electromagnetismo problemas resueltos

8/20/2019 Electromagnetismo Problemas Resueltos

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Física P.A.U. ELECTROMAGNETISMO 1

ELECTROMAGNETISMO

INTRODUCCIÓN

● MÉTODO

1. En general:Se dibujan la !uer"a #ue a$%&an 'bre el i%e(a.Se $al$ula la reul%an%e )'r el )rin$i)i' de u)er)'i$i*n.Se a)li$a la +, le- de Ne%'n /le- 0unda(en%al de la Din(i$a2

3F 4 m · a

+. En l' )r'ble(a de $a()' ele$%r'%%i$' de $arga )un%uale ' e!5ri$a.La !uer"a ele$%r'%%i$a F E en%re d' $arga6 Q - q 6 )un%uale ' e!5ri$a /$'ndu$%'ra 7ue$a '

(a$i"a6 ' ailan%e $'n una di%ribu$i*n 7'('g5nea de $arga2 e)arada una di%an$ia r erige )'r la le- de C'ul'(b:

F =K Qq

r 2u

r

La in%enidad del $a()' ele$%r'%%i$' E $read' )'r una $arga )un%ual Q en un )un%' i%uad' auna di%an$ia r e igual a la !uer"a el5$%ri$a F E #ue ejer$er8a la $arga Q 'bre la unidad de $arga)'i%i9a i%uada en ee )un%'.

E 4 F E q

iend' q la $arga de )rueba i%uada en el )un%'. La e;)rei*n #ueda:

E =K Q

r 2u

r

La in%enidad de $a()' ele$%r'%%i$' en un )un%' $read' )'r 9aria $arga )un%uale e lau(a 9e$%'rial de la in%enidade de $a()' ele$%r'%%i$' $reada )'r $ada $arga $'(' i la'%ra n' e%u9ieen /)rin$i)i' de u)er)'i$i*n2El )'%en$ial ele$%r'%%i$' en un )un%' i%uad' a una di%an$ia r de una $arga )un%ual < e el %ra=baj' #ue 7a$e la !uer"a ele$%r'%%i$a $uand' la unidad de $arga )'i%i9a e %ralada dede u)'i$i*n 7a%a el in!ini%':

V =W r →∞q

=

∫r

∞ F

E

q d r =

∫r

∞

K Qr 2

ur d r =∫r

∞

K Qr 2

d r =[−K Qr ]r

∞

=K Qr

El )'%en$ial ele$%r'%%i$' en un )un%' debid' a 9aria $arga )un%uale e la u(a de l' )'=%en$iale ele$%r'%%i$' $read' )'r $ada $arga $'(' i la '%ra n' e%u9ieen.>ara $al$ular el %rabaj' ne$eari' )ara %raladar una $arga # en%re d' )un%' A - ? e $al$ula)ri(er' el %rabaj' #ue 7a$en la !uer"a del $a()'6 #ue6 iend' $'ner9a%i9'6 e igual a:%rabaj' #ue 7a$en la !uer"a del $a()':

W A@? 4 = /E >? E >A2 4 E >A = E >? 4 q /V A V ?2

Su)'niend' #ue la $arga )ar%e del re)'' - #ue llega a ? $'n 9el'$idad nula6 el %rabaj' de la

!uer"a reul%an%e e nul'6 - el %rabaj' de la !uer"a e;%eri'r er:

W B = - W A@?


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. En l' )r'ble(a de ('9i(ien%' de $arga en un $a()' (agn5%i$' $'n%an%e.>'r la le- de L'ren%"6

F B 4 q /v B2

la !uer"a (agn5%i$a e )er)endi$ular a la 9el'$idad6 )'r l' #ue n' reali"a %rabaj'. La 9el'$idad

%endr un 9al'r $'n%an%e6 - la a$elera$i*n *l' %iene $'()'nen%e n'r(al. C'(' %'da la (ag=ni%ude 'n $'n%an%e6 %a(bi5n l' er la a$elera$i*n n'r(al - el radi' de $ur9a%ura6 )'r l' #uela %ra-e$%'ria er $ir$ular.La %ra-e$%'ria de la )ar%8$ula en el in%eri'r de un $a()' (agn5%i$' $'n%an%e 'n $ir$ulare.En%'n$e6 la a$elera$i*n *l' %iene $'()'nen%e n'r(al aN 4 v + r 6 -6 al n' %ener a$elera$i*n %an=gen$ial6 el (*dul' de la 9el'$idad e $'n%an%e.

● RECOMENDACIONES

1. Se 7ar una li%a $'n l' da%'6 )and'l' al Si%e(a In%erna$i'nal i n' l' e%u9ieen.

+. Se 7ar '%ra li%a $'n la in$*gni%a.

. Se dibujar un $r'#ui de la i%ua$i*n6 )r'$urand' #ue la di%an$ia del $r'#ui ean $'7eren=%e $'n ella. Se deber in$luir $ada una de la !uer"a ' de la in%enidade de $a()'6 - u re=ul%an%e.

. Se 7ar una li%a de la e$ua$i'ne #ue $'n%engan la in$*gni%a - algun' de l' da%'6 (en$i'=nand' a la le- ' )rin$i)i' al #ue e re!ieren.

F. En $a' de %ener alguna re!eren$ia6 al %er(inar l' $l$ul' e 7ar un anlii del reul%ad')ara 9er i e el e)erad'. En )ar%i$ular6 $'()r'bar #ue l' 9e$%'re $a()' ele$%r'%%i$' %ie=nen la dire$$i*n - el en%id' a$'rde $'n el $r'#ui.

. En (u$7' )r'ble(a la $i!ra igni!i$a%i9a de l' da%' 'n in$'7eren%e. Se re'l9er el)r'ble(a u)'niend' #ue l' da%' #ue a)are$en $'n una ' d' $i!ra igni!i$a%i9a %ienen la(i(a )re$ii*n #ue el re%' de l' da%' /)'r l' general %re $i!ra igni!i$a%i9a26 - al !inal e7ar un $'(en%ari' 'bre el la $i!ra igni!i$a%i9a del reul%ad'.

● ACLARACIONES

1. L' da%' de l' enun$iad' de l' )r'ble(a n' uelen %ener un n&(er' ade$uad' de $i!raigni!i$a%i9a6 bien )'r#ue el reda$%'r )iena #ue la 08i$a e una ra(a de la Ma%e(%i$a - l'n&(er' en%er' 'n n&(er' He;a$%' /).ej la 9el'$idad de la lu": 1JK ( $ree #ue eJJ JJJ JJJ6JJJJJJJJJJJJJJJ... (2 ' )'r#ue a&n n' e 7a en%erad' de #ue e )uede uar $al=$ulad'ra en el e;a(en - le )are$e ( en$ill' uar 1JK #ue + + FK (2.

>'r e' 7e u)ue%' #ue l' da%' %ienen un n&(er' de $i!ra igni!i$a%i9a ra"'nable6 $aiie()re %re $i!ra igni!i$a%i9a. Men' $i!ra dar8an reul%ad'6 en $ier%' $a'6 $'n a()li'(argen de err'r. A8 #ue $uand' %'(' un da%' $'(' c 4 1JK ( - l' ree$rib' $'(':Cifras significativas: c 4 6JJ1JK (l' #ue #uier' indi$ar e #ue u)'ng' #ue el da%' 'riginal %iene %re $i!ra igni!i$a%i9a /n' #uela %enga en realidad2 )ara )'der reali"ar l' $l$ul' $'n un (argen de err'r ( )e#ue' #ueel #ue %endr8a i l' %'(ara %al $'(' l' dan. /1J K ( %iene una 'la $i!ra igni!i$a%i9a6 - un err'r rela%i9' del J . C'(' l' err're e uelen a$u(ular a l' larg' del $l$ul'6 el err'r !inal er8ainad(iible. En%'n$e6 P)ara #u5 reali"ar l' $l$ul'Q C'n una e%i(a$i*n er8a u!i$ien%e2.


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>RO?LEMAS

● CAM>O ELECTROSTTICO

1. Una $arga )un%ual Q '$u)a la )'i$i*n /J6 J2 del )lan' XY en el 9a$8'. En un )un%' A del eje X el)'%en$ial e V 4 =1JJ - el $a()' el5$%ri$' e E 4 =1J i NC /$''rdenada en (e%r'2:a2 Cal$ula la )'i$i*n del )un%' A - el 9al'r de Q .b2 De%er(ina el %rabaj' ne$eari' )ara lle9ar un )r'%*n dede el )un%' ? /+6 +2 7a%a el )un%' A.$2 a" una re)reen%a$i*n gr!i$a a)r';i(ada de la energ8a )'%en$ial del i%e(a en !un$i*n de

la di%an$ia en%re a(ba $arga. u%i!i$a la re)ue%a.Da%': $arga del )r'%*n: 161J=1 CV K 4 1J NW(+WC=+ (P.A.U. !t. ""#Rta.: a) r A = (10,0, 0) m; Q = -1,11×10-7 C; b) W = -4,05×10-17 J

Datos Cifras significativas: 3Posición de la carga Q r = (0, 0) mPo!encial en el "#n!o A V = -100 $Cam"o el%c!rico en el "#n!o A E = -10,0 i &'C

Posición del "#n!o r = (,000, ,000) mCarga del "ro!ón q " = 1,*0×10-1+ CCons!an!e el%c!rica K = +,00×10+ &mC-

Incógnitas

Posición del "#n!o A r A$alor de la carga Q Qraba.o necesario "ara lle/ar #n "ro!ón de a A W AOtros símbolos

is!ancia en!re dos "#n!os A 2 r A Ecuaciones

Cam"o el%c!rico creado "or #na carga "#n!#al Q a #na dis!ancia r E = K Q

r

ur

Po!encial elec!ros!3!ico de #n #n "#n!o #e dis!a #na dis!ancia r de #na carga Q V = K Q

r

raba.o #e ace la 6#era del cam"o c#ando se m#e/e #na carga q desde #n "#n!o A as!a o!ro "#n!o W A = q (V A 8 V )

9nerg:a "o!encial elec!ros!3!ica de #na carga q en #n "#n!o A E P A = q V A

Solución:

a) e s#s!i!#2en los da!os en las ec#aciones del cam"o

E = K Q

r

ur

−10,0 i [ & / C ]=+,00×10+ [ &m C− ]Q

r u

r

#e, !omando sólo el mód#lo, #eda<

10,0 [ & /C]=+,00×10+ [ &m C−]|Q|

r

ambi%n se s#s!i!#2e en la ec#ación de "o!encial elec!ros!3!ico<

V = K Q

r

−100 [ $ ]=+,00×10+ [ &m C−] Qr


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Como en la ec#ación del cam"o a"arece el /alor absol#!o de la carga Q, a"licamos /alores absol#!os a laec#ación del "o!encial, #e #eda<

100 [ $ ]=+,00×10+

[ &m C

−]|Q|

r

e res#el/e el sis!ema

10,0=+,00×10+∣Q∣r

100=+,00×10+∣Q∣r

di/idiendo la seg#nda ec#ación en!re la "rimera> e ob!iene

r = 10,0 m

? des"e.ando el /alor absol#!o de la carga Q de la seg#nda ec#ación<

Q = 1,11×10-7 C9l "o!encial es nega!i/o, "or lo !an!o la carga debe ser nega!i/a<

Q = -1,11×10-7 C

Como la in!ensidad del cam"o elec!ros!3!ico en el "#n!o es nega!i/a, E r = -10,0 i (&'C), el "#n!o !iene #ees!ar en el semie.e "osi!i/o<

r A = (10,0, 0) m

b) 9l !raba.o #e ace la 6#era del cam"o es

W A = q (V 8 V A)

@a dis!ancia del "#n!o a la carga Q es<r =√ (,00 [ m])

+(,00 [ m ])=,B m

9l "o!encial en el "#n!o /ale<

V =+,00×10+

[ &mC

−]

|−1,11×10−7 [C ]|,B [ m ]

=−B5B $

9l !raba.o de la 6#era del cam"o es

W A = q (V 8 V A) = 1,*0×10-1+ CD (-B5B 8 (-100) ) $D = -4,05×10-17 J

#"oniendo #e salga 2 lleg#e con /elocidad n#la, el !raba.o#e a2 #e acer es<

W eE!erior = -W cam"o = 4,05×10-17 J

c) @a energ:a "o!encial de dos cargas /iene dada "or la eE"re-sión<

E "=q·V = K Q· q

r

2 es in/ersamen!e "ro"orcional a la dis!ancia en!re ambas car-gas>Como las cargas son de signo o"#es!o la energ:a "o!encial es ne-ga!i/a 2 a#men!a con la dis!ancia as!a ser n#la a #na dis!anciain6ini!a>

0 2 4 6 8 10

-0,2

-0,1

-0,1

-0,0

0! "#$

E P

" % & $


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Física P.A.U. ELECTROMAGNETISMO

+. Dada la $arga )un%uale Q 1 4 KJ XC6 Q + 4 =KJ XC6 Q 4 J XC i%uada en l' )un%' A/=+6 J26? /+6 J2 - C/J6 +2 re)e$%i9a(en%e /$''rdenada en (e%r'26 $al$ula:a2 La in%enidad del $a()' ele$%r'%%i$' en el )un%' /J6 J2b2 El %rabaj' ne$eari' )ara %raer una $arga de 1 XC dede el in!ini%' 7a%a el )un%' /J6 J2Da%': K 4 1J NW(+WC =+ (P.A.U. $%n. &'#Rta.: a) E = (B,* i 8 0,+ j)×105 &'C; b) W eE!erior = -W cam"o = 0,1 J

Datos Cifras significativas: 3$alor de la carga si!#ada en el "#n!o A< (-,00, 0) m Q1 = 0,0 FC = ,00×10-5 C$alor de la carga si!#ada en el "#n!o < (,00, 0) m Q = -0,0 FC = -,00×10-5 C$alor de la carga si!#ada en el "#n!o C< (0, ,00) m QB = 40,0 FC = 4,00×10-5 C$alor de la carga #e se des"laa q = 1,00 FC = 1,00×10-* CCons!an!e el%c!rica K = +,00×10+ &mC-

Incógnitas

Gn!ensidad del cam"o elec!ros!3!ico en el "#n!o (0, 0) E raba.o "ara !raer #na carga de 1 FC desde el in6ini!o as!a el "#n!o (0, 0) W Otros símbolos

is!ancia en!re los "#n!os A 2 r A EcuacionesGn!ensidad del cam"o elec!ros!3!ico en #n "#n!o creado "or #na carga "#n-!#al Q si!#ada a #na dis!ancia r

E = K Q

r

ur

Princi"io de s#"er"osición E A=∑ E A iraba.o #e ace la 6#era del cam"o c#ando se m#e/e #na carga q desde #n

"#n!o A as!a o!ro "#n!o W A = q (V A 8 V )

Po!encial elec!ros!3!ico en #n "#n!o creado "or #na carga "#n!#al Q si!#adaa #na dis!ancia r V = K

Qr

Po!encial elec!ros!3!ico de /arias cargas V = H V i

Solución:

a) e ace #n dib#.o con los /ec!ores in!ensidad de cam- "o elec!ros!3!ico creado "or cada carga 2 la s#ma /ec!o-rial #e es el /ec!or cam"o E res#l!an!e>@as dis!ancias en!re los "#n!os A, 2 C son lasmismas<

r = ,00 m@a in!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico en el "#n!o (0, 0)m, debida a la carga de 0 FC si!#ada en el "#n!o A es<

E A=+,00×10+ [ &m C− ]

,00×10−5 [ C]

(,00 [ m ]) i =1,0×105 i & /C

@a in!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico en el "#n!o (0, 0) m, debida a la carga de -0 FC si!#ada en el "#n!o es la misma<

E = 1,0×105 i &'C

@a in!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico en el "#n!o (0, 0) m, debida a la carga de 40 FC si!#ada en el "#n!o Ces<

E C=+,00×10+ [ &m C− ]

4,00×10−5 [C]

(,00 [ m ]) (− j )=−0,+0×105 j & / C

Por el "rinci"io de s#"er"osición, la in!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico res#l!an!e en el "#n!o (0, 0) es las#ma /ec!orial de las in!ensidades de cam"o de cada carga<

E = E A I E I E C = 1,0×105 i &'CD I -0,+0×105 j &'CD = (B,*0×105 i 8 0,+0×105 j) &'C

| E |= √ (B,*0×105 [ & /C ])+( 0,+0×105 [ & /C])=B,71×105 & /C

A

C

9A

9

9C 9


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Análisis: La dirección del campo resultante es cuatro veces mayor hacia la derecha que hacia abao! como se ve en el dibuo"

b) @os "o!enciales en el "#n!o (0, 0) debidos a cada carga /alen<

V A=+,00×10+

[ &m

C

−

]

,00×10−5 [C]

(,00 [ m]) =B,*0×105

$

V

=+,00×10+ [ &m C− ]−,00×10−5 [C]

(,00 [m ]) =−B,*0×105 $

V C=+,00×10+ [ &m C−]

4,00×10−5 [C](,00 [ m ])

=1,0×105 $

9l "o!encial elec!ros!3!ico de #n "#n!o debido a la "resencia de /arias cargas, es la s#ma algebraica de los "o!enciales debidos a cada carga>

V = V A I V I V C = B,*0×105 $D 8B,*0×105 $D I 1,0×105 $D = 1,0×105 $

9l !raba.o #e ace la 6#era del cam"o es

W = q (V 8 V ) = 1,00×10-* C (0 8 1,0×105) $ = -0,10 J

s#"oniendo #e salga 2 lleg#e con /elocidad n#la, el !raba.o #e a2 #e acer es<

W eE!erior = -W cam"o = 0,10 J

. D' $arga el5$%ri$a de (C e%n i%uada en A/6 J2 - ?/=6 J2 /en (e%r'2. Cal$ula:a2 El $a()' el5$%ri$' en C/J6 F2 - en D/J6 J2b2 El )'%en$ial el5$%ri$' en l' (i(' )un%' C - D$2 El %rabaj' )ara %raladar q B 4 =1 (C dede C a DDa%': K 4 1J NW(+WC=+ V 1 (C 4 1J= C (P.A.U. $%n.

Rta.: a) E C = 1,0B×10*

j &'C; E = 0; b) V c = ,4B×10*

$; V = 1,B5×107

$ c) W eE! = -5,1×10B

J Datos Cifras significativas: 3

$alor de la carga si!#ada en el "#n!o A< (4,00, 0) m Q1 = B,00 mC = B,00×10-B C$alor de la carga si!#ada en el "#n!o < (-4,00, 0) m Q = B,00 mC = B,00×10-B C$alor de la carga #e se !raslada q = -1,00 mC = 1,00×10 -B CCons!an!e el%c!rica K = +,00×10+ &mC-

Incógnitas

Gn!ensidad del cam"o elec!ros!3!ico en los "#n!os C< (0, 5,00) 2 < (0, 0) E C, E Po!encial elec!ros!3!ico en los "#n!os C< (0, 5,00) 2 < (0, 0) V C, V raba.o "ara !rasladar #na carga de -1 mC desde C a W COtros símbolos

is!ancia en!re dos "#n!os A 2 r A EcuacionesGn!ensidad del cam"o elec!ros!3!ico en #n "#n!o creado "or #na carga "#n-!#al Q si!#ada a #na dis!ancia r

E = K Q

r

ur



Po!encial elec!ros!3!ico en #n "#n!o creado "or #na carga "#n!#al Q si!#adaa #na dis!ancia r

V = K Q

r


Solución:

a) e ace #n dib#.o con los /ec!ores in!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico creado "or cada carga 2 la s#ma/ec!orial #e es el /ec!or cam"o E res#l!an!e>


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Física P.A.U. ELECTROMAGNETISMO '

Para el "#n!o C<@as dis!ancias en!re los "#n!os AC, 2 C son las mismas<

r AC=r C=√ (4,00 [m ]) +(5,00 [ m])=*,40 m

@a in!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico en el "#n!o C(0, 5), debida a la

carga de B mC si!#ada en el "#n!o A es< E

A→C=+,00×10+ [ &m C− ]

B,00×10−B [ C]

(*,40 [m ])−4,00 i +5,00 j

*,40 =

=(−4,11×105 i +5,14×105 j ) & /C

@a in!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico en el "#n!o C(0, 5) debida a lacarga de B mC si!#ada en el "#n!o es sim%!rica a la del "#n!o A<

E C = (4,11×105 i I 5,14×105 j) &'C

Por el "rinci"io de s#"er"osición, la in!ensidad de cam"o elec!ros!3!i-co res#l!an!e en el "#n!o C(0, 5) es la s#ma /ec!orial de las in!ensida-des de cam"o de cada carga<

E C = E AC I E C = (-4,11×105 i I 5,14×105 j) &'CD I (4,11×105 i I 5,14×105 j) &'CD = 1,0B×10* j &'C

Análisis: La dirección del campo resultante es vertical hacia arriba! como se ve en el dibuo"

Para el "#n!o <Como las dis!ancias en!re los "#n!os A 2 son las mismas 2 las cargas en A 2 son ig#ales, los /ec!o-res cam"o creados "or las cargas en A 2 son o"#es!os (mismo /alor 2 dirección "ero sen!ido con!rario)

"or lo #e s# res#l!an!e es n#la>

E = 0

b) @os "o!enciales en el "#n!o C(0, 5) debidos a cada carga son ig#ales 2 /alen<

V →C=V A→C=+,00×10

+ [ &m C− ]B,00×10−B [ C]

(*,40 [ m ]) =4,×10* $


V C = V AC I V C = 4,×10* $D I 4,×10* $D = ,4B×10* $

An3logamen!e "ara el "#n!o

V →=V A→=+,00×10

+ [ &m C− ]B,00×10−B [ C]

(4,00 [ m ]) =*,75×10* $

V = V A I V = *,75×10*

$D I *,75×10*

$D = 1B,5×10*

$

c) 9l !raba.o #e ace la 6#era del cam"o es

W C = q (V C 8 V ) = -1,00×10-B CD (,4B×10* 8 1B,5×10*) $D = 5,1×10B J

s#"oniendo #e salga 2 lleg#e con /elocidad n#la, el !raba.o #e a2 #e acer es<

W eE!erior = -W cam"o = -5,1×10B J

. Tre $arga de Y ZC e%n i%uada e#uidi%an%e en%re 8 'bre una $ir$un!eren$ia de radi'+ (. Cal$ula:

a2 El )'%en$ial el5$%ri$' en el $en%r' de la $ir$un!eren$ia.b2 El 9e$%'r $a()' el5$%ri$' en el (i(' )un%'.$2 El %rabaj' )ara %raer una $arga q B 4 1 ZC dede el in!ini%' al $en%r' de la $ir$un!eren$ia.Da%': K 4 1J NW(+WC=+ (P.A.U. $%n. ")#

A(

C

E A)C

E()C

EC

*

E()*

E A)*

r ( C


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Rta.: a) V = 4,05×104 $; b) E = 0; c) W eE! = 4,05×10- J

Datos Cifras significativas: 3$alor de cada carga Q = B,00 KC = B,00×10-* CLadio de la circ#n6erencia # = ,00 m

$alor de la carga #e se !raslada q = -1,00 KC = 1,00×10

-*

CCons!an!e el%c!rica K = +,00×10+ &mC- Incógnitas

Po!encial elec!ros!3!ico en el cen!ro de la circ#n6erencia V Gn!ensidad del cam"o elec!ros!3!ico en el cen!ro de la circ#n6erencia E raba.o "ara !rasladar #na carga de 1 KC desde el in6ini!o al cen!ro W Otros símbolos


Gn!ensidad del cam"o elec!ros!3!ico en #n "#n!o creado "or #na carga "#n-!#al Q si!#ada a #na dis!ancia r

E = K Q

r

ur




Qr


Solución:

a) @os "o!enciales en el cen!ro de la circ#n6erencia, debidos a cada carga son ig#ales "or#e !an!o la cargacomo la dis!ancia al cen!ro son ig#ales> $alen<

V C →=V →=V A→ =+,00×10

+ [ &m C−]B,00×10−* [C]

(,00 [ m ]) =1,B5×104 $


V = V A I V I V C = B 1,B5×104 $D = 4,05×104 $

b) e ace #n dib#.o con los /ec!ores in!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico creado "or cada carga 2 la s#ma /ec!orial #e es el /ec!or cam"o E res#l!an!e>Al ser las !res cargas ig#ales 2 es!ar a la misma dis!ancia del cen!ro de la circ#n6eren-cia, los !res /ec!ores in!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico son sim%!ricos 2 s# res#l!an!ees n#la<

E = 0i #ieres realiar los c3lc#los<@a in!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico en el cen!ro de la circ#n6erencia, debida a la carga de B KC si!#adaen el "#n!o A es<

E A→=+,00×10+ [ &m C−]

B,00×10−* [C]

(,00 [ m ]) (− i )=−*,75×10B i & /C

@a in!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico en el cen!ro de la circ#n6erencia, debida a la carga de B KC si!#adaen el "#n!o es<

E →=+,00×10+ [ &mC−]

B,00×10−* [C]

(,00 [m ])

(cos(−*0 M) i +sen (−*0 M ) j )=(B,B×10B i−5,5×10B j ) & / C

Por sime!r:a, la in!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico en el cen!ro de la circ#n6erencia, debida a la carga deB KC si!#ada en el "#n!o C es<

A

(

C


9/74

Física P.A.U. ELECTROMAGNETISMO +

E C = B,B×10B i I 5,5×10B j &'C

Por el "rinci"io de s#"er"osición, la in!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico res#l!an!e en el "#n!o es la s#ma/ec!orial de las in!ensidades de cam"o de cada carga<

E = E A I E I E C = (-*,75×10B i) I (B,B×10B i 8 5,5×10B j) I (B,B×10B i I 5,5×10B j) = 0 i I 0 j

c) 9l !raba.o #e ace la 6#era del cam"o es

W = q (V 8 V ) = 1,00×10-* CD (0 8 4,05×104) $D = -4,05×10- J

#"oniendo #e salga 2 lleg#e con /elocidad n#la, el !raba.o #e a2 #e acer es<

W eE!erior = -W cam"o = 4,05×10- J

F. Tre $arga el5$%ri$a )un%uale de 1J= C e en$uen%ran i%uada en l' 95r%i$e de un $uadrad'de 1 ( de lad'. Cal$ula:a2 La in%enidad del $a()' - el )'%en$ial ele$%r'%%i$' en el 95r%i$e libre.

b2 M*dul'6 dire$$i*n - en%id' de la !uer"a del $a()' ele$%r'%%i$' 'bre una $arga de =+1J

=

C i%uada en di$7' 95r%i$e.$2 El %rabaj' reali"ad' )'r la !uer"a del $a()' )ara %raladar di$7a $aga dede el 95r%i$e al $en=

%r' del $uadrad'. In%er)re%ar el ign' del reul%ad'.Da%': K 4 1J NW(+WC=+ (P.A.U. !t. "*#Rta.: a) E = 1,7×104 &'C, diagonal acia 6#era; $ = ,4×10 4 $; b) F = 0,0B4 &, diagonal acia el

cen!ro; c) W 9 = 0,0 J

Datos Cifras significativas: 3

@ado del c#adrado l = 1,00 m$alor de la carga si!#ada en el "#n!o A< (0, 0) m QA = 1,00×10-* C$alor de la carga si!#ada en el "#n!o < (1,00, 0) m> Q = 1,00×10-* C$alor de la carga si!#ada en el "#n!o C< (0, 1,00) m QC = 1,00×10-* C$alor de la carga si!#ada en el "#n!o < (1,00, 1,00) m Q = -,00×10-* CCons!an!e el%c!rica K = +,00×10+ &mC-

Incógnitas

Gn!ensidad del cam"o elec!ros!3!ico en el "#n!o E $Po!encial elec!ros!3!ico en el "#n!o V raba.o del cam"o al lle/ar a carga desde al cen!ro del c#adrado N W NOtros símbolos



E = K Q

r

ur

Princi"io de s#"er"osición

E A=∑

E A i

raba.o #e ace la 6#era del cam"o c#ando se m#e/e #na carga q desde #n "#n!o A as!a o!ro "#n!o % W A = q (V A 8 V )


Q

r Po!encial elec!ros!3!ico de /arias cargas V = H V i

Solución:

a) e ace #n dib#.o de las cargas 2 cada #no de los /ec!orescam"o 2 de la s#ma /ec!orial #e es el /ec!or cam"o E res#l-!an!e>

@as dis!ancias 2 C /alen la longi!#d del lado<r = r C = l = 1,00 m

@a dis!ancia A es la longi!#d de la diagonal de c#adrado

E ( ) *

A (

C*

EC)*

E A ) *

E *


10/74


r A=| r AD|=√ (1,00 [m ])+(1,00 [m ])=1,41 me elige #n sis!ema de re6erencia con el origen en cada carga, !omando el e.e & orion!al, "osi!i/o acia ladereca 2 el e.e ' /er!ical, "osi!i/o acia arriba>9l /ec!or #ni!ario uC del "#n!o !omando como origen el "#n!o C es el /ec!or i #ni!ario del e.e & >9l /ec!or #ni!ario u del "#n!o !omando como origen el "#n!o es el /ec!or j #ni!ario del e.e ' >9l /ec!or #ni!ario uA del "#n!o !omando como origen el "#n!o A es<

uA=

r A

| r A|=

(1,00 i +1,00 j) [m ]1,41 [m ]

=0,707 i +0,707 j

@a in!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico en el "#n!o , debida a la carga de 1 FC si!#ada en el "#n!o A es<

E A→=+,00×10+ [ &m C− ]

(1,00×10−* [C])

(1,41 [ m ]) (0,707 i +0,707 j )=(B,1×10B i +B,1×10B j ) & / C

@a in!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico en el "#n!o , debida a la carga de 1 FC si!#ada en el "#n!o es<

E →=+,00×10+ [ &mC−]

(1,00×10−* [C])

(1,00 [m ]) j=+,00×10B j & /C

Por analog:a, la in!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico en el "#n!o , debida a la carga de 1 FC si!#ada en el "#n!o C es<

E C = +,00×10B i &'C

A"licando el "rinci"io de s#"er"osición,

E = H E i = E A I E I E C

E = (B,1×10B i I B,1×10B j) I (+,00×10B j) I (+,00×10B i) = (1,×104 i I 1,×104 j) &'C

Análisis: (e ve que el vector intensidad de campo el)ctrico resultado del cálculo es dia*onal hacia arriba yhacia la derecha! coherente con el dibuo que se hab+a hecho"

9l /alor del cam"o es<

| E D|=√ (1,×104 [ & /C ])+(1,×104 [ & /C ])=1,7×104 & / C

Neneraliando el res#l!ado "ara c#al#ier sis!ema de re6erencia,

O E O = 1,7×104 &'C> 9l cam"o /a en la dirección de la diagonal, acia 6#era>

@os "o!enciales elec!ros!3!icos en el "#n!o debidos a las cargas en C 2 son ig#ales 2 /alen<

V →=V C→=+,00×10

+ [ &mC− ]1,00×10−* [C]

(1,00 [ m]) =+,00×10B $

9l "o!encial elec!ros!3!ico en el "#n!o debidos a la carga en A /ale<V A→ =+,00×10

+ [ &m C−]1,00×10−* [C ]

(1,41 [m ]) =*,B*×10B $

9l "o!encial elec!ros!3!ico en #n "#n!o debido a la "resencia de /arias cargas, es la s#ma algebraica de los "o!enciales debidos a cada carga>

V = V A I V I V C = *,B*×10B $D I +,00×10B $D = ,44×104 $

b) Como la in!ensidad del cam"o elec!ros!3!ico en #n "#n!o es la 6#era sobre la #nidad de carga "osi!i/a co-locada en ese "#n!o, "odemos calc#lar la 6#era elec!ros!3!ica sobre la carga de - FC a "ar!ir del /ec!or in-!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico<

F = q E = -,00×10-* CD (1,×104 i I 1,×104 j) &'CD = (-,44×10- i 8 ,44×10- j) &

c) 9l !raba.o #e ace la 6#era del cam"o c#ando se !raslada la carga q = - FC desde el /%r!ice al cen!roN del c#adrado es


11/74


W N = q (V 8 V N) = -1,00×10-B CD (,4B×10* 8 1B,5×10*) $D = 5,1×10B J

a2 #e calc#lar el "o!encial elec!ros!3!ico en el "#n!o N si!#ado en el cen!ro del c#adrado de 6orma an3lo-ga a como se io an!es>@a dis!ancia de cada /%r!ice al cen!ro del c#adrado es la mi!ad de la diagonal<

r AN = r N = r CN = 1,41 mD ' = 0,707 m

@os "o!enciales elec!ros!3!icos en el "#n!o N debidos a las cargas en A, 2 C son ig#ales 2 /alen<

V A→N=V →N=V C→N=+,00×10

+ [ &m C− ]1,00×10−* [C]

(0,707 [ m ]) =1,7×104 $

9l "o!encial elec!ros!3!ico en N es la s#ma algebraica de los "o!enciales debidos a cada carga>

V N = V AN I V N I V CN = B 1,7×104 $D = B,×104 $

9l !raba.o de la 6#era del cam"o es

W N = q (V 8 V N) = -,00×10-* CD (,44×104 8 B,×104) $D = ,7*×10- J

9l !raba.o el "osi!i/o "or#e el sen!ido de la 6#era (acia el cen!ro del c#adrado) 2 el del des"laamien!o

son ig#ales>

. En l' 95r%i$e de un $uadrad' de 1 ( de lad' e i%&an $ua%r' $arga de 9al're =16 Y16 =1 - Y16en XC6 de (anera #ue la de ign' igual e%n en 95r%i$e ')ue%'. Cal$ula:a2 El $a()' el5$%ri$' en el )un%' (edi' de un' $ual#uiera de l' lad'.b2 El %rabaj' ne$eari' )ara de)la"ar una #uin%a $arga de Y1 XC dede el )un%' (edi' de $ual=

#uier lad' del $uadrad' al )un%' (edi' de $ual#uier '%r' lad'.Da%': K 4 1J NW(+WC=+ (P.A.U. !t. &+#Rta.: a) O E O = *,5*×104 &'C, en la dirección del lado, acia a la carga nega!i/a; b) W QQR = 0


$alor de la carga si!#ada en el "#n!o A< (0, 0) m QA = -1,00 FC = -1,00×10-*

C$alor de la carga si!#ada en el "#n!o < (1,00, 0) m> Q = 1,00 FC = 1,00×10-* C$alor de la carga si!#ada en el "#n!o C< (1,00, 1,00) m QC = -1,00 FC = -1,00×10-* C$alor de la carga si!#ada en el "#n!o < (0, 1,00) m Q = 1,00 FC = 1,00×10-* C$alor de la carga #e se des"laa q = 1,00 FC = 1,00×10-* CCons!an!e el%c!rica K = +,00×10+ &mC-P#n!o medio del lado C Q (1,00, 0,50) mP#n!o medio del lado A QR (0,50, 0) m

Incógnitas

Gn!ensidad del cam"o elec!ros!3!ico en el "#n!o Q E raba.o "ara lle/ar #na carga de 1 FC desde el Q a QR W Otros símbolos

is!ancia en!re dos "#n!os A 2 r A EcuacionesGn!ensidad del cam"o elec!ros!3!ico en #n "#n!o creado "or #na carga "#n-!#al Q si!#ada a #na dis!ancia r

E = K Q

r

ur


"#n!o A as!a o!ro "#n!o % W A = q (V A 8 V )


V = K Q

r


Solución:

a) e ace #n dib#.o de las cargas 2 cada #no de los /ec!ores cam"o 2 de la s#ma /ec!orial #e es el /ec!orcam"o E res#l!an!e>


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i se llama Q al "#n!o medio del lado C, las dis!ancias AQ 2 Q /alen<

r Q=r AQ=| r AM|=√ (1,00 [ m ])+(0,50 [m ])

=1,1 m

e elige #n sis!ema de re6erencia con el origen en cada carga, !omando ele.e & orion!al, "osi!i/o acia la dereca 2 el e.e ' /er!ical, "osi!i/o a-

cia arriba>9l /ec!or #ni!ario uAQ del "#n!o Q !omando como origen "#n!o A es<

uAQ=

r AQ

| r AQ|=

(1,00 i +0,50 j ) [ m ]1,1 [ m ]

=0,+4 i +0,447 j

@a in!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico en el "#n!o Q, debida a la carga de-1 FC si!#ada en el "#n!o A es<

E A

=+,00×10+ [ &m C− ](−1,00×10−* [C])

(1,1 [m ]) (0,+4 i +0,447 j )=(−*,44×10B i 8 B,×10B j) &/ C

Por sime!r:a, E = *,44×10B i 8 B,×10B j &'C

@a in!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico en el "#n!o Q, debida a la carga de I1 FC si!#ada en el "#n!o es<

E =+,00×10+ [ &m C−]

(−1,00×10−* [C])

(0,50 [ m]) j=B,*×104 j & /C

Por sime!r:a,

E C = B,*×104 j &'C


E Q = H

E i

E Q = (-*,44×10B i 8 B,×10B j) I (*,44×10B i 8 B,×10B j) I B,*×104 j = *,5*×104 j &'C

Análisis: (e ve que el vector intensidad de campo el)ctrico resultado del cálculo es vertical hacia arriba!coherente con el dibuo que se hab+a hecho"

Neneraliando el res#l!ado "ara c#al#ier lado,

O E O = *,5*×104 &'C> 9l cam"o /a en la dirección del lado, acia a la carga nega!i/a>

b) Como V Q = -V AQ 2 V CQ = -V Q (misma dis!ancia, cargas de signos o"#es!os)

V Q = V Q I V AQ I V CQ I V Q = 0

"ara el "#n!o medio de c#al#ier lado, "or lo #e<

W QQR = q (V Q 8 V QR) = 0

. D' $arga )un%uale de K XC - F XC e%n i%uada re)e$%i9a(en%e en l' )un%' /J6 J2 - /16 12.Cal$ula:a2 La !uer"a #ue a$%&a 'bre una %er$era $arga de 1 XC i%uada en el )un%' /+6 +2b2 El %rabaj' ne$eari' )ara lle9ar e%a &l%i(a $arga dede el )un%' #ue '$u)a 7a%a el )un%'

/J6 12Da%': K 4 1J NW(+WC=+V la $''rdenada e dan en (e%r'. (P.A.U. $%n. &,#Rta.: a) F = 0,0B i I 0,0B j &; b) W eE! = -W cam"o = 0,05+7 J

Datos Cifras significativas: 3$alor de la carga si!#ada en el "#n!o A< (0, 0) m QA = ,00 FC = ,00×10-* C$alor de la carga si!#ada en el "#n!o < (1,00, 1,00) m> Q = 5,00 FC = 5,00×10-* C

A (-1)

C (-1) (I1)

(I1)

99A

99C

9


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Datos Cifras significativas: 3$alor de la carga si!#ada en el "#n!o C< (,00, ,00) m QC = 1,00 FC = 1,00×10-* CCons!an!e el%c!rica K = +,00×10+ &mC-P#n!o al #e se !raslada (0, 1,00) m

Incógnitas

S#era sobre Qc , Craba.o "ara lle/ar QC desde C as!a W COtros símbolos


@e2 de Co#lomb (a"licada a dos cargas "#n!#ales se"aradas #na dis!ancia r ) F = K Q qr

ur

Princi"io de s#"er"osición F A=∑ F Airaba.o #e ace la 6#era del cam"o c#ando se m#e/e #na carga q desde #n


Po!encial elec!ros!3!ico en #n "#n!o creado "or #na carga "#n!#al Q si!#ada a#na dis!ancia r

V = K Q

r


Solución:

a) e ace #n dib#.o de las cargas 2 cada #no de los /ec!ores 6#era2 de la s#ma /ec!orial #e es la 6#era F C res#l!an!e>C3lc#lo de dis!ancias<

r AC=√ (,00 [ m ])+(,00 [m ])

=,B m

r C = r AC ' = 1,41 m

@os /ec!ores #ni!arios del "#n!o C, uAC res"ec!o a A 2 uC res"ec!o

a son el mismo<

uC= uAC=

r AC

| r AC|=

(,00 i +,00 j) m,B [m ]

=0,707 i +0,707 j

@a 6#era elec!ros!3!ica #e ace la carga de A sobre la de C es<

F A→ C=+×10

+ [ &m C− ],00×10−* [C] 1,00×10−* [C ]

(,B [ m ]) (0,707 i +0,707 j )=(*,B*×10−B i +*,B*×10−B j) &

@a 6#era elec!ros!3!ica #e ace la carga de sobre la de C es<

F →C=+×10+

[ &m

C−

]5,00×10−* [C]1,00×10−* [C]

(1,41 [m ]) (0,707

i +0,707

j )=(15,+×10−B

i +15,+×10−B

j) &


F C = H F i = F AC I F C

F C = (*,B*×10-B i I *,B*×10-B j) &D I (15,+×10-B i I 15,+×10-B j) &D = (0,0B i I 0,0B j) &

Análisis: (e ve que la -uer.a resultante del cálculo está en la dia*onal del primer cuadrante! coherente conel dibuo que se hab+a hecho"

b) @os "o!enciales en el "#n!o C debidos a cada carga /alen<

V A →C=+,00×10+

[ &m

C−

],00×10−* [C]

(,B [ m]) =,54×104

$

V →C=+,00×10

+ [ &m C− ]5,00×10−* [ C]

(1,41 [ m ]) =B,1×104 $

A ()

C (1)

(5)

SAC

SC

SC


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9l "o!encial elec!ros!3!ico del "#n!o C es<

V / = V AC I V C = ,54×104 $D I B,1×104 $D = 5,7B×104 $

@as dis!ancias r A = r = 1,00 m@os "o!enciales en el "#n!o debidos a cada carga /alen<

V A →=+,00×10+ [ &m C−] ,00×10

−*

[C](1,00 [ m ])

=7,0×104 $

V → =+,00×10+ [ &m C−]

5,00×10−* [C](1,00 [m ])

=4,50×104 $

9l "o!encial elec!ros!3!ico del "#n!o es<

V $ = V A I V = 7,0×104 $D I 4,50×104 $D = 11,70×104 $


W C = QB (V C 8 V ) = 1,00×10-* CD (5,7B×104 8 11,70×104) $D = -0,05+7 J


W eE!erior = -W cam"o = 0,05+7 J

K. En d' de l' 95r%i$e de un %ringul' e#uil%er' de + $( de lad' e i%&an d' $arga )un%ualede Y1J XC $ada una. Cal$ula:a2 El $a()' el5$%ri$' en el %er$er 95r%i$e.b2 El %rabaj' )ara lle9ar una $arga de F XC dede el %er$er 95r%i$e 7a%a el )un%' (edi' del lad'

')ue%'.$2 u%i!i$a )'r #u5 n' ne$ei%a $'n'$er la %ra-e$%'ria en el a)ar%ad' an%eri'r.Da%': K 4 1J NW(+WC=+V 1 XC 4 1J= C (P.A.U. $%n. ,#Rta.: a) E C = B,+0×10 &'C, en la bisec!ri acia el eE!erior; b) W eE! = 45,0 J


$alor de cada carga 6i.a Q = 10,0 FC = 1,00×10-5 C@ongi!#d del lado del !ri3ng#lo e#il3!ero L = ,00 cm = 0,000 m$alor de la carga #e se des"laa q = 5,00 FC = 5,00×10-* CCons!an!e el%c!rica K = +,00×10+ &mC-

Incógnitas

$ec!or in!ensidad del cam"o el%c!rico en el !ercer /%r!ice E Craba.o "ara lle/ar 5 FC desde C el !ercer /%r!ice as!a el "#n!o medio dellado o"#es!o

W C

Otros símbolos

is!ancia en!re dos "#n!os c#ales#iera A 2 r A EcuacionesGn!ensidad del cam"o elec!ros!3!ico en #n "#n!o creado "or #na carga "#n-!#al Q si!#ada a #na dis!ancia r

E = K Q

r

ur


"#n!o A as!a o!ro "#n!o %W A = q (V A 8 V )


V = K Q


Solución:

a) e si!Tan las cargas en los /%r!ices A 2 del lado orion!al 2 se ace #n dib#.o de cada #no de los /ec!o-res in!ensidad de cam"o 2 de la s#ma /ec!orial #e es el /ec!or cam"o res#l!an!e en el "#n!o C #e es el o!ro/%r!ice>


15/74


9l /ec!or #ni!ario del "#n!o C, uAC res"ec!o a A es<

uA=cos*0M i +sen*0M j=0,500 i +0,** j

@a in!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico E CA en C debida a la carga en A es<

E CA=+,00×10+

[ &m

C−

]

1,00×10−5 [C]

(0,000 [ m]) ( 0,500

i +0,**

j )==(1,1B×10 i +1,+5×10 j) & / C

Por sime!r:a, la in!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico E C en C debida a la carga en es<

E C = (81,1B×10 i I 1,+5×10) j &'C

2 el cam"o res#l!an!e en C debido a ambas cargas ("rinci"io de s#"er"osición) es<

E C = (81,1B×10 i I 1,+5×10 j) &'CD I (1,1B×10 i I 1,+5×10 j) &'CD = B,+0×10 j &'C

Análisis: (e ve que el campo resultante del cálculo es vertical! coherente con el dibuo que se hab+a hecho"

Una res"#es!a general inde"endien!e de cómo se a2an elegido los /%r!ices ser:a< 9l cam"o el%c!rico en el!ercer /%r!ice /ale B,+0×10 &'C 2 es!3 dirigido segTn la bisec!ri del 3ng#lo acia el eE!erior del !ri3ng#lo>


V CA

=V C

=+,00×10+ [ &m C−]1,00×10−5 [C](0,000 [ m ])

=4,50×10* $


V / = V CA I V C = 4,50×10* $D = +,00×10* $

@lamando "#n!o al cen!ro del lado A, los "o!enciales en el "#n!o debidos a cada carga /alen<

V A=V =+,00×10+

[ &m

C

−

]

1,00×10−5 [ C]

(0,0100 [m ]) =+,00×10*

$


V $ = V A I V = +,00×10* $D = 1,0×107 $

9l !raba.o realiado "or las 6#eras del cam"o elec!ros!3!ico c#ando se m#e/e #na carga q = 5 FC desde el "#n!o C al es la dismin#ción de la energ:a "o!encial en!re los "#n!os C 2 <

W C = q (V C 8 V ) = 5,00×10-* CD (+,00 ×10* 8 1,0×107) $D = 845,0 J

9l !raba.o necesario "ara mo/er #na carga q = 5 FC desde el "#n!o C al , s#"oniendo #e lleg#e a con lamisma /elocidad #e !en:a en C, es<

W eE!erior = 8 W cam"o = = 45,0 J

c) @a 6#era elec!ros!3!ica es #na 6#era conser/a!i/a 2 el !raba.o #e realia es inde"endien!e del caminoseg#ido "ara ira de #n "#n!o a o!ro>

. D' $arga )un%uale iguale q 4 1 XC e%n i%uada en l' )un%' A/F6 J2 - ?/=F6 J2. Cal$ula:a2 El $a()' el5$%ri$' en l' )un%' C/K6 J2 - D /J6 2b2 La energ8a )ara %raladar una $arga de =1 XC dede C a D.Da%': 1 XC 4 1J= C6 K 4 1J NW(+WC=+. La $''rdenada en (e%r'. (P.A.U. !t. '#Rta.: a) E C = 1,05×10B i &'C; E = ,74×10 j &'C

b) V C = B,*+×10B $; V = ,1×10B $; V E = 8,1×10-4 J

Datos Cifras significativas: 3$alor de la carga si!#ada en el "#n!o A< (5,00, 0,00) m QA = 1,00 FC = 1,00×10-* C$alor de la carga si!#ada en el "#n!o < (-5,00, 0,00) m Q = 1,00 FC = 1,00×10-* C

E C A

E C

A (

C

E C (

2c#

*


16/74


Datos Cifras significativas: 3Coordenadas del "#n!o C r C = (,00, 0,00) mCoordenadas del "#n!o r = (0,00, 4,00) mCons!an!e el%c!rica K = +,00×10+ &mC-

Incógnitas

$ec!or in!ensidad del cam"o el%c!rico en los "#n!os C 2 E C, E 9nerg:a "ara lle/ar -1 FC desde C as!a W COtros símbolos

is!ancia en!re dos "#n!os c#ales#iera A 2 r A Ecuaciones


E = K Q

r ur


"#n!o A as!a o!ro "#n!o %W A = q (V A 8 V )

9nerg:a "o!encial elec!ros!3!ica de #na carga q en #n "#n!o A E P A = q V APo!encial elec!ros!3!ico en #n "#n!o creado "or #na carga "#n!#al Q si!#ada

a #na dis!ancia r V = K Q


Solución:

a) e ace #n dib#.o de las cargas 2 cada #no de los /ec!ores in!ensidad de cam"o 2 de la s#ma /ec!orial #ees el /ec!or cam"o res#l!an!e en cada "#n!o>P#n!o C

C3lc#lo de dis!ancias<r AC = (,00, 00) mD 8 (5,00, 0,00) mD = B,00 m

r C = (,00, 00) mD 8 (-5,00, 0,00) mD = 1B,00 m

@a in!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico E AC en C debida a la carga en A es<

E A→C=+×10+ [ &m C−]

1,00×10−* [C]

(B,00 [m ]) i =1,00×10B i & /C

@a in!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico E C en C debida a la carga en es<

E → C=+×10+ [ &m C− ]

1,00×10−* [ C]

(1B,0 [ m])

i =5B,B i & / C

A"licando el "rinci"io de s#"er"osi-ción,

E C = H E i = E AC I E C

E C = 1,00×10B i &'CD I 5B,B i &'CD =1,05×10B i &'C

Análisis: El resultado es coherente conel dibuo que se hab+a hecho"

P#n!o >

C3lc#lo de dis!ancias<r =r A=√ (5,00 [ m ])

+(4,00 [m ])=*,40 m

9l /ec!or #ni!ario del "#n!o , uA res"ec!o a A es<

B A

DE

B→D

EA→D

ED

r B D

O

B CA

EB→C

EA→C

EC

O


17/74

Física P.A.U. ELECTROMAGNETISMO 1'

uA

= uA

= r A

| r A|=

(−5,00 i +4,00 j ) [ m ]

√ (−5,00 [ m])+(4,00 [ m])=−0,71 i +0,*5 j

@a in!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico E A en debida a la carga en A es<

E A→ =

+,00×

10+

[ &m

C

−

]

1,00×10−* [C ]

(*,40 [m ]) (−0,71 i

+0,*5 j

)=(−1,71

×10

i

+1,B710

j

) &

/C

Por sime!r:a, la in!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico E en debida a la carga en es<

E = 1,71×10 i I 1,B7×10 j &'C

2 el cam"o res#l!an!e en debido a ambas cargas ("rinci"io de s#"er"osición) es<

E D = (– 1,71×10 i I 1,B7×10 j ) &'CD + (1,71×10 i I 1,B7×10 j ) &'CD = ,74×10 j &'C

Análisis: (e ve que la -uer.a resultante del cálculo es vertical! coherente con el dibuo que se hab+a hecho"


V A →C=+,00×10+

[ &m

C−

]1,00×10−* [C]

(B,00 [ m]) =B,00×10B

$

V →C=+,00×10

+ [ &m C− ]1,00×10−* [ C]

(1B,00 [ m]) =*,+×10 $


V / = V AC I V C = B,00×10B $D I *,+×10 $D = B,*+×10B $

@os "o!enciales en el "#n!o debidos a cada carga /alen<

V A =V =+,00×10+[ & m C−]

1,00×10−* [C ]*,40[ m ]

=1,41×10B $

9l "o!encial elec!ros!3!ico del "#n!o es<V $ = V A I V = 1,41×10B $D I 1,41×10B $D = ,1×10B $

@a energ:a #e a2 #e com#nicarle a #na carga q = 81 FC "ara mo/erla desde el "#n!o C al es la /aria-ción de energ:a ("o!encial)desde el "#n!o C al es<

V E C = q V 8 q V C = q (V 8 V C) = 81,00×10-* CD (,1 ×10B 8 B,*+×10B) $D = ,1×10-4 J

s#"oniendo #e lleg#e a con la misma /elocidad #e !en:a en C>

1J. D' $arga el5$%ri$a )un%uale de =+ XC6 e%n i%uada en l' )un%' A/=6 J2 - ?/6 J2.a2 Cal$ula la !uer"a 'bre una $arga de 1 XC6 i%uada en el )un%' /J6 F2

b2 P


18/74


Otros símbolos



ur

Princi"io de s#"er"osición F A=∑ F Airaba.o #e ace la 6#era del cam"o c#ando se m#e/e #na carga q desde #n "#n!o A as!a o!ro "#n!o % W A = q (V A 8 V )

Po!encial elec!ros!3!ico en #n "#n!o creado "or #na carga "#n!#al Q si!#ada a#na dis!ancia r V = K

Qr

Po!encial elec!ros!3!ico de /arias cargas V = H V i9nerg:a "o!encial elec!ros!3!ica de #na carga en #n "#n!o A E PA = q V A

Solución:

a) e ace #n dib#.o de las cargas 2 cada #no de los /ec!ores 6#era 2 de las#ma /ec!orial #e es la 6#era F C res#l!an!e>

C3lc#lo de dis!ancias<r AC=r C=√ (4,00 [m ])

+(5,00 [ m])=*,40 m


uAC=

r AC

| r AC|=

(4,00 i +5,00 j ) [ m ]*,40 [ m ]

=0,*5 i +0,71 j

@a 6#era elec!ros!3!ica #e ace la carga de A sobre la de C es<

F A→C=+,00×10+ [ &m C−]

−×10−* [ C]1×10−* [C]

(*,40 [m ]) (0,*5 i +0,71 j )=(−,74×10−4 i 8 B,4B×10−4 j ) &

Por sime!r:a,F C = (,74×10-4 i 8 B,4B×10-4 j) &


F C = F AC I F C = (-,74×10-4 i 8 B,4B×10-4 j) &D I (,74×10-4 i 8 B,4B×10-4 j) &D = -*,*×10-4 j &

Análisis: (e ve que la -uer.a resultante del cálculo es vertical hacia abao! coherente con el dibuo que sehab+a hecho"

b) Como la 6#era elec!ros!3!ica es #na 6#era conser/a!i/a, 2 es la Tnica #e a2 #e !ener en c#en!a (2 m#-c:simo m3s in!ensa #e la gra/i!a!oria), la energ:a mec3nica se conser/a>

( E c I E ")C = ( E c I E ")X m vC I q · V C = X m v I q · V

9l "o!encial en el "#n!o C debido a cada carga /ale lo mismo, "or#e la dis!ancia es la misma (es!3n si!#a-das sim%!ricamen!e) 2 el /alor de la carga !ambi%n es el mismo> ambi%n es /3lido "ara el "#n!o >

V C= · V A→C=+,00×10+ [ &m C−]

−,00×10−* [C](*,40 [m ])

=−5,*×10B $

V

= · V A→ =+,00×10

+ [ &m C− ]−,00×10−* [ C]

(4,00 [ m]) =−+,00×10B $

A"licando el "rinci"io de conser/ación de la energ:a

1,00×10 8* CD (-5,*×10B $D) = X 1,00×10-B WgD v I 1,00×10 8* CD (-+,00×10B $D)v = ,*0 m's

Como la /elocidad es #n /ec!or, a2 #e ded#cir la dirección 2 sen!ido>

FAC

FC

Q

r A C

r A

QA

FC

C


19/74

Física P.A.U. ELECTROMAGNETISMO 1+

A#n#e el /alor de la 6#era res#l!an!e 2 la aceleración en el origen es cero, "or el /alor de la 6#era calc#la-do en el "#n!o C (0, 5) mD 2 el eco de #e "ase "or el origen, se "#ede ded#cir #e la aceleración !iene ladirección del e.e ? en sen!ido nega!i/o> i #n mó/il "ar!e del re"oso, 2 la aceleración !iene dirección cons-!an!e, el mo/imien!o ser3 rec!il:neo en la l:nea de la aceleración> Por lo !an!o la dirección de la /elocidad esla del e.e ? en sen!ido nega!i/o

v = -,*0 j m's

11. D' $arga )un%uale iguale de Y+ ZC e en$uen%ran en l' )un%' /J6 12 ( - /J6 =12 (. Cal$ula:a2 El 9e$%'r $a()' - el )'%en$ial ele$%r'%%i$' en el )un%' /=6 J2 (.b2 alla el %rabaj' ne$eari' )ara %raladar una $arga de Y ZC dede el in!ini%' al $i%ad' )un%'.Si en el )un%' /=6 J2 ( e aband'na una $arga de =+ ZC - (aa 1 g:$2 Cal$ula u 9el'$idad en el 'rigen de $''rdenada.DATO: K 4 1J NW(+WC=+ (P.A.U. !t. "#Rta.: a) E = -B,4×10B i &'C; V = 1,14×104 $; b) W eE! = -W cam"o = 0,0B4 J; c) v = +,+ i m's


$alores de las cargas 6i.as Q = ,00 FC = ,00×10-* CPosiciones de las cargas 6i.as A (0, 1,00) m (0, -1,00) m

Posición del "#n!o C C (-B,00, 0) m$alor de la carga #e se !raslada desde el in6ini!o q1 = B,00 FC = B,00×10-* CCarga #e se des"laa as!a el origen q = -,00 FC = -,00×10-* CQasa de la carga #e se des"laa as!a el origen m = 1,00 g = 1,00×10-B Wg $elocidad inicial en el "#n!o C (se s#"one) vC = 0P#n!o "or el #e "asa la carga #e se des"laa (0, 0) mCons!an!e el%c!rica K = +,00×10+ &mC-

Incógnitas

$ec!or cam"o elec!ros!3!ico en el "#n!o C E CPo!encial elec!ros!3!ico en el "#n!o C V Craba.o necesario "ara !rasladar B KC desde el in6ini!o al "#n!o C W C$elocidad #e !endr3 la carga de - KC al "asar "or el "#n!o vOtros símbolos



ur

Princi"io de s#"er"osición F A=∑ F Airaba.o #e ace la 6#era del cam"o c#ando se m#e/e #na carga q desde #n


Po!encial elec!ros!3!ico en #n "#n!o creado "or #na carga "#n!#al Q si!#ada a#na dis!ancia r V = K Qr Po!encial elec!ros!3!ico de /arias cargas V = H V i9nerg:a "o!encial elec!ros!3!ica de #na carga en #n "#n!o A E PA = q V A9nerg:a cin%!ica E c = X m v

Solución:

a) e ace #n dib#.o de las cargas 2 cada #no de los /ec!ores in-!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico 2 de la s#ma /ec!orial #e es elcam"o E C res#l!an!e>C3lc#lo de dis!ancias<

r AC= r C=√ (B,00 [m ])+(1,00 [ m])=B,1* m


E A)C

EC

A

(

*C

E()C


20/74


uAC=

r AC

| r AC|=

(−B,00 i −1,00 j) [m ]B,1* [m ]

=−0,+4+ i−0,B1* j

@a in!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico en el "#n!o C debido a la carga A es<

E A→C=

+,00×

10+

[ &m

C

−

]

×10−* [C ]

(B,1* [ m]) (−0,+4+ i

−0,B4B j

)=(−1,71

×10

B i 8 5,*+

×10

j

) &

/C

Por sime!r:a,

E C = (-1,71×10B i I 5,*+×10 j) &'C


E C = E AC I E C = (-1,71×10B i 8 5,*+×10 j &D I (-1,71×10B i I 5,*+×10 j) &D = -B,4×10B i &'C

Análisis: (e ve que el campo resultante del cálculo es hori.ontal hacia la i.auierda! coherente con el dibuoque se hab+a hecho"

9l "o!encial en el "#n!o C debido a cada carga /ale lo mismo, "or#e la dis!ancia es la misma (es!3n si!#a-

das sim%!ricamen!e) 2 el /alor de la carga !ambi%n es el mismo>

V C=V A→C+V →C= · V A→C=+,00×10+ [ &m C−]

,00×10−* [C](B,1* [ m])

=1,14×104 $

b) 9l !raba.o realiado "or las 6#eras del cam"o elec!ros!3!ico c#ando se m#e/e #na carga q1 = IB FC desdeel in6ini!o as!a el "#n!o C es la dismin#ción de la energ:a "o!encial en!re los "#n!os 2 C> Como se !omael in6ini!o como origen de "o!encial, V = 0, 2

W C = q1 (V 8 V C) = B,00×10-* CD (0 8 1,14×104) $D = 80,0B4 J

9l !raba.o necesario "ara mo/er #na carga q = IB FC desde el in6ini!o as!a el "#n!o C, s#"oniendo #e lle-

g#e a C con la misma /elocidad #e !en:a en el in6ini!o, es

V = · V A→=+,00×10+ [ &m C−]

,00×10−* [C](1,00 [ m])

=B,*0×104 $

A"licando el "rinci"io de conser/ación de la energ:a-,00×10 8* CD (-1,14×104 $D) = (1,00×10-B WgD v) ' I (-,00×10 8* CD) (B,*0×104 $D)

v = +,+ m's

Como la /elocidad es #n /ec!or, a2 #e ded#cir la dirección 2 sen!ido>A#n#e el /alor de la in!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico res#l!an!e 2 la aceleración en el origen es cero, "orel /alor de la in!ensidad de cam"o calc#lado en el "#n!o C (-B, 0) mD 2 el eco de #e "ase "or el origen,se "#ede ded#cir #e la aceleración !iene la dirección del e.e & en sen!ido "osi!i/o> i #n mó/il "ar!e del re-

"oso, 2 la aceleración !iene dirección cons!an!e, el mo/imien!o ser3 rec!il:neo en la l:nea de la aceleración>Por lo !an!o la dirección de la /elocidad es la del e.e & en sen!ido "osi!i/o

v = +,+ i m's


21/74


1+. D' $arga )un%uale nega%i9a iguale6 de 1J= XC6 e en$uen%ran 'bre el eje de ab$ia6 e=)arada una di%an$ia de +J $(. A una di%an$ia de FJ $( 'bre la 9er%i$al #ue )aa )'r el )un%'(edi' de la l8nea #ue la une6 e $'l'$a una %er$era )ar%8$ula /)un%ual2 de Y1J = XC de $arga - 1 gde (aa6 ini$ial(en%e en re)''. Cal$ula:a2 El $a()' - )'%en$ial el5$%ri$' $read' )'r la d' )ri(era en la )'i$i*n ini$ial de la %er$era.b2 La 9el'$idad de la %er$era $arga al llegar al )un%' (edi' de la l8nea de uni*n en%re la d' )ri=

(era.1 XC 4 1J= C6 K 4 1J NW(+WC=+ /*l' e $'nidera la in%era$$i*n ele$%r'%%i$a2 (P.A.U. $%n. #Rta.: a) E = *7,+ &'C /er!ical acia el e.e de abscisas> V = -B5,B $; b) v = -0,017 j m's


$alor de la carga si!#ada en el "#n!o A< (-0,100, 0) m QA = -1,00×10-B FC = -1,00×10-+ C$alor de la carga si!#ada en el "#n!o < (0,100, 0) m> Q = -1,00×10-B FC = -1,00×10-+ C$alor de la carga si!#ada en el "#n!o C< (0, 0,500) m QC = 1,00×10-B FC = 1,00×10-+ CQasa de la "ar!:c#la #e se des"laa m = 1,00 g = 1,00×10-B Wg$elocidad inicial en el "#n!o C vC = 0P#n!o "or lo #e "asa (0, 0) mCons!an!e el%c!rica K = +,00×10+ &mC-

IncógnitasGn!ensidad del cam"o elec!ros!3!ico en el "#n!o C E CPo!encial elec!ros!3!ico en el "#n!o C V C$elocidad #e !endr3 al "asar "or el "#n!o vOtros símbolos


Gn!ensidad del cam"o elec!ros!3!ico en #n "#n!o creado "or #na carga "#n!#al Q si!#ada a #na dis!ancia r

E = K Q

r

ur

Princi"io de s#"er"osición E A=∑ E A iraba.o #e ace la 6#era del cam"o c#ando se m#e/e #na carga q

desde #n "#n!o A as!a o!ro "#n!o %

W A = q (V A 8 V )

Po!encial elec!ros!3!ico en #n "#n!o creado "or #na carga "#n!#al Q si!#ada a #na dis!ancia r

V = K Q

r Po!encial elec!ros!3!ico de /arias cargas V = H V i9nerg:a "o!encial elec!ros!3!ica de #na carga en #n "#n!o A E PA = q V A

Solución:

a) e ace #n dib#.o de las cargas 2 cada #no de los /ec!ores in!ensidad de cam"o elec!ros-!3!ico 2 de la s#ma /ec!orial #e es el /ec!or E C in!ensidad de cam"o res#l!an!e>C3lc#lo de dis!ancias<

r AC=r C=√ (0,100 [m ]) +(0,500 [ m ])

=0,510 m


uAC

=

r AC

| r AC|=

(0,100 i +0,500 j ) [ m]0,510 [ m ]

=0,1+* i +0,+1 j

@a in!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico debida a la carga de la en el "#n!o C es<

E A→C=+,00×10

+ [ &m C− ]−1,00×10−+ [C]

(0,510 [m ]) (0,1+* i +0,+1 j )=(−*,7+ i 0 BB,+ j ) & /C

Por sime!r:a,

E C = (*,7+ i 8 BB,+ j) &'C

A"licando el "rinci"io de s#"er"osición, E C = E AC I E C = (-*,7+ i 8 BB,+ j) &'CD I (*,7+ i 8 BB,+ j) &'CD = -*7,+ j &'C

EAC

EC

EC

C

A


22/74


Análisis: (e ve que la -uer.a resultante del cálculo es vertical hacia abao! coherente con el dibuo que sehab+a hecho"

9l "o!encial en el "#n!o C debido a cada carga /ale lo mismo, "or#e la dis!ancia es la misma (es!3n si!#a-das sim%!ricamen!e) 2 el /alor de la carga !ambi%n es el mismo>

V C= ·V A→C=+,00×10+ [ &m C−] −1,00×10−

+ [C](0,510 [ m])

=−B5,B $

b) Como la 6#era elec!ros!3!ica es #na 6#era conser/a!i/a, 2 es la Tnica #e a2 #e !ener en c#en!a (2 m#-c:simo m3s in!ensa #e la gra/i!a!oria), la energ:a mec3nica se conser/a>

( E c I E ")C = ( E c I E ")

X m vC I q · V C = X m v I q · V


V = · V A→ =+,00×10+ [ &m C− ]

−1,00×10−+ [C]

(0,100 [ m ]) =−10 $

1,00×10 8+ CD (-B5,B $D) = X 1,00×10 -B WgD v I 1,00×10 8+ CD (-10 $D)

v = 0,017 m's

Como la /elocidad es #n /ec!or, a2 #e ded#cir la dirección 2 sen!ido>A#n#e el /alor de la 6#era res#l!an!e 2 la aceleración en el origen es cero, "or el /alor de la 6#era calc#la-do en el "#n!o C 2 el eco de #e "ase "or el origen, se "#ede ded#cir #e la aceleración !iene sido en ladirección del e.e ? 2 en sen!ido nega!i/o> i #n mó/il "ar!e del re"oso, 2 la aceleración !iene dirección cons-!an!e, el mo/imien!o ser3 rec!il:neo en la l:nea de la aceleración> Por lo !an!o la dirección de la /elocidad esla del e.e ? en sen!ido nega!i/o

v = -0,017 j m's

1. Tre $arga el5$%ri$a de Y1 ZC6 e%n en l' )un%' A/=16 J26 ?/J6 +2 - C/J6 =+2 /(e%r'2. Cal$ulaen D/J6 J2 - en 0/+6 J2:a2 El $a()' el5$%ri$'.b2 El )'%en$ial el5$%ri$'.$2 Si en D/J6 J2 e $'l'$a una %er$era $arga q [ de Y1 ZC - de 1J g de (aa6 '(e%ida *l' a la a$=

$i*n ele$%r'%%i$a de la '%ra %re6 $al$ula la 9el'$idad $'n la #ue llega al )un%' 0/+6 J2K 4 1J NW(+WC=+V 1 ZC 4 1J= C (P.A.U. $%n. "#Rta.: a) E = +,0×10B i &'C; E S= ,*×10B i &'C; b) V = 1,×104 $; V S=+,4×10B $; c) v = 1,B1m's


$alor de la carga si!#ada en el "#n!o A< (-1,00, 0) m QA = 1,00 FC = 1,00×10-* C$alor de la carga si!#ada en el "#n!o < (0, ,00) m> Q = 1,00 FC = 1,00×10-* C$alor de la carga si!#ada en el "#n!o C< (0, -,00) m QC = 1,00 FC = 1,00×10-* CQasa de la "ar!:c#la #e se des"laa m = 10,0 g = 1,00×10- WgCarga de la "ar!:c#la #e se des"laa q = 1,00 FC = 1,00×10-* C$elocidad inicial en el "#n!o v = 0P#n!o del #e sale (0, 0) mP#n!o a lo #e llega S(,00, 0) mCons!an!e el%c!rica K = +,00×10+ &mC-

Incógnitas

Gn!ensidades del cam"o elec!ros!3!ico en los "#n!os (0, 0) 2 S(, 0) E , E SPo!enciales elec!ros!3!icos en los "#n!os 2 S V , V S

$elocidad #e !endr3 al "asar "or el "#n!o S vSOtros símbolos

is!ancia en!re dos "#n!os A 2 r A


23/74


Ecuaciones

Gn!ensidad del cam"o elec!ros!3!ico en #n "#n!o creado "or #na carga "#n-!#al Q si!#ada la #na dis!ancia r

E = K Q

r

ur

Princi"io de s#"er"osición E A=∑ E A iPo!encial elec!ros!3!ico en #n "#n!o creado "or #na carga "#n!#al Q si!#ada

la #na dis!ancia r V = K

Q

r Po!encial elec!ros!3!ico de /arias cargas V = H V i9nerg:a "o!encial elec!ros!3!ica de #na carga q en #n "#n!o A E PA = q V A

Solución:

a) e ace #n dib#.o de las cargas 2 cada #no de los /ec!ores in!ensidadde cam"o elec!ros!3!ico 2 de la s#ma /ec!orial #e es el /ec!or E in!en-sidad de cam"o res#l!an!e>@a in!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico debido a la carga de A en el "#n!o es<

E A→ =+,00×10+ [ &m C− ] 1,00×10−*

[C ](1,00 [ m]) i=+,00×10B

i & / C

@a in!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico debido a la carga de en el "#n!o es<

E → =+,00×10+ [ &m C− ]

1,00×10−* [C ]

(,00 [m ]) i= ,5×10B i & /C

Por sime!r:a,

E C = ,5×10B j &'C


E = E A I E I E C = +,00×10B i &'C Análisis: (e ve que el vector intensidad de campo resultante del cálculo eshori.ontal hacia derecha! coherente con el dibuo que hicimos previamente"

@a in!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico en el "#n!o S debido a la carga en Aes<

E A→ S=+,00×10+ [ &m C− ]

1,00×10−* [C ]

(B,00 [m ]) i =1,00×10B i & /C

Para calc#lar los cam"os debidos a las cargas en 2 en C, se ace an!es elc3lc#lo de dis!ancias<

r CS=r S=√ (,00 [m ])+(,00 [ m ])

=,B m

9l /ec!or #ni!ario del "#n!o S, uS res"ec!o a es<

uS=

r S

| r S|=

(,00 i −,00 j) [m ],B [ m ]

=0,707 i−0,707 j

@a in!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico en el "#n!o S debido a la carga en es<

E →S=+,00×10+ [ &m C−]

1,00×10−* [ C]

(,B [ m]) (0,707 i −0,707 j )=(7+5 i 8 7+5 j) & / C

Por sime!r:a,

E CS = (7+5 i I 7+5 j) &'C


E A)*

E*

(

E()*

C

* A

EC)*

E A)F

EF

(

E()F

C

F A

EC)F

,


24/74


E S = E AS I E S I E CS = ,5+×10B i &'C

Análisis: (e ve que el vector intensidad de campo resultante del cálculo es hori.ontal hacia derecha! cohe1rente con el dibuo que hicimos previamente"

b) @os "o!enciales en el "#n!o debidos a cada carga /alen<

V C →=V → =+,00×10+ [ &m C− ]

1,00×10−* [ C](,00 [ m ])

=4,50×10B $

V A →=+,00×10

+ [ &m C−]1,00×10−* [C]

(1,00 [ m ]) =+,00×10B $

9l "o!encial elec!ros!3!ico en el "#n!o es<

V = V A I V I V C = +,00×10B $D I 4,50×10B $D = 1,00×104 $

@os "o!enciales en el "#n!o S debidos a cada carga /alen<

V C → S=V →S=+,00×10+ [ &m C− ]

1,00×10−* [ C]

(,B [ m ])

=B,1×10B $

V A →S=+,00×10+ [ &m C−]

1,00×10−* [C](B,00 [ m])

=B,00×10B $

9l "o!encial elec!ros!3!ico en el "#n!o S es<

V S = V AS I V S I V CS = B,00×10B $D I B,1×10B $D = +,B*×10B $

c) Como la 6#era elec!ros!3!ica es #na 6#era conser/a!i/a la energ:a mec3nica se conser/a>

( E c I E ")C = ( E c I E ")

X m vS I q · V S = X m v I q · V

@a /elocidad en el "#n!o S /ale<

(1,00×10- WgD ' ) vS I 1,00×10 8* CD +,B*×10B $D = 1,00×10 8* CD 1,00×104 $D

vS = 1,B1 m's

Como la /elocidad es #n /ec!or, !enemos #e ded#cir la dirección 2 sen!ido>Por la dirección 2 sen!ido del /ec!or in!ensidad de cam"o en los "#n!os 2 S, se "#ede ded#cir #e la acele-ración es!3 en la dirección del e.e Y 2 en sen!ido "osi!i/o> i #n mó/il "ar!e del re"oso, 2 la aceleración !ie-ne dirección cons!an!e, el mo/imien!o ser3 rec!il:neo en la l:nea de la aceleración> Por lo !an!o la direcciónde la /elocidad es la del e.e Y 2 el sen!ido "osi!i/o

vS = 1,B1 i m's

1. D' $arga el5$%ri$a de YK ZC e%n i%uada en A/J6 J6F2 - ?/J6 =J6F2 /en (e%r'2. Cal$ula:a2 El $a()' el5$%ri$' en C/16 J2 - en D/J6 J2b2 El )'%en$ial el5$%ri$' en C - en D.$2 Si una )ar%8$ula de (aa m 4 J6F g - $arga q 4 =1 ZC e i%&a en C $'n una 9el'$idad ini$ial de

1J (6 $al$ula la 9el'$idad en D.Da%': K 4 1J NW(+WC=+. N'%a: *l' in%er9ienen !uer"a el5$%ri$a. (P.A.U. !t. ")#Rta.: a) E C = 1,0B×105 i &'C; E = 0; b) V C = 1,+×105 $; V = ,×105 $ c) v = -1,00×10B i m's

Datos Cifras significativas: 3$alor de la carga si!#ada en el "#n!o A< (0, 0,500) m QA = ,00 FC = ,00×10-* C

$alor de la carga si!#ada en el "#n!o < (0, -0,500) m Q = ,00 FC = ,00×10

-*

CCoordenadas del "#n!o C r C = (1,00, 0,00) mCoordenadas del "#n!o r = (0,00, 0,00) mQasa de la "ar!:c#la #e se des"laa m = 0,500 g = 5,00×10-4 Wg


25/74


Datos Cifras significativas: 3Carga de la "ar!:c#la #e se des"laa q = -1,00 FC = -1,00×10-* C$elocidad inicial en el "#n!o C vC = 1,00×10B m'sCons!an!e el%c!rica K = +,00×10+ &mC-

Incógnitas

Gn!ensidades del cam"o elec!ros!3!ico en los "#n!os C(1, 0) 2 (0, 0) E C, E Po!enciales elec!ros!3!icos en los "#n!os C 2 V C, V $elocidad #e !endr3 al "asar "or el "#n!o vOtros símbolos


Gn!ensidad del cam"o elec!ros!3!ico en #n "#n!o creado "or #na carga "#n-!#al Q si!#ada la #na dis!ancia r

E = K Q

r

ur

Princi"io de s#"er"osición E A=∑ E A iPo!encial elec!ros!3!ico en #n "#n!o creado "or #na carga "#n!#al Q si!#adala #na dis!ancia r

V = K Q

r

Po!encial elec!ros!3!ico de /arias cargas V = H V i9nerg:a "o!encial elec!ros!3!ica de #na carga q en #n "#n!o A E PA = q V A

Solución:

a) e ace #n dib#.o de las cargas 2 cada #no de los /ec!oresin!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico 2 de la s#ma /ec!orial #ees el /ec!or E in!ensidad de cam"o res#l!an!e>C3lc#lo de dis!ancias<

r AC=r C=√ (0,500 [m ]) +(1,00 [ m])=1,1 m

9l /ec!or #ni!ario del "#n!o C (1, 0), uAC res"ec!o al "#n!o A

es< uAC=

r AC

| r AC|=

(1,00 i−0,500 j ) [m ]1,1 [m ]

=0,+4 i−0,447 j

@a in!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico debido a la carga de A en el "#n!o C es<

E A→C=+,00×10+ [ &m C− ]

,00×10−* [C ](1,1 [ m ])

(0,+4 i −0,447 j)=(5,15×104 i −,5×104 j ) & /C

Por sime!r:a, la in!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico debido a la carga de en el "#n!o C es<

E C = (5,15×104 i I ,5×104 j) &'C

A"licando el "rinci"io de s#"er"osición, el cam"o elec!ros!3!ico en el "#n!o C es

E C = E AC I E C = 1,0B×105 i &'C

Análisis: (e ve que el vector intensidad de campo resultante del cálculo es hori.ontal hacia derecha! cohe1rente con el dibuo que hicimos previamente"

@a in!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico en el "#n!o (0, 0) debido a la carga en A es<

E A→ =+,00×10+ [ &m C− ]

,00×10−* [C]

(0,500 [ m]) (− j )=−,×105 j & /C

Por sime!r:a, el cam"o en el "#n!o debido a la carga si!#ada en es

E = B,×105 j &'C


E = E A I E = 0 &'C

E A)C

EC

A

(

* C

E()C

A

E()*

(

* C

E A)*


26/74


Análisis: /omo las distancias y las car*as son i*uales! y están situadas sim)tricamente! la resultante tieneque ser nula"


V A →C=V →C=+,00×10+

[ &m

C

−

]

,00×10−* [C]

(1,1 [m ]) =*,44×104

$

9l "o!encial elec!ros!3!ico en el "#n!o C es la s#ma de ambos<

V C = V A C I V C = *,44×104 $D = 1,+×105 $

@os "o!enciales en el "#n!o debidos a cada carga /alen<

V A →=V →=+,00×10

+ [ &m C−],00×10−* [C]

(0,500 [m ]) =1,44×105 $

9l "o!encial elec!ros!3!ico en el "#n!o es<

V = V A I V = 1,44×105 $D = ,×105 $

c) Como la 6#era elec!ros!3!ica es #na 6#era conser/a!i/a la energ:a mec3nica se conser/a>

( E c I E ")C = ( E c I E ")

X m vC I q · V C = X m v I q · V


(5,00×10-4 WgD ' ) (1,00×10B m'sD) I (-1,00×10 8* CD) 1,+×105 $D == (5,00×10-4 WgD ' ) v I (-1,00×10 8* CD) ,×105 $D

v = 1,00×10B m's

Análisis: La velocidad es prácticamente la misma pero un poco mayor ya que la car*a ne*ativa es acelera1

da en sentido contrario al campo el)ctrico"Como la /elocidad es #n /ec!or, !enemos #e ded#cir la dirección 2 sen!ido>Por la dirección 2 sen!ido del /ec!or in!ensidad de cam"o en!re los "#n!os C 2 , se "#ede ded#cir #e laaceleración es!3 en la dirección del e.e Y 2 en sen!ido "osi!i/o (las cargas nega!i/as s#6ren #na 6#era desen!ido o"#es!o al cam"o)> @a Tnica "osibilidad de #e la carga #e sale del "#n!o C "ase "or el "#n!o es#e inicialmen!e se es!#/iese mo/iendo en el sen!ido nega!i/o del e.e Y> Por lo !an!o la dirección de la /elo-cidad es la del e.e Y 2 el sen!ido nega!i/o

v = -1,00×10B i m's

1F. D' $arga el5$%ri$a )un%uale de Y+ - =+ XC6 e%n i%uada en l' )un%' /+6 J2 - /=+6 J2 /en (e=

%r'2. Cal$ula:a2 Ca()' el5$%ri$' en /J6 J2 - en /J6 1J2b2 Trabaj' )ara %ran)'r%ar una $arga q B de 1 XC dede /16 J2 a /=16 J2Da%': K 4 1J NW(+WC=+ (P.A.U. $%n. "#Rta.: a) E = -+×10B i &'C; E ' = -* i &'C; b) W eE! = -W cam"o = 0,04 J

Datos Cifras significativas: 3$alor de la carga si!#ada en el "#n!o A< (-,00, 0) m QA = -,00 FC = -,00×10-* C$alor de la carga si!#ada en el "#n!o < (,00, 0) m> Q = ,00 FC = ,00×10-* CCarga de la "ar!:c#la #e se des"laa q = -1,00 FC = -1,00×10-*P#n!o "ara calc#lar la in!ensidad de cam"o el%c!rico (0, 0) mP#n!o C "ara calc#lar la in!ensidad de cam"o el%c!rico C (0, 10,00) m

P#n!o de "ar!ida N "ara calc#lar el !raba.o N (1,00, 0) mP#n!o de llegada "ara calc#lar el !raba.o (-1,00, 0) mCons!an!e el%c!rica K = +,00×10+ &mC-

Incógnitas


27/74

Física P.A.U. ELECTROMAGNETISMO 2'

Datos Cifras significativas: 3Gn!ensidad del cam"o elec!ros!3!ico en los "#n!os C 2 E C, E raba.o "ara lle/ar q desde N as!a W NOtros símbolos



E = K Q

r

ur




V = K Q


Solución:

a) Para el "#n!o (0, 0)@a in!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico debida a la carga de la en el "#n!o es<

E A→ =+,00×10+ [ &m C− ]

−,00×10−* [C]

(,00 [ m]) i=−4,50×10B i & /C

@a in!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico debida a la carga de en el "#n!o es la misma, "or lo #e la in!en-sidad de cam"o elec!ros!3!ico en el "#n!o es, "or el "rinci"io de s#"er"osición<

E = E A = -+,00×10B i &'C

Para el "#n!o C (0, 10)C3lc#lo de dis!ancias<

r AC=r C=√ (,00 [m ])+(10,0 [m ])=10, m

9l /ec!or #ni!ario del "#n!o C, uAC res"ec!o al "#n!o A es<

uAC=

r AC

| r AC|=

(,00 i +10,0 j ) [ m ]10, [ m ]

=0,1+* i +0,+1 j

@a in!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico debida a la carga de la en el "#n!o C es<

E A→ C=+,00×10+ [ &m C− ]

−,00×10−* [C]

(10, [ m]) (0,1+* i +0,+1 j)=(−BB,+ i 8 170 j) & / C

Por sime!r:a,

E C = (-BB,+ i I 170 j) &'CA"licando el "rinci"io de s#"er"osición,

E C = E AC I E C = (BB,+ i 8 170 j) &'CD I (BB,+ i I 170 j) &'CD = -*7,+ i &'C

Análisis: (e ve que la -uer.a resultante del cálculo es hori.ontal hacia la i.quierda! coherente con el dibuoque se hab+a hecho"

b) @os "o!enciales en el "#n!o N(1, 0) debidos a cada carga /alen<

V A →N=+,00×10+ [ &m C− ]

−,00×10−* [C](B,00 [ m ])

=−*,00×10B $

V →N=+,00×10

+ [ &m C−] ,00×10−*

[ C](1,00 [ m])

=1,0×10B $

9l "o!encial elec!ros!3!ico del "#n!o N es<

EAC

EC

(I)

EC

C

A(-)

EA

E

(I)

E

A(-)


28/74


V N = V AN I V N = -*,00×10B $D I 1,0×10B $D = 1,0×10B $

@as dis!ancias r A = r = 1,00 m@os "o!enciales en el "#n!o (-1, 0) debidos a cada carga /alen<

V A →P=+,00×10+ [ &m C−]

−,00×10−* [C]

(1,00 [ m ])

=−1,0×10B $

V → P=+,00×10

+ [ &m C−],00×10−* [C]

(B,00 [ m ]) =*,00×10B $


V = V A I V = *,00×10B $D I -1,0×10B $D = -1,0×10B $

9l !raba.o #e ace la 6#era del cam"o es<

W N = q (V N 8 V ) = -1,00×10-* CD (1,0×10B 8 (-1,0×10B) ) $D = -0,040 J


W eE!erior = -W cam"o = 0,040 J

1. Dada d' $arga el5$%ri$a q 1 4 1JJ XC i%uada en A/=6 J2 - q + 4 =FJ XC i%uada en ?/6 J2 /la$''rdenada en (e%r'26 $al$ula:a2 El $a()' - el )'%en$ial en /J6 J2b2 El %rabaj' #ue 7a- #ue reali"ar )ara %raladar una $arga de =+ C dede el in!ini%' 7a%a /J6 J2Da%': 1 C 4 1J XC6 K 4 1J NW(+WC=+ (P.A.U. $%n. )#Rta.: a) E = 1,5×105 i &'C; V = 1,5×105 $; b) W eE! = -W cam"o = 8B×105 J


$alor de la carga si!#ada en el "#n!o A< (-B,00, 0) m QA = 100 FC = 1,00×10-4 C

$alor de la carga si!#ada en el "#n!o < (B,00, 0) m> Q = -50,0 FC = -5,00×10

-5

CCarga de la "ar!:c#la #e se des"laa q = -,00 CP#n!o C C (0, 0) mCons!an!e el%c!rica K = +,00×10+ &mC-

Incógnitas

Gn!ensidad del cam"o elec!ros!3!ico en el "#n!o C E CPo!encial elec!ros!3!ico en el "#n!o C V Craba.o "ara lle/ar q desde as!a C W COtros símbolos


Gn!ensidad del cam"o elec!ros!3!ico en #n "#n!o creado "or #na carga "#n-

!#al Q si!#ada a #na dis!ancia r

E = K Q

r ur




V = K Q


Solución:

a) @a in!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico debida a la carga de Aen el "#n!o C es<

E A→C=+,00×10+ [ &m C− ]

1,00×10−4 [ C]

(B,00 [m ]) i =1,00×105 i & /C

EAC

EC

(-50)

EC

CA(100)


29/74

Física P.A.U. ELECTROMAGNETISMO 2+

@a in!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico debida a la carga de en el "#n!o C es la mi!ad, "or lo#e la in!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico en el "#n!o C es, "or el "rinci"io de s#"er"osición<

E C = 1,5 E AC = 1,50×105 i &'C

@os "o!enciales en el "#n!o C(0, 0) debidos a cada carga /alen<

V A →C=+,00×10

+ [ &m C−] 1,00×10−4

[ C](B,00 [ m ])

=B,00×105 $

V →C=+,00×10

+ [ &m C− ]−5,00×10−4 [ C]

(B,00 [m ]) =−1,50×105 $


V C = V AC I V C = B,00×105 $D I (-1,50×105 $D) = 1,50×105 $

9l "o!encial elec!ros!3!ico en el in6ini!o es 0 "or de6inición>

V = 0


W C = q (V 8 V C) = -,00 CD (0 8 1,50×105) $D = B,00×105 J


W eE!erior = -W cam"o = -B,00×105 J

1. Tre $arga )un%uale de + XC e i%&an re)e$%i9a(en%e en A/J6 J26 ?/16 J2 - C/1+6 \+2. Cal$u=la:a2 El $a()' el5$%ri$' en l' )un%' D /1+6 J2 - 0 /1+6 1/+\22b2 El %rabaj' )ara %raladar una $arga q B4 1 XC de D a 0.$2 C'n e%e %rabaj'6 Pau(en%a ' di(inu-e la energ8a ele$%r'%%i$a del i%e(aQ

/La $''rdenada en (e%r'6 K 4 1J

NW(+

WC=+

V 1 XC 4 1J=

C2 (P.A.U. $%n. +#Rta.: a) E = -,40×104 j &'C; E S = 0; b) W S (eE!erior) = 8 W S (cam"o) = 7×10-84 J


$alor de la carga si!#ada en el "#n!o A< (0, 0) m QA = ,00 FC = ,00×10-* C$alor de la carga si!#ada en el "#n!o < (1, 0) m> Q = ,00 FC = ,00×10-* C$alor de la carga si!#ada en el "#n!o C< (1', ZB') m> QC = ,00 FC = ,00×10-* CCarga de la "ar!:c#la #e se des"laa q = 1,00 FC = 1,00×10-* CP#n!o (1', 0) mP#n!o S S (1', 1'(ZB)) mCons!an!e el%c!rica K = +,00×10+ &mC-

Incógnitas

Gn!ensidad del cam"o elec!ros!3!ico en el "#n!o E Gn!ensidad del cam"o elec!ros!3!ico en el "#n!o S E Sraba.o "ara lle/ar q desde as!a S W SOtros símbolos



E = K Q

r

ur



Po!encial elec!ros!3!ico en #n "#n!o creado "or #na carga "#n!#al Q si!#adaa #na dis!ancia r V = K Qr Po!encial elec!ros!3!ico de /arias cargas V = H V i

EAC

EC

(I)

EC

C

A(-)


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Solución:

a) @a in!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico debida a la carga de A en el "#n!o es<

E A→ =+,00×10+ [ &m C− ]

,00×10−* [C]

(0,500 [ m]) i=7,0×104 i & / C

@a in!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico debida a la carga de en el "#n!o es o"#es!a,

E = -7,0×104 i &'C

@a in!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico debida a la carga de C en el "#n!o es<

E C→ =+,00×10+ [ &m C− ]

,00×10−* [C]

(√ B / [m ])

(− j )=−,40×104 j & /C

"or lo #e la in!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico en el "#n!o es, "or el "rinci"io de s#"er"osición<

E = E C = -,40×104

j &'C@as dis!ancias de los "#n!os A, 2 C al "#n!o S /alen !odas lo mismo,

r S= r AS=√(1

[ m])

+( 1 √ B [ m ])

=0,577 m

r CS=√(

1

[ m]−

1

[ m ])

+( 1√ B [ m ]−√ B

[ m ])

=0,577 m

"or lo #e los mód#los de los /ec!ores cam"o creados en S "or las cargas(ig#ales) si!#adas en los "#n!os A, 2 C son ig#ales> Al es!ar si!#ados sim%!ricamen!e, s# res#l!an!e es n#la>

E A→S=+,00×10+ [ &m C−] ,00×10−

* [C](0,577 [ m ])

0,500

i +0,+

j0,577

=(4,*×104 i +,70×104 i ) & /C

Por sime!r:a

E S = 84,*×104 i I ,70×104 j &'C

E C→ S=+,00×10+ [ &mC−]

,00×10−* [C]

(0,577 [m ]) (− j)=−5,40×104 j & / C

9l cam"o res#l!an!e en el "#n!o S, "or el "rinci"io de s#"er"osición es<

E S = E AS I E S I E CS = (4,*×104 i I ,70×104 j) I (84,*×104 i I ,70×104 j) 8 5,40×104 j = 0

b) @os "o!enciales en el "#n!o debidos a cada carga /alen<

V A →=V → =+,00×10+ [ &m C−]

,00×10−* [C](0,500 [ m])

=B,*0×104 $

V C→ =+,00×10+ [ &m C−]

,00×10−* [ C](√ B/ [ m ])

=,0×104 $


V = V A I V I V C = B,*0×104 $D I ,0×104 $D = +,×104 $

@os "o!enciales en el "#n!o S debidos a cada carga /alen<

V A →S=V →S=V C→S=+,00×10+ [ &m C−]

,00×10−* [ C](0,577 [m ])

=B,1×104 $

9l "o!encial elec!ros!3!ico del "#n!o S es<

Q(

Q A

E()F

FE

A)F

EC)F

QC

Q(

Q A E

()*

*

E A)*

EC)*

QC


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V S = V AS I V S I V CS = B B,1×104 $D = +,B5×104 $


W S = q (V 8 V S) = 1,00×10-* CD (+,×104 8 +,B5×104) $D = 87×10 84 J

Análisis: Al restar dos potenciales tan pró2imos! se pierden ci-ras si*ni-icativas"


W eE!erior = -W cam"o = 7×10 84 J

c) 9n #n cam"o conser/a!i/o, el !raba.o de las 6#eras del cam"o es ig#al 2 de sen!ido con!rario a la /aria-ción de la energ:a "o!encial>

W A = 8 3E " 4 q 5V A 8 V )

Como el !raba.o de las 6#eras del cam"o elec!ros!3!ico es nega!i/o, la energ:a "o!encial del sis!ema a#men-!a>

1K. Una $arga )un%ual Q $rea un $a()' ele$%r'%%i$'. Al %raladar '%ra $arga q B dede un )un%' A alin!ini%' e reali"a un %rabaj' de 1J - i e %ralada dede al in!ini%' a ? el %rabaj' e de =+J :a2 P Q [ 0>10 JD = -qR V A V A = 10 JD ' ,0 CD = 5,0 $

9l "o!encial es in/ersamen!e "ro"orcional a la dis!ancia, el "#n!o es!3 m3s "róEimo a la carga Q #e el A>V A \ V r A [ r


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1. Dada %re $arga )un%uale q 1 4 1J XC en /=K6 J2 (6 q + 4 1J XC en /K6 J2 ( - q 4 +1J= XC en/J6 K2 (. Cal$ula:a2 El $a()' - el )'%en$ial el5$%ri$' en /J6 J2b2 La energ8a ele$%r'%%i$a.$2 u%i!i$a #ue el $a()' ele$%r'%%i$' e $'ner9a%i9'.Da%': 1 XC 4 1J CV K 4 1J NW(+WC=+ (P.A.U. !t. +#

Rta.: a) E = 0, i 8 0, j &'C; V 0 = ,5 $; b) E = -5,*B×10-10 J

Datos Cifras significativas: 3$alor de la carga si!#ada en el "#n!o 1< (-,00, 0) m q1 = 10-B FC = 1,00×10-+ C$alor de la carga si!#ada en el "#n!o < (I,00, 0) m q = -10-B FC = -1,00×10-+ C$alor de la carga si!#ada en el "#n!o B< (0, ,00) m qB = ×10-B FC = ,00×10-+ CP#n!o 4 donde a2 #e calc#lar el cam"o 2 "o!encial (0, 0) mCons!an!e el%c!rica K = +,00×10+ &mC-

Incógnitas

Gn!ensidad del cam"o elec!ros!3!ico en el "#n!o (0, 0) E 4Po!encial elec!ros!3!ico en el "#n!o (0, 0) V 49nerg:a elec!ros!3!ica E Otros símbolosis!ancia en!re dos "#n!os A 2 r A

Ecuaciones


E = K Q

r

ur

Princi"io de s#"er"osición E A=∑ E A iPo!encial elec!ros!3!ico en #n "#n!o creado "or #na carga "#n!#al Q si!#adaa #na dis!ancia r V = K

Qr

Po!encial elec!ros!3!ico de /arias cargas V = H V i9nerg:a "o!encial elec!ros!3!ica de #na in!eracción en!re dos cargas Q 2 q si-!#adas a #na dis!ancia r #na de la o!ra> E "=q · V = K

Q q

r

9nerg:a "o!encial elec!ros!3!ica de #n con.#n!o de cargas E " = H E " i = XH E "

Solución:

a) @a in!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico debida a la carga de 1 en el "#n!o 4 es<

E 1→4=+,00×10+ [ &mC−]

1,00×10−+ [ C]

(,00 [m ]) i =0,141 i & /C

@a in!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico debida a la carga en el "#n!o 4 es la misma,

E 4 = 0,141 i &'C

@a in!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico debida a la carga B en el "#n!o 4 es<

E B→4=+,00×10+ [ &mC−]

,00×10−+ [C]

(,00 [ m]) (− j)=−0, j & /C

"or lo #e la in!ensidad de cam"o elec!ros!3!ico en el "#n!o 4 es, "or el "rinci"io de s#"er"osición<

E 4 = E 14 I E 4 I E B4 = 0, i 8 0, j &'C

c#2o mód#lo /ale<

|⃗ E 4|=√ ((0, [ & / C])+(0, [ & /C ]) )=0,B+ & / C

@os "o!enciales en el "#n!o 4 debidos a cada carga /alen<9l "o!encial elec!ros!3!ico debido a la carga 1<

V 1→ 4=+,00×10+ [ &m C− ]

1,00×10−+ [ C](,00 [ m ])

=1,1B $


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9l "o!encial elec!ros!3!ico debido a la carga es o"#es!o, 2a #e la carga /ale lo mismo #e la carga 1 "ero es nega!i/a 2 se enc#en!ra a la misma dis!ancia<

V 4 = -1,1B $

9l "o!encial elec!ros!3!ico debido a la carga B es el doble #e el de la carga 1, 2a #e la carga B /ale el doble2 se enc#en!ra a la misma dis!ancia<

V B4 = ,5 $

9l "o!encial elec!ros!3!ico del "#n!o 4 es<

V 4 = V 14 I V 4 I V B4 = 1,1B $ 8 1,1B $ I ,5 $ = ,5 $

b) @a energ:a "o!encial de cada in!eracción en!re dos cargas /iene dada "or la eE"resión<

electromagnetismo problemas resueltos

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