 1, 2), donde el operadorSz

i actúa en el subsistemarepresentado porA, y de esta manera la ecuación (5.4), queda expresada de la forma:

ρA =

12[〈(Sz

i )2〉 + 〈Sz

i 〉] 0 00 1− 〈(Sz

i )2〉 0

0 0 12[〈(Sz

i )2〉 − 〈Sz

i 〉]

. (5.5)

El entrelazamiento del subsistemaA con el resto del sistema, está caracterizado porla entropía de von NeumannS = −ρAlog2ρ

A (ver apéndiceA.1). Obtenemos la expresiónpara la entropía cuánticaS en función de los valores medios de las primeras potencias deSz

i , y queda expresada de la forma:

S = −12

[〈(Szi )

2〉 + 〈Szi 〉]log2[

12

(〈(Szi )

2〉 + 〈Szi 〉)] − [1 − 〈(Sz

i )2〉]log2[1 − 〈(Sz

i )2〉]

− 12

[〈(Szi )

2〉 − 〈Szi 〉]log2[

12

(〈(Szi )

2〉 − 〈Szi 〉)]. (5.6)

Seguidamente calculamos los valores extremos en la ecuación (5.6) (valores quemaximizan o minimizan la ecuación). Para ello hacemos un cambio de variablesα =〈(Sz

i )2〉 y δ = 〈Sz

i 〉, y obtenemos los valores deα y δ que extreman la ecuación (5.6).Calculamos las derivadas de la ecuación (5.6) respecto de dichas variables, y, fijando:∂αE(α, δ) = 0 y ∂δE(α, δ) = 0, resolvemos el sistema de ecuaciones y obtenemos losvalores deα0 = 〈(Sz

i )2〉(0) = 2/3 y δ0 = 〈Sz

i 〉(0) = 0 (mostramos sólo las solucionescon significado físico). Con ésto obtenemosSmax = log2(3), que significa máximoentrelazamiento ya que los autovalores deρA son todos iguales aωk = 1/3, parak = 1, 2, 3, donde hay 3 grados de libertad por sitio. Esto significa quetodos los estadoscon proyeccionesz de espín igual a 1, 0,−1 en el sitioi, tienen la misma probabilidad enel estado fundamental (implicando invariancia rotacional).

De una manera similar, obtenemos la matriz densidad reducida para dos sitios de lacadena,i y j (A y B representan a los sitiosi y j respectivamente). En la figura5.3bobservamos la representación gráfica de los subsistemasA y B en una cadena de espines


S = 1, y de longitudL. Con el argumento anterior tenemos que estados con diferente Sz

no se mezclan enρAB, y por lo tanto la matriz densidad reducida en la base de dos sitiosB2=B1⊗B1= {|Sz

A,SzB〉} = {|1, 1〉, |1, 0〉, |1,−1〉, |0, 1〉, |0, 0〉, |0,−1〉, |−1, 1〉, |−1,0〉, |−1,−1〉}

queda de la forma:

ρAB =

a11 0 0 0 0 0 0 0 00 a22 0 a24 0 0 0 0 00 0 a33 0 a35 0 a37 0 00 a42 0 a44 0 0 0 0 00 0 a53 0 a55 0 a57 0 00 0 0 0 0 a66 0 a68 00 0 a73 0 a75 0 a77 0 00 0 0 0 0 a86 0 a88 00 0 0 0 0 0 0 0 a99

. (5.7)

En este caso, la obtención de la matriz densidad reducida para dos sitios en función deobservables físicos es de mayor complejidad. Es posible obtenerρAB en términos de lasfunciones de correlación de espín y valores medios de los operadores de espín. En estecaso los elementos diagonalesaii , son obtenidos y expresados de la siguiente forma:

a11 = [〈SzASz

B〉 + 〈(SzA)2(Sz

B)2〉 + 〈(SzA)2(Sz

B)〉 + 〈(SzA)(Sz

B)2〉])/4,

a99 = [〈SzASz

B〉 + 〈(SzA)2(Sz

B)2〉 − 〈(SzA)2(Sz

B)〉 − 〈(SzA)(Sz

B)2〉]/4,

a22 = [−〈(SzA)2(Sz

B)2〉 + 〈(SzA)〉 + 〈(Sz

A)2〉 − 〈(SzA)(Sz

B)2〉]/2,

a88 = [−〈(SzA)2(Sz

B)2〉 − 〈(SzA)〉 + 〈(Sz

A)2〉 + 〈(SzA)(Sz

B)2〉]/2,

a33 = [−〈SzASz

B〉 + 〈(SzA)2(Sz

B)2〉 − 〈(SzA)2(Sz

B)〉 + 〈(SzA)(Sz

B)2〉]/4,

a77 = [−〈SzASz

B〉 + 〈(SzA)2(Sz

B)2〉 + 〈(SzA)2(Sz

B)〉 − 〈(SzA)(Sz

B)2〉]/4,

a44 = [−〈(SzA)2(Sz

B)2〉 + 〈(SzB)〉 + 〈(Sz

B)2〉 − 〈(SzA)2(Sz

B)〉]/2,

a66 = [−〈(SzA)2(Sz

B)2〉 − 〈(SzB)〉 + 〈(Sz

B)2〉 + 〈(SzA)2(Sz

B)〉]/2,

a55 = 1+ 〈(SzA)2(Sz

B)2〉 − 〈(SzA)2〉 − 〈(Sz

B)2〉 (5.8)


Paraai j (i , j) obtenemos las siguientes relaciones:

a24 = a42 =12

[2〈SzASx

ASxBSz

B〉 + 〈SzASx

ASxB〉 + 〈Sx

ASzBSx

B〉],

a68 = a86 =12

[2〈SzASx

ASxBSz

B〉 − 〈SzASx

ASxB〉 − 〈Sx

ASzBSx

B〉],

a35 = a53 =12

[〈SxASx

B〉 − 2〈SzASx

ASxBSz

B〉 + 〈SzASx

ASxB〉 − 〈Sx

ASzBSx

B〉],

a57 = a75 =12

[〈SxASx

B〉 − 2〈SzASx

ASxBSz

B〉 − 〈SzASx

ASxB〉 + 〈Sx

ASzBSx

B〉],

a37 = a73 = 2〈(SxA)2(Sx

B)2〉 −〈(Sz

A)2(SzB)2〉

2+ 〈(Sz

A)2〉 + 〈(SzB)2〉 − 2. (5.9)

Las relaciones anteriores para los elementos de la matriz densidad reducida de dossitios en función de valores medios y de funciones de correlación de espín están expresadasen forma general. Para algunas simetrías en el sistema las relaciones se simplifican. Si secumple que el sistema tieneSz

T = 0 y, además, queρAB conmuta con el operador deinversión de espínSI ([ρAB,SI] = 0, donde por ejemploSI|1,−1〉 = |−1, 1〉), entonceslos elementos diagonales deρAB cumplen las siguientes relaciones:a11 = a99, a22 = a88,a44 = a66, a33 = a77, y para los términos no diagonales se tiene:a24 = a86, a53 = a57. Alreemplazar estas expresiones en la ecuación (5.8) tenemos:

a11 = a99 = [〈SzASz

B〉 + 〈(SzA)2(Sz

B)2〉]/4,

a22 = a88 = [−〈(SzA)2(Sz

B)2〉 + 〈(SzA)2〉]/2,

a33 = a77 = [−〈SzASz

B〉 + 〈(SzA)2(Sz

B)2〉]/4,

a44 = a66 = [−〈(SzA)2(Sz

B)2〉 + 〈(SzB)2〉]/2,

a55 = 1+ 〈(SzA)2(Sz

B)2〉 − 〈(SzA)2〉 − 〈(Sz

B)2〉 (5.10)

Y para los términos no diagonales se tiene:

a24 = a42 = a86 = a68 = 〈SzASx

ASxBSz

B〉,

a68 = a86 =12

[2〈SzASx

ASxBSz

B〉 − 〈SzASx

ASxB〉 − 〈Sx

ASzBSx

B〉],

a35 = a53 = a57 = a75 =12

[〈SxASx

B〉 − 2〈SzASx

ASxBSz

B〉],

a37 = a73 = 2〈(SxA)2(Sx

B)2〉 −〈(Sz

A)2(SzB)2〉

2+ 〈(Sz

A)2〉 + 〈(SzB)2〉 − 2. (5.11)

Por último, si consideramos una simetría de traslación en elsistema o el caso en queρAB no cambie ante el intercambio deA y B (ρAB = ρBA), entonces se cumple que:〈(Sz

A)2〉 =〈(Sz

B)2〉 con lo cual las expresiones en la ecuación (5.10) quedan más simplificadas ya quese cumple:a22 = a44 = a66 = a88. En [99, 100] obtienen expresiones para la negatividaden función de observables para un sistema de espinesS = 1 y con con diversas simetrías.


5.2.1. Negatividad en dos sitios de la cadena

La medida del entrelazamiento cuántico entre dos partes de un sistema no es única yexisten varias posibilidades [90]. El entrelazamiento cuántico en un sistema bipartito:i)en un estado puro es medido por la entropía de von Neumann (verapéndiceA.1); ii ) en unestado mixto y para un par de qubits (sistema de dos niveles, por ejemplo espínS = 1/2)es medido por la concurrencia (ver apéndiceA.2); iii ) en un estado mixto y con más de dosgrados de libertad en cada subsistema es medido por la negatividad (ver apéndiceA.3).

En el caso de una cadena de espínS = 1, en cada sitio se tienen tres grados de libertad,por lo tanto la concurrencia [47] deja de ser aplicable. Para medir el entrelazamiento entresubsistemas con más de dos grados de libertad en un estado bipartito mixto, usaremosla “negatividad” como medida del entrelazamiento entre losmismos [93], ya que lanegatividad es aplicable a matrices mixtas. Para más detalles de la obtención de lanegatividad ver apéndiceA.3.

Estamos interesados en calcular el entrelazamiento cuántico entre dos sitiosi y j de lacadena deS = 1 representada por el hamiltonianoH (ecuación5.1) conβ = 1/3 (AKLT)y β = 0 (Heisenberg). Para ello debemos primero obtener la matrizdensidad reducidaρAB, donde el subsistemaAB corresponde a ambos sitios (figura5.3b), trazando sobre losgrados de libertad del resto de la cadena (subsistemaC).

Usaremos la ecuación (A.9) del apéndiceA.3 para caracterizar el entrelazamiento entrequtrits (sistema de 3 niveles, en nuestro caso el estado en unsitio tieneSz

i = 1, 0,−1), asícomo también para sistemas con más grados de libertad. La negatividad es calculada de laforma:N = |

∑i µi |, dondeµi son los autovalores negativos deρTA, la cual es definida como

la transpuesta parcial deρAB en el subespacio deA. Como primer paso del cálculo delentrelazamiento entre dos sitios en la cadena, calculamos la transpuesta parcial deρAB (lamatriz densidad reducida está dada por la ecuación (5.7)) en el subespacio deA, y para esousamos la ecuación (A.8) que es de la forma:〈iA; jB|ρTA|kA; lB〉 = 〈kA; jB|ρ|iA; lB〉, donde labase|iA; jB〉 pertenece al espacio de Hilbert del producto ortonormal de las bases deA yB, |iA, jB〉 = |iA〉 ⊗ | jB〉. Con todo lo anterior, obtenemosρTA:

ρTA =

a11 0 0 0 a42 0 0 0 a73

0 a22 0 0 0 a53 0 0 00 0 a33 0 0 0 0 0 00 0 0 a44 0 0 0 a75 0

a24 0 0 0 a55 0 0 0 a86

0 a35 0 0 0 a66 0 0 00 0 0 0 0 0 a77 0 00 0 0 a57 0 0 0 a88 0

a73 0 0 0 a68 0 0 0 a99

. (5.12)

En la expresión anterior observamos queρTA está desacoplada en 5 bloques de

diversas dimensiones. Los bloquesKi son: K1 = a33, K2 = a77, K3 =1√2

(a22 a53

a35 a66

),


K4 =1√2

(a44 a75

a57 a88

), K5 =

a11 a42 a73

a24 a55 a86

a37 a68 a99

.

Con las expresiones anteriores es fácil la diagonalización. El valor absoluto de la sumade los autovalores negativos de todos los bloques nos proporciona el valor de la negatividadN. La matriz densidad reducidaρAB es hermitiana, con lo cual se tiene queai j = a∗j i y sinpérdida de generalidad conisderaremos coeficientes reales. Los 6 primeros autovaloresµi

deρTA son los siguientes:

µ1 = a33,

µ2 = a77,

µ3,4 =a22 + a66

2±

√(a22 − a66

2)2 + a2

35,

µ5,6 =a44 + a88

2±

√(a44 − a88

2)2 + a2

57 (5.13)

Los autovalores restantes para el bloqueK5 (µ, n = 7, 8, 9) son soluciones de la ecuación:(a11− λ)(a55 − λ)(a99 − λ) + 2a24 a68 a37− {(a55− λ)a37+ (a11− λ)a68+ (a99 − λ)a42}=0.La ecuación anterior tiene solución analítica cuando el sistema presenta ciertas simetrías(por ejemploST = 0). La suma de los valores absolutos de los autovalores negativos encada bloqueKm (m = 3, 4, 5) nos proporciona el valor de la negatividadN (recordemosqueaii ≥ 0), y podemos expresarla de la siguiente forma:

N = max{√

(a22 − a66

2)2 + a2

35−a22+ a66

2; 0}

+ max{√

(a44 − a88

2)2 + a2

57−a44+ a88

2; 0}

+ max{−µ7; 0} +max{−µ8; 0} +max{−µ9; 0} (5.14)

Un caso particular es cuando el sistema tiene ciertas simetrías, con lo cual la expresiónpara la negatividad queda de un forma simplificada. En caso que se tenga en el sistemaSz

T = 0, los elementos diagonales deρAB cumplen las relaciones dadas por las ecuaciones(5.10) y (5.11), y si consideramos que el sistema tiene simetría de inversión de espín,entonces se tiene las siguiente relación para la negatividad:

N = max{ 2(|a35| − a22) ; 0 } + max{ |a37| − a11 ; 0 }

+ max{12

√(a11 + a37− a55)2 + 8a2

24−12

(a11+ a37+ a55) ; 0 } (5.15)

En conclusión, obtuvimos una expresión simple para la negatividad entre dos sitiosde la cadena. Si reemplazamosai j en función de funciones de correlación de espín(ecuaciones (5.8) y (5.9), para el caso general), podemos obtener la negatividad entérminos de funciones de correlación de espín.


5.2.2. Concurrencia parcial

Para un sistema de espín 1/2 es fácil obtener el entrelazamiento entre dos qubits [47].En el caso de espínS = 1, para poder utilizar las relaciones de entrelazamiento obtenidasen [47] tenemos que realizar un cambio de base para el espínS = 1, y reescribirla en labase de dos espines 1/2 en cada sitio de la cadena. Por lo tanto podemos escribir la base deespínS = 1, en la base de dos espines 1/2 sin considerar el singlete, ya que tieneS = 0,de la forma:

|1〉 = |↑; ↑〉,

|0〉 =1√

2[|↑; ↓〉 + | ↓, ↑〉],

|−1〉 = |↓; ↓〉. (5.16)

En este caso los estados| ↑〉, | ↓〉; corresponden a las proyecciones de espín en ladirecciónz de un espín 1/2 (un qubit). Podemos escribir la matriz de cambio de baseR, que lleva un estado de espín 1, a una base de dos espines 1/2, de la siguiente forma:

R=

1 0 00 1√

20

0 1√2

0

0 0 1

. (5.17)

Anteriormente, hemos calculado la matriz densidad reducidaρA para un sitio deS = 1(ecuaciones5.4, 5.5). Realizando un cambio base, podemos reescribirρA en la base de dosqubits para dicho sitio, con lo cual obtenemosρA

q = RρART , dondeRT es la transpuesta deR, y ρA

q queda expresada en la baseBq = {|↑↑〉; |↑↓〉; |↓↑〉, |↓↓〉}, de la siguiente manera:

ρAq =

ρA11 0 0 0

0ρA

222

ρA222 0

0ρA

222

ρA222 0

0 0 0 ρA33

. (5.18)

Los elementos deρAq quedan expresados en función de los valores medios de las

primeras potencias deSzi , y son de la forma (ecuación5.5):

ρA11 =

12

[〈(Szi )

2〉 + 〈Szi 〉],

ρA22 = 1− 〈(Sz

i )2〉,

ρA33 =

12

[〈(Szi )

2〉 − 〈Szi 〉]. (5.19)

Posteriormente calculamos la concurrenciaC (ecuación (A.6) del apéndiceA.2) entredos qubits en un mismo sitio en la cadena, donde ahora nuestrosistemaA es un sitiodado compuesto por espinesS = 1/2. Nosotros usamos la concurrencia como medidadel entrelazamiento, ya que es equivalente al entrelazamiento de formaciónE (ver [47]


Figura 5.4: Representación de un espínS = 1 por dos espines 1/2 (qubits), en cada sitio de lacadena de longitudL, dondeq(n)

i representa al qubitn = 1, 2 en el sitioi = 1, ..., L.

y apéndiceA.2). La expresión para el entrelazamiento de formación en función de laconcurrencia entre dos qubits en un estado mixto fue calculado por Wootters en [47] (paramás detalles verA.2), y es muy usada como medida del entrelazamiento entre qubits enun estado mixto.ρA

q , es la matriz densidad reducida de dos qubits en un estado mixto (verfigura 5.4), donde hemos trazado sobre los grados de libertad restantes del sistema. Laconcurrencia está dada por la expresión:

C(ρ) = max{0, λ1 − λ2 − λ3 − λ4}, (5.20)

dondeλi es un autovalor de la matriz hermitianaP =

√√ρA

q ρAq

√ρA

q , y ρAq = (σy ⊗

σy)ρAq∗(σy ⊗ σy), σy es la matriz de Pauli yρA

q es la matriz densidad reducida de un par dequbits. Para una matriz densidad de la formaρ [74]:

ρ =

v 0 0 00 w z 00 z x 00 0 0 y

, (5.21)

la concurrencia queda expresada de la siguiente manera:

C(ρ) = max{0, 2(|z| − √yv)}. (5.22)

Los elementos diagonalesv,w, x, y son reales, ya que representan las probabilidades deencontrar a los qubits en los estados{| ↑↑〉; | ↑↓〉; | ↓↑〉, | ↓↓〉}, y z representa la mezcla deestados con componente de espínSz = 0.

Para un sitio deS = 1, la matriz densidadρAq , fue calculada anteriormente (ecuación

5.18) y con ella podemos calcular la concurrencia entre dos qubits pertenecientes a unmismo sitioi (ver figura5.4) usando la relación5.22. La concurrencia en este caso quedaexpresada como:

C(1,2)i = Cq(1)

i ,q(2)i= max{0, 1− 〈(Sz

i )2〉 −

√〈(Sz

i )2〉2 − 〈Sz

i 〉2)}. (5.23)

La expresiónC(1,2)i representa la concurrencia entre los qubits 1 y 2, pertenecientes al

mismo sitioi. Observamos queC(1,2)i = 1 (máximo entrelazamiento) para〈(Sz

i )2〉=〈Sz

i 〉=0.Lo anterior implica que en el sitioi, el estado de espínS = 1 queda expresado por los dosqubits en un estado triplete [|↑↓〉 + |↓↓〉]/

√2. El entrelazamiento será diferente de cero,

cuando se cumpla la siguiente relación: 2〈(Szi )

2〉 − 1 < 〈Szi 〉2 y 〈(Sz

i )2〉2 > 〈Sz

i 〉2.


Por otro lado también podemos calcular el entrelazamiento cuántico (usando laentropía de von Neumann en este caso, verA.1) entre un qubit en el sitioi, y el restodel sistema en un estado puro. Para eso trazamos enρA

q de la relación (5.18) sobre el qubit

2 (es equivalente si trazamos sobre el otro qubit)ρq(1)i = trq(2)

i[ρA

q ]:

ρq(1)i =

ρA

11 +ρA

222 0

0 ρA33+

ρA222

=

( 12(1+ 〈Sz

i 〉) 00 1

2(1− 〈Szi 〉)

). (5.24)

El entrelazamiento entre el qubitq(1)i y el resto de la cadena queda bien representado

por la entropía de von Neumann, y queda expresado por la expresión:

S = −12

(1+ 〈Szi 〉)log2[

12

(1+ 〈Szi 〉)] −

12

(1− 〈Szi 〉)log2[

12

(1− 〈Szi 〉)]. (5.25)

Observamos de las ecuaciones (5.24) y (5.25), que el entrelazamiento será mínimoentre entre un qubit localizado en el sitioi y el resto del sistema cuando〈Sz

i 〉 = ±1. Estoimplica que el estado en el sitioi es |↑↑〉 o |↓↓〉 (la proyección del espínS = 1 en dichositio i es 1 o−1 respectivamente). En cambio el entrelazamiento será máximo cuando〈Sz

i 〉 = 0, por lo tanto la probabilidad de encontrar al qubit 1 o 2 en elsitio i es la misma(pq(1) = pq(2) = 1/2).

Lo último que calcularemos en esta subsección es la concurrencia entre dos qubitslocalizados en diferentes sitios, por ejemplo en el sitioi y j (ver figura5.4). La matrizdensidad para dos sitios en la base del espínS = 1 es de 9x9 (ver ecuación5.7).Realizamos un cambio de base de espínS = 1 a la de dos espines 1/2 (qubits).Anteriormente calculamos la matriz de cambio de baseR para un sitio en la base de losqubits (ver ecuación5.17) con lo cual, podemos calcular la matriz de cambio de base parados sitiosR2 = R ⊗ R . La matriz densidad reducidaρAB

q en base de los qubits quedaexpresada por:

ρABq = R2 ρ

ABRT2 . (5.26)

En la expresión anterior,ρABq y R2 son la matriz densidad reducida de dos sitios (i y j), en

la cadena de espín 1, y la matriz de cambio de base de espínS = 1 a la base de los qubitsrespectivamente. Cabe resaltar que las dimensiones deρAB

q y R2 son 16x16 y 9x16. Lasmatrices de cambio de base de uno y dos sitiosR y R2, no son unitarias, lo cual implicaque no podemos ir de la base de los qubits a la base de espínS = 1.

Para obtener la matriz densidad reducida a los qubits de interés,q(n)i y q(m)

j trazamos

sobre los grados de libertad restantesρq(n)i ,q(m)

j= trq(n′)

i ,q(m′)j

[ρABq ], dondeq(n)

i es el qubit

n (n = 1, 2), en el sitioi (i = 1, ..., L), y q(m)j es el qubitm (m = 1, 2) ubicado en

el sitio j ( j = 1, .., L), donden′ , n y m′ , m. La matriz densidad reducida entrecualquier par de qubits de dos sitios dadosi y j es la misma; esto quiere decir queρq(1)

i ,q(1)j= ρq(1)

i ,q(2)j= ρq(2)

i ,q(1)j= ρq(2)

i ,q(2)j

. Obtenemos la matriz densidad reducida en la base


Bq= {|↑↑〉; |↑↓〉; |↓↑〉, |↓↓〉} tal como se observa en la siguiente expresión (en función de loselementos de matrizρAB dadas por ecuación (5.7)):

ρq(n)i ,q(m)

j=

v 0 0 00 w z 00 z x 00 0 0 y

. (5.27)

En la expresión anterior, los elementos de matriz quedan expresados de la siguientemanera:

v = ρAB11 +

ρAB22

2+ρAB

44

2+ρAB

55

4,

w =ρAB

22

2+ ρAB

33 +ρAB

55

4+ρAB

66

2,

x =ρAB

44

2+ρAB

55

4+ ρAB

77 +ρAB

88

2,

y =ρAB

55

4+ρAB

66

2+ρAB

88

2+ ρAB

99 ,

z=ρAB

24

2+ρAB

35

2+ρAB

57

2+ρAB

68

2. (5.28)

En la relación (5.28) reemplazamos los elementosρABkl (k, l = 1, ...9) en función de las

relaciones en (5.8) y (5.9), con lo cual obtenemos:

v =14

[1 + 〈SzASz

B〉 + 〈SzA〉 + 〈S

zB〉],

w =14

[1 + 〈SzASz

B〉 − 〈SzA〉 − 〈S

zB〉],

x =14

[1 − 〈SzASz

B〉 + 〈SzA〉 − 〈S

zB〉],

y =14

[1 − 〈SzASz

B〉 − 〈SzA〉 + 〈S

zB〉],

z=〈Sx

ASxB〉

2. (5.29)

Con lo anterior podemos calcular la concurrencia entre los dos qubits localizadosen diferentes sitios (i y j representados porA y B respectivamente), para lo cualreemplazamos la ecuación (5.29) en la ecuación (5.22), y obtenemos:

Cqi ,qj = max{ 0 ; |〈SxASx

B〉| −12

√(1+ 〈Sz

ASzB〉)2 − (〈Sz

A〉 + 〈SzB〉)2) }. (5.30)

En la expresión anteriorCqi ,qj es la concurrencia entre los qubits localizados en lossitios i y j con i , j (como se mencionó anteriormente no depende del qubit en un sitiodado, esto quiere decirCq(1)

i ,q(1)j= Cq(1)

i ,q(2)j= Cq(2)

i ,q(1)j= Cq(2)

i ,q(2)j

, por lo cual usaremos lanotaciónCqi ,qj , para referirnos a la concurrencia entre qubits entre diferentes sitios).


En el caso que se tengaSzT = 0 en el sistema total, la expresión para la concurrencia

queda expresada de una manera más simple de la forma (〈SzA〉 = 〈S

zB〉 = 0):

Cqi ,qj (SzT = 0) = max{ 0 ; |〈Sx

ASxB〉| −

12|1+ 〈Sz

ASzB〉|) }. (5.31)

La expresión anterior se simplifica aún más, debido a que paraST = 0 el sistemapresenta invariancia rotacional, lo cual implica〈Sz

ASzB〉 = 〈Sx

ASxB〉 = 〈S

yASy

B〉, y la relación(5.31), queda de la forma:

Ci, j = Cqi ,qj (ST = 0) = max{ 0 ; |〈SzASz

B〉| −12|1+ 〈Sz

ASzB〉|) }. (5.32)

Podemos observar que el entrelazamiento entre los qubits será máximo (C = 1),cuando〈Sz

ASzB〉 = −1 y el sistema estará entrelazado (C , 0) cuando se cumpla:

−1 ≤ 〈SzASz

B〉 < −1/3, caso contrario será separable (C = 0). Con esto encontramos laregión de estados separables y entrelazados con el uso de la “concurrencia parcial” entreespines 1/2, considerados como componentes de cada espínS = 1.

En la siguiente sección mostraremos resultados de la concurrencia y de la negatividady realizaremos comparaciones entre las mismas, ya que esto nos permitirá comprobar si lanegatividad es una buena medida para el entrelazamiento en nuestro sistema.

5.3. Negatividad versus concurrencia

En esta sección estudiamos el entrelazamiento entre dos sitios en una cadena de espínS = 1 usando la negatividad [93] como una medida del entrelazamiento cuántico. Paradeterminar si ésta es una buena medida del entrelazamiento,la compararemos con laconcurrencia calculada entre dos qubits ubicados en diferentes sitios en la cadena abiertaunidimensional (ver subsección5.2.2).

5.3.1. Resultados numéricos

En la sección5.2.1 obtuvimos relaciones para la concurrencia y negatividad queson medidas del entrelazamiento cuántico. En esta subsección mostraremos resultadosnuméricos utilizando estas deficiones.

En la figura5.5, mostramos resultados para el modelo AKLT [87, 88], dondeβ =1/3 en5.1 en el subespacio deSz

T = 1, ya que en dicho subespacio podemos observarlas excitaciones de espín en los bordes de la cadena (paraSz

T = 0, 〈Szi 〉 ≈ 0, para todo

sitio i en la cadena). El subespacio deSzT = −1 es equivalente ya que podemos obtener

las propiedades en este subespacio aplicando el operador deinversión de espínS I en elsubespacioSz

T = 1. En la figura5.5a observamos〈Szi 〉 en función del sitioi en la cadena,

y notamos que las excitaciones están muy localizadas en los bordes de la cadena. En [79],estudiaron con DMRG la función〈Sz

i 〉 en el modelo AKLT, para 100 sitios en la cadena, y

5.3 Negatividad versus concurrencia 89

se observa que la correlación de espín decae exponencialmente, similar a nuestro caso (elefecto de tamaño no es apreciable para este caso). En el modelo AKLT para longitud en lacadena deL = 14, no observamos efecto de tamaño debido a que la longitud decorrelacióndel bulk esξ = 1/ln(3) [79]. Por lo tanto con un sistema de un tamaño ligeramente mayorque 2ξ (≈ 4 para el AKLT), podemos obtener las propiedades deseadas del sistema.

Figura 5.5: Valor medio deSzi en función del sitioi (figura a). Entropía de von Neumann

Si de un sitioi (en círculos), entropía del primer qubit en el sitioi, S(1)i (en cuadrados), y

la concurrenciaC(1,2)i entre qubits en el mismo sitioi en símbolos de diamante (figurab. En

c) observamos el entrelazamiento cuántico entre primeros vecinos: la negatividadNi,i+1 encírculos y la concurrenciaCi,i+1 entre qubits localizados en sitios vecinos (en cuadrados),ypor último la entropía de dos sitiosSi,i+1 (mide el entrelazamiento de estos sitios con el restode la cadena), en símbolos de diamantes. El sistema es una cadena de espinesS = 1 de longitudL = 14, con condiciones de contorno abiertas, para el modelo AKLT en el subespacioSz

T = 1.

En la figura5.5b observamos la entropía cuántica de un sitioSi con el resto de lacadena en círculos (ecuación (5.6)). Observamos que los sitios en los bordes están pocoentrelazados con el resto de la cadena y lejos de los bordes satura a ln2(3) (ya que elsistema tiene 3 grados de libertad por sitio). Lo mismo se observa para la entropía cuánticadel primer qubitS(1)

i en el sitioi dada por ecuación (5.25) (espín 1/2) donde en los sitiosen los bordes de la cadena el entrelazamiento es menor que en los sitios cerca del centrode la cadena y en éste último caso satura a 1 (los grados de libertad disponibles son dos,las proyeccionesz de un espínS = 1/2). Un comportamiento opuesto se observa en laconcurrenciaC(1,2)

i entre dos qubits pertenecientes a un mismo sitio en la cadenai (ver larelación5.23), donde lejos de los bordes la concurrencia es cero. Este comportamientoopuesto entre la entropía y la concurrencia se debe a que se cumple la relación dela monogamia, que quiere decir que, por ejemplo en un sistematripartito, cuando dos


partes están máximamente entrelazadas, entonces el entrelazamiento de cualquiera deestas partes con la tercera es cero (para más detalles ver [101, 102]).

También estudiamos el entrelazamiento cuántico entre dos sitios vecinos (i y i + 1).En la figura5.5c graficamos la negatividadNi,i+1 (en círculos), observando que el sitio enlos bordes está entrelazado con sus primeros vecinos. El entrelazamiento entre primerosvecinos disminuye cuando nos alejamos de los bordes. La concurrencia entre qubitsCi,i+1 pertenecientes a sitios vecinos (ver5.30), tiene un comportamiento similar al dela negatividad.

Si analizamos el entrelazamiento del sitioi más el del sitioi + 1 (como un subsistemaAB) con el resto de la cadena, en ese caso el entrelazamiento es dado por la entropíacuántica (entropía von Neumann, para más detalle ver apéndice A.1) y correspondea los símbolos en forma de diamante (5.5c). Observamos que la entropía cuánticaSi,i+1 calculada en dos sitios tiene un comportamiento opuesto a lanegatividad y a laconcurrencia [101, 102].

En la figura5.6, observamos las mismas propiedades físicas que en el caso anterior(figura 5.5), paraβ = 0 (modelo de Heisenberg), en el subespacio deSz

T = 1. En lafigura5.6a, observamos〈Sz

i 〉 en función del sitioi, que tiene un comportamiento similaral del modelo AKLT, pero las excitaciones de espín 1/2 están más extendidas. La longitudde correlación, en este caso esξ ≈ 6 [89]. En este caso el tamaño de la cadenaL esimportante, ya que para obtener las propiedades en una formaapropiada,L > 2ξ (ennuestro casoL = 14).

Figura 5.6: Las propiedades físicas estudiadas son las mismas que en la figura5.5, paraβ = 0(modelo de Heisenberg) en el subespacio deSz

T = 1.

5.3 Negatividad versus concurrencia 91

Con el objetivo de captar las excitaciones de espínS = 1/2 (observadas experimen-talmente en [103]), originadas por los bordes de la cadena y analizar el efecto de tamañoen las propiedades físicas del sistema, estudiamos la negatividad N1,L entre los dos sitioslocalizados en los bordes de la cadenai = 1 y i = L.

Figura 5.7: Entrelazamiento cuántico entreA y B, la negatividad y la concurrencia calculadaentre los sitios localizados en los bordes de la cadenaN1,L para el modeloβ = 0 (a) y el modeloAKLT ( b). En ambos casos el subespacio fijado del sistema esSz

T = 0 y L = 14 sitios. En elinset se muestra la representación gráfica del sistema estudiado.

En la figura5.7, observamosN1,L y la concurrenciaC entre qubits localizados enlos bordes en función del tamaño de la cadenaL para el modelo AKLT y el modelo deHeisenberg en el subespacio deSz

T = 0. En la figura5.7a observamos que, paraβ = 0,la negatividad y la concurrencia coinciden paraL = 4, despues decaen rápidamente,saturando la negatividad al valor de 0.019 y la concurrencia en cero. Para el modelo AKLT(figura 5.7b), la negatividad y concurrencia paraL = 4 tienen valores diferentes, perotienen el mismo comportamiento monótono, saturando después deL = 8. La concurrenciasatura al valor de 0.167 (1/6, y en acuerdo con el valor obtenido en [70]), mientras que, lanegatividad en este caso a satura al valor de 0.111 (1/9) (en [70] obtienen 2/9 para el valorde la negatividad en el límite termodinámico, esto puede deberse a un error de los autores,ya que para valores deL = 10, las propiedades físicas del sistema están prácticamenteconvergidas, tal como se observa en la concurrencia).

Para complementar el estudio de la la negatividad y la concurrencia, estudiamos laentropía entre dos partes del sistema en un estado puro. Con tal fin realizamos unapartición en la cadena consistente en dos partesA y B (sistema bipartito puro), dondeel subsistemaA tieneLA = i sitios, contados desde el primer sitio de la cadena hasta elsitio i (LA = i = 1, ..., L/2), y el subsistemaB es el complemento, de longitudLB = L−LA);el caso deLA > L/2 es simétrico con respecto al caso deLA < L/2. En [98] estudiaron


la entropía cuántica para una bipartición del sistema en un estado puro en el modelo deAKLT.

Figura 5.8: Entropía cuántica en función del tamaño del sistemaA para el modelo AKLT(cuadrados) y en el modeloβ = 0 (círculos), paraSz

T = 0 (a) y paraSzT = 1 (b). Consideramos

la longitud de la cadena comoL = 14. En el inset se observa la representación gráfica de labipartición estudiada.

En la figura5.8a, observamos la entropía cuánticaSA calculada en el subsistemaAque mide el entrelazamiento entreA y B, ya que se trata de una bipartición de un sistemaen un estado puro. El entrelazamiento cuántico para el modelo AKLT en el subespacioSz

T = 0 (en cuadrados) entreA y B converge rápidamente a 2, con lo cual capturamos lasexcitaciones de espín 1/2. Este valor de la entropíaSA = 2 se debe a una contribucióndel proceso de partición realizada, ya que rompemos un estado singlete en la cadena (estoaporta una cantidad de entrelazamiento igual alog2 = 1) y otro aporte se debe a lasexcitaciones en los bordes que se encuentran en un estado singlete (dos grados de libertadenA que aportan un cantidad de entrelazamiento delog2 = 1). En cambio, paraβ = 0 (encírculos en la figura5.8a) la convergencia es más lenta dado que la longitud de correlaciónξ ≈ 6 y se tiene efecto de tamaño en el sistema.

En la figura5.8b, observamos las mismas cantidades físicas que en la figura5.7a, peropara el subespacio deSz

T = 1. En este caso, para el modelo AKLT, la entropía saturaparaLA = 2 al valor deSA = 1 (implica 2 grados de libertad efectivos en el sistema, queprovienen de cortar un singlete al realizar la partición y nose observa contribución de lasexcitaciones en los bordes ya que se encuentran en un estado triplete separable). En cambioparaβ = 0 la entropía presenta un comportamiento oscilatorio convergiendo al valor de1.25 (los grados de libertad efectivos son mayores que 2, pero menores que 3, esto se debea que tenemos una contribución de los grados de libertad del bulk [104]). Los resultadosde la partición anterior para el modelo AKLT fueron obtenidos anteriormente en [98, 104].

5.4 Negatividad y excitaciones de espín 93

Es importante notar que, para el modelo de Heisenberg, aparte de las contribuciones de lasexcitaciones a la entropía, el bulk contribuye a la misma, y esto puede deberse a que lasexcitaciones de espín generadas por los bordes de la cadena están extendidas y acopladasal bulk.

5.4. Negatividad y excitaciones de espín

En esta sección calculamos el entrelazamiento cuántico en un sistema bipartito mixto,donde los sistemasA y B contienen más de un espín respectivamente y el sistemaC esel resto de la cadena. En la figura5.9, mostramos la partición a estudiar en la cadena.Como queremos estudiar el entrelazamiento cuántico entreA y B, debemos considerar alsistema conjuntoAB en un estado mixto y tomar como medida del entrelazamiento a lanegatividad (ver subsección5.2.1y apéndiceA.3 ). Con la negatividad, queremos capturarlas excitaciones en ambos modelos (Heisenberg y AKLT).

Es importante conocer el valor de la negatividad para un estado máximamenteentrelazado (por ejemplo, un estado singlete o triplete de espines 1/2) con el objetivode comparar la negatividad en los sistemasA y B, con más de un sitio en cada sistema. Lamatriz densidadρ para un sistema de espines 1/2, en un estado triplete (+) o en un singlete(−), |ψ±〉 = (1/

√2)(|↑↓〉 ± |↓↑〉), tiene la siguiente forma en la base{|↑↓〉 |↑↓〉, |↓↑〉, |↓↓〉}:

ρ =

0 0 0 00 1/2 ±1/2 00 ±1/2 1/2 00 0 0 0

. (5.33)

Para calcular la negatividad necesitamos realizar la transpuesta parcial deρ en elsubespacioA (de un espínS = 1/2) (ver apéndiceA.3):

ρTA =

0 0 0 ±1/20 1/2 0 00 0 1/2 0±1/2 0 0 0

. (5.34)

Los autovalores deρTA son{1/2, 1/2, 1/2,−1/2}, la negatividad es el valor absoluto dela suma de los autovalores negativos deρTA, con lo cual la negatividad esNt,s = 1/2, parael singlete y el triplete.

En la figura5.10, observamos la negatividadN2−2entre los subsistemasA y B en elsubespacioSz

T = 0 y paraβ = 0 (Heisenberg) en función del barrido del sitioi (primer sitiodel subsistemaB). La figura5.9muestra un esquema del sistema en estudio. Observamosque la negatividadN2−2 (entrelazamiento entre los subsistemasA y B, conLA = LB = 2sitios en cada uno), disminuye cuando el subsistemaB se aleja del borde izquierdo, ydespués vuelve a aumentar cuando el subsistemaB se aproxima al borde derecho de la


Figura 5.9: Representación gráfica de una partición en la cadena de espínS = 1. Observamosen líneas punteadas a la agrupación de los subsistemasA y B (en este caso tenemos que lostamaños deA y B son LA = LB = 2). También estudiamos el caso paraLA = LB > 2.La posición del subsistemaA empieza en el primer sitio de la cadena, y la del subsistemaB empieza en el sitioi. Diremos que el subsistemaB se encuentra en el borde de la cadenacuando el primer sitio de éste seaL − LB + 1 y el último sitio seaL.

cadena. Esto indica que las excitaciones localizadas en losbordes en cada subsistemaestán entrelazadas. Adicionalmente en el inset, observamos la negatividadN2−2(L) entrelos subsistemasA y B localizados en los bordes de la cadena en función del tamaño dela cadenaL. En este caso la negatividad disminuye al aumentarL hasta que alcanza unvalor de saturación de aproximadamenteN(∗)

2−2(L) ≈ 0.145. El hecho que que no converja acero es un resultado importante e indica que las excitaciones fraccionarias (S = 1/2) estánentrelazadas. Para el modelo de AKLT, la negatividad está casi convergida al valor de 1/2paraL = 4, tal como se verá más adelante.

Figura 5.10: NegatividadN2−2entre los subsistemasA y B mostrados en la figura5.9 y paradiversos valores de la longitud de la cadenaL, en el subespacio deSz

T = 0, para el modelo deβ = 0. En el inset observamos la negatividadN2−2(L) entre los subsistemasA y B localizadosen los bordes de la cadena, en función deL. En este casoLA = LB = 2.

Con los resultados anteriores, aún no es suficiente para capturar las excitaciones totalesde espín con la negatividad. En la figura5.11observamos resultados para la negatividad


(NK−K) para diversos tamaños de los subsistemasA y B y dondeLA = LB = K representael número de sitios en los subsistemasA y B. En la figura5.11c observamos que elentrelazamiento cuántico (la negatividad) para el modelo AKLT entre el subsistemaA(siempre fijo en el borde derecho) y el subsistemaB (el cual recorre los sitios en lacadena) es aproximadamente 1/2 cuando no hay algún sitio entre los dichos subsistemas(o sea, cuando los subsistemas se “tocan”). Se observa que, al aumentari, la negatividaddisminuye y vuelve a recobrar el valor de 1/2, cuando el subsistemaB está en elborde derecho. Lo último correspondería a las excitacionesde espín 1/2 máximamenteentrelazadas. Para todo tamaño del subsistemaA o B (LA = LB = K) ese valor de lanegatividad no cambia. Anteriormente hemos visto que la negatividad para dos espinesS = 1/2 en un estado singlete o triplete esNt,s = 1/2, valor que observamos en la figura.Además no observamos un efecto de tamaño en el modelo AKLT (yaque la longitud decorrelación esξ = 1/ln(3) < LA = LB = K) y por lo tanto está prácticamente convergidaparaLA = LB = 2. Por completitud, en la figura5.11d, mostramos resultados de la entropíadel subsistemaA y B en conjunto con el resto del sistema (estado puro bipartito). Laentropía de los bloques en conjunto (AB) mide el entrelazamiento de estos con el resto dela cadena. Es importante notar que para el modelo AKLT el estado fundamental se puedeexpresar como un producto de singletes simetrizados (es un estado “VBS”). Esto genera3 escenarios posibles del sistema para la entropía cuánticaentre nuestros bloquesAB y elresto de la cadena:

i) Cuando los bloques de longitudK, se “tocan” la entropía es 2 debido a que setiene una contribución a la entropía de la excitación de espín del borde izquierdo de lacadena (con proyeccionzde espín±1/2) y otra contribución de dos grados de libertad delborde derecho del sistemaB, proveniente de la ruptura del singlete. Los grados de libertadefectivos son entonces,Ng = 4 todos con el mismo peso entonces la entropía generada esS = log24 = 2 (figura5.12a).

ii ) En el caso en que los bloquesA y B están separados (peroB, no se encuentra enel borde derecho), se tiene una contribución a la entropía delas excitaciones de espín delborde izquierdo, una contribución del borde derecho del bloqueA y otras de ambos bordesdel bloqueB (debido al rompimiento de los singletes), cada una con magnitud log22, conlo cual la entropía esS = 4log22 = 4 y Ng = 16 (figura5.12b).

iii ) El último caso es cuandoB se encuentra en el borde derecho de la cadena, con locual las excitaciones enA y en B se encuentran en un estado singlete (determinado porNK−K = 0.5) y no contribuyen a la entropía. En cambio los bordes derecho e izquierdode A y B contribuyen cada uno enlog22 a la entropía, con lo cual la entropía enAB es2log2 = 2.Los grados de libertad efectivos deABsonNg = 4 (figura5.12c).

Podemos observar en la figura5.11a lo mismo que en la figura5.11c, pero parael modelo de Heisenberg (β = 0), y observamos un comportamiento oscilante de lanegatividad, para diversos valores deK. Al aumentar los tamaños de los subsistemasAy B, se observa que el entrelazamiento aumenta conK cuando el subsistemaB está lomás cerca posible deA (esto se debe a la contribución del bulk, ya que en este caso lasexcitaciones de espín estan extendidas y acopladas al bulk). Adicionalmente, notamos quela negatividad aumenta conK cuandoB se encuentra en el borde derecho (los dos sistemas


Figura 5.11: Negatividad entre los subsistemasA y B (sistema mostrado en la figura5.9, conLA = LB = K), para el modelo de Heisenberg (a) y el modelo AKLT (c). Entropía en el sistemaA + B, para el modelo de Heisenberg (b), y el modelo AKLT (d). Los resultados mostradosson para el subespacioSz

T = 0 y L = 14 sitios.

Figura 5.12: Representación de los bloquesA y B de longitudLA = LB = K en el modelo deAKLT, paraSz

T = 0 . a) Los bloquesA y B se “tocan”.b) El bloqueB separado del bloqueA.c) El bloqueB en el borde derecho de la cadena. Están representadas las excitaciones de espínen los bordes (se encuentran en un estado singlete). Se representa la contribución a la entropíade cada borde deAB.


localizados en los bordes de la cadena). La negatividad en este caso no alcanza el valorde 1/2, ya que tenemos efecto de tamaño debido a queLA = LB = K es menor que lalongitud de correlaciónξ ≈ 6 ([89]) y la excitación de espín no está totalmente incluida enA y B. Es importante notar que, cuando el sistemaB se encuentra lejos de los bordes, elvalor de la negatividad es muy chico (<< 1/2) y oscilante con la posición del subsistemaB. Similarmente que para el modelo AKLT, en figura5.11b observamos la entropía devon Neumann para los subsistemasA y B en conjunto, en función deK, y se observaun comportamiento oscilatorio y opuesto al de la negatividad. Se observa una pequeñadiferencia del número de grados de libertad efectivos en la diversas posiciones del bloqueB con respecto al modelo AKLT, esto se debe a que se tiene contribuciones del bulk.

Figura 5.13: Resultados de la negatividad y la entropía de von Neumann (para los modelosde Heisenberg y AKLT) y con los mismos parámetros que la figura5.11, y en el subespacioSz

T = 1.

Por último, por completitud, mostramos resultados de la negatividad y de la entropía(para los mismos parámetros usados de la figura5.11), para el subespacio deSz

T = 1(figura5.13). Lo más relevante es que la negatividad es cero cuando los sistemasA y B,se encuentran localizados en los bordes (no hay entrelazamiento entre los mismos, paraambos modelos). Esto se debe a que las excitaciones de espínS = 1/2 se encuentran en unestado triplete separable, contrario al caso deSz

T = 0, en donde las excitaciones de espínse encuentran en un estado singlete (con máximo entrelazamiento). Se observa que cuandolos sistemasA y B se encuentran lo más cerca posible tienen un comportamientosimilaren la negatividad que al caso deSz

T = 0, para ambos modelos de AKLT y de Heisenberg.


Figura 5.14: Representación de los bloquesA y B de longitudLA = LB = K en el modelode AKLT, paraSz

T = 1, similar a la figura5.12. Las excitaciones de espín en los bordes seencuentran en un estado triplete.

Podemos entender el comportamiento deSK−K para el modelo de AKLT (figura5.13).Cuando los subsistemasA y B están muy próximos entre sí los grados de libertad efectivossonNg = 2 y no se tiene contribución de la excitación de espín en el borde izquierdo dela cadena porque forma un estado triplete con el espín de la derecha con proyecciónz deespín 1, y sólo contribuye a la entropía el borde derecho del bloqueB en log22 (debidoal rompimiento de un singlete). Por esto la entropía tiene unvalor de 1 (figura5.14a).Cuando el bloqueB está separado deA, se tienen contribuciones de los bordes derecho deA, izquierdo y derecho deB, con lo cual la entropía es 3log22 = 3. Los grados de libertdadefectivos sonNg = 8 (figura5.14b). Por último cuando los subsistemas están localizadosen los bordes de la cadena los grados de libertad sonNg = 4, ya que los bordes izquierdoy derecho deA y B respectivamente se encuentran en un estado triplete y no contribuyena la entropía. Los bordes derecho e izquierdo contribuyen cada uno enlog22 con lo cual laentropía es 2log2 = 2 (figura5.14c).

5.4.1. Efecto de tamaño

En esta subsección usamos el método de grupo de renormalización con matriz densidad(density matrix renormalization group, DMRG) como una herramienta para estudiar elentrelazamiento cuántico en el sistema de espinesS = 1. El método de DMRG fuedesarrollado por White [78, 80, 81, 82, 83] y permite estudiar cadenas de espín del ordende los cientos de sitios. El método de DMRG es un algoritmo numérico usado para latruncación eficiente del espacio de Hilbert de baja dimensionalidad en sistemas cuánticosfuertemente correlacionados. Este algoritmo alcanza una precisión sin precendentes enla descripción de sistemas cuánticos unidimensionales. Este método es aplicado en loscálculos de propiedades estáticas, dinámicas y cantidadestermodinámicas en sistemascuánticos de interés. El éxito del método depende del sistema en estudio y funciona con


una muy buena precisión en sistemas con gap de espín más que ensistemas críticos. Parauna revisión detallada del método se pueden ver las referencias en [81] y en [83].

En nuestro caso la cadena de espínS = 1 es un sistema con gap de espín en la fase deHaldane [96] (ver figura5.1), por lo cual el método de DMRG funciona bien. Ya hemostesteado nuestros resultados con diagonalización exacta,usando el método de Davidson[32] considerando hasta 14 sitios en la cadena. En el inset de la figura5.15observamos larepresentación gráfica del sistema estudiado. Calculamos el entrelazamiento cuántico entrelos subsistemasA y B, usando como medida del entrelazamiento cuántico la negatividad(ver apéndiceA.3). Para ésto, una vez obtenido el estado fundamental deH en elsubespacioSz

T = 0 con el método de DMRG, calculamos la matriz densidad reducidaρAB en la base truncada del DMRG [80, 78, 81, 82, 83] y luego la transpuesta parcial deρAB. La cantidad de estados guardados en el método de DMRG esm= 60, 70, 80 en cadabloque, y la dimensión de la matriz reducidaρAB esm2xm2. La longitud de los subsistemasA y B esLA = LB = L/2− 1, dondeL es la longitud total de la cadena.

Figura 5.15: Resultados de la negatividad en función deLA = LB = L/2 − 1, dondeL esla longitud de la cadena, para el subespacioSz

T = 0, en el modelo de Heisenberg (β = 0).Resultados obtenidos con el método de DMRG para valores dem = 60, 70, 80, dondem es elnúmero de estados guardados para el uso del método de DMRG.

En la figura 5.15 observamos resultados de la negatividad entre los subsistemasmostrados en el inset de la misma figura. Observamos que la negatividad no muestra unadependencia de la truncación del espacio de Hilbert realizado en el método de DMRG (nodepende fuertemente dem), lo cual es importante ya que conm = 60 el método capturatoda la física relevante de nuestro sistema, y con lo cual podemos ahorrar tiempo en loscálculos. Una acotación importante es que si quisiéramos estudiar otras longitudes paraA y B (LA = LB < L/2 − 1) deberíamos guardar la base del espacio de Hilbert truncadoen cada paso del DMRG y la programación para la matriz densidad reducida sería muy

100 Correlaciones cuánticas y entrelazamiento en cadenas de espín S=1

compleja, por lo cual queda como un trabajo a futuro. Con estopodríamos realizar unestudio similar al de las figuras5.10y 5.11, y obtener un análisis alternativo para estudiarlas excitaciones de espín en el sistema.

En la figura5.15notamos que la negatividad no satura a 1/2 (valor correspondiente aun singlete o triplete) paraLA = LB > ξ (longitud de correlación), lo cual quiere decirque, al estar extendidas las excitaciones de espín 1/2 para el modelo deβ = 0, estopodría originar que las excitaciones estén entrelazadas con el bulk [104], y por ende, unincremento en el valor de la negatividad esperado. ParaLA ≈ 15 la negatividad satura alvalor deNs = 0.683 > 1/2, y este valor podría deberse a contribuciones del bulk a lanegatividad.

5.5. Conclusiones y perspectivas

Conclusiones

En este capítulo estudiamos las propiedades de cadena de espín S = 1 desde el puntode vista de la información cuántica, como una extensión de los resultados obtenidos en loscapítulos anteriores. Primeramente obtuvimos la expresión analítica de la matriz densidadreducida de uno y dos sitios en función de valores de expectación del espín y sus potencias.Con esto expresamos analíticamente la negatividad, que es una medida del entrelazamientocuántico entre dos dos partes arbitrarias del sistema. Adicionalmente, usando resultadosprevios que expresan a cada espínS = 1 como el producto simétrico de dos espinesS =1/2 [87, 88], logramos expresiones analíticas para la concurrencia (también relacionadacon el entrelazamiento) que sólo es aplicable a qubits (S = 1/2).

Caracterizamos el entrelazamiento cuántico de un sitio de la cadena con el resto delsistema en los modelos AKLT y Heisenberg en el subespacioSz

T = 1, para lo cualusamos la entropía de von Neumann. Observamos que cada sitioen los bordes de lacadena está menos entrelazado con el resto de la cadena, que los sitios internos que estánmáximamente entrelazados (S = log23). Para el modelo de Heisenberg el aumento deentropía o entrelazamiento hacia el interior es más gradual, coherente con una mayorlongitud de correlaciónξ.

Con el fin de relacionar los resultados anteriores con las excitaciones de espín delsistema, calculamos〈Sz

i 〉 en función del sitioi. Observamos que en el modelo AKLT〈Sz

i 〉 alcanza su valor máximo para los bordes de la cadena y tiene uncomportamientooscilatorio que decae exponencialmente hacia el interior.Para el modelo de Heisenberg lafunción〈Sz

i 〉muestra un comportamiento oscilatorio más largo, correspondiendo al hechode que la longitud de correlación es mayor que para el modelo de AKLT. Encontramos unarelación para la entropía de un sitio en función de los valores medios de las dos primeraspotencias deSz

i y la entropía alcanza su valor máximo para〈Szi 〉0 = 0 y 〈(Sz

i )2〉0 = 2/3.

Cuando esto se cumple para todo sitioi, el sistema tiene invarianza rotacional (ST = 0).

5.5 Conclusiones y perspectivas 101

Con el objetivo de analizar las excitaciones de espín en los modelos de AKLT y deHeisenberg, usamos la negatividad como medida del entrelazamiento entre dos partesA yB de la cadena, con la misma cantidad de sitiosLA = LB ≥ 2, donde el subsistemaA seencuentra localizado en un borde de la cadena yB recorre la cadena. Para el subespacio deSz

T = 0 observamos que la negatividad es 1/2 cuando el subsistemaB se localiza lo máspróximo al subsistemaA, decae cuandoB se aleja y vuelve aumentar cuando se localizaen el otro borde de la cadena (la negatividad tiene un valor de1/2, e indica máximoentrelazamiento entre las excitaciones de espín localizadas en los bordes, que están en unestado singlete). Para el modelo de Heisenberg, la negatividad es mucho mayor que el valorde 1/2, cuando los dos subsistemas están próximos entre sí; esto se debe a que tenemoscontribución del bulk en el entrelazamiento cuántico entreA y B. Al alejarse el subsistemaB deA, la negatividad decae rápidamente y se incrementa cuandoB se localiza en el borde,pero este valor es menor que 1/2, indicando que las excitaciones están entrelazadas perono máximamente. Esto podría deberse a efecto de tamanño (LA =B< ξ). En general, elhecho de que las excitaciones de espín estén máximamente entrelazadas significa, quea bajas energías, se puede reescribir el hamiltoniano del sistema como un hamiltanianoefectivo que contiene sólo la interacción de las excitaciones de espínS = 1/2 [105].

Un caso interesante también se observa en el subespacio deSzT = 1, para ambos

modelos. La negatividad es 1/2 para el modelo AKLT, cuando los subsistemas estánpróximos entre sí, decae rápidamente cuandoB se aleja deA, y no vuelve a aumentarcuandoB se encuentra en el otro borde. En ese caso las excitaciones deespínS = 1/2no están entrelazadas, esto se debe a que se encuentra en un estado triplete separable.Para el modelo de Heisenberg la negatividad es mayor que 1/2 cuando los subsistemasAy B se encuentran como vecinos cercanos, esto puede deberse a que las excitaciones seencuentran extendidas por lo cual están acopladas al bulk y se tiene contribución del bulk.La negatividad disminuye al alejarse el subsistemaB deA y converge a cero cuandoB seencuentra en el otro borde, por las mismas razones que para elmodelo de AKLT.

El entrelazamiento cuántico entre subsistemasA y B con más de un sitio enA yen B nos proporciona mayor información sobre las excitaciones de espín del sistema y,cuando la longitud de cada subsistema es del orden de longitud de correlaciónξ, podemoscapturar las excitaciones completas de espín 1/2 generadas por los bordes de la cadena(experimentalmente observadas en [103]). Como con los métodos de diagonalizaciónexacta tenemos limitaciones ya que no podemos analizar cadenas con longitudL > 14,para tal estudio recurrimos a un método computacional que nos permita estudiar sistemasde mayor longitud: el método de DMRG que nos permite analizarcadenas del ordende 100 sitios a más. Estudiamos el entrelazamiento entre subsistemas con longitudesLA = LB = L/2−1 > ξ para el modelo de Heisenberg y encontramos que el entrelazamientoentre ambas partes,A y B, es mayor que 1/2, indicando la presencia de grados de libertaddel bulk. El comportamiento de la negatividad con el tamaño del sistema parece indicar laexistencia de una longitud característica de entrelazamiento ligeramente mayor que la decorrelaciónξ.

102 Correlaciones cuánticas y entrelazamiento en cadenas de espín S=1

Perspectivas

En la referencia [39] caracterizan las fases del hamiltonianoH (ecuación (5.1)) conla entropía en uno y dos sitios de la cadena, y observan que conla entropía en dossitios obtienen mayor información sobre las fases del sistema. En este trabajo hemosdesarrollado un método que nos permite calcular el entrelazamiento entre subsistemascon mayor cantidad de sitios usando la negatividad. Ésto podría permitirnos una mejorcaracterización de las fases deH. Un trabajo a futuro también podría ser el estudio delcomportamiento del valor de saturación de la negatividad enfunción del párametroβ delsistema, lo cual también podría proporcionar información de las fases del sistema.

Capítulo 6

Conclusiones generales

En la presente tesis estudiamos propiedades físicas de sistemas fuertemente correla-cionados, tal como el caso de dos impurezas magnéticas localizadas en los focos de en uncorral elíptico sobre una superficie de Cu(111). Para lograrnuestros objetivos, analizamosal sistema con dos modelos interactuantes, el de Kondo y el deAnderson, con loscuales estudiamos las propiedades estáticas y dinámicas. Con estas propiedades pudimoscaracterizar los regímenes RKKY y Kondo. Alternativamenteestudiamos correlacionescuánticas con teoría de información cuántica en el sistema tanto interactuante como nointeractuante. Lo más relevante para el sistema interactuante con dos impurezas en losfocos es que pudimos establecer una conexión entre el entrelazamiento cuántico y losobservables físicos del sistema para todo llenado en el sistema.

El efecto del corral realza las propiedades físicas en el sistema y en particular sirvecomo un dispositivo para generar correlaciones efectivas entre dos impurezas localizadasen los focos. Esto es importante para información cuántica ya que nos permitiría trasmitirinformación de un foco a otro con una buena eficiencia y con unamínima decoherencia yaque los estados son robustos a posibles perturbaciones presentes en el sistema.

Adicionalmente las cadenas de espínS = 1 con condiciones de contorno abiertasresultan ser buenos sistemas para ser estudiados con teoríade información donde podemosaplicar, también, los conceptos desarrollados en el estudio de corrales cuánticos. Con estaherramienta caracterizamos las excitaciones fraccionarias de espínS = 1/2 en los modelosde Heisenberg y AKLT.

A continuación detallaremos las conclusiones más relevantes de cada capítulo, asícomo las perspectivas de posibles futuros estudios en los sistemas estudiados.

Capítulo 1

Con el objetivo de obtener los autoestados de un corral elíptico, estudiamos el modelode pared dura usando un reticulado con condiciones de contorno elípticas y un modelode tight-binding para los sitios dentro del corral. Este capítulo presenta la introduccióngeneral al tema de corrales elípticos y el modelo utilizado en la tesis.

104 Conclusiones generales

Capítulo 2

Una vez obtenidos los autoestados de la elipse no interactuante en el capítulointroductorio (1), estudiamos el modelo interactuante condos impurezas localizadas en losfocos. Estas impurezas interactúan antiferromagnéticamente con los electrones confinadosvíaJ (modelo de dos impurezas de Kondo). Encontramos diferentescomportamientos parallenado par e impar, observados en el estado fundamental y enel primer estado excitado.Para llenado par (impar) y valores chicos deJ (comparado con el ancho de banda), lasimpurezas se encuentra en un estado singlete (triplete). Una propiedad interesante es que,para valores chicos deJ y llenado par, las impurezas se encuentran en un estado singleteentre ellas en el estado fundamental y en un triplete en el excitado. Con las propiedadesestáticas y dinámicas caracterizamos dos regímenes en el sistema: régimen RKKY (paraJ chicos) y régimen Kondo local (paraJ grandes). Una característica importante delcorral elíptico es el hecho que a grandes distancias dos impurezas magnéticas estánfuertemente correlacionadas, en contraste con dos impurezas en ausencia del corral dondela interacción efectiva es muy chica. A bajas energías y paravalores chicos deJ es posibleexpresar un hamiltaniano efectivo entre las impurezas en elcorral en términos de unainteracción efectiva entre ellasJe f f, de la forma:He f f = Je f fS1.S2.

Con magnitudes de teoría de información cuántica se pueden caracterizar las propieda-des relevantes del sistema, tanto para el caso no interactuante como para el interactuante.Las magnitudes analizadas fueron la fidelidad, la concurrencia y la entropía de vonNeumann, para diversas particiones en el sistema, encontrando resultados coherentes conel análisis usando propiedades físicas y observables.

Capítulo 3

Con el objetivo de incluir las excitaciones de carga en el estudio de dos impurezaslocalizadas en los focos del corral elíptico, estudiamos elmodelo de Anderson. Las dosimpurezas se hibridizan con los electrones confinados en el corral y nos restringimos allímite de Kondo. Analizando las propiedades estáticas de espín, obtuvimos el diagrama defases en el espacio de los parámetros, y la curva de transición entre la fase magnéticaRKKY (impurezas entrelazadas magnéticamente entre sí) y lade Kondo (impurezasentrelazadas con los electrones de conducción). Con el modelo del embebimientoobtuvimos la densidad local de estados de los electrones y caracterizamos los regímenesRKKY y Kondo en el sistema. Para el régimen Kondo hay una fuerte depresión en ladensidad de estados (dip), que no es observada en el régimen de RKKY. Por últimopudimos recrear el efecto de mover las impurezas entre sí al considerar una interacciónefectiva entre ellas, y analizamos las fases FM y AFM presentes en el sistema.

105

Capítulo 4

Hemos encontrado que las correlaciones de espín entre las impurezas en nuestromodelo están estrechamente vinculadas con el entrelazamiento cuántico. Para el caso dellenado par yJ chico las impurezas se encuentran en un estado de Werner, y larelaciónentre la correlación de espín entre las impurezas y el entrelazamiento queda expresada deforma sencilla.

También pudimos establecer un diagrama de fases de estados entrelazados y estadosseparables en función de los observables físicos〈SASB〉 y 〈Sz

A +SzB〉. Estos resultados son

válidos para cualquier par de espinesS = 1/2 interactuante con un sistema arbitrario.

Los resultados obtenidos en este capítulo pueden ser útilespara ayudar al entendimien-to y la posible aplicación de este tipo de sistemas en nanotecnología o en informacióncuántica.

Capítulo 5

De los resultados anteriores vimos lo útil que es la teoría dela información cuántica,para el estudio de sistema correlacionados, y con esto en mente, la aplicamos a una cadenade espín abiertaS = 1 en una dimensión. Con magnitudes de la teoría de informacióncuántica pudimos caracterizar las excitaciones de espínS = 1/2 en los bordes de la cadenapara los modelos de Heisenberg y de AKLT [87, 88]. Para cumplir nuestros objetivosestudiamos la entropía cuántica entre diferentes partes enla cadena, como por ejemplo elentrelazamiento entre uno o dos sitios y el resto de la cadena. Adicionalmente estudiamosa cada espínS = 1 compuesto de dos espinesS = 1/2 (qubits), analizamos en elentrelazamiento (concurrencia) entre diferentes qubits en la cadena, y comparamos conel resultado del entrelazamiento medido con la negatividadentre dos espinesS = 1 en lacadena.

Las excitaciones de espín se hicieron evidentes al analizarla negatividad entre dossubsistemas (A y B) de longitudLA = LB > ξ en los respectivos modelos de Heisenbergy AKLT. Estudiamos el entrelazamiento en ambos modelos entre las excitaciones deespín en los subespaciosSz

T = 0, 1, donde las excitaciones están entrelazadas y en unestado separable respectivamente. Hay una diferencia entre ambos modelos, ya que laexcitaciones en el modelo de AKLT éstas están muy localizadas en los bordes, en cambioen el modelo de Heisenberg las excitaciones se encuentran más extendidas. Esto último seve reflejado también en un comportamiento oscilatorio en el entrelazamiento para diversosLA = LB ≥ 2. Estos resultados confirman que, a bajas energías, el hamiltoniano del sistemapuede ser expresado como un hamiltoniano efectivo sólo entre las excitaciones de espínS = 1/2 [105].

En estos sistemas todavía hay mucho por estudiar ya que, con las herramientasutilizadas en la tesis, podríamos caracterizar las fases presentes en este sistema en funciónde β, además de analizar cómo cambia de comportamiento el entrelazamiento entre las

106 Conclusiones generales

excitaciones de espín a medida qué estas están cada vez más extendidas en la fase Haldane[96]. También podríamos intentar obtener la longitud de correlación en las diversas fases yasí compararlas con las obtenidas de la manera tradicional (con funciones de correlación)[79, 105].

Apéndice A

Medidas de entrelazamiento cuántico

El estudio del grado de entrelazamiento cuántico entre dos sistemas requiere de unamedida que tenga en cuenta el carácter del estado del sistema, por ejemplo, si es puroo mixto. Para un sistema bipartito en un estado puro, la entropía de von Neumann esuna buena medida del entrelazamiento entre las dos partes del sistema. En cambio paraun sistema bipartito en un estado mixto, no existe una única medida para caracterizar elentrelazamiento, o criterios para establecer si las partesque componen el sistema estánen un estado separable [42, 43, 90, 106]. En este apéndice introduciremos los conceptosbásicos de información cuántica usada en el desarrollo. Esto incluye la definición de laconcurrencia [47] para caracterizar el entrelazamiento cuántico entre un par de qubits(sistema de dos niveles) y la negatividad para sistemas bipartitos mixtos (AB) con másde dos grados de libertad en las partes que componen el sistema.

A.1. Entropía de von Neumann

La matriz densidad de un sistema en un estado puro está dada por ρ = |ψAB〉〈ψAB|,donde|ψAB〉 es la función de onda del estado puro dondeA y B representan a cada una delas dos partes en las que está dividido el sistema. Y como|ψAB〉 está normalizada, entoncesla traza deρ esTr[ρ] = 1. La entropía de von Neumann (entropía cuántica) calculadaen A o enB mide el grado de entrelazamiento entre dichos sistemas, y está definida por[25, 40, 42, 43, 90]:

S = −Tr[ρAlog2ρA] = −Tr[ρBlog2ρ

B]. (A.1)

En la expresión anteriorρA = TrB[ρ] es la matriz reducida del sistemaA, la cual esobtenida trazando sobre el sistemaB, y ρB = TrA[ρ] es la matriz reducida del sistemaBy es obtenida trazando sobre el sistemaA. Por la condición de normalización de|ψAB〉,tenemos:Tr[ρA] = Tr[ρB] = 1.

Es importante notar que la entropía calculada enA o en B proporciona la mismainformación. Una forma sencilla de calcular la entropía es diagonalizarρA(B), con lo cualla ecuación (A.1) queda expresada como:

108 Medidas de entrelazamiento cuántico

S = −d∑

i

ωAi log2ω

Ai = −

d∑

i

ωBi log2ω

Bi . (A.2)

En la expresión anteriorωA(B)i es un autovalor deρA(B) y d es la dimensión más chica

de los subsistemasA y B. Tenemos que∑

kωAk =

∑kω

Bk = 1 (debido a la normalización de

|ψAB〉).

Observando la ecuación (A.2), vemos que siρA(B) tiene un único autovalor (ωA = ωB =

1), entonces la entropía cuántica (entrelazamiento cuántico) es cero. Esto último seríaun criterio de separabilidad para un estado puro, ya que podemos expresarlo como unproducto directo de un estado enA por otro enB, esto quiere decir que|ψAB〉 = |φA〉⊗ |φB〉.

A.1.1. Descomposición de Schmidt

Supongamos que|ψAB〉 es un estado puro de un sistema compuesto,AB. Luego, existeuna base ortonormal,|iA〉 para el sistemaA e |iB〉 paraB, donde se puede expresar|ψAB〉 enla descomposición de Schmidt de la forma:

|ψAB〉 =∑

i

λi |iA〉|iB〉, (A.3)

dondeλi son coeficientes reales no negativos llamados coeficientes de Schmidt quecumplen

∑i λ

2i = 1 (condición de normalización de|ψAB〉). Usando la descomposición

de Schmidt podemos expresar la matriz densidad reducida en los subsistemasA y B de laforma:

ρA =∑

i

λ2i |iA〉〈iA|,

ρB =∑

i

λ2i |iB〉〈iB|, (A.4)

y dondeλ2i es un autovalor deρA(B); esto quiere decir queωA(B)

i = λ2i .

A.2. Concurrencia

Otra medida importante del entrelazamiento cuántico es la concurrencia y es deutilidad cuando la matrizρ que representa a un estado compuestoABno está en un estadopuro, sino en un estado mixto (por ejemplo en el caso que se realizó la traza sobre gradosde libertad referidos al entorno). En [47] obtuvieron ingeniosamente una relación parael entrelazamiento para un sistema compuesto de dos qubits (sistema de dos niveles). Elentrelazamiento cuántico en este caso se calcula como:

E(C) = h(1+√

1−C2

2), (A.5)

A.3 Negatividad 109

dondeh(x) = −xlog2x− (1− x)log2(1− x), y C es la concurrencia:

C(ρ) = max{0, λ1 − λ2 − λ3 − λ4}. (A.6)

λi son los autovalores en orden decreciente de la matriz hermitianaR=√√

ρ ρ√ρ, donde

ρ = (σy ⊗ σy)ρ∗(σy ⊗ σy), σy es la matriz de Pauli yρ∗ es la compleja conjugada deρ. También los valoresλi son las raíces cuadradas de los autovalores de la matriz nohermitianaρρ [47]. Esto último será usado por simplicidad en el cálculo de la concurrenciay de esta manera podemos caracterizar el entrelazamiento cuántico entre dos qubits en unestado mixto. Es importante notar que, para un estado puro|ψ〉, la concurrencia quedaexpresada de la forma:C(ψ) = |〈ψ|ψ〉|, donde|ψ〉 = σy ⊗ σy|ψ∗〉, |ψ∗〉 es la complejaconjugada de|ψ〉, y ρ = |ψ〉〈ψ|. C(ρ) da la misma información queE(C).

Si C , 0 el estadoρ (un estado mixto) está entrelazado, siC = 0 es separable ([90]).En general un estado mixto es llamado separable si podemos preparar el estado en las dospartes en una manera clásica. En este casoρ es separable sí y solo sí se puede escribircomo [71]:

ρ =∑

i

pi |ai〉〈ai | ⊗ |bi〉〈bi |, (A.7)

caso contrario está entrelazado. Aquí los coeficientespi son probabilidades (0≤ pi ≤ 1 y∑i pi = 1), |ai〉 y |bi〉 son bases para las parteA y B respectivamente (A y B representan

a la bipartición del estadoρ). Notar que, en general se tiene:〈ai |a j〉 , δi j y lo mismopuede suceder para los estados{|bi〉}. Esta descomposición no es única. Encontrar unadescomposición como en la ecuación (A.7), o probar que eso no existe, es un tarea notrivial, la cual ha sido resuelta explícitamente sólo para pocos casos.

A.3. Negatividad

Para medir el grado entrelazamiento entre sistemas con más de dos grados de libertaden un estado bipartito mixto usaremos la “negatividad”, como medida del entrelazamientocuántico entre los mismos [93].

Una propiedad importante de la negatividad es que indica la separabilidad o no de unsistema: si un sistema bipartito es separable entonces, losautovalores de la matriz densidadparcialmente transpuesta son no-negativos (si existe algún valor negativo entonces estáentrelazada). La condición es necesaria pero no suficiente (la condición es necesaria ysuficiente sólo en casos de baja dimensionalidad de los subsistemas involucrados [107]).Un resultado a resaltar de la negatividad, es que coincide con el entrelazamiento deformación de estados máximamente entrelazados. Otra medida para caracterizar en elentrelazamiento, es la negatividad logarítmica [108], la cual también se podría aplicara nuestro sistema.

Dado un sistema dividido en tres partes,A, B y C, y su estado fundamental|ψ〉,podemos obtener la matriz densidad reducida sobre dos partes del sistema trazando porejemplo sobre grados de libertad (C) que no son de interés, con lo cualρ = ρAB =

110 Medidas de entrelazamiento cuántico

TrC[|ψ〉〈ψ|]. Posteriormente calculamos la transpuesta parcial enA (ρTA). Los elementosdeρTA se calculan como:

〈iA; jB|ρTA|kA; lB〉 = 〈kA; jB|ρ|iA; lB〉. (A.8)

La base|iA; jB〉 pertenece al espacio de Hilbert que es un producto ortonormal de basesdeA y B de la forma|iA, jB〉 = |iA〉 ⊗ | jB〉. La expresión de la negatividad está definida enfunción de la transpuesta parcial deρ como:

N(ρ) ≡ ‖ρTA‖ − 1

2, (A.9)

dondeρTA es la transpuesta parcial en el subespacioA deρ, y la traza-norma de un operadorhermitiano se calcula‖R‖ = Tr[

√R†R]. ParaR hermitiano la norma es igual a la suma de

los valores absolutos de los autovalores deR. Cabe resaltar queTr[ρTA] = 1, y queρTA tieneautovalores positivos y negativos. En general‖ρTA‖ es de la forma:‖ρTA‖ = 1+ 2|

∑i µi | ≡

1+2N(ρ), donde se toma sóloµi < 0 (autovalores deρTA). Por consiguiente la negatividades la suma de los autovalores negativosµi deρTA, esto quiere decir:N = |

∑i µi |. El caso

en que todos los autovalores sean no-negativos entonces la negatividad es cero y la matrizρAB es separable (no hay entrelazamiento entre los sistemasA y B).

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Agradecimientos

Esta parte de la tesis tiene mucho valor para mí, ya que me permite agradecer a todaslas personas e instituciones que hicieron posible que esta tesis sea una realidad.

En primer lugar quiero a agradecer a mi directora Karen Hallberg, de quien aprendímucho, y admiro. Esta tesis no hubiera sido posible sin su asesoramiento constante, graciasKaren por realizar un trabajo minucioso en la correción de latesis.

Agradezco al Instituto Balseiro por la formación académicabrindada, a la planadocente que en todo momento mostró disponibilidad en ayudarme en mis preocupacionesacadémicas, y son una plana docente de primera. También quiero agardecer al CentroAtómico Bariloche por proporcionarme un lugar de trabajo. Agradezco al CONICET porla beca doctoral, ya que hizo posible que este tesis.

Quiero agradecer a Diego Frustaglia por todo su apoyo académico y por su disposicióna ayudarme a entender los conceptos de teoría de informacióncuántica. También quieroagradecer a Manuel Cáceres por ser un buen profesor y un guía para mí, y por preocuparsepor mí.

Quisiera agradecer al grupo de Teoría de Sólidos que siempremostraron disponibilidaden ayudarme. En especial agradezco a Armando Aligia por ser un excelente profesor y unabuena persona, que está dispuesto ayudar, me llevo una buenaimagen de Armando. Quieroagradecer a Daniel García, quien me ayudo a implementar el codigo de DMRG, y admirosu disponibilidad y sencillez. También agredecer a los estudiantes del grupo de sólidos yquiero empezar por Alejandro Lobos, que desde el primer momento que llegue me ayudoen todo, a Santiago Rigamonti, a Tomás Guozden, a Andres Reynoso por toda la ayudabrindada, Misael, José Daniel, Ivonne, Laurita...

Quiero destacar el trabajo de corrección de la tesis realizado por Daniel Dominguez, yagradezco todas las observaciones que realizó sobre la tesis.

Quisiera agradecer a Carlos Rojas y Carlos Espinoza, por lascomidas peruanasorganizadas en sus respectivos hogares.

Agradezco a Román, Wally, Juan Martín, Damián, Julio, Diego, ..., por su amistad.Quiero agradecer a mi familia que me dio todo su apoyo.

Finalmente quiero agradecer a Yessica que fue mi soporte, quien me dio todo su cariñoy amor incondicional, gracias por todo.

Lista de publicaciones

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5. Correlations, quantum entanglement and interference in nanoscopic systems, K.Hallberg, J. Rincón, M. Nizama, A. A. Aligia and S. Ramasesha, J. Stat. Mech.2010, P11031 (2010).

6. Dynamical properties of the two-impurity Anderson model incorrals, M. Nizamaand K. Hallberg, en preparación (2011).

7. Quantum correlations in nanostructured two-impurity Kondo systems, M. Nizama,D. Frustaglia and K. Hallberg, en preparación (2011).

8. Spin excitations and quantum entanglement in spin chains, M. Nizama, K. HallbergD. Frustaglia and D. García, en preparación (2011).

Otras publicaciones

1. The quantum Lévy walk, Manuel O. Cáceres and Marco Nizama, J. Phys. A: Math.Theor.43, 455306 (2010).

propiedades magnéticas y entrelazamiento cuántico en...

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