Potencias y radicales88 5 35

22 22= minus =

( )x7 3 = x7middot3 = x21

70 = 1x2middotx7 = x2+7 = x9

( )25middot35 = 2middot3 5 = 65

6 666

8 824 4= ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟⎝ ⎠22 1048708 MATEMAacuteTICAS B

1 RadicalesDefinicioacutenLlamamos raiacutez n-eacutesima de un nuacutemero dado a alnuacutemero b que elevado a n nos da aUn radical es equivalente a una potencia deexponente fraccionario en la que el denominadorde la fraccioacuten es el iacutendice del radical y el numeradorde la fraccioacuten es el exponente el radicando

Radicales equivalentesDos o maacutes radicales se dicen equivalentes si lasfracciones de los exponentes de las potenciasasociadas son equivalentesDado un radical se pueden obtener infinitos radicalessemejantes multiplicando o dividiendo elexponente del radicando y el iacutendice de la raiacutez por unmismo nuacutemero Si se multiplica se llama amplificar ysi se divide se llama simplificar el radicalRadical irreducible cuando la fraccioacuten de la potenciaasociada es irreducible

Introduccioacuten y Extraccioacuten de factoresPara introducir un factor dentro de un radical seeleva el factor a la potencia que indica el iacutendice y seescribe dentroSi alguacuten factor del radicando tiene por exponente unnuacutemero mayor que el iacutendice se puede extraer fueradel radical dividiendo el exponente del radicandoentre el iacutendice El cociente es el exponente del factorque sale fuera y el resto es el exponente del factorque queda dentro3 x2 = 6 x4

son equivalentes por ser6432=Amplificar 3 x2 = 3middot2 x2middot2 = 6 x4

Simplificar 6 x4 = 62 x42 = 3 x2

3 x2

Irreducible por ser mcd(32)=13 8 = 2 por ser 23 = 831

3 5 = 552

5 x2 = xIntroducirx3 x = 3 x3middotx = 3 x4

23 3 = 3 23middot3 = 3 8middot3 = 3 24Extraer5 x13 = x25 x3 13 53 2n a = b hArr bn = ap

n ap = an

Potencias y radicalesMATEMAacuteTICAS B 1048708 23

Caacutelculo de raiacutecesPara calcular la raiacutez n-eacutesima de un nuacutemero primero sefactoriza y se escribe el nuacutemero como producto depotencias luego se extraen todos los factoresSi todos los exponentes del radicando son muacuteltiplosdel iacutendice la raiacutez es exacta

Reduccioacuten a iacutendice comuacutenReducir a iacutendice comuacuten dos o maacutes radicales esencontrar radicales equivalentes a los dados quetengan el mismo iacutendiceEl iacutendice comuacuten es cualquier muacuteltiplo del mcm delos iacutendicesEl miacutenimo iacutendice comuacuten es el mcm de los iacutendices

Radicales semejantesRadicales semejantes son aquellos que tienen elmismo iacutendice y el mismo radicando Pueden diferiruacutenicamente en el coeficiente que los multiplicaLos siguientes radicales sonsemejantes23 4 73 4 53 4Los siguientes radicales no sonsemejantes23 4 25 4 El iacutendice es distintoReducir a iacutendice comuacuten6 2 10 3mcm(610)=306 30 5 3010 30 3 30

2 2 323 3 27= == =1728 2864 2432 2216 2108 254 227 39 33 3

13 3 6 32

1728 2 middot32 middot3 12= == =

Potencias y radicales24 1048708 MATEMAacuteTICAS B

EJERCICIOS resueltos1 Escribe los siguientes radicales como potencia de exponente fraccionarioa) 5 3 515 3 = 3b) 5 X3 5 X3

2 Escribe las siguientes potencias como radicalesa)1

721

72 = 7b)2

532

53 = 3 52 = 3 253 Escribe un radical equivalente amplificando el dadoa) 3 5 3 5 = 3middot251middot2 = 6 52 = 6 25b) 5 x4 5 x4 = 5middot3 x4middot3 = 15 x12

4 Escribe un radical equivalente simplificando el dadoa) 6 49 6 49 = 6 72 = 62722 = 3 7b) 35 x28 35 x28 = 357 x287 = 5 x4

5 Introduce los factores dentro del radicala) 2middot4 3 2middot4 3 = 4 24middot3 = 416middot3 = 4 48b) x27 x3 x27 x3 = 7 (x2)7middotx3 = 7 x14middotx3 = 7 x17

6 Extrae los factores del radicala) 41284 128 = 4 27 = 24 23 = 24 8b) 7 x30 7 x30 = 7 x28+2 = 7 x28middotx2 = x4 7 x2

7 Calcular las siguientes raiacutecesa) 5 1024 5 1024 = 5 210 = 22 = 4b) 7 x84 7 x84 = 7 x12middot7 = 7 (x12)7 = x7

8 Reduce a iacutendice comuacutena) 3 3 5 2 = 6 23 = 6 8 3 5 = 6 52 = 6 25b) 4 x3 6 x5 4 x3 = 12 x9 6 x5 = 12 x10

9 Indica que radicales son semejantesa) 4 354 3 4 3 y 54 3 Son semajentesb) 4 x 3 x 4 x y 3 x No son semajentestienen distinto indice

Potencias y radicalesMATEMAacuteTICAS B 1048708 25

2 PropiedadesRaiacutez de un productoLa raiacutez n-eacutesima de un producto es igual al productode las raiacuteces n-eacutesimas de los factoresDemostracioacuten1 1 1

n amiddotb = (amiddotb)n = anmiddotbn = n amiddotn b

Raiacutez de un cocienteLa raiacutez n-eacutesima de un cociente es igual al cociente delas raiacuteces n-eacutesimas del dividendo y del divisor

Demostracioacuten1 1n n nn1 nn

a a a ab b bb= ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟⎝ ⎠Raiacutez de una potenciaPara hallar la raiacutez de una potencia se calcula la raiacutezde la base y luego se eleva el resultado a la potenciadada

Demostracioacuten ( )p 1 p p

n ap an an n a⎛ ⎞= = ⎜⎜ ⎟⎟ =⎝ ⎠Raiacutez de una raiacutezLa raiacutez n-eacutesima de la raiacutez m-eacutesima de un nuacutemeroes igual a la raiacutez nm-eacutesima de dicho nuacutemeroDemostracioacuten11 n 1

n m a am anmiddotm nmiddotm a⎛ ⎞= ⎜⎜ ⎟⎟ = =⎝ ⎠Potencias y radicales3 2middot5 = 3 2middot3 57 a2middotb4 = 7 a2middot7 b4555

2 23 3=4 5 453 5 3

a ab b=

( )3

5 8 = 5 23 = 5 2

( )7

3 x7 = 3 xnnn

a ab b=

( )p

n ap = n an m a = nmiddotm an amiddotb = n amiddotn b5 3 2 = 152

26 1048708 MATEMAacuteTICAS B

3 SimplificacioacutenRacionalizacioacutenRacionalizar una expresioacuten con un radical en eldenominador consiste en encontrar una expresioacutenequivalente que no tenga raiacuteces en el denominadorPara ello se multiplica numerador y denominador porla expresioacuten adecuada para que al operar la raiacutezdesaparezcaSi el denominador es un binomio se multiplica elnumerador y el denominador por el conjugado deldenominadorlowast El conjugado de a + b es a minus bSimplificar un radicalSimplificar un radical es escribirlo en la forma maacutessencilla de forma quebull El iacutendice y el exponente sean primos entre siacutebull No se pueda extraer ninguacuten factor delradicandobull El radicando no tenga ninguna fraccioacuten

Simplificar 6 x4 = 62 x42 = 3 x2

3 x2

Irreducible por ser mcd(32)=13 8 = 2 por ser 23 = 831

3 5 = 552

5 x2 = xIntroducirx3 x = 3 x3middotx = 3 x4

23 3 = 3 23middot3 = 3 8middot3 = 3 24Extraer5 x13 = x25 x3 13 53 2n a = b hArr bn = ap

n ap = an

Potencias y radicalesMATEMAacuteTICAS B 1048708 23

Caacutelculo de raiacutecesPara calcular la raiacutez n-eacutesima de un nuacutemero primero sefactoriza y se escribe el nuacutemero como producto depotencias luego se extraen todos los factoresSi todos los exponentes del radicando son muacuteltiplosdel iacutendice la raiacutez es exacta

Reduccioacuten a iacutendice comuacutenReducir a iacutendice comuacuten dos o maacutes radicales esencontrar radicales equivalentes a los dados quetengan el mismo iacutendiceEl iacutendice comuacuten es cualquier muacuteltiplo del mcm delos iacutendicesEl miacutenimo iacutendice comuacuten es el mcm de los iacutendices

Radicales semejantesRadicales semejantes son aquellos que tienen elmismo iacutendice y el mismo radicando Pueden diferiruacutenicamente en el coeficiente que los multiplicaLos siguientes radicales sonsemejantes23 4 73 4 53 4Los siguientes radicales no sonsemejantes23 4 25 4 El iacutendice es distintoReducir a iacutendice comuacuten6 2 10 3mcm(610)=306 30 5 3010 30 3 30

2 2 323 3 27= == =1728 2864 2432 2216 2108 254 227 39 33 3

13 3 6 32

1728 2 middot32 middot3 12= == =

Potencias y radicales24 1048708 MATEMAacuteTICAS B

EJERCICIOS resueltos1 Escribe los siguientes radicales como potencia de exponente fraccionarioa) 5 3 515 3 = 3b) 5 X3 5 X3

2 Escribe las siguientes potencias como radicalesa)1

721

72 = 7b)2

532

53 = 3 52 = 3 253 Escribe un radical equivalente amplificando el dadoa) 3 5 3 5 = 3middot251middot2 = 6 52 = 6 25b) 5 x4 5 x4 = 5middot3 x4middot3 = 15 x12

4 Escribe un radical equivalente simplificando el dadoa) 6 49 6 49 = 6 72 = 62722 = 3 7b) 35 x28 35 x28 = 357 x287 = 5 x4

5 Introduce los factores dentro del radicala) 2middot4 3 2middot4 3 = 4 24middot3 = 416middot3 = 4 48b) x27 x3 x27 x3 = 7 (x2)7middotx3 = 7 x14middotx3 = 7 x17

6 Extrae los factores del radicala) 41284 128 = 4 27 = 24 23 = 24 8b) 7 x30 7 x30 = 7 x28+2 = 7 x28middotx2 = x4 7 x2

7 Calcular las siguientes raiacutecesa) 5 1024 5 1024 = 5 210 = 22 = 4b) 7 x84 7 x84 = 7 x12middot7 = 7 (x12)7 = x7

8 Reduce a iacutendice comuacutena) 3 3 5 2 = 6 23 = 6 8 3 5 = 6 52 = 6 25b) 4 x3 6 x5 4 x3 = 12 x9 6 x5 = 12 x10

9 Indica que radicales son semejantesa) 4 354 3 4 3 y 54 3 Son semajentesb) 4 x 3 x 4 x y 3 x No son semajentestienen distinto indice

Potencias y radicalesMATEMAacuteTICAS B 1048708 25

2 PropiedadesRaiacutez de un productoLa raiacutez n-eacutesima de un producto es igual al productode las raiacuteces n-eacutesimas de los factoresDemostracioacuten1 1 1

n amiddotb = (amiddotb)n = anmiddotbn = n amiddotn b

Raiacutez de un cocienteLa raiacutez n-eacutesima de un cociente es igual al cociente delas raiacuteces n-eacutesimas del dividendo y del divisor

Demostracioacuten1 1n n nn1 nn

a a a ab b bb= ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟⎝ ⎠Raiacutez de una potenciaPara hallar la raiacutez de una potencia se calcula la raiacutezde la base y luego se eleva el resultado a la potenciadada

Demostracioacuten ( )p 1 p p

n ap an an n a⎛ ⎞= = ⎜⎜ ⎟⎟ =⎝ ⎠Raiacutez de una raiacutezLa raiacutez n-eacutesima de la raiacutez m-eacutesima de un nuacutemeroes igual a la raiacutez nm-eacutesima de dicho nuacutemeroDemostracioacuten11 n 1

n m a am anmiddotm nmiddotm a⎛ ⎞= ⎜⎜ ⎟⎟ = =⎝ ⎠Potencias y radicales3 2middot5 = 3 2middot3 57 a2middotb4 = 7 a2middot7 b4555

2 23 3=4 5 453 5 3

a ab b=

( )3

5 8 = 5 23 = 5 2

( )7

3 x7 = 3 xnnn

a ab b=

( )p

n ap = n an m a = nmiddotm an amiddotb = n amiddotn b5 3 2 = 152

26 1048708 MATEMAacuteTICAS B

3 SimplificacioacutenRacionalizacioacutenRacionalizar una expresioacuten con un radical en eldenominador consiste en encontrar una expresioacutenequivalente que no tenga raiacuteces en el denominadorPara ello se multiplica numerador y denominador porla expresioacuten adecuada para que al operar la raiacutezdesaparezcaSi el denominador es un binomio se multiplica elnumerador y el denominador por el conjugado deldenominadorlowast El conjugado de a + b es a minus bSimplificar un radicalSimplificar un radical es escribirlo en la forma maacutessencilla de forma quebull El iacutendice y el exponente sean primos entre siacutebull No se pueda extraer ninguacuten factor delradicandobull El radicando no tenga ninguna fraccioacuten

13 3 6 32

1728 2 middot32 middot3 12= == =

Potencias y radicales24 1048708 MATEMAacuteTICAS B

EJERCICIOS resueltos1 Escribe los siguientes radicales como potencia de exponente fraccionarioa) 5 3 515 3 = 3b) 5 X3 5 X3

2 Escribe las siguientes potencias como radicalesa)1

721

72 = 7b)2

532

53 = 3 52 = 3 253 Escribe un radical equivalente amplificando el dadoa) 3 5 3 5 = 3middot251middot2 = 6 52 = 6 25b) 5 x4 5 x4 = 5middot3 x4middot3 = 15 x12

4 Escribe un radical equivalente simplificando el dadoa) 6 49 6 49 = 6 72 = 62722 = 3 7b) 35 x28 35 x28 = 357 x287 = 5 x4

5 Introduce los factores dentro del radicala) 2middot4 3 2middot4 3 = 4 24middot3 = 416middot3 = 4 48b) x27 x3 x27 x3 = 7 (x2)7middotx3 = 7 x14middotx3 = 7 x17

6 Extrae los factores del radicala) 41284 128 = 4 27 = 24 23 = 24 8b) 7 x30 7 x30 = 7 x28+2 = 7 x28middotx2 = x4 7 x2

7 Calcular las siguientes raiacutecesa) 5 1024 5 1024 = 5 210 = 22 = 4b) 7 x84 7 x84 = 7 x12middot7 = 7 (x12)7 = x7

8 Reduce a iacutendice comuacutena) 3 3 5 2 = 6 23 = 6 8 3 5 = 6 52 = 6 25b) 4 x3 6 x5 4 x3 = 12 x9 6 x5 = 12 x10

9 Indica que radicales son semejantesa) 4 354 3 4 3 y 54 3 Son semajentesb) 4 x 3 x 4 x y 3 x No son semajentestienen distinto indice

Potencias y radicalesMATEMAacuteTICAS B 1048708 25

2 PropiedadesRaiacutez de un productoLa raiacutez n-eacutesima de un producto es igual al productode las raiacuteces n-eacutesimas de los factoresDemostracioacuten1 1 1

n amiddotb = (amiddotb)n = anmiddotbn = n amiddotn b

Raiacutez de un cocienteLa raiacutez n-eacutesima de un cociente es igual al cociente delas raiacuteces n-eacutesimas del dividendo y del divisor

Demostracioacuten1 1n n nn1 nn

a a a ab b bb= ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟⎝ ⎠Raiacutez de una potenciaPara hallar la raiacutez de una potencia se calcula la raiacutezde la base y luego se eleva el resultado a la potenciadada

Demostracioacuten ( )p 1 p p

n ap an an n a⎛ ⎞= = ⎜⎜ ⎟⎟ =⎝ ⎠Raiacutez de una raiacutezLa raiacutez n-eacutesima de la raiacutez m-eacutesima de un nuacutemeroes igual a la raiacutez nm-eacutesima de dicho nuacutemeroDemostracioacuten11 n 1

n m a am anmiddotm nmiddotm a⎛ ⎞= ⎜⎜ ⎟⎟ = =⎝ ⎠Potencias y radicales3 2middot5 = 3 2middot3 57 a2middotb4 = 7 a2middot7 b4555

2 23 3=4 5 453 5 3

a ab b=

( )3

5 8 = 5 23 = 5 2

( )7

3 x7 = 3 xnnn

a ab b=

( )p

n ap = n an m a = nmiddotm an amiddotb = n amiddotn b5 3 2 = 152

26 1048708 MATEMAacuteTICAS B

3 SimplificacioacutenRacionalizacioacutenRacionalizar una expresioacuten con un radical en eldenominador consiste en encontrar una expresioacutenequivalente que no tenga raiacuteces en el denominadorPara ello se multiplica numerador y denominador porla expresioacuten adecuada para que al operar la raiacutezdesaparezcaSi el denominador es un binomio se multiplica elnumerador y el denominador por el conjugado deldenominadorlowast El conjugado de a + b es a minus bSimplificar un radicalSimplificar un radical es escribirlo en la forma maacutessencilla de forma quebull El iacutendice y el exponente sean primos entre siacutebull No se pueda extraer ninguacuten factor delradicandobull El radicando no tenga ninguna fraccioacuten

Demostracioacuten1 1n n nn1 nn

a a a ab b bb= ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟⎝ ⎠Raiacutez de una potenciaPara hallar la raiacutez de una potencia se calcula la raiacutezde la base y luego se eleva el resultado a la potenciadada

Demostracioacuten ( )p 1 p p

n ap an an n a⎛ ⎞= = ⎜⎜ ⎟⎟ =⎝ ⎠Raiacutez de una raiacutezLa raiacutez n-eacutesima de la raiacutez m-eacutesima de un nuacutemeroes igual a la raiacutez nm-eacutesima de dicho nuacutemeroDemostracioacuten11 n 1

n m a am anmiddotm nmiddotm a⎛ ⎞= ⎜⎜ ⎟⎟ = =⎝ ⎠Potencias y radicales3 2middot5 = 3 2middot3 57 a2middotb4 = 7 a2middot7 b4555

2 23 3=4 5 453 5 3

a ab b=

( )3

5 8 = 5 23 = 5 2

( )7

3 x7 = 3 xnnn

a ab b=

( )p

n ap = n an m a = nmiddotm an amiddotb = n amiddotn b5 3 2 = 152

26 1048708 MATEMAacuteTICAS B

3 SimplificacioacutenRacionalizacioacutenRacionalizar una expresioacuten con un radical en eldenominador consiste en encontrar una expresioacutenequivalente que no tenga raiacuteces en el denominadorPara ello se multiplica numerador y denominador porla expresioacuten adecuada para que al operar la raiacutezdesaparezcaSi el denominador es un binomio se multiplica elnumerador y el denominador por el conjugado deldenominadorlowast El conjugado de a + b es a minus bSimplificar un radicalSimplificar un radical es escribirlo en la forma maacutessencilla de forma quebull El iacutendice y el exponente sean primos entre siacutebull No se pueda extraer ninguacuten factor delradicandobull El radicando no tenga ninguna fraccioacuten

26 1048708 MATEMAacuteTICAS B

3 SimplificacioacutenRacionalizacioacutenRacionalizar una expresioacuten con un radical en eldenominador consiste en encontrar una expresioacutenequivalente que no tenga raiacuteces en el denominadorPara ello se multiplica numerador y denominador porla expresioacuten adecuada para que al operar la raiacutezdesaparezcaSi el denominador es un binomio se multiplica elnumerador y el denominador por el conjugado deldenominadorlowast El conjugado de a + b es a minus bSimplificar un radicalSimplificar un radical es escribirlo en la forma maacutessencilla de forma quebull El iacutendice y el exponente sean primos entre siacutebull No se pueda extraer ninguacuten factor delradicandobull El radicando no tenga ninguna fraccioacuten