Complejo Educacional Carlos Holzapfel. Formando en valores para el futuro Asignatura: Matemtica Profesor: Vctor A. Salamanca Arias.

NOMBRE:

OBJETIVOS: DEL LENGUAJE COMN AL LENGUAJE ALGEBRAICO.

- Expresa las siguientes proposiciones en lenguaje algebraico:

- Transformar en enunciados verbales las siguientes expresiones algebraicas:

TRMINOS SEMEJANTES

- Reducir trminos semejantes

USO DE PARNTESIS

- Suprime los parntesis y reduce los trminos semejantes:

PRODUCTO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

- Producto monomial (o de Monomios)

- Monomio por polinomio

PRODUCTOS NOTABLES

- Cuadrado de Binomio

- Producto de la suma por la diferencia.

- Cuadrado de un trinomio.

- Binomio al cubo.

- Simplificacin de Expresiones Algebraicas:

DESPEJAR INCOGNITAS

ECUACIONES LINEALES.

PROBLEMAS CON ECUACIONES LINEALES

- Recomendaciones para plantear una ecuacin

Del Lenguaje Comn al Lenguaje Algebraico. Lenguaje Comn Lenguaje Algebraico

Un nmero cualquiera. a, b, c, m

Un nmero cualquiera aumentado en siete. m + 7

La diferencia de dos nmeros cualesquiera. f - q

El doble de un nmero excedido en cinco. 2x + 5

La divisin de un nmero entero entre su antecesor x/(x-1)

La mitad de un nmero. d/2

El cuadrado de un nmero y2

La semisuma de dos nmeros (b+c)/2

Tres nmeros naturales consecutivos. x, x + 1, x + 2.

El cuadrado de un nmero aumentado en siete. b2 + 7

El cubo de un nmero ms el triple del cuadrado de dicho nmero. x3 + 3x2

Expresa las siguientes proposiciones en lenguaje algebraico:

a) El doble de un nmero. =

b) El triple de un nmero. =

c) El cudruplo de un nmero. =

d) La mitad de un nmero. =

e) Un nmero disminuido en 5 unidades. =

f) Un nmero par (x ).

Un nmero impar (x ). =

h) Un nmero cualquiera aumentado en su doble. =

i) La suma de tres nmeros consecutivos. =

j) La suma de dos nmeros pares consecutivos. =

k) La suma de tres nmeros impares consecutivos. =

l) El antecesor par de un nmero par. =

m) El antecesor impar de un nmero impar. =

n) La semisuma de dos nmeros. =

o) La semidiferencia de dos nmeros. =

p) La tercera parte de a aumentado en la quinta parte de

b. =

q) El cuadrado de un nmero. =

r) Las tres cuartas partes de un nmero =

s) El exceso de 12 sobre un nmero. =

t) El exceso de un nmero sobre 7. =

u) El triple de un nmero aumentado en 5. =

v) El triple de, un nmero aumentado en 5. =

w) Dos veces la suma de dos nmeros. =

x) Dos veces un nmero sumado a otro. =

y) Tres veces la diferencia de dos nmeros. =

z) La mitad de un nmero ms su doble. =

GUA

LGEBRA

PRIMERO MEDIO 2014

Transformar en enunciados verbales las siguientes expresiones algebraicas:

a) 2

ba

b) 2

ba

c) 2

ab

d) 0; bb

a

e) 12 n

f) 55 nn

g) 210n

h) 31n

i) 65 2 nn

j) 3,3

12

n

n

n

k) 915 x

l) 125 x

m) 625

x

n) baba

o) 120242 xxx

p) 4523 xxx

TRMINOS SEMEJANTES

Son aquellos trminos algebraicos que tienen la misma parte literal y el mismo grado.

Reducir trminos semejantes

a) m + 2m

b) a + 2a + 9a

c) m2 2m2 7m2

d) 6x2y2 12x2y2 + x2y2

e) 3a - 2b 5b + 9a

f) a2 + b2 2b2 3a2 a2 + b2

g) x2yz + 3xy2z 2xy2z 2x2yz

h) 2x 6y 2x 3y 5y

i) 15a + 13a - 12b 11a -4b b

j) 432

aaa

k) 5

6

2

3

3

2

5

2222 baababba

l) 43

2

2

mmmm

m) qpqp2

37

4

32

n) 0,2m 0,02n + 1,07m 1,03n m n

o) 1,17a - 2,15a - 3,25a + 4,141a

p) 1 + x + xy 2 + 2x 3xy 3 + 2xy 3x

q) mnnmnmmnnm3

8

10

3

2

3

3

2

5

1 222

r) ttsssts4

1

3

5

3

1

3

2

4

3

3

11

s) 7a2 15b3 + 5b3 + 9a2 4b3 =

t) 0,01 b2c 0,2 c2b - 0,8 c2b + 0,99 b2c =

u) 0,2r + 3t 2,5t + 0,5r 4r + 2,5t =

v) 2h 3p + 5p 2q 4h + 3q =

w) 4,5c 7d 1,4d + 0,6c + d + 5,3d =

x) 0,1 x 0,7y 0,18y + 0,9x + 1,2y 2,3x =

y) 5a3b2+3 a4b37 a3b23 a3b212 a4b35 ab58 ab5 =

z) 535353 3523 aaaaaa yxyxyx

aa)

bb)

cc) 7a - 1,8 b + 5 c - 7,2a + 5a - 6,1b - 8a + 12b =

dd) 8a + 5,2 b - 7,1a + 6,4 b + 9a - 4,3b + 7b - 3a =

USO DE PARNTESIS

1) Si un parntesis es precedido por un signo positivo, ste se puede suprimir sin variar los signos de los

trminos que estn dentro de l.

2) Si un parntesis es precedido por un signo negativo, lo podemos suprimir cambiando los signos de los

trminos que estn dentro de l.

3) Si el ejercicio tiene varios parntesis se comienza desde adentro hacia fuera.

Suprime los parntesis y reduce los trminos semejantes:

a) (a + b) + (a b)

b) (x + y) (x y)

c) 2a - (2a - 3b) b

d) 4 (2a + 3) + (4a + 5) (7 3a)

e) 12 + ( -5x + 1) ( - 2x + 7) + (-3x) (-6)

f) 2m 3n - -2m + n (m n)

g) (a + b c) (-a b c) + (a b + c)

h) -(x2 y2) + 2x2 3y2 (x2 2x2 3y2)

i) --(a 2b) (a + 2b) (-a 3b)

j) 3x + 2y - 2x - 3x (2y 3x) 2x - y

k) 3y 2z 3x - x - y (z x) - 2x

l) 15 - (6a3 + 3) (2a3 3b) + 9b

m) 16a + -7 (4a2 1) - -(5a + 1) + (-2a2 + 9) 6a

n) 25x - --(-x 6) (-3x 5) - 10 + -(2x + 1) + (-2x 3) -

4

o) 2 - --(5x 2y + 3) - (4x + 3y) + (5x + y)

p) --(5a + 2) + (3a 4) (-a + 1) + (4a 6)

q) 7a - -2a - -(-(a + 3b) (-2a + 5b) - (-b + 3a)

r) ---(-7x 2y) + --(2y + 7x)

s) (3x 2y + 5z) (3y 5z 3x) + x y + z

t) 30x + {(10 5x) 4} {6 (3 + 2x)}

u) 21x {(3x + 2y) + (8x 6y + 4)} {(7x + 3) (3y + 5 x)}

v) (a + b) {(a b) (a b)} {(a + b) (a b)}

w) y {y y y ( y x) x + x } x

x) b {c d c ( d b) 2 d c} b

y) {0,2x + (3,4x 2,5) (2,3x 0,7) + 0,2 }

z) x { (x + y) (x 2y) x y (2x y) }

aa) 4 (2a + 3) + (4a + 5) (7 3a)

bb) --(a 2b) (a + 2b) (-a 3b)

cc) 16a + -7 (4a2 1) - -(5a + 1) + (-2a2 + 9) 6a

dd) ---(-7x 2y) + --(2y + 7x)

ee) 5a - 3b + c + ( 4a - 5b - c ) =

ff) 3a + ( a + 7b - 4c ) - ( 3a + 5b - 3c) - ( b - c ) =

gg) 8x - ( 15y + 16z - 12x ) - ( -13x + 20y ) - ( x + y + z ) =

hh) 6a - 7ab + b - 3ac + 3bc - c - {(8a + 9ab - 4b) - (-5ac + 2bc -

3c)} =

PRODUCTO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Producto monomial (o de Monomios)

a) 7 21

23

x x

b) 4 72

33

x x

c) 23

34

z

d) 5 43 6

24 5

y y y

e) 23 4

2 5a a

f) 4 71

32

x x x

g) 22 53 xx

h) 55 46 xx

i) 23 xx

j) 74 64 xx

k) 5 37 5x x

l) 75 6)3( xx

m) 479 x

n) 33 )2()11( xx

o) 44 )6()5( xx

p) 53 )12(4 xx

q) 23 7)6( xx

r) 753

5

5

2xx

s) 3 55 1

6 3x x

t) 4 64 2

11 3x x

Monomio por polinomio

a) 5( 4)c =

b) 4(5 )x =

c) 4( 2 5)c =

d) 5( )a b =

e) 27 3( 4)x x =

f) 10( 9 4 )x =

g) 11 4( 2 ) 5 7b c b =

h) ( 1)m n =

i) ( 6)x =

j) 2( 2 )a b =

k) ( 6 )a c bc =

l) 4(3 2)x =

m) 6( 1 )z x =

n) 3( )x y z =

o) ( )

p) 3(5 4 )x y =

q) 24 ( 2 )y y y =

r) 2 (3 1)a a b =

PRODUCTOS NOTABLES

Cuadrado de Binomio Se resuelve con la ayuda del siguiente enunciado verbal:

El cuadrado de un binomio

es igual al cuadrado del primer trmino

ms (o menos) el doble del primer por el segundo trmino

ms el cuadrado del segundo trmino

RESUELVE LOS SIGUIENTES CUADRADOS DE BINOMIOS EN TU CUADERNO:

a) (x + 7)2 =

b) (x 0,5)2 =

c) (4x 7y)2 =

d)

2

5

2

4

3

ba =

e) (m3 n4)2 =

f) (x + 5)2 =

g) (3x 4y)2 =

h)

2

23

2 yx

i) (x + 3)2 =

j) (5 + a)2 =

k) (6x + y)2 =

l) (9 + 4x)2 =

m) (7x + 11)2 =

n) (a + b)2 =

o) (1 + 3x2)2 =

p) (2x + 3y)2 =

q) (a2x + by2)2 =

r) (3a3 + 8b4)2 =

s) (4m5 + 5n6)2 =

t) (7a2b3 + 5x4)2 =

u) (4xy2 + 5wz3)2 =

v) (8x2y + 9m3)2 =

w) (x10 + 10y12)2 =

x) (xm + xn)2 =

y) (ax + bx+1)2 =

z) (xa+1 + yx-2)2 =

aa) (x + 5) =

bb) (x - 7) =

cc) (a + 1) =

dd) (m + 21)

ee) (x - 2)

ff) (x - 18)

gg) (p + 5q)

hh) (x - 3y)

ii) (2x + 6)

jj) (3x - 5)

kk) (6x - 8y)

ll) (0,2x - 3)

mm) (5a - 0,3)

nn) ( x4

3 - 5)

oo) 2

4

3

3

2

ba

Producto de la suma por la diferencia.

Para calcular la suma de dos trminos por su diferencia debemos operar de la siguiente manera:

El producto de la suma de dos trminos por su diferencia es igual a la diferencia de sus cuadrados. RESUELVE EN TU CUADERNO:

a) ( x - 3 )(x + 3 ) =

b) (2a - 1 )( 2a + 1) =

c) ( 4 x2 + 1 )( 4x2 - 1 ) =

d) ( 10m - 9)( 10m + 9 ) =

e) ( x2 + y3)(x2 y3) =

f) ( a2 + b4)(a2 - b4) =

g) ( 2x + y)( 2x - y) (x + 2y)(x - 2y) =

h) (3a - b)(3a + b) =

i) (5x - 3y)(5x + 3y) =

j) (2x - 3xy)(2x + 3xy) =

k) (6a + 1)( 6a 1) =

l) (9m-3n)(9m +3n) =

m) (- 4ab + 5b)(4ab + 5b) =

n) (- 6m n - 7m)(- 6m n + 7m) =

o) (10a 1)(10a + 1) =

p) (b 1/2)(b + 1/2) =

q) (2a/3 5b)(2a/3 + 5b) =

r) (2a + b)(2a b) (2a + b) =

s) (x + 5x)(x - 5x) = (x) - (5x) =

t) (- 9x 5xy)(- 9x + 5xy) =

u) (-13np + 1)(13np + 1) =

v) (1 a)(1 + a) (1 2a)(1 + 2a) =

w) (x 2xy)(x+2xy) + (x + 2xy) =

x) (1 w)(1 + w) =

y) ( 3/4p 2/5q )(3/4p + 2/5q) =

z) (abc/2x + 4x)(abc - 4x) =

aa) (0,05x 2)(0,05 + 2) =

bb) ( 6xyz 1)(6xyz + 1) =

cc) (2p + q/4)(2p q/4) =

dd) (0,3xy 2z)(0,3xy + 2z) =

ee) (3x - 2y)(3x + 2y) =

ff) (x + y)(x y) =

gg) (m n)(m + n) =

hh) (a x)(x + a) =

ii) (x2 + y2)(x2 y2) =

jj) (2x 1)(2x + 1) =

kk) (n 1)(n + 1) =

ll) (1 3ax)(3ax + 1) =

mm) (2m + 9)(2m 9) =

nn) (x3 x2)(x3 + x2) =

oo) (y2 3y)(y2 + 3y) =

pp) (1 + 8xy)(8xy 1) =

qq) (6x2 m2x2)(6x2 + m2x2) =

rr) (am + bn)(am bn) =

ss) (3xn 5ym)(3xn + 5ym) =

tt) (ax+1 2bx-1)(ax+1+2bx-1) =

Cuadrado de un trinomio.

( )

( ) RESUELVE EN TU CUADERNO:

a) ( )

b) ( ) c) ( ) d) ( ) e) ( )

f) ( )

g) ( ) h) ( ) i) ( ) j) ( )

Binomio al cubo.

(a b)3 = a

3 3 a

2 b + 3 a b

2 b

3

Un binomio al cubo (suma) es igual al cubo del primero, ms el triple del cuadrado del primero por el segundo, ms

el triple del primero por el cuadrado del segundo, ms el cubo del segundo.

a) ( ) b) ( ) c) ( ) d) ( ) e) ( )

f) ( ) g) ( ) h) ( )

Simplificacin de Expresiones Algebraicas:

a) b) = c) d) 48

72

25

75

96

32

3

5

2

2

3 2

4 3

a

ab

a b

ab

m n

m n

a b

a b

( )

( )

222

2

4964

78 h) g) =

105

63 f)

55

44 e)

yx

yx

yxy

xyx

yx

yx

ba

ba

i) j) = k) l) 24 18

44 33

16

8 16

9 30 25

6 10

25

20

2

2

2 2

2

x y

x y

x

x x

x x

x

x

x x

m) n) = ) o) 4 4 1

6 3

6 8

7 12

4 12

8 12

64

13 40

2 2

2

2

2

2

2

y y

x

x x

x x

x x

x x

u

u u

p) q) r) s) ( )

( )

a b c

a b c

c

c

x x

x

x x

x x

2 2

2 2

6

2

2

2

2

2

1 64

1 4

7 10

25

2

3 2

158

65 x)

152

12 w)

22 v)

)3(3

9 t)

2

2

2

2222

xx

xx

yy

yy

mn

nm

a

a

y) z)

1 +1

z' )

b

a

a

b

b a

a-

a

x+y

x-y

x y

x y

x+y

x

x y

x y

1 1

1

11

1

2

DESPEJAR INCOGNITAS

1. M

aT ; M =

2. WLQ

P ; Q =

3. Ln

tA

; A =

4. Ta

Pd

; T =

5. RtC

ba

; b =

6. tPq Pr ; P =

7. T

rTsQ

; T =

8. VRP

E ; P =

9. 00 xx

aVV ; x =

10. F

LaT

2 ; L =

11. aTAR

V

2

; V =

12. CBA

111 ; B =

ECUACIONES LINEALES.

1) 5x = 8x 15

2) 4x + 1 = 2

3) y 5 = 3y 25

4) 5x + 6 = 19 x + 5

5) 9y 11 = -10 + 12y

6) 21 6x = 27 8x

7) 11x + 5x 1 = 65x 36

8) 8x 4 + 3x = 7x + x + 14

9) 8x + 9 12x = 4x 13 5x

10) 5y + 6y 81 = 7y + 102 + 65y

11) 16 + 7x 5 + x = 11x 3 x

12) 3x + 101 4x 33 = 108 16x 100

13) 14 12x + 39x 18x = 256 60x 657x

14) 8x 15x 30x 51x = 53x + 31x 172

15) x (2x + 1) = 8 (3x + 3)

16) 15x 10 = 6x (x + 2) + (-x + 3)

17) (5 3x) (-4x + 6) = (8x + 11) (3x 6)

18) 30x (-x + 6) + (-5x + 4) = -(5x + 6) + (-8 + 3x)

19) 15x + (-6x + 5) 2 (-x + 3) = -(7x + 23) x + (3 2x)

20) 3x + [-5x (x + 3)] = 8x + (-5x 9)

21) 16x [3x (6 9x)] = 30x + [-(3x + 2) (x + 3)]

22) x [5 + 3x {5x (6 + x)}] = -3

23) 9x (5x + 1) {2 + 8x (7x 5)} + 9x = 0

24) 71 + [-5x + (-2x + 3)] = 25 [-(3x + 4) (4x + 3)]

25) -{3x + 8 [-15 + 6x (-3x + 2) (5x + 4)] 29 } = -5

26) (x + 3)(x + 2) = (x + 6)(x 2)

27) x(x 7) + 3 = (x 4)(x 2) + 10

28) (x + 4)(x 5) + x = (x + 5)2 5

29) 20 + (x + 8)(x 8) = (x + 6)2 20x

30) x(x 6) (x + 3)2 = (x + 5)(x 5) x2 + 28

31) 2x(x 1) + (x 1)2 = (2x + 3)(2x 3) (x2 2)

32) (3x+ 2)(3x 2) + 28x = 8x (2x + 5)(2x 5) + 13x2 9

33) (5x +1)(x 5) 80x + 10 = 5x(x 20) 35

34) (2x + 3)(6 x) + 2x2 = (x + 8)2 (x + 7)(x 7) 2x

35) -(x 20)(x + 20) + (x + 10)2 = (x + 9)(x 9) + 81 x2

PROBLEMAS CON ECUACIONES LINEALES

Plantear una ecuacin consiste en interpretar, comprender y expresar en una ecuacin matemtica el

enunciado verbal de cualquier problema.

Recomendaciones para plantear una ecuacin

No existen reglas sencillas que garanticen el xito en la resolucin de problemas. Sin embargo es posible

establecer algunas pautas generales y algunos principios que pueden ser tiles en la solucin de problemas:

1. Leer y comprender el problema.

2. Ubicar la incgnita y relacionarlo con los datos del problema.

3. Plantear la ecuacin y resolverla.

4. Comprobar el resultado. Ver si la respuesta es razonable.

Para plantear correctamente una ecuacin es necesario simbolizar correctamente el enunciado de un problema.

RESUELVE LOS SIGUIENTES PROBLEMAS

1. Cul es el nmero que multiplicado por dos es cuatro unidades menos que 3 veces 6.

a) 7 b) 8 c) 9 d) 6 e) no se puede

2. El cuadrado de la suma de dos nmeros consecutivos es 81. Hallar la diferencia del triple del mayor y el

doble del menor.

a) 9 b) 8 c) 7 d) 12 e) 10

3. Cul es el nmero que excede a 24 tanto como es excedido por 56?

a) 32 b) 36 c) 40 d) 42 e) 38

4. El exceso de un nmero sobre 20 es igual al doble del exceso del mismo nmero sobre 70. Hallar el nmero

disminuido en su cuarta parte.

a) 120 b) 80 c) 90 d) 110 e) 98

5. El costo del envo de un paquete postal de P kg. es de $1.000 por el primer kilogramo y de $1500 por cada

kilogramo adicional. Entonces el costo total de envo de dicho paquete es:

a) 1000 + 1500p b) 1000 1500p c) 1000 + 1500(p + 1) d) 1000 + 1500(p-1) e) 1000 - 1500(p - 1)

6. En un corral se cuentan 88 patas y 30 cabezas. Si lo nico que hay son gallinas y conejos, cul es la

diferencia entre el nmero de gallinas y el de conejos?

a) 2 b) 8 c) 7 d) 0 e) 1

7. En un examen un alumno gana dos puntos por cada respuesta correcta, pero pierde un punto por cada

equivocacin. Despus de haber contestado 40 preguntas obtiene 56 puntos. Cuntas correctas contesto?

a) 32 b) 28 c) 36 d) 24 e) 38

8. A cierto nmero par, se le suma el par de nmeros pares que le preceden y los dos nmeros impares que le

siguen obtenindose 968 unidades en total. El producto de los dgitos del nmero par en referencia es:

a) 162 b) 63 c) 120 d) 150 e) 36

9. Un nio sube por los escalones de una escalera de 2 en 2 y las baja de 3 en 3, dando en cada caso un nmero

exacto de pasos. Si en la bajada dio 10 pasos menos que en la subida. Cuntos escalones tiene la escalera?

a) 45 b) 50 c) 55 d) 60 e) 65

10. Si un litro de leche pura pesa 1032 gramos. Calcule la cantidad de agua que contiene 11 litros de leche

adulterada, los cuales pesan 11,28 kg.

a) 3 l b) 4 l c) 3,26 l d) 2,25 l e) 2 l

11. Un caballo y un mulo caminaban juntos llevando sobre sus lomos pesados sacos. Lamentbase el jamelgo

de su enojosa carga a lo que el mulo le dijo: "de que te quejas!, si yo te tomara un saco mi carga seria el doble

de la tuya. En cambio si yo te doy un saco, tu carga se igualara a la ma. Cuntos sacos llevaba el caballo y

cuantos el mulo?

a) c = 6 ; M = 8 b) c = 3 ; M = 6 c) c = 5 ; M = 6 d) c = 7 ; M = 5 e) c = 7 ; M = 9