PROBLEMASRESUELTOSTEMA:1

1.‐Unguardacostas tieneel combustible justopara ir con su lanchadesde la costahastaunaisla;ésteesunviajede4hencontradelacorriente.Alllegar,resultaqueenlaislanoquedacombustibleypasalassiguientes8hflotandoafavordelacorrientehasta llegardenuevoa lacosta.Elviaje completopuesesde12h. ¿Cuánto tiempohubieraempleadosehubieseencontradocombustibleen la isla?Suponerquenosehubieraperdidoningúntiempoenrepostar. 

En el primer trayecto con gasolina y en contra de la corriente utilizamos la velocidad en movimiento relativo. Si tarda 4h, el espacio recorrido S será la velocidad * tiempo. La velocidad será V-VC siendo:

V Vc 4

Este espacio S será también el mismo recorrido a la vuelta pero con una velocidad VC y un tiempo de 8h.

4 4 8 →124

3

Si hubiera habido combustible en la isla, la velocidad de retorno hubiera sido:

3 4

La velocidad de ida era:

3 2

El tiempo de retorno hubiese sido:

84

2h

Y el tiempo de ida hubiese sido el mismo:

82

4h

Luego el tiempo total con combustible hubiese sido: 2h 4h 6h

2.‐ Dos automóviles partieron delmismo punto, almismo tiempo y en lamismadirección. La velocidad del 1er automóvil es de 50 km/h y la del 2º de 40 km/h.Después de media hora, del mismo punto y en la misma dirección, parte un 3erautomóvilquealcanzaalprimero1.5hmástardequealsegundo.Hallarlavelocidaddeltercerautomóvil.

Sea v = velocidad del 3er automóvil y t = tiempo en alcanzar al segundo vehículo (al de 40 km/h).

Se debe cumplir: 20 40

1.5 25 50 1.5

Donde 20 son los kilómetros recorridos por el segundo vehículo en media hora y 25 son los kilómetros recorridos por el primer vehículo en media hora.

Despejamos t en la primera ecuación y lo sustituimos en la segunda.

40 20 →2040

2040

32

25 502040

32

Multiplicamos todo por 2V-80

3 80 50 2000 4000 150

3 280 6000 0

280 √280 12 60006

60km/h

Con la otra solución (33.3 km/h), el tercer vehículo nunca llegaría a alcanzar a los otros dos. Por lo tanto la velocidad es del tercer automóvil es de 60 km/h. Si además pidieran el tiempo, tardaría:

20

60 401h

3.‐Unapartículasemueveconvelocidadv=8t‐7,endondevseexpresaenmetrosporsegundoytensegundos.

a)Determinarlaaceleraciónmediaaintervalosdeunsegundocomenzandoent=3syent=4s.

b) Representar v en función de t ¿Cuál es la aceleración instantánea en cualquiermomento?

a) Para calcular la aceleración media utilizamos la siguiente fórmula: am =∆

∆

Comenzamos en t = 3 s

8 ∗ 4 7 8 ∗ 3 74 3

8ms

8 ∗ 5 7 8 ∗ 4 7

5 3162

8ms

Si calculáramos am3 sería igual a 8 m/s2 y así sucesivamente.

Comenzamos en t = 4 s

8 ∗ 5 7 8 ∗ 4 75 4

8ms

8 ∗ 6 7 8 ∗ 5 7

6 4162

8ms

Si calculáramos am3 sería igual a 8 m/s2 y así sucesivamente. Por lo tanto podemos asegurar que la amedia será de 8 m/s2

b) La aceleración instantánea es: a = 8m/s ya que la derivada de v = 8t − 7 es igual

a 8.

Para cualquier momento se puede observar la velocidad en función del tiempo en la siguiente gráfica:

La aceleración instantánea es constante y vale 8, por este motivo la aceleración media vale 8 m/s2

0

5

10

15

20

25

30

35

0 1 2 3 4 5 6

Velocidad

Tiempo

velocidad/tiempo

Lineal (velocidad/tiempo)

4.‐Unapiedraquecaedeunacantiladorecorreunterciodesudistanciatotalalsueloenelúltimosegundodesucaída,¿Quéalturatieneelacantilado?

Utilizamos que el espacio recorrido desde el punto más alto cumple:

,

si la piedra se deja caer, entonces V0 = 0.

Cuando la piedra pase por A llevará una velocidad VA y recorrerá 1/3 h en 1s de modo que

13

112

1 12

Pero es la velocidad que la piedra ha adquirido al recorrer anteriores a A. Esto habrá

ocurrido en un tiempo ′:

23

12

′ → ′ 43

Luego, la velocidad en A será:

′ 23

entonces:

13

12

23 2

⟹13

2

23

Ahora, elevamos al cuadrado cada miembro, reordenamos y despejamos h, quedándonos una ecuación de 2º grado,

953 4

0

Simplificamos la ecuación,

9

53 4

→ 9

5 9,813

9,814

147,15 216,54 0

Resolvemos la ecuación de segundo grado,

31

32

A 

√ 42

147,15 147,15 4 1 216,542 1

→ 145,663m

La ecuación nos dará dos soluciones, una de ellas no tiene sentido h = 1,486 m; Analizamos porqué:

Si calculamos la distancia que recorrería la piedra si la dejáramos caer a una velocidad 0 sería:

Distancia piedra → → 0 1 , 4,9m

(Como podemos observar la distancia que recorre en 1 s ya es mayor y además el ejercicio propone que recorre un tercio de la distancia en el último segundo)

5.‐ Se deja caer una pelota A desde la parte superior de un edificio en elmismoinstanteenquedesdeelsueloselanzaverticalmentehaciaarribaunasegundapelotaB.Enelmomentoenquelaspelotaschocan,seencuentrandesplazándoseensentidosopuestos y la velocidad de la pelota A es el doble de la que lleva la pelota B.Determinaraquéalturadeledificioseproduceelchoqueexpresandoéstaenformadefracción.

x + y = h

2

Donde V0 es la velocidad con que se lanza la piedra B.

Si sumamos las ecuaciones x e y, desaparece y nos queda → ,

De = 2Vy sacamos g 2 2 → 2 2

Seguimos simplificando y despejando,

2 3 → 32

Por otro lado,

12

Vamos sustituyendo y simplificando para obtener la relación pedida en el enunciado:

32

32

22

2

1

20

2

20

20

2

gh

gh

gh

V

gh

hV

V

hg

h

x

h

31

32

h 

6.‐Suponerqueunapartículasemueveenlínearecta,detalmodoqueencualquiertiempo t, su posición, velocidad y aceleración tienen el mismo valor numérico.Determinarlaposiciónenfuncióndeltiempo.

Esto ha de cumplir,

a(t) = V(t) = r(t)

como V t

Identificamos que la única función que coincide con sus derivadas es la exponencial

Representado de forma general,

Como puede observarse en la fórmula, la posición,

V t X e aceleración y velocidad de la partícula dependerá de

la posición inicial y de la diferencia entre tiempo final e inicial.

7.‐Ciertapartículatieneunaaceleraciónconstante =6 +4 m/s2.Enelinstantet=0,lavelocidadesceroyelvectordeposiciónes 0=10 m:

a)Hallarlosvectoresposiciónyvelocidadenuninstantecualquierat.b)Hallar laecuaciónde la trayectoriaenelplanoXYyhacer unesquemade la

misma.a)

6t + 4t – 6t0 – 4t0

Pero en t = 0 nos dicen v = 0 t0 = 0 luego = 6t + 4t

3t2 + 2t2 - 3 2

Pero para t = 0 nos dicen = 10 luego:

10 3 2) + 2t2 m

b) Por componentes tenemos 10 3 ⟹

2 ⟹ 2 ∗

‐10

‐5

0

5

10

15

20

25

0 20 40 60

eje y

eje x

recta y=2/3*x ‐ 20/3

recta y=2/3*x ‐ 20/3

Lineal (recta y=2/3*x ‐20/3)

x y

0 -6,666

10 0

20 6,666

30 13,333

40 20

8.‐Una partícula semueve en el planoXY con aceleración constante. Para t = 0, lapartículaseencuentraen laposiciónx=4m,y=3myposee lavelocidad / .Laaceleraciónvienedadaporelvalor m/s2:

a)Determinarelvectorvelocidadenelinstantet=2s.b) Calcular el vectorposición a t=4 s. Expresar elmódulo y ladireccióndelvectorposición.

a)

Puesto que la aceleración es constante podemos hallar la velocidad v(t) integrando la aceleración, resultando:

4 3 , donde es una constante de integración dada por las condiciones del problema.

Como para t = 0 nos dicen 2 9 ⟹ 2 9 .

Luego:

4 3 2 9 4 2 3 9

b) Al integrar nuevamente 2 2 9 y como nos dicen en

el enunciado que para t = 0 tenemos la partícula en (4, 3).

Entonces 0(t) = 4 3 ⟹ 2t2 + 2t + 4) + ( 9 3

Para t = 4 4 44 9 m

| 4 | √44 9 44,9

tanα = ⟹ 11,56°

9.‐ElavióndepasajerosBvuelahaciaeleste conunavelocidadvB=800km/h.Unreactormilitar que viaja hacia el sur con una velocidad vA = 1200 km/h pasa pordebajodeBvolandounpocomásbajo. ¿Quévelocidad lespareceque llevaAa lospasajerosdeBycuálesladireccióndeesavelocidadaparente?

Utilizando la fórmula del movimiento relativo:

A = B + A/B

Despejando VA/B:

VA/B = 1200 800 1442km/h

Entonces β = tg-1 33,7°

 

 

/  β 

10.‐EltrenAviajaconunaceleridadconstante =120km/hporlavíarectayplana.ElconductordelautomóvilB,previendoelpasoanivelC,disminuyelavelocidadde90km/hdesuvehículoarazónde3 / .Hallarlavelocidadylaaceleracióndeltrenrespectoalautomóvil.

 

 

Hallamos la velocidad del tren respecto del automóvil ( / ):

/ = ‐ =120(cos15 +sen15 )–90(cos60 +sen60 )=70,9 ‐46,9 km/h

 

Hallamos la aceleración del tren respecto de automóvil ( / ):

/ = − =0−3(‐cos60 ‐sen60 )=1,5 +2,6 m/s

(El signo menos se debe a que

es una desaceleración)

 

Por último para hallar la velocidad y la aceleración del tren respecto del automóvil, resolvemos los módulos de los vectores:

   

/ = 70,9 46,9 =85km/h

/ = 1,5 2,6 =3m/s

 

-la velocidad del tren es 85 km/h

-la aceleración del tren respecto del automóvil es 3 /

11.‐Unapartículasemuevealolargodelacurva: =( − ) +2 (7– ) +(6 − ) .Hallar los valores de las componentes tangencial ynormal de su aceleración en elinstante =2s. 

Hallamos la velocidad haciendo la derivada de respecto del tiempo:

2 1 14 4 6 3  

Para t = 2 s:

Hallamos la aceleración haciendo la derivada de respecto del tiempo:

2 4 6  

Para t = 2 s

Puesto que = donde es un vector tangente a la curva en t = 2 s:

3 6 6k9

13

23

23k  

Ahora, proyectando la aceleración total sobre la tangente de la curva obtendremos :

2 4 1213

23

23

6 

Luego:

613

23

23

2 4 4  

Teniendo todo esto ya podemos sacar y posteriormente :

2 4 12 2 4 4 8 8  

√8 8 = 8√2 

   

2 2 4 12  

2 3 6 6 √9 36 36 9 

12.‐ La ecuación del movimiento de una partícula que se desplaza por unacircunferencia viene dada por . Calcular la rapidez delmóvil y suaceleración tangencial, normal y total en el instante t = 2 s, sabiendo que. ⁄ parat=1s. 

La rapidez del móvil es:

  3 4  

Para t = 1 s           v=‐3+4·1=1m s⁄  

Para t = 2 s           v=‐3+4·2=5m s⁄  

Calculamos la aceleración tangencial, haciendo la derivada de v respecto del tiempo:

  4m s⁄  en cualquier instante.  

Ahora calculamos la aceleración normal en t = 1 s, sabiendo que es un dato del problema:

  = 0.2m s⁄     donde el radio del círculo es:  R=,

5m 

Como R es constante, la aceleración normal en t =2 s es:

  = 5 m s⁄  

Teniendo todo esto, ya podemos sacar la aceleración total en t = 2 s:

  √5 4 = 6,4m s⁄  

   

13.‐Unapartículasemuevesobreuncirculoderadior=2mdemodoque,donde estádadaen radianesy ten segundos.Despuésde4 sdemovimiento,

calcular:elángulodescrito,elarcorecorrido, lasvelocidades linealyangular,y lasaceleracionestangencial,centrípetayangular.

La fórmula del movimiento circular es , ahora sustituimos en ella:

  = 3 2 6 4  

Sustituimos t = 4 s para sacar los metros y los radianes después de 4 s:

          4 3 4 2 4 40rad 

          4 6 4 4 4 80m 

Ahora podemos sacar las velocidades lineal y angular:

- la velocidad lineal la podemos sacar derivando s respecto del tiempo:

6 412 4 

Ahora sacamos la velocidad lineal después de 4 segundos:

  4 12 4 4 44m s⁄  

- la velocidad angular la podemos sacar derivando respecto del tiempo:

3 2

6 2 

Ahora sacamos la velocidad angular después de 4 segundos:

  4 6 4 2 22m s⁄  

Cumpliéndose que        (44 = 2 ∙ 22)  

Podemos sacar las aceleraciones:

- la aceleración angular la podemos sacar derivando la velocidad angular respecto del tiempo:

  6 rad s    constante todo el tiempo 

- la aceleración tangencial la podemos sacar derivando la velocidad lineal respecto del tiempo:

12 m s   constante todo el tiempo 

- la aceleración centrípeta (o normal) la podemos sacar de la velocidad lineal al cuadrado entre el radio:

12 4 

Después de 4 segundos:

4442

968 m s  

La aceleración total es:                 √12 968 968,07 m s  

14‐Unabola lanzadaalairellegaalsueloaunadistanciade40malcabode2.44s.Determinarelmóduloyladireccióndelavelocidadinicial.

Este problema es un problema en el que una bola sale hacia delante y hacia arriba con una velocidad inicial en el eje y y otra velocidad inicial en el eje x.

Para resolverlo utilizaremos la fórmula del alcance y la del tiempo que está la bola en el aire.

Alcance → 2 ∝

Tiempo de vuelo → ∝→ ∝. Aquí hemos elevado al

cuadrado los dos lados de la ecuación, para que en la siguiente fórmula nos sea más fácil de calcular.

En esta siguiente fórmula dividimos el alcance entre el tiempo de vuelo al cuadrado:

4∗

2 ∝∝

∗ 2 ∗ ∝∗ ∝4 ∗ ∝∗ ∝ 2

∝

Realizamos esta operación para averiguar el ángulo, el cual nos da la dirección de la bola:

∝2 ∗∗

2 ∗ 40∗ 2.44

1.369

∝ 36.1

Una vez averiguado el ángulo podemos averiguar la velocidad inicial con que se lanza la bola:

∗2 ∗ ∝

20.3m/s

15.‐Alamitaddesualturamáxima,lavelocidaddeunproyectiles¾desuvelocidadinicial.¿Quéánguloformaelvectorvelocidadinicialconlahorizontal?

A mitad de su altura máxima, utilizando la componente vertical de la velocidad, tenemos:

2 2

12

⟹12

2 2

0

Despejamos el tiempo de la ecuación de 2º grado:

t =

12

(se ha tomado sólo el signo menos de la ec. de 2º grado ya que buscamos sólo el primer tiempo en que se alcanza h/2)

Este es el tiempo empleado en alcanzar ; en ese tiempo llevará una velocidad vertical

dada por:

2 2 √2 1

En este punto y según el enunciado:

v0 = pero gh =

ya que v0 senα = 2 = voy luego 24

3 22022

00

senv

cosvv

y como sen2α = 1 − cos2α despejamos:

cosα = √ → 69,29°

16.‐Unapiedrase lanzahorizontalmentedesde loaltodeunacuestaque formaunángulo con lahorizontal.Si lavelocidadde lapiedraesv. ¿Aquédistancia caerásobrelacuesta?

Se ha de cumplir la fórmula

→ →

El alcance que tomará la piedra podemos deducirlo de la fórmula,

→2

Por tanto podemos sustituir ahora en la fórmula principal e ir simplificando,

→ 2 √2 √2 √2

2→

2→

2

de donde

2

Con todo esto ya podemos hallar la distancia, utilizando la fórmula del teorema de Pitágoras,

2²

2 4 4

Continuamos simplificando, recordando las propiedades trigonométricas y de raíces,

21

2 2 2

De  esta  ecuación 

sacamos el  tiempo que 

tarda en caer la piedra 

d h 

R 

   Θ  

d