problemas de electromagnetismo

1

Universidad Juárez Autónoma de Tabasco Hecho por José Miguel López Delgado

CONTENIDO GENERAL

TEMAS

PAGINAS

INTRODUCCION2

VECTORES3 - 8

LEY COULOMB9 - 17

CAMPO ELECTRICO18 - 25

FLUJO ELECTRICO Y LEY DE GAUSS 26 – 35

CAPACITANCIA 36 – 39 CORRIENTE ELECTRICA

LEY DE OHM LEY DE KIRCHOFF 40 - 44

BIBLIOGRAFÍA 45

2


INTRODUCCIÓN

El siguiente trabajo es una recopilación de problemas de física en general y de electromagnetismo recopilados a lo largo de la asignatura impartida por el Físico Eddy Montejo Ruiz y durante el periodo escolar Febrero – Agosto 2011.

La mayoría de los problemas cuentan con diagramas que facilitan su comprensión así como también su análisis de los problemas propuestos.

3


VECTORES

1.-un perro que busca un hueso camina 3.50 m al sur, luego 8.20 m a un ángulo de 30º al norte del oriente y, finalmente 15 m al poniente. Halle el vector de desplazamiento resultante del perro.

Datos:

l AB l=3.5m

l BC l=8.2m

l CD l=15 m

Solución:

FX=3.50cos 270+8.20 cos30+15 cos 180=−7.9 i

F y=3.50 sen 270+8.20 sen 30+15 sen180=0.6 j

l F l=√¿¿

ө=ta n−1( 0.6−7.9 )=−4.3 4

ө=180 −4.34 =175.65

F=7.8 m(cos175.65 i+sen175.65 j)

2.- Un avión vuela 200 km al poniente de la ciudad A hacia la ciudad B y luego 300 km en la dirección de 30º al norte del poniente de la ciudad B hacia la ciudad C.

A) En distancia de línea recta que tan lejos está la ciudad C de la ciudad A.B) Con relación a la ciudad A ¿en qué dirección está la ciudad C?

Datos:

l AB l=200 km

l BC l=300 km

Solución:

A)

RX=200 cos180+300 cos 150=−459.81i

R y=200 sen180+300 sen150=150 j

30

4


l R l=√¿¿

La distancia de A a C es 483.66 km.

B)

ө=ta n−1( 150−459.81 )=−18.07

La dirección es de 18.07º al norte del poniente de la ciudad A.

3.- Un hombre perdido en un laberinto hace 3 desplazamientos de modo que al final regresa a donde empezó. El primer desplazamiento es 8 m al poniente y el segundo 13 m al norte. Encuentre la magnitud y dirección del tercer desplazamiento.

Solución:

l CAl=√¿¿¿

ө=ta n−1( 138 )=58.39

ө=¿58.39º

4.- Un avión vuela desde su campamento base hasta el lago A, a una distancia de 280 km a una dirección de 20º al norte del oriente. Después de lanzar abastecimientos, vuela al lago B que está a 190 km y 30º al poniente del norte del lago A. Determine gráficamente la distancia y dirección del lago B al campamento base.

Datos:

l XA l=280km

l AB l=190 km

Solución:

l Y l=√a x2+a y2

l Y l=√¿¿ (Magnitud)

tan ө=( 190 sen30+280 sen20280 cos20−190 cos30 )=1.93

ө=ta n−11.93=62.60

5


ө=¿62.60º (dirección)

5.- Una persona camina 25º al norte del oriente por 3.10 km ¿Cuánto caminaría una persona al norte y luego al oriente para llegar al mismo lugar?

Datos:

A=3.10 km

ө=¿ 25º

Solución:

l A lX=Acosө=(3.10 ) (cos25 )=2.81km

l A lY=Asenө=(3.10 ) (sen 25 )=1.31 km

6.- Una muchacha que reparte periódicos cubre su ruta al caminar 3 cuadras al poniente, 4 cuadras al norte, luego 6 cuadras al oriente.

A) ¿Cuál es su desplazamiento resultante?B) ¿Cuál es la distancia total que camina?

Datos:

l AB l=3cuadras

l BC l=4 cuadras

l CDl=6 cuadras

Solución:

A)

RX=3cos180+4 cos 90+6 cos0=3 i

RY=3 sen180+4 sen 90+6 sen 0=4 j

l R l=√¿¿

ө=ta n−1( 43 )=53.13

R=5 cuadras(cos53.13 i+sen53.13 j)

B)

d=l ABl+l BC l+l CDl= (3+4+6 ) cuadras=13 cuadras

6


7.- Mientras explora una cueva, una espeleóloga empieza a caminar en la entrada y avanza las siguientes distancias: 75 m al norte, 250 m al oriente, 125 m a un ángulo de 30ºal norte del oriente y 150 m al sur. Encuentre el desplazamiento resultante desde la entrada de la cueva.

Datos:

l AB l=75m

l BC l=250 m

l CD l=125 m

l DE l=150 m

Solución:

FX=75 cos 90+250 cos0+125 cos30+150 cos270=358.253 i

F y=75 sen 90+250 sen 0+125 sen30+150 sen270=−12.5 j

l F l=√a x2+a y2

l F l=√¿¿

ө=ta n−1( −12.5358.253 )=358.002

F=358.47 m(cos358.002 i+sen 358.002 j)

8.- Un pequeño mapa muestra que Atlanta esta a 730 millas en una dirección 5º al norte del este de Dallas. El mismo mapa muestra que Chicago esta a 560 millas en una dirección de 21º al poniente del norte de Atlanta. Suponga una tierra plana y use esta información para hallar el desplazamiento de Dallas a Chicago.

Datos:

Solución:

FX=730 cos 5+560 cos111=526.54 i

F y=730 sen5+560 sen111=586.43 j

l F l=√¿¿

ө=ta n−1( 586.43526.54 )=48.08

7


F=788.13 m (cos 48.08 i+sen 48.08 j )

9.- Un avión sale de un aeropuerto y toma la ruta que se muestra en la figura. Primero vuela a la ciudad A situada a 175 km en una dirección 30º al norte del oriente. Después, vuela 150 km 20º al poniente del norte a la ciudad B. Por último, vuela 190 km al poniente a la ciudad C. Halle la ubicación de la ciudad C con relación al punto de partida.

Datos:

l A l=175km

l B l=150 km

l C l=190 km

Solución:

RX=175 cos30+150cos 110+190 cos180=−89.75 i

RY=175 sen30+150 sen110+190 sen 180=228.45 j

l R l=√¿¿

ө=ta n−1( 228.45−89.75 )=111.45

R=245.45 km(cos111.45 i+sen111.45 j)

10.- Dos personas tiran de una mula terca, como se ve desde en un helicóptero en la figura. Encuentre:

A) La fuerza resultante equivalente a las 2 fuerzas mostradas.B) La fuerza que una tercera persona tendría que ejercer sobre la mula para ser que la

fuerza neta sea igual a cero.

Datos:

Solución:

A)

F=FX + FY

FX=120 cos 60+80 cos105=39.29i

FY=120 sen60+80 sen105=181.2 j

8


l F l=√¿¿

F=(39.29i+181.2 j)

B)

F+ F3=0

F3=(−39.3i−181.1 j)

9


LEY DE COULOMB

F=K q1 q2

r 2

11.-Dos cargas de una molécula de hidrogeno esta

separados por una distancia de 0.74 x 10−10 m=r .

Calcule la fuerza eléctrica que ejerce un protón sobre el otro.

Datos:

Proton=1.6 x 10−19C

r=0.74 x10−10m

Solución:

Ley de coulomb

[ Parala PrimeraCarga ]

F=K q1 q2

r 2 r=(9 x 109 N m2

C2 )¿¿

F=4.2074 x10−08 (cos180 i+sin 180 j )=4.2074 x10−08 (−1 i )=−4.2074 x10−08 i

|F|=√(−4.2074 x 10−08 i)2=4.2074 x10−08

[ Parala SegundaCarga ]

F=K q1 q2

r 2 r

F=(9 x 109 N m2

C2 )¿¿

F=4.2074 x10−08 (cos0 i+sin 0 j )=4.2074 x 10−08 (1i )=4.2074 x10−08 i

|F|=√(4.2074 x 10−08 i)2=4.2074 x10−08

Valores k=9 x109 N m2

C2

Cte. de Permisividad ε 0=8.8541 x10−12 C2

N m2

Valores k= 14 π ε0

9 x 109 N m2

C2

10


12.- Calcular la F eléctrica total sobre q1.

F=K q1 q2

r 2 r

F=(9 x 109 N m2

C2 )( 2 x 10−6 C ) ( 4 x10−6 )

¿¿

F=90.5387 N (0.7071 i−0.7071 j )=64.0199 N i−64.0199 N j

|F|=√(64.0199 N i )2+(−64.0199 N j )

|F|=√(4,098.54 N )+(4,098.54 N )=90.5378 N

13.-Dos Bolas Pequeñas Y Similares De Masa m se cuelgan de hilos de seda de longitud L y portan la misma carga Q, como se muestra en la figura. Suponga que θ están pequeña que tang θ puede reemplazarse por su igual aproximado, sen θ .

A) Con esta aproximación pruebe que en el estado de equilibrio

B) Si la L= 122 cm, m= 11.2 g , X= 4.70 cm ¿Cuál es el valor de Q?

11


0=F+T +W

0= −q2

4 πε x2 +T sen θi+Tcos θj−mg j

0= −q2

4 πε x2 i+T senθi+Tcosθj−mg j

Por lo tanto

0= −q2

4 πε x2 i+T senθi ;0=+Tcos θj−mg j

q2

4 πε x2 i=+T senθ i;T= mgcosθ

T= q2

senθ∗4 πε x2 ∴Se igualaq2

senθ∗4 πε x2=mg

cosθ

q2

4 πε x2=sen θ mg

cosθ

Por identidad trigonométrica

Tangθ= senθcosθ

;q2

4 πε x2 =tanθ mg

Donde senθ ≈ tangθ

senθ= q2

4 πε x2 ;xmg2 l

= q2

4 πε x2 ;[ xmg2 l

= q2

4 πε x2 ] x2

A)

∴ x3=2 l∗q2

mg∗4 πε; x=[ 2l∗q2

mg∗4 πε ]13

B)

q2=mg∗4πε∗x3

2 l;q=√ mg∗4 πε∗x3

2l

12


(Sustituyendo los datos)

q=√4 π (8.8541 x 10−12 C2

N m2)(0.0112kg)(9.81

m

s2)¿¿¿

q=√5.2883 x1 0−16 C2=2.28 x 1 0−08C

14.-Dos cargas q1=−8 μc y q2=+12 μc. Están separadas por una distancia de 120 mm en el

aire ¿Cuál es la fuerza resultante sobre una tercera carga q2=−4 μc . Colocada en el punto

medio entre la distancia entre las otras dos cargas?

F=K q1 q2

r 2 r

Para carga q1=−8 μc a q3=−4 μc

F13=(9 x109 N m2

C2 ) (8 x 10−6 C ) ( 4 x10−6 )

¿¿

F13=80 N (1 i )=80∋¿

Para carga q2=+12 μc a q3=−4 μc

13


F23=(9 x109 N m2

C2 ) ( 4 x10−6C ) (12 x 10−6 C )

¿¿

F23=120 N (1 i )=120∋¿

Por lo tanto

FR=F13+ F23=80∋+120∋¿200∋¿

|FR|=√¿¿¿

15.-Cuales la separación de dos cargas de −4 μc si la fuerza de repulsión entre ellas es de 200N.

Datos:

q=−4 μc

Para vector unitario

FR=¿200 N ¿

FR=¿−200 N i

|FR|=√¿¿¿

F=K q1 q2

r 2 r

Se elimina el vector unitario

|FR|=K q1 q2

r 2 ∴ r2=K q1 q2

|FR|

r2=K q1 q2

|F R|=

(9 x109 N m2

C2 ) (4 x10−6 C )2

(200 N )

r=√7.2 x10−4 m2 = .0268 m

16.-Dos cargas idénticas separadas a 30 mm son sujetas a una fuerza de repulsión de 980 N ¿Cuales la magnitud de cada carga?

r

14


Para vector unitario

FR=¿980 N ¿

FR=¿980 N i

|FR|=√¿¿¿

F=K q1 q2

r 2 r

Se elimina el vector unitario

|FR|= K Q2

r2 ∴Q2=r2∗|F R|

K

Q2=r2∗|FR|

K=

(0.03 m )2 (980 N )

(9 x109 N m2

C2 )Q=√9.8 x 10−11c2 = 9.8984 x 10−06 C

17.-Tres cargas puntuales q=+8 μc ; q0=−4 μc ; q1=+2 μc . Están en las esquinas de un

triangulo equilátero, 80 mm de cada uno de los lados encuentre la magnitud de la fuerza

resultante sobre la carga q0 .

F0=K q q0

r2 r

F0=(9 x 109 N m2

C2 )( 8 x 10−6 C ) ( 4 x 10−6 )

¿¿

15


F0=45 N (cos 0i+sin 0 j )=45∋¿

F1=(9 x109 N m2

C2 )(8 x 10−6 C ) (2 x10−6 )

¿¿

F1=22.5 N (−0.5i−0.866 j )

F1=−11.25 N i−19.48 N j

Fuerza resultante

FR=F0+ F1=45∋+ (−11.25 N i−19.48 N j )=33.75 N i−19.48 N j

|FR|=√(F xR)2+(F y R)

2=√¿¿¿

|FR|=38.96 N

θ=tan−1[−19.9933.75 ]=−30.68

18.- q=20 μc es el valor de las cargas, en cada carga la longitud de 6cm. Calcule la fuerza resultante en alguna de las esquinas.

F1=K q q0

r2 r

F2,1=(9 x 109 N m2

C2 )( 20 x 10−6 C )2

¿¿

F1=(3.6 ) N m2

¿¿

16


F1=1000∋¿

F3,1=(9 x 109 N m2

C2 )( 20 x 10−6 C )2

¿¿

F2=(3.6 ) N m2

¿¿

F2=−1000 Nj

d=√62+62=8.48 cm

F4,1=(9x 109 N m2

C2 ) (20 x10−6 C )2

¿¿

F3=500.62 N (cos 315i+sin 315 j )=500.62 N (0.7071 i−0.7071 j )=353.99 N i−353.99 N j

Para la fuerza resultante

FR=F1+ F2+ F3=¿

FR=1353.99∋−1353.99 Nj

|FR|=√(F xR)2+(F y R)

2=√¿¿¿

|FR|=1914.83 N

Si queremos el Angulo seria

θ=tan−1[−1353.991353.99 ]=−45

19.-Una cargar Q debe ser dividida en dos partes, Q-q Y q ¿Qué relación existe entre Q y Q si las dos partes, separadas por cierta distancia debe tener una repulsión de coulomb máxima?

d|F1|dq

= ddq [ k (Q−q ) q

r2 ]; d |F1|dq

= ddq [ k (Qq−q2 )

r2 ]

d|F1|dq

= kQ−2 qr 2 con el criterio de la primera derivada f ( F1)=0

0= kQ−2q

r2= k

r2(Q−2q)

17


0=Q−2q

q=12

Q

20.-Dos cargas puntuales libres +q y +4q están separadas por una distancia L. una tercera carga se coloca de modo que el sistema entero se encuentra en equilibrio.

A) Encuentra el signo, la magnitud y la ubicación de esta cargaB) Demuestre que el equilibrio es estable.

Ecuación

F1=K q q0

r2 r

Solución:

Tomando que el sistema está en equilibrio

F13=F12 yaque FT=0

y tomando q3 como referencia

K qq3

r132 = K 4 qq

r122 ;

q3

r132=

4 qr12

2 ; Peror13=L3

;∴r 12=L

∴q3

( L3 )

2 =4 qL2 ;

9q3

L2 =4 qL2 ;9q3=4q

q3=4 q9

∴q3=−4 q

9

a) el signo negativo se debe a que la fuera de q1 y q2 debe ser opuesta a la de q1 y q3

Tomando que el sistema está en equilibrio

F12=F23 yaque FT=0

y tomando q3 como referencia

K qq3

r132 =

K 4 q q3

r322 ;

1r13

2 =4

r322 ;r32

2=4 r132

18


r132=1

4r32

2 ; r13=√ 1

4r32

2;…r13=12

r 32∴2 r13=r32Si L=r 13+r32= r13+2 r13

∴L=3 r13∴r13=L3

Si L=r 13+r32 ;r32=L−r13 ∴r32=L− L3=2

3L

b) si q3 se acerca más a q1, la fuerza de atracción aumentara entre ellas, pero la atracción

entre q3 y q2entonces disminuirá. Por lo cual se podría decir que el sistema esta inestable

CAMPO ELÉCTRICO

Faraday propuso que las cargas interactuaban y se debía a las líneas fuerza que salían de cada carga.

F=K Q qo

r2 r ; E= Fqo

=K Q qo

qo r2 r … E=K Q

r2r

19


La formula indica que el campo eléctrico lo produce Q.

Para el principio de superposición

ET=K Q o

r2 r+K Q1

r2 r+K Q2

r2 r+…+K Q3

r2 r

21.- Hallar la intensidad del campo eléctrico en el aire a una distancia de 30 cm de la carga

Q=5 x 10−9 c

E=K q

r2r

E=(9 x109 N m2

C2 ) (5 x10−4 C )

¿¿

E=500NC

(1 i+0 j )=500NC

i … Para la intensidad seria

|E|=√(500NC

i)2

=500NC

Ahora para Q=−5 x 10−9 c

E=K q

r2r

E=(9 x109 N m2

C2 ) (5 x10−4 C )

¿¿

E=500NC

(−1i+0 j )=−500NC

i … Para la intensidad seria

|E|=√(−500NC

i)2

=500NC

22.- Determine el campo eléctrico debido a las cargas puntuales en el punto medio.

(-)q p

20


q1=−5.6μc

q2=8.7μc

E=K Q1

r2 r−K Q2

r2 r

E=

(9 x109 N m2

C2 ) (5.6 x 10−6 C )

¿¿

E=12600NC

(1 i+oj )−19575NC

(−1 i+0 j )=12600NC

i+19575NC

i=¿

|E|=√(12600NC

i)2

+(19575NC

i)2

=12600NC

+19575NC

=32175NC

23.- En un punto p del espacio existe una intensidad del campo eléctrico de E=5 x 104 NC

.dirigido hacia la derecha si una carga Q=1 . 5μCse coloca en p. ¿Cuál será el valor de la

fuerza eléctrica que actúa sobre ella?

|E|=|F|q

;∴|F|=|E|q=(5x 104 NC ) (1.5x 10−6 C )=0.075 N

F=|F|¿

21


24.- Un electrón es acelerado hacia el este a razón de 1.84 X 109 m

s2 por medio de un campo

eléctrico. Determine la magnitud y la dirección del campo eléctrico.

Datos:

m=9.109 X 10−31kg

q=−1.602 X 10−19 C

Solución:

E= Fq

si F=m a

E=m aq

=

(9.109 X 10−31

kg )(1.84 X 109 m

s2 )−1.602 X 10−19C

=−10.46 X 10−3 NC

i

|E|=√¿¿¿

25.- ¿Cuál es la magnitud de una carga puntual elegida de tal modo que el campo eléctrico

alejado a una distancia de 75 cm tenga una magnitud de

2.30NC

?

Solución:

E= kq

r2(cosөi+senөj)

E=2.30NC

¿j)=E=2.30NC

i

|E|= kqr2 ;q=

|E|r2

k=(2.30

NC )¿¿

26.- El aire húmedo se divide (sus moléculas se ionizan) e un campo eléctrico de 3 x1 06 NC

.

¿Qué magnitud tiene la fuerza eléctrica en a) un electrón y b) en un ion (con un solo electrón faltante) en este campo.

Sabemos que para la carga eléctrica del electrón y el ion son iguales es

decir que qe=qion=1.6 x 1019 C .

22


a)

E=3 X 106 NC

i

|E|=√¿¿C

|E|=|F|qe

;|F|=|E|qe=(3 x 106 NC ) (1.6 x1 0−19C )=4.8 x 10−13 N

b)

E=−3 X 106 NC

i

|E|=√¿¿C

|E|=|F|qe

;|F|=|E|qe=(3 x 106 NC ) (1.6 x1 0−19C )=4.8 x 10−13 N

27.- Determine el campo eléctrico en el centro del cuadrado de la fig. 26-26 suponga que q=11.8 nC y a=5.20 cm.

23


Solución:

d=√(a)2+(a)2=√2 (a)2=√2(0.052 m)2=7.35 X 10−2m

d2=3.675 X 10−2 m

q1=−q=−11.8 X 1 0−9C

q2=∓2 q=2 (11.8 X 1 0−9 C )=23.6 X 1 0−9 C

q3=+q=11.8 X 10−9C

q4=−2 q=−2 (11.8 X 1 0−9C )=−23.6 X 10−9 C

E1=(9 x109 N m2

C2 ) (11.8 X 1 0−9C )

¿¿

E2=(9 x109 N m2

C2 ) (23.6 X 1 0−9 C )

¿¿

E3=(9 x109 N m2

C2 ) (11.8 X 1 0−9C )

¿¿

E1=(9 x109 N m2

C2 ) (23.6 X 1 0−9 C )

¿¿

ER=E1+ E2+ E3+ E4=111205 j

28.- En la figura suponga que ambas cargas son positivas. Demuestre que, suponiendo x>>d, la magnitud de E en el punto P está dada por:

E=( 14 ᴫ E0

)(2 q

x2 )

24


Solución

como x≫d ;r=x y ө=90 E

E=Kq1

x2 i+Kq2

x2 i ;como q1=q2

E= kq

x2i+ kq

x2i=2kq

x2i

|E|=√( 2 kq

x2 )2

=2 kq

x2 ; comok=1

4 ᴫE0

|E|=( 14 ᴫE0

)( 2q

x2 )

Campo eléctrico sobre distribución de carga

29.- Ejercicio de campo eléctrico sobre distribución de carga:

25


E= kq

r2r ; E=∫d E ;d E= kq

r2r ;dq=λdl;dq=λdx

;d E= kdq

r2i ; ;d E= kdq

x2i

E=∫ kdq

x2i=∫ kλdx

x2i

E=∫a

a+ xkλdx

x2 i=kλ ∫a

a+xdxx2 i=kλ∫

a

a+ x

x2 i

E=kλ [ x−1

−1 ]a

a+ x

i=[ kλx

i ]a

a+x

=[(−kλa+x )−(−−kλ

a )] iE=( kλ

a− kλ

a+x )i=kλ( 1a− 1

a+x )i= kxλa (a+x )

i

30.-Tres cargas idénticas se colocan alrededor de una circunferencia ¿Cuáles el campo eléctrico resultante en el centro de la circunferencia.

ER¿ E1+E2+E 3 Si: r, q y k son iguales para todas las cargas

E=K

r2¿

E=K

r2 [(−√32

i)−12

j+(√32

i)−12

j+ 1 j ] E=K

r2 [(−√32

i)−12

j+(√32

i)−12

j+ 1 j ] E=0

26


31.-Una carga de +4 nc esta colocada a x=o y una carga +6ncse encuentra a x=4cm sobre un eje X. encuentre el punto donde la intensidad del campo eléctrico es igual a cero.

E1=K Q1

r2 (cos0 i+sen0 j )=K Q1

r2 i

E2=K Q 2

(0.04−x)2 (cos 180i+sen180 j )=−K Q2

(0.04−x)2 i

DONDE LA INTENSIDAD ES IGUAL A CERO. Si r = x

Si ER

¿ E1+E2=K Q1

r2 i−K Q2

(0.04− x)2 i=0 k (Q1

x2 i−Q2

(0.04−x)2 i)=0∴Q1

x2 i−Q2

(0.04−x )2 i=0

Q1

x2 i=Q 2

(0.04−x)2 i ∴ 1.6 x10−3−0.08 X+ X2=

Q 2

Q 1

X2 1.6 x10−3−0.08 X+ X2=

(6 x 1 0−9)(4 x1 0−9)

X 2 1.6 x10−3−0.08 X+ X2=1.5 X2 −1(1.6 x 10−3−0.08 x+x2−1.5 X2=0) 0.5 X2+0.08 X−1.6 x1 0−3=0

Resolviendo por la ecuación general cuadrática Ecuaciones de la forma ax² + bx + c = 0

X1,2=−b±√b2−4 ac

2a

27


x1=0.018 m

x2=−0.178 m

32.-Dos cargas iguales y opuestas mas +q y – q, están colocadas en las equinas de la base de un triangulo equilátero. Cuyos lados tienen una longitud A. muestra que la magnitud de la intensidad del campo eléctrico superior es la misma con o sin la presencia de unas de las cargas.

ER¿ E+¿+E−¿¿ ¿

ER=Kq

a2 [ (cos 60i+sen60 j )+(cos 60i−sen60 j ) ]

ER=K qa2 [( 1

2i+ √3

2j)+( 1

2i−√3

2j)]=Kq

a2 i

|ER|=√( Kq

r2 i)2

=Kq

a2

Analizando para solo una carga

ER=E+¿¿

ER=K qa2 [( 1

2i+ √3

2j)]=1

2K qa2 i+ √3

2K qa2 j

|ER|=√( 12

K q

a2 i)2

+(√32

K q

a2 j)2

=√ 14

K 2q2

a4 +34

K 2q2

a4

|ER|=√ 44

K2 q2

a4=√ K 2q2

a4= K q

a2

Puesto que nuestro punto de referencia este sobre el eje x positivo, nuestra repuesta es x1=0.018 m

que es la distancia que mide de Q1 hasta el punto P.

28


Flujo eléctrico y Ley de Gauss

ΦE=∫ E d A=EAcos ө=EA

33.- Calcule el flujo eléctrico a través de cada cara del cubo, si el cubo tiene lados de 100 cm y una carga encerrada q=250 MC.

Datos:

Lados=100 cm=1 m

q=250 MC=250 X 1 0−6 C

E0=8.85 X 10−12 N m2

C

Solución:

ΦE1=Φ E2=ΦE3=Φ E4=ΦE5=ΦE6=ΦEn

ΦEn=q

6 E0

ΦEn=250 X 1 0−6C

(6 )(8.85 X 10−12 N m2

C )

29


ΦEn=4.71 X 1 0−6 N m2

C

34.- Dos cargas de 24 MC y – 7 MC están dentro de un cascarón esférico de radio de 25 cm. Calcular el flujo eléctrico total.

QNeta=24 MC−7 MC=17 MC

ΦE=∫ E d A=EAcosө=EA

E=Kq

r 2 y A=4 ᴫr2

ΦE=EA=( Kqr2 ) (4 ᴫr2 )=4 ᴫkq=4 ᴫ(9 X 109 N m2

C2 )(17 X 10−6C )

ΦE=1922654.704N m2

C

.- Ejercicio

Solución:

λ=qx=dq

x

dq=( λ ) ( dx )

Para el punto medio, por simetría podemos deducir que d Esolo está formado por d E y y a causa de que las contribuciones d Ey de las mitades de la izquierda y de la derecha son iguales, podemos escribir:

d E=2d Ey ……………….. (1)

d E y=dEcos ө j……… ……. (2 )

d E=2dEcosө j ……………. (1 ´ )

30


dE=( 14 ᴫ E0 )( λdx

a )=( λdx

4 ᴫE0 ( x2+r2 ) )……….. (3 )

d E= 2 dx

4 ᴫ E0 ( x2+r2 )cos ө j ;∫ d E= λ

2 ᴫ E0

=∫0

∞dx

( x2+r2 )cos ө j

tan ө= xr

; x=rtanө ;dx=r sec2 өdө

E= λ2 ᴫ E0

∫ r sec2 өcosөdө(rtan ө )2+r2 =¿ λ

2 ᴫ E0∫ r sec 2өcosөdө

r2 tan2ө+r2 =¿ λ2 ᴫ E0

∫ r sec2 өcosөdөr2(tan ¿¿2 ө+1)

¿¿¿

sec2ө=1+ tan2 ө

E= λ2 ᴫ E0

∫ sec2 өcosөdөr sec2 ө

= λ2 ᴫ E0r

∫0

ᴫ2

cosөdө= λ2 ᴫE0 r [ sen

ᴫ2−sen0]= λ

2 ᴫE0 r

35.-Considerando un campo eléctrico uniforme E= (2.0 NC

)i. A) ¿Cuál es el flujo de este a

través de un cuadrado de 10 cm de lado cuyo plano es paralelo XY? B) ¿Cuál es el flujo que atraviesa el mismo cuadrado si la normal a su plano forma un ángulo de 300 en el eje X?

Datos:

E=2.0NC

i

Solución:

A)

ΦE=∫ E d A

31


ΦE=EAcosө

ΦE=(2.0NC )(0.01 m2)

ΦE=0.02N m2

C

B)

ΦE=∫ E d A

ΦE=EAcosө

ΦE=(2.0NC ) (0.01 m2) (Cos 300)

ΦE=0.01732N m2

C

36.-Un campo eléctrico vale E=(200NC )i para X >0 Y E= -(200

NC

)i para X<O. Un cilindro

circular recto de 20 cm de longitud y 5 cm de radio tiene su control en el origen y su eje esta situado a lo largo del eje X de modo que una de las caras esta en X= 10 cm y la otra en X= -10 cm. Calcular:

A) El flujo que atraviesa cada caraB) ¿Cuál es el flujo que atraviesa la parte lateral del cilindro?C) ¿Cuál es el flujo neto que atraviesa toda la superficie cilíndrica?D) ¿Calcular la carga neta en el interior del cilindro?

Datos:

E=(200NC )i para X >0

E=−(200NC )i para X<O

r= 5 cm

l= 20 cm

Solución:

32


A)

ΦE1=∫ E d A=EAcosө

ΦE1=(200NC )( ᴫ D2

4 )(cos0)

ΦE1=(200NC ) (7.8539 X 10−3 m2 )(1)=1.5 7

N m2

C

ΦE2=∫ E d A=EAcosө=(−200NC )( ᴫ D2

4 )(cos180)

ΦE2=(−200NC ) (7.8539 X 10−3 m2) (−1)=1.57

N m2

C

B)

ΦE3=∫ E d A=EAcosө=EAcos 90=0

ΦE 4=∫ E d A=EAcosө=EAcos 90=0

C)

ΦT=Φ1+Φ2+Φ3+Φ4

ΦT=1.5 7N m2

C+1.57

N m2

C=3.14

N m2

C

33


D)

ΦT=qE0

; E0=8.85 X 10−12 N m2

C

q=ΦT E0=(8.85 X 1 0−12 N m2

C )(3.14N m2

C )=2.7789 X 10−11 C

37.-Una corteza esférica de radio 6 cm posee una densidad de carga superficial uniforme de

σ=9.0NC

m2.¿Cuál es la carga total sobre la corteza?

Datos:

r= 6 cm

ϭσ=9.0NC

m2

E0=8.85 X 10−12 N m2

C

Solución:

σ=E0 E

q=σ 4 π r4=(9.0

NC

m2 ) (4 ᴫ0.06 m2 )=0.4071 NC

38.-Una carga puntual de 1.84 MC esta en el centro de una superficie cubica Gausiana, a 55 cm de un lado. Calcule ΦET a través de la superficie.

Datos:

q=1.84 MC

E0=8.85 X 10−12 N m2

C

Solución:

ΦET=6ΦE=6( qenc

6 E0)

ΦET=6( 1.84 X 10−6 C

6(8.85 X 10−12 C2

Nm2 ))

34


ΦET=207909.60Nm2

C

39.-Una línea de carga produce un campo de 4.5 X 104 NC

a una

distancia de 2.0 m. Calcule la densidad de carga lineal.

Datos:

E=4.5 X 1 04 NC

r=2.0 m

λ=¿ ?

Solución:

E= λ2 ᴫ E0r

λ=E 2 ᴫ E0 r

λ=(4.5 X 1 04 NC )(2 ᴫ)(8.85 X 1 0−12 N m2

C )(2.0 m)

λ=5.004557097 X 1 0−6 Cm

40.-Dos largos cilindros concéntricos, cargados tienen radios de 3.0 y 6.0 cm. La carga por

longitud unitaria es de 5.0 X 10−6 Cm

sobre el

cilindro interior y de -7.0 X 10−6 Cm

sobre el

cilindro exterior. Encuentre el campo electico en A) r= 4.0 cm y en B) r= 8.0 cm donde r es la distancia radial desde el eje central común.

Datos:

R1= 0.03 m

R2= 0.06m

λ1= 5.0 X 10−6 Cm

35


λ 2=−7.0 X 10−6 Cm

r 1=0.04 m

r 2=0.08 m

Solución

A)

E=λ

2 ᴫ E0r=

5.0 X 10−6 Cm

2 ᴫ (8.85 X 10−6 C2

Nm2 )(0.04 m)=2.2479 X 106 N

C

B)

E=λ

2 ᴫ E0r=

−7.0 X 10−6 Cm

+5.0 X 10−6 Cm

2 ᴫ (8.85 X 10−6 C2

Nm2 )(0.08 m)=−4.5 X 105 N

C

41.-Una esfera conductora de 10 cm de radio tiene una carga desconocida. Si el campo

eléctrico a 15 cm del centro de la esfera tiene una magnitud de 3.0 X 103 NC

y dirigido

radialmente hacia el centro ¿Cuál es la carga sobre la esfera?

Datos:

r=10 cm

E=3.0 X 103 NC

E0=8.85 X 10−12 N m2

C

Solución:

36


ET=( 14 ᴫ E0

q

R3 )r

q=4 ᴫ E0 R3 ET

r=4 ᴫ (8.85 X 1 0−12 N m2

C )¿¿

42.-La figura muestra una distribución cuadrada de partículas cargadas, con una distancia d entre partículas adyacentes. ¿Cuál es el potencial eléctrico en el punto p que está en el centro del cuadrado, si el potencial eléctrico es cero en el infinito?

Solución: de -4q hacia la derecha.

V= 14 ᴫ E0

qr

V 1=1

4 ᴫ E0

−4 q

√d2+d2

V 2=1

4 ᴫ E0

−2 qd

V 3=1

4 ᴫ E0

+q

√d2+d2

V 4=1

4 ᴫ E0

−5 qd

V 5=1

4 ᴫ E0

+4 q

√d2+d2V 6=

14 ᴫ E0

−2qd

V 7=1

4 ᴫ E0

−q

√d2+d2

V 8=1

4 ᴫ E0

+5 q

√d2+d2

V T=1

4 ᴫE0

−4 q

√d2+d2+ 1

4 ᴫ E0

−2 qd

+ 14 ᴫE0

+q

√d2+d2+ 1

4 ᴫE0

−5 qd

+ 14 ᴫE0

+4 q

√d2+d2+ 1

4 ᴫE0

−2 qd

+ 14 ᴫ E0

−q

√d2+d2+ 1

4 ᴫE0

+5 q

√d2+d2

37


V T=1

4 π E0

−4 qd

43.- Considere una carga puntual q= 1.0 MC, el punto A a una distancia d1= 2.0 m de q, y el punto B a una distancia d2= 1.0 m.

A) Si estos puntos están diametralmente opuestos entre si, como muestra la figura a ¿Cuál es la diferencia de potencial eléctrico V A−V B?

B) ¿Cuál es la diferencia de potencial eléctrico si los puntos A y B están situados como en la figura b?

Datos:

q=1.0 MC

k=9 X 109 N m2

C2

d 1=2.0 m

d 2=1.0 m

Solución:

A) FIGURA a

Determino el potencial eléctrico V A:

V A=(9 X 109 N m2

C2 )(1 X 10−6C2m )=4500

JouleC

Determino el potencial eléctrico V B:

V B=(9 X 109 N m2

C2 )( 1 X 10−6C1m )=9000

JouleC

Calculamos la diferencia de potencial eléctrico:

V A−V B=4500Joule

C−9000

JouleC

=−4500Joule

C

38


B) FIGURA b

Determino el potencial eléctrico V A:

V A=(9 X 109 N m2

C2 )(1 X 10−6C2m )=4500

JouleC

Determino el potencial eléctrico V B:

V B=(9 X 109 N m2

C2 )( 1 X 10−6C1m )=9000

JouleC

Calculamos la diferencia de potencial eléctrico:

V A−V B=4500Joule

C−9000

JouleC

=−4500Joule

C

44.- La molécula de amoniaco NH 3tiene un momento permanente de dipolo eléctrico de 1.47 D, donde D es la unidad debe, con un valor de 3.34 X 10−30c . m. Calcule el potencial

39


eléctrico generado por una molécula en un punto a 52. Nm de distancia a lo largo del eje del dipolo. Suponga que V=0 en el infinito.

Datos:

Momento dipolar=1.47 D

r=52.0nm=5.2 X 10−8 m

ρ=4.9 X 10−30 Cm

V=0 enel infinito

Solución:

Conversión del momento dipolar:

1 D⟶3.34 X 10−30Cm

1.47 D⟶x Cm

ρ=4.9 X 10−30 Cm

Calculo el potencial eléctrico:

V=(Kρcos ө

r2 )V=(9 X 10

9 N m2

C2 )( ( 4.9 X 10−30Cm )(cos ө)

(5.2 X 10−8 m )2 )V=1.629 X 10−5 Joule

C

40


CAPACITANCIA

45.- Dos capacitores de 9 MF y 5 MF se conectan en serie y se les aplica un V=46 Volts.

A) ¿Cuál es la capacitancia equivalente?

B) ¿Cuál es la diferencia de potencial en cada capacitor?

C) ¿y si se conecta en paralelo?

Datos:

C1=9 MF

C2=5 MF

V=46 Volts.

Solución:

A)

1Ceq

= 1C1

+ 1C2

= 19 MF

+ 15 MF

1Ceq

=0.3111 MF

C eq=3.2143 MF

B)

q = ¿?

q=C1V =(3.2143 MF ) ( 46Volts )=147.85 MC

V 1=q

C1

=147.85 MC9 MF

=16.28Volts

V 2=q

C2

=147.85 MC5 MF

=29.57 Volts

41


C)

C eq=C1+C2=9 MF+5 MF=14 MF

q1=C1V= (9 MF ) ( 46Volts )=414 MF

q2=C2V= (5 MF ) (46 Volts )=230 MF

46.-Un capacitor cilíndrico formado por un alambre y un tubo de largo 55 cm tiene una capacitancia de 3.9 nanoFaraday, si el radio del alambre es de 40 mm. ¿Cuál es el radio interno requerido para el tubo?

Datos:

C=9 MF

r ena=0.04 m

L=0.55m

R enb=¿?

Solución:

C=2 ᴫ E0 L

ln b+ ln a

ln b+ ln a=2 ᴫ E0 L

C

ln ( ba )=2 ᴫ E0 L

C

( ba )=e

2 ᴫ E 0 LC

b=(e2 ᴫE 0 L/C ) (a )=(e (2 ᴫ )(8.85 X1 0−12 N m2

C )( 0.55m ) /3.9 X10−9 F)( 0.04 m )

b=0.04031 m

42


47.- Los conductores de un capacitor de 83 MF tienen una carga en cada conductor de 70 MF (de signos contrarios) ¿Cuál es la diferencia de potencial?

Datos:

C=83 MF

q=70 MF

Solución:

C= qV

V= qC

= 70 X 10−6 C

83 X 10−6 CV

=0.84 V

48.- Dos cascarones esfericos concentricos forman un capacito de 4 Nf. Si el radio externo del cascaron menor es de 42 cm ¿Cuál es el valor del radio interior del cascaron mayor?

Datos:

C=4 nF

r ena=42 cm

E0=8.85 X 10−12 N m2

C

Solución:

C=4 ᴫ E0 ab

b−a; b−a=

4 ᴫ E0 ab

C

b−4 ᴫ E0 ab

C=a;b (1−4 ᴫ E0 a

C )=a

b= a

1−4 ᴫE0 a

C

= 42 X 10−2 m

1−4 ᴫ (8.85 X 1 0−12 N m2

C ) ( 42 X 10−2m )

4 X 10−9 CV

=0.4249 m

b=42.49 cm

43


49.- Analizar el circuito mostrado en la figura y encontrar q3.

Datos:

C1=5 MF

C2=10 MF

C3=2 MF

V=60V

q3=¿ ?

Solución:

1.-

1C1,2

= 1C1

+ 1C2

= 15 MF

+ 110 MF

=0.3 MF

C1,2=3.333 MF=3.333 X 10−6 F

2.-

C1,2≪1,2≪3=3.333 X 1 0−6 F+3.333 X 10−6 F+2 X 10−6 F=8.66 X 10−6 F

3.-

C2≪2=10 X 10−6 F+10 X 1 0−6 F=20 X 1 0−6 F

Determino C eq :

1Ceq

= 1C1,2≪1,2≪3,2≪2

= 1C1,2≪1,2≪3

+ 1C2≪2

= 1

8.66 X 1 0−6 F+ 1

20 X 10−6 F

1Ceq

=165473.4411;Ceq=6.04 X 1 0−6 F

Determino qeq para posteriormente V y q3 :

C= qV

;qeq=CV = (6.04 X 1 0−6 F ) (60 V )=3.62 X 1 0−4 C

V= qC

=3.62 X 1 0−4 C8.66 X 1 0−6 F

=41.80 V

q3=VC=(41.80 V ) (2 X 10−6 F )=8.5 X 10−5 F

44


CORRIENTE ELÉCTRICA

LEY DE OHM

50.- Calcula la resistencia a 20ºC de un alambre de tungsteno de longitud 120 m y radio de la sección transversal de 0.15 cm.

Solución:

A=ᴫr 2=ᴫ (0.15 X 10−2m )=7 X 10−6 m

R=ρlA

=(5.25 X 10¿¿−8)(120 m)

7 X 10−6 m=0.9 Ω¿

51.- ¿Cuál es el diámetro de un alambre de aluminio que tiene una resistencia por unidad de

longitud de 5.4 X 10−3 Ωm

a 20ºC?

Solución:

R=ρlA

;Rl= ρ

A

A= ρRl

=2.75 X 10−8Ωm

5.4 X 10−3 Ωm

=5 X 10−6 m2

A=ᴫr 2;r=√ Aᴫ=1.26 X 10−3m

D=2r=2 ( 1.26 X 10−3 m)=2.52 X 10−3 m

52.- Encuentre la resistencia equivalente entre los puntos D y E.

45


Solución:

R1=R2=4 Ω

R3=2.5Ω

R1 ¿/¿2=4Ω(4 Ω)(4+4 )Ω

=2Ω¿

Req=2Ω+2.5 Ω=4.5 Ω

53.- Encuentre la resistencia equivalente entre los puntos si R= 5Ω

A) F y HB) F y G

Solución:

A)

R1 R=5+5=10 Ω

Req , F , H= 11

10+

15+

110

=2.5 Ω

B)

R1 R=5+5=10 Ω

R1 R /¿ R=10 Ω (5Ω )(10+5 )Ω

=3.33Ω

(R¿¿1 R/¿ R) ,R=(3.33+5)Ω=8.33Ω¿

((R¿¿1R /¿R) , R)/¿R=8.33Ω (5 Ω )

(8.33+5 )¿

46


Req , F ,G=3.12 Ω

54.- Cuatro resistores de 18Ω estan conectados en paralelo a una batería ideal de 25V ¿Cuál es la corriente que pasa por la batería?

Solución:

Req=1

118

+1

18+

118

+1

18

=4.5 Ω

V=RI ;I=VR

= 25 V4.5 Ω

=5.56 A

LEY DE KIRCHOFT

∑ i entrada=∑ i salida

∑ ∆ V=0

i

47


55.- Ejercicio.

Solución:

Malla 1 en el sentido de las manecillas del reloj.

−E1+R1 i1+E2−R2i2=0

Malla 2 en el sentido de las manecillas del reloj:

−E2+R2 i2−E3−R3i3=0

Malla total:

−E1+R1 i1−E3+R3 i3=0

56.- Ejercicio:

48


Solución:

1 ……−9i1−i2+9=0

2 ……−8−2 i3+ i2=0

3 ……i1=i3+ i2

Sustituyo 3 en 1:

−9 (i3+i2 )−i2+9=0

-9i3−9 i2−i2+9=0

−10 i2−9 i3+9=0 ……1 ´

i2−2 i3−8=0……2´

De 2´:

i2=2 i3+8……2´ ´

2´´ en 1´:

−10(2 i¿¿3+8)−9i3+9=0¿

−20 i3−80−9 i3+9=0

129 i3−71=0

i3=71

−29=−2.44 A

i2=2 (−2.44 )+8=3.12 A

i1=(3.12−2.44 ) A=0.68 A

57.-Encuentre

Corriente en R1

Corriente en R2

Diferencia potencial de los puntos a y b.

49


R1=100 Ω

R2=50 Ω

∈1=6V

∈2=5V

∈3=4 V

Para R1

−i1 R1+∈2=0

−i1=−∈2

R1

= −5100

=−0.05

i1=0.05 A

Para R2

−∈2−∈3+i2 R2+∈1=0

i2=−∈1+∈3+∈2

R2

=−6+4+550

= 350

=0.06 A

V A−∈1−i2 R2=V

V A−V b=∈1+i2 R2

V A−V b=6+(0.06 ) (50 )=9V

BIBLIOGRAFÍA:

50


Halliday, D. Resnick, R. krane, K. (1994). Física (3ª Ed.) Volumen 2, México: CECSA

Raymond, A., Serway, R.A. (1992). Física (3ª Ed.) Tomo II, México: McGraw Hill.

problemas de electromagnetismo

Documents