103956 31622 ejercicios resueltos ecuaciones mat62100 (1)
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-
1
UNIVERSIDAD TECNOLGICA METROPOLITANADEPARTAMENTO DE MATEMTICAProf.:luis orozcofuenzalida
EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMTICAS I MAT62100
ECUACIONES
1.- Determine si la siguiente proposicin es verdadera o falsa: "Si %B "B & $,entonces o ". Explique.%B " $ B & $
Solucin: Es falso, ya que existe un nmero ilimitado de factores cuyo producto es $
Otra forma es resolver la ecuacin de 2 grado %B "B & $,
obteniendo como solucin que no es la solucin deW "* %)*) %B " $ B " B & $ B # ( ) ni de ( ).
2.- Resolver .& $% #B ) ( # $B
Solucin: & $% #B ) ( # $B& "# 'B ) ( # $B
'B (
"$ $B $B (
'B $B "$ (
*B *
B
#!
#!* .
W #!* .3.- Resolver ( #" &B ( ) % #B.
Solucin: ( #" &B ( ) % #B( # "!B ( ) % #B
"! #B $ #B &
"!B #B $ &
)B )
B
B & #
#) .
W "%.
4.- Resuelva la ecuacin: .$B# "B& )
-
2
Solucin: $B# "B& ) &" B #%B "' & &B #%B &B & "' #*B ""
B
)$B #
""#*
luego W ""#*
5.- Resuelva B # B% $ $.
Solucin: B # B% $ "# $B # %B $' $B ' %B $' (B $' ' (B %# B '
$
W ' 6.- Resolver B #" %(( B& ( .
Solucin: B #" %(( B& (BB & "%(
B &B "%( B #$&
B %#B )) !!
(B & B &
%(B &
%( %(B #$&
B #B %% B # ! B %% ! B #
#
#
oo" B %%" .
W # %% .
7.- Resolver B "& "(& B$ & .
Solucin: B "& "(& B$ & &B $ B $
"(B $
"( "(B &"
B #B "# B # ! B "# ! B # B "#
BB $ (&B $B (& B &"
B "%B #% !!
#
#
oo" " .
W # "# .
-
3
8.- Encuentre una ecuacin cuadrtica cuya solucin sea .W " %& $ Solucin: B B !" % "( %& $ "& "& B B !# o
, " % "( - " % %+ & $ "& + & $ "& ; + "& , "( - %, ,
"&B "(B % ! otra ecuacin puede ser .#
9.- Resuelva la ecuacin: .#BB " "#B $
Solucin: #BB " "#B $"#B $'
"#B $'
"%B $'
(B ")
#B #B
#B #B !
#B !
B ! B *B # !
#
#
#
#
luego W # *
10.- Resolver .B " #BB " %B#
Solucin: B " #BB " BB #B " #B #B B
B %B " B
B " ! B
B
#
# #
#
# #
#
%
%
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.
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Solucin: B " $BB " 'B 'B
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B
B
B #B " $B $B
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-
4
12.- Resuelva la ecuacin: .BB " "#
Solucin: BB " "#"#
"#
B B
B B ! B $B % !
#
#
luego W % $.Tambin puede aplicar la frmula de la ecuacin de 2 grado, con ,+ ", " - "# y .
B
B
B
B
" " %""##"
" "%)#
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luego W % $.
13.- Resuelva la ecuacin: . $B#B " ")
Solucin: $B#B " ")")
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#
#
#
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B
B
B
B
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#
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14.- Resuelva .$B" ##B& %B#
-
5
Solucin: Si $B" ##B& %B#
B B $B "%B # ##B &
"#B #B # %B "!
"#B #B ) !
B
& "# #
# $)!#%
y #
#
W 9
15.- Determine el conjunto solucin (si existe) de la ecuacin:(
"! &BB# B# .
Solucin: Si (
& #B B
"! &BB# B#
(B"%"! &BB# B#(B% &BB# B#
B #
(B % B%#
y al verificar la solucin en la restriccin , se tiene que .B # W 9
16.- Resuelva la siguiente ecuacin #B" &B$% $B "$B .
Solucin: Si #B" &B$% $B "$B & $B% $B
'B B " "&B ""B "#
#"B "#B "$ !
B
% $B" $B B B #B "" $B
" %$ $
# #
#
"# "# %#""$#$
#
B "# "#$'
'
y al verificar las soluciones en la restriccin , se tiene queB B " %$ $
W "# "#$'' .
17.-Resuelva la siguiente ecuacin: B " " B#Solucin: Restriccin ." B ! B "
-
6
Si B " " B B " " B
B " " #B B #B ! B !
# #
# #
# #
y al verificar la solucin en la restriccin , se tiene que .B " W !
18.- Determine el conjunto solucin de: " &B ( B.Solucin:
" &B ( B ( B
" &B ( B
" &B
! !
&
B $B "' ! B $ B "'
#
#
" "
" &B
B "%B %* B "
! B "*B %)
y
o
##
#
Verificacin para :B $
" &B " & $
" "&
"'
( ( B
% $.
Otra forma de verificar es comprobando las restricciones y " &B ! !( B
" &B $ ( ! !
" & $ ( B"' %. .
y
Verificacin para :B "'
" &B " & "'
" )!
)"
* ( ( B
*
"'
Otra forma de verificar es comprobando las restricciones y " &B ! !( B
" &B "' ( * ! !
" & "' ( B)". .
y
-
7
W $
19.-Resuelva la siguiente ecuacin: %B " $ %B# .Solucin: Si
%B " $ %B $ %B !
%B " $ %B
%B " * #%B "'B %B "
"#B #%B ) ! %
$B 'B # !
B
# #
# #
# # #
#
#
' ' %$##$
#B
' "#'
y al verificar las soluciones en la restriccin , se tiene que$ %B !
W ' "#' .
20.- Determine el conjunto solucin de: #B $ $ #B.Solucin:1 forma
Si
#B $ $ #B
#B $ $ #B
#B $ * "#B %B $ #B
! %B "%B "# #
#B (B ' !
B
B
#
#
#
#
#
( ( %#'##
( "%
#
B # B B #" # " y , pero no es solucin de $#
#B $ $ #B, luegoW $# .
2 forma. Usando la restriccin y #B $ ! $ #B !
Si #B $ ! $ #B ! #B $ $ #B
B B
$ $# #
el nico nmero posible de ser solucin es , el cual lo es, luego $#$#W .
-
8
21.- Resolver .B (B ) # B#Solucin:
B (B ) # B B (B )
B (B ) B # B #
B (B ) B #
B (B ) B %B % B %B )
(B %B
# #
#
##
# # #
# !
!
$B $
B
#
#
% )
%.%$
Verificacin para :B %$
B (B ) # ( ) #
) #
#
#
#
##
B
% %$ $
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"')%(#*
%*
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.
Otra forma de verificar es comprobando las restricciones yB (B )# !B # !
B (B ) ( ) B # #
)
##
!
!
% % %$ $ $"' #)* $"')%(#
*%*#$
#$
.
y
.
W %$.22.- Resolver .B (B ) # B !#
-
9
Solucin: B (B ) # B !# #B ! !
$B
B (B )
B (B ) B # B #
B (B ) B #
B (B ) B %B % B %B )
(B %B
#
#
##
# # #
#
#
% )
%. $
B %$
Verificacin para :B %$
B (B ) # ( ) #
) #
##
B
!
% % %$ $ $
"' #) %* $ $
"')%(# #* $
% #* $
# #$ $
.
Otra forma de verificar es comprobando las restricciones y B (B ) B ## ! !
B (B ) ( ) B # #
)
##
!
!
% % %$ $ $"' #)* $"')%(#
*%*#$
#$
.
y
.
W %$.
23.- .Resolver $ #B B " #Solucin:
-
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$
$
#B B " #
#B B "
#B B "
B "
B "
B "
B " !
#
) #B
) #B ) #B !
) #B
%B B "
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B
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$$B$$ $$ %%'$
#%
# B
B $ B
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" # o .
Verificacin para :B $
$ $
$
$
$
#B B " # $ "
' %
' #
)
$
#.Otra forma de verificar es comprobando las restricciones yB " !) #B !
B " $ " ) #B ) # $ ! !
% #. .
y
Verificacin para :B #"%
$ $
$
$
$
#B B " # "
#
#" #"% %
#" # %
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.
Verificando en las restricciones y B " ! ) #B !
-
11
B " " ) #B ) #
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#" #"% %#& &% #.
y
.
W $ .
24.- .Resolver $ #B %B & "Solucin:
$
$
#B %B & "
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#B %B & %B & "
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%B & #B "
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"
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% %B %
B " B " B "
##
" # o .
Verificacin para :B "
$ #B %B &
$
$
$
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# *
# $
"
" "
".
Otra forma de verificar es comprobando las restricciones y %B & ! #B " !
%B & % " & #B " # " ! !
"* $. .
y
Verificacin para :B "
$ #B %B &
"
$
$
$
$
# % &
#
# "
" "
"
$
-
12
Verificando en las restricciones y %B & ! #B " !
%B & % " & #B " # " " ! !
"".
y
.
W " .
25.- y reemplace en laEscriba claramente su RUT en la forma +,-./012 3pregunta que sigue a continuacin. Determine el conjunto solucin de:& +B $0 $,B.Solucin: Primero reemplace los valores de y que corresponden a su RUT (+ , 0 En
este curso el valor de , para todos los estudiantes es .+ ")
Si & B $0 $,B & B $0 $,B& B $0 $,B
& B 0 & +B
0
! !
* "),0B *, B
! *, B " "),0B * &
B
#
#
# #
# #
#
#
""),0 ""),0 %*, * *,
""),0 " $',0 ")!,"),
# #
#
#
#
0 #
B
Observe que en el curso los valores de son todos distintos de , de hecho, !son: u % ' ( )
Finalmente para las dos soluciones reales encontradas en la ecuacin de 2grado (ya que ) debe verificar que cumplen con las" $',0 ")!,# !restricciones y as obtiene el conjunto solucin .& B $0 $,B ! ! W
26.- Resolver . $B & # %BSolucin: Observe que la ecuacin tiene solucin slo si .# %B !
$B & # %B $B & # %B$B & # %B $B & # %B
$B %B $B
(B B
& %B & %B
& # %B # &
(
B "
( $
o
.
Verificacin para :B "
-
13
$B & $ " &
$ &
#
##
# % "# %B
.Otra forma de verificar es comprobar la restriccin # %B !
# %B # % "
!
#
.
Verificacin para :B $
$B & $ &
* &
"%
"%# % # %B
$
$ .
Verificando en la restriccin # %B !
# %B $ # % "% !.
W $ .
27.- Resolver . & #B % $BSolucin: Observe que la ecuacin tiene solucin slo si .% $B !
$B #B BB
& #B
B
B
& #B % $B & #B % $B
& #B % $B % $B
& $B & $B
% & $B # % & " & * &
o
*& .
Verificacin para :B "
-
14
& #B
% $B
& #
& #
(
(% $
"
".
Otra forma de verificar es comprobar la restriccin % $B !
% $B % $ " "% !
.
Verificacin para :B *&
& #B & #
&
% $
% $B
*&
")&
(&(&
(&
*&
.
Verificando en la restriccin # %B !
% $B % $
!
*&(&
.
W " .
28.- Resolver ."! "&B)B
Solucin: "! "
"! "!
&B
!
)B
&B)B
! B & B )
& B) B& B ! ) B !u
o" # .
W & ) .
-
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29.- Resolver .* "%B(B
Solucin: * %B(B
* ! B % B (
"
*%B(B !
% B( B% B ! ( B !u
o" # .
W % ( .
30.- Resuelva la ecuacin * B
B
# *#( .
Solucin: Si
*
$
$ $
# # $ $B #
# $ # ! B ##B " !
BB
B #
$ B
#
#
*#($$
#
# #$
B B
B B
B B
#
#
#
y como no hay restricciones de ningn tipo, se tiene que W # "# .
31.- Resuelva la siguiente ecuacin % #B
#B
# "''%
.
Solucin: Si %
%
%
% %
#B # 'B 'B #
#B 'B # ! #
B $B " !
B
B
#B#B
#B #
$ #B
#B #
'B
#B #'B
#
#
#
#
#
"''%%
%
%%
$ $ %""#"
#
#
#
$ "$#
y como no hay restricciones de ningn tipo, se tiene que .W $ "$#
32.- Resuelva la siguiente ecuacin .691$& #B "
-
16
Solucin: Si 691$& #B & #B !
& #B
& #B
"
$
#B
& #B
#B #
B
"
" "$ $
"$
"%$($
y al verificar la solucin en la restriccin , se tiene que .& #B ! W ($
33.- Resolver .691 $B & #&
Solucin: 691 $B & #
$B & &
$B &
$B
&
#& &
$
B "!
#
$!.
W "! .
34.- Resolver .691 #B $ %#
Solucin: 691 #B $
#B $
#B $
# %
"' $
#
B
#
#B
%
"$"$# .
W "$# .
35.- : Despeje .6 en la ecuacin W +
-
17
36.- : Despeje .8 P + 8 ". en la ecuacin
Solucin: Si P + 8 ". + P+ 8 ". . !
8 " "
8
P+
.P+. "
por lo tanto 8 P+. "
37.- Despeje ecuacin T U "#&R " en la . RTSolucin: Si U "#&R " "#&R R ! T !
"
"
"#&R U !
RT
U U"#&R T T "#&R
R R
RT "#&R
U
RT "#&R
"#&R U
por lo tanto T "#&R"#&R U#
.
38.- Despeje T $E #F en la ecuacin & $T T# ! #.
Solucin: Si & $T T#$T T
#
!
!
#
$ #
$ # $
$E #F
$E #F
$E #F
$E #F
#
#
#
#
&
&
&
&
T T T
T T
! !
!
por lo tanto T # T
$$E#F#
&
! .
39.- Despeje T! en la ecuacin ( $T T#- ! $E #F#.
Solucin:
-
18
Si ( $T T#-$T T
#-
!
!
# - # - !
$ # -
$ # -
$E #F
$E #F
$E #F
$E #F
#
#
#
#
(
(
(
(
T T
T T
!
!
# - T$E #F#(
!
por lo tanto T T ! $ # - $E #F#
(
40.- .Despeje T E #F! en la ecuacin $ !TT%
Solucin: Si
$ !
!
TT
%
TT
%
E#F
E #F %
%E #F %E #F
%E #F
$
$
$ $
$
T T T
T T! !
!
por lo tanto T T ! %E #F$ .
41.- Despeje ecuacin P U 5P O . en la ."! !
Solucin: Para empezar se debe tener que y" ! ! Si
si
U 5P O . .
U. 5P O 5O !
P !
"
"
""
! !
! ! !
! !!
!
U . U .
5O 5O
"! es par.
por lo tanto P "! !U.5O .
42.- .Despeje ecuacin P U EP O en la $ #& &
-
19
Solucin: Si U EP O EO !
P
P
P
$ # #& & &
$&
#&
#&
$
$#&
U
EO
U
EO
U
EO
&
$
&
&
por lo tanto P $ && #UE O .
43.- Despeje en la ecuacin .> T / #T
Solucin: Si T / #
/ #
/
< ! !
#
68 !
# 68 # T T $/!
!"#&>&
-
20
Solucin: Si T T $/ T $ T $
/ 68 !
68 &
& 68 !"#&
! ! !!"#&>&
T TT $ T $
!"#&>&
TT $
TT $
! !
!
!
!"#&> &
!"#&>
por lo tanto > & 68" T!"#& T $ !
46.- .Despeje ecuacin T P91 %) )T 5> G en la &
Solucin: Si P91 %) )T 5> G %) )T !
%) )T
)T %)
&5>G
5>G
&
&
por lo tanto T %)&)
5>G
.
47.- .Despeje M V 691 en la ecuacin MM!
Solucin: Si V 691 !
M MM MMM
! !
!"!V
por lo tanto M M "!!
V .
48.- Una persona termina un trabajo en 8 horas y otra termina en 6 horas. Cuntotiempo, en horas minutos y segundos, demorarn en terminar si trabajan juntos?
Solucin: demorarn en terminar si trabajan juntosSea el tiempo que , entoncesB
B B) '
(B#%
#%($(
"
"
B
B $
luego el tiempo que demorarn en terminar si trabajan juntos es de $ $(horas o 3 horas, 25 minutos y 43 segundos.
49.- Una persona termina un trabajo en 10 horas y otra termina en 8 horas. Cuntotiempo demorarn en terminar si trabajan juntos?
-
21
Solucin: demorarn en terminar si trabajan juntosSea el tiempo que , entoncesB
B B"! )
*B%!
%!*%*
"
"
B
B %
luego el horastiempo que demorarn en terminar si trabajan juntos es de % %*o 4 horas, 26 minutos y 40 segundos.
50.- Una llave llena un depsito en 4 horas, una segunda llave lo llena en 5 horas yun desage lo vaca en 6 horas. Si se abren los tres dispositivos a la vez, en cuntotiempo se llenar el depsito?
Solucin: 1 Forma:
Sea el tiempo en que se llenar el depsito, entoncesB
B B B% & '
"(B'!
'!"(*"(
"
"
B
B $
luego el depsito se llenar en horas o 3 horas, 31 minutos y 46$ *"(segundos.
51.- Un padre reparte entre sus tres hijos $280.000. El menor recibe la mitad de loque recibe el segundo y este, la tercera parte de lo que recibe el mayor. Cuntorecibe cada uno?
Solucin: Sea B la cantidad que recibe el mayor, B B$ ' lo que recibe el segundo y loque recibe el menor, luego
B '
'B #B B "')!!!! *B "')!!!!
B
B ")'''' '
B B$ ' #)!!!!
&'!!!!$
el mayor recibe $186.667, el segundo $62.222 y el menor $31.111.
-
22
52.- Cul es el nmero racional que sumado con su recproco es igual a ?#&"#
Solucin: Sea el nmero a descubrir, luego:B
B
B "#
B #&B "#
B
B
B
" #&B "# "#B B !
"# #&B #&B
"# !
B B
#
#
#& #& %"#"##"#
#& %*#%
#&(#%
% $$ %
#
" #o .
el nmero es .% $$ % o, su recproco
53.- Cul es el nmero racional que restado con su inverso multiplicativo es igual a ?"'"&
Solucin: Sea el nmero a descubrir, luego:B
B
B "&
B "'B "&
B
B
B
"B "&B B !
"& "'B "'B
"& !
B B
"'"&
#
#
"' "' %"&""&
"' ""&'$!
"' $%$!
& $$ &
#
" #o .
el nmero es .& $$ & o
54.- Puede demostrarse que si en cierto ao se consume una cantidad deE!petrleo, y si existe una tasa de crecimiento anual de consumo , entonces la
E / " >E
-
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Solucin: Si E / "
/ "
/
< ! !
"
68 !
68