ejercicios resueltos sobre sistemas ecuaciones lineales
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Sistemas de ecuaciones lineales homogeneos y no homogeneos resueltos mediante varios metodos.TRANSCRIPT
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1
Universidad Autónoma de Santo Domingo
Facultad De Ciencias
Escuela De Matemáticas
Santo Domingo, D. N.
Mayo , 2014
ALGEBRA SUPERIOR
Ejercicios Resueltos sobre
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Preparado por: Rosa Cristina De Peña Olivares
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2
I. En los sistemas asignados debe:
A) Expresar en forma matricial
B) Resolver usando Gauss.
C) Cuando sea posible resolver usando Gauss-Jordan.
D) Analice la compatibilidad según Rouche Frobenius.
Si es compatible, halle al menos una solución.
E) Resuelva usando matriz inversa, si es posible.
1)
A) Expresar en forma matricial
[
]
[ ]
[ ]
[
]
[
] [ ] [
]
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3
B) Resolver usando Gauss.
Escalonando la [
]
[
]
[
]
(
)
[
]
[
]
(
)
[
]
Sistema Equivalente:
[
] [ ] [
]
Determinación de la solución del SEL:
Número de ecuaciones = 3
Número de incógnitas = 3 Sistema posee solución única
De la segunda ecuación: y = 4 -2(3) = 4- 6 = -2 = y
De la primera ecuación:
x = 3y + 8z-14 = 3(-2) + 8(3) -14= -6 + 24 -14 = 4
Conjunto Solución: (x,y,z) = ( 4,-2,3)
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4
C) Seleccionar el sistema y resolver usando Gauss-Jordan.
Escalonando en forma reducida la
[
]
[
]
[
]
Sistema Equivalente: [
] [ ] [
]
Conjunto Solución: (x,y,z) = ( 4,-2,3)
D) Analice la compatibilidad según Rouche Frobenius.
Si es compatible, halle al menos una solución.
Escalonando la
[
]
Determinación de Rangos en la matriz ampliada y escalonada.
Rango de la matriz de coeficientes r(A) = 3
Rango de la matriz ampliada r (A’) = 3
Como r(A) = r(A’) Sistema posee solución. Sistema compatible.
Número de ecuaciones = 3
Número de incógnitas = 3 Sistema posee solución única
Determinación de la solución del SEL:
Sistema Equivalente: [
] [ ] [
]
Determinación de la solución del SEL:
De la segunda ecuación: y = 4 -2(3) = 4- 6 = -2 = y
De la primera ecuación:
x = 3y + 8z-14 = 3(-2) + 8(3) -14= -6 + 24 -14 = 4
Conjunto Solución: (x,y,z) = ( 4,-2,3)
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5
E) Resuelva usando matriz inversa, si es posible.
[
] [ ] [
]
Despejando las incógnitas: [ ] [
]
[ ]
Después de hallar la matriz inversa para la matriz de los coeficientes de las incógnitas
tenemos que:
[ ] [
] [
] [
]
Conjunto Solución: (x,y,z) = ( 4,-2,3)
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6
2)
A) Expresar en forma matricial
[
]
[ ]
[
]
[
]
[
] [ ] [
]
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7
B) Resolver usando Gauss.
[
]
[
]
(
)
[
]
(
)
[
]
Sistema Equivalente:
[
] [ ] [
]
Determinación de una solución del SEL:
Número de ecuaciones = 2
Número de incógnitas = 3
Sistema posee infinitas soluciones
Variables libres tenemos: 3-2 = 1 variable libre
De la segunda ecuación: Tomando z como variable libre, para : z = 0 y = 4-2z y = 4
De la primera ecuación:
x = -2y -3z + 9 = -2 (4) -3(0) + 9 = 1
Una solución de las infinitas es: (x,y,z) = ( 1,4,0)
C) Cuando sea posible resolver usando Gauss-Jordan. No aplica.
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8
D) Analice la compatibilidad según Rouche Frobenius.
Si es compatible, halle al menos una solución.
Escalonando la
[
]
Sistema Equivalente:
[
] [ ] [
]
Determinación de Rangos en la matriz ampliada y escalonada.
Rango de la matriz de coeficientes r(A) = 2
Rango de la matriz ampliada r (A’) = 2
Como r(A) = r(A’) Sistema posee solución. Sistema Compatible.
Número de ecuaciones = 2
Número de incógnitas = 3
Sistema posee infinitas soluciones
Variables libres tenemos: 3-2 = 1 variable libre
Determinación de una solución del SEL:
De la segunda ecuación: Tomando z como variable libre, para : z = 0 y = 4-2z y = 4
De la primera ecuación:
x = -2y -3z + 9 = -2 (4) -3(0) + 9 = 1
Una solución de las infinitas es: (x,y,z) = ( 1,4,0)
E) Resuelva usando matriz inversa, si es posible. No aplica.
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9
3)
A) Expresar en forma matricial
[
]
[ ]
[
]
[
]
[
] [ ] [
]
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10
B) Resolver usando Gauss.
[
]
[
]
(
)
[
]
[
]
(
)
[
]
Sistema Equivalente:
[
] [ ] [
]
(
)
Determinación de una solución del SEL:
Número de ecuaciones = 2
Número de incógnitas = 3
Sistema posee infinitas soluciones
Variables libres tenemos: 3-2 = 1 variable libre
De la segunda ecuación: Tomando z como variable libre, para : z = 0
(
) y = (
)z y = 0
De la primera ecuación:
x = -2y +2z + 3 = -2 (0) +2(0) + 3 = 3
Una solución de las infinitas es: (x,y,z) = ( 3,0,0)
C) Cuando sea posible resolver usando Gauss-Jordan. No aplica.
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11
D) Analice la compatibilidad según Rouche Frobenius.
Si es compatible, halle al menos una solución.
Escalonando la
[
]
Sistema Equivalente:
[
] [ ] [
]
(
)
Determinación de Rangos en la matriz ampliada y escalonada.
Rango de la matriz de coeficientes r(A) = 2
Rango de la matriz ampliada r (A’) = 2
Como r(A) = r(A’) Sistema posee solución. Compatible.
Número de ecuaciones = 2
Número de incógnitas = 3
Sistema posee infinitas soluciones
Variables libres tenemos: 3-2 = 1 variable libre
Determinación de una solución del SEL:
De la segunda ecuación: Tomando z como variable libre, para : z = 0
(
) y = (
)z y = 0
De la primera ecuación:
x = -2y +2z + 3 = -2 (0) +2(0) + 3 = 3
Una solución de las infinitas es: (x,y,z) = ( 3,0,0)
E) Resuelva usando matriz inversa, si es posible. No aplica.
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12
4)
A) Expresar en forma matricial
[
]
[ ]
[
]
[
]
[
] [ ] [
]
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13
B) Resolver usando Gauss.
[
]
[
]
[
]
(
)
[
]
(
)
[
]
Sistema Equivalente: No tenemos. Sistema no posee solución
C) Cuando sea posible resolver usando Gauss-Jordan. No aplica.
D) Analice la compatibilidad según Rouche Frobenius.
Si es compatible, halle al menos una solución.
Escalonando la
[
]
Determinación de Rangos en la matriz ampliada y escalonada.
Rango de la matriz de coeficientes r(A) = 2
Rango de la matriz ampliada r (A’) = 3
Como r(A) r(A’) Sistema no posee solución. Incompatible.
E) Resuelva usando matriz inversa, si es posible. No aplica.
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14
5)
A) Expresar en forma matricial
[
]
[ ]
[
]
[
]
[
] [ ] [
]
![Page 15: Ejercicios resueltos sobre Sistemas Ecuaciones Lineales](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022012312/55910db21a28ab2e148b45d1/html5/thumbnails/15.jpg)
15
B) Resolver usando Gauss.
[
]
[
]
[
]
(
)
[
]
(
)
[
]
Sistema Equivalente:
[
] [ ] [
]
(
)
Determinación de la solución del SEL:
Número de ecuaciones = 3
Número de incógnitas = 3
Sistema posee solución única
Como z = 1
De la segunda ecuación:
(
) y = (
) =
De la primera ecuación:
x = 2y -3z +11 = 2(-3) -3 (1) + 11 = 2
Conjunto Solución: (x,y,z) = ( 2,-3,1)
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16
C) Seleccionar el sistema y resolver usando Gauss-Jordan.
Escalonando en forma reducida la
[
]
(
)
[
]
[
]
Sistema Equivalente: [
] [ ] [
]
Conjunto Solución: (x,y,z) = ( 2,-3,1)
D) Analice la compatibilidad según Rouche Frobenius.
Si es compatible, halle al menos una solución.
Escalonando la
[
]
Determinación de Rangos en la matriz ampliada y escalonada.
Rango de la matriz de coeficientes r(A) = 3
Rango de la matriz ampliada r (A’) = 3
Como r(A) = r(A’) Sistema posee solución. Compatible.
Número de ecuaciones = 3
Número de incógnitas = 3
Sistema posee solución única
Determinación de la solución del SEL:
Como z = 1
De la segunda ecuación:
(
) y = (
) =
De la primera ecuación:
x = 2y -3z +11 = 2(-3) -3 (1) + 11 = 2
Conjunto Solución: (x,y,z) = ( 2,-3,1)
![Page 17: Ejercicios resueltos sobre Sistemas Ecuaciones Lineales](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022012312/55910db21a28ab2e148b45d1/html5/thumbnails/17.jpg)
17
E) Resuelva usando matriz inversa, si es posible.
[
] [ ] [
]
Despejando las incógnitas: [ ] [
]
[
]
Después de hallar la matriz inversa para la matriz de los coeficientes de las incógnitas
tenemos que:
[ ] [
] [
] [
]
Conjunto Solución: (x,y,z) = ( 2,-3,1)
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18
6)
A) Expresar en forma matricial
[
]
[ ]
[ ]
[
]
[
] [ ] [
]
![Page 19: Ejercicios resueltos sobre Sistemas Ecuaciones Lineales](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022012312/55910db21a28ab2e148b45d1/html5/thumbnails/19.jpg)
19
B) Resolver usando Gauss.
[
]
[
]
[
]
(
)
[
]
Sistema Equivalente:
[
] [ ] [
]
(
)
Determinación de la solución del SEL:
Número de ecuaciones = 3
Número de incógnitas = 3
Sistema posee solución única
Como z = 14
De la segunda ecuación:
(
) y = (
) =
De la primera ecuación:
x = -y + z + 7 = -30 + 14 +7 = - 9
Conjunto Solución: (x,y,z) = ( -9,30,14)
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20
C) Seleccionar el sistema y resolver usando Gauss-Jordan.
Escalonando en forma reducida la
[
]
(
)
[
]
[
]
Sistema Equivalente:
[
] [ ] [
]
Conjunto Solución: (x,y,z) = ( -9,30,14)
D) Analice la compatibilidad según Rouche Frobenius.
Si es compatible, halle al menos una solución.
Escalonando la
[
]
Determinación de Rangos en la matriz ampliada y escalonada.
Rango de la matriz de coeficientes r(A) = 3
Rango de la matriz ampliada r (A’) = 3
Como r(A) = r(A’) Sistema posee solución. Es Compatible Determinado.
Número de ecuaciones = 3
Número de incógnitas = 3
Sistema posee solución única
Determinación de la solución del SEL:
Como z = 14
De la segunda ecuación:
(
) y = (
) =
De la primera ecuación:
x = -y + z + 7 = -30 + 14 +7 = - 9
Conjunto Solución: (x,y,z) = ( -9,30,14)
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21
E)Resuelva usando matriz inversa, si es posible.
[
] [ ] [
]
Despejando las incógnitas: [ ] [
]
[ ]
Después de hallar la matriz inversa para la matriz de los coeficientes de las incógnitas
tenemos que:
[ ] [
] [ ] [
]
Conjunto Solución: (x,y,z) = ( -9, 30,14)
![Page 22: Ejercicios resueltos sobre Sistemas Ecuaciones Lineales](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022012312/55910db21a28ab2e148b45d1/html5/thumbnails/22.jpg)
22
7)
A) Expresar en forma matricial
[
]
[ ]
[
]
[
]
[
] [ ] [
]
![Page 23: Ejercicios resueltos sobre Sistemas Ecuaciones Lineales](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022012312/55910db21a28ab2e148b45d1/html5/thumbnails/23.jpg)
23
B) Resolver usando Gauss.
[
]
[
]
[
]
(
)
[
]
[
]
(
)
[
]
Sistema Equivalente:
[
] [ ] [
]
(
)
Determinación de la solución del SEL:
Número de ecuaciones = 3
Número de incógnitas = 3
Sistema posee solución única
Como z = 1
De la segunda ecuación:
(
) y = - (
) =
De la primera ecuación:
x = -2y -3 z + 14 = -2(3) -3(1) + 14 = 5
Conjunto Solución: (x,y,z) = ( 5,3,1)
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24
C) Seleccionar el sistema y resolver usando Gauss-Jordan.
Escalonando en forma reducida la
[
]
(
)
[
] (
)
[
]
Sistema Equivalente:[
] [ ] [
]
Conjunto Solución: (x,y,z) = ( 5,3,1)
D) Analice la compatibilidad según Rouche Frobenius.
Si es compatible, halle al menos una solución.
Escalonando la
[
]
Determinación de Rangos en la matriz ampliada y escalonada.
Rango de la matriz de coeficientes r(A) = 3
Rango de la matriz ampliada r (A’) = 3
Como r(A) = r(A’) Sistema posee solución. Compatible Determinado.
Número de ecuaciones = 3
Número de incógnitas = 3
Sistema posee solución única
Determinación de la solución del SEL:
Como z = 1
De la segunda ecuación:
(
) y = - (
) =
De la primera ecuación:
x = -2y -3 z + 14 = -2(3) -3(1) + 14 = 5
Conjunto Solución: (x,y,z) = ( 5,3,1)
![Page 25: Ejercicios resueltos sobre Sistemas Ecuaciones Lineales](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022012312/55910db21a28ab2e148b45d1/html5/thumbnails/25.jpg)
25
E) Resuelva usando matriz inversa, si es posible.
[
] [ ] [
]
Despejando las incógnitas:
[ ] [
]
[
]
Después de hallar la matriz inversa para la matriz de los coeficientes de las incógnitas
tenemos que:
[ ] [
] [
] [ ]
Conjunto Solución: (x,y,z) = ( 5, 3,1)
![Page 26: Ejercicios resueltos sobre Sistemas Ecuaciones Lineales](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022012312/55910db21a28ab2e148b45d1/html5/thumbnails/26.jpg)
26
8)
A) Expresar en forma matricial
[
]
[ ]
[
]
[
]
[
] [ ] [
]
![Page 27: Ejercicios resueltos sobre Sistemas Ecuaciones Lineales](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022012312/55910db21a28ab2e148b45d1/html5/thumbnails/27.jpg)
27
B) Resolver usando Gauss.
[
]
[
]
[
]
[
]
(
)
[
]
Sistema Equivalente:
[
] [ ] [
]
Determinación de una solución del SEL:
Número de ecuaciones = 2
Número de incógnitas = 3
Sistema posee infinitas soluciones
Variables libres tenemos: 3-2 = 1 variable libre
De la segunda ecuación: Tomando z como variable libre, para : z = 0 y = 2/3+ z y = 2/3
De la primera ecuación:
x = 2y - z + 2/3 = 2 (2/3) - 0 + 1 = 4/3+1 = 7/3
Una solución de las infinitas es: (x,y,z) = ( 7/3,2/3,0)
C) Cuando sea posible resolver usando Gauss-Jordan. No aplica.
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28
D) Analice la compatibilidad según Rouche Frobenius.
Si es compatible, halle al menos una solución.
[
]
Determinación de Rangos en la matriz ampliada y escalonada.
Rango de la matriz de coeficientes r(A) = 2
Rango de la matriz ampliada r (A’) = 2
Como r(A) = r(A’) Sistema posee solución. Compatible.
Número de ecuaciones = 2
Número de incógnitas = 3
Sistema posee infinitas soluciones
Variables libres tenemos: 3-2 = 1 variable libre
Determinación de una solución del SEL:
De la segunda ecuación: Tomando z como variable libre, para : z = 0 y = 2/3+ z y = 2/3
De la primera ecuación:
x = 2y - z + 2/3 = 2 (2/3) - 0 + 1 = 4/3+1 = 7/3
Una solución de las infinitas es: (x,y,z) = ( 7/3,2/3,0)
E) Resuelva usando matriz inversa, si es posible. No aplica.
![Page 29: Ejercicios resueltos sobre Sistemas Ecuaciones Lineales](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022012312/55910db21a28ab2e148b45d1/html5/thumbnails/29.jpg)
29
9)
A) Expresar en forma matricial
[
]
[ ]
[ ]
[
]
[
] [ ] [
]
![Page 30: Ejercicios resueltos sobre Sistemas Ecuaciones Lineales](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022012312/55910db21a28ab2e148b45d1/html5/thumbnails/30.jpg)
30
B) Resolver usando Gauss.
[
]
[
]
[
]
[
]
(
)
[
]
(
)
[
]
[
]
Sistema Equivalente: No tenemos. Sistema no posee solución
C) Cuando sea posible resolver usando Gauss-Jordan. No aplica.
D) Analice la compatibilidad según Rouche Frobenius.
Si es compatible, halle al menos una solución.
[
]
Determinación de Rangos en la matriz ampliada y escalonada.
Rango de la matriz de coeficientes r(A) = 2
Rango de la matriz ampliada r (A’) = 3
Como r(A) r(A’) Sistema no posee solución. Incompatible.
E) Resuelva usando matriz inversa, si es posible. No aplica.
![Page 31: Ejercicios resueltos sobre Sistemas Ecuaciones Lineales](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022012312/55910db21a28ab2e148b45d1/html5/thumbnails/31.jpg)
31
10)
A) Expresar en forma matricial
[
]
[ ]
[ ]
[
]
[
] [ ] [
]
![Page 32: Ejercicios resueltos sobre Sistemas Ecuaciones Lineales](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022012312/55910db21a28ab2e148b45d1/html5/thumbnails/32.jpg)
32
B) Resolver usando Gauss.
[
]
[
]
[
]
[
]
(
)
[
]
Sistema Equivalente:
[
] [ ] [
]
Determinación de la solución del SEL:
Número de ecuaciones = 3
Número de incógnitas = 3
Sistema posee solución única.
De la segunda ecuación: y = 1- 4(3/22) = 1- 6/11 = 5/11 = y
De la primera ecuación:
x = -y + z = -5/11+ 3/22 = -7/22
Conjunto Solución: (x,y,z) = ( -7/22, 5/11,3/22)
![Page 33: Ejercicios resueltos sobre Sistemas Ecuaciones Lineales](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022012312/55910db21a28ab2e148b45d1/html5/thumbnails/33.jpg)
33
C) Seleccionar el sistema y resolver usando Gauss-Jordan.
Escalonando en forma reducida la
[
]
[
]
[
]
Sistema Equivalente:
[
] [ ] [
]
Conjunto Solución: (x,y,z) = ( -7/22, 5/11,3/22)
D) Analice la compatibilidad según Rouche Frobenius.
Si es compatible, halle al menos una solución.
Escalonando la
[
]
Determinación de Rangos en la matriz ampliada y escalonada.
Rango de la matriz de coeficientes r(A) = 3
Rango de la matriz ampliada r (A’) = 3
Como r(A) = r(A’) Sistema posee solución. Compatible.
Número de ecuaciones = 3
Número de incógnitas = 3
Sistema posee solución única
Determinación de la solución del SEL:
De la segunda ecuación: y = 1- 4(3/22) = 1- 6/11 = 5/11 = y
De la primera ecuación:
x = -y + z = -5/11+ 3/22 = -7/22
Conjunto Solución: (x,y,z) = ( -7/22, 5/11,3/22)
![Page 34: Ejercicios resueltos sobre Sistemas Ecuaciones Lineales](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022012312/55910db21a28ab2e148b45d1/html5/thumbnails/34.jpg)
34
E) Resuelva usando matriz inversa, si es posible.
[
] [ ] [
]
Despejando las incógnitas: [ ] [
]
[ ]
Después de hallar la matriz inversa para la matriz de los coeficientes de las incógnitas
tenemos que:
[ ] [
] [ ] [
]
Conjunto Solución: (x,y,z) = ( -7/22, 5/11,3/22)
![Page 35: Ejercicios resueltos sobre Sistemas Ecuaciones Lineales](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022012312/55910db21a28ab2e148b45d1/html5/thumbnails/35.jpg)
35
11)
A) Expresar en forma matricial
[
]
[ ]
[ ]
[
]
[
] [ ] [
]
![Page 36: Ejercicios resueltos sobre Sistemas Ecuaciones Lineales](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022012312/55910db21a28ab2e148b45d1/html5/thumbnails/36.jpg)
36
B) Resolver usando Gauss.
[
]
[
]
[
]
(
)
[
]
(
)
[
]
Sistema Equivalente:
[
] [ ] [
]
Determinación de la solución del SEL:
Número de ecuaciones = 3
Número de incógnitas = 3
Sistema posee solución única.
De la segunda ecuación: -7 y = -7 – z = - 7-11/10 = -81/10
De la primera ecuación:
x = y – z + 6 = -81/10 - 11/10 + 6 = - 46/5 + 6= -16/5
Conjunto Solución: (x,y,z) = (-16/5 ,-81/10,11/10)
![Page 37: Ejercicios resueltos sobre Sistemas Ecuaciones Lineales](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022012312/55910db21a28ab2e148b45d1/html5/thumbnails/37.jpg)
37
C) Seleccionar el sistema y resolver usando Gauss-Jordan.
Escalonando en forma reducida la
[
]
[
]
[
]
Sistema Equivalente: [
] [ ] [
]
Conjunto Solución: (x,y,z) = (-16/5 ,-81/10,11/10)
D) Analice la compatibilidad según Rouche Frobenius.
Si es compatible, halle al menos una solución.
Escalonando la
[
]
Determinación de Rangos en la matriz ampliada y escalonada.
Rango de la matriz de coeficientes r(A) = 3
Rango de la matriz ampliada r (A’) = 3
Como r(A) = r(A’) Sistema posee solución. Compatible.
Número de ecuaciones = 3
Número de incógnitas = 3
Sistema posee solución única
Determinación de la solución del SEL:
De la segunda ecuación: -7 y = -7 – z = - 7-11/10 = -81/10
De la primera ecuación:
x = y – z + 6 = -81/10 - 11/10 + 6 = - 46/5 + 6= -16/5
Conjunto Solución: (x,y,z) = (-16/5 ,-81/10,11/10)
![Page 38: Ejercicios resueltos sobre Sistemas Ecuaciones Lineales](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022012312/55910db21a28ab2e148b45d1/html5/thumbnails/38.jpg)
38
E) Resuelva usando matriz inversa, si es posible.
[
] [ ] [
]
Despejando las incógnitas:
[ ] [
]
[ ]
Después de hallar la matriz inversa para la matriz de los coeficientes de las incógnitas
tenemos que:
[ ] [
] [
] [
]
Conjunto Solución: (x,y,z) = (-16/5 ,-81/10,11/10)
![Page 39: Ejercicios resueltos sobre Sistemas Ecuaciones Lineales](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022012312/55910db21a28ab2e148b45d1/html5/thumbnails/39.jpg)
39
12)
A) Expresar en forma matricial
[
]
[ ]
[
]
[
]
[
] [ ] [
]
![Page 40: Ejercicios resueltos sobre Sistemas Ecuaciones Lineales](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022012312/55910db21a28ab2e148b45d1/html5/thumbnails/40.jpg)
40
B) Resolver usando Gauss.
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
(
)
[
]
Sistema Equivalente: No tenemos
C) Cuando sea posible resolver usando Gauss-Jordan. No aplica.
D) Analice la compatibilidad según Rouche Frobenius.
Si es compatible, halle al menos una solución.
[
]
Determinación de Rangos en la matriz ampliada y escalonada.
Rango de la matriz de coeficientes r(A) = 2
Rango de la matriz ampliada r (A’) = 3
Como r(A) r(A’) Sistema no posee solución. Incompatible.
E) Resuelva usando matriz inversa, si es posible. No aplica.
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41
II. De los sistemas de ecuaciones homogéneos
1)
A) Determine si se presenta solución trivial.
B) Indique el caso donde se posea solución no trivial.
[
] [ ] [
]
[
]
[
]
[
]
[
]
(
)
[
]
(
)
[
]
Sistema Equivalente: [
] [ ] [
]
(
)
Determinación de Rangos en la matriz ampliada y escalonada.
Rango de la matriz de coeficientes r(A) = 2
Rango de la matriz ampliada r (A’) = 2
Como r(A) = r(A’) Sistema posee solución trivial
Solución Trivial : (x,y,z) = (0 , 0, 0)
![Page 42: Ejercicios resueltos sobre Sistemas Ecuaciones Lineales](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022012312/55910db21a28ab2e148b45d1/html5/thumbnails/42.jpg)
42
B) Indique el caso donde se posea solución no trivial.
Número de ecuaciones = 2
Número de incógnitas = 3
Sistema posee infinitas soluciones
Variables libres tenemos: 3-2 = 1 variable libre
Determinación de una solución no trivial del SEL:
(
)
Si asignamos a : z = 5 y = 9
Solución no trivial : (x ,y ,z) = (- 8 , 9, 5)
![Page 43: Ejercicios resueltos sobre Sistemas Ecuaciones Lineales](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022012312/55910db21a28ab2e148b45d1/html5/thumbnails/43.jpg)
43
2)
A) Determine si se presenta solución trivial.
B) Indique el caso donde se posea solución no trivial.
[
] [ ] [
]
[
]
[
]
[
]
(
)
[
]
[
]
(
)
[
]
Sistema Equivalente:
[
] [ ] [
]
Determinación de Rangos en la matriz ampliada y escalonada.
Rango de la matriz de coeficientes r(A) = 3
Rango de la matriz ampliada r (A’) = 3
Como r(A) = r(A’) Sistema posee solución
Número de ecuaciones = 3
Número de incógnitas = 3
Sistema posee solución única trivial
Solución Trivial : (x,y,z) = (0 , 0, 0)
![Page 44: Ejercicios resueltos sobre Sistemas Ecuaciones Lineales](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022012312/55910db21a28ab2e148b45d1/html5/thumbnails/44.jpg)
44
3)
[
] [ ] [
]
[
]
[
]
[
]
(
)
[
]
Sistema Equivalente: [
] [ ] [
]
(
)
Determinación de Rangos en la matriz ampliada y escalonada.
Rango de la matriz de coeficientes r(A) = 2
Rango de la matriz ampliada r (A’) = 2
Como r(A) = r(A’) Sistema posee solución trivial
Solución Trivial : (x,y,z) = (0 , 0, 0)
B) Indique el caso donde se posea solución no trivial. Número de ecuaciones = 2
Número de incógnitas = 3
Sistema posee infinitas soluciones
Variables libres tenemos: 3-2 = 1 variable libre
Determinación de una solución no trivial del SEL:
(
)
Si asignamos a : z = 9 y = 5
Solución no trivial : (x ,y ,z) = ( 8 , 5, 9)
![Page 45: Ejercicios resueltos sobre Sistemas Ecuaciones Lineales](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022012312/55910db21a28ab2e148b45d1/html5/thumbnails/45.jpg)
45
4)
[
] [ ] [
]
[
]
=
[
]
(
)
[
]
(
)
[
]
Sistema Equivalente: [
] [ ] [
]
Determinación de Rangos en la matriz ampliada y escalonada.
Rango de la matriz de coeficientes r(A) = 2
Rango de la matriz ampliada r (A’) = 2
Como r(A) = r(A’) Sistema posee solución trivial
Solución Trivial : (x,y,z) = (0 , 0, 0)
B) Indique el caso donde se posea solución no trivial. Número de ecuaciones = 2
Número de incógnitas = 3
Sistema posee infinitas soluciones
Variables libres tenemos: 3-2 = 1 variable libre
Determinación de una solución no trivial del SEL:
Si asignamos a : z = 1 y = -2
Solución no trivial : (x ,y ,z) = ( 7 , -2, 1)
![Page 46: Ejercicios resueltos sobre Sistemas Ecuaciones Lineales](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022012312/55910db21a28ab2e148b45d1/html5/thumbnails/46.jpg)
46
5)
[
] [ ] [
]
[
]
=
[
]
(
)
[
]
[
]
(
)
[
]
Sistema Equivalente: [
] [ ] [
]
(
)
Como r(A) = r(A’) Sistema posee solución trivial
Solución Trivial : (x,y,z) = (0 , 0, 0)
B) Indique el caso donde se posea solución no trivial. Número de ecuaciones = 2
Número de incógnitas = 3
Sistema posee infinitas soluciones
Variables libres tenemos: 3-2 = 1 variable libre
Determinación de una solución no trivial del SEL:
(
)
Si asignamos a : z = 9 y = 8
Solución no trivial : (x ,y ,z) = ( 2 , 8, 9)
![Page 47: Ejercicios resueltos sobre Sistemas Ecuaciones Lineales](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022012312/55910db21a28ab2e148b45d1/html5/thumbnails/47.jpg)
47
6)
[
] [ ] [
]
[
]
[
]
[
]
[
]
(
)
[
]
(
)
[
]
Sistema Equivalente:
[
] [ ] [
]
(
)
Determinación de Rangos en la matriz ampliada y escalonada.
Rango de la matriz de coeficientes r(A) = 3
Rango de la matriz ampliada r (A’) = 3
Como r(A) = r(A’) Sistema posee solución) Sistema posee solución trivial
Número de ecuaciones = 3
Número de incógnitas = 3
Sistema posee solución única
Solución Trivial : (x,y,z) = (0 , 0, 0)
![Page 48: Ejercicios resueltos sobre Sistemas Ecuaciones Lineales](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022012312/55910db21a28ab2e148b45d1/html5/thumbnails/48.jpg)
48
7)
[
] [ ] [
]
[
]
[
]
[
]
(
)
[
]
Sistema Equivalente:
[
] [ ] [
]
(
)
Determinación de Rangos en la matriz ampliada y escalonada.
Rango de la matriz de coeficientes r(A) = 3
Rango de la matriz ampliada r (A’) = 3
Como r(A) = r(A’) Sistema posee solución
Número de ecuaciones = 3
Número de incógnitas = 3
Sistema posee solución única trivial
Solución Trivial : (x,y,z) = (0 , 0, 0)
![Page 49: Ejercicios resueltos sobre Sistemas Ecuaciones Lineales](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022012312/55910db21a28ab2e148b45d1/html5/thumbnails/49.jpg)
49
8)
[
] [ ] [
]
[
]
[
]
[
]
(
)
[
]
Sistema Equivalente: [
] [ ] [
]
Como r(A) = r(A’) Sistema posee solución trivial
Solución Trivial : (x,y,z) = (0 , 0, 0)
B) Indique el caso donde se posea solución no trivial. Número de ecuaciones = 2
Número de incógnitas = 3
Sistema posee infinitas soluciones
Variables libres tenemos: 3-2 = 1 variable libre
Determinación de una solución no trivial del SEL:
Si asignamos a : z = 2 y = -3
Solución no trivial : (x ,y ,z) = ( -2 , -3, 2)
![Page 50: Ejercicios resueltos sobre Sistemas Ecuaciones Lineales](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022012312/55910db21a28ab2e148b45d1/html5/thumbnails/50.jpg)
50
9)
[
] [ ] [
]
[
]
[
]
[
]
(
)
[
]
Sistema Equivalente: [
] [ ] [
]
(
)
Determinación de Rangos en la matriz ampliada y escalonada.
Rango de la matriz de coeficientes r(A) = 3
Rango de la matriz ampliada r (A’) = 3
Como r(A) = r(A’) Sistema posee solución trivial
Solución Trivial : (x,y,z) = (0 , 0, 0)
![Page 51: Ejercicios resueltos sobre Sistemas Ecuaciones Lineales](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022012312/55910db21a28ab2e148b45d1/html5/thumbnails/51.jpg)
51
10)
[
] [ ] [
]
[
]
[
]
[
]
[
]
(
)
[
]
[
]
(
)
[
]
Sistema Equivalente: [
] [ ] [
]
(
)
Determinación de Rangos en la matriz ampliada y escalonada.
Rango de la matriz de coeficientes r(A) = 3
Rango de la matriz ampliada r (A’) = 3
Como r(A) = r(A’) Sistema posee solución trivial
Solución Trivial : (x,y,z) = (0 , 0, 0)