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Ámbito Científico-Tecnológico-Módulo III EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS DE ECUACIONES
Ejercicios resueltos por Javier M. Mañas Carreño - Octubre 2010 1
TEMA 3: EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS DE ECUACIONES
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO
1. Resuelve las siguientes ecuaciones sencillas de primer grado:
a) 23
66315855815 xxxxxxx
b) 411
4444117373837378 xxxxxx
c) 99
81819180980918081
xxxxxx
d) 887117 xxx
e) 997
63637
xxx
f) 383812262612 xxx
g) 772
1414231121132 xxxxx
h) 44812128 xxx
i) 4415
606015 xxx
j) 777
49497 xxx
k) 333315484815 xxx
2. Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado con paréntesis:
a) 227
141477777777)1·(7
xxxxxx
b)
6621
126126216569185324
9318565624)3·(31856)73·(8
xxxxx
xxxx
c) 30121823122318)6·(2)6·(3 xxxxxxx
d)
333
9
939186918699)3·(6)1·(9
xx
xxxxxxx
e) 99123663126)3(12 xxxxx
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f)
558
40
4087232241672243216)3·(24)2·(16
xx
xxxxxxx
g) 33512312533125)1·(3 xxxxxxx
h)
336
18
1861444244142)1·(4)7·(2
xx
xxxxxxx
3. Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado con paréntesis y denominadores:
a)
1115
151515
11824202492420241189241012·2163·3
6
4·6
6
)56·(2·2
6
1
6
)2·(3·34
3
)56·(2
6
1
2
)2·(3
xxx
xxxxxx
xxxx
b)
113
333
423936339642)13·(3)7·(66
13
3
7
xxx
xxxxxxxx
c)
664
2424416884
16884)2·(8)2·(44
2
8
20
4
2
8
2
xxxxx
xxxxxxxx
PROBLEMAS
1. Antonio tiene 5 años, su hermano Roberto 19 y su padre 41. ¿Cuántos años han de
transcurrir para que entre los dos hijos igualen la edad del padre?
Planteamiento
Edades presentes Edades en x años
Antonio=5 años 5+x
Roberto=19 años 19+x
Padre=41 años 41+x
171954141)19()5( xxxxxxx
Respuesta
Han de transcurrir x=17 años
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2. Se han mezclado 60 litros de aceite barato con 20 litros de aceite caro, resultando la
mezcla a 1.75 euros/litro. Calcula el precio del litro de cada clase, sabiendo que el de
más calidad es 4 veces más caro que el otro.
Planteamiento
Cantidad Precio/litro Coste
Aceite barato 60 l x 60·x
Aceite caro 20 l 4x 20·4x
Mezcla 80 l 1,75€ 80·1,75=140€
1140
14014014014080601404·20·60 xxxxxx
Respuesta
El aceite barato cuesta x=1€/litro y el caro 4x=4·1=4€/litro.
3. El padre de Antonio tiene 38 años y él 6. ¿Dentro de cuántos años la edad de su padre
será doble de la de Antonio?
Planteamiento
Edades presentes Edades en x años
Antonio=6 años 6+x
Padre=38 años 38+x
26263812221238)6·(238 xxxxxxxx
Respuesta
Dentro de 26 años la edad de su padre será 64 años, que será el doble de la de Antonio, que tendrá
32 años.
4. Josefa tiene 7 años menos que su prima Begoña y dentro de 15 años la suma de sus
edades será 53 años. ¿Qué edad tiene cada una?
Planteamiento
Edades presentes Edades en 15 años
Josefa x-7 (x-7)+15
Begoña x x+15
152
303027151553531515)7( xxxxxx
Respuesta
Begoña tiene x=15 años y Josefa x-7=8 años.
5. El patio de mi colegio mide 25 metros más de largo que de ancho. Si su perímetro es
270 metros, ¿cuál es su longitud y su anchura? Planteamiento
Ancho=x
Largo=x+25
Perímetro=2·ancho+2·largo
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554
22022045027042705022270)25·(22 xxxxxxx
Respuesta
El ancho es x=55 metros y el largo=x+25=55+25=80 metros.
6. En la repoblación de un río mueren la tercera parte de los alevines arrojados al agua.
¿Cuántos alevines se soltaron, si quedan vivos 2748?
Planteamiento
Alevines que se soltaron=x
Alevines que se murieron=3
x
41222
8244
82442)2748·(3227483
32748
32748
3
x
xxxx
xx
xx
Respuesta
Se soltaron x=4122 alevines
7. Se quieren repartir 99 plátanos entre tres monos de modo que el primero reciba 14
plátanos más que el segundo, y el tercero, 16 menos que el primero. ¿Cuántos recibirá
cada uno?
Planteamiento
Primer mono=x plátanos
Segundo mono=x-14 plátanos
Tercer mono=x-16 plátanos
433
129129314169999)16()14( xxxxxxxx
Respuesta
Primer mono=x=43 plátanos
Segundo mono=x-14=43-14=29 plátanos
Tercer mono=x-16=43-16=27 plátanos
8. La valla que rodea un campo rectangular mide 3200 metros. ¿Cuáles son las
dimensiones del campo si su largo es triple que su ancho?
Planteamiento
Ancho=x
Largo=3x
Valla=2·ancho+2·largo
4008
32003200832006232003·22 xxxxxx
Respuesta
El ancho es x=400 metros y el largo 3x=3·400=1200 metros.
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EJERCICIOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES
1. Resuelve utilizando el método de sustitución los sistemas de dos ecuaciones de dos
incógnitas siguientes:
a)
222020·8
0071181871
18187218)28·(928189
28
yy
xxx
xxxxxyyx
yx
b)
xy
yyx
152
4307
yx
yyx
215
3047
152
3057
yx
yx305)152·(7152 yyyx
c)
151515301515·2
159
135135910530930510514
xx
yyyyy
d)
33963·36
337
212171837
3291832)36·(33663
323
xx
yyyy
yyyyyxyx
yx
e)
2211
114
444
5949559)1·(511
95
xx
yyy
yyyyyyxyx
yx
f)
442·2
2234232·2202
232
xx
yyyyyyxyx
yx
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2. Resuelve utilizando el método de igualación los sistemas siguientes:
a)
3
273
230
yx
yx
273)230·(33
273230
3
273
230
yyy
yyx
yx
a. 139
1171179902736273690
yyyyyy
b. 44263013·230 xx
b)
xy
xy
322
51
2
32
51
xy
xy
xx
xx 32)51(2
2
3251
c) 11010·51
00822353252
yy
xxxxxx
d)
9
25
36
100100361993611·913611
9
13611
9
14
9
11911128
81211)23·(411234
11
23
4
11
32
114
xxxxx
x
yyyy
yyyyyy
yx
yx
yx
yx
e)
33581·58
1114
141414241015
10152410)58·(33
1058
3
10
58
103
85
yy
xxxxx
xxxxx
xxy
xy
yx
yx
f)
224642·3
2
25
1010546232643
26
43
62
43
yy
x
xxxxxxxy
xy
yx
yx
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3. Resuelve utilizando el método de reducción los sistemas de dos ecuaciones con dos
incógnitas siguientes:
a)
2133
4645
yx
yx
5)·2133(
3)·4645(
yx
yx
1051515
1381215
yx
yx
243270
1051515
1381215
y
yx
yx
9927
243
yy
223
6632127321273219·33 xxxxxx
b)
2923
78210
yx
yx
4907
2923
78210
x
yx
yx
77
49
x
442
8827078278270782)7·(10
yyyyyy
c) 45
20205
823
1222
823
2)·6(
823
6
xx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
2005 x
246646 yyyx
d) 77
49497
4026
92
2)·203(
92
203
92
xx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
4907 x
12
27929792 yyyyx
e) 13
333
628
325
)2)·(34(
325
34
325
xx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
303 x
12
2532325321·5325
yyyyyx
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PROBLEMAS
1. Una envasadora de agua vende botellas de 2 y 5 litros. Si ha envasado 5392 litros en
1844 botellas. ¿Cuántas botellas de 2 y 5 litros ha usado? Planteamiento:
Número de botellas de 2 litros=x
Número de botellas de 5 litros=y
539252
1844
yx
yx
539252
)2)·(1844(
yx
yx
539252
368822
yx
yx
170430
539252
368822
y
yx
yx
5683
1704y
1276127656818441844568 xxx
Respuesta
Número de botellas de 2 litros=x=1276 botellas
Número de botellas de 5 litros=y=568 botellas
2. Un fabricante de televisores obtiene un beneficio de 44 euros por cada televisor que
vende y sufre una pérdida de 51 euros por cada televisor defectuoso que debe retirar
del mercado. Un día ha fabricado 458 televisores obteniendo unos beneficios de 6092
euros. ¿Cuántos televisores buenos y defectuosos ha fabricado ese día? Planteamiento: Cantidad Beneficios Coste
Buenos x 44€ 44·x
Defectuosos y -51€ -51·y
Totales 458 6092€
60925144
458
yx
yx
14895
14060140609520152609295
6092514420152609251)458·(44
458
yyy
yyyy
yx
310148458 x
Respuesta
Número de televisores buenos=x= 310
Número de televisores defectuosos=y= 148
3. La suma de dos números es 12 y su cociente es 3. Halla estos números. Planteamiento:
Uno de los números es x, el otro es y
3
12
y
x
yx
yx
yx
3
12Método de sustitución 3
4
12124123 yyyy
93·33 yx
Respuesta
Uno de los números es x=9 y el otro es y=3.
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4. La suma de las dos cifras de un número es 10 y la cifra de las decenas es cuádruple
de la cifra de las unidades. Halla el número. Planteamiento:
Cifra de las unidades=x
Cifra de las decenas=y
xy
yx
4
10Método de sustitución 2
5
10105104 xxxx
82·44 xy
Respuesta
El número buscado es 82, ya que la cifra de las decenas es y=8 y la de las unidades x=2.
5. Halla las edades de dos hermanos sabiendo que al mayor le faltan dos años para
tener cinco veces la edad del menor y que si el mayor tuviera seis años menos tendría
la edad del menor. Planteamiento:
Edad del menor=x
Edad del mayor=y
xy
xy
6
52
6
25
yx
yxMétodo de reducción
)1)·(6(
25
yx
yx
84
6
25
x
yx
yx
24
8
x 86226 yy
Respuesta
Edad del menor=x=2 años
Edad del mayor=y=8 años
6. La edad de un padre es doble que la de su hijo. Hace diez años la edad del padre era
triple que la del hijo. ¿Cuáles son las edades actuales del padre y del hijo?
Planteamiento
Edades presentes Edades hace 10 años
Hijo=x años x-10
Padre=y años y-10
)10·(310
2
xy
xyMétodo de sustitución 303102)10·(3102 xxxx
2020103032 xxxx
4020·22 xy
Respuesta
La edad del hijo son x=20 años y la del padre y=40 años.
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7. Por 560 ptas. se han comprado 6 kg. de azúcar de la clase A y 2 kg. de azúcar de la
clase B. Se mezcla 1 kg. de azúcar de cada clase y se obtiene una mezcla que vale 75
ptas. el kg. ¿Cuánto vale el kilogramo de azúcar de la clase A? ¿Y el de la clase B?
Planteamiento
Cantidad Precio/kg Coste Coste mezcla
Azúcar A 6 kg x 6·x 1·x
Azúcar B 2 kg y 2·y 1·y
560 pts 2kg·75
75·2
56026
yx
yx
150
56026
yx
yxMétodo de reducción
)2)·(150(
56026
yx
yx
26004
30022
56026
x
yx
yx
654
260x 856515015065 yy
Respuesta
El kilo de azúcar de clase A vale x=65pts y el kilo de azúcar de la clase B vale y=85pts.
8. En una feria de ganado hemos comprado 3 potros y 5 corderos por 1375 €, mientras
que un vecino ha adquirido 1 potro y 8 corderos por 680 €. ¿Cuál era el precio de cada
animal?
Planteamiento
Precio del potro=x
Precio del cordero=y
6808
137553
yx
yxMétodo de reducción
)3)·(6808(
137553
yx
yx
665190
2040243
137553
y
yx
yx
3519
665
y 40028068068035·8 xx
Respuesta
Precio del potro=x=400€
Precio del cordero=y=35€
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ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado.
1)
17
6
17
66170617
222xxxx No hay solución real
2)
2
2444
4
161640164
2222xxxxx
Solución: 2x;2x
3)
4
2
882082
0
0)82·(0822
xxx
x
xxxx
Solución: 4x;0x
4)
3
6
181860186
0
0)186·(01862
xxx
x
xxxx
Solución: 3x;0x
5)
82
16
2
124
42
8
2
124
2
124
2
1444
2
128164
1·2
)32·(1·4)4(40324
2
2xxx
Solución: 8x;4x
6)
62
12
2
111
52
10
2
111
2
111
2
1211
2
12011
)1·(2
30)·1·(4)1(1030
2
2xxx
Solución: 6x;5x
Ámbito Científico-Tecnológico-Módulo III EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS DE ECUACIONES
Ejercicios resueltos por Javier M. Mañas Carreño - Octubre 2010 12
7)
2
3
4
6
4
15
14
4
4
15
4
15
4
15
4
24255
2·2
3·2·4)5(50352
2
2xxx
Solución: 2
3x;1x
8)
46
24
6
1014
3
2
6
4
6
1014
6
1014
6
10014
6
9619614
3·2
8·3·4)14(1408143
2
2xxx
Solución: 4x;3
2x
9)
210
20
10
911
5
1
10
2
10
911
10
911
10
8111
10
4012111
5·2
2·5·4)11(1102115
2
2xxx
Solución: 2x;5
1x
10)
62
12
2
210
42
8
2
210
2
210
2
410
2
9610010
1·2
24·1·4)10(1002410
2
2xxx
Solución: 6x;4x
11)
2
24x4x
9
36x36x9036x9
2222
Solución: 2x;2x
12)
2
24x4x
49
196x196x490196x49
2222
Solución: 2x;2x
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Ejercicios resueltos por Javier M. Mañas Carreño - Octubre 2010 13
13)
7
1
70
10
70
199
5
2
70
28
70
199
70
199
70
3619
70
280819
35·2
)2·(35·499x02x9x35
2
2
Solución: 7
1x;
5
2x
14)
42
8
2
62
22
4
2
62
2
62
2
362
2
3242
1·2
)8·(1·4)2(2x08x2x
2
2
Solución: 4x;2x
15)
4
1
8
2
8
1311
38
24
8
1311
8
1311
8
16911
8
4812111
4·2
)3·(4·4)11(11x03x11x4
2
2
Solución: 4
1x;3x
16)
38
24
8
1113
4
1
8
2
8
1113
8
1113
8
12113
8
14816913
4·2
3·4·4)13(13x03x13x4
2
2
Solución: 3x;4
1x
17)
54
20
4
911
2
1
4
2
4
911
4
911
4
8111
4
4012111
2·2
5·2·4)11(11x05x11x2
2
2
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Ejercicios resueltos por Javier M. Mañas Carreño - Octubre 2010 14
Solución: 5x;2
1x
18)
72
14
2
113
62
12
2
113
2
113
2
113
2
16816913
1·2
42·1·4)13(13x042x13x
2
2
Solución: 7x;6x
19)
2
1
6
3x3x603x6
0x
0)3x6·(x0x3x62
Solución: 2
1x;0x
20)
8
9x9x809x8
0x
0)9x8·(x0x9x82
Solución: 8
9x;0x
21)
4
1
12
3x3x1203x12
0x
0)3x12·(x0x3x122
Solución: 4
1x;0x
22)
2
1x
2
1
4
2x2x402x4
222
Solución: No tiene solución real.
23)
4
3x
4
3
8
6x6x806x8
222
Solución: No tiene solución real.
24)
2x24
8x8x408x4
222
Solución: No tiene solución real.
Ámbito Científico-Tecnológico-Módulo III EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS DE ECUACIONES
Ejercicios resueltos por Javier M. Mañas Carreño - Octubre 2010 15
25)
2
24x4
4
16x16x4016x4
222
Solución: 2x;2x
26)
3
39x9
8
72x72x8072x8
222
Solución: 3x;3x
PROBLEMAS
1. La edad de un padre es el cuadrado de la de su hijo. Dentro de 24 años la edad del
padre será el doble que la de su hijo. ¿Qué edad tienen el padre y el hijo? Planteamiento
Edades presentes Edades en 24 años
Hijo x años 24x 24·2242
xx
Padre 2
x años 242x
62
12
2
102
42
8
2
102
2
102
2
1002
2
9642
1·2
)24·(1·4)2(2
02420482424822424·224
2
2222
x
xxxxxxxx
Respuesta
De las dos soluciones, la única válida es x=6. Por tanto:
Edad del Hijo= x = 6 años
Edad del Padre=2
x = 36 años
2. Dados tres naturales pares consecutivos se sabe que si al cuadrado el mayor se le
resta el cuadrado de los otros dos se obtiene el número 12. ¿Cuáles son estos tres
números? Planteamiento
Primer número=x 1224222
xxx
Segundo número=x+2
Tercer número=x+2+2=x+4
4404
0
04·0401241648
0124416812)44(168
2222
222222
xxx
x
xxxxxxxxx
xxxxxxxxxx
Respuesta: hay dos respuestas en función de la solución que tomemos
Si x=0 Si x=4
Primer número=x 0 4
Segundo número=x+2 2 6
Tercer número=x+2+2=x+4 4 8
Es decir pueden ser 0,2 y 4 o bien 4,6 y 8.
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3. Hay un número natural tal que al sumarle 8 y multiplicar la suma por el número que
resulta al restarle 3 al número natural, da como producto 476. ¿Cuál es ese número
natural? Planteamiento
Número buscado=x 4763·8 xx
202
40
2
455
252
50
2
455
2
455
2
20255
2
2000255
1·2
)500·(1·455
0500504762454762438
2
222
x
xxxxxxx
Respuesta: el número buscado es x=20, ya que es natural. La solución x=-25 no es válida, al no ser
natural.
4. Dos números naturales se diferencian en dos unidades y la suma de sus cuadrados es
580. ¿Cuáles son esos números? Planteamiento
Primer número=x
Segundo número=x+2 580)2(22 xx
164
64
4
684
184
72
4
684
4
684
4
46244
4
4608164
2·2
)576·(2·444
057642058044258044
2
2222
x
xxxxxxx
Respuesta: de las dos soluciones tomo x=16, ya que es el único natural. Por tanto los números
buscados serán:
Primer número=x=16
Segundo número=x+2=16+2=18
5. El cuadrado de un número menos su duplo es -1. Calcula ese número. Planteamiento
Número buscado=x 122
xx
12
02
2
02
2
442
1·2
1·1·4)2(2012
2
2
xxx
Respuesta: el número buscado es x= 1.
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6. El producto de dos números enteros consecutivos es 156. Calcula esos números. Planteamiento
Primer número=x
Segundo número=x+1 156)1·( xx
122
24
2
251
132
26
2
251
2
251
2
6251
2
62411
1·2
)156·(1·4110156
2
2xxx
Respuesta: hay dos pares de soluciones posibles, dependiendo del valor de x que tome:
a) Si el primer número es x=-13, el segundo será x+1=-13+1=-12.
b) Si el primer número es x=12, el segundo será x+1=12+1=13.
7. Si a un número se le añade 3 y a ese mismo número se le resta 2, el producto de los
dos factores resultantes es igual a 24. Halla dicho número.
Planteamiento
Número buscado=x 24)2)·(3( xx
52
10
2
111
62
12
2
111
2
111
2
1211
2
12011
1·2
)30·(1·411
030024624623
2
222
x
xxxxxxx
Al no especificar que sea un número natural, ambas soluciones son válidas.
Respuesta: hay dos soluciones posibles, dependiendo del valor de x que tome:
a) Un número posible es x=-6.
b) Otro número posible es x=5.
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8. Un rectángulo tiene 5 m. más de largo que de ancho. Siendo su superficie de 336 m2,
halla sus dimensiones. Planteamiento
Ancho=x
Largo=x+5 336)5·( xx
Área=ancho·largo
162
32
2
375
212
42
2
375
2
375
2
13695
2
1344255
1·2
)336·(1·45503365336)5·(
2
2xxxxx
De las dos soluciones de la ecuación descarto x=-21, ya que no tiene sentido geométrico.
Respuesta: Ancho=x=16 metros; largo=x+5=16+5=21 metros
9. Halla dos números pares consecutivos cuyo producto sea 528. Planteamiento
Primer número=2x
Segundo número=2x+2 528)22·(2 xx
118
88
8
924
128
96
8
924
8
924
8
84644
8
8448164
4·2
)528·(4·444052844
2
2xxx
Al no especificar que sean naturales, ambas soluciones son válidas.
Respuesta: hay dos pares de soluciones posibles, dependiendo del valor de x que tome:
a) Si el primer número es 2·x=2·(-12)=-24, el segundo será 2·x+2=-24+2=-22.
b) Si el primer número es 2·x=2·11=22, el segundo será 2·x+2=22+2=24.