ESCUELA DE CIENCIAS FISICAS Y

MATEMATICAS

El conjunto de los números reales

Definición:Un número real es cualquier número que se puede representarse en forma decimal.Ejemplos: - 8=-8,0 2)=0,5 3) =1,7 4)= 0, 5) = 0,6

Subconjunto importante de los números reales Números naturales o de conteo {1,2,3,….}Los enteros {0,1,2,3}Los racionales { l son enteros y b0}División para 0 tres casos:: respuesta única = 4 4x3= 12= no existe = t t x 0= 12 no existe = inconclusa Z+= N= Z= enteros ={0 Q= racionales Z-= R fraccionarios 

Q´= irracionales

Un número irracional en cambio, la forma decimal ni termina ni es periódico.Ejemplo:

=1,4142…2. =1,73205… 3. =3,14159… e=2,718…

Observación.- Por computadora se han extraído 20 cifras decimales ni terminan, ni hay períodos que el ordenador pueda encontrar del número π.Orden y notación de intervalos.- El conjunto de los números, reales está ordenado. Esto significa que podemos comparar 2 números reales cualquiera. Son desigualdades:

Intervalos acotados de números reales:

Símbolo Definición Se leea >b a -b positivo a es mayor que ba <b a -b negativo a es menor que ba ≥b a -b es positivo o “0” a es mayor o igual que

ba ≤ b a - b es positivo o “0” a es menor o igual que

b

Notación de Intervalo

Tipo de intervalo

Notación de desigualdad

Gráfico

[a,b] Cerrado a ≤ x ≤ bb

a(a,b) Abierto a < x < b

b

a[a,b) Semiabierto a ≤ x < b

a

b(a,b] Semiabierto a < x ≤ b

b

a

Intervalos no acotados de números reales:

Cada uno de estos intervalos tiene:Recta numérica. Resulta asociar los puntos de una recta con los números reales, es un conjunto de punto.

Ejemplo Guía N°1Describa en palabras y grafique los intervalos de números reales. (-1;3) x es mayor que -1 y menor o igual que 3

 

Notación e Inervalo Tipo de intervalo Notación de desigualdad

Gráfico

[a,+∞) Semiabierto x ≥ a+∞

a(a,+∞) Abierto x > a

+∞

a(-∞,b] Semiabierto x ≤ b

-∞

b(-∞,b] Semiabierto x < b

-∞

b

Expresiones Algebraicas:Es un conjunto de letras (variables) y números (constantes) relacionados mediante las operaciones algebraicas suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación.Ejemplos:

Propiedades Algebraicas1.Propiedad Conmutativa:Suma: u + v = v + uMultiplicación: u v = v u2.Propiedades Asociativas:Suma: (u + v) + w = u + (v + w)Multiplicación: (u v) w = u (v w)3.Propiedad Indefinida:Suma: u + 0 = uMultiplicación: u . 1 = u4.Propiedad del Inverso:Suma: u + (-u) = 0Multiplicación: u . = 1, u ≠ 05.Propiedad Distributiva:Multiplicación sobre la suma: u(v + w) = uv + uw (u + v)w = uw + vwMultiplicación sobre la resta: u(v – w) = uv + uw (u – v)w = uw – vw

Ejemplos:

=ba=base: n=exponente: b= potencia n de a

Exponente 0 :Si a es un numero real diferente de 0 a °= 1Ejemplos:

= 2.2.2=8()= (-3)(-3)(-3)(-3)=81

2=

Exponentes enteros Si a es un números real y n es entero y positivo entonces

= a. a. a…

N veces a

a= base: n=exponente : b= potencia n de a

=  

Notación científicaDefinición:Se dice que un número x está escrito en notación científica si x es igual

1

Y es un entero esta notación sirve para realizar la operación muy grande o muy pequeña:

Ejemplos:

0.000128=1.28 0.0000000955015= 9.55015

Exponente fraccionario

Ejemplo

Ejemplos: =

Definición de raíz n-simas

=2 =5 =49 =1024

Definición de elementos de un radical Ejemplo: =4

Simplificación de radicales

Fundamento uno:Raíz de n-sima de axbEjemplo factorización de números

= = =3

Fundamento dos:

=

Ejemplos:

= =

Operaciones de radicalesSuma y resta de radicales Fundamentos: para sumar o restas de radicales se simplifica los radicales

semejantes que son los que tienen iguales índice e igual cantidad su radical.

Ejemplos:

=-7 95 =15

Fundamento uno

=

Fundamento dos =

Ejemplos:

= = =8 = =

Escriba en forma exponencial =

Simplifique

= =7

= = x

Racionalización de denominadores:

En matemáticas no se acostumbra dejar radicales en el denominador de una respuesta.Para eliminar un radical de un denominador se debe no alterar el valor de la fracción Fundamento:

Ejemplos

Ejercicio Guía No. 8Determine el factor común de las siguientes expresiones 30x+15=15(2x+1) 10) 16)24 25)24cx-12cy-16gx+8gy =(24cx-12cy)-(16gx+8gy0 =12cy(2x-y)-8g(2x+y) =(2x-y)(12c-8g)=(2x-y)4(3c-2g)

Trinomio de la forma 1. Se escriben 2 paréntesis ()()2. “x” en ambos paréntesis en este caso lavariable correspondiente es x.3. En el paréntesis se escribe el signo del 2 término del trinomio y en el

segundo paréntesis se escribe el signo del tercer término del trinomio.4. Se busca 2 números que sumados algebraicamente den el coeficiente

del segundo termino

Polinomios Expresión algebraica._ una expresión algebraica es un conjunto de

letras (variables),números (constantes) relacionados mediante las operaciones algebraicas. (suma, resta, multiplicación, división, potenciación, radicación.)

Ejemplos:

+2x-5 -2-1

Polinomios:Definición.- son expresiones algebraicas que tienen con su variable únicamente

operaciones suma, resta, multiplicación, etc.Ejemplos: 3.x.x.x+z-5 -2x.x.x+1 x. x. x+

Forma general de un polinomio en una un polinomio en una variable Un polinomio en la variable X tiene la siguiente forma

Ordenado ascendente o descendente Grado= n Variable= xTermino independiente= Coeficiente: Coeficiente líder:

Tipo de polinomios Monomio: polinomio que tiene un término Binomio: polinomio que tiene 2 términosTrinomio: polinomio que tiene tres términos Polinomio: polinomio que tiene más de tres términos Guía 6:

F(x)= -8x+6x-7 Grado del polinomio= Coeficiente líder = 8 F(x) = -14-6x+8-13+7 Grado del polinomio= 4 Coeficiente líder= 7

Suma y resta: para sumar o restar polinomios se simplifica los términos semejantes (términos que tienen igual su parte literal)

Ejemplos guía 6:Sumar12. (5x-6) (-3x+10) 12. (5x-6) (-3x+10) =-2x+4 -7 +9 +5 – 6 =73+ 9x3 +5x2 -6x2 =-11 +15

Multiplicación de radicales

=+ =

Multiplicación de polinomios Fundamento: a(b + c)= (a. b) + (a. c) (b + c)a= (b. a) + (c. b) (-a)b= (a. b) (a)(b)= ab (a)(b)= ab

Guía 7

26) (-8y) (-4)= 32 37) (x+10)(x+12)= -2x-120Regla: se multiplica cada término de un polinomio por cada termino del otro polinomio PIESProductos notables: Existe en el algebra un tipo especial de multiplicaciones cuyo resultado se puede escribir directamente sin resolver

las multiplicaciones. Ejemplos:Algunos productos notables

(a+b)(a-b)= - = +ab+Nota: las variables a.b pueden ser expresiones algebraicas no solo una variable Ejemplos guía 7: Ejemplos guía 7: 8. (x+13) (x-13) =+169 13. (3x+2,4) 3x-2,4) = 9-5,75 20. = -22x+121 22. =4+4x+1 25. =81+2x- 26. =+14,6x+53,29 29. 49-56xy+16

Guia 8 16) 24 = (24 = 4x(6x-5y) + 5y(6x-5y) = (6x-5y) (4x+5y) 25) 24cx-12cy-16gx+8gy = (24cx-12cy) – (16gx-8gy) = 12c(2x-y) – 8g(2x-y) = (2x-y) (12c – 8g) = (2x-y) 4(3c – 2g) = (xy+10x)-(8y-80) = x (y+10)-8(y-10) = (y+10) (x-8) 29) 875 = =7

= 4(3c – 2g) (2x-y) 36) = 6( =6(x-3) (x+2) 39) =(-2y-15) = 59) 98 =2(49 =2(7 ( 51) 20+3-9 =(20+3x-9) = = = = Guía 9 13) xy+10x-8y-80

Trinomio de la forma + bx + c

1. Se escriben dos paréntesis.2. Se escribe x en ambos paréntesis, en este caso la variable correspondiente

es x.3. En el primer paréntesis se escribe el signo del segundo término del

trinomio y en el segundo paréntesis el producto de los signos del segundo por el tercer término del trinomio.

4. Se busca dos números que sumados algebraicamente del el coeficiente del segundo término y que multiplicados den el tercer término del trinomio.

31) 7x – 60 + = +7x – 60 = (x+12) (x-5) 39) 3 = 3 = 3(y-5)(y+3)

Trinomio de la forma + bx + c1. Multiplicar y dividir el trinomio por el primer coeficiente.2. Aplicar el procedimiento para el trinomio de la forma + bx + c.3. Simplificar la respuesta.

41) = =

Diferencia de cuadrados:Fundamentos:

52) 56) 57)  

Suma y Diferencia de cubos:Fundamento:  

Ejemplos:Guía 9:

= (u + v) ()

Ejercicios Especiales

 

   

 Operaciones:

 

 

 

  

Operación de respuesta:

 

 

Procedimiento para terminar el caso de factorización al que corresponde un ejercicio 1. Factor común: Si no hay factor común contar el numero de

términos( cantidades separadas con signos “+” y “-“)2. Si es solo un término: Ya esta factorado 3. Sin son 2 términos: Diferencia de cuadrados, suma o diferencia de

cubos, suma o diferencia de potencias iguales4. Si son 3 términos: Trinomio cuadrado perfecto, trinomio de la

forma  Y trinomio de la forma5. Sin son 4 o más términos: Factor común por agrupación

Expresiones Racionales Son expresiones de la forma: *

Son fracciones que resultan de dividir dos polinomios, es decir:

*

Ejemplos:

 

 

 

   

Valores excluidos del dominio de una fracción

Se deben excluir del dominio de una fracción los valores de una variable que hagan 0 a 1 o más denominadores 

Ejemplo: En el ejemplo 1, el dominio son todos los números reales excepto el “2” En el ejemplo 2, el dominio todos los reales excepto el “3” En el ejemplo 3, el dominio todos los números reales excepto el “1 y -1” En el ejemplo 4, el dominio todos los reales excepto “-5” Procedimiento para terminar el caso de factorización al que

corresponde un ejercicio: 1. Factor común: Si no hay factor común contar el número de términos

(cantidades separadas con signos “+” y “-“2. Si es un solo termino: Ya está factorado3. Sin son 2 términos: Diferencia de cuadrados, suma o diferencia de

cubos, suma diferencia de potencias iguales4. Si son 3 términos: Trinomio cuadrado perfecto, trinomio de la forma

5. Si son 4 o más términos: Factor común por agrupación

Expresiones de racionales

Son expresiones de la forma:

Son fracciones que resultan de dividir dos polinomios, es decir tienen la forma:

Ejemplos

Valores excluidos del dominio de una fracciónSe deben excluir del dominio de una fracción los valores de una variable

que hagan 0 a 1 o más denominadores En el ejemplo 1: el dominio son todos los números reales excepto el

“2” En el ejemplo 2: el dominio son todos los reales excepto el “3” En el ejemplo 3: el dominio todos los números reales excepto el “1 y

-1” En el ejemplo 4: el dominio todos los números reales excepto “-5” Ejemplo de la Guía 10 9) 10)

Simplificación de expresiones de racionalesFundamento:

En una fracción ( expresión racional) solo se pueden simplificar factores iguales en el numerados y en el denominador de la misma

Simplifique

=

Operaciones con expresiones racionalesMultiplicación:Fundamento:

Ejemplo Guía 11 12) 13)

División: Fundamentos

Suma y Resta: Fundamento:

 

Proceso Para sumar o restar fracciones Se debe factorar los denominados Se halla en común denominador que contenga a todos los denominadores o el producto

de ellos Se divide al común denominador para cada uno de ellos denominadores y cada

resultado se multiplica por el numerador correspondiente

Ejemplos Guía Nº 11

25) 27)

Simplificación de expresiones complejas Son fracciones que tienen otras fracciones en su numerador o denominador.Para simplificarlos: Se debe realizar las operaciones de sus numerador y denominador hasta

que quede una sola fracción en cada uno de ellos Se realiza la división de las 2 fracciones resultantes Ejemplos guía Nº12