problemas resueltos pl

5/13/2018 Problemas Resueltos PL - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/problemas-resueltos-pl 1/46

27/02/12 Problemas Resueltos PL

Re~resara laPd~inaPrincipal

Problemas resueltos de Programacion Lineal

Objetivos:

• Entender la idea de la Proqrarnacion lineal y sus aplicaciones a problemas practices.

• Plantear problemas de proqrarnaclon lineal en dos variables.

• Conocer los pasos a seguir para resolver problemas de proqrarnaclon lineal en dos

variables.

• Discutir la soluclon optima de un problema de proqrarnaclon lineal.

En los siglos XVII YXVIII, grandes maternaticos, como Newton, Leibnitz, Bernoulli y, sobre tod

Lagrange, que tanto habian contribuido al desarrollo del calculo infinitesimal, se ocuparon

obtener rnaximos y mfnimos condicionados de determinadas funciones.

Posteriormente, el maternatico frances Jean Baptiste-Joseph Fourier (1768-1830) fue el prime

en intuir, aunque de forma imprecisa, los metodos de 1 0 que actualmente lIamamos proqrarnaci

lineal y la potencialidad que de ellos se deriva.

Si exceptuamos al maternatlco Gaspar Monge (1746-1818), quien en 1 776 se lntereso

problemas de este genero, debemos remontarnos al afio 1 939 para encontrar nuevos estudrelacionados con los metodos de la actual proqrarnacion lineal. En ese ano, el maternatlco ru

Leonid Vitalevich Kantorovitch publica una extensa monografia titulada Metodos metemeticos

organizacion y planificacion de la produccion en la que por primera vez se hace corresponder

una extensa gama de problemas una teorfa rnatematlca precisa y bien definida, lIamada hoy

dia proqrarnacion lineal.

En 1941-1942 se formula por primera vez el problema de transporte, estudia

independientemente por Koopmans y por Kantorovitch, razon por la cual se suele conocer con

nombre de problema de Koopmans-Kantorovftch.

Tres aros mas tarde, G. Stigler plantea otro problema particular conocido con el nombre

regimen alimenticio optimal.

En los anos posteriores a la Segunda Guerra Mundial, en Estados Unidos se asumio que la efic

coordlnaclon de todas las energias y recursos de la naclon era un problema de tal complejida

que su resoluclon y sirnplificacion pasaba necesariamente por los modelos de optlrnlzaclon q

resuelve la proqrarnacion lineal.

Paralelamente a los hechos descritos se desarrollan las tecnicas de cornputaclon y

www.investigacion-operaciones.com/Problemas_Resueltos_PL.htm

http://www.investigacion-operaciones.com/Problemas_Resueltos_PL.htm





ordenadores, instrumentos que harian posible la resolucion y simplificacion de los problemas q

se estaban gestando.

En 1947, G. B. Dantzig formula, en terminos rnaternatlcos muy precisos, el enunciado estandar

que cabe reducir todo problema de proqrarnaclon lineal. Dantzig, junto con una serie

investigadores del United States Departament of Air Force, formarian el grupo que dio

denominarse SCOOP (Scientific Computation of Optimum Programs).

Respecto al rnetodo simplex, que estudiaremos despues, senalaremos que su estudio cornenen 1951 y fue desarrollado por Dantzig en el United States Bureau of Standards SEA

COMPUTER, ayudandose de varios modelos de ordenador de la firma International Busine

Machines (IBM).

Los fundamentos rnaternatlcos de la proqrarnaclon lineal se deben al rnaternatlco norteamerica

de origen hungaro John (Janos) Von Neumann (1903-1957), quien en 1928 publico su famo

trabajo Teoria de juegos. En 1947 conjetura la equivalencia de los problemas de proqrarnacl

lineal y la teoria de matrices desarrollada en sus trabajos. La influencia de este respeta

rnaternatlco, discipulo de David Hilbert en Gotinga y, desde 1 930, catedratlco de la Universid

de Princeton de Estados Unidos, hace que otros investigadores se interesaran paulatinamenpor el desarrollo riguroso de esta disciplina.

EN ESTE TEMA TRA TAREMOS LOS SIGUIENTES CONTENIDOS:

1.} Desigualdades.

2.) Inecuaciones lineales con una incognita y sistemas de inecuaciones lineales con una

incognita.

3.) Inecuaciones lineales con dos incognitas y sistemas de inecuaciones con dos incognitas.

4.) Puntos optlrnos de funciones lineales en conjuntos convexos.

5.) Problemas de proqrarnaclon lineal con dos variables.

1. Desigualda des.

Dado que el conjunto de los numeros reales Res totalmente ordenado, dados dos nume

reales a y b, siempre es cierta alguna de las tres relaciones siguientes:

a<b 6 a>b 6 a=b

Las dos primeras se lIaman desigualdades.

Entre las desigualdades numericas se cumplen las tres transformaciones de equivalen

siguientes:

a. Si a los dos miembros de una desigualdad se les suma un mismo numero, la desigualdad

se conserva en el mismo sentido, es decir:







e c bes e+c c b+c

a >b=>a+c >b+c VCER

b. Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican 0 dividen por un mismo numero

positlvo, la desigualdad conserva el sentido, es decir:

51 cER+

a<b=> ac

<bc

a > b=> ac > bc

c. Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican 0dividen por un mismo numero

negativo, la desigualdad cambia de sentido, es decir:

51 cER-

a < b=> ac > bc

a > b=> ac < bc

d. Dados cuatro numero reales a, b, c y d cualesquiera, se cumple la compatibilidad de laordenaci6n con la suma, es decir:

a < b } -s a+c c d+dc<d

e. Dados dos numeros reales, si el primero es menor que el segundo, el inverso del primero

es mayor que el del segundo yviceversa, es decir:

1 1a<b=>->-

ab

f Si un numero real es menor que otro, con los opuestos de ambos la desigualdad cambia

sentido, es decir:

a < b=> -a >-b

2. Inecuaciones lineales con una incOgnita y sistemas de inecuaciones lineales con una

incOgnita.

Se llama lnecuaclen lineal con una incognita a una expresi6n de cualquiera de los cuatro tip

siguientes:

ax +b >0

ax +b < 0

ax +b 20

ax +b i O donde a > < ! O a,bE R

Cualquiera de los cuatro tipos de inecuaciones definidos anteriormente, admite, tras la aplicaci







de las transformaciones de equivalencia vistas en el apartado primero, una de las formas:

x < k

x > k

x s . k

x2:.k

Lo que indica que las inecuaciones lineales con una inc6gnita admiten un numero infinitosoluci6n que suelen expresarse en forma de intervalo de numeros reales.

Eiemplo:

Resolver la inecuaci6n:

2x+2-5- -(x -1) 2:.2(x-3)

Procedemos igual que si de una ecuaci6n se tratase.

• Eliminamos parentesls:

2x+2----x+1 > 2x-65 -

• Eliminamos denominadores, multiplicando ambos miembros porel m.c.m. de todos ellos:

2x+2-5x+12:.10x-30

• Trasponemos los terminos:

2x -5x -10x 2 : . -30-2-1

• Reducimos termlnos semejantes:

-13x 2 : . -33

• Despejamos la inc6gnita multiplicando ambos miembros por el inverse de su coeficiente

(ojo, si es negativo habra que cambiar el sentido a la desigualdad):

-33 33x s . - - : : : : }x S . -

-13 13

La seluci6n es el intervale cerrade per la derecha ]-~, ~~]. Es cerrade per la derec

pues el signo usado ha side menor 0 igual, si hubiese side 5610menor, seria abierto.







EI conjunto formado por dos 0 mas inecuaciones lineales con una inc6gnita se lla

sistema de inecuaciones lineales con una incognita.

La soluci6n de un sistema de este tipo es un conjunto de numeros reales que satisfag

simullaneamente todas y cada una de las desigualdades. La soluci6n suele expresarse

forma de intervalo lIevando cuidado de expresar correctamente si es abierto 0 cerra

sequn el signo de desigualdad utilizado.

Eiemplo:

3X+1S.4 }2x+3 >7

Resuelve el sistema x -1 > 3

De la primera inecuaci6n se obtiene que:

4 -1x S.-~ x s.1~ X E]-m ,1 ]

3

De la segunda:

7-3x >-2-~ x > 2 ~XE ]2 ,+m (

De la tercera:

x >3 +1~ x >4~ XE ]4 ,+m [

La soluci6n del sistema es la intersecci6n de los tres intervalos obtenidos:

]- m , 1 ]n ]2 ,+m [n ]4 ,+m ( = ? ya que no existe ningun numero real que pueda ser al mism

tiempo menor 0 igual que 1, mayor que 2 y mayor que 4. Vearnoslo en el siguiente dibu

donde aparece pintado en rojo la soluci6n de la 1*, en verde la de la 2* yen azulla de la 3

-1 o 2 3 4 5 6

3. Inecuaciones lineales con dos incognitas y sistemas de inecuaciones c

dos incognitas.

Una inecuaci6n lineal con dos inc6gnitas es unaexpresi6n de alguna de las formas siguientes:






27/02/12

ax +by+c < 0ax +by+c >0

ax +by+c sO

ax +by+c 20

Problemas Resueltos PL

Las inecuaciones lineales con dos inc6gnitas se resuelven graficamente ya que las solucion

son los puntos del semiplano en el que queda dividido el plano por la recta que corresponde a

inecuaci6n considerado como igualdad. Esta recta 0 borde del semiplano no pertenecera 0 sf asoluci6n sequn la desigualdad sea estricta 0 no respectivamente. Para saber cual de los d

semiplanos es el que da la soluclon bastara tomar el origen de coordenadas (si la rec

no pasa por el) 0cualquier otro punta de coordenadas sencillas y comprobar si satisfa

o no la desigualdad, si 10 hace, el semiplano que contiene al punta de prueba es

correcto (1 0 indicaremos con una flecha seiialando hacia el), en caso contrario es el otr

Eiemplo:

Resuelve la inecuaci6n 3x+2y+5<0

Dibujamos la recta 3x+2y+5=0 sobre unos ejes de coordenadas ycomprobamos el punta 0(0,

que da:

3 .0 +2 .0 +5 < 0 ::::}5 < 0 fa/so

Luego la soluci6n es la zona sombreada de la figura adjunta.

2

Se llama sistema de n inecuaciones lineales con dos incognitas al conjunto formado po

de estas inecuaciones, es decir:







a1X + ~ Y + C1 < 0

a2x+b2y +C2 >0

anx+bny +c, ~O 0cualquierotro signo de desigualdad.

Obtener la solucion de un sistema de este tipo supone obtener el semi plano solucion de cada ude las inecuaciones que 1 0 forman y averiguar la lnterseccion de todos ellos.

La soluelon de un sistema de n inecuaciones lineales con dos incognitas es siempre un conju

convexo.

Se llama conjunto convexo a una region del plano tal que para dos puntos cualesquiera de

misma, el segmento que los une esta integramente contenido en dicha region. Como cas

particulares, un conjunto convexo puede quedar reducido a una recta, a una semirrecta, a

segmento, a un punta0al conjunto vacio.

Los segmentos que delimitan un conjunto convexo se lIaman bordes 0 lados y, la lntersecclon

ellos, vertices. Los vertices y puntos de los lados que pertenezcan a la solucion del sistema

inecuaciones se denominan puntos extremos. Un conjunto convexo puede ser cerrado 0 abie

respecto a cada lade 0 vertice segun se incluya este 0 no en la soluclon. Puede ser acotado 0

acotado sequn su area sea 0 no finita.

Ejemp/o:

Resolver el sistema de inecuaciones lineales con dos incognitas:

x+y-1~0 }

2x+3y+4>0

x-2y-2 <0







Si representamos en los mismos ejes de coordenadas cada

una de las rectas que salen al considerar las anteriores

desigualdades como ecuaciones e indicamos mediante una

flecha el semiplano soluelon de cada una de elias por

separado, la soluelon sera la region del plano sombreada en

la figura que es la lrterseccion de los semiplanos solucion de

cada lnecuaclon, Para la representaclon raplda de las rectas,

basta con encontrar los puntas donde cortan a los ejes de

coordenadas y unirlos entres si.

La recta:

x+y-1 =0 corta al eje X (hacemos y=0) en (1, 0) Y al eje Y

(hacemos x=0) en (0,1)

La recta :

( 0 _ 4 )2x+3y+4=0 corta a X en (-2, 0) yaY en '3

La recta:

x-2y-2=0 corta a X en (2,0) ya Yen (0, -1).

4

4. Puntos 6ptimos de funciones en conjuntos convexos.

Se define una funclon lineal con dos variables como una expreslon de la forma f(x, y) = a

by.

Ha de observarse que para cada valor de "c", el lugar geometrico de los puntas cuy

coordenadas (x, y) verifican f(x, y) = c es la recta de ecuaclon ax+by=c. AI variar "c",

obtiene rectas paralelas tales que todas tiene la misma pendiente -alb y cortan al eje Yen

punta (0, c/b).

Si los valores de x e y no estan acotados, tampoco 1 0 estara f(x, y), en cambio, si est

restringidos a un cierto conjunto C, la funcion no podra tomar cualquier valor. Se pue

entonces hablar de valores maximo 0minima (valores optirnos) de f(x, y) en C.

Se cumple el siguiente teorema: "Si una funclen lineal f(x, y)=ax+by tiene maximo

minimo en un conjunto C convexo, toma este valor optimo en un punta extreme",







En efecto, si el valor c fuera optirno y correspondiera a un punta (x, y) interior al conju

convexo C, siempre se podrian encontrar dos recta paralelas a ax+by+c=O, en las cuales

y) tomaria valores mayores 0 menores que c y no podria ser c maximo 0 minimo. Lue

estos valores solo pueden presentarse en los puntos extremos.

Usando este teorema, para encontrar los puntos optimos de f(x, y) en el conjunto convexo

podemos proceder de dos formas:

a. Estudiar los valores de la funclon en los vertices (si su numero es reducido) ydecidir

en cual de ellos hay maximo 0minimo. Tengamos en cuenta que si la funcion toma el mism

valor en dos vertices consecutivos, tarnbien toma ese valor en todos los puntos del

segmento que une esos dos vertices.

b. Representar las funcion en una grafica para un valor cualquiera de c (se suele toma

c=O)y obtener, por simple lnspecclon, desplazando la recta dibujada paralelamente a sl

misma el punta optlrno, Este procedimiento, por ser grafico es mas impreciso a no ser qu

realicemos el dibujo con mucha precision. Nosotros utilizaremos el rnetodo a) salvo que e

numero de vertices sea muyelevado.

Ejemp/o:

Hallar el maximo y minima de la funclon f(x, y) = x-yen el recinto convexo solucion

sistema de inecuaciones del ultimo ejemplo.

Dado que la grafica ya la tenemos (Ia reproducimos aqui poniendo nombre a los vertices

recinto que solo son dos A y B pues el conjunto soluclon es abierto y no acotado):

4

'-------------------' EI punta A es la soluclon del sistema de ecuaciones







2x +3y = -4 }=> 2x +3y = -4 }=>X -2y =2 2x-4y =4

8 16 2=> 7y =-8 => Y =-_ => X =2 -_ =-_

7 7 7

A(_2 _ 8 )luego 7' 7

EI punta B es la soluci6n de:

X+y=1} 1=> 3y = -1 => Y = -_ =>x-2y =2 3

1 4=>x=1+-=-

3 3

B(4 _ ! )siendo, pues 3' 3

Los valores de la funci6n en ambos vertices son:

286f(A)=--+-=-

777

415f(B) =- +_ =_

3 3 3luego f(A) < f(B)

La funci6n presenta un maximo en el punta B pero no hay ningun valor minima al no ser el reci

acotado (Iuego veremos la discusi6n de estos problemas).

Cabe preguntarse ahora: i,Siempre hay punta maximo 0 minimo de una funci6n lineal

dos variables en un recinto convexo?

La respuesta es que la soluci6n puede ser unica. Infinitas 0 ninguna. Veamos los casos q

pueden darse:

• Si el recinto es cerrado existe una soluci6n unica para el maximo y otra para el minima en

alguno de los vertices si en todos ellos la funci6n toma valores distintos.

• Si es cerrado pero hay dos vertices consecutivos en los que la funci6n toma el mismo valo

(y ese valor es por ejemplo maximo), entonces toma el mismo valor en todos los puntos d

segmento que une ambos vertices, luego la funci6n infinitos rnaximos y un minimo. AI

contrario sucederia si el valor comun de los dos vertices fuese minimo, habiendo entonces

infinitos minimos y unmaximo.







• Si el recinto convexo no esta acotado superiormente, no existe maximo aunque si minimo

• Si el recinto convexo no esta acotado inferiormente, no existe minima aunque si maximo.

5. Problemas de programacion lineal con dos variables.

Un problema de programaci6n lineal con dos variables tiene por finalidad optimiz

(maximizar 0minimizar) una funci6n lineal:

f(x,Y) =ax + by

lIamada funci6n objetivo, sujeta a una serie de restricciones presentadas en forma

sistema de inecuaciones con dos inc6gnitas de la forma:

a1x +~y iC1

a2x +b2y sc2

cada desigualdad del sistema de restricciones determina un semiplano. EI conju

intersecci6n de todos esos semi pianos recibe el nombre de zona de soluciones factible

EI conjunto de los vertices del recinto se denomina conjunto de soluciones factibl

baslcas y el vertice donde se presenta la soluci6n 6ptima se llama soluci6n maxima

minima sequn el caso). EI valor que toma la funci6n objetivo en el vertlce de soluci6n 6ptim

se llama valor del programa lineal.

EI procedimiento a seguir para resolver un problema de programaci6n lineal en d

variables sera, pues:

1 . Elegir las inc6gnitas.

2. Escribir la funci6n objetivo en funci6n de los datos del problema.

3. Escribir las restricciones en forma de sistema de inecuaciones.

4. Averiguar el conjunto de soluciones factibles representando graficamente las restricciones

5. Calcular las coordenadas de los vertices del recinto de soluciones factibles (si son pocos)

6. Calcular el valor de la funci6n objetivo en cada uno de los vertices para ver en cual de ello

presenta el valor maximo 0minimo sequn nos pida el problema (hay que tener en cuenta






27/02/12

aqui la posible no existencia de soluci6n si el recinto no es acotado).


Veamos a continuaci6n una colecci6n de ejemplos resueltos:

PROBLEMA #1 Minimizar la funci6n f(x, y)=2x+8y sometida a las restricciones:

x 20

y 20

2x +4y 28

2x -5y s.0

-x+5ys.5

Llamando, respectivamente r, s yt a las rectas expresadas en las tres ultimas restriccione

la zona de soluciones factibles seria:

-1 0

Siendo los vertices:

A intersecci6n de r y t :

2x +4y = 8 } ( 1 0 9 )>A -,-

-x+5y=5 77

B intersecci6n de s y t:

2x -5y = O } ( )= > B 5,2

-x+5y=5


1 0






C intersecci6n de r y s:

2x +4y = 8} ( 20 8)::::}C -,-3x -5y = 0 9 9

Siendo los valores de la funci6n objetivo en ellos:

10 9 92f(A) = 2' - +8' - = - '" 1317 7 7 '

feB) = 2'5 +8' 2= 26

fCC) = 2· 20 +8, ~ = 104 '"115 min imo999 '

Alcanzandose el minima en el punta C.

PROBLEMA #2 Un herrero con 80 kgs. de acero y 120 kgs. de aluminio quiere hacer biciclet

de paseo y de montana que quiere vender, respectivamente a 20.000 y 15.000 Bolivares ca

una para sacar el maximo beneficio. Para la de paseo ernpleara 1 kg. De acero y 3 kgs

aluminio, y para la de montana 2 kgs. de ambos metales. l,CUantas bicicletas de paseo y

montana vendera?

Sean las variables de decisi6n:

x= n: de bicicletas de paseo vendidas.

y= n: de bicicletas de montana vendidas.

Tabla de material empleado:

I Acero Aluminio

Pacon 1 3

Montana 2 2

Funci6n objetivo:

f(x, y)= 20.000x+15.000y maxima.

Restricciones:

x 20

y 20

r = = 3x +2y .i120

s = = x +2y .i80







100

('C50

~ : c : : : :('C..,

0: c : : : :0

150E

-50

-100r

paseo

factibles:

A ( O , 40)

C(40,0)

..___---------------------------' Zona de solucion

Vertices del recinto (soluciones basicas):

B intersecci6n de r y s:

3x +2y = 120}

::::}B(20,30)x +2y =80

Valores de la funci6n objetivo en los vertices:

f (A) = 15000 . 40 = 600000

f (B) = 20000 . 20 +15 ·30 = 850000 m ax imo

f(C) = 20000 . 40 = 800000

Ha de vender 20 bicicletas de paseo y 30 de montana para obtener un beneficia maximo

850.000 Bolivares.

PROBLEMA #3 Un autobus Caracas-Maracaibo ofrece plazas para fumadores al precio

10.000 Bolivares ya no fumadores al precio de 6.000 Bolivares. AI no fumador se Ie deja lIevar

kgs. de peso yal fumador 20 kgs. Si el autobus tiene 90 plazas yadmite un equipaje de ha

3.000 kg. l,Cual ha de ser la oferta de plazas de la compana para cada tipo de pasajeros, con

finalidad de optimizara el beneficio?






27/02/12

Sean las variables de decision:


x= n: de plazas de fumadores.

y= n: de plazas de no fumadores.

La Funcion objetivo:

f(x, y)=10.000x+6.000y maxima

Restricciones:

x 20

y 20

r ==x +y i90

s = = lOx +50y s3000::::} lx +5y s300

Zona de soluciones factibles:

Vertices:

A (O , 60 )

100

l...

o"Cr o

50

E

:: J

o

oI::

-50

- 1 0 0

fum adores

200

r

lntersecclon de r y s:


B





27/02/12

X + Y =90 }=> B(50,40)

2x +5y = 300


C(90,0)

Valores de la funcion objetivo:

f (A) = 6000 . 60 = 360000

f(B) = 10000' 50 +6000' 40 = 740000

f(C) = 10000' 90 = 900000 maximo

Ha de vender 90 plazas para fumadores y ninguna para no fumadores y asl obtener un benefic

maximo de 900.000 bolivares.

PROBLEMA #4 A una persona Ie tocan 10 millones de bolivares en una loteria y Ie aconsejan q

las invierta en dos tipos de acciones, A y B. Las de tipo A tienen mas riesgo pero producen

beneficia del 10 %. Las de tipo B son mas seguras, pero producen solo e17% anual. Despues

varias deliberaciones decide invertir como maximo 6 millones en la compra de acciones A y

10menos, 2 millones en la compra de acciones B. Adernas, decide que 10invertido en A sea,

10menos, igual a 10 invertido en B. ~Como debera invertir 10 millones para que Ie beneficio an

sea maximo?


x= cantidad invertida en acciones A

y= cantidad invertida en acciones B

La funcion objetivo es:

Y las restricciones son:

x 20 y 20

x + y .i10

x .i6

y 22

x 2y

La zona de soluciones factibles es:







15

10

r

u

5

t

a

15

-5

Siendo los vertices del recinto:

A intersecci6n de u,t:

x = y } = > A(2,2)y =2

B intersecci6n de r,u:

x + Y = 1 0 }x = y = > B(5,5)

C intersecci6n de r,s:

x +Y = l O }x = 6 = > C(6,4)

D intersecci6n de s,t:

La funci6n objetivo toma en ellos los valores:







f(A) = 20 + 14 = 34 =034 millones

100 100 100 '

f(B) = 50 + 35 = 85 =085 millones

100 100 100 '

f(C) = 60 + 28 = 88 =088 millones m ax imo100 100 100 '

f(D) = 60 + 14 = 74 =0 74 millones

100 100 100 '

Siendo la soluci6n 6ptima invertir 6 millones de bolivares en acciones tipo A y 4 millones

acciones tipo B

PROBLEMA #5 Un estudiante dedica parte de su tiempo al reparto de propaganda publicitar

La empresa A Ie paga 5 Bs .. por cada impreso repartido y la empresa B, con folletos m

grandes, Ie paga 7 Bs. por impreso. EI estudiante lIeva dos bolsas: una para los impresos A, en

que caben 120 y otra para los impresos B, en la que caben 100. Ha calculado que cada dia

capaz de repartir 150 impresos como maximo. Lo que se pregunta el estudiante es: l,CUan

impresos habra que repartir de cada clase para que su beneficio diario sea maximo?


x= n: de impresos diarios tipo A repartidos.

y= n: de impresos diarios tipo B repartidos.

La funci6n objetivo es:

f(x, y)=5x+7y

Las restricciones:

x 20

y 20

r = = x s.120

s = = y s.100

t = = x +y s.150








200

O J 150tJ) s0 100tJ)

aJ i10 -50Co

E0

50 100 150t

200-50r

im pre sos A

Vertices:

A ( O, 100)

B intersecci6n de s,t:

y =100 }::::}B(50,100)

x + y =150

C intersecci6n de r,t:

x = 120 }::::}C(120,30)

x + y =150

D (120,0)

Siendo los valores de la funci6n objetivo:

f(A) = 7'100 = 700

feB) = 5' 50 + 7'100 = 950 m a x imo

fCC) =5,120 +7·30 =810

feD) = 5 ·120 = 600

Debe repartir 50 impresos tipo A y 100 tipo B para una ganancia maxima diaria de 950 bolivare

PROBLEMA #6 Un comerciante acude al mercado popular a comprar naranjas con 50.000







Le ofrecen dos tipos de naranjas: las de tipo A a 50 Bs el kg. y las de tipo B a 80 Bs. el

Sabiendo que solo dispone de su camioneta con espacio para transportar 700 kg. de naran

como maximo y que piensa vender el kg. de naranjas tipo A a 58 ptas. y el kg. de tipo B a

ptas., contestar justificando las respuestas:

a. (,Cuantos kg. de naranjas de cada tipo debera comprar para obtener maximo beneficio?

b. ~Cual sera ese beneficio maximo?


x= kg. de naranjas tipo A comprados.

y= kg. de naranjas tipo B comprados.

La funcion objetivo que da el beneficio es:

f(x,y) = (58 -50)x + (90 -80)y = 8x + lOy

Y las restricciones:

x 20

y 20

r = = 50x + 80y ~ 50000 ::::}5x +8 ~ 5000

s ==x +y ~ 700








1000

O JtJ) 500I . ' U_iC :

I . ' U10 -

0I . ' UiC :

500 1500

-500s

naranjas A

Y los vertices:

A(O, 625)

B intersecci6n de r,s:

5x +8y = 5000}::::}B(200,500)

x + y = 700

C(700,0)

Yen ellos la funci6n objetivo toma los valores:

f(A) = 10·625 = 6250

feB) = 8·200 +10·500 = 6600 m ax imo

fCC) = 8·700 = 5600

Ha de comprar 200 kgs. de naranjas A y 500 kgs. de naranjas B para obtener un benefi

maximo de 6.600 bolivares

PROBLEMA #7 Un sastre tiene 80 m2 de tela de algod6n y 120 m2 de tela de lana. Un tr

requiere 1 m2 de algod6n y 3 m2 de lana, y un vestido de mujer requiere 2 m2 de cada una de

dos telas. Calcularel numero de trajes yvestidos que debe confeccionarel sastre para maximiz

los beneficios si un traje y un vestido se venden al mismo precio.

1. Sean las variables de decisi6n:







x= numero de trajes.

y= numero de vestidos

a= precio cornun del traje y el vestido.

Funci6n objetivo:

f(x,y) = ax; +tzy

Restricciones:

x20 y20 }

r = = x + 2y S . 80

s = = 3x +2y S . 120


100

50tJ)

0 r"'C. _ a. . ,tJ)

a) 100 150>

-50

-1 00 s

traje s

Vertices:

A(O , 4 0)

B intersecci6n de r y s:

x +2y =80 }::::}B(20,30)

3x +2y =120







C(40,O)

Los valores de la funci6n objetivo son:

f(A) = 40a

feB) = 20a +30a = 50a m ax imo

fCC) = 40a

EI maximo beneficia 1 0 obtendra fabricando 20 trajes y 30 vestidos.

PROBLEMA #8 Un constructor va a edificar dos tipos de viviendas A y B. Dispone de 6

millones de bolivares y el coste de una casa de tipo A es de 13 millones y 8 millones una

tipo B. EI numero de casas de tipo A ha de ser, al menos, del 40 % del total y el de tipo B

20 % por 1 0 menos. Si cada casa de tipo A se vende a 16 millones y cada una de tipo B

9. l,CUantas casas de cada tipo debe construir para obtener el beneficia maximo?


x= n: de viviendas construidas tipo A

y= n: de viviendas construidas tipo B.

La funci6n objetivo es:

f(x,y) = (16-13)x + (9 -Sly = 3x +y

Las restricciones son:

x2.0 y2.0

r = = 13x +Sy S . 600

(x + y)·40s = = x 2 . : : : : : > 3x - 2y 2 . 0

100

(x +y) ·20t = = Y 2 . : : : : : > x - 4y S . 0

100







200

O J150

tJ) 100C ' C S

"'C50

aJ

> 0

>-50

-1 00

La

s

t

100 150

r

viviendas A

zona de soluciones factibles queda, pues:


A lntersecclon de r,s:

13x +8y = 600}::::}A(24,36)

3x -2y =0

B interseccion de r,t:

13x +8y = 600}::::}B(40,10)

x -4y =0

C (0, 0)

Y la funcion objetivo toma los valores:

f (A) = 3 . 24 +36 = 108

f (B) = 3 ·40 + 10 = 130

Teniendo que vender 40 viviendas tipo A y 10 tipo B para obtener un beneficio maximo

130 millones de bolivares.

PROBLEMA #9 Cierta persona dispone de 10 millones como maximo para repartir en

dos tipos de inversion (A y B). En la opclon A desea invertir entre 2 y 7 millones. Aderna

quiere destinar a esa opclon, como minimo, tanta cantidad de dinero como ala B.







a. l,Que cantidades debe invertir en cada una de las dos opciones? Plantear el

problema y representar graficamente el conjunto de soluciones.

b. Sabiendo que el rendimiento de la inversion sera del9 % en la opclon A y del12 %

la B, l,Que cantidad debe invertir en cada una para optimizar el rendimiento global??

A cuanto ascendera

a) Sean las variables de decision:

x= cantidad invertida en acciones tipo A

y= cantidad invertida en acciones tipo B

Las restricciones son:

r = = x 2 2

s = = x s 7

t = = x 2 y

u = = x + y sID

Puede invertir en cada una de las dos opciones las cantidades correspondientes a cada uno

los puntas de la zona sombreada de la siguiente grafica:

15

tO J 10: c : : : :

-0

' e n 510..

Q . l i

>: c : : : : a

u 15-5

r

in ve rsi 6n A

b) La funclon de beneficios es:







9x 12xf(x,y) = 100+ 100

Y los vertices de la zona sombreada son:

A intersecci6n de r,t:

x = 2 } = > A(2,2)x=y

B intersecci6n de t,u:

x = y } = > B(5,5)x + y = 10

C intersecci6n de s,u, 0sea C(7, 3)

0(7,0)

E(2,0)

Los valores de fen esos puntas son:

f(A) = 2·9 + 2·12 = 42 =048

100 100 100 '

5·9 5 ·12 105

feB) = 100 + 100 = 100 = 1,05

f (C) = 7·9 + 3.12= 99 =099

100 100 100 '

feD ) = 7·9 =063

100 '

f(D) = 2·9 =018

100 '

maximo

Ha de invertir, pues 5 millones de bolivares en A y 5 millones en B para obtener un benefi

maximo de 1,05 millones, 0sea 1.050.000 bolivares.

PROBLEMA #10 Una refineria de petr61eo tiene dos fuentes de petr61eo crudo: crudo lige

que cuesta 35 d61ares por barril y crudo pesado a 30 d61ares el barril. Con cada barril de cru

ligero, la refineria produce 0,3 barriles de gasolina (G), 0,2 barriles de combustible pa

calefacci6n (C) y 0,3 barriles de combustible para turbinas (T), mientras que con cada barril

crudo pesado produce 0,3 barriles de G, 0,4 barriles de C y 0,2 barriles de T. La refineria

contratado el suministro de 900000 barriles de G, 800000 barriles de C y 500000 barriles de

Hallar las cantidades de crudo ligero y pesado que debe comprar para poder cubrir s






27/02/12

necesidades al costa minimo.



X= numero de barriles comprados de crudo ligero.

V= numero de barriles comprados de crudo pesado.

La tabla de producclon de cada producto con arreglo al tipo de crudo es:

0,3

T

0,2

La funcion objetivo Quehay que minimizar es:

f(x, y)=35x+30y

Las restricciones:

x2.0 y2.0

r = = 0,3x +0,3y 2 . 900000::::} x + Y 2 . 3000000

s = = 0,2x +0,4y 2 . 800000::::} x +2y 2 . 4000000

t = = 0,3x +0,2y 2 . 500000::::} 3x +2y 2 . 5000000

Via zona de soluciones factibles:







u4000000

"C( ' C I 2000000J)

Q . l i

C-O

s.u

600 000J) -2000000 I

Q . l ir_

10.. -40000000..

( ' C I t.. c

-6000000

ba rrile s c. Iige ro

Los vertices son:

A(O,3000000)


x + Y = 3000000 }::::}B (2000000 ,1000000)

x + 2y = 4000000

C(4000000,O}

Yen ellos la funci6n objetivo presenta los valores:

f (A) = 30 . 3000000 = 90000000 min imo

f (B) = 35 . 2000000 +30 . 1000000 = 100000000

f (C) = 35 ·4000000 = 140000000

Siendo la soluci6n de minima coste la compra de 3.000.000 de barriles de crudo ligero y ningu

de crudo pesado para un coste de 90.000.000 d6lares.

PROBLEMA #11 La fabrica LA MUNDIAL S.A., construye mesas y sillas de madera. EI pre

de venta al publico de una mesa es de 2.700 Bs. yel de una silla 2.100Bs. LA MUNDIAL S.

estima que fabricar una mesa supone un gasto de 1.000 Bs. de materias primas y de 1.400

de costas laborales. Fabricar una silla exige 900 Bs. de materias primas y 1.000 Bs de cos

laborales. La construcci6n de ambos tipos de muebles requiere un trabajo previo de carpinteria

un proceso final de acabado (pintura, revisi6n de las piezas fabricadas, empaquetado, etc.). Pa

fabricar una mesa se necesita 1 hora de carpinteria y 2 horas de proceso final de acabado. U

silla necesita 1 hora de carpinteria y 1 hora para el proceso de acabado. LA MUNDIAL S.A.

tiene problemas de abastecimiento de materias primas, pero 5610puede contar semanalmen







con un maximo de 80 horas de carpinteria y un maximo de 100 horas para los trabajos

acabado. Por exigencias del marcado, LA MUNDIAL S.A. fabrica, como maximo, 40 mesas a

semana. No ocurre as! con las sillas, para los que no hay ningun tipo de restricci6n en cuanto

numero de unidades fabricadas.

Determinar el numero de mesas y de sillas que semanalmente debera fabricar la empresa pa

maximizar sus beneficios.


x= n: de soldados fabricados semanalmente.

y= n: de trenes fabricados semanalmente.

La funci6n a maximizar es:

f(x,y) = (2700-1000 -1400)x + (2100-900 -lOOO)y = 300x +200y

La tabla de horas de trabajo:

Carpinteria Acabado

Soldados 1 2

Trenes 1 1

Las restricciones:

x20 y20

r ==x + y i80

s ==2x + y ilOO

t = = x i40







150

100

tJ) 50aJ i

iC : 0aJ i10..

-50 150. . . . .

-100

-150

soldados



A(O, 80)

B lntersecclon de r,s:

x + y =80 }::::}B(20,60)

2x + y = 100

C lntersecclon de s,t:

2x + y =100}::::}C(40,20)

x =40

0(40,0).

En los que la funelon objetivo vale:

f(A) = 200 ,80 = 16000

f(B) = 300 ,20 +200 ,60 =18000 m ax imo

f (C) = 300 .40 +200 .20 =16000

f(D) = 40, 300 = 12000

Debiendo fabricar 20 mesas y 60 sillas para un beneficio maximo de 18.000 Bs.

PROBLEMA#12 Una carnpafia para promocionar una marca de productos lacteos se basa

el reparto gratuito de yogures con sabor a limon 0 a fresa. Se decide repartir al menos 30.0







yogures. Cada yogurt de limon necesita para su elaboracion 0,5 gr. de un producto

fermentacion y cada yogurt de fresa necesita 0,2 gr. de ese mismo producto. Se dispone de

kgs. de ese producto para fermentacion, EI coste de producclon de un yogurt de fresa es es do

que el de un yogurt de limon. l,Cuantos yogures de cada tipo se deben producir para que el co

de la camparia sea minimo?


x= numero de yogures de limon producidos.

y= numero de yogures de fresa producidos.

a= coste de producclon de un yogurt de limon.

La funcion a minimizar es:

f(x, y)=ax+2ay

Y las restricciones:

x20 y20 }

r = = x + Y 230000

s = = 0,5x +0,2 y S . 9000 :::::}x +2y S . 90000

100000('Q

tJ)

aJ i 500000... . . .aJ i

"C0

tJ)

aJ i10..

::I -50000C'I

0

>--100000

La zona

r 60000

s

yogures de lim 6n

soluciones factibles es:


A(0,45000)

8(0,30000)






27/02/12

C lnterseccion de r y 5:


x + y =30000 }= > C(10000,20000)

5x + 2y = 90000

En los que la funcion objetivo toma los valores:

f(A) = 2a ·45000 = 90000a

f (B) = 2a . 30000 = 60000a

f (C) = a ·10000 +2a .20000 = 50000a min imo

Hay que fabricar, pues, 10.000 yogures de limon y20.000 yogures de fresa para un costa mini

de 50.000a bolivares.

PROBLEMA #13 Una fabrica de carrocerias de automoviles y camiones tiene 2 naves. En

nave A, para hacer la carroceria de un carnlon, se invierten 7 dias-operario, para fabricar la de

auto se precisan 2 dias-operario. En la nave B se invierten 3 dias-operario tanto en carrocerias

carnlon como de auto. Por limitaciones de mana de obra y maquinaria, la nave A dispone de 3dias-operario, y la nave B de 270 dias-operario. Si los beneficios que se obtienen por ca

carnlon son de 6 millones de Bs.. y de 3 millones por cada auto. ~Cuantas unidades de ca

clase se deben producir para maximizar las ganancias?


x= nurnero de camiones fabricados.

y= nurnero de autos fabricados.

La funcion a maximizar es:

f(x, y)=6x+3y

La tabla de dias-operario para cada nave es:

. . . . . . • I.lo ]..uto).V,.....,"V"I ,-

Nave A 7 2

Nave B 3 3

Las restricciones:

; ~ ~x + ~y

2

iO

300 }

s = = 3x +3y i270 = > x +y i90







200

100tJ)

Q . l i

J:

0U0

o

-100

-200

cam iones

La zona

s

100

r

soluciones factibles es:


A ( O , 90)


7x +2y =300}::::}B(24,66)

x + y =90

En los que la funci6n objetivo toma los valores:

f(A) = 3' 90 = 270

feB) = 6· 24 +3, 66 = 342 maximo

fCC) = 6' 3~0 = 257,1

Hay que fabricar 24 camiones y 66 automoviles para un beneficio maximo de 342 millones

bolivares.

PROBLEMA #14 Un pastelero fabrica dos tipos de tartas T 1 y T 2, para 1 0 que usa t

ingredientes A, By C. Dispone de 150 kgs. de A, 90 kgs. de B y 150 kgs. de C. Para fabricar u

tarta T 1 debe mezclar 1 kgs. de A, 1 kgs. de By 2 kgs. de C, mientras que para hacer una tarta

se necesitan 5 kgs. de A, 2 kgs. de By 1 kgs. de C.







a. Si se venden las tartas T1 a 1.000 bolivares la unidad y las T2 a 2.300 bolivares. l.Que

cantidad debe fabricar de cada clase para maxi mizar sus ingresos?

b. Si se fija el precio de una tarta del tipo T1 en 1.500 Bs. l.Cual sera el precio de una tarta d

tipo T2 si una soluclon optima es fabricar 60 tartas del tipo T1 y 15 del tipo T2?

a) Sean las variables de decision:

x= numero de tartas T1

y= numero de tartas T2

La funcion objetivo es:

f(x , y)= 1 OOO x+ 2 30 0 y

La tabla de contingencia es:

I Ingrediente A Ingrediente B Ingrediente C II T a r t a T 1 1 1 2

II T a r t a T

25 2 1

I

Restricciones:

x20 y20

r ==X +5y ~150

s ==X +2y ~90

t = = 2x +y ~150







27/02/12

200

1 50

t- 1 00

e n

r o

50-':10 -

r o+-' 0

-50

-1 00


1 50

A (O , 3 0)

B intersecci6n de r.s:

ta rta s T 1

x +5y =150}::::}B(50,20)

x +2y =90

C intersecci6n de s,t:

x +2y =90 }::::}C(70,10)

2x + y = 150

D (75,0)

Valores de la funci6n objetivo:

f(A) = 2300' 30 = 69000

f (B) = 1000 .50 +2300 .20 = 96000 m a x imo

f(C) = 1000' 70 +2300 '10 = 93000

f(D) = 1000· 75 = 75000

Hay que fabricar 50 tartas T1y 20 tartas T2 para un beneficio maximo de 96.000 Bs.

b) Llamemos ahora p al nuevo precio de la tarta T2. La funci6n objetivo es entonces:

f(x, y)=1500x+py

Siendo iguales las restricciones.


Vertices:






Si una soluci6n 6ptima consiste en fabricar 60 tartas T1Y15 T2, se tendra que:

f(60, 15)=f(p)=1500.60+15p es maximo"? 90000 +15p m a x imo

Para los puntos A, B, C YD anteriores:

f(A) =30p

f(B) = 1500 ·50 + 20p = 75000 + 20pf (C) = 1500 . 70 + 10p = 105000 +10p

f(D) = 1500·75 = 112500

Se ha de cumplir, el el punta (60, 15) ha de ser maximo que:

90000 + 15p 2 . 105000 + 10p ::::}5p 2 . 15000 ::::}P 2 . 3000

EI menor valor que cumple esta condici6n es p=3000 Bs. y con el el beneficia seria:

90000 + 1 5 · 30 00 = 135000 Bolivares

PROBLEMA #15 Una fabrica produce chaquetas y pantalones. Tres rnaquinas (de cortar, cos

y teriir) se emplean en la producci6n. Fabricar una chaqueta representa emplear la rnaquina

cortar una hora, la de coser tres horas y la de teriir una hora; fabricar unos pantalones represen

usar la rnaquina de cortar una hora, la de coser una hora y la de teriir ninguna. La rnaquina de te

se puede usara durante tres horas, la de coser doce y la de cortar 7. Todo 1 0 que se fabrica

vendido y se obtiene un beneficio de ocho euros por cada chaqueta y de cinco por cada pantal

?C6mo empleariamos las maquinas para conseguir el beneficio maximo?

Sean las Variables de decisi6n:

x= numero de chaquetas fabricadas.

y= numero de pantalones fabricados.

Funci6n objetivo:

f(x,y) =8x + 5y

Tabla de uso de las maquinas:

Cortar I Coser I Tenir

Chaqueta 1 3 1

Pantal6n 1 1 -

Restricciones:







x20 y20

r==xs.3

s = = 3x + y s . 1 2i==x+ys.7


20

fIJ10

aJ i

: c : :0

- 0I . " ' : S. . . . .

tc : : 15I . " ' : S

-1 0.

-20 s

chaq ue tas

Vertices:

A(0,7)

B intersecci6n de s,t:

3x +Y = 1 2 } [ 5 9 )::::}B -,-x+y=7 22

C intersecci6n de r,s:

x = 3 }:::::}(3,3)3x +y = 1 2

D (3,0)

Valores de la funci6n objetivo:







f (A) = 5 . 7 = 35

5 9 95f(B) =8'-+5'- = - maximo

222

f (C) = 8 . 3 + 5 . 3 = 39

f(D) =8'3 =24

Como el maximo se alcanza para valores no enteros y no se puede fabricar un numero no ente

de chaquetas ni pantalones tomamos como soluci6n aproximada 2 chaquetas y 5 pantalones

cual seria exacto cambiando la restricci6n s por 3x + y 5.11 Yobteniendo con ello un beneficia

41 euros.

PROBLEMA #16 Un supermercado quiere promocionar una marca desconocida D de aceit

utilizando una marca conocida C. Para ello hace la siguiente oferta: "Pague s610a 250 Bs. elli

de aceite C ya 125 Bs. el litro de aceite D siempre y cuando: 1) Compre en total 6 litros 0 mas

2) La cantidad comprada de aceite C este comprendida entre la mitad y el doble de la cantid

comprada de aceite D". Si disponemos de un maximo de 3.125 Bolivares, se pide:

a. Representa graficamente los modos de acogerse a la oferta.

b. Acoqlendonos a la oferta, ~Cual ella minima cantidad de aceite D que podemos comprar

~Cual es la maxima de C?

a) Sean las variables de decisi6n:

x= litros comprados de aceite C

y= litros comprados de aceite D

Las restricciones del problema son:

x20 y20

r==x+y26

s = = . : ! _ 5. x :::::}y 5.2x2

i==x5.2y

u = = 250x + 125y 5. 3125:::::}2x + Y 5.25

Y la zona mediante la cual podemos acogernos a la oferta es la representada por cada uno de

puntos de la parte sombreada en la siguiente grafica.







40

30s

c 20aJ i

t. . . . 10aJ i

U0'C I

-1 0u

20

-20

ace ite C

b) La minima cantidad de aceite D que debemos comprar acoqiendonos a la oferta (punto m

bajo de la zona) es el punta lntersecclon de las rectas r,t:

x + Y = 6 }::::}minD (4 ,2)

x =2y

La maxima cantidad de aceite C para acogernos a la oferta (punto mas a la derecha de la zo

es la lnterseccion de las rectas t,u:

2x +Y = 2 5 } ::: :}m ax C(lO,5)x =2y

Conclusion, la minima cantidad de D es 2 litros y la maxima de C 10 litros.

PROBLEMA #17 La empresa FORD lanza una oferta especial en dos de sus model

ofreciendo el modele A a un precio de 1,5 millones de bolivares, yel modele Ben 2 millones.

oferta esta limitada por las existencias, que son 20 autos del modele A y 10 del B, querien

vender, al menos, tantas unidades de A como de B. Por otra parte, para cubrir gastos de e

carnpana, los ingresos obtenidos en ella deben ser, al menos de 6 millones de boliva

l,CUantos autornoviles de cada modele debera vender para maximizar sus ingresos?


x= autos vendidos del modele A

y= autos vendidos del modele B

Funcion objetivo:







f(x,y) =1,5x +2y

Restricciones:

x 2.0 Y 2.0}

r ==x ~20

s ==Y ~ 1 0t==x2.y }

u = = 1,5x + 2Y 2. 6


30

t

20O J

0 10 saJ i

"C aE 5 1 25

-1 au

-20

mode 10 Ar

Vertices:

A intersecci6n de s,t:

Y - 1 0 }x = y ::::}A(lO,lO)

B Intersecci6n de r,s:

x =20} ::::}B(20,10)y =10

C(20,0)

0(4,0)




problemas resueltos pl

Documents