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Azar, entrelazamiento

e información cuántica:

una mirada unificadora

Cátedra José Celestino Mutis

Semestre 2013 - 1

100 años del

átomo de Bohr

78 años del experi-

mento de Einstein,

Podolsky y Rosen

Thomas Dittrich, Universidad Nacional de Colombia, Bogotá

Azar, entrelazamiento e información cuántica:

una mirada unificadora 1 ¿Qué es azar? Algo de semántica

1.1 Una vox populi

1.2 Redes de cadenas causales (redes bayesianas)

2 Del caos clásico a la información cuántica

2.1 Sistemas caóticos como castilletes de entropía

2.2 El proceso complementario: disipación como alcantarillado de información

2.3 Estructuras caóticas, depósitos de información inagotables

2.4 Un ejemplo lúdico: caos y caos cuántico en un juego de naipes

2.5 Las limitaciones y la conservación de información cuánticas

2.6 Cuánticamente hablando, no hay caos: La física cuántica es más

determinista aun que la clásica

2.7 Levantar el aislamiento restaura el caos

3 De la información cuántica al entrelazamiento y la incertidumbre

3.1 Hacia el extremo cuántico: qbits y sistemas de dos niveles

3.2 Entrelazamiento e información compartida − el experimento EPR

3.3 La interpretación vienesa: Compartir qbits entre diferentes grados de

libertad

3.4 Crear noticias en tiempos de serpientes de verano, reciclando

información disipada

3.5 ¿Y de la teledinamia fantasmal de Einstein, qué?

4 Una mirada unificadora – la mecánica cuántica como física de información

finita

1 ¿Qué es azar? Algo de semántica

1.1 Una vox populi

1 ¿Qué es azar? Algo de semántica

1.2 Redes de cadenas causales (redes bayesianas)

T I E M P O



Sistemas caóticos elevan

información desde escalas

microscópicas hasta el nivel

macroscópico a una tasa

dada por su exponente de

Liapunov.

Accionan como microscópios

de un factor de ampliación

permanentemente creciendo.

El caos determinista permite

reconciliar procesos aleatorios

clásicos con la causalidad.

T I E M P O

GRADOS DE LIBERTAD

MICROSCÓPICOS

GRADOS DE LIBERTAD MICROSCÓPICOS

GRADOS DE LIBERTAD

MICROSCÓPICOS



Sistemas disipativos botan

información desde escalas

macroscópicas hacia el nivel

microscópico a una tasa

dada por su constante de

disipación.

Las fluctuaciones térmicas,

el vacío electrodinámico,

juegen el papel del “relleno

sanitario” entrópico de la

física.


2.2 El proceso complementario: disipación como alcantarillado

de información

T I E M P O



de información

GRADOS DE LIBERTAD

MICROSCÓPICOS

GRADOS

DE LIBERTAD

MICROSCÓPICOS

GRADOS

DE LIBERTAD

MICROSCÓPICOS

T I E M P O



de información

GRADOS DE LIBERTAD

MICROSCÓPICOS

GRADOS

DE LIBERTAD

MICROSCÓPICOS

GRADOS

DE LIBERTAD

MICROSCÓPICOS

GRADOS DE LIBERTAD

MICROSCÓPICOS

GRADOS DE LIBERTAD MICROSCÓPICOS

GRADOS DE LIBERTAD

MICROSCÓPICOS


2.3 Estructuras caóticas, depósitos de información inagotables



El corrimiento de Bernoulli

Tasa de producción de

información:

1 bit por paso



Cuantizando naipes

Un juego de naipes de un total de

2N tarjetas

comprende una información de posición de N bits.

Si el proceso de mezcla produce 1 bit por paso,

esta información se agota con el (N-1)ésimo paso,

y a partir del Nésimo la dinámica comienza a repetirse.



La relación de incertidumbre de

Heisenberg

Δx × Δp ≥ ħ

limita la resolución de estructuras

auto-similares, como atractores

extraños, a escalas de la celda

de Planck.

UNA CELDA DE PLANCK

I qm(t) := -k tr r̂ ln r̂( )éë ùû

La información de von Neumann cuántica

se conserva bajo transformaciones unitarias ρ’ −> ρ’’ = Uρ’U+

I cl(t) := -k drò2 f

r(r, t)ln hclr(r, t)( )

La información de Shannon clásica

donde hcl, es la cantidad mínima de acción resolvable (“celda de Planck

clásica”), se conserva bajo transformaciones canónicas r’ −> r’’ = Tr’

-k d ¢rò2 f

r( ¢r )ln r( ¢r )( ) = -k d ¢¢rò2 f

r( ¢¢r )ln r( ¢¢r )( )

-k tr ˆ¢r ln ˆ¢r( )éë ùû= -ktr ˆ¢¢r ln ˆ¢¢r( )éë ùû






Divergencias de información en

el caos clásico −

Estructuras estáticas:

• Atractores extraños y estructuras

auto-similares en el espacio de fase

implican una densidad de

información ilimitada.

Estructuras dinámicas:

• La evolución temporal de un

sistema caótico corresponde a

una producción permanente

de información inédita.

− y su regularización en la mecánica

cuántica

Estructuras estáticas:

• La relación de incertidumbre limita

la resolución de estructuras en el

espacio de fase y pone un tope

inferior a la auto-similitud.

Estructuras dinámicas:

• En sistemas con espacio de Hilbert

efectivamente finito, la evolución

temporal cuántica comienza a

repetirse a partir de un

determinado tiempo límite.



• Las limitaciones fundamentales que la mecánica cuántica

impone con respecto a la información tienen vigencia

solamente en sistemas perfectamente cerrados.

• En la realidad, no hay sistemas absolutamente aislados

(o no supiéramos de ellos).

• El acoplamiento, tan débil que sea, a un entorno de

un número infinito (un continuo) de grados de libertad

abre el acceso a fuentes de información inagotables.

• Por ejemplo, cuantizar sistemas caóticos con disipación

permite reconstruir atractores “extraños” compatibles

con las relaciones de incertidumbre.



Atractor extraño del mapeo

estándar (rotador pateado)

clásico con disipación



Distribución estacionaria

(función de Wigner) del

mapeo estándar (rotador

pateado) cuántico con

disipación


3.1 Hacia el extremo cuántico: qbits y sistemas de dos niveles


3.2 Entrelazamiento e información compartida − el experimento EPR


3.3 La interpretación vienesa: Compartir qbits entre diferentes

grados de libertad


3.4 Crear noticias en tiempos de serpientes de verano, reciclando

información disipada


3.5 ¿Y de la teledinamia fantasmal (“spukhafte Fernwirkung”,

“spooky action at a distance”) de Einstein, qué?


3.5 ¿Y de la teledinamia fantasmal (“spukhafte Fernwirkung”,

“spooky action at a distance”) de Einstein, qué?

• Las correlaciones cuánticas en el experimento de EPR

no permiten transmitir información, por tanto no están

violando la teoría de relatividad especial.

• Las correlaciones no clásicas que caracterizan el

entrelazamiento se deben al hecho de que relacionan dos

manifestaciones de una sola información elemental

indivisible, pero en dos lugares diferentes.

• No se trata de una relación causa – efecto, por tanto

tampoco violan los principios de causalidad.

4 Una mirada unificadora – la mecánica cuántica como física

de información finita

• La mecánica cuántica, en diferencia a la clásica, no solamente aborda las

limitaciones fundamentales en cuanto densidad y cantidad de información

en sistemas físicos, sino las eleva al rango de principios constituyentes.

• Todos los efectos cuánticos emblemáticos, como las relaciones de

incertidumbre, el entrelazamiento, el componente aleatorio de saltos y

mediciones cuánticas, las restricciones drásticas del comportamiento caótico,

pueden interpretarse como manifestaciones de estas limitaciones.

• Las correlaciones “super-clásicas” asociadas al entrelazamiento resultan ser

consecuencias del repartimiento de un solo bit de información entre diferentes

subsistemas ubicados en posiciones arbitrariamente separadas en el espacio.

• El comportamiento clásico se restituye al acoplar un sistema cuántico a su

entorno comprendiendo un número infinito de grados de libertad como fuente

inagotable de información. De esta manera, el azar fundamental de eventos

cuánticos puede reconciliarse con el principio de causalidad.

Bibliografía

1 Robert Shaw: “Strange attractors, chaotic behaviour,

and information flow”, Z. Naturforsch. A 36, 80-112 (1980).

2 Wojciech H. Zurek: “Decoherence and the transition from

quantum to classical”, Physics Today 44, 36-44 (1991).

3 Anton Zeilinger: “A foundational principle for quantum

mechanics”, Foundations of Physics 29, 631-643 (1999).

4 Robert B. Laughlin: “A different universe: reinventing physics

from the bottom down”, Basic Books (New York, 2005).

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