ENTRELAZAMIENTOENTRELAZAMIENTOENTRELAZAMIENTOENTRELAZAMIENTO

►► Espacio producto tensorial.Espacio producto tensorial.►► Sistemas Compuestos. Sistemas Compuestos. ►► Entrelazamiento.Entrelazamiento.►► Sistema de n Sistema de n qubitsqubits..►► La base de Bell.La base de Bell.►► Fotones entrelazados: La Conversión Paramétrica a la baja.Fotones entrelazados: La Conversión Paramétrica a la baja.

1

Espacio H1 Dimensión m Ket 1. Espacio producto tensorial

p 1

Espacio H2 Dimensión n Ket

ESPACIO PRODUCTO TENSORIAL DE H1 Y H2 HHH ESPACIO PRODUCTO TENSORIAL DE H1 Y H2 21 HHH Dimensión mn Ket

Si a un vector perteneciente a H1 y a otro perteneciente a H2 se les puede asociar unSi a un vector perteneciente a H1 y a otro perteneciente a H2 se les puede asociar un vector (producto tensorial de ambos vectores) perteneciente a H, entonces H es el

producto tensorial de H1 y H2.

P d fi i ió l t d H i i li l d t lt dPor definición, los vectores de H son superposiciones lineales de vectores resultados de multiplicar tensorialmente vectores de H1 y vectores de H2.

Propiedades:

21 ,,

)(

HHCc

ccci

21

2121

,

)(

HH

ii

i

21 , HHi

2121)( iii

Notación ,

c11

BASES ORTONORMALES

11Hi

2Hj

21 HHji

cc

.

.13

12

22Hj

jlikklij nccccnccccijc

m n

ij 22322211131211 22322211131211

KET EN H

n

cccc

23

22

21

1

mncmcmcmc

nccccnccccijc

mnmmm

nni j

ij

..........321.....................................................

2..........2322211..........131211

321

223222111312111 1

mn

K jniK )1(

n

cc

.

.

2

23

K

K Kc1

jniK )1(

cc

.

.32

31

OPERADORES A 1HBA ˆˆ HH

nc

.

.

.3

OPERADORES LINEALES B 2H

BA 21 HH

ˆˆˆˆ

D fi i ió

m

m

cc

.

.

2

1

jBiAcjicBAij

ijij

ijˆˆˆˆ

Definición:

mnc.

1 2ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ; ;ij i j i j

ijDado O H O A B A H B H

jBiAcjicBA ijijˆˆˆˆ

ij ijdrs jjij

ijij

ij

ij

ij j

jBsiArcijˆˆ ij ijrsd sjriijd rsdj

ijij

ijij j

ijsjriij rs

ij

ijsjrirs cBAd

BABABA

A es una matriz

B t i

mm

ij

Representación matricial

BABABABABABA

BAm

m

............

ˆˆ22221

11211 B es una matriz

AijB es una matriz

nnnn

ˆˆ

BABABA mmmm ...

......

21BA es una matriz mnmn

2. Sistemas Compuestos• Por simplicidad, supondremos el sistema compuesto por dos subsistemas de dos niveles.

Sistema 1 Espacio de Hilbert H1

Dimensión 2

Base de H1

11

1,0

Sistema 2 Espacio de Hilbert H2

Dimensión 2

Base de H2

10Dimensión 2 22

1,0

Sistema compuesto Espacio de Hilbert 21 HH

Base de 21 HH 21212121

11,01,10,00

Dimensión 4

ESTADO

2

1,21

jiij jic

ijij ijc

11|10|01|00||

3. Entrelazamiento

Estados separables o no entrelazados

“el estado de cada parte está definido”

|1>1 24232 1|0|| cc

12111 1|0|| cc

|0>1

SISTEMA 1 SISTEMA 2

2121 ||| 2121 |||

D d l t d d l i t l l t l i d Hilb t d t t i l d lDado el estado del sistema, el cual pertenece al espacio de Hilbert producto tensorial de los espacios de Hilbert asociados a los sistemas individuales, es posible expresar dicho estado a partir del producto tensorial de estados individuales. Es decir, en los estados separables

cada parte del sistema tiene un estado definido.p

Estados entrelazados (entanglement)

“el estado de cada parte NO está definido”

2121 |||

el estado de cada parte NO está definido

Dado el estado del sistema, el cual pertenece al espacio de Hilbert producto tensorial de los i d Hilb t i d l i t i di id l NO ibl di hespacios de Hilbert asociados a los sistemas individuales, NO es posible expresar dicho

estado a partir del producto tensorial de estados individuales. Es decir, en los estados entrelazados los estados individuales no están definidos.

Ejemplos: 11011

11012

¿Separable o no separable?

211

1102

1 Separable

Estado de la partícula 1 Estado de la partícula 2

1 1 00 112

Entrelazado

1 00 11 0 1 0 12

¿?Ejercicio 6: Demostrar que la ecuación anterior no tiene solución

4. Qubits Múltiples

Sistema de n bits clásicos

SISTEMA 2SISTEMA 1

Sistema compuesto por dos bits clásicos

0SISTEMA 2

1

0SISTEMA 1

11

00 01 10 11El sistema formado por los dos bits 00, 01, 10, 11El sistema formado por los dos bits clásicos puede estar en 4 posibles estados

El i t f d l t bit 000, 001, 010, 011, 100, 101,

110 111

El sistema formado por los tres bits clásicos puede estar en 8 posibles estados

Para un sistema de n bits clásicos, existen 2n estados posibles.110, 111

Sistema cuántico de n qubits

|1>1SISTEMA 1 SISTEMA 2 SISTEMA 1+2

}11|,10|,01|,00{|

SISTEMA 1 SISTEMA 2 SISTEMA 1+2

Base Computacional|0>1

11|10|01|00||

Base Computacional

11|10|01|00|| Para un sistema de n qubits:

• El espacio de Hilbert del sistema tiene 2n dimensiones.

• 2n es el número de estados de la base computacional.

• El estado del sistema se especifica con 2n amplitudes complejas.

• Ejemplo: Para n=500, 2n es mayor que el número estimado de átomos en el universo Es inconcebible que un ordenador clásico pueda almacenar talel universo. Es inconcebible que un ordenador clásico pueda almacenar tal cantidad de datos.

5. La base de Bell

Los estados que configuran la denominada Base de Bell son muy importantes en protocolos decomunicación cuántica, como la codificación densa y el teletransporte. La distinción de estosestados en lo que se conoce como la medida de la base de Bell (BSM) se revela como algo

01102

1

fundamental en los experimentos de comunicación cuántica.

01102

12

Estado singlete

00112

12

00112

12

Ejercicio 7: comprobar que los estados de Bell

constituyen una base ortonormal.y

6. Fotones entrelazados: La Conversión Paramétrica a la Baja

Cono Ordinario

Cristal no lineal eoláser

A B

Cristal no lineal

Láser eolaser kkk

Los dos fotones tienenLos dos fotones tienen polarizaciones perpendiculares entre sí

Cono extraordinario

Seleccionando los rayos donde los conos se intersecan, se puede conseguir que el estado de la pareja sea uno de los

t t d d B llcuatro estados de Bell.

}|,{| 111 VH

1

}|,{| 222 VH

21212

1 HVVH

2121

''''2

1 HVVH INVARIANCIA ROTACIONAL 2

}'|,'{| 111 VH

ROTACIONAL

}'|,'{| 222 VH