PROBLEMASRESUELTOSTEMA:3

1.‐Unapartículade3kgsedesplazaconunavelocidadde ⁄ cuandoseencuentraen . Esta partícula se encuentra sometida a una fuerza que varia con laposicióndelmodoindicadoenlafigura:

a. ¿Cuálessuenergíacinéticapara ?

b. ¿Cuáleseltrabajorealizadoporlafuerzacuandolapartículasedesplazadesde a ?

c. ¿Cuáleslavelocidaddelapartículacuandoseencuentraen ?

a)

12

12∙ 3 ∙ 2 6J

b)

6 ∙ 42

12J

donde la integral se ha calculado teniendo en cuenta que ésta representa el área encerrada por la

figura. En este caso es un triangulo: (base × altura)/2

c) La energía que gana la partícula por la acción de la fuerza en 4 es 12J más los 6J que ya

tenía en 0:

12 6 18J

12

⟹ 2 183

3,46m s⁄

2.‐ Un objeto de 4 kg inicialmente en reposo en se acelera con potenciaconstantede .En suposiciónes .Determinarsuvelocidadpara ysuposicióneseinstante.

La potencia cumple:

∙ ∙ ∙

Según el Ejemplo 2 del párrafo 3.1.2 de los apuntes:

89

Y con los datos del problema:

3689 ∙ 4

∙ 9 ⟹ 8W

(en realidad, este dato ya lo dan en el enunciado aunque no era necesario para resolver el

problema).

Derivando la expresión obtenemos

2∙

Para 6 y con 8W, resulta

4,9m s⁄ y 19,6m

La velocidad también se podría haber obtenido del siguiente modo:

12

8 6124 ⟹ 4,9m/s

3.‐UnamáquinadeAtwoodsencillautilizadosmasas y ( .Partiendodelreposo,lavelocidaddelasdosmasases ⁄ alcabode .Enesteinstante,laenergíacinéticadelsistemaesde .Determinarlosvaloresde y .

∙ ⟹ 43m s⁄

Según se obtuvo en el problema correspondiente de la máquina de Atwood (prob. 2, tema

2):

Esto es:

43

1

Ahora, la del sistema es:

12

412

4 80 2

Resolviendo 1 y 2 obtenemos:

5,67kg

4,32kg

Vemos que la m1 debe haber descendido una altura h dada por:

12

12

43

3 6m

Esta misma altura la habrá ascendido la masa m2 mientras cae m1.

Por conservación de la energía, en el estado inicial sólo tendríamos la energía potencial de

la masa m1 y en el estado final tendríamos energía potencial de la masa m2 y la energía cinética del

sistema:

80

O bien, con h=6m:

806

Podríamos haber usado esta ecuación en lugar de la ecuación [1] para resolver el sistema.

4.‐La fuerzaqueactúasobreunobjetovienedadapor laexpresión .Localizar lasposicionesde equilibrio estable e inestable ydemostrarque en estospuntoslaenergíapotencialtienemáximosomínimoslocales.

Como dx

dEF P , integrando F y cambiando el signo obtenemos:

42

Si representamos como función de , resulta:

Para ver dónde existen extremos (máximos y mínimos) haremos un estudio de los puntos críticos

de EP derivando e igualando a cero. Sabemos:

Hacemos 0 ⟹ 4 0 ⟹ 02

Veremos mediante la derivada 2ª cuáles de dichos extremos son máximos o mínimos:

3 4

En 0 ⟹ 4 0 ⟹ 0 es mínimo (punto de equilibrio estable).

En 2 ⟹ 0 0 ⟹ 2 es un máximo (punto de equilibrio inestable).

En 2 ⟹ 8 0 ⟹ 2 es un máximo (punto de equilibrio inestable).

5.‐Unapartículaseencuentrasometidaalafuerza:

Hallareltrabajorealizadoalmoverlapartícula:a)desdeelorigenhasta , , ydesde , , hasta , , yb)directamentedesdealorigena , , .

Sabemos que el trabajo cumple:

a) En el primer movimiento nos movemos a lo largo del eje X desde (0,0,0) hasta (4,0,0) ⟹

Al realizar el producto escalar, resulta:

2

2

ya que ∙ 1∙ 0

Para el primer trayecto a lo largo del eje X desde (0,0,0) hasta (4,0,0), el trabajo

quedará:

22

pero el eje X tiene por ecuación 0, luego:

2

12

122

1416 0 4J

En segundo movimiento nos movemos en vertical (eje de ecuación 4) desde

4,0,0 hasta 4,2,0 , luego .

(0,0,0) (4,0,0)

(4,2,0)

Y

X

El producto escalar quedará (con x = 4): 2 8

Y el trabajo para ese trayecto, será:

8 16J

El trabajo W total será 4 16 20J

b) Siguiendo el trayecto directo desde el origen (0,0,0) hasta 4,2,0 , la ecuación de la línea

es:

2⟹ 2 ⟹ 2

En este trayecto, al desplazarse varía tanto x como y, luego:

El trabajo quedará:

2

2 2 2

2 2

{Según la ecuación del trayecto, para integrar hacemos el cambio de variable:

2⟹

2

e integramos ya en x desde 0 hasta 4.}

222

22

52

52

52 2

54

16 20J

Como para el trayecto a) y para el trayecto b) el trabajo vale 20 podemos asegurar que

es una fuerza conservativa.

Este mismo problema aparecerá en la asignatura de Física II aplicado a cargas eléctricas.

6.‐Unapartículade3kgpartedelreposoen ysemuevebajo la influenciadeunasolafuerza endonde semideennewtonsyxenmetros

a) Determinar el trabajo realizado por la fuerza cuando la partícula se desplazadesde hasta .

b) Determinar lapotencia suministrada a lapartícula cuando se encuentra en .

a)

6 2 33

18 18 27 9J

b)

∙ ∙

Como por la 2ª ley de Newton ∙

63

43

33

243

que para 3 vale 3m s⁄ .

Como la aceleración está dada en función del desplazamiento, entonces:

2

Como se parte del reposo 0; aquí 0 y para 3 sera:

2 243

2 246 3

2 6 6273

2 ∙ 3

6m² s ⟹ √6m s⁄⁄

Finalmente, ∙ ∙ que en 3, resulta:

3 ∙ 3 ∙ √6 22,04W

Que es negativa porque en realidad la partícula frena 3 ⁄ en 3m

La velocidad también se podía haber obtenido a partir del trabajo W:

912

32

⟹ √6m s⁄

7.‐Unamuchachaenbicicletaquecirculaporunacarreterahorizontala ⁄ dejadepedalearcuandoiniciaunacuestainclinadacon °conlahorizontal.Ignorandolasfuerzasderozamiento,quedistanciarecorrerásobrelacolinaantesdedetenerse?

Contrariamente a lo que podría pensarse, la repuesta no depende de la masa de la

muchacha (y de la bicicleta). En realidad, toda la energía cinética inicial de la muchacha-bici se

transforma en únicamente energía potencial en el punto más alto:

12

Según el esquema:

sin sin 3

En la conservación de la energía, la masa se cancela:

2 sin 3 ⟹

2 sin 397,5m

h d

θ =3º

8.‐Unbloquedemasamreposasobreunplano inclinadocomo indica la figura.Pormediodeunapolea,elbloqueestaconectadoaunmuelledeconstanteKdelcualsetira abajo con una fuerza gradualmente creciente. El valor de es conocido.Determinar laenergíapotencialdelmuelleenelmomentoqueelbloque comienzamoverse.

Sabemos que la fuerza del muelle es de tipo . Esta fuerza se transmitirá por la

cuerda hasta el bloque.

El bloque ejerce una fuerza hacia abajo sin y ofrece una resistencia al movimiento

cos debido al rozamiento. De modo que para mover el bloque necesitamos aplicar

sin cos . Esta fuerza se debe igualar a la fuerza de estiramiento siendo

d el estiramiento del muelle en el momento en que el bloque comieza a moverse

sin cos

sin cos

Una vez hallado el estiramiento d, sabemos que la energía potencial (elástica) del muelle es

del tipo :

12

12sin cos

9.‐UnpénduloestaformadoporunacuerdadelongitudLyunalentejademasam.Lacuerdadisponeenposiciónhorizontalysedaalalentejalavelocidadinicialmínimaparaqueelpéndulodeunavueltacompletaenelplanovertical.

a) ¿Cuáleslamáximaenergíacinéticadelalenteja?

b) ¿Cuálesenesemomentolatensióndelacuerda?

a) Según vimos en el capitulo anterior, y pensando desde un punto de vista inercial sin aplicar la

2ª ley de newton, para que el péndulo de la vuelta completa se debe cumplir que en el punto

más alto, la fuerza centrifuga se iguale al peso:

⟹

En el punto más alto, el péndulo tendrá una energía cinética que según la expresión

anterior de la velocidad, será:

12

12

y tendrá una energía potencial:

2

De modo, que la energía total en el punto más alto:

12

252

En el punto mas bajo, no tendrá y solo tendrá que será la mayor puesto que la

velocidad será también la mayor. Por supuesto, la energía total se conserva y es la misma en

cualquier punto del círculo:

12

212

0

La energía cinética máxima ocurrirá en el punto más bajo y será:

52

2L

gLv

b) La tensión en el punto más bajo será la suma del peso y de la fuerza centrifuga .

Para ello calculamos en el punto mas bajo:

52

12

⟹ 5

Y finalmente, la tensión:

56

10.‐Unbloquedemasamdescansasobreunplanorugosoinclinado gradossobrelahorizontal.ElbloqueestaunidoaunmuelledeconstanteKpróximoalapartealtadelplano.Loscoeficientesderozamientoestaticoycinéticoentreelbloqueyelplanoson y respectivamente.Tiramosdelmuelle lentamentehaciaarribaa lo largodel

planohastaqueelbloquecomienzaamoverse.

a) Determinarunaexpresiónparaelalargamientoddelmuelleenelmomentoqueelbloquesemueve.

b) Determinar el valor tal que el bloque se detenga justo cuando elmuelle seencuentraensucondiciónnatural,esdecir,nialargadonicomprimido.

a) Cuando el muelle se haya estirado una distancia d, el movimiento será inminente. Entonces la

fuerza del muelle será compensada por la componente del peso del cuerpo a lo largo del plano y la

fuerza de rozamiento estática:

sin cos ⟹ sin cos

b) En la situación inicial el bloque está parado (no hay EK) y, si tomamos el origen de energías

potenciales en el punto más bajo (punto inicial), tampoco habrá energía potencial gravitatoria.

Sólo habrá energía potencial elástica del resorte 2⁄ .

En la situación final, el resorte estará sin deformar (no tendrá energía potencial elástica), el

bloque estará parado (sin energía cinética) pero tendrá una energía potencial gravitatoria

sin . Además, se habrá perdido la energía correspondiente a la fricción cos ,

donde se utilizado el coef. de fricción cinética ya que ha habido deslizamiento.

Por conservación de energía:

12

sin cos ⟹tan2

donde se ha utilizado la expresión de d hallada en el apartado a).

11.‐Unbloquedemasam sedeslizahacia abajo con velocidad constante vporunplanoinclinadounángulo conlahorizontal.Duranteelintervalodetiempo∆ ,¿Cuáleslamagnituddelaenergíadisipadaporrozamiento?

Como el cuerpo se mueve a velocidad v constante, recorrerá una distancia ∆ en el

tiempo∆ . En ese tiempo, habrá descendido una distancia h, dada por ∆ sin con lo que su

energía potencial ha cambiado en ∆ sin .

La energía total que el cuerpo tiene en el punto más

alto es ∆ sin . En el punto más bajo podemos

tomar que no tiene energía potencial (si tomamos allí el

origen de energías potenciales) pero llevará la mis energía

cinética (la velocidad es constante por el enunciado) y se

habrá perdido una cierta energía de rozamiento.

Por conservación de la energía:

12

∆ sin12

í

De aquí obtenemos la energía perdida por rozamiento que nos piden:

í ∆ sin

Es decir, el cuerpo va eliminando en rozamiento la energía potencial de descenso.

Para que ocurra la situación del problema (caída por un plano con velocidad constante), se

debe cumplir la igualdad de la fuerza del peso en dirección del plano sin con la fuerza de

rozamiento cinética (una vez se haya iniciado el movimiento de descenso) cos .

sin cos

Es decir, para caída con velocidad constante en un plano, el coeficiente de rozamiento

cinético debe cumplir:

tan

Esta relación ha aparecido en numerosas situaciones.

tv ·  

θ

h

12.‐ Un bloque de 2 kg se deja libre sobre un plano inclinado hacia abajo, sinrozamiento,aunadistanciade4mdeunmuelledeconstante ⁄ .Elmuelleestafijoalolargodelplanoinclinadoqueformaunangulode °.

a) Hallarlacompresiónmáximadelmuelle,admitiendoquecarecedemasa.b) Si el plano inclinado no es liso sino que el coeficiente de rozamiento entre el

bloqueyelplanoes0,2hallarlacompresiónmáxima.c) Enelcasoúltimodelplanoinclinadorugoso,¿hastaquépuntosubiráelbloquepor

elplanodespuésdeabandonarelmuelle?

a) Cuando el bloque haya comprimido al muelle, el bloque habrá recorrido por el plano una

distancia 4 siendo x la distancia de compresión que buscamos. El bloque habrá

descendido una altura 4 sin 30. Entonces, la energía potencial incial será 4

sin 30 que se transformará en energía potencial del resorte en el punto final del

movimiento:

4 sin 3012

Se despeja x de la ecuación de 2º grado y se obtiene 0,989m. En la ecuación de 2º

grado sólo tiene sentido tomar x positiva

b) En la nueva posición x’ final con el muelle comprimido, se habrá perdido una energía de

fricción cos 4 ′ :

4 ′ sin 3012

′ cos 4 ′

se despeja x’ de la nueva ecuación de 2º grado:

′ 0,782m

c) Una vez comprimido el muelle y cuando se empiece a subir, la energía potencial del muelle se

transformará en energía potencial gravitatoria y pérdidas de fricción durante el todo trayecto

de subida que ahora llamaremos x’’

12

0,782 ′′ sin 30 cos 30 ′′

′′ 2,317m desde 0,782m de compresión del muelle.

2,317 0,782 1,535m después de abandonar el muelle.

13.‐Unpéndulode longitud L tieneuna lentejademasam. Sedeja libredesdeuncierto ángulo . La cuerda choca contra un clavo situado a una distancia xdirectamente por debajo del propio pivote acortándose realmente la longitud delpéndulo.Determinarelángulomáximo ,queformanlacuerdaylaverticalcuandolalentejaestaaladerechadelclavo.

Por la conservación de la energía, a la izquierda (en el punto más alto) sólo hay energía

potencial. Por tanto a la derecha en el punto más alto habrá la misma energía potencial. Es decir,

los puntos tienen la misma altura respecto del punto mas bajo que tomaremos como origen de

energías potenciales. A dicha altura la llamaremos h. Del esquema se deduce:

cos cos

o bien

cos cos

De aquí:

coscos

que sumando y restando L en el numerador, podemos

escribir como:

coscos cos

1 1 cos

cos 1 1 cos

h

14.‐Unmuchachodemasamestasentandosobreunmontículohemisféricodenieve.Siempiezaa resbalardesdeel reposo (suponiendoelhieloperfectamente liso) ¿enquépuntoPdejaelmuchachodetenercontactoconelhielo?

En el punto de contacto P la fuerza centrífuga igualará la componente normal del peso:

sin

O bien:

sin

Ahora, por conservación de energía,

la energía potencial inicial del muchacho

antes de caer (la cinética es nula

debido al reposo inicial) se convertirá en

cinética final y potencial final:

Esta última vendrá dada por: sin

Entonces, por conservación:

Con la que hemos hallado antes:

Dividiendo ambos miembros entre :

1 sinsin2

32sin

sin23⟹ 41,81°

O bien sin 0, 6

sin12

sin12

sin  

90−θ

θ

sin90cos mgmg  

h

R

vm

2

 

15.‐Uncuentaquepesa2,5Nsemueveporunalambresemicircularsituadoenunplano horizontal. La longitud natural del resorte es de 20 cm y el rozamientodespreciable.SisesueltalacuentapartiendodelreposoenlaposiciónA,determinar:

a) SuvelocidadenlaposiciónB.

b) LafuerzaqueelalambreejercesobrelacuentaenlaposiciónB.

a) Al ser el movimiento en un plano horizontal, el peso de la cuenta no juega ningún papel, por

ser perpendicular al movimiento. La fuerza centrifuga tampoco juega papel porque también es

perpendicular al movimiento.

Por el teorema de Pitágoras, la longitud del resorte en la posición A es:

60 30 67,08cm

En A, la deformación inicial del resorte es 67,08 20 47,08cm 0,4708m

La energía potencial del resorte en la posición A vale:

12

1212,5 0,4708 1,385J

En la poción B, la deformación del resorte es 30 20 10cm 0,1m y su energía

potencial es:

12

1212,5 0,1 0,0625J

En la posición inicial A, como la cuenta parte del reposo 0; pero en posición final B

122,59,8

0,127

Vistasuperiordelsistema

Aplicando la conservación de la energía:

⟹ 1,385 0 0,0625 0,127

Despejando;

3,22m s⁄

b) En la posición B, la fuerza centrífuga empuja hacia fuera del círculo y el resorte también tira

hacia fuera. Luego, la fuerza total que sentirá el alambre será:

2,51,8

3,220,3

12,5 0,1 10,06N