problemas resueltos tema 9

Prof.: Jaime Santo Domingo Santillana E.P.S.-Zamora – (U.SAL.) - 2008

Tema 9: SOLICITACIONES COMBINADAS

T

x

y

z

L

Mz

My

N

Vy

Vz

Problemas resueltos

9.1.-En la viga de la figura calcular por el Teorema de los Trabajos Virtuales: 1) Flecha en C 2) Giro en B

Datos: IPE-180, E = 2,1.105 N/mm2

Ecuaciones de equilibrio: Esfuerzos en la viga: 1.-Flecha en C: Ecuaciones de equilibrio: Esfuerzos en la viga: Aplicando el Teorema de los Trabajos Virtuales a la viga con carga unitaria:

siendo:

0 20

0 .4 20.1

A B

A B

F R R

M R

= + =

= =∑∑

15

5A

B

R kN

R kN

==

20 kN

A B

1 m 3 m

RA RB

C

0 1 ´ 15.

1 2 ´ 5.(4 )z

z

x M x

x M x

− − =− − = −

1 kN

A B 1 m 3 m

RA RB

C

1.14.0

10

==

=+=

∑∑

BA

BA

RM

RRF 0,75

0, 25A

B

R kN

R kN

==

)4.(25,021

.75,010

xMx

xMx

z

z

−=−−=−−

5 4 9 2. 2,1.10 .1320.10 2772.10 .zE I N mm= =

0

. ´ .. ´ . ´ ( )

.

Lz z

i i i i yz

M M dxF R se desprecia efectosV

E Iδ + ∆ =∑ ∑ ∫

1 4

0 19 3 6

0,75. .15. . 0,25.(4 ).5.(4 ).

1. 02772.10 .10 .10C

x x dx x x dx

y − −

+ − −+ = ⇒

∫ ∫

1 ´ ( 0,75 0,25 ) ´ 0 :i i C i A B iF kN y R R kN y R kN y sustituyendoδ= = = = = ∆ =

0,0054 5,4Cy m mm= = ↓

2.-Giro en B: Ecuaciones de equilibrio: Esfuerzos en la viga: Aplicando el Teorema de los Trabajos Virtuales a la viga con carga unitaria:

siendo:

1 kN.m

A B

1 m 3 m

RA RB

C

14.0

0

==

==

∑∑

BA

BA

RM

RRF 0, 25

0, 25A

B

R kN

R kN

==

xMx z .25,040 =−−

0

. ´ .. ´ . ´ ( )

.

Lz z

i i i i yz


E Iδ + ∆ =∑ ∑ ∫

1 . ´ ( 0,25 0,25 ) ´ 0 :i i B i A B iF kN m R R kN y R kN y sustituyendoδ ϑ= = = = = ∆ =

1 4

0 19 3 6

0,25. .15. . 0,25. .5.(4 ).

1. 02772.10 .10 .10B

x x dx x x dx

ϑ − −

+ −+ = ⇒

∫ ∫radB 0045,0=ϑ

9.3.-Calcular aplicando el Teorema de los Trabajos Virtuales el alargamiento total de la barra de la figura Datos: E = 2,1.105 N/mm2

Ecuaciones de equilibrio:

Esfuerzos en la barra: Alargamiento de la barra: ∆L

Ecuaciones de equilibrio: Esfuerzos en la barra: Aplicando el Teorema de los Trabajos Virtuales a la viga con carga unitaria:

siendo:

0 2 ´ 10 2 4 ´ 10

4 6 ´ 10 20 10 6 10 ´ 10

x N x N

x N x N

− − = − − − = −− − = − + = − − =

4 cm2

2 cm 2

1 cm 2

2 m

2 m

2 m

4 m

20 kN

10 kN

RA A

B

4 cm 2

2 cm 2

1 cm 2

2 m

2 m

2 m

4 m

1 kN

RA A

B

0 10 20 10A AF R R kN= + = → =∑

0 1AF R kN= =∑

0 10 1x N− − =

´

0

. .. ´ . ´

.

L

i i i i

N N dxF R

E Aδ + ∆ =∑ ∑ ∫

1 ´ 1 ´ 0 :i i i A iF Kg L R R kN y sustituyendoδ= = ∆ = = ∆ =

2 104 6

0 62 45 3 6 4 5 3 4 5 3 4 5 3 4

1.( 10). 1.10.1.( 10). 1.10.

1. 02,1.10 .10 .10 .4.10 2,1.10 .10 .2.10 2,1.10 .10 .2.10 2,1.10.10 .1.10

dx dxdx dx

L − − − − −

− −∆ + = + + +

∫ ∫∫ ∫

0,00167 1,67 ( arg )L m mm se al a∆ = =⇒

9.4.-En la barra de la figura calcular las reacciones en los empotramientos utilizando el Teorema de los Trabajos Virtuales Ecuaciones de equilibrio: Se tiene 1 ecuación de equilibrio y 2 incógnitas ⇒ VIGA HIPERESTÁTICA para su resolución iremos a la viga isostática equivalente Viga isostática equivalente: condición: ϕB = 0 (2) Esfuerzos en la barra: Desarrollemos la ecuación (2) aplicando el método del Teorema de los Trabajos Virtuales: Ecuaciones de equilibrio: Esfuerzos en la barra: Teorema de los Trabajos virtuales: siendo:

To To

A B

L/3 L/3 L/3

TB TA

0 00 (1)A BT T T T T= + = +∑

To To

A B

L/3 L/3 L/3

TB TA

A B

L

1 kN.m TA

0

0 / 3 ´

/ 3 2. / 3 ´

2. / 3 ´

A

A

B

x L T T

L x L T T T

L x L T T

− − = −− − = − +

− − =

0 1AT T= =∑

0

. .́. ´ . ´

.

L

i i i it

T T dxF R

G Iδ + ∆ =∑ ∑ ∫

1 . ´ 0 1 . ´ 0 :i i B i A iF kN m R T kN m y sustituyendoδ ϕ= = = = = ∆ =

0 1x L T− − =

resolviendo el sistema formado por las ecuaciones (1) y (2):

/3 2 /3

0

0 /3 2 /3

1.( ). 1.( ). 1. .

1.0 0 :. . .

L L L

A A B

L L

t t t

T dx T T dx T dx

operandoG I G I G I

− − ++ = + +

∫ ∫ ∫

0. ( ). . 0 (2)3 3 3A A B

L L LT T T T− + − + + =

0

0

A

B

T T

T T

==

9.7.-La estructura de la figura está formada por dos barras perpendiculares: AC y BC, que se encuentran articuladas en C. Si se sabe que el apoyo B sufre un asiento vertical de ∆∆∆∆= 2 cm. Se pide calcular el desplazamiento vertical del nudo C. Datos: A(1) = 6 cm2 , A(2) = 18 cm2 , E= 2,1.105 kN/mm2 Por el teorema del seno se calcula el ángulo α:

Nota: “en las estructuras de barras articuladas y con cargas exteriores actuando en los nudos (como es este caso), las barras trabajarán sólo a Tracción o a Compresión”. En función de ello y para ver cómo trabajan las barras, aislemos el nudo C y estudiemos el equilibrio de todas las fuerzas que concurren en él Ecuaciones de equilibrio del nudo C:

Para saber si son de tracción o de compresión se razona de la siguiente forma: los sentidos de F1 y F2 dibujados en la figura, representan las acciones que las barras 1 y 2 respectivamente están haciendo sobre el nudo C. Por tanto, las acciones que el nudo C estará haciendo sobre las barras (por el Principio de la acción y reacción), serán de sentidos contarios a las dibujadas, es decir:

β

α

B´

C

3 m (1) (2) 4 m

A B ∆=2 cm

5 m

150 kN

α

β

º13,53º90º87,365

3

º90

53 =−==→=→= αβααα

sensensen

F1 F2 β

B´

C

3 m (1) (2) 4 m

A B ∆=2 cm

5 m

150 kN

α=36,87º β=53,13º

α

x

y

1 2

1 2

0 . 36,87º . 53,13º 150

0 .cos36,87º .cos53,13º

x

y

F F sen F sen

F F F

= + =

= =∑∑

⇒⇒⇒⇒ 1

2

90

120

F kN

F kN

==

Esfuerzos en las barras: Desplazamiento vertical del nudo C: se calculará aplicando el Teorema de los Trabajos Virtuales: Ecuaciones de equilibrio del nudo C:

y por lo dicho antes en relación a sus sentidos, en este caso las dos barras trabajarán a compresión Esfuerzos en las barras: Teorema de los Trabajos Virtuales: siendo Cálculo de la reacción VB: Ecuación de equilibrio:

F1

A

C

1

F2

C

B

2 tracción compresión

1

2

: ´ 90

: ´ 120

barra AC N F kN

barra BC N F kN

= =

= − = −

1º13,53cos.º87,36cos.0

º13,53.º87,36.0

21

21

=+=

==

∑∑

FFF

senFsenFF

y

x ⇒⇒⇒⇒

1

2

: 0,8

: 0,6

barra AC N F kN

barra BC N F kN

= − = −

= − = −

0

. .́. ´ . ´

.

L

i i i i

N N dxF R

E Aδ + ∆ =∑ ∑ ∫

1 ´ ( 0,36 , , , ) ´ 2i i C i B A B A iF kN y R V kN V H H kNδ= = = = ∆ =

x

F1 F2 β

B´

C

3 m (1) (2) 4 m

A B ∆=2 cm

5 m

1 kN

α=36,87º β=53,13º

α

y

VB VA

HB HA

0 .5 1.(3.cos53,13º ) 0,36A B BM V V kN= = → =∑

1

2

0,8

0,6

F kN

F kN

==

Nota: Sólo se calcula VB, pues al descender el apoyo B verticalmente, es el único que producirá trabajo y ese trabajo será negativo, pues el sentido de VB y el del desplazamiento que sufre son contrarios. y sustituyendo finalmente:

3 4

0 05 3 6 4 5 3 6 4

( 0,8).(90). ( 0,6).( 120).

1. 0,36.0,022,1.10 .10 .10 .6.10 2,1.10 .10 .10 .18.10C

dx dx

y − − − −

− − −− = +

∫ ∫

⇒ 0,0062 6, 2Cy m mm= = ↓

9.8.-En la estructura de la figura se pide calcular: 1) Las reacciones en los apoyos 2) Desplazamiento horizontal de B Datos: viga y pilar : IPE-300, E =2,1.105 N/mm2 Ecuaciones de equilibrio:

Hay 3 ecuaciones de equilibrio y 5 incógnitas ⇒ ESTRUCTURA HIPERESTÁTICA Estructura isostática equivalente: Desarrollemos las ecuaciones (4) y (5) aplicando el Teorema de los Trabajos Virtuales: xC = 0 (4)

0 (1)

0 10.4 (2)

0 .4 .3 10.4.2 (3)

H A C

V A C

A C A C

F H H

F V V

M V M H

= =

= + =

= + = +

∑∑∑

MA

)5(0

)4(0

==

C

C

y

xCondiciones:

A B

4 m

3 m

VA

VC

HA

HC C x

y

C

A B

4 m

3 m

MA

HA

1 Kg x

y 0 1

0 1.3 3 .

x A

A A

F H kN

M M kN m

= =

= = =∑∑


A B

C

4 m

3 m

VA

VC

HA

HC

10 kN/m

Teorema de los Trabajos Virtuales:

siendo:

Esfuerzos en las barras:

y sustituyendo:

operando: yC = 0 (5) Teorema de los Trabajos Virtuales:

siendo:

0 0

. ´ .. .́. ´ . ´ ( )

. .

L Lz z

i i i i yz

M M dxN N dxF R se desprecia efectosV

E A E Iδ + ∆ = +∑ ∑ ∫ ∫

1 ´ 0 ( 1 ., 3 . ) ´ 0i i C i A A iF Kg x R H kN M kN mδ= = = = = = ∆ =

:

arg : 1 3

arg : ´ ´ . 10. .2

:

arg : 0 1.

arg : ´ ´ .

z

A z A A

z

C z C

viga AB

estructura con c aunitaria N M

xestructura dada con c a real N H M V x M x

pilar CB

estructura con c aunitaria N M x

estructura dada con c a real N V M H x

= =

= − = − −

= = −= − =

4 4 32

0 0 05 3 6 4 5 3 6 8 5 3 6 8

1.( ). 3.( . 5. ). ( 1. ).( . ).

1.0 02,1.10 .10 .10 .53,8.10 2,1.10 .10 .10 .8360.102,1.10 .10 .10 .8360.10

A A A CH dx V x M x dx x H x dx

− − − − − −

− − − −+ = + +

∫ ∫ ∫

0,0622. 24. 12. 320 9. 0 (4)A A A CH V M H− + − − − =

C

A B 4 m

3 m

MA VA

1 Kg

x

y


0 1

0 1.4 4 .

y A

A A

F V kN

M M kN m

= =

= = =∑∑

0 0

. ´ .. .́. ´ . ´ ( )

. .

L Lz z

i i i i yz


E A E Iδ + ∆ = +∑ ∑ ∫ ∫

1 ´ 0 ( 1 ., 4 . ) ´ 0i i C i A A iF Kg y R V kN M kN mδ= = = = = = ∆ =

Esfuerzos en las barras:

y sustituyendo:

operando: resolviendo finalmente el sistema de ecuaciones: (1), (2), (3), (4) y (5):

3) Desplazamiento horizontal de B:

Estructura isostática equivalente: Apliquemos el teorema de los trabajos Virtuales:

:

arg : 0 1. 4 4

arg : ´ ´ . 10. .2

:

arg : 1 0

arg : ´ ´ .

z

A z A A

z

C z C

viga AB

estructura con c aunitaria N M x x

xestructura dada con c a real N H M V x M x

pilar CB


estructura dada con c a real N V M H x

= = − + = −

= − = − −

= − == − =

4 32

0 05 3 6 8 5 3 6 4

(4 ).( . 5. ). ( 1).( ).

1.0 02,1.10 .10 .10 .8360.10 2,1.10 .10 .10 .53,8.10

A A Cx V x M x dx V dx

− − − −

− − − − −+ = +

∫ ∫

10,667. 8. 106,667 0,0466. 0 (5)A A CV M V− − + =

2,164 ., 22,604 ., 16,908 .

2,164 ., 17,396 .A A A

C C

H kN V kN M kN m

H kN V kN

= = == =

A B

4 m

3 m

VA = 22,604 kN

VC = 17,396 kN

HA = 2,164 kN

HC = 2,164 kN C x

y

MA = 16,908 kN.m 10 kN/m


siendo: Esfuerzos en las barras:

y sustituyendo:

C

A B

4 m

3 m

HA

1 kN

x

y 0 1AF H kN= =∑

0 0

. ´ .. .́. ´ . ´ ( )

. .

L Lz z

i i i i yz


E A E Iδ + ∆ = +∑ ∑ ∫ ∫

1 ´ 0 ( 1 .) ´ 0i i C i A iF Kg y R H kNδ= = = = = ∆ =

:

arg : 1 0

arg : ´ 2,164 ´ 22,604. 16,908 10. .2

:

arg : 0 0

arg : ´ 17,396 ´ 2,164.

z

z

z

z

viga AB


xestructura dada con c a real N M x x

pilar CB


estructura dada con c a real N M x

= =

= − = − −

= == − =

4

05 3 4

66

(1).( 2,164).

1. 02,1.10 .10 .10 .5

8.10 0,003,8.10

8HBHB

x

m mm

d

δ δ− −−

−+ = −= → = − ←

∫

9.9.-La viga de la figura está empotrada en A y apoyada en B y tiene un cable de sujeción en C. Se pide calcular las reacciones en los apoyos y el esfuerzo en el cable. Datos: viga: IPE-240, cable: Φ=8 cm, E =2,1.105 N/mm2 Ecuaciones de equilibrio:

2 ecuaciones de equilibrio con 4 incógnitas ⇒ VIGA HIPERESTÁTICA Viga isostática equivalente: condiciones: Las flechas yB e yC las calcularemos aplicando el Teorema de los Trabajos Virtuales yB = 0 (3)

B A 3 m

10 kN/m

1 m

2,5 m

C MA

RA RB

T

0 10.4 (1)

0 .4 .3 10.4.2 (2)

y A B

zA B A

F R R T

M R T M

= + + =

= + + =∑∑

B A 3 m

10 kN/m

1 m C MA

RA RB

T

)4()3(0 Lyy CB ∆==

MA B A

3 m 1 m C

RA 1 kN


0 1

0 1.4 4 .

y A

A A

F R kN

M M kN m

= =

= = =∑∑


siendo:

Esfuerzos en la viga:

y sustituyendo:

operando: yC = ∆L (4) a) cálculo de yC: por el Teorema de los Trabajos Virtuales:


0

. ´ .. ´ . ´ ( )

.

Lz z

i i i i yz


E Iδ + ∆ =∑ ∑ ∫

1 ´ 0 ( 1 ., 4 . ) ´ 0i i B i A A iF Kg y R R kN M kN mδ= = = = = = ∆ =

0 3:

arg : 1. 4 4

arg : ´ . 10. .2

3 4 :

arg : 1. 4 4

(4 )arg : ´ .(4 ) 10.(4 ).

2

z

z A A

z

z B

x

viga con c a unitaria M x x

xviga dada con c a real M R x M x

x


xviga dada con c a real M R x x

− −= − + = −

= − −

− −= − + = −

−= − − −

3 42 2

0 35 3 6 8

(4 ).( . 5. ). (4 ). .(4 ) 5.(4 ) .

1.0 02,1.10 .10 .10 .3890.10

A A Bx R x M x dx x R x x dx

− −

− − − + − − − − + =

∫ ∫

.9 .7,5 80 .0,33 0 (3)A A BR M R− − + =

RA

MA B A

3 m 1 m C

1 kN


0 1

0 1.3 3 .

y A

A A

F R kN

M M kN m

= =

= = =∑∑

siendo:

Esfuerzos en la viga:

y sustituyendo:

b) Cálculo de ∆L:

igualando ambos resultados por la ecuación (4):

resolviendo finalmente el sistema de ecuaciones (1), (2), (3) y (4):

0

. ´ .. ´ . ´ ( )

.

Lz z

i i i i yz


E Iδ + ∆ =∑ ∑ ∫

1 ´ 0 ( 1 ., 3 . ) ´ 0i i C i A A iF Kg y R R kN M kN mδ= = = = = = ∆ =

0 3:

arg : 1. 3 3

arg : ´ . 10. .2

3 4 :

arg : 0

(4 )arg : ´ .(4 ) 10.(4 ).

2

z

z A A

z

z B

x


xviga dada con c a real M R x M x

x

viga con c a unitaria M

xviga dada con c a real M R x x

− −= − = −

= − −

− −=

−= − − −

32

05 3 6 8

( 3).( . 5. ).

1. 02,1.10 .10 .10 .3890.10

A A

C

x R x M x dx

y − −

− − −+ = →

∫ .4,5 .4,5 33,75

2,1.3890A A

C

R My

− + +=

5 3 6 2 4 4 2

. .2,5 .2,5

. 2,1.10 .10 .10 . .0, 4 .10 2,1.10 . .0,4

F L T TL

E A π π− −∆ = = =

4 2

.4,5 .4,5 33,75 .2,5(4)

2,1.3890 2,1.10 . .0,4A AR M T

π− + + =

23,274 ., 17,791 . ., 12,03 ., 4,696A A BR kN M kN m R kN T kN= = = =

9.10.-La ménsula ABC tiene su eje situado en un plano horizontal. Está formada por dos barras de sección circular, acodadas a 90º y está sometida a la carga vertical en C de 20 kN. Se pide:

1) Tensiones normales y cortantes máximas, indicando sección y puntos donde se darán

2) Desplazamiento vertical de C Datos: Φ=14 cm., E =2,1.105 N/mm2, G =8,1.104N/mm2 Nota: para el cálculo del apartado 2º se despreciará el efecto de las fuerzas cortantes Vy. Cálculo de las reacciones en el empotramiento: Diagramas de esfuerzos: tramo AB:

0 20

0 20.1 20 .

0 20.2 40 .

y yA

xA A

zA zA

F V kN

M T kN m

M M kN m

= =

= = =

= = =

∑∑∑

A B

y

2 m

z TA = 20 kN.m

MzA = 40 kN.m

x 20 kN.m

VyA = 20 kN 20 kN

20

40 20

Vy

T

Mz

x

x

x

+

+

_

C

A 2 m

1 m

VyA

TA

MzA

x

y

z

20 kN

B

tramo BC:

B C

20 kN

1 m

y

z

x

20 kN.m

20 20 Vy

Mz

x

x

+

_

20 kN

0 2

20

20

20.(2 )

0 40

2 0

y

z

z

z

x

V

T

M x

x M

x M

− −=

== − −

= → = −= → =

0 1

20

20.(1 )

0 20

1 0

y

z

z

z

x

V

M x

x M

x M

− −=

= − −= → = −= → =

1) Sección más solicitada: ⇒ la sección A del tramo AB

Punto de σmáx: ⇒ puntos 1 Punto de τmáx : ⇒ punto 2

2) Desplazamiento vertical del extremo C: se hará aplicando el Teorema de los trabajos Virtuales Cálculo de las reacciones en el empotramiento:

20 20 . 40 .y zV kN T kN m M kN m= = =

x

y

z z

y y

1 1 1

2 2 2

τ (T) τ (Vy) σ (Mz)

1

3

1

31

44

2

1:

. 40.10 .10 .7.10.7

1480

4

/1

,5.

máz

zx

punto

M y

IN mmσ σ

π= = = =

3 322

2 44

3 32* 2

2 442

2 2 3/ 2 2 2 3/ 2 3

22

2

*2

2

2

2 :

. 20.10 .10 .7.10( ) 37,1 /

.7.10

2. 20.10 .228,7.10

( ) 1,73 /.7.

14.10. .104

2 2.( ) .(7 0 ) 228,7

3 3

( ) 38,8) /( 3máx

t

y zy

z

z

y

punto

T rT N mm

I

V QV N mm

t I

siendo Q R y cm

T V N mm

τπ

τπ

τ τ ττ

= = =

= = =

= − = − =

= + ==

C

A 2 m

1 m

VyA

TA

MzA

x

y

z

1 kN

B

0 1

0 1.1 1 .

0 1.2 2 .

y yA

xA A

zA zA

F V kN

M T kN m

M M kN m

= =

= = =

= = =

∑∑∑

Diagramas de esfuerzos: (se despreciará según el enunciado el efecto de las Vy) Tramo AB Tramo BC


siendo: y sustituyendo:

operando:

A B

y

2 m

z TA = 1 kN.m

MzA = 2 kN.m

x 1 kN.m

VyA = 1 kN 1 kN

2

1 T

Mz

x

x

+

_

B C 1 m

y

z

x

1 kN.m

1

Mz

x

_

1 kN 1 kN

0 2

1

1.(2 )

0 2

2 0

z

z

z

x

T

M x

x M

x M

− −=

= − −= → = −= → =

01

10

)1.(1

10

=→=−=→=

−−=−−

z

z

z

Mx

Mx

xM

x

0 0

. ´ . . .́. ´ . ´ ( )

. .

L Lz z

i i i i yz t

M M dx T T dxF R se desprecia efectosV

E I G Iδ + ∆ = +∑ ∑ ∫ ∫

1 ´ ( 1 ., 1 . ., 2) ´ 0i i C i yA A zA iF Kg y R V kN T kN m Mδ= = = = = = ∆ =

0,028 2,8Cy m cm= = ↓

[ ] [ ] [ ] [ ]2 1

0 04

5 3 6 8

2

04

4 3 6 8

1.(2 ) . 20.(2 ) . 1.(1 ) . 20.(1 ) .

1. 0.7

2,1.10 .10 .10 . .104

1.20.

.78,1.10 .10 .10 . .10

2

C

x x dx x x dx

y

dx

π

π

− −

− −

− − − − + − − − −+ = +

+

∫ ∫

∫

9.12.-Una pieza poco esbelta, empotrada en su extremo inferior y libre en el superior, está sometida en su extremo superior a una carga excéntrica de compresión de 50 kN, tal y como se indica en la figura. Se pide:

1) Tensiones en los puntos: a, b, c y d de la sección de empotramiento. 2) Posición del eje neutro en la sección de empotramiento. 3) Indicar si la carga excéntrica está actuando dentro o fuera del núcleo de la sección. 4) Desplazamientos en x, y, z, del centro de gravedad de la sección superior de la

pieza. Datos: E= 2,1.105 N/mm2

Llevando la carga de 50 Kg al centro de gravedad de la sección donde actúa se tendrá:

Cálculo de las reacciones:

50 kN x

y

c d

a b

2,5 cm

80 cm

15 cm

20 cm

1,25 cm

z

50 kN

x

y

c d

a b

80 cm

15 cm

20 cm

z

62,5 kN.cm 125 kN.cm

M zA

M yA

VA

50.1,25 62,5 .

50.2,5 125 .z

y

M kN cm

M kN cm

= == =

0 50

0 62,5 .

0 125 .

x A

zA zA

yA yA

F V kN

M M kN cm

M M kN cm

= =

= =

= =

∑∑∑

43

43

2

1000020.15.12

1

562515.20.12

1

30020.15

cmI

cmI

cmA

y

z

==

==

==

Diagramas de esfuerzos:

Tensiones en los puntos a, b c y d:

Eje neutro:

Como el eje neutro corta a la sección ⇒ “la carga de 50 kN actúa fuera del núcleo de la sección” Desplazamiento en x del extremo superior:

62,5 kN.cm

125 kN.cm

50 kN

125 kN.cm

62,5 kN.cm

50 kN x

y

z

x x x

N Mz My

50 62,5 125

_ _ _

0 80

50 62,5 . 125 .z y

x

N kN M kN cm M kN cm

− −= − = − = −

.. yz

z y

M zM yN

A I Iσ = + +

3 3 32

2 4 4

50.10 62,5.10 .10.( 7,5.10) 125.10 .10.( 10.10)0,417 /

300.10 5625.10 10000.10a N mmσ − − − − −= + + =

3 3 32

2 4 4

50.10 62,5.10 .10.( 7,5.10) 125.10 .10.( 10.10)1,25 /

300.10 5625.10 10000.10b N mmσ − − + − −= + + = −

3 3 32

2 4 4

50.10 62,5.10 .10.( 7,5.10) 125.10 .10.( 10.10)3,75 /

300.10 5625.10 10000.10c N mmσ − − + − += + + = −

3 3 32

2 4 4

50.10 62,5.10 .10.( 7,5.10) 125.10 .10.( 10.10)2,083 /

300.10 5625.10 10000.10d N mmσ − − − − += + + = −

cme

AI

e

iyz

y

z

y

znn 15

25,1300

56250

2

−=−=−=−==

cme

AI

e

izy

z

y

z

ynn 33,13

5,2300

100000

2

−=−=−=−==

15 cm

n

n

y

13,3 cm

a b

c d

20 cm

15 cm

tracción

compresión

z

Cálculo de reacciones: Esfuerzos: Teorema de los Trabajos Virtuales: siendo:

sustituyendo: Desplazamiento en y del extremo superior: (Se desprecia el efecto de las Vy)

Cálculo de reacciones: Esfuerzos: Teorema de los Trabajos Virtuales:

siendo: sustituyendo: Desplazamiento en z del extremo superior: (Se desprecia el efecto de las Vz)

Cálculo de reacciones:

Esfuerzos: Teorema de los Trabajos Virtuales:

siendo:

sustituyendo:

x

1 kN

VA

0 1x AF V kN= =∑

0 80 1x N− − = −

0

. .́. ´ . ´

.

L

i i i i

N N dxF R

E Aδ + ∆ =∑ ∑ ∫

1 ´ 1 ´ 0i i x i A iF kN R V kNδ δ= = = = ∆ =80

05 3 2

( 1).( 50).

1. 02,1.10 .10 .10 .300x

dx

δ −

− −+ =

∫⇒ ↓= − cmx

410.35,6δ

x

1 kN

HyA

y

z MzA

0 1

0 1.80 80 .

y yA

zA zA

F H kN

M M kN cm

= =

= = =∑∑

8080.1800 −=−=−− xxMx z

∫∑∑ =∆+L

z

zziiii IE

dxMMRF

0 .

.´.´.´.δ

1 ´ ( 1 ., 80 . ) ´ 0i i y i yA zA iF kN R H kN M kN cmδ δ= = = = = ∆ =80

05 3 2

( 80).( 62,5).

1. 02,1.10 .10 .10 .5625y

x dx

δ −

− −+ =

∫⇒ →= − cmy

310.7,1δ

x

1 Kg

HzA y

z

MyA

0 1

0 1.80 80 .

z zA

yA yA

F H kN

M M kN cm

= =

= = =∑∑

8080.1800 −=−=−− xxMx y

∫∑∑ =∆+L

y

yyiiii IE

dxMMRF

0 .

.´.´.´.δ

1 ´ ( 1 ., 80 . ) ´ 0i i z i zA yA iF Kg R H kN M kN cmδ δ= = = = = ∆ =

80

05 3 2

( 80).( 125).

1. 02,1.10 .10 .10 .10000z

x dx

δ −

− −+ =

∫⇒ cmz

310.9,1 −=δ

9.14.-En la marquesina de la figura se pide calcular: 1) Diagramas de esfuerzos 2) Dimensionamiento a resistencia de la sección de la viga y el pilar, utilizando un

criterio plástico 3) Desplazamiento vertical y horizontal del extremo derecho de la viga

Datos: viga: IPE, pilar: HEB, E= 2,1.105 N/mm2, fy = 275 N/mm2; coeficiente de minoración del material: γγγγM =1,1; coeficiente de mayoración de cargas: γγγγ =1,35 Nota: En el cálculo del apartado 3º se despreciará el efecto de las fuerzas cortantes Vy

0 5.3 15

0 50 20.4 130

0 50.3 5.3.1,5 20.4.1 252,5 .

H A

V A

A A

F H kN

F V kN

M M kN m

= = =

= = + =

= = + + =

∑∑∑

Cáculo de las reacciones

20 kN/m

5 kN/m

50 kN

3 m

3 m

1 m

VA

H

MA A

B C D

Diagramas de esfuerzos:

20 kN/m

5 kN/m

50 kN

3 m

3 m

1 m

VA = 130 kN HA = 15 kN

MA =252,5 kN.m

_ 130

A

N

A

240

230

252,5

10

_

_

Mz

A

Vy

110

50

15 +

+

20

0 1

20. 0 0 1 20

20. . 0 0 1 102

1 4

50 20.(4 ) 1 110 4 50

(4 )50. 20.(4 ). 1 240 4 0

2

y y y

z z z

y y y

z z z

x

V x x V x V

xM x x M x M

x

V x x V x V

xM x x x M x M

− −= − = → = = → = −

= − = → = = → = −

− −= + − = → = = → =

−= − − − = → = − = → =

Viga

Pilar

0 3

130

15 5. 0 15 3 0

15. 252,5 5. . 0 252,5 3 2302

y y y

z z z

x

N

V x x V x V

xM x x x M x M

− −= −= − = → = = → =

= − − = → = − = → = −

A

B C D

Observación: con el objeto de comprobar los resultados de los diagramas de esfuerzos se pueden hacer comprobaciones del equilibrio de los nudos de la estructura. Así por ejemplo si se aisla el nudo B de unión entre viga y pilar y le aplicamos las solicitaciones de las tramos que llegan a él se tendría: Dimensionamiento a resistencia de la sección de la viga (criterio plástico):

B

110 kN

130 kN

20 kN

240 kN.m

230 kN.m

10 kN.m ⇒⇒⇒⇒ ∑∑

=

=

0

0

:

M

F

nudodelequilibrioelcumplese

*,

23 3 3

* 2,

3

:

. :

275 /240.10 .10 .1,35 . . 1296000

1,1

: 400

tan :

. . 400.13,5 54003

: 110.10 .1,35 148500

z zpl d zpl yd

zpl zpl

ydy ypl d v v f

a flexión

M M W f sustituyendo

N mmN mm W W mm

tablas IPE

acor te

fV V A siendo A h t mm

sustituyendo N

≤ =

≤ → ≥

→ −

≤ = ≅ = =

=2

2

*,

275/1,1 /5400 . 779422,9

3¡ sec !

1 779422,9: 148500 . 389711,4

2 2¡ tan !

: 400

y ypl d

z y

N mmmm N

Si umple

y ademas como V N V N

Noes necesariocombinar el flector M con

vigaCB

lacor t

D IPE

eV

≤

= =

−

=

= ≤

Dimensionamiento a resistencia de la sección del pilar (criterio plástico):

*,

23 3 3

**

, ,

: 252,5 .

. :

275 /252,5.10 .10 .1,35 . . 1363500

1,1

: 280

: : 252,5 . ; 130

1

zmáx

z zpl d zpl yd

zpl zpl

zmáx máx

z

pl d zpl d

a flexión M kN m

M M W f sustituyendo

N mmN mm W W mm

tablas HEB

combinación axil flexión M kN m N kN

MNsust

N M

=

≤ =

≤ → ≥

→ −+ = =

+ ≤

3 3 3

22 2

,

3,

*,

:

130.10 .1,35 252,5.10 .10 .1,350,94 1 ¡ !

3285000 383500000

275 /: . 131,4.10 . 3285000

1,1

275( 280). 1534.10 . 383500000 .

1,1

tan :

pl d yd

zpl d zpl yd

y ypl d

ituyendo

si cumple

N mmsiendo N A f mm N

M W HEB f N mm

acor te

V V

+ = <

= = =

= − = =

≤ = 2

23 2

*,

. . 280.18 50403

275/1,1 /: 15.10 .1,35 20250 5040 . 727461,3

3¡ sec !

1 727461,3: 20250 . 363730,7

2 2¡

ydv v f

y ypl d

z

fA siendo A h t mm

N mmsustituyendo N mm N

Si umple

y ademas como V N V N

Noes necesariocombinar el flector M y el ax

≅ = =

= ≤ =

= ≤ = =

t

: 280

an !y

pilar A

il N con la cor t

HEB

V

B

e

−

Desplazamiento vertical de D: se aplicará el Teorema de los Trabajos Virtuales. (Se despreciará el efecto de las Ry) Esfuerzos en la viga: Esfuerzos en el pilar: Teorema de los Trabajos Virtuales:

siendo: y sustituyendo:

y operando: Desplazamiento horizontal de D: se aplicará el Teorema de los Trabajos Virtuales. (Se despreciará el efecto de las Ry)

1 kN

3 m

3 m

1 m

VA = 1 kN

MA =3 kN.m A

B

C

D

0 1

0 1.3 3 .

V A

A A

F V kN

M M kN m

= =

= = =∑∑


)4.(141

010

xMx

Mx

z

z

−−=−−=−−

0 3 1 3zx N M− − = − = −

0 0

. ´ .. .́. ´ . ´ ( )

. .

L Lz z

i i i i yz


E A E Iδ + ∆ = +∑ ∑ ∫ ∫

1 ´ ( 1 ., 3 . . ) ´ 0i i D i A A iF kN y R V kN M kN mδ= = = = = ∆ =

[ ]

3 3

0 05 3 6 4 5 3 6 8

4

15 3 6 8

( 1).( 130). ( 3).(15. 252,5 5. . ).2

1. 02,1.10 .10 .10 .131,4.10 2,1.10 .10 .10 .19270.10

(4 )1.(4 ) . 50.(4 ) 20.(4 ). .

2

2,1.10 .10 .10 .23130.10

D

xdx x x dx

y

xx x x dx

− − − −

− −

− − − − −+ = + +

− − − − − − − +

∫ ∫

∫

6,64Dy cm= ↓

HA = 1 kN MA =3kN.m

1 kN

3 m

3 m

1 m

A

B

C

D


0 1

0 1.3 3 .

H A

A A

F H kN

M M kN m

= =

= = =∑∑

Esfuerzos en la viga: Esfuerzos en el pilar:

siendo:

y sustituyendo: operando:

0 1 0 0

1 4 1 0z

z

x N M

x N M

− − = =− − = =

3.130 −=−− xMx z

0 0

. ´ .. .́. ´ . ´ ( )

. .

L Lz z

i i i i yz


E A E Iδ + ∆ = +∑ ∑ ∫ ∫

1 ´ ( 1 ., 3 . . ) ´ 0i i D i A A iF Kg x R H kN M kN mδ= = = = = ∆ =

3

05 3 6 8

(1. 3).(15. 252,5 5. . ).2

1. 02,1.10 .10 .10 .19270.10D

xx x x dx

x − −

− − −+ =

∫

→= cmxD 69,2

9.15.-En el pilar de la figura, se pide: A.-Considerando que la curva elástica es producida sólo por las cargas laterales, calcular:

1) Ecuación de momentos flectores y momento flector máximo 2) Ecuación de la elástica 3) Flecha máxima 4) Comprobación a resistencia de la sección con criterio elástico

B.-Considerando que la elástica producida por las cargas laterales se amplifica por la carga de compresión, calcular:

1) Ecuación de la elástica 2) Flecha máxima 3) Ecuación de momentos flectores y momento flector máximo 4) Comprobación a resistencia de la sección con criterio elástico

Datos: fy = 275 N/mm2 ; γγγγM = 1,1; γγγγ = 1,5; E = 2,1.105 N/mm2; HEB-200 A.-Considerando que la curva elástica es producida sólo por las cargas laterales Cálculo de reacciones: Diagramas de esfuerzos

0 300

0 10

0 .6 60 10

x A

y A B A

zA B B

F V kN

F H H H kN

M H H kN

= =

= = → =

= = → =

∑∑∑

0

0

0 0max

0 6

300

10

10.

0 0

6 60

y

z

z

z z

x

N

V

M x

x M

x M M

− −= −= −

= −

= → =

= → = − =0 0max10. 60 .z zM x M kN m= − = −

N Vy M0z

x x x

300 10 60

z

y

F=300 kN

60 kN.m

6 m

VA

HA

HB

- -

-

z

y

F=300 kN

60 kN.m

6 m

Comprobación a resistencia de la sección con criterio elástico: sección más solicitada:

**

, ,

* 3 3 * 6 3

2 3,

3 3,

1

300.10 .1,5 450.10 60.10 .1,5 90000.10 .

275. 91.10 . 2275.101,1

275. ( 200) 569,6.10 . 142400.10 .1,1

z

pl d zel d

z

pl d yd

zel d zel yd

Comprobación a flexión

MN

N M

N N M N mm

N A f N

M W f tablas HEB N mm

sustituyendo

+ ≤

= = = =

= = =

= = − = =

3 3

3 3

450.10 90000.10: 0,83 12275.10 142400.10

en la fórmula si cumple+ = ≤ →

02 0 2 00

2 2

0 2 30

1 1 2

0

01 2

. . ( 10. ) 10..

. . 10. . . 10. .2 6

: 0 0

6 0 60, 0

zz z

z

z z

Ecuación línea elástica

Md y d yE I M x x

dx E I dx

dy x xE I C E I y C x C

dx

condiciones de contorno x y

x y C C

= − → = − = − − =

= + = + +

= → == → = ⇒ = − =

3

05 3 6 8

10. 60.

62,1.10 .10 .10 .5696.10

x xy − −

−=

mxdx

dymáximaflecha 46,30:

0

=→= 0 0max ( 3,46 ) 11,6y y x m mm= = = −

06 300 ., 60 . ., 10z yx m N kN M kN m V kN= → = − = − = −

*,

* 3 3

3,

3 3

*,

.3

10.10 .1,5 15.10

1751,1200.9. 165,332.103

:15.10 165,332.10

1: .

2

ydy ypl d v

y

ypl d

y ypl d

Comprobación a cortadura

fV V A

V N

V N

sustituyendoenla fórmula si cumple

y además secumple V V no hay quecombinar con flect

≤ =

= =

= =

≤ →

≤ → ores

B.-Considerando que la elástica producida por las cargas laterales se amplifica por la carga de compresión:

02 20

2 2

022

2 5 3 6 8

022

2

:

( . )( : . )

. .

300. ( : 0,025

. . . 2,1.10 .10 .10 .5696.10

( 10. ). 8,36.

. 2,1.5696

z zz z

z z

zz

z z z

zz

z

Ecuación línea elástica

M M F yd y d ysiendo M M F y

dx E I dx E I

Md y F Fy y haciendo k

dx E I E I E I

Md y xk y

dx E I

− −

+= − = + → = −

+ = − = = =

−+ = − = − = 4

1 2 3 4

03 4

3 4

10 .

: . . .cos . .

( : , 1 : . )

tan

z z

erz

x

esta ecuación diferencial tieneuna solución de la forma y C senk x C k x C x C

observación la solución particular es del mismo grado que M osea será de grado C x C

Para obtener las cons tesC y C se p

−

= + + +

+

1 2 3

22 2

1 22

2 2 21 2 1

mod :

: . cos . . . .

. . . . .cos . exp . :

. . . . .cos . .( .

z z z z

z z z z

z z z z z

rocederá del siguiente o

dyderivando C k k x C k senk x C y derivando de nuevo

dx

d yC k senk x C k k x y llevando esta resión y la de y a la ec dif

dx

C k senk x C k k x k C

= − +

= − −

− − + 42 3 4

2 2 4 23 4

. .cos . . 8,36.10 .

: . . . 8,36.10 . ( : 0,025)

z z

z z z

senk x C k x C x C x

operando k C x k C x y como k

−

−

+ + + =

+ = =

:

0244,0:06

00

:tan

)158,0025,0:(

.033,0.158,0cos..158,0...cos...

:

21

21

2

214321

elásticalínealadeecuacióncomofinalmentequedaráasí

CCobtieneseyyx

yx

contornodescondicionelasponenseCyCtesconslashallarpara

kksiendo

xxCxsenCCxCxkCxsenkCy

elásticaladeecuaciónla

zz

zz

=−=

=→==→=

=→=

++=+++=

xxseny .033,0).158,0(.244,0 +−=

mxdx

dymáximaflecha 44,30: =→=

max ( 3,44 ) 12,7y y x m mm= = = −

0

033,0

0.025,0

10.36,8.025,0.10.36,8.025,0..025,0

4

3

4

434

43 ==

==

⇒=+−

−

C

C

C

CxCxC

Comprobación a resistencia de la sección con criterio elástico: sección más solicitada:

en este caso son los mismos esfuerzos que en la sección A: (Mz = 60 kN.m = M0z), luego no es

necesaria la comprobación

2 2

2 2

:

. . 2,1.5696.( 0,244.0,025. (0,158. )).

z

zz z

z

Momento flector M

Md y d yM E I sen x

dx E I dx= − → = − = − −

72,966. (0,158. )zM sen x=

0 . 10. 300.( 0,244. (0,158. ) 0,033. )z zM M F y x sen x x= + = − + − +

0 0 6 60 . 4,2 44,95 .z z zx M x m M kN m x m M kN m= → = = → = = → =

Otra forma de obtenerlo sería:

z

y

F=300 kN

60 kN.m

6 m

VA

HA

HB

N Vy Mz

x x x

300 10 60

4,2m

42

44,95

60

M0z

y

y0

x

1,16

1,27

3,44

- - -

Si representamos la elástica y los diagramas de esfuerzos ahora serían:

6 300 ., 60 . ., 10z yx m N kN M kN m V kN= → = − = − = −

problemas resueltos tema 9

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