Unidad 2

Elementos de notación matemática Una relación es de gran utilidad en las matemáticas,

es la relación funcional entre X y Y.

Una función puede ser representada como una colección de parejas ordenadas de elementos (X,Y).

Elementos de notación matemática La notación que utilizaremos con mayor frecuencia en

Estadística para representar una cantidad (o resultado) es X pero, ocasionalmente usaremos Y.

X y Y se emplean para identificar variables, si estuviésemos estudiando las variables peso y altura, utilizaríamos X para peso y Y para altura.

El símbolo N representa el número de observaciones que estamos tratando. Si tenemos 10 observaciones,

N = 10

Elementos de notación matemática Los subíndices se utilizan para identificar un símbolo

con mayor precisión, por tanto cuando tenemos una serie de observaciones o resultados, podemos

representarlos como X1, X2, X3, X4, etc.,

También hallaremos la expresión Xi, en el que el sub

índice puede tomar el valor que deseemos.

Elementos de notación matemática Las notaciones tienen las mismas características que

los verbos en el lenguaje común, el símbolo Σ indica que debemos sumar todas las cantidades u observaciones que siguen al símbolo.

Σ(X1,X2,X3,X4,X5)

Dice que se deben sumar todas las cantidades desde X1

hasta X5

Elementos de notación matemática Σ

Notaciones adverbiales: X1+X2+X3+X4+…..XN

Simbólicamente representamos esta operación de la manera siguiente:

N

Σ(Xi, i =1

Las notaciones anotadas abajo y arriba del símbolo de suma indican que i tomara sucesivamente los valores de 1,2,3,4,5,..hasta N. Verbalmente, la notación se lee: debemos

sumar todas las cantidades de X empezando en i=1 (que es, X1) y prosiguiendo hasta i = N, (que es XN) .

Algunas veces esta forma de notación puede decirnos que debemos sumar únicamente cantidades seleccionadas así:

5

Σ xi =,X2+,X3+,X4+X5

i =2

Reglas de sumatoria

El signo de sumatoria es de los más utilizados en estadística:

Supongamos una muestra en la cual:

N=3 y x1 =3, X2 =4 y X3=6 La suma de los tres valores de la variable se indican:

N

Σ xi =X1+X2+X3

i =1

=3+4+6

Reglas de sumatoria

Sea a una constante. Para demostrar la suma de los valores de una variable cuando se suma una constante a cada uno:

N

Σ (xi +a)= (3+a) + (4+a) + (6+a) i =1

=3+4+6+(a+a+a)

=13+3a

N N

Σ (xi +a)= Σ X1+,Na

i =1 i =1

Generalización: La suma de los valores de una variable más una constante es igual a la suma de los valores de la variable más N veces esa constante.

Reglas de sumatoria Para demostrar la suma de los valores de una variable cuando se resta una

constante de cada uno: N

Σ (xi -a)= (3-a) + (4-a) + (6-a) i =1

=3+4+6-(a+a+a)

=13-3a

Sucesiones numéricas

Sucesiones numéricas: Un conjunto de objetos a1, a2, a3,……ordenados de tal forma que se pueda

identificar al primero de ellos a1, al segundo a2, y así sucesivamente es denominado una sucesión.

Los elementos de una sucesión pueden ser elementos cualquiera, los más comunes son números:

1 3 4 6 9 10

Forman una sucesión ordenada de izq. a der. Aunque no necesariamente en magnitud.

Por ejemplo una baraja se ordenaría así:

10 j Q K A

Notación funcional: Los datos obtenidos de una muestra de una población

se consideran una sucesión de observaciones.

Mediante el uso de la notación funcional es posible escribir las sucesiones en forma abreviada con formulas para un elemento típico de la sucesión como función de su posición.

Por ejemplo en la sucesión: 3 4 5 6 7 cada elemento de la sucesión es una unidad mayor que la de su predecesor.

Se puede escribir la formula para el elemento Y de esta forma:

F (y) = y + 2

Así el primer elemento de la sucesión es el elemento en la posición y=1

f(1) = 1+2=3

El segundo elemento de la sucesión es y=2

f (2) = 2+2=4 y así sucesivamente…

En la sucesión 1 4 9 16 25

f (y)= y2

Tipos de números

Tipos de números La mayoría de los números que utilizamos no poseen las

propiedades aritméticas que ordinariamente les atribuimos.

Diferenciar los términos “número” y “numeral”. Los numerales son símbolos como Y, 10, IX.

Los números son tipos de numerales específicos que guardan una relación fija con otros numerales. 4 y 5 son números si y solo si pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse, con resultados significativos.

Ejemplo de numerales: número de serie de un aparato casero, c.p., número de teléfono, placa de automóvil, número de casa.

Modos de utilizar los numerales:

Para nombrar (numerales nominales)

Para representar la posición de una serie (numerales ordinales)

Para representar una cantidad (numerales cardinales)

Escalas nominales

Escalas ordinales

Escalas de intervalos y de cocientes

Escalas continuas y discontinuas

Tipos de escalas: Las cosas que observamos solemos describirlas

frecuentemente como variables o variantes. por ejemplo si

estamos estudiando el precio de cotización de los valores en el mercado de una ciudad, nuestra variable es el precio.

Cualquier observación específica se denomina resultado o valor de la variable.

Escalas nominales Si estuviéramos estudiando el sexo de la

descendencia de mujeres expuestas al virus del sida, el sexo seria la variable que observaríamos, caso en que hay solo dos valores posibles de esta variable: Masculino o Femenino.

Nuestros datos se fundamentan en la cantidad de individuos pertenecientes a cada una de estas dos clases. Nótese no podemos pensar que esta variable representa una serie ordenada de valores como peso, estatura, velocidad, etc.

Un organismo femenino difiere de un organismo masculino únicamente por la variable sexo.

Escalas nominales Podemos asignar valores numéricos para representar

las diferentes clases en una escala nominal, pero estos números no poseen propiedades cuantitativas y sirven únicamente para identificar las clases.

Los datos empleados en las escalas nominales constan generalmente de la frecuencia de los valores o de la tabulación del número de casos en cada clase según la variable de que se trate. Las únicas relaciones matemáticas pertinentes con las escalas nominales son los signos de igualdad = y desigualdad =.

Escalas ordinales Variables cuyas clases si representan series

ordenadas de acuerdo con sus relaciones. De manera que las clases en las escalas ordinales no solo se diferencian unas de otras (característica que define a las escalas nominales) sino que mantienen una especie de relación entre si.

Escalas ordinales Se expresan en términos algebraicos de desigualdades;

a es menor que B (a<b), o a es mayor que b (a<b). Así las relaciones encontradas son del tipo siguiente:

Mayor

Más rápida

Más inteligente

Mas tonto

Mas popular

Escalas de intervalos y de cocientes o razón Escalas que emplean números cardinales

Los valores numéricos asociados con estas escalas son efectivamente cuantitativos y permiten el uso de las operaciones aritméticas fundamentales.

Hay dos tipos de escalas basadas en los números cardinales; de intervalo y de razón.

Se diferencian en que la de intervalo utiliza un 0 arbitrario (la temperatura en grados centígrados) y la de cocientes un cero real.

Escalas continuas y discontinuas Cuando la variable puede tomar un número finito de

valores, se denomina escala discontinua o discreta y su característica básica es la igualdad entre sus unidades contables. (número de niños por familia) no utilizamos fracciones, pasamos de uno en uno.

Las observaciones obtenidas serán siempre exactas.

Ejemplos: numero de zapatos vendidos en una tienda en el mes de enero.

Numero de glóbulos blancos/cm.

Escala discontinua o discreta Son cardinales porque se pueden realizar operaciones

aritméticas con ellas.

(Podemos decir que una familia de 4 niños tiene el doble de una familia de 2.)

Escalas continuas La escala en que la variable puede tomar un número

ilimitado de valores intermedios se llama continua.

La medida de variables continuas es siempre aproximada.

La característica básica de las escalas continuas es la igualdad de las unidades de medida (cm. Metro), ejemplos:

Longitud, velocidad, tiempo, peso, etc.

Variables continuas, errores de medición y “límites verdaderos” de los números.

Las variables distribuidas en forma continua, pueden tomar un número infinito de valores intermedios, por lo que es necesario el redondeo:

1. Decidir cuántas posiciones decimales habrá de contener la respuesta.

2. Decidir cuál será el último número de la serie.

Límites verdaderos Los límites verdaderos de un valor particular de una

variable continua son iguales a ese número, más o menos la mitad de la unidad de medida correspondiente.

Peso entre 60 y 61 kg,

si esta a ¾ decimos 61

Los límites verdaderos serán 60.5 y 61 kg.

(si la escala está dividida en unidades de 500 gr.)

Criterios para el redondeo.

Al efectuar cada operación, llevaremos la aproximación hasta tres y redondearemos a dos posiciones más de las que había en los datos originales.

Esto es..

Llevaremos nuestra respuesta hasta el tercer lugar decimal y aproximaremos posteriormente el segundo lugar decimal.

Redondeo… El ultimo digito si es mayor que 5 se aumenta el digito al

número superior, si es menor el digito permanece sin modificación.

6.546 se convierte en 6.55

6.543 se convierte en 6.54

1.967 se convierte en 1.97

1.534 se convierte en 1.53

Que pasa si el tercer digito fuera 5.. Si es 5 + un residuo mínimo se agrega uno al segundo

decimal. Si fuese casi, pero no 5 el segundo decimal no cambia Si es exactamente 5 sin ningún residuo se aproxima el

digito del segundo lugar al número par mas cercano, si es par no cambia. Si es impar se agrega uno para volverse par.

6.545001 – 6.55 6.545000 – 6.54

1.9652 – 1.97 0.00500 -0.00 0.01500 – 0.02

16.89501 – 16.90

Cocientes, frecuencias, proporciones y porcentajes De todas las estadísticas de uso cotidiano,

probablemente las peores entendidas y empleadas son aquellas que contienen la representación de razones, proporciones y porcentajes.

Puede un congresista decir que

un laboratorio obtiene ganancias

de 300% y el mismo laboratorio

decir que puede comprobar su

ganancia de solo 75% con los mismos datos.

Laboratorio vs congresista Argumentos del congresista:

Costo de producción 2.00

Precio de venta: 8.00

Cociente de utilidad 8-2=6 entre el costo de producción será 6:2=3 expresado en porcentaje 300%.

Argumentos del laboratorio:

$ de venta: 8.00

Ganancia: 6.00

El cociente de ganancia y el $ de venta es 6/8=0.75, es decir nuestra utilidad es tan solo del 75% del precio de venta.

La confusión reside en que se emplearon diferentes valores: X = costo de producción Y = precio de venta y-x X 100 % de utilidad (base costo de producción) x y-x X 100 % de utilidad (base precio de venta) y

Tipos de cocientes estadísticos Existen diferentes tipos de cocientes estadísticos:

Distribución de cocientes x . x+y

Ejemplo: si hay 300 mujeres (x) en una clase con 900 hombres (y), la frecuencia de mujeres es de 300.

300 . 300+900 Expresada decimalmente p=0.25 X 100 es 25% del total. La proporción de hombres (y) es 0.75 , o sea 75%, la suma de las proporciones es 1.00 y de los porcentajes 100%

Cociente de interclase y de índice. El cociente de interclase: se define como el cociente de

una parte en un total a otra parte en el mismo total. En consecuencia en la clase de 1,200 estudiantes el cociente de alumnas

en relación con los alumnos es de 1:3 y de hombres es de 3:1

El cociente de tiempo (índice) relativo es una medida que expresa el cambio en una serie de valores ordenados en secuencia temporal, y que se muestra típicamente como porcentaje.

Hay dos principales cocientes de tiempo los que utilizan un periodo de base fija y un periodo de base móvil.

Año Total de doctorados conferidos

Cocientes de tiempo Base fija Base móvil

(1954) Año anterior

1954 8996 100.00 100.00

1955 8840 98.26 98.26

1956 8815 97.98 99.72

1957 8756 97.33 99.33

1958 8942 99.40 102.12

1959 9360 104.05 104.67

1960 9829 109.26 105.01

1961 10,575 117.55 107.59

1962 11,622 129.19 109.90

1963 12,822 142.53 110.33

1964 14,490 161.07 113.01

1965 16,467 183.05 113.64

Resolver actividad de la unidad y subirla a la plataforma Suerte…..