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MATEMÁTICAS ENSEÑANAZA SECUNDARIA DE ADULTOS

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EXTRACTO DE LA PROGRAMACIÓN. OBJETIVOS:

• Adquirir el uso del lenguaje matemático.

• Utilizar las matemáticas en la vida cotidiana: organizar, relacionar, interpretar, razonar, discutir, obtener resultados, proponer hipótesis,...

• Traducir al lenguaje matemático situaciones y problemas con el objeto de obtener resultados válidos.

• Aprender y utilizar el método científico; observación, hipótesis, discusión, razonamiento, comprobación, obtención de resultados,...

• Adquirir procedimientos y destrezas matemáticas básicos: algoritmos, planteamiento y resolución de problemas, utilización correcta de las operaciones básicas, etc...

• Motivar hacia una actitud flexible y abierta ante distintas opiniones, analizando, discutiendo y asimilando cuestiones de interés.

• Observar las Matemáticas como un fenómeno dinámico y cambiante, relacionado con otras áreas del saber.

CONTENIDOS: Bloque 1. NUMEROS

1. Sistema Métrico Decimal. Números decimales.

2. Proporcionalidad.

3. Los números naturales.

3.1. Múltiplos y divisores. Números primos.

3.2. Descomposición en factores primos. Criterios de divisibilidad.

3.3. Máximo común divisor y mínimo común múltiplo.

4. Los números enteros.

4.1. Valor absoluto.

4.2. Ordenación.

4.3. Operaciones.

5. Los números racionales.

5.1. Fracciones.

5.2. Operaciones. Problemas.

6. Los números reales.

6.1. Números irracionales.

6.2. Aproximaciones. Errores. Redondeo.

7. Potencias y radicales. Uso de la calculadora.

Bloque 2. ALGEBRA

8. Expresiones literales.

8.1. Monomios, polinomios: operaciones.


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8.2. Regla de Ruffini, descomposición factorial.

9. Ecuaciones de primer y segundo grado. Resolución de problemas.

10. Sistemas de ecuaciones. Resolución de problemas.

11. Funciones.

11.1. Interpretación de gráficas.

11.2. Recta y parábola, característicos. Representación gráfica.

Bloque 3. GEOMETRÍA

12. Introducción: dimensiones, elementos,

13. Teoremas de Thales y de Pitágoras.

14. Escalas, mapas, planos.

15. Resolución de Triángulos rectángulos.

16. Trigonometría plana: ángulos y medida, razones trigonométricas, reducción al primer cuadrante, resolución de triángulos cualesquiera (teoremas del seno y del coseno).

Bloque 4. ESTADÍSTICA

17. Estadística descriptiva. 17.1. Introducción a la estadística. 17.2. Medidas de centralización y de dispersión.

18. Probabilidad.

EVALUACIÓN. CRITERIOS DE EVALUACIÓN.

Los criterios de evaluación deberán servir como indicadores de la evolución de los aprendizajes de los alumnos, como elementos que ayuden a valorar los desajustes y necesidades detectadas y como referentes para estimar la adecuación de las estrategias de enseñanza puestas en juego:

• Realizar correctamente los cálculos numéricos básicos: orden en las operaciones, uso de paréntesis,...

• Conocer y utilizar el lenguaje matemático.

• Elaborar, interpretar y manejar gráficos elementales.

• Plantear problemas y desarrollar procedimientos válidos para su resolución.

• Reconocer un mismo concepto en diferentes contextos.

• Organizar y analizar datos, relacionarlos y representarlos.

• Verificar las conclusiones obtenidas

• Utilizar razonamientos lógicos: inducción, deducción análisis informal, gráfico, reducción al absurdo, etc...

• Utilización de criterios y procedimientos científicos para plantear, analizar, discutir,... problemas y situaciones.

INSTRUMENTOS DE EVALUACIÓN:

Para tener información de la evolución del alumno respecto de las capacidades, destrezas y recursos enumerados en el apartado anterior, se valorará:


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• Observación del trabajo del alumno en el aula y en casa.

• Observación de la actitud y motivación ante la materia

• Participación del alumno en el aula.

• Trabajos y exposiciones (grupales o individuales).

• Pruebas escritas a lo largo de cada trimestre que desembocarán en un examen de evaluación, el cual tendrá su correspondiente recuperación para los alumnos que no superen los anteriores.

• Si en las pruebas trimestrales el alumno no hubiera conseguido los objetivos propuestos en una evaluación podrá realizar una nueva prueba a final de curso sobre la misma materia.

• Si en las pruebas trimestrales el alumno no hubiera conseguido los objetivos propuestos en dos o en las tres evaluaciones podrá realizar una nueva prueba a final de curso podrá realizar una nueva prueba a final de curso que versará sobre contenidos mínimos de todo el curso.


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CONTENIDOS Bloque 1. NUMEROS

1. Sistema Métrico Decimal. Números decimales.

1.1. Magnitudes. • Una magnitud es una cualidad o característica que podemos medir.

• Para medir la cantidad de una magnitud la comparamos con otra cantidad que es fija y que utilizamos como unidad.

Ejemplo:

La longitud, la temperatura o el peso son magnitudes. Como unidades de estas magnitudes tenemos el metro, el grado centígrado y el gramo, respectivamente.

1.2. Sistema métrico decimal. Operaciones con números decimales. • Sistema de medida en el que las unidades están relacionadas entre sí mediante

potencias de 10.

• En general el esquema es el siguiente:

decena de millar millar centena decena unidad décima centésima milésima diezmilésima10000 u 1000 u 100 u 10 u 1 u 0'1 u 0'01 u 0'001 u 0'0001 u

Múltiplos de la unidad Submúltiplos de la unidad

• No son sistemas métricos decimales los sistemas anglosajones en el que las

longitudes, por ejemplo, se miden en pies, yardas, millas, etc.

• En un número escrito en el sistema decimal distinguimos la parte entera (cifras hasta las unidades), de la parte decimal (a partir de las décimas) separadas por una coma.

• Las operaciones básicas entre números decimales son:

o Suma y resta.

Se alinean los números por la coma y se suman como si fuesen números naturales. La coma se coloca en el mismo lugar que tiene en los sumandos (minuendo y en el sustraendo).

o Multiplicación.

Se efectúa la multiplicación como si fuesen números naturales. El número de cifras decimales del producto será la suma del número de cifras decimales de los factores.

o División.

Para dividir un número decimal entre otro natural se hace la división como si fueran ambos naturales y se coloca la coma en el cociente antes de bajar la cifra de las décimas en el dividendo.

Si tenemos que dividir dos números decimales, se multiplican dividendo y divisor por la unidad seguida de tantos ceros como sean necesarios para que el divisor sea natural y se procede como en el caso anterior.

Ejemplos:


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Unidades de longitud.

• La unidad es el metro. En abreviatura se escribe m.

• Los múltiplos y submúltiplos son:

Unidadmiriámetro kilómetro hectómetro decámetro metro decímetro centímetro milímetro

mam km hm dam m dm cm mm10000 m 1000 m 100 m 10 m 1 m 0'1 m 0'01 m 0'001 m

Múltiplos del metro Submúltiplos del metro

• Para transformar una unidad de longitud en otra se multiplica o divide por las

sucesivas potencias de 10 para obtener múltiplos o divisores, respectivamente.

Ejemplo:

45’67 hm = 4’567 km = 456’7 dam = 456.700 cm

• Otras unidades de longitud, aunque no responden a un sistema decimal, son:

1 pulgada (in)= 2’54 cm 1 pie (ft)= 12 pulgadas = 0’3048 m 1 yarda (yd) = 3 pies = 0’9144 m 1 milla terrestre = 1.760 yardas = 1.609’344 m 1 milla marítima = 1.852 m 1 legua = 5196 m

Unidades de peso.

• La unidad es el gramo. En abreviatura se escribe g.


Unidadmiriagramo kilogramo hectogramo decagramo gramo decigramo centigramo miligramo

mag kg hg dag g dg cg mg10000 g 1000 g 100 g 10 g 1 g 0'1 g 0'01 g 0'001 g

Múltiplos del gramo Submúltiplos del gramo

• Para transformar una unidad de peso en otra se multiplica o divide por las sucesivas

potencias de 10 para obtener múltiplos o divisores, respectivamente.

Ejemplo:

12’68 hg = 1’268 kg = 126’8 dag = 126.800 dg

• Para grandes pesos se utilizan también:

1 arroba = 11’5 kg 1 quintal = 100 Kg 1 tonelada = 1.000 Kg

• Otras unidades de peso en otros sistemas:

1 Libras (lb) = 453’59 g

Unidades de capacidad.

• La unidad es el litro. En abreviatura se escribe l.


Unidadmirialitro Kilolitro Hectolitro Decalitro litro decilitro centilitro mililitro

mal kl hl dal l dl cl ml10000 l 1000 l 100 l 10 l 1 l 0'1 l 0'01 l 0'001 l

Múltiplos del litro Submúltiplos del litro


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• Para transformar una unidad de capacidad en otra se multiplica o divide por las sucesivas potencias de 10 para obtener múltiplos o divisores, respectivamente.

Ejemplo:

2’69 hl = 0’269 kl = 26’9 dal = 26.900 dl

Unidades de superficie.

• La unidad es el metro cuadrado. En abreviatura se escribe m2.


UnidadKilómetro cuadrado

Hectómetro cuadrado

Decámetro cuadrado

metro cuadrado

decímetro cuadrado

centímetro cuadrado

milímetro cuadrado

km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

1000 m2 100 m2 10 m2 1 m2 0'1 m2 0'01 m2 0'001 m2

Submúltiplos del metro cuadrado Submúltiplos del metro cuadrado

• Para transformar una unidad de superficie en otra se multiplica o divide por las


Ejemplo:

32’49 hm2 = 0’3249 km2 = 3249 dam2 = 32490000 dm2

• Otras medidas de superficie muy usadas para medir terrenos son:

1 hectárea = 1 hm2 = 10.000 m2 1 área = 1 dam2 = 100 m2 1 centiárea = 1 m2 1 acre = 404.686 m2

Unidades de volumen.

• La unidad es el metro cúbico. En abreviatura se escribe m3.


UnidadKilómetro

cúbicoHectómetro

cúbicoDecámetro

cúbicometro cúbico

decímetro cúbico

centímetro cúbico milímetro cúbico


1000000000 m3 1000000 m3 1000 m3 1 m3 0'001 m3 0'000001 m3 0'000000001 m3

Submúltiplos del metro cúbico Submúltiplos del metro cúbico

• Para transformar una unidad de volumen en otra se multiplica o divide por las


Ejemplo:

8’13 hm3 = 0’00813 km3 = 8.130.000.000 dm3

1.3. Volumen, capacidad y peso. • Un litro de agua tiene un volumen de 1 decímetro cúbico de capacidad y pesa 1 Kg.

• Esto, por tanto establece una equivalencia entre las tres magnitudes.

U. volumen 1 m3 1 dm3 1 cm3

U. capacidad 1 kl 1 l 1 mlU. peso 1.000 kg 1 kg 1 gr

Ejemplo:

123 l = 123 dm3 = 123.000 ml


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Relación de problemas Tema 1 1. Completa las tablas siguientes usando, donde sea necesario, notación científica.

km hm dam m dm cm mm12

17'20'8

428

kg hg dag g dg cg mg0,5

0,6750

2500


285'2

2512


0'0051'25

7.00045

2. Halla la equivalencia en metros de las siguientes operaciones:

a) 42 hm + 3’8 km + 78 m =

b) 7’4 hm + 98 dam + 200 dm =

c) 80.000 mm + 860 cm + 34 m =

d) 567 m + 67 dam + 78 hm =

3. Halla la equivalencia en hm2 de:

a) 0’0075 km2 + 7.000 m2 =

b) 0’5 km2 + 45 dam2 =

c) 7.879 m2 + 87.622 dm2 =

d) 676 dm2 + 78 m2 + 654 cm2 =

4. Halla la equivalencia en centiáreas:

a) 0’07 ha + 8 a + 6 ca =

b) b)21 ha + 31 a =

c) 2 cm2 + 1 hm2 + 100 m2 =

5. Halla la equivalencia en metros cuadrados:

a) 0’82 ha + 48 hm2 + 5 a + 21 dm2 + 600 dm2 =

b) 2 dm2 + 3a + 1’7 hm2 + 0’3 ha =


8

6. Halla la equivalencia en metros cúbicos de:

a) 0’27 km3 + 27.000 dm3 + 73.874.548 m3 =

b) 15 km3 + 7.000 m3 + 1.262 dm3 =

7. Halla la equivalencia en litros de las siguientes operaciones:

a) 7’3 hl + 78 l + 5 dl =

b) 8 kl + 27 dl + 5’9 hl =

c) 56 dl + 709 cl +675 ml =

d) 12 kl + 56 hl + 67 dl =

8. Halla la equivalencia, expresada en gramos, que resulta al operar:

a) 0’07 t + 5 kg + 29 dag + 676 g =

b) 16 kg + 6.779 dg =

c) 45 q + 786 kg + 8.976 g + 676 mg =

d) 67.679 mg + 6.549 cg =

9. Expresa en la unidad fundamental de cada magnitud:

a) 2’3 kg + 7’3 dag= d) 73 hl + 56 dal + 1275 dl=

b) 0’08 hl + 72 l + 424 dl = e) 8’79 dam2 + 87.622 dm2 =

c) 78 hg + 480 dag= f) 15 hm3 + 7’3 dam3 + 1.262 dm3 =

10. Completa los datos que faltan:

a) 0’07 ha + 8 a + 6 ca = _______________ m2 c) 2cm2 + 1 hm2 + 100 m2 = ______________ a

b) 2l ha + 31 a = ____________________ cm2 d) 12 dam2 +879 m2 + 8.762 dm2 = ________ ha

11. Expresa en litros:

a) 7 dm3 = c) 0’005 m3 = e) 750 cm3 =

b) 3000 mm3 = d) 3’4 dam3 = f) 43dm3 =

12. Expresa en centilitros:

a) 3 dm3 = c) 0’07 dam3 = e) 3 cm3 =

b) 1’2 cm3 = d) 0’09 hm3 = f) 27 m3 =

13. Los datos siguientes se refieren a agua. Completa los que faltan:

a) 95 l = _________________ kg c) 12 kl = _______________ g e) 0’04 kl = __________ g

b) 0’5 m3 = _______________ kg d) 0’35 l = ______________ g f) 0’5 dm3 = _________ kg

14. Realiza las siguientes operaciones con números decimales:

a) 4’77 - 0’98 + 14’694=

b) 47’68 - 0’749 - 7’74 =

c) 3’18 · 12’345 =

d) 7’08 · 4’349=

e) 4’678 : 2’43

f) 6’456 : 12’34


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a) 2’37 - 1’58 + 12’654 =

b) 3’34- 1’345 + 23’68 =

c) 7’074 · 4’09 - 18’05 - =

d) 62’74 - 6’78 · 7’04=

e) 6’79 + 4’984 · (0’79 + 8’98)=

f) 1’64 · 9’8 + 4’1 : 0’4=

g) 3’496 · 4’7 - 0’4 · 7’2=

h) 0’47 + 5’78 · 2’5=

a) 5’16 - (1’2 + 3’56) =

b) 11’06 - (2’4 + 7’96)=

c) 18’12 - 3’134 · 2’15 =

d) 5’32 · 2’38 - 3’12 =

e) 6’35 + 4’984 · (8’99 - 1’59) =

f) 5’64 · 9’8 - 4’01 : 1’25 =

g) 1’23 + 2’38 · 2 =

h) 4’256 : 0’64 - 1’2 · 3 =

i) (31’3-24’37) : 7’5 - 4’5 · 3=

16. El volumen de una piscina es de 12 dam3, 27 m3 y 75 dm3. Halla el volumen en decímetros cúbicos.

17. Una piscina tiene 1 dam de largo, 8 m de ancho y 120 cm de altura. ¿Cuántos litros necesitamos para llenarla?.

18. Un frasco de medicina tiene un volumen de 0,3 dm3. ¿Cuántos decilitros de medicina caben en él?.

19. La torre del ayuntamiento mide 20 m y 35 dm. ¿A cuántos centímetros se encuentra el punto más alto?.

20. Un avión vuela a 10.500 pies. Calcula la altura en metros.

21. La distancia entre dos ciudades es de 145’34 km y llevamos recorridos 1234 dam. ¿Qué distancia nos queda por recorrer?.

22. Un barco transporta 350 toneladas de agua en sus bodegas. Expresa en metros cúbicos y en litros el volumen de la carga.

23. Corto una cuerda cuya longitud es de 15 m, 3 dm y 5 cm, en cinco trozos iguales. ¿Cuál es la longitud de cada trozo en milímetros? ¿Y en metros?

24. Un motor extrae 75 m3 y 15 dm3 de agua de un río en una hora. Si se necesitan 1 dam3 , 275 m3 y 255 dm3 de agua, ¿cuántas horas tardará en extraerse?.

25. Una cuchara tiene una capacidad de 5 cl. ¿Cuántas cucharas como ésta se pueden llenar con un bote de 0,25 litros?.

26. Un ganadero tiene 25 hl, 3 dal y 6 l de leche de cabra, y el doble de leche de vaca, para hacer unos quesos. ¿Cuántos litros de leche hay en total para realizar dichos quesos?.

27. Un corte de tela mide 3 dam, 5 m y 6 dm. Si el metro cuesta 9 euros ¿cuánto cuesta el corte?.


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28. El tramo de la carretera que tengo que recorrer a diario es de 4 km, 5 hm y 3 m, ¿cuántos metros recorro durante una semana, si voy dos veces al día a dicho lugar?.

29. Para sanear el tendido eléctrico de mi vivienda, el electricista necesita 3.782’5 m de cable. Si cada 10 dm cuestan 0’4 euros, ¿cuánto me cuesta todo el cable que necesito?.

30. Una finca mide 22’57 ha y otra, 413’4 dam2. ¿En cuántos metros cuadrados es mayor una que otra?.

31. El ayuntamiento compró una finca que ocupa una superficie de 35 ha, 27 a y 5 ca. Si se pagó por cada m2 7'2 euros, ¿cuánto pagó el ayuntamiento por dicha finca?.

32. 27 dm3 de hierro tienen una masa de 210’6 kg. Halla la masa correspondiente a 0’025 m3.

33. Un depósito de agua contiene 4.275’8 litros. Si cada día se evapora un decilitro de agua, ¿cuántos días tardaría en evaporarse el agua del depósito?

34. Un frasco de cierto jarabe para bebés contiene 2 dl y 5 cl. Si pagas por esta medicina 4’2 euros, ¿cuál es el precio de un mililitro?.

35. Una fuente mana 145 litros en un minuto, y llena una piscina en 55 minutos. ¿Qué capacidad tiene la piscina en hectolitros?.

36. El contador de agua marca 36 kl, 27 l. ¿A cuántos decalitros equivalen estas cantidades?.

37. Un grifo llena un depósito en 27 horas. Si manan 13.475 litros por hora que está funcionando, qué capacidad tiene el depósito?

38. Una cadena de oro tiene una masa de 12’5 dg. Un anillo de oro 3’45 dg y los pendientes 70 dg. ¿Cuál es la suma de las tres piezas en mg? Si se funden las tres cosas para fabricar un brazalete de 86 dg, ¿será posible realizar alguno más?

39. En un almacén hay 15 sacos de azúcar con 75 kg cada uno, y 27 sacos con 90 kg. ¿Cuántos quintales métricos de azúcar hay?

40. Si 35 kl de mercurio tienen una masa de 476 t, ¿qué masa en hg tendrán 6 litros de mercurio?

41. Una vasija de barro vacía tiene una masa de 37’5 kg, y llena de agua, una masa de 67’2 kg. ¿Qué cantidad de masa de agua hay en la vasija?, ¿cuántos litros de agua contiene la vasija?

42. ¿Cuánto costaría pintar el techo de una habitación de área 22 m2, a 1’7 euros el m2? ¿Cuánta pintura debemos comprar si se usa 1 kg por 7 m2?

43. Una empresa de mudanzas tiene dos tipos de camiones. La anchura de los dos tipos de camiones es la misma, pero el largo del camión grande es dos veces y media la del camión pequeño, y el alto del camión grande es una vez y media la del camión pequeño.

a) Compara las dos capacidades. b) ¿Cuál sería el volumen de cada uno en función del camión pequeño?

44. En una bodega hay 459’27 hectolitros de vino tinto.

a) ¿Cuántas botellas de 0’3 l se necesitan para envasarlo? b) ¿Y si las botellas son de 3/4 de litro?


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2. Los números naturales.

2.1. Introducción. • Es el conjunto { }1,2,3,4,...= .

• Sirven para contar y para ordenar.

• Operaciones: suma, resta, producto, cociente, potencia y raíz.

• Representación gráfica:

2.2. Múltiplos y divisores. Números primos. • Un número natural a es múltiplo de otro b si a es igual a b por otro número.

• También se dice que b es divisor de a.

• Un número natural es primo si sólo es divisible por 1 y por él mismo.

• Los números que no son primos se llaman compuestos.

2.3. Descomposición en factores primos. Criterios de divisibilidad. • Todo número natural se descompone de manera única como producto de potencias de

números primos.

• Un número es divisible por 2 si es par, es decir, acaba en 0, 2, 4, 6, 8.

• Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3.

• Un número es divisible por 5 si acaba en 0 ó en 5.

• Un número es divisible por 11 si la suma de las cifras que ocupan lugar par menos la suma de las que ocupan lugar impar es múltiplo de 11.

2.4. Máximo común divisor y mínimo común múltiplo. • El máximo común divisor de dos números (m.c.d.(a,b)) es, de todos los que son

divisores de ambos, el mayor de todos.

• El m.c.d. se calcula haciendo la descomposición factorial de los números y haciendo el producto de los factores comunes con el menor exponente.

• El mínimo común múltiplo de dos números (m.c.m.(a,b)) es, de todos los que son múltiplos de ambos, el mayor de todos.

• El m.c.md. se calcula haciendo la descomposición factorial de los números y haciendo el producto de los factores comunes con el mayor exponente.


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Relación de problemas Tema 2 1. Escribe seis múltiplos de:

a) 3: d) 11:

b) 5: e) 7:

c) 9: f) 6:

2. De los siguientes números rodea con un círculo los que son múltiplos de 7.

35 45 75 49 91 107 147 191 245 343

3. Completa la siguiente tabla y di cuáles son los divisores de 12 son D12={ }

12 : 1 12 : 2 12 : 3 12 : 4 12 : 5 12 : 6 12 : 7 12 : 8 12 : 9 12 : 10 12 : 11 12 : 12CocienteResto

4. En cada grupo de números tacha los que no sean:

Divisores de 48: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12, 16, 20, 24, 30, 45, 48. Divisores de 25: 1, 3, 5, 10, 20, 25. Divisores de 100: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 40, 50, 60, 75, 90, 100.

5. Completa los huecos con la palabra múltiplo o divisor:

a) 25 es ………………………de 5 d) 16 es ………………………de 8 b) 11 es ………………………de 33 e) 60 es ………………………de 120 c) 100 es ………………………de 25 f) 7 es ………………………de 63

6. A la vista de las divisiones siguientes, completa si falta algún término y di qué puede decirse de

ellos en cuanto a divisibilidad según el ejemplo 18 3 18 es múltiplo de 30 6 3 es divisor de 18

⎧⎨⎩

ii

b) 48 60 8

⎧⎨⎩

ii c)

450 9

⎧⎨⎩

ii d)

300 5

⎧⎨⎩

ii

7. Completa los huecos de la tabla con SI o No según corresponda:

Divisible por 2 Divisible por 3 Divisible por 5 Divisible por 10183540

4801.0022.475

8. Averigua los números primos comprendidos entre 1 y 100 tachando los que no sean primos:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 32 33 34 35 36 37 38 39 4041 42 43 44 45 46 47 48 49 5051 52 53 54 55 56 57 58 59 6061 62 63 64 65 66 67 68 69 7071 72 73 74 75 76 77 78 79 8081 82 83 84 85 86 87 88 89 9091 92 93 94 95 96 97 98 99 100


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9. Clasifica los siguientes números en primos y compuestos:

88 222 101 75 19 312 13 23 180 97 1003

a) Números primos:

b) Números compuestos:

10. Descompón en producto de factores primos los números 24, 36, 45, 50,100, 140, 507, y 520.

11. Halla el máximo común divisor de los siguientes conjuntos de números:

a) 60 y 40. 60= 40= m.c.d.(60, 40)=

b) 18 y 30.

c) 25 y 100.

d) 300 y 360.

e) 18, 27 y 39.

f) 36, 48 y 72.

g) 80, 120 y 160.

12. Halla el mínimo común múltiplo de los siguientes conjuntos de números:

a) 60 y 40. 60= 40= m.c.m.(60, 40)=

b) 18 y 30.

c) 24 y 50.

d) 48,72 y 120.

e) 18, 27 y 39.

f) 36, 48 y 72.

13. Halla el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de:

a) 6, 42 y 21. 6= 42= 21= m.c.d.(6, 42, 21)= m.c.m.(6, 42, 21)=

b) 5, 10 y 25.

c) 42, 84 y 144.

d) 66, 121 y 2662.

e) 25, 625 y 1000.

14. Tenemos una tinaja con 120 litros de agua. Decidimos traspasarla en garrafas.

¿Cuántas garrafas de 5 litros se podrían llenar con el agua de la tinaja?. ¿Quedaría alguna incompleta?. ¿Se puede llenar un número exacto de garrafas de 5 litros?. ¿Cuántas garrafas de 7 litros se podrían llenar con el agua de la tinaja?. ¿Quedaría alguna incompleta?. ¿Se puede llenar un número exacto de garrafas de 7 litros?. ¿Qué capacidades podrían tener las garrafas para llenar un número exacto de ellas?. ¿Cuántas necesitaríamos de cada tipo?.


14

3. Los números enteros.

3.1. Introducción. • Es el conjunto { }..., 4, 3, 2, 1,0,1,2,3,4,...= − − − − .

• Los enteros negativos sirven para representar situaciones de déficit o deuda.


• Los números naturales forman parte de los enteros. Simbólicamente: ⊂ .

3.2. Valor absoluto. • Verdadero valor del número, independiente de lo que indique su signo.

Ejemplos: 4 4− = , 7 7= , 0 0= , 32 32− = .

3.3. Ordenación. • Dados dos números enteros, es menor el que ocupe en la recta un lugar más a la

izquierda. Por tanto:

o Todo número positivo es mayor que cualquier número negativo.

o 0 es menor que todo número positivo.

o 0 es mayor que todo número negativo.

o Si los dos número son negativos, es menor el de mayor valor absoluto.

3.4. Operaciones. Reducción de signos.

• Para escribir dos signos seguidos los tenemos que separar por paréntesis.

Ejemplos: No es correcto escribir - –2, - +15, + -20, + +12.

Correctamente escrito sería (–2), - (15), + (-20), + (12).

• Si un número está precedido de dos signos separados por paréntesis, se reducen los signos atendiendo a las siguientes reglas:

o Dos signos iguales seguidos se convierten en +.

o Dos signos distintos seguidos se convierten en -.

Ejemplos: -(-2)=2, +(-3)=-3, +(4)=4, -(3)=3.

Suma y Resta.

• Para sumar o restar dos números enteros, primero se reducen los signos.

o Si los dos números tienen el mismo signo, se suman los valores absolutos y al resultado se le pone el signo de ambos.

o Si los dos números tienen distinto signo, se restan y al resultado se le pone el signo del que tenga mayor valor absoluto.

o Si hay más de dos números, una vez reducidos todos los signos, se suman dos a dos de izquierda a derecha o bien se suman los positivos por un lado, los negativos por otro y así la operación queda reducida a dos números.


15

Ejemplos:

-(-3)+7=3+7=10

-2+(-8)=-2-8=-10

-6+3-(-4)+(-5)=-6+3+4-5=7-11=-4

Producto.

• Para multiplicar dos números enteros se multiplican los valores absolutos.

o Si los dos números tienen el mismo signo al resultado se le pone signo +.

o Si los dos números tienen distinto signo al resultado se le pone signo -.

o Si se multiplican más de dos se multiplican de izquierda a derecha.

Ejemplos:

-2 · 7 = 14

-12 · (-3) = 36

3 · (-5) = -15

-3 · 7 · (-6) = -21 · (-6) = 126

Cociente.

• Para dividir dos números enteros se dividen los valores absolutos.

o Si los dos números tienen el mismo signo al resultado se le pone signo +.

o Si los dos números tienen distinto signo al resultado se le pone signo -.

o Sólo se tendrán en cuenta los cocientes exactos.

Operaciones combinadas y uso del paréntesis.

• Los paréntesis se usan para:

o Separar signos consecutivos.

o Representar el resultado de la expresión que lleva dentro. Así cuando tengamos alguna expresión entre paréntesis tendremos que calcular el valor de lo que hay dentro y sustituir el paréntesis por ese valor.

o Si hay una pareja de paréntesis dentro de otra se realizan éstos de dentro a fuera.

• Si en una expresión con números enteros existen varias operaciones combinadas debemos tener en cuenta que el orden de realización de las mismas es:

1º Paréntesis.

2º Productos y cocientes.

3º Sumas y restas.

• Las operaciones del mismo rango se efectúan de izquierda a derecha.

Ejemplos:

8 – 3 · 2 = 8 – 6 = 2;

(8 – 3) · 2 = 5 · 2= 10

4 : (-2) + 3 · 5 = -2 + 15 = 13

4 : [(-2) + 3] · 5 = 4 : 1 · 5 = 4 · 5 = 20


16

Relación de problemas Tema 3 1. ¿Qué números enteros están comprendidos entre -6 y 4?. ¿Cuáles son naturales?.

¿Y entre -12 y -7?. ¿Cuáles son naturales?.

2. Dados los números -8, 8, 3, -10, 6, 4, -2:

a) Represéntalos gráficamente.

b) Ordénalos de mayor a menor:

c) ¿Cuál es el más lejano al origen?. ¿Y el más cercano?.

3. Ordena de menor a mayor los números 11, -2, 8, 0, -1, 5, -6, 3, -3, 7, -4, -9, 17.

4. Da dos números enteros que tengan valor absoluto 5. En general, ¿Cómo son dos números que tienen el mismo valor absoluto?.

5. Realiza las siguientes operaciones:

a) 5+10= d) –5+(-10)= g) –1+(-7)= j) –3-(-1)=

b) –4+4= e) –7-11= h) 8-(-5)= k) 5+(-2)=

c) 7+(-2)= f) –8+(6)= i) –9+(-3)= l) -4-(-3)=

6. Rellena los huecos que quedan para que las igualdades sean ciertas:

a) –7+ =-9 d) +8=-12 g) +(-2)=-9 j) –3- =5

b) 3+ =14 e) –6+ =6 h) –3+ =-12 k) 3+(- )=4

c) +2=2 f) 7+ =0 i) +5=-8 l) - -(-1)=6


a) -7·2= d) -5·8= g) -4·(-2)= j) -7·(-10)=

b) 12·(-3)= e) -1·(-1)= h) 7·(-5)= k) 3·(6)=

c) -10·10= f) 5·20= i) –11·12= l) -6·(-9)=

8. Expresa como producto de dos números enteros de dos formas distintas:

a) 9 = d) -5= g) 1= j) -1=

b) 24= e) -46= h) 26= k) -78=


a) 10:5 = d) –12:(-3)= g) 45:9= j) –3:(-1)=

b) –4:4= e) –25:5= h) –16:(-8)= k) -50:2)=

c) 16:(-2)= f) –100:10= i) 9:(-3)= l) 18:(-3)=

10. Rellena los huecos que quedan para que las igualdades sean ciertas:

a) 7· =14 d) –8: =-4 g) -5· =40 j) –100: =10

b) 16: =8 e) -9· =27 h) –25: =5 k) -2· =12

c) 2· =-82 f) 12: =-2 i) 1· =-12 l) 45: =9


17

11. Realiza las siguientes operaciones comprobando la solución:

a) 63-84 = = -21

b) (+34) - (-25) = = 59

c) (-48) - (-52) = = 4

d) (+75) - (- 39) = = 114

e) 256 - (+ 256) = = 0

f) (-4) - (+ 12) = = -16

g) -3 – 5 + 2 - (-7)= = 1

h) –3 + (-7) – 4 + 5= = -9

i) -1 - (-4) + 10 + (-2)= = 11

j) 68 - (21 - 54) + (7 - 72) = = 36

k) - (24 - 89 + 18) + (- 91 + 24) = = -20

l) - (- 417 - 78) - (-518- 287) = = 1300

m) 14 + [23 - (34 - 57)] = = 60

n) 14 - [23 - (34 - 57)] = = -32

o) - 32 - [19- (24 - 46)] = = -73

p) (- 3) · (- 6) · (+ 4) = = 72

q) (-8) · (- 3) · (- 7) = = -168

r) (- 6) · 8 · (- 10) = = 480

s) - 14 + 3 · (- 8) = = -38

t) 29 [(-10) + 1] = = -261

u) 12 · [40 + (- 3)] = = 444

v) (4 - 20) · 13 = = -208

w) (- 5) · 7 - 9 · (- 4) = = 1

x) -13 - (- 3) · (- 9) + 5 · (- 8) = = -80

y) (- 48 + 32) - (67 - 82) = = -1

z) 48 - [15 - (43 - 38) - 27] = = 65

aa) - [- 13 + (24 - 68)] - (- 48 + 95) = = 10

bb) (-12) · 7 – 13 · (- 5) = = -19

cc) 12 · (- 7) - 12 = = -96

dd) (- 13) · 3 = = -39

ee) 8 · (- 11) = = -88

ff) 48 : (-6) = =-8

gg) 6 – 12 : 4 = =3

hh) 4 · 3 – 18 : (-9) = =14

ii) -25 : 5 + (4 + 16) : 2 = =5


18


a) 7- (8 + 9 - 11) =

b) 5 - 7 + 19 - (20 + 4 - 3) + 10 =

c) 9 - 11 + (2 – 4 – 5 - 13) + 9=

d) 4 - (-20 + 17) - 16 - 15 + 3 =

e) 5 - (8 - 3)- 4 - (2 - 7)=

f) 3 - [-2 - (-1 - (-6)) - 3] + 7=

g) 1 + [2 + (-7 - 4 - 1)] - 6 =

h) -2 + (- 5) [-3 - (2 - 4) + 1] =

i) 8 + 3 · (9 - 11) =

j) 18 - 60 : (3 + 14 - 2) =

k) 6 + 2 · (-4) - (-1)=

l) -4 - (-5 + 7) : (4 - 5) =

m) 2 · 5 + 12 : (-3) – 4 =

n) 18 · (-5) : 2 : 15 =

o) -(-1 – 2 - 3) : (5 – 5 + 4 - 6 + 8)=

p) (-1 + 2 - 9) · (5 - 5) - 4 + 5 =

q) -8 : [-1 - (3 + (-1 - 7))] - 10 =

r) (22 - 10) : (-4 + 8) =

s) -3 + (-8) · [9 - 4 + (-1)] : (-2) =

t) 18 : (-3) · (-4) – [12 - (-6) + (-3)]=

u) 3 · 4 - 15 : [12 + 4 · (2 - 7) + 5] =

v) 2 · (4 - 11) - 4 [6 + 2 · (5 - 8 - 2)] =

w) 3 · [4 - (6 : 2 - 11)] - 4 · [5 - (7- 3 - 8)]=

x) 14 - [8 - (10 - 8) - 4 · 3] : (-2) =

y) [2 - (-4) - (-11 + 5)] : [2 - (5 - 9 + 6) - (-3)] =

z) -[-4 - (9 + 5 - 3) + 12] · [3 - [-(7 - 2) + 1] - 4] =

aa) -(8 - 10) : (-2) + (3 + 6) : (-3) • (-5) =

bb) [(8 - 9) - ((-3) + 2)] · [(-4) · 3 - (-2) + 5 · (-2) + 6] · (-8) : 4 - 2 =


a) (-3)2 = f) (3 · 2)3 = k) -50 : 2 + 34 = p) 5 - (3 - 6)3 =

b) - 32 = g) 4 + 52 = l) 18 - (-3)2 = q) (8-2)2 + 3 · (-5 + 2)4 =

c) - 43 = h) (4 + 5)2 = m) 4 + (-2)4 - (-2)3 = r) (-3 + 2)3 – 64 : (-2)4 =

d) -(-4)2 = i) 9 : (-3)2 = n) (-5)3 - 4 · (-3)3 = s) [4 · (-2)]2 – 18 : (-3) =

e) 3 · 23 = j) –3 + 4 : (-1)3 = o) 2 + (-6) · 25 = t) 3 + (-2)5 + (3-4)3 =


19

4. Los números racionales.

4.1. Fracciones.

• Expresión de la forma pq

,con p y q enteros.

• El número entero p se llama numerador y q denominador.

• Sirven para expresar la parte de la unidad que resulta de dividir dicha unidad en q partes y tomar p de ellas.

Ejemplos:

• La zona rayada se representa por 34

.

• Si en una clase de 25 alumnos 14 son niños, éstos representan los 1425

de la clase.

Fracciones equivalentes.

• Fracciones equivalentes son las que representan el mismo valor.

• Dada una fracción, obtenemos una equivalente multiplicando o dividiendo numerador y denominador por el mismo número entero.

• Dadas dos fracciones, son equivalentes si multiplicando numerador de la primera por denominador de la segunda, resulta lo mismo que multiplicar denominador de la primera por numerador de la segunda.

• Cada fracción tiene infinitas fracciones equivalentes a ella.

Ejemplos:

Son fracciones equivalentes 3 6 15, y 5 10 25

Dadas las fracciones 6 9y 4 6

son equivalentes porque 6 6 364 9 36⋅ =⎧

⎨ ⋅ =⎩.

Simplificación de fracciones.

• Dada una fracción podemos dividir numerador y denominador por la misma cantidad. Se obtiene así una fracción equivalente con numerador y denominador más sencillos.

• Si simplificamos hasta no poder simplificar más, obtendremos una fracción irreducible, que es aquella equivalente a la de partida con el numerador y el denominador lo más reducido posible.

Ejemplo:

18 9 324 12 4

= = . 34

es la fracción irreducible equivalente a 1824

.


20

Reducción a común denominador.

• Dadas varias fracciones obtenemos fracciones equivalentes a ellas pero con igual denominador.

• Usamos como denominador común el mínimo común múltiplo de los denominadores.

Ejemplo:

Dadas las fracciones 2 7 5, ,5 15 12

, el mínimo común múltiplo de los denominadores es

60. Las fracciones equivalentes con denominador 60 son, respectivamente, 24 28 25, ,60 60 60

.

4.2. Números racionales. Expresión decimal de una fracción.

• Toda fracción tiene una expresión decimal que se obtiene dividiendo numerador entre denominador.

• Las fracciones equivalentes tienen distinto numerador y denominador, pero tienen la misma expresión decimal.

Ejemplo:

Si hacemos la división de numerador entre denominador, 3 6 15 0 '65 10 25= = = .

Número racional.

• Número racional es todo valor que puede ser expresado mediante una fracción.

• Todas las fracciones que sean equivalentes entre sí forman un único número racional cuya expresión decimal se obtiene dividiendo numerador entre denominador.

• Sirven para expresar partes de la unidad.

• Se denotan por y se verifica ⊂ ⊂ .


Números decimales.

• Según su expresión decimal, los números racionales se dividen en:

⎧⎪⎨⎪⎩

⎧⎪⎨⎪⎩

PurosMixtos

Exactos (cantidad finita de decimales)Números decimales

Periodicos (infinitos decimales, periodo)

Fracción generatriz.

• Dada la expresión decimal de un número racional, se trata de encontrar la fracción que nos da dicha expresión decimal.

• Según los distintos tipos de números decimales se obtiene de la siguiente forma:

o Número decimal exacto: Se corre la coma tantos lugares a la derecha como sean necesarios para obtener un número entero y se divide por la unidad seguida de ceros correspondiente.


21

o Número decimal periódico puro: Se pone el número sin coma y con un periodo, se resta el número sin periodo y se divide por tantos nueves como dígitos tenga el periodo.

o Número decimal periódico mixto: Se pone el número sin coma y con un periodo, se resta el número sin periodo y se divide por tantos nueves como dígitos tenga el periodo y tantos ceros como dígitos tenga el anteperiodo.

Ejemplos:

245 492 '45100 20

= =

175 1 174 581'7599 99 33−

= = =

2146 214 1932 1612 '146900 900 75−

= = =

Ordenación.

• Dados dos números racionales es menor:

o El que se representa en la recta más a la izquierda.

o El de menor expresión decimal.

o Pasadas a común denominador, el que tenga menor numerador.

4.3. Operaciones. Suma y resta.

• Mismo denominador: Se suman o restan los numeradores y se pone el mismo denominador.

a c a cb b b

++ =

• Distinto denominador: Se reducen las fracciones a común denominador y se suman o

restan como en el caso anterior.

Producto.

El numerador el producto de los numeradores y el denominador el producto de los denominadores.

a c a cb d b d

⋅⋅ =

⋅

Cociente.

El numerador es el numerador de la primera por el denominador de la segunda, y el denominador el denominador de la primera por el numerador de la segunda.

:a c a db d b c

⋅=

⋅

Operaciones combinadas.

Rigen las mismas normas que en los enteros en cuanto o prioridad de las operaciones y uso del paréntesis.


22

Relación de problemas Tema 4 1. Contesta razonadamente a las siguientes cuestiones:

a) Si un curso está compuesto por 23 hombres y 15 mujeres, entonces ¿cuál es la fracción que representa el número de hombres del curso?. ______

b) Un matrimonio decide pasar su luna de miel en Trebujena durante 4 días. ¿Cuál es la fracción de semana que duró su luna de miel? . ______

c) ¿Qué fracción del día ha transcurrido cuando son las siete de la tarde?. ______

d) ¿Cuántos octavos hay en 5 unidades?. ¿Cuántos quintos en 3 unidades?. ______

e) Si me como 3/8 de un pastel. ¿Qué parte del pastel queda?. ______

f) ¿Cuánto debe añadirse a 3/7 para obtener la unidad?. ______

2. Calcula:

a) 5 de 3644

= b) 4 de 3507

= c) 7 de 5448

= d) 5 de 573

=

3. Halla tres fracciones equivalentes de:

a) 25= = = b)

1236

= = = c) 86

− = = =

4. Comprueba si son equivalentes y pon los signos o = ≠ las siguientes fracciones:

a) 4 205 25

b) 1 12 4

− − c) 6 49 12

− − d) 5 4

15 12−

− e)

35 530 3

5. Completa las fracciones para que se cumplan las siguientes igualdades:

a) 2 4 123 12 21= = = = b)

9 1215 5 10 45

= = = = d) 6 12 305 20 30

−− = = = = −

6. Reduce a común denominador:

a) 56=

1145

= 720

= b) 325

= 4

15=

59=

7. Calcula la expresión decimal de:

a) 748

= b) 8775

= c) 1145

= d) 3511

=

8. Halla la fracción generatriz de:

a) 1’186 = c) 0’1844..... = e) 3’05 =

b) 1’0505..... = d) 3’55..... = f) 1’766..... =

9. Calcula y simplifica al máximo:

a) 4 1 83 5 5− + = d)

2 1 735 4 10

− + − =

b) 1 3 72 4 3− − = e)

5 1 5 14 8 16− + − =

c) 5 7 116 9 15+ − = f)

1 1 1 23 6 9− − + =


23


a) 10 93 20⋅ = d)

2( 4)5

⎛ ⎞− ⋅ − =⎜ ⎟⎝ ⎠

b) 4 5

3 7− −

⋅ = e) 2 1 33 5 4⋅ ⋅ =

c) 3 ( 4)7⋅ − = f)

2 4 64 3 5−

⋅ ⋅ =− −


a) 1 2:4 32

= d) 7 : ( 3)11

− =

b) 8 3:3 2

−= e)

3020 :27

− =

c) 2 3:

7 14−

=−

f) 20 30:15 27

⎛ ⎞− − =⎜ ⎟⎝ ⎠


a) 5 34 6

⎛ ⎞− − =⎜ ⎟⎝ ⎠

b) 13

2−

− − =

c) 1 2 ( 5)2 3

−⎛ ⎞− − + − − =⎜ ⎟⎝ ⎠

d) 4 5( 6)

5 4− ⎛ ⎞− − − + − =⎜ ⎟

⎝ ⎠

e) 13 32

⎛ ⎞− + =⎜ ⎟⎝ ⎠

f) 1 2 12 3 2

⎛ ⎞− − + =⎜ ⎟⎝ ⎠

g) 1 1 2 13 2 3 4

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

h) 3 3 4 1 44 2 5 2 5

⎛ ⎞− + − + =⎜ ⎟⎝ ⎠

i) 3 3 4 1 44 2 5 2 5

⎛ ⎞− + − + =⎜ ⎟⎝ ⎠

j) 1 71 42 12

⎛ ⎞+ ⋅ ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

k) 2 5 423 6 11

⎛ ⎞+ − ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠


24


a) 1 4 25 7 3

⎛ ⎞− ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

b) 1 312 : 45 7

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

c) 1 62 :5 35

− =

d) 1 438 5

+ ⋅ =

e) 1 438 5

⎛ ⎞+ ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

f) 2 923 4

⎛ ⎞+ ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

g) 2 1 4:3 3 15

⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠

h) 2 3 ( 3)3 5⋅ ⋅ − =

i) 4 525 7

− ⋅ ⋅ =

j) 1 334 9

⎛ ⎞− ⋅ − ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

k) 2 3 5:5 4 6⋅ =

l) 7 5 2:8 2 5

−⋅ =

m) 3 4 2: :4 7 6

⎛ ⎞− − =⎜ ⎟⎝ ⎠

n) 4 25 4 :3 3

− ⋅ =

o) 3 42 : 4 52 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ⋅ − + − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

p) 5 2 52 : 16 3 6

⎛ ⎞− − + =⎜ ⎟⎝ ⎠

q) 3 1 3 3:8 2 4 4

−⎛ ⎞− − =⎜ ⎟⎝ ⎠

r) 3 2 314 9 8

− + ⋅ − =


25


a) 1 105 :3 9

⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠

b) 1 1 3 1:2 3 4 3+ − =

c) 1 1 3 1:2 3 4 3

⎛ ⎞+ − =⎜ ⎟⎝ ⎠

d) 3 1 425 2 7⎛ ⎞− ⋅ − =⎜ ⎟⎝ ⎠

e) 3 1 425 2 7

⎛ ⎞+ ⋅ + =⎜ ⎟⎝ ⎠

f) 3 1 425 2 7

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ⋅ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

g) 4 5 1 4: 13 6 2 3

− ⎛ ⎞− − ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

h) 2 3 1 223 4 2 7

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

i) 1 1 1 122 3 4 2

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − + − − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

j) 1 2 1 1 1 2 352 3 4 2 3 3 4⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ⋅ − − − ⋅ − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦

k) 8 1 143 4 2

⎛ ⎞⋅ − ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

l) 1 3 2 8:2 4 3 9

⎛ ⎞− ⋅ − =⎜ ⎟⎝ ⎠

m) 2 21 1 3 1 2 3

3 4 2 5 3 2⎛ ⎞− − ⋅ − ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

n) 26 1 7 2 3 2 1: : :

5 4 3 3 2 3 3⎛ ⎞⎛ ⎞− − =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

o)

75311 53

−=

+ ⋅

p)

3 142 1 2 36 75 3 4 53

− ⋅− ⋅ + =

+ ⋅


26

15. Contesta a las siguientes cuestiones sobre números racionales:

a) Calcula el punto medio entre cada uno de estos pares de números racionales:

b) 0 y 1, 1 y 12

, 1 3 y 2 4

, 1 5 y 2 8

.

c) Representa esos valores en la recta numérica.

d) ¿Es racional el valor medio entre dos racionales? Esto es, ¿se puede expresar como una fracción?.

e) ¿Podrías seguir colocando valores medios entre los obtenidos? ¿Cuántos podrías colocar?.

f) ¿Cuántos números racionales hay entre 0 y 1?. ¿Cuántos racionales hay entre dos racionales cualesquiera?.

16. Las 3/5 partes de un terreno están dedicadas a huerta y el resto es zona de pasto. Si el terreno mide 45 dam2, halla la superficie de huerta y de pasto en m2.

17. Tienes una parcela que mide 2.070 m2, y tu vecino tiene otra parcela que es 2/5 de la tuya. ¿Cuántos metros cuadrados mide la parcela del vecino?.

18. Los 3/8 de un poste están pintados de blanco, los 3/5 del resto, de azul, y el resto, que mide 1’25 m, de rojo. ¿Cuál es la altura del poste? ¿Cuánto mide la parte pintada de azul?.

19. De un solar se venden primero los 2/3 de su superficie y después los 2/3 de lo que quedaba. El ayuntamiento expropia los 3.200 m2 restantes para un parque público. ¿Cuál era la superficie del solar?.

20. Un tractor arrastra 3’5 m3 de trigo; otro tractor arrastra los 3/5 de lo que arrastra el primero, y un tercer tractor arrastra los 3/7 de lo que arrastra el segundo. ¿Cuántos dm3 de trigo arrastran entre los tres?.

21. Una fuente puede llenar un depósito en 3 horas, y un desagüe vaciarlo en 4 horas. Estando 1/3 del depósito lleno, se abren a la vez la fuente y el desagüe. ¿Al cabo de cuántas horas se llenarán los 4/3 del depósito?.

22. Un depósito de agua tiene tres tomas de agua. Si se abren las tres, el depósito se llena en 2 horas. Abriendo las dos primeras, el depósito se llena en 5 horas. ¿Cuánto tiempo tardaría la tercera en llenar el depósito?.

23. Una canica cae al suelo y se eleva cada vez a los 2/3 de la altura anterior. Después de haber botado tres veces, se ha elevado 2 m de altura. ¿Desde qué altura cayó?.

24. Una máquina transforma fracciones de forma que si entra una fracción F la convierte en una

nueva fracción: 11

FF

−+

. Por ejemplo, entra 12

y sale 13

. Compruébalo. Pues bien, supongamos que

entra la fracción 25

y el resultado vuelve a introducirse en la máquina, repitiendo el proceso mil

veces. ¿Cuál será la fracción obtenida al final?.

25. Un vendedor ambulante lleva una cesta de naranjas. En la primera casa que visita vende la mitad de las naranjas más media. En la segunda casa vende la mitad de las que le quedaban más media. En la tercera y en la cuarta casa, repite la misma operación, con lo que se le agota la mercancía. ¿Cuántas naranjas llevaba?.


27

5. Los números reales.

5.1. Números irracionales. • Existen números decimales que no tienen una cantidad finita de cifras decimales o

éstas no son periódicas.

• Estos números, que no pueden darse mediante una fracción, son los números irracionales.

Ejemplos:

Son números irracionales:

2 1'41421356237309...= y todas las raíces cuadradas de números que no son cuadrados perfectos.

3'14159265358979....π =

= 2'71828182845904....e 1'61803398874989...φ =

0’101001000100001000001...

5.2. Números reales. • Los números racionales e irracionales juntos forman los números reales.

• Los números reales se denotan por y se verifica que ⊂ ⊂ ⊂ .

• Representación gráfica.

5.3. Aproximaciones. Errores. Redondeo. • Para operar con números reales no tenemos más remedio que tomar aproximaciones,

que son valores próximos al valor exacto pero no iguales.

• Una aproximación puede ser por defecto (si es menor que el valor exacto) o por exceso (si es mayor que el número exacto).

• Se toma una aproximación hasta las décimas cuando tiene una cifra decimal, hasta las centésimas cuando tiene dos decimales, etc.

• Al tomar aproximaciones cometeremos un error, que viene dado por la diferencia entre el valor exacto y la aproximación.

• Según sea esta diferencia, diremos que el error es menor que una décima, una centésima, etc.

• Para cometer el menor error posible al tomar una aproximación es necesario redondear, que consiste en aproximar teniendo en cuenta las siguientes reglas:

o Si la primera cifra que se desprecia es menor que 5, la última que se conserva se deja como está.

o Si la primera cifra que se desprecia es mayor o igual que 5, la última que se conserva se incrementa en 1.


28

Ejemplos:

3’14 es una aproximación por las centésimas de π por defecto.

El error que se comete es 0’0015926535..., menor que 2 milésimas.

3’1415 es una aproximación por las diezmilésimas de π por exceso.

El error que se comete es 0’0000073464..., menor que 1 cienmilésima.

5.4. Números decimales. Operaciones. Suma.

Se alinean los números por la coma y se suman como si fuesen números naturales. La coma se coloca en el mismo lugar que tiene en los sumandos.

Resta.

Se alinean los números por la coma y se restan como si fuesen números naturales. La coma se coloca en el mismo lugar que tiene en el minuendo y en el sustraendo.

Multiplicación.

Se efectúa la multiplicación como si fuesen números naturales. El número de cifras decimales del producto será la suma del número de cifras decimales de los factores.

División.

Para dividir un número decimal entre otro natural se hace la división como si fueran ambos naturales y se coloca la coma en el cociente antes de bajar la cifra de las décimas en el dividendo.

Si tenemos que dividir dos números decimales, se multiplican dividendo y divisor por la unidad seguida de tantos ceros como sean necesarios para que el divisor sea natural y se procede como en el caso anterior.

Ejemplos:


29

Relación de problemas Tema 5 1. Dados los siguientes números reales 2 , 3, 1'41 , -2, 1’41, 0, π , 1'41:

a) Clasifícalos en los distintos conjuntos numéricos. b) Ordénalos de menor a mayor. c) Representa gráficamente los que sean irracionales.

2. Pon un ejemplo, si se puede, de cada una de las cosas siguientes. Si no se puede decir por qué:

a) Un número entero que no sea natural. b) Un número entero que no sea racional. c) Un número irracional que no sea raíz ni π , ni e, ni φ . d) Un número racional que no sea entero. e) Un número negativo que no sea entero.

3. Dado el número 3 1,732050807568...=

a) Toma una aproximación por defecto hasta las centésimas y calcula una cota del error. b) Toma una aproximación por exceso hasta las diezmilésimas y calcula una cota del error.


a) 4’77 - 0’98 + 14’694=

b) 0’749 - 7’74 - 47’68=

c) 11’06 - (2’4 + 7’96)=

d) 7’08 · (-4’349)=

e) 18’05 - 7’074 · 4’09=

f) 2’74 - 6’78 · 7’04=

g) 6’79 + 4’984 · (0’79 + 8’98)=

h) 1’64 · 9’8 – 4’1 : 0’4=

i) 3’496 · 4’7 - 0’4 · 7’2=

j) 0’47 + (-5’78) · 2’5=


a) 2’37 - 1’58 + 12’654 =

b) 1’345 - 3’34 - 23’68 =

c) 3’16 - (1’2 + 3’56) =

d) 3’18 · 12’345 =

e) 18’12 - 3’134 · (-2’15) =

f) 5’32 · 2’38 - (-3’12) =

g) 6’35 + 4’984 · (1’59 - 8’99) =

h) 5’64 · 9’8 - 4’01 : 1’25 =

i) 1’23 + (-2’38) · 2 =

j) 4’256 : 0’64 - (-1’2) · 3 =

k) (31’3-24’37) : 7’5 - 4’5 · 3=


30

6. Potencias y radicales. Uso de la calculadora.

6.1. Potencias. Definición.

• Una potencia es una expresión de la forma na . El valor a es la base de la potencia y

n es el exponente.

o Si el exponente es positivo, elevar un número real a un exponente positivo consiste en multiplicar el número por sí mismo tantas veces como diga el exponente. En esa multiplicación habrá que tener en cuenta el signo y el tipo de número de la base y obrar en consecuencia.

o Si el exponente es 0, 0 1a =

o Si el exponente es negativo, 1n

naa

− = .

Ejemplos:

43 = 4 · 4 · 4 = 64 (-2)4 = (-2) · (-2) · (-2) · (-2) = 16

(-5)3= (-5) · (-5) · (-5) = -125 (-1)35= -1 43 3 3 3 3 81

2 2 2 2 2 16⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ ⋅ ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

32 2 2 2 8

5 5 5 5 125⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = − ⋅ − ⋅ − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1’23 = 1’2 · 1’2 · 1’2 · 1’2 = 2,0736 (-0’2)3 = (-0’2) · (-0’2) · (-0’2) = -0’008

22

1 133 9

− = = 32

1 155 125

− = =

44

1 1( 2)( 2) 16

−− = =−

33

1 1( 0 '4) 15'625( 0 '4) 0 '064

−− = = = −− −

Propiedades.

• Si ,a b∈ y ,m n∈ se verifican las siguientes propiedades:

1. m n m na a a +⋅ =

2. m

m nn

a aa

−=

3. ( )n n na b a b⋅ = ⋅

4. n n

n

a ab b

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

5. ( )nm m na a ⋅=

Potencias de 10.

• 10n es igual a un 1 seguido de n ceros.

• 10 n− es un número decimal con parte entera 0 seguido de n-1 ceros y un 1 al final.


31

• Al multiplicar por 10n se corre la coma n lugares a la derecha añadiendo ceros a la derecha si es necesario.

• Al multiplicar por 10 n− se corre la coma n lugares a la izquierda añadiendo ceros a la izquierda si es necesario.

Ejemplos:

103 = 1000

10-4 = 0’0001

1236’723· 105 =123672300

1236’723· 10-6 =0’01236723

Operaciones combinadas.

• Si en una expresión con números enteros existen varias operaciones combinadas debemos tener en cuenta que el orden de realización de las mismas es:

1º Paréntesis.

2º Potencias.

3º Productos y cocientes.

4º Sumas y restas.

• Las operaciones del mismo rango se efectúan de izquierda a derecha.

Ejemplos:

4 – 2 · 32 = 4 – 2 · 9 = 4 – 18 = -14

4 – (2 · 3)2 = 4 – 62 = 4 – 36= -32

(4 – 2) · 32 = 2 · 9 = 18

6.2. Radicales. Definición.

• La radicación es la operación contraria de la potenciación.

o La raíz cuadrada de a es un número que elevado al cuadrado nos da a.

o La raíz cúbica de a es un número que elevado al cubo nos da a.

o La raíz cuarta de a es un número que elevado a la cuarta nos da a.

o En general, la raíz n-ésima de a es un número que elevado a n nos da a.

• n a es una expresión radical. En ella, n es el índice y a es el radicando.

Ejemplos: 24 2 porque 2 4= =

264 8 porque 8 64= =

33 27 3 porque 3 27= =

55 32 2 porque 2 32= =

• No siempre los números reales tienen raíces exactas. Cuando esto ocurre el número resultantes irracional y para usarlo tendremos que aproximar redondeando.


32

Ejemplos:

2 1'41421356237309...=

3 1'73205080756887...=

3 12 2.28942848510666...=

Propiedades.

• Estudiaremos como principales propiedades de las raíces las siguientes:

1. ( )nn nn a a a= =

2. n n na b a b⋅ = ⋅

3. n

nn

a ab b=

4. m n m na a⋅=

o No es cierto que n n na b a b± = ±

Ejemplos:

8 4 2 4 2 2 2= ⋅ = ⋅ =

3 3 34 24= =

4 9 4 9 2 3 5+ ≠ + = + =

Definición de raíz de exponente racional.

• Por todo lo visto has a hora, definimos m

n mna a= .

Ejemplos: 124 4 2= =

12

12

1 1 18198181

−= = =

Racionalización.

• Consiste en transformar una expresión racional con raíces en el denominador en otro equivalente sin raíces en el denominador. Consideraremos dos casos:

o El denominador es una raíz cuadrada: se multiplican numerador y denominador por la misma raíz cuadrada.

o El denominador es una suma ó una resta de raíces cuadradas: se multiplican numerador y denominador por la expresión conjugada.

Ejemplos:

2 2 6 2 6 66 36 6 6

= = =⋅


33

( )( ) ( )

( ) ( )2 3 5 2 3 5 2 3 52 3 59 5 4 23 5 3 5 3 5

+ + + += = = =

−− − ⋅ +

6.3. Uso de la calculadora. Cálculo de potencias.

• Para elevar un número al cuadrado:

o Algunas calculadoras disponen de la tecla 2x .

o Se teclea el número y a continuación las teclas × y a continuación =

• Para elevar un número al cubo, a la cuarta etc.:

o Se usa la tecla yx .

o Una vez elevado al cuadrado usando las teclas × y = , se sigue pulsando la tecla =

Cálculo de raíces.

• Para calcular una raíz cuadrada se marca la tecla

• Para hallar una raíz cúbica, cuarta, etc, se eleva el número a 1/2, 1/3, 1/4, etc.

Notación científica.

• La notación científica consiste en expresar una cantidad como un número decimal con un dígito distinto de cero en la parte entera multiplicado por una potencia de 10.

• Sirve para expresar de forma abreviada números muy grandes o muy pequeños y

Ejemplos:

Los siguientes números están en notación científica: 2· 103, 6’64· 10-2.

No están en notación científica: 23· 103, 61’4· 10-2, 200· 104, 0’3· 10-3.


34

Relación de problemas Tema 6 1. Calcula las siguientes potencias:

a) 35= d) (-2)5= g) 1’13= j) (-0’5)3=

b) (-0’1)6= e) (-2)-4= h) 3-2= k) 0’1-3=

c) 41

2⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

f) 23

5⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠

i) 34

3

−⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠

l) 35

2⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

2. Expresa con una sola potencia.

a) 52 · 53 = c) (-5)5 · (-5)2 = e) 0’56 · 0’5 = g) 1’64 · 1’6 · 1’63 · 1’62 =

b) (-4)4 · (-4)4 = d) 8 · 84 = f) 22 · 24· 23 = h) (-10)3· (-10)3 ·(-10)4 =

3. Expresa con una sola potencia.

a) 4 37 : 7 = c) 6

2

33

= e) 6 2( 4) : ( 4)− − = g) 4 30 '3 : 0 '3 =

b) 5

3

22

= d) 4

2

( 3)( 3)−

=−

f) 57

7= h)

8

3

( 1'2)( 1'2)−

=−

4. Expresa como una sola potencia:

a) ( )432 = b) ( )323− = c) ( )632− = d) ( ) 240 '1−=

5. Utilizando las propiedades de las potencias, simplifica al máximo:

a) 3 4

4 3

12 158 20

⋅=

⋅ b)

4 5 3

5 3

7 6 124 21⋅ ⋅

=⋅


a) (-3)2 = d) 3 · 23 = g) (4 + 5)2 =

b) -32 = e) (3 · 2)3 = h) 9 : (-3)2=

c) -(-4)2 = f) 4 + 52 = i) –3 + 4 : (-1)3=


a) -8 : 22 - 2 · 5=

b) (2 - 9 · 3)2 - [5 · (-3) + 4]3=

c) (-3) · [5 - (11 - 3 · 2)]2=

d) 4 · [7 - (-3 + 2)2] - [23 + (-1)5]3=

e) -3 · 42 - (5 - 6 · 2)3 · (-22)=

f) (6 - 3)3 – 6 · (23 - 24)2=

g) (-32 + 5 · 22)2 : [8 + (-12) : (-22)]=

h) -(-4 - 5) : (2 + 1)2 - 12 · 7 : (8 - 2 · 3) · 2=



35

a) 227 5 2: 1

8 2 5−⎛ ⎞⋅ − =⎜ ⎟

⎝ ⎠

b) 2

2

3 4 1:4 3 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

c) =+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −− 1

322

65 2

d) 33 3 1 3

8 4 2 4− ⎛ ⎞+ + − =⎜ ⎟

⎝ ⎠

e) 24 5 1 4:

3 6 2 3− ⎛ ⎞+ − ⋅ =⎜ ⎟

⎝ ⎠

f) 2 32 6 4 2:

3 5 9 3−

⋅ + =

9. Calculando y memorizando los cuadrados de los quince primeros números, calcula las siguientes raíces:

a) 6400 = c) 1'96 = e) 0 '0169 =

b) 90000 = d) 0 '16 = f) 0 '000144 =

10. Extrae factores del radical:

a) 12 = c) 980 = e) 3 500 =

b) 3 81 = d) 3 256 = f) 4 162 =

11. Introduce factores en el radical:

a) 5 3 = c) 1 63

= e) 31 102

=

b) 35 5 = d) 42 4 = f) 2 147

=

12. Racionaliza las siguientes expresiones:

a) 13= c)

155= e)

32 6

=

b) 1

7 3=

+ d)

7 53 5−

=+

f) 6

2 6=

−

13. Calcula:

a) 3 · 103 = c) 3’34 · 106 = e) 0’34 · 10-2 =

b) 52 · 105 = d) 125 · 10-3 = f) 0’0045 · 104 =

14. Expresa en notación científica:

a) 99000000 = c) 12’98 = e) 15565700000000 =

b) 0’0099231 = d) 0’00123 = f) 0’000034443528 =


36

7. Proporcionalidad.

7.1. Magnitudes directamente proporcionales • Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando:

o Al aumentar una al doble, al triple..., la otra también aumenta al doble, al triple...

o Al disminuir una a la mitad, a la tercera parte..., la otra también disminuye a la mitad, a la tercera parte...

Ejemplos:

Un cupón de lotería cuesta 2 €.

Las magnitudes que intervienen son: número de cupones y precio. En la siguiente tabla quedan recogidos otros valores:

Nº de cupones 1 2 3 6 10Precio (€) 2 4 6 12 20

Si aumentamos el número de cupones al doble, el precio es el doble; si lo aumentamos al triple, el precio es el triple.; si disminuimos el número de cupones a la mitad, el precio es la mitad; si lo disminuimos a la tercera parte, el precio es la tercera parte; etc. Por tanto las magnitudes nº de cupones-precio son directamente proporcionales.

También son magnitudes directamente proporcionales:

- La extensión de terreno y los litros de agua que se necesitan para regarlo.

- El lado de un cuadrado y su perímetro.

No son magnitudes directamente proporcionales:

- El número de personas que entran a ver una película y la duración de la misma.

- El lado de un cuadrado y su área.

Constante de proporcionalidad.

• Si las magnitudes son directamente proporcionales, se cumple que, al dividir los valores de la segunda magnitud entre los correspondientes de la primera, obtenemos un valor constante. A ese valor le llamamos constante de proporcionalidad.

• Los valores de la segunda magnitud se obtienen multiplicando el valor correspondiente de la primera por la constante de proporcionalidad.

• Si multiplicamos la constante de proporcionalidad por cada denominador obtenemos numerador correspondiente.

Ejemplo:

En el caso de los cupones, se tiene : 2 4 6 21 2 3= = = , que es la constante de

proporcionalidad.

Regla de tres simple directa.

• Dadas dos magnitudes directamente proporcionales, la regla de tres simple directa nos permite calcular el valor desconocido de una de ellas.

Ejemplo:

Si 3 Pelotas de tenis cuestan 15€, ¿cuánto costarán 7 pelotas?.


37

• Esquema:

Reducción a la unidad.

• Otra forma de resolver problemas de regla de tres directa es calcular el valor de una unidad de la magnitud buscada y multiplicar por el total.

Ejemplo:

Si tres pelotas de tenis cuestan 15 €, una costará 3 € y siete 21 €.

Repartos directamente proporcionales.

• Consiste en hacer un reparto de una magnitud directamente proporcional a los valores de otra, es decir, al que vale doble le corresponde doble, al que vale triple, le corresponde triple, al que vale la mitad, le corresponde la mitad, etc.

• Para repartir de manera directamente proporcional, reducimos a la unidad y multiplicamos por las cantidades entre las que se reparte.

• Esquema:

Reparto directamente proprocional Cantidad Repartir

entre Suma Reducción a la unidad a b c

A a, b, c s=a+b+c Ars

= r·a r·b r·c

Ejemplo:

Tres amigos juegan 5, 3 y 2 euros a la lotería y le ha tocado 500 €. ¿Cómo deben repartirse el premio?.

Entre los tres juegan 10 €, por tanto por cada euro deben corresponder 50 € de premio, por tanto deben ganar 250 €, 150 € y 100 €, respectivamente.

7.2. Magnitudes inversamente proporcionales. • Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando:

o Al aumentar una al doble, al triple..., la otra disminuye a la mitad, a la tercera parte...

o Al disminuir una a la mitad, a la tercera parte..., la otra aumenta al doble, al triple...

Ejemplos:

Un grifo que vierte 3 litros de agua por minuto. En la siguiente tabla quedan recogidos otros valores:

Caudal (t/min) 3 6 9 18 7Tiempo (min) 15 7'5 5 7 30


38

Observamos que al aumentar el número de litros por minuto al doble, el tiempo de llenado se reduce a la mitad; al aumentar el caudal al triple, se emplea la tercera parte de tiempo; etc. Por tanto, las magnitudes caudal-tiempo son inversamente proporcionales.

También son magnitudes inversamente proporcionales:

- Las Horas de trabajo y número de trabajadores en realizarlo.

- La velocidad y el tiempo en recorrer una distancia.

Constante de proporcionalidad.

• Si las magnitudes son inversamente proporcionales, se cumple que, al multiplicar los valores correspondientes de ambas magnitudes, obtenemos un valor constante:

• Los valores de una de las magnitudes se obtienen dividiendo la constante de proporcionalidad por el valor correspondiente de la otra magnitud.

• Si dividimos la constante de proporcionalidad por el valor de una de las magnitudes obtenemos el de la otra.

Ejemplo:

En el caso del grifo, se tiene que: 3 15 6 7,5 9 5 45⋅ = ⋅ = ⋅ = , que es la constante de proporcionalidad.

Regla de tres simple inversa.

• Dadas dos magnitudes inversamente proporcionales, la regla de tres simple inversa nos permite calcular el valor desconocido de una de ellas.

Ejemplo:

Si 10 albañiles terminan un muro en 45 días, para acabarla en 15 necesitaremos:

• Esquema:

Reducción a la unidad.

• Otra forma de resolver problemas de regla de tres directa es calcular el valor de una unidad de la magnitud buscada y multiplicar por el total.

Ejemplo:

Si 10 albañiles terminan el muro en 45 días un albañil tardaría 450 días. Si se quieren tardar 15 días se necesitarán 30 albañiles.

Repartos inversamente proporcionales.

• Consiste en hacer un reparto de una magnitud inversamente proporcional a los valores de otra, es decir, al que vale doble le corresponde la mitad, al que vale triple, le corresponde la tercera parte, al que vale la mitad, le corresponde el doble, etc.

• Este reparto es equivalente a un reparto directamente proporcional entre los inversos.


39

• Esquema:

Reparto inversamente proprocional Cantidad Repartir

entre Suma de los

inversos Reducción a la

unidad a b c

A a, b y c 1 1 1 ma b c n+ + = : m Anr A

n m= =

1ra⋅

1rb⋅

1rc⋅

Ejemplo:

Tres ciclistas se han de repartir 240 € en partes inversamente proporcionales a los tiempos que han empleado en hacer el mismo recorrido, que han sido 3, 4 y 6 horas, respectivamente. ¿Cuánto debe cobrar cada uno?.

En total tenemos que repartir 240 € entre 9

12 horas.

9240 : 32012

= . Por tanto,

deben cobrar 1320 106 '673⋅ = ,

1320 804⋅ = y

1320 53'336⋅ = €, respectivamente.

7.3. Regla de tres compuesta. • En algunos problemas de regla de tres intervienen mas de dos magnitudes y hay que

hallar al valor correspondiente a una de ellas.

• Para resolverla se compara la magnitud desconocida con cada una de las demás, considerando si la proporcionalidad es directa o inversa y seguimos conjuntamente los esquemas estudiados en las reglas de tres simples.

• También se puede hacer una reducción a la unidad.

Ejemplos:

Cuatro chicos en una acampada de 10 días han gastado en comer 250 €. En las mismas condiciones, ¿Cuánto gastarán en comer 6 chicos durante una acampada de 15 días?.

4 10 2506 15 x→ →→ →

6 250 15 22500 562 '5 €

4 10 40x ⋅ ⋅= = =

⋅

15 obreros, trabajando 6 horas diarias, tardan 30 días en realizar un trabajo. ¿Cuántos días tardarán en hacer el mismo trabajo 10 obreros, empleando 8 horas diarias?.

15 6 3010 8 x

→ →→ →

30 15 6 2700 33'75

10 8 80x ⋅ ⋅= = =

⋅días.

7.4. Tantos por ciento. • Un porcentaje o tanto por ciento es una relación de proporcionalidad de denominador

100.

• Se trata, por tanto, de tomar de cada 100 partes de la unidad las que indica el tanto.

Ejemplos:

Los 25

de una clase de 30 alumnos son 12. Pues bien, como 2 405 100= , esos 12

alumnos representan el 40% de la clase.

La plantilla de un equipo de fútbol la componen 25 jugadores, de ellos 7 son

defensas, éstos suponen los 725

de la plantilla, es decir, el 28%, ya que 7 2825 100

= .


40

Cálculo de un tanto por ciento.

• Para calcular un tanto por ciento se multiplica por el tanto y se divide por cien.

Ejemplos:

El 20% del tiempo que dura una clase de 50 minutos es 20 50 10100⋅

= minutos.

El 48% de la superficie de un terreno de 30 ha es 48 30 14 '4100⋅

= ha.

¿Qué tanto por ciento representa una cantidad de otra?.

• Primero se obtiene la fracción y se multiplica por cien para pasarla a tanto por ciento.

Ejemplos:

En una baraja de cartas los reyes representan el 4 100 10%40

⋅ = de las cartas.

Descontar un tanto por ciento.

• Consiste en restar a una cantidad un tanto por ciento de la misma.

• Se calcula hallando primero el tanto por ciento y restando después de la cantidad.

• Esa operación equivale a multiplicar la cantidad por el número que tiene parte entera 0 y parte decimal la diferencia de 100 menos el tanto por ciento.

Ejemplos:

Por 25 € compramos un balón en la tienda de un amigo que nos hace un descuento del 15%. Tendremos que pagar 25 € menos el 15% de 25 €, es decir 25 € menos 3’75 €. Luego el precio final es 21’25 €.

También podríamos haberlo calculado más rápidamente así: 25 · 0’85 = 21’25 €.

Aumentar un tanto por ciento.

• Consiste en añadir a una cantidad un tanto por ciento de la misma.

• Se calcula hallando primero el tanto por ciento y sumando después a la cantidad.

• Esa operación equivale a multiplicar la cantidad por el número que tiene parte entera 1 y parte decimal el tanto por ciento.

Ejemplos:

Compramos un billete de avión por 38 €, pero tiene un recargo del 7%. El precio final es 38 € más 7% de 38 €, es decir 38 € más 2’66 €. Luego el precio final es 40’66 €.

También podríamos haberlo calculado más rápidamente así: 38 · 1’07 = 40’66 €.


41

Relación de problemas Tema 7. 1. Indica si las siguientes magnitudes son o no directamente proporcionales.

Directa Inversa NingunaEl peso de unos bombones y su precioLa velocidad de un coche y el tiempo que tarda en recorrer una distanciaEl número de trabajadores de una obra y el tiempo que tardan en terminarlaEl número de hojas de un libro y su pesoLa altura de un alumno y la talla de camisa que utilizaLa edad de un alumno y su alturaEl tamaño de una plancha de metal y su peso.El peso de la fruta y el dinero que cuesta.El radio de un círculo y su áreaEl número de vacas y el tiempo que tardan en comerse 100 kg de pienso.El número de coches aparcados y las plazas libres en un aparcamiento.La velocidad máxima que puede alcanzar un coche y su precio

2. En una fábrica de ladrillos, 5 ladrillos apilados ocupan 1 m de altura, 10 ladrillos alcanzan una altura de 2 m, y 15 ladrillos, 3 m.

a) Indica si estas magnitudes son directamente proporcionales.

b) Calcula su constante de proporcionalidad.

c) Completa la tabla con sus valores correspondientes.

N.° de ladrillos 1 5 10 15 20 30Altura (m) 1 2 3 5 10

d) ¿Qué altura alcanzarían 100 ladrillos? ______ ¿Y 500? ______ .

e) Si la nave en la que apilamos los ladrillos tiene 18 m de altura, ¿cuántos ladrillos podríamos apilar como máximo? _______

3. Una rueda de coche da 4.590 vueltas en 9 minutos. ¿Cuántas vueltas dará en 24 horas y 24 minutos?.

4. La pólvora está compuesta de 75 partes de salitre, 15 partes de carbón y 10 partes de azufre. ¿Qué peso de cada uno de estos componentes habrá que emplear para obtener 790 kilogramos de pólvora?.

5. Con el dinero que tengo, si me gasto en comida 4 € al día tendría dinero suficiente para comer durante 60 días.

a) Indica si estas magnitudes son inversamente proporcionales.

b) Calcula su constante de proporcionalidad.

c) Completa una tabla con los valores correspondientes.

Gasto diario (€) 4 8 12 16 10 40Duración (días) 60 30 20 15 90

6. Para envasar cierta cantidad de vino se necesitan 8 toneles de 200 litros de capacidad cada uno. Queremos envasar la misma cantidad de vino empleando 32 toneles. ¿Cuál deberá ser la capacidad de estos toneles?.

7. En un concurso de música cuatro participantes de 4, 5, 10 y 20 años ganan 60 discos. Deciden repartírselos en partes inversamente proporcionales a sus edades. ¿Cuántos discos corresponden a cada uno?.


42

8. Para alimentar 4 caballos durante 6 días se necesitan 216 kg de pienso. En las mismas condiciones, ¿cuántos días se podrán alimentar 10 caballos con 1.260 kg de pienso?.

9. Una máquina excava 120 metros durante 3 días a razón de 8 horas diarias. ¿Cuánto excavará otra máquina de las mismas características durante una semana a razón de 5 horas diarias?.

10. Un rollo de alambre de 1.200 m se quiere dividir en tres partes que sean proporcionales a 2, 3 y 5. ¿Cuánto medirá cada parte?.

11. Un comerciante vendió en 378 € una partida de tela que le costó 360 €. ¿Qué tanto por ciento del precio de compra representa la ganancia obtenida?.

12. Una piscina se llena en 12 horas empleando un grifo que arroja 180 litros de agua por minuto?. ¿Cuánto tardará en llenarse la piscina si el grifo arrojara 270 litros por minuto?.

13. La pensión diaria de dos personas que comparten la misma habitación es de 75 €. ¿Cuánto costará el alojamiento de 14 personas en habitaciones dobles durante 10 días?.

14. Una patrulla de montaña formada por 6 soldados ha consumido durante una semana 56 kg de víveres. ¿Cuántos kg de víveres consumirá otra patrulla integrada por 15 soldados durante 6 días?. Se supone que la ración diaria para cualquier soldado de ambas patrullas es la misma.

15. Seis grifos llenan un depósito de 400.000 litros de capacidad en 10 horas. ¿Cuánto tiempo tardarán 15 grifos del tipo de los anteriores en llenar un depósito de 600.000 litros de capacidad?.

16. Tres amigos alquilan un apartamento durante 18 días. Juan lo ocupa durante 4 días, Pedro durante 6 días y José el resto. El importe del alquiler es de 450 €. ¿Cuánto tiene que pagar cada uno?.

17. De una pieza de tela de ancho 90 cm, se han cortado 1’50 m para hacer un vestido. Es más barato si cortamos la misma cantidad de una pieza de 120 cm de ancho. ¿Qué longitud cortaremos?.

18. Dos fontaneros han realizado una obra en 5 días trabajando 8 horas diarias. ¿Cuántas horas diarias deberán trabajar 4 fontaneros que quieren acabar la obra en 2 días?.

19. Un libro tiene 450 páginas y cada página tiene 66 líneas de 80 caracteres. ¿Cuántas páginas deberá tener el mismo libro si cada página tiene 72 líneas de 90 caracteres?.

20. El jardín de un parque se ha instalado con el trabajo de 3 jardineros durante 15 días y trabajando 8 horas diarias. Se quiere crear en otro parque otro jardín análogo en características y extensión. Como se desea acabar en 4 días, se han contratado 9 jardineros. ¿Cuántas horas deberán trabajar diariamente?.

21. Calcula los siguientes tantos por ciento.

12% de 550 5% de 86 15% de 365 20% de 58 42% de 320 2'5% de 420 1'5% de 60 110% de 50

22. ¿Qué tanto por ciento es una cantidad de otra?.

15 de 75 5 de 85 24 de 90 25 de 150 80 de 320 68 de 450 150 de 60 70 de 14

23. Haz los siguientes descuentos.

15% a 750 30% a 850 2% a 125 25% a 320 8% a 85 3% a 450 45'5% a 56 7'5% a 140

24. Haz los siguientes incrementos.

15% a 750 30% a 850 2% a 125 25% a 320 8% a 85 3% a 450 45'5% a 56 7'5% a 140


43

25. Compro 4’5 metros de cierta tela a 32’5 € el metro y 6’5 metros de otra tela a 54’5 € el metro. ¿Cuánto he de pagar si me hacen una rebaja del 3’5%?.

26. Un bodeguero compró vino a 0’60 € el litro. ¿A cuánto tuvo que revender el litro para ganar el 25% sobre el precio de compra?.

27. He obtenido en un negocio una ganancia de 162 € ¿Qué cantidad tenía invertida en ese negocio, sabiendo que la ganancia representa un 4% de esa cantidad?.

28. Los automóviles subieron el año pasado un 12% y este año un 8%, ¿Cuál ha sido el porcentaje de subida en los dos últimos años?.

29. ¿A cómo he de vender el kilo de naranjas para ganar el 10% del precio de compra si éste es de 1’80 €?.

30. ¿A cómo he de vender el kilo de naranjas para ganar el 10% del precio de venta si el precio de compra es de 1’80 €?.

31. Se tiene una disminución de peso de 18’08 kg por la tara de una caja. ¿Cuál es su peso bruto si la tara es un 6% del peso total?.

32. En un maratón abandonan el 10 % de los corredores en los primeros 10 km. Antes del kilómetro 20 abandonan el 30% de los que quedaban. ¿Qué porcentaje de los que iniciaron la prueba quedan en competición?.

33. Un tabernero mezcla 350 litros de vino a 4 € el litro con 275 litros de otro vino a 3 € el litro. ¿A cómo ha de vender el precio de la mezcla si quiere ganarse un 10%?.

34. La leche da, por término medio, un 15 % de nata y ésta da un 25 % de mantequilla:

a) ¿Cuánta nata se obtiene con 40 l de leche?.

b) ¿Cuánta mantequilla se obtiene con 80 l de leche?.

35. El 30% de los asistentes a un congreso son europeos, el 15% son americanos, el 25% africanos y el resto asiáticos. Sabiendo que hay 36 europeos, ¿Cuántos hay de los demás continentes?.

36. El coste de un artículo es de 450 €. El margen de dicho artículo se sitúa en el 45% sobre el coste. ¿Qué descuento máximo del precio marcado puedo hacer para no perder dinero?.

37. El coste de un artículo es de 4.525 €, el margen sobre el precio de coste es del 25%. ¿Cuál es su precio final sabiendo que está gravado con un 16% de I.V.A.?.

38. El P.V.P. de un medicamento es 12’50 € ¿Cuál es su precio sin incluir el I.V.A. sabiendo que la tasa para los medicamentos es del 4%?.

39. El precio de venta, sin incluir el I.V.A., de un libro es de 18’90 € y nos hacen en la librería un 10% de descuento. ¿Cuál es el precio final sabiendo que el I.V.A. para este tipo de artículos es del 6%?.

40. El P.V.P. de un televisor es de 955 € ¿Cuánto hemos pagado de I.V.A. al que nos lo vendió?. ¿Cuál es su precio de coste sabiendo que el margen es del 40%?

41. Un frigorífico tiene un coste de 860 € y un margen del 45%. ¿Con qué precio debemos marcar el frigorífico para ponerlo a la venta?. ¿Cuál es el descuento máximo que podemos hacerle al cliente?.

42. El coste de un balón de fútbol es de 28 € El precio final es de 45 €. ¿Cuál es el margen del vendedor teniendo en cuenta que en el precio final va incluido el I.V.A.?


44

Bloque 2: ALGEBRA

8. Expresiones literales. • Conjunto de números y letras relacionadas entre sí mediante operaciones.

• Las letras se llaman indeterminadas y representan a números reales desconocidos o indeterminados.

8.1. Monomios, polinomios: operaciones. Monomios.

• Expresión algebraica que está formada por el producto de un número real y uno o varios valores indeterminados en la que las únicas operaciones que aparecen entre las indeterminadas son los productos y las potencias de exponente natural.

• El número se llama coeficiente, el resto es la parte literal.

• El grado del monomio es la suma de los exponentes de las indeterminadas.

• Dos monomios son semejantes si tienen la misma parte literal, es decir, las mismas indeterminadas afectadas de los mismos exponentes.

Ejemplos:

No son monomios 6x2 y-3, 2

zx y

, 3a b .

Polinomios.

• Suma indicada de varios monomios.

• En el caso particular de ser dos monomios los que se suman, le llamaremos binomio.

• Los monomios que forman el polinomio se llaman términos.

• El grado de un polinomio es el mayor de los grados de sus términos.

• El coeficiente del término de mayor grado se llama coeficiente principal y el término que no tiene parte literal es el término independiente.

• Consideraremos en adelante sólo polinomios con una sola indeterminada.

Ejemplo: 5 4 3 23 2 2 1x x x x x− + − + − es un polinomio de grado 5. El coeficiente principal es

3 y el término independiente -6.

Valor numérico de un polinomio para x=a.

• Valor que resulta de sustituir en el polinomio la variable por a y efectuar las operaciones.

Ejemplo:

El valor numérico de 5 4 3 23 2 2 1x x x x x− + − + − para x=2 es 5 4 3 23 2 2 2 2 2 2 2 1 65⋅ − ⋅ + − ⋅ + − = .

Raíz de un polinomio.

• Valor que anula el polinomio, es decir, que su valor numérico es 0.


45

Ejemplo:

El valor x = -1 es una raíz del polinomio 5 4 3 23 2 2 1x x x x x− + − + − .

Operaciones:

• Monomios:

o Suma (resta) de monomios semejantes: se suman (restan) los coeficientes y se pone la misma parte literal. Sólo se pueden sumar monomios semejantes. Si no son semejantes se deja la suma indicada.

o Productos (cociente) de monomios cualesquiera: Se multiplican (dividen) los coeficientes y se multiplican (dividen) las partes literales teniendo en cuenta las propiedades de las potencias.

• Polinomios:

o Suma (resta) de polinomios: se suman (restan) los términos semejantes de cada polinomio.

o Producto de polinomios: se multiplica cada término de uno por cada término del otro y se reducen los términos semejantes obtenidos.

o División polinomios: se sigue el algoritmo de la división.

Ejemplos:

2 2 2 25 5 13 32 2 2

xy xy xy xy⎛ ⎞− = − =⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) ( )2 3 27 4 28ab a bc a b c⋅ − = −

( )3 3 2 3 22 3 6 ( 7) 2 13x x x x x x x x+ − − + + + = − + + −

( ) ( )2 3 5 3 2 4 2 3

5 4 3 2

2 3 5 1 2 10 2 5 3 15 3

2 7 7 16 3

x x x x x x x x x x x x

x x x x x

− + ⋅ − + = − + − + − + − + =

= − − + − +

8.2. Descomposición factorial de polinomios. Quitar paréntesis. Sacar factor común.

• Si un monomio multiplica a un polinomio, dicho monomio multiplica a todos los términos de un polinomio. Esto se conoce como quitar paréntesis.

• Si hacemos lo contrario estamos sacando factor común.

Ejemplo:

( )5 4 3 2 2 3 22 2 4 4 2 2 2x x x x x x x x+ − − = + − −

Productos notables

( )2 2 22a b a ab b+ = + +

( )2 2 22a b a ab b− = − +

( ) ( ) 2 2a b a b a b+ ⋅ − = −

Regla de Ruffini.


46

• Algoritmo que se usa para dividir un polinomio por otro de la forma x-a ó x+a:

• Para hacer la división: 4 22 4 2 5 5 x x x x− + − − , se procede así:

El cociente es 3 22 6 14 44x x x+ + + y el resto 137.

Teorema del resto.

• El resto de la división de un polinomio por x - a coincide con el valor numérico del polinomio para x = a.

Ejemplo:

Observar que 137 es el valor numérico de 4 22 4 2 5x x x− + − para x = 3.

Teorema del factor.

• Si a es una raíz de un polinomio, x-a es un factor de dicho polinomio, es decir, el polinomio es divisible por x-a.

Ejemplo:

x+1 es un factor de 3 2 4 4x x x+ − − porque -1 es raíz del polinomio.

Descomposición factorial de polinomios.

• Consiste en poner un polinomio como producto de otros de menor grado.

• Si un polinomio de grado n admite n raíces reales, se puede descomponer de forma única en el producto de su coeficiente de mayor grado por n factores del tipo (x – r), donde «r» representa cada una de las n raíces del polinomio.

11 1 0 1 2( ) ... ( )( )...( )n n

n n n nP x a x a x a x a a x r x r x r−−= + + + + = − − −

• Utilizaremos el teorema del resto y el teorema factor junto con la regla de Ruffini, los productos notables y la técnica de sacar factor común para descomponer factorialmente polinomios.

Ejemplo:

Teníamos ( )5 4 3 2 2 3 22 2 8 8 2 4 4x x x x x x x x+ − − = + − − .

Por la regla de Ruffini 3 2 24 4 ( 1)( 4)x x x x x+ − − = + −

Como producto notable: 2 4 ( 2)( 2)x x x− = + − .

Por tanto 5 4 3 2 22 2 8 8 2 ( 1)( 2)( 2)x x x x x x x x+ − − = + − +


47

Relación de problemas Tema 8. 1. Traduce al lenguaje algebraico las siguientes frases:

El cuadrado de un número más el doble de ese número: .................... _____________

El área de un triángulo:.............................................................................. _____________

El triple de un número: ............................................................................. _____________

Dos número consecutivos: ........................................................................ _____________

¿Cuántos años tendrá una persona dentro de 15 años?: .................... _____________

2. Rellena la siguiente tabla con los datos que faltan:

Coeficiente Parte literal Grado2xy 2

-3ab

3 22a b

223

x yz

3. Efectúa las operaciones indicadas a partir de los siguientes polinomios:

A(x) = 5x3 + 2x2-x-3 B(x) = 2x4 + 2x3 - x - 6 C(x) = -3x+3

a) A(x) + B(x) + C(x) =

b) A(x) - 2B(x) =

c) A(x) · C(x) =

d) A(x) - B(x) · C(x) =

e) 3A(x) - 2B(x) - C(x) =

f) A(x) · B(x) + 2C(x)=

g) [A(x) + B(x)] · C(x)=

h) C(x) – [B(x) – A(x)] =

4. Efectúa las siguientes divisiones de polinomios:

a) (3x4 + 2x2 - x + 3) : (x2 + 3x) c) (8x5 - x4 - x+4) : (x2 + 2x)

b) (4x5 + x3- 2x) : (x3 + 2) d) (7x3 + 2x2 – x + 8) : (x + 5)

5. Extrae el máximo factor común en las siguientes expresiones:

a) 5x4 - 15x3 + 25x2 =

b) 2x4 - 10x3 + 8x=

c) 7x3 + 14x2 - x=

d) 9a2b - 3ab2 =

e) (x2 + 1) · (x - 1) + (x2 + 1) · (x + 1) =

6. Calcula los productos notables siguientes:


48

a) (3x+ 2)2 = f) 21

2x⎛ ⎞+ =⎜ ⎟

⎝ ⎠

b) (2x+5)2 = g) (x2 + 3x)2 =

c) (4x- 1)2 = h) (x2 + 6x) · (x2 - 6x) =

d) (x2-5)2 = i) (3x+ 4) · (3x- 4) =

e) 2 25 5

x x⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ⋅ − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

j) 23

4x⎛ ⎞− =⎜ ⎟

⎝ ⎠

7. Convierte las expresiones en productos o potencias de binomios:

a) x2 - 6x + 9= f) x2 + 10x + 25 =

b) 4x2 + 12x + 9 = g) 4 - 4x2 + x4 =

c) 2

14x x− + = h)

62

4x x− =

d) 9x2 - 4 = i) 49 - x2 =

e) x4 - 1 = j) x4 - 36x2 =

8. Desarrolla estas operaciones, aplicando las identidades notables y reduciendo los términos semejantes:

a) (x+2)2 - (x+3) · (x-3) =

b) (2x+1)2 - (2x+3) · (x-2) =

c) (3x-5)2 + (3x+5)2 =

9. Efectúa las siguientes divisiones por la regla de Ruffini, indicando en cada caso el resto y el polinomio cociente:

a) (5x3 + 2x2 – x - 3) : (x-3) d) (-x6 + 8x2 – x - 6) : (x-1)

b) (x4 + 2x2 - x + 6) : (x+l) e) (4x3 - 6x2 - 2x + 2) : (x-5)

c) (4x5 + x4 - 2x3 + 6x - 3) : (x+2) f) (-x3 - 6x2 + 2x - 9) : (x+7)

10. Calcula los valores numéricos de los polinomios, teniendo en cuenta los valores indicados para la indeterminada, directamente y aplicando la regla de Ruffini:

a) A(x) = 2x3 + x2-x-2, para x=0, x=1 y x= -1

b) 6(x) = 4x5 + 5x4 - x3 + 6x- 3, para x=2, x=-2 y x=0

c) B(x) = 2x4 + x2 – x - 5, para x=0, x=2 y x=-3

11. Descompón factorialmente los siguientes polinomios:

a) x4 + 4x2 + 4 f) 3x4 - 24x3 + 48x2

b) x4 - 6x3 + 9x2 g) 2x3 + 2x2 - 24x

c) x3 + 2x2 - x-2 h) x3 - 7x2 + 14x- 8

d) x4 - 4x3 + 4x2 - 4x + 3 i) x4 - x3 - 5x2 – x - 6

e) x5 + 4x4 + x3 - 10x2 - 4x + 8 j) 5x4 - 15x3 + 15x2 -5x


49

9. Ecuaciones de primer y segundo grado. Sistemas de ecuaciones. Resolución de problemas.

9.1. Ecuaciones. • Una ecuación es una igualdad entre expresiones algebraicas que es cierta para algunos

valores de las indeterminadas.

• Si una igualdad es cierta para todos los valores de las indeterminadas tenemos una identidad.

• Las indeterminadas en las ecuaciones se llaman incógnitas. Tenemos así ecuaciones con una incógnita, con dos, etc.

• Cada una de las dos expresiones separadas por el signo = es un miembro de la ecuación.

• Solución de una ecuación es un conjunto de valores, uno para cada incógnita, que sustituidos en la ecuación y efectuadas las operaciones indicadas en la misma hace la igualdad cierta.

• Resolver una ecuación es encontrar todas sus soluciones.

• Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones.

• Dada una ecuación, obtenemos una equivalente ejecutando cualquiera de las acciones siguientes:

o Sumando (restando) en ambos miembros la misma expresión.

o Multiplicando (dividiendo) en ambos miembros por la misma expresión distinta de 0.

Ejemplos:

2 3 2x y x+ = − es una ecuación con dos incógnitas. 2 3x y+ es el primer miembro de la ecuación y 2x − es el segundo. 1, 1x y= = − es una solución de la ecuación, que tiene infinitas soluciones.

2 132

x x x x⎛ ⎞− = −⎜ ⎟⎝ ⎠

es una ecuación con una incógnita. 2 3x x− es el primer

miembro de la ecuación y 12

x x⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

es el segundo. 0x = y 74

x = son las dos únicas soluciones.

2(x-3)=2x-6 es una identidad, ya que es válida siempre.

9.2. Ecuaciones de primer grado con una incógnita. • Una ecuación de primer grado con una incógnita es la equivalente a una del tipo ax b=

con 0a ≠ , es decir, tiene sólo una incógnita y las únicas operaciones que afectan a la incógnita son la suma y el producto por números reales.

• Se resuelve, una vez reducidas a la forma ax=b, dividiendo por a en ambos miembros,

con lo cual queda bxa

= .


50

9.3. Ecuaciones de segundo grado con una incógnita. • Una ecuación de segundo grado con una incógnita es la equivalente a una del tipo

2 0ax bx c+ + = con 0a ≠ , es decir, tiene sólo una incógnita y las únicas operaciones que afectan a la incógnita son la suma, el producto por números reales y elevar al cuadrado.

• Se resuelven, una vez reducidas a la forma básica, aplicando la expresión 2 4

2b b acx

a− ± −

= .

• Pueden tener dos soluciones, una o ninguna, esto depende de del discriminante de la ecuación, que es 2 4b ac∆ = − .

o Si 0∆ > la ecuación tiene dos soluciones:

2

2

42

42

b b acxa

b b acxa

⎧ − − −=⎪

⎪⎨

− + −⎪ =⎪⎩

.

o Si 0∆ = la ecuación tiene una solución: 2

bxa−

= .

o Si 0∆ < la ecuación no tiene solución.

• Si b=0 la ecuación se reduce a 2 0ax c+ = . Soluciones: cxa

= ± − si 0ca

− ≥ .

• Si c=0, la ecuación se reduce a 2 0ax bx+ = . Soluciones 0x

bxa

=⎧⎪⎨

= −⎪⎩

.

9.4. Sistemas de ecuaciones. • Un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas es el formado por

dos ecuaciones equivalentes a una del tipo ax by c+ = .

• Una solución del sistema es un par de valores, uno para x y otro para y, que satisfacen simultáneamente las dos ecuaciones del sistema.

• Resolver un sistema es encontrar todas sus soluciones.

• Existen tres métodos fundamentales de resolución de un sistema.

o Sustitución: Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones y se sustituye en la otra obteniéndose una ecuación con una incógnita, que se resuelve. La solución hallada se sustituye en el primer despeje y se tiene la solución del sistema.

o Igualación: Se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones y se igualan las expresiones obtenidas. Se tiene así ecuación con una incógnita, que se resuelve. La solución hallada se sustituye en el primer despeje y se tiene la solución del sistema.

o Reducción: Se hacen las operaciones necesarias para tener en las dos ecuaciones la misma incógnita con coeficientes opuestos. Se suma miembro a miembro y nos quedamos con una ecuación de primer grado en la otra incógnita. Procedemos igual con la primera incógnita.


51

Relación de problemas Tema 9. 1. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) x + 4 = 7 d) x - 7 = 3

b) x - 2 = -4 e) x + 7 = 3

c) x + 6 = 14 f) x - 4 = 10

2. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 2x = 24 d) 5x = -20

b) 4x = 2 e) -3x = -9

c) 2x = -10 f) -4x = -8


a) 6x + 9 = -3x + 27

b) 2x - 6 = -4x

c) -5x + 1 = 2x – 3

d) 2x + 3 = 5x - 1

e) 9x + 5 = -x + 15

f) 7 - 2x = -3x + 1


a) 6(x - 4) = 3x – 9

b) 4(2x + 1) = 5(2x - 3)

c) 6(x - 1) = -2(x + 5) + 4

d) 3(x - 1) = -2(x + 3)

e) 4(x - 1) = 6(x + 1) – 5

f) -8(x – 2) + 3 = 4(x + 1)


a) 42x= d) 5

4x= − g)

2 64

x −= −

b) 123x= e)

4 65x= − h)

6 73

x +=

c) 3 94x= f)

7 283x

− = i) 2 2

8x−= −


52


a) 34 2 5x x x+ = + d)

1 32 4 2x x− =

b) 8 7

3 5 5x− = e)

112 3 5 6x x x− + =

c) 2 1 73 6 2 2x x− = + f)

2 5 32 3 6 4x x x− = −


a) 13217 =

−−

xx i) 3 17 1 4 1 9

8 3 4 6x x x x− − − −

− = −

b) 2 3 135 2x xx −

− = − j) 4(2 1) 22

3 5 12x x x+ −

− = −

c) 64

22

1=

−−

− xx k)

3(1 ) 3 3 524 2 8 2

x x x− ++ − = −

d) 3( 1) 2 15

2 5x x− −

= + l) 1 4( 2) 5( 1)2

5 15 2x x x− − + −

− = −

e) 3 1 2 3 8

3 5 15x x x− − +

− = m) 3 8 5

2 12 4 3x x x x− − −

− = −

f) 4 2(5 2 ) 2

2 3x x− −

+ = n) 5 5 3 2 52

4 6 3x x x x− − +

− + = −

g) 2( 1) 8 2( 2)4

3 6 4x x xx− +

+ = − o) 23 1 4 13 2

xx⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

h) 2 1 1 1

3 6 4x x x− + −

+ = + p) ( )1 2 12 18 3 2 4

xx x⎛ ⎞− − − = −⎜ ⎟⎝ ⎠


a) x2 + 4x - 5 = 0 h) x2 - 8x + 16 = 0

b) x2 + 3x + 2 = 0 i) -9x2 + 6x - 1 = 0

c) -6x2 + x + 5 = 0 j) 3x2 - 4x + 2 = 0

d) 2x2 - x - 5 = 0 k) -2x2 - x + 6 = 0

e) 16x2 + 2x - 3 = 0 l) 3x2 + 8x - 3 = 0

f) x2 + x + 2 = 0 m) x2 + 15x + 50 = 0

g) -x2 + 6x - 3 = 0 n) -4x2 + 7x - 3 = 0


a) x2 - 25 = 0 f) 2x2 + 3x = 0

b) -6x2 + 12x = 0 g) 4x2 + 6 = 0

c) x2 + 16 = 0 h) –x2 + 20 = 0

d) -3x2 - 4x = 0 i) 2x2 + 5x = 0

e) 4x2 - 25 = 0 j) –x2 - 4 = 0


53


a) 23 6 2 0x x− + + = g) 23 5 04

x x− + =

b) 2 23 7 8x x x x− = − h) 2 21 ( 3) 2( 7) 32

x x− − + = −

c) ( ) ( )222 16 2 4 1x x x+ = + + − i) 2 7 3 08 32

x x− + =

d) ( )( )2 22 3 1 2 6x x x x x− + + − = + − j) ( ) ( )2 22 1 3 1 11

4 3 12x x− +

− =

e) ( ) ( )2 2 22 2 3 8x x x x+ − − − = + k) 7( 3)( 3)4xx x+ − =

f) 2 1 04

x x+ + = l) 2 6 3125 5

x x x⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟⎝ ⎠

11. Resuelve por sustitución e igualación los siguientes sistemas de ecuaciones:

a) 2 4 32 2 5

x yx y− = −⎧

⎨ − =⎩ b)

2 3 67

x yx y

− = −⎧⎨ + =⎩

c) 4 9

3 14x y

x y− =⎧

⎨ + = −⎩ d)

7 3 52 3 13x y

x y+ = −⎧

⎨− + =⎩

12. Resuelve por reducción los siguientes sistemas de ecuaciones:

a) 2 3 6

7x y

x y− = −⎧

⎨ + =⎩ b)

7 3 52 3 13x y

x y+ = −⎧

⎨− + =⎩ c)

5 93 2 11

x yx y+ =⎧

⎨ + =⎩ d)

3 10 2115 6 17

x yx y

− + =⎧⎨ − = −⎩

13. Resuelve por el método que consideres más adecuado los siguientes sistemas de ecuaciones:

a) 3( ) 2( ) 265( ) 3 8

x y x yx y y+ − − = −⎧

⎨ + − =⎩ e)

23 5

2 11

x y x y

x y

+ −⎧ + =⎪⎨⎪ + =⎩

b) 3( 2) 2( 1) 113 2( 2)

x yx y− − − = −⎧

⎨ − = +⎩ f)

2( ) 73 5 6

4 2 5

x y x y

x y

− +⎧ + =⎪⎨⎪ + =⎩

c) 7( 2) 16 2( 1)4 3( 2) 13

x yx y− + = − −⎧

⎨ + + =⎩ g)

2 4 255 12

2 2 95 3 20

x y

x y

+ −⎧ =⎪⎪⎨ +⎪ − = −⎪⎩

d) 2( ) 3 2

33 2

x x y yx y− + = −⎧

⎪⎨

+ =⎪⎩

h)

7 1 3 6 124

7 1 2 143

x y

x y

+⎧ − + =⎪⎪⎨ +⎪ + =⎪⎩

e) 3 2 3 0

4 53 5

x y x y

x y

+ −⎧ − =⎪⎨⎪ − =⎩

i) 5

2 3

37

x y x y

x y y

− −⎧ + =⎪⎪⎨ +⎪ + =⎪⎩


54

14. Halla cinco números enteros consecutivos cuya suma sea 60.

15. Descompón el número 48 en dos partes, tales que dividiendo una por otra se obtenga 3 de cociente y 4 de resto.

16. Halla dos números enteros consecutivos tales que la diferencia entre la tercera parte del mayor y la séptima del menor sea igual a la quinta parte del menor.

17. Tres socios han de repartirse 1.500 €. Calcula lo que corresponde a cada uno, si el primero ha de tener 2 veces más que el segundo, y éste 3 veces más que el tercero.

18. Irene ha gastado 220 € en una camisa, un cinturón y un abrigo. Si el cinturón cuesta la tercera parte que la camisa, y la camisa la mitad que el abrigo, ¿cuánto vale cada prenda?

19. Alberto reparte su colección de coches. Regala la tercera parte a su hermano pequeño, la quinta parte a su hermana y la séptima parte de lo que le queda, a un amigo. ¿Cuántos coches tenía si aún le quedan 30?.

20. Reparte 273 € entre dos personas, de manera que la parte de una sea 2/5 de la parte de la otra.

21. Un hijo tiene 30 años menos que su padre y éste tiene 4 veces la edad del hijo. ¿Qué edad tiene cada uno?.

22. Hace dos años, un padre tenía el triple de la edad de su hijo y dentro de once sólo tendrá el doble. Halla la edad que tienen ahora.

23. Hace dos años, un padre tenía el triple de la edad de su hijo y dentro de once sólo tendrá el doble. Halla la edad que tienen ahora.

24. En una reunión hay doble número de mujeres que de hombres y triple número de niños que de hombres y mujeres juntos. ¿Cuántos hay de cada clase si en total hay 156 personas?.

25. En un corral hay conejos y gallinas. En total son 53 cabezas y 176 patas. ¿Cuántos conejos y gallinas hay?

26. Busca dos números consecutivos tales que, añadiendo al mayor la mitad del menor, el resultado excede en 13 a la suma de la quinta parte del menor con la onceava parte del mayor.

27. Si a los dos términos de la fracción 79

121 les añadimos el mismo número, obtenemos una fracción

equivalente a otra añadiendo ese número a los dos términos de 7

13. Calcula ese número.

28. Si se aumenta la altura de un cuadrado en 4 metros, y la anchura en 1’5 metros, resulta un rectángulo cuya área es igual a la del cuadrado aumentado en 28 m2. Calcula el lado del cuadrado.

29. Calcula los ángulos de un triángulo sabiendo que uno es la mitad de otro, y que el tercero es la cuarta parte de la suma de los dos primeros.

30. Dos torres, una de 30 m de altura y la otra de 40, están separadas 50 m. Entre las dos torres se encuentra una fuente a la que bajan dos pájaros desde las almenas. Yendo con igual velocidad llegan al mismo tiempo. ¿A qué distancia de las torres se encuentra la fuente?

31. En un triángulo rectángulo, un cateto mide 24 cm y la hipotenusa supera en 18 cm al otro cateto. Busca el perímetro y el área del triángulo.

32. Halla dos números consecutivos cuyo producto sea 182.

33. Halla tres números impares consecutivos, tales que sus cuadrados sumen 5.051.

34. El cuadrado de la edad del hijo nos da la edad del padre, y dentro de 24 años la edad del padre será doble que la del hijo. ¿Cuántos años tiene cada uno?


55

35. Calcula un número que sumado con la mitad de su cuadrado nos dé 24.

36. Tres segmentos miden, respectivamente, 8, 22, 24 cm. Si a los tres les añadimos una misma longitud, el triángulo construido con ellos es rectángulo. Halla dicha longitud.

37. En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide 13 cm. Averigua las longitudes de los catetos, sabiendo que su diferencia es de 7 cm.

38. Halla dos números cuya suma sea -2 y cuya diferencia sea 44.

39. Dentro de 11 años, la edad de Pedro será la mitad del cuadrado de la edad que tenía hace 13 años. Calcula la edad de Pedro.

40. Busca dos números, sabiendo que al dividir el mayor por el menor, obtenemos 3 de cociente y 4 de resto, mientras que la razón entre los dos después de aumentarlos en nueve unidades es 2.

41. Halla dos números tales que si se dividen el primero por 3 y el segundo por 4, los cocientes suman 15 y si se multiplica el primero por 2 y el segundo por 5, la suma de los productos es 174.

42. Calcula dos números que sumen 150 y cuya diferencia sea cuádruple del menor.

43. Un ciclista, en un recorrido de 150 km, llegaría 2 horas y media antes si llevase una media de 5 km más por hora. Averigua el tiempo que tarda en el recorrido.

44. Antonio dice a José: «Yo tengo dos veces la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes. Cuando tú tengas la edad que yo tengo ahora, la suma de ambas edades será 63». ¿Cuáles son las edades de Antonio y de José?

45. El oro pierde, al introducirlo en agua, el 5’1% de su peso, y la plata 9’5%. Calcula la cantidad de oro y de plata que tiene un objeto de 6 gramos si pierde 0’35 gramos al meterlo en agua.


56

10. Funciones.

10.1. Definición de función. Dominio de definición. Función.

• Una función es una relación o dependencia entre dos magnitudes que asigna a cada valor de la una un único valor de la otra.

• Los valores de esas magnitudes se representan mediante letras que se llaman variables. Tenemos:

o Variable independiente. Representa a la primera magnitud, es decir, es a la que damos valores para hallar qué valor se le asocia. Normalmente usamos la letra x.

o Variable dependiente. Representa a la segunda magnitud, es decir, es el valor hallado al dar a x un valor determinado. Normalmente usamos la letra y.

• Si a un valor x le asociamos un valor y, decimos que y es la imagen de x y que x es la antiimagen de y.

• Si la imagen de x es y., se suele expresar:

x y→

( )y f x=

:x y

f→→

En todos los casos se indica lo mismo: cuál es la imagen y cuál la antiimagen.

• En general, una función viene dada por una expresión que liga a los números asociados.

Ejemplo:

Consideramos la función que a cada número le asocia su doble. Por tanto:

2 43 6

2 43 3

2 2 2

→− → −

→

→

En general, 2x x→ , que también se puede expresar ( ) 2f x x= .

Dominio de definición y recorrido.

• Dominio de definición es el conjunto de puntos que tienen imagen mediante una función, es decir, es el conjunto de antiimágenes.

• Recorrido es el conjunto de puntos que tienen antiimagen mediante una función, es decir, es el conjunto de imágenes.

Ejemplos:

Tenemos una cuerda de 4 metros y con ella construimos un rectángulo. La función que relaciona el lado del rectángulo con su área sólo tiene sentido si los números están comprendidos entre 0 y 2.


57

La función 1yx

= no existe para x=0, por tanto o no pertenece al dominio.

La función y x= no existe para los números negativos, por tanto el dominio está formado por los números reales y el 0.

10.2. Tablas y gráficas. Tablas.

• Nos podemos hacer una idea de cómo es una función mediante una tabla, donde aparezcan distintos valores de la variable independiente y sus imágenes.

Ejemplo:

Si un coche circula a 80 km/h la función que nos da el espacio recorrido en función del tiempo la podemos dar mediante esta tabla:

Sistema de ejes.

• Para representar una función necesitamos un sistema de ejes que consiste en dos ejes perpendiculares que se cortan en sus respectivos orígenes.

o En eje horizontal o eje de abcisas En él representaremos la variable independiente, es decir, las antiimágenes.

o El eje vertical se o eje de ordenadas. En él representaremos la variable dependiente, es decir, las imágenes.

• Un punto del plano viene dado por dos coordenadas (x,y), que se corresponde con los respectivos valores de la abcisa y la ordenada. Es el punto de corte de la vertical por x y la horizontal por y.

• El punto de corte de los ejes, de coordenadas (0,0), es el origen de coordenadas.

Gráficas.

• Dada una función podemos representarla gráficamente en un sistema de ejes.

• Si x y→ es decir el punto de coordenadas (x,y) pertenece a la gráfica de la función. Y al contrario, si un punto (x,y) pertenece a la gráfica de la función, x y→ .

• Si eso lo hacemos con todos los puntos, en general, obtendremos una línea de puntos que será la gráfica de la función.

• A la vista de la gráfica podemos obtener visualmente información de la función.

10.3. Características de las funciones. Continuidad.

• Una función es continua cuando se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel, es decir, no hay interrupción en la gráfica.

t e1 802 1603 2404 3205 4006 480


58

Periodicidad.

• Una función es periódica cuando su forma se repite cada cierto intervalo de valores. La distancia entre dos repeticiones consecutivas se llama periodo.

Crecimiento y decrecimiento.

• Una función es creciente cuando al aumentar el valor de x aumenta el valor de y.

• Una función es decreciente cuando al aumentar el valor de x disminuye el valor de y.

Máximos y mínimos.

• Una función tiene un máximo local o relativo en un punto cuando la función pasa de ser creciente a decreciente.

• Una función tiene un mínimo local o relativo cuando pasa de decreciente a creciente.

• El mayor de todos los máximos se llama máximo absoluto.

• El menor de todos los mínimos se llama mínimo absoluto.


59

10.4. Tipos de funciones. Funciones constantes.

• Son funciones mediante las cuales todos los valores tienen la misma imagen.

• Son funciones que tienen una expresión de la forma y=c.

• Su gráfica es una recta horizontal que corta al eje de ordenadas en el punto (0, c).

Funciones lineales.

• Son funciones que tienen una expresión de la forma y=mx.

• Su representación gráfica es una recta que pasa por el origen.

• El valor m se llama pendiente y es nos indica la inclinación de la recta.

Si m > 0, la función es creciente.

Si m < 0, la función es decreciente.

Funciones afines.

• Son funciones que tienen una expresión de la forma y=mx+b.

• Su gráfica es una recta que corta al eje de ordenadas en el punto (0,b).

• El coeficiente b, que se llama ordenada en el origen, es por tanto, el punto de corte de la recta con el eje de ordenadas.

• El coeficiente m, al igual que en las funciones lineales, es indicativo de la inclinación de la recta.

Funciones cuadráticas.

• Son funciones que tienen una expresión de la forma y=ax2+bx+c.

• Su representación gráfica es una línea curva que se llama parábola.

• En la parábola hay un punto muy especial que es el vértice. Su abcisa es 0 2bxa

= − .

o Si a > 0, el vértice es el mínimo absoluto de la función.

o Si a < 0, el vértice es el máximo absoluto de la función.

• Una parábola puede cortar en dos uno o ningún punto al eje de abcisas. Eso dependerá

del signo de 4b ac∆ = − .

o Si 0∆ > la parábola tiene dos puntos de corte.

o Si 0∆ = la parábola tiene dos puntos de corte.

o Si 0∆ < no tiene puntos de corte.


60

Función de proporcionalidad inversa.

• Son funciones que tienen una expresión de la forma ( ) kf xx

= .

• El dominio de definición no es todo , ya que si x=0 no se puede calcular kx

y, por

tanto el 0 no tiene imagen.

• Son funciones del mismo tipo las de la forma ( ) ax bf xcx d

+=

+, que se obtienen de la

primera por transformaciones simples.

• La más simple de todas es 1yx

= .

• Su gráfica es

• Esta curva se llama hipérbola, que es una curva con dos ramas, pero se trata de la

gráfica de una sola función.

• Aparecen unos nuevos elementos que son las asíntotas, son rectas a las que se aproxima la gráfica sin llegar a cortarla (aunque hay excepciones). En este caso son los ejes.


61


62

Relación de problemas Tema 10. 1. Representa gráficamente los siguientes puntos A(0,3), B(2,-2), C(6,-1), D(-4,-4), E(-5,0), F(-3,7).

2. Pon a cada punto sus coordenadas en la gráfica anterior.

3. Dadas las siguientes situaciones:

a) El cupón de la ONCE cuesta 1’5 €. b) Vas en bici a 40 km/h, dejo de pedalear y me voy parando a razón de 5 km/h cada minuto.

Da las dos relaciones mediante una tabla de valores, gráficamente y mediante la expresión algebraica correspondiente. Une los puntos de la gráfica cuando si se puede en algún caso.

4. Crea una tabla para las siguientes funciones, represéntalas gráficamente y halla su expresión

algebraica.

a) Función que asocia a cada número su doble. b) Función que asocia al lado del cuadrado su área.


63

5. Rellena los valores siguientes y rodea con un círculo los valores que no pertenecen al dominio de definición.

a) 2( )

5xf x

x=

− b) ( ) 3f x x= + c) 2

2( )1

xf xx−

=−

6. A la vista de las gráficas siguientes completa la tabla y da el dominio y el recorrido.

7. Estudia, a la vista de las gráficas siguientes:

a) La continuidad. b) El crecimiento y el decrecimiento. c) Los máximos y los mínimos.

a) a) a)

b) b) b)

c) c) c)

x y-3-20145

x y-5-3-2-169

x y-3-2-1026


64

8. Representa gráficamente las siguientes funciones constantes:

9. En los ejes de abajo representa, respectivamente, los siguientes grupos de funciones lineales:

a) y=2x; y=x; y=0’5x b) y=-2x; y=-x; y=-0’5x

Haz un comentario de lo que significa la pendiente.

10. Representa Gráficamente las siguientes funciones afines:

11. Representa, respectivamente, los siguientes grupos de funciones cuadráticas:

a) y=2x2 ; y=x2 ; y=0’5x2 b) y=-2x2 ; y=-x2 ; y=-0’5x2

Haz un comentario de lo que significa el coeficiente de x2.


65

12. Representa las siguientes funciones cuadráticas:

13. Representa las siguientes funciones cuadráticas:


66

Bloque 3: GEOMETRÍA

11. Figuras geométricas planas. Figura geométrica plana es la porción de plano encerrado por una línea cerrada.

11.1. Figuras circulares. Elementos y propiedades. Circunferencia.

• Línea formada por puntos que equidistan de uno fijo llamado centro de la circunferencia.

o Radio de la circunferencia es el segmento que une el centro de la misma con cualquiera de sus puntos.

o Diámetro de una circunferencia es el segmento que une dos puntos de la circunferencia pasando por el centro.

o Cuerda de una circunferencia es un segmento que une dos puntos cualesquiera de la misma sin pasar por el centro.

o Arco de una circunferencia es el trozo de circunferencia limitado por dos puntos de la misma.

Círculo.

• Figura plana limitada por una circunferencia.

o Sector circular es el trozo de círculo comprendido entre dos radios de la circunferencia y ella misma.

o Segmento circular es el trozo de círculo comprendido entre una cuerda de la circunferencia y ella misma.

o Corona circular es el trozo de plano limitado por dos círculos concéntricos.

11.2. Polígonos. Elementos y propiedades. Polígono.

• Porción de plano limitado limitada por una línea cerrada formada por segmentos unidos sucesivamente unos a otros por sus extremos.

o Lados de un polígono son los segmentos que lo forman.

o Vértices de un polígono son los puntos donde se unen dos lados consecutivos.

o Ángulos de un polígono son los ángulos interiores que forman dos lados consecutivos.

o Diagonales de un polígono son los segmentos que unen dos vértices no consecutivos.


67

• Tipos de polígonos.

o Según el tipo de ángulos.

Convexos. Tienen todos los ángulos convexos.

Cóncavos. Tienen algún ángulo cóncavo.

o Según el número de lados.

Triángulo, cuadrilátero, pentágono, etc.

o Polígono Regular. Todos los lados y ángulos iguales.

• La suma de los ángulos de un polígono de n lados es 180º( n -2).

• El ángulo de un polígono regular de n lados es 180º ( 2)n

n−

.

• El número de diagonales de un polígono de n lados es ( 3)

2n n −

.

Triángulos.

• Polígono formado por tres lados.

• Tipos de triángulos.

o Según sus lados.

Equilátero. Tres lados iguales.

Isósceles. Dos lados iguales y uno desigual.

Escaleno. Tres lados desiguales.

o Según sus ángulos.

Acutángulo. Tres ángulos agudos.

Rectángulo. Un ángulo recto y dos agudos.

Obtusángulo. Un ángulo obtuso y dos agudos.


68

• La suma de los lados de un triángulo es 180º.

• Puntos importantes en un triángulo.

o Incentro. Punto de corte de las bisectrices (recta que divide a cada ángulo del triángulo por la mitad). Centro de la circunferencia inscrita.

o Circuncentro. Punto de corte de las mediatrices (recta perpendicular por el punto medio de cada lado). Centro de la circunferencia circunscrita.

o Ortocentro. Punto de corte de las alturas (recta que pasa por cada vértice y perpendicular al lado opuesto.

o Baricentro. Punto de corte de las medianas (recta que pasa por cada vértice y por el punto medio del lado opuesto. El baricentro divide a cada mediana en dos partes, una doble de la otra.

Cuadriláteros.

• Polígono de cuatro lados.

• Tipos de cuadriláteros.

o Paralelogramos. Lados paralelos dos a dos.

Cuadrado. Cuatro lados iguales y cuatro ángulos rectos.

Rectángulo. Lados iguales dos a dos y cuatro ángulos rectos.

Rombo. Cuatro lados iguales y ángulos iguales dos a dos.

Romboide. Lados y ángulos iguales dos a dos.


69

o Trapecios. Dos lados paralelos y dos no paralelos.

Rectángulo. Dos ángulos rectos.

Isósceles. Ángulos iguales dos a dos.

Escaleno. Ángulos desiguales.

o Trapezoides. Ningún lado paralelo.

11.3. Áreas de figuras planas.


70

Relación de problemas Tema 11. 1. Calcula el valor de los ángulos centrales y de los ángulos interiores de un pentágono regular.

2. ¿Qué condición deben cumplir tres segmentos para que puedan formar un triángulo?.

3. Dibuja el ortocentro, el incentro, el circuncentro y el baricentro de un triángulo cualquiera. Comprueba que el ortocentro (O), el baricentro (G) y el circuncentro (K) están alineados (la recta que los contiene se conoce como recta de Euler), y, además, se cumple la relación métrica: OG = 2·GK.

4. En un triángulo un ángulo mide 23º25’38’’. Calcula los otros dos ángulos sabiendo que uno vale el boble del otro.

5. Calcula el área de un huerto rectangular de 4 m de ancho y 9 m de largo. ¿Cuántos metros de alambre se necesitarán para cercar dicho huerto?.

6. En un rectángulo la diagonal y la base forman un ángulo de 36º. Calcula los ángulos que forman las diagonales entre sí.

7. Tenemos un cuadrilátero con cuatro lados diferentes, sus diagonales son perpendiculares y miden 8 y 5 m. ¿Cuánto valdrá su área?

8. Calcula la altura de un trapezoide rectangular de bases 10 y 12 m y de lado oblicuo 7 m.

9. Un tapete cubre exactamente un tablero de una mesa circular cuyo diámetro mide 1’4 m. Para conseguir que dicho tapete cuelgue 4 cm en todo su alrededor, ¿cuánta tela debo comprar?

10. Calcula el perímetro y el área de las figuras coloreadas sabiendo que el diámetro del círculo y el lado del cuadrado miden 10 cm:

11. Determina el perímetro y el área de las siguientes superficies:

12. Calcula de forma aproximada el área de la Península Ibérica, siguiendo la representación

siguiente:


71

12. Teoremas de Thales y de Pitágoras.

12.1. Triángulos semejantes. Teorema de Thales. Triángulos semejantes.

• Dos triángulos tienen lados proporcionales si cada lado de un triángulo resulta de multiplicar (o dividir) cada lado del otro por el mismo número.

• Dos triángulos son semejantes si tienen los mismos ángulos y sus lados son proporcionales.

• La consecuencia geométrica es que dos triángulos semejantes tienen distinto tamaño pero la misma forma.

Ejemplo:

En la figura de abajo, los triángulos que aparecen son semejantes. Sus ángulos son iguales y si multiplicamos cada lado del primer triángulo por 1’5, se obtienen los lados del segundo.

Teorema de Thales.

• Cuando dos o más rectas paralelas cortan a dos rectas concurrentes, los segmentos determinados en una son proporcionales a los determinados en la otra.

Ejemplo:

En la figura de abajo, los triángulos OAB, OA’B’ y OA’’B’’ tienen los mismos ángulos y son semejantes, sus lados son proporcionales. Así al multiplicar OA por 1’2 se obtiene OA’ y al multiplicar por 2 se obtiene OA’’. Lo mismo con los demás.

12.2. Teorema del Cateto. Teorema de la altura. Teorema del cateto.

• El cuadrado de un cateto en un triángulo rectángulo es igual a la hipotenusa por la proyección de dicho cateto sobre ella.

En la figura siguiente, la semejanza de los triángulos ABC y MAC tiene como

consecuencia la proporcionalidad de los lados AB y BC con respecto a MC y AC. Por tanto, b ma b= ,

por tanto 2b a m= ⋅ .


72

Asimismo, los triángulos ABC y MAB son semejantes y de la proporcionalidad de

los lados AC y BC con respecto a MB a AB se obtiene: 2c a n= ⋅

Ejemplo:

La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 20 cm y uno de sus catetos 5 cm,

por tanto la proyección de dicho cateto sobre la hipotenusa es: 2 255 20 1'2520

m m= ⇒ = = cm.

Teorema de la altura.

• El cuadrado de la altura sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual al producto de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.

Esto es consecuencia de la semejanza de los triángulos AMB y AMC. Los lados AM

y MB son proporcionales a MC y AM. De ahí h mn h= , de donde 2h m n= ⋅ .

Ejemplo:

La altura de un triángulo rectángulo sobre la hipotenusa divide a ésta en dos partes de 5 y 20 cm. por tanto la altura mide 2 5 20 100 10h h= ⋅ = ⇒ = cm.

12.3. Teorema de Pitágoras. • El cuadrado de la hipotenusa en un triángulo rectángulo es igual a la suma de los

cuadrados de los catetos.

Como consecuencia del teorema del cateto, 2

2

b a mc a n

⎧ = ⋅⎪⎨

= ⋅⎪⎩. Entonces:

2 2 2( )b c a m a n a m n a a a+ = ⋅ + ⋅ = + = ⋅ = . Luego 2 2 2a b c= + .

Otra demostración geométrica está basada en las áreas de las figuras geométricas.

El área del cuadrado se puede expresar de dos formas:

2 2

2 2 2

4 22

( ) 2

aba a ab

b c b bc c

⎧ + ⋅ = +⎪⎨⎪ + = + +⎩

.

Igualando 2 2 22 2a ab b bc c+ = + + .

Entonces 2 2 2a b c= + .

Ejemplo:

Si en un triángulo rectángulo los catetos miden 5 y 12 cm, la hipotenusa mide 2 2 25 12 25 144 169 169 13a a a= + = + = ⇒ = ⇒ = cm.


73

Relación de problemas Tema 12. 1. Calcula las longitudes de los lados que faltan en la siguiente figura:

2. Un pozo tiene una anchura de 2,5 m. Si te alejas del pozo medio metro y te subes a una altura de

1,5 m ves la línea del fondo. ¿Qué profundidad tiene el pozo?.

3. Dado un triángulo de lados 3, 4 y 5 cm, calcula un triángulo semejante de razón k = 3/4 y otro de razón k = 4/3.

4. A una hora determinada un semáforo de 2’5 m de altura proyecta una sombra de 1’5 m y el edificio contiguo arroja una sombra de 25 m. Calcula la altura del edificio.

5. Calcula la altura de un rascacielos sabiendo que proyecta una sombra de 120 m en el mismo instante que un palo de 1’5 m proyecta una sombra de 2’14 m.

6. Queremos dividir un segmento AB en cinco partes iguales. Indica un método gráfico para realizar dicha partición.

7. El lado de un cuadrado mide 15 cm. Calcula la longitud de la diagonal y el área.

8. Se quiere construir una baldosa de diagonal 4 m y semejante a otra baldosa de dimensiones 30 por 20 cm. Calcula la base y la altura.

9. En un rombo las diagonales miden 25 y 47 cm. Averigua cuánto miden sus lados y calcula su área.

10. La altura de un triángulo equilátero mide 3,5 m. calcula cuánto medirán sus lados y su área.

11. La altura de un triángulo equilátero es de 25 m. Calcula cuánto miden sus lados y el área.

12. Un emisor de televisión mide 40 m desde la base hasta donde empieza la antena. Se quiere sujetar con 3 tensores, que vayan desde el comienzo de la antena hasta el suelo, a 30 m de la base. ¿Qué longitud deberán tener estos cables?

13. Dibuja un cuadrilátero de lados AB = 3 cm, BC = 5 cm, CD= 6 cm y AD = 8 cm y otro con los mismos lados y con una diagonal de 9 cm.

14. Un rombo tiene por diagonales dos segmentos de longitudes 10 y 23 cm. Halla sus lados.

15. Calcula la diagonal y la altura de un trapecio isósceles de lado 30 cm y de bases 25 y 45 cm, respectivamente. Halla su área.

16. Demuestra que las áreas de dos hexágonos regulares cuyos lados miden 12 y 24 m están en proporción de 1 a 4.

17. Dado un cuadrado de lado 15 cm, calcula los radios de las circunferencias inscrita y circunscrita a dicho cuadrado.

18. Calcula el perímetro y el área del siguiente triángulo rectángulo:


74

19. En un rectángulo ABCD, traza la diagonal AC y sobre ésta, la perpendicular desde el vértice B. Calcula los lados del rectángulo sabiendo que dicha perpendicular divide a la diagonal en dos segmentos de longitudes 5 y 8 cm.

20. En el siguiente triángulo rectángulo calcula la altura relativa a la hipotenusa y las longitudes de sus proyecciones.

21. Las fotocopiadoras reproducen copias de un documento original, del mismo tamaño, ampliadas o reducidas, siendo todas semejantes al original. ¿Que tanto por ciento de reducción (constante de semejanza x 100) habría que aplicar a la fotocopiadora para sacar una copia del original, reducida a la mitad?. ¿Y para sacar una copia, ampliada al triple del original?

22. Los siguientes triángulos son semejantes. Calcula sus áreas.

23. Los siguientes triángulos tienen los lados paralelos dos a dos. Calcula a y b.

24. Sea un triangulo de lados d = 5 m, b = 4m yc = 2m.

a) Calcula las dimensiones de dos triángulos semejantes al dado.

b) Averigua si el triángulo de dimensiones: 5 + 3, 4 + 3 y 2 + 3, es semejante al dado.

c) ¿Y si los lados miden 5 km, 4 km y 2 km?.


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13. Trigonometría plana.

13.1. Ángulos y medida. • Ángulo: cada porción en que queda dividido el plano por

dos semirrectas con origen común.

• Lados: cada una de las semirrectas que forman el ángulo.

• Vértice: punto de origen de los lados.

• Para distinguir de los dos ángulos el que nos interese lo hacemos con un arco con centro en el origen.

• Ángulos importantes:

o Ángulo nulo y ángulo completo: Las dos semirrectas coinciden.

o Ángulo recto: el menor de los dos cuando las dos semirrectas son perpendiculares.

o Ángulo llano: Las dos semirrectas forman una recta.

• Medida de los ángulos:

o Sistema sexagesimal:

1 recto = 60º

1º = 60’

1’ = 60’’

o Sistema centesimal:

1 recto = 100g

1g = 100m

1m = 100s

o Sistema central:

La unidad es el radian, que se define sobre cualquier circunferencia como el ángulo central correspondiente a un arco de longitud igual al radio.

13.2. Razones trigonométricas. • En un triángulo rectángulo se definen:

o sen yr

α = , 1cosec

senry

αα

= =

o cos xr

α = , 1sec

cosrx

αα

= =

o tg yx

α = , 1cotg

tgxy

αα

= =

• Estas razones dependen solo del ángulo y no del triángulo rectángulo que usemos, ya que si estos triángulos tienen los mismos ángulos son semejantes y, por el teorema de Thales las razones son equivalentes.


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Ejemplos:

Calcula las razones trigonométricas de 45º, 30º y 60º.

13.3. Relaciones entre las distintas razones trigonométricas.

• sentgcos

yy r

xx r

ααα

= = = . Luego:

o sentgcos

ααα

= .

• Por Pitágoras, 2 2 2x y r+ = . Dividiendo por 2r , 2 2 2

2 2 2 1x y rr r r

+ = = . Por tanto:

o 2 2cos sen 1α α+ = .

• De estas dos relaciones se obtienen otras muchas.

13.4. Resolución de Triángulos rectángulos. • Resolver un triángulo significa hallar todos sus lados y todos sus ángulos.

• En el caso de los triángulos rectángulos, teniendo en cuenta que un ángulo siempre es recto, podemos distinguir los siguientes casos:

o Dos lados: mediante el teorema de Pitágoras hallamos el tercer lado y mediante las razones trigonométricas de los ángulos agudos hallamos éstos.

o Un lado y un ángulo agudo: teniendo en cuenta que los dos ángulos agudos son complementarios (suman 90º), hallamos el otro ángulo. Los lados los calculamos con las razones trigonométricas de aquellos.

Ejemplos:

En un triángulo rectángulo los catetos miden, respectivamente, b=8 y c=10 cm. La

hipotenusa, por el teorema de Pitágoras, vale 2 26 8 36 64 100 10a = + = + = = cm. El ángulo

B, se obtiene de 3sen 0 '3

10B = = , entonces B = 17º 27’ 27’’.

C se obtiene restando: C = 90º - 7º 27’ 27’’ = 72º 32’ 33’’


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Relación de problemas Tema 13. 1. El seno de un ángulo α vale 0’36. Halla las demás razones trigonométricas de α .

2. Halla las restantes razones trigonométricas de α sabiendo que su coseno vale 2/3.

3. Calcula las razones trigonométricas de un ángulo α sabiendo que tg 2α = .

4. Halla todas las razones trigonométricas de α sabiendo que sec 5 / 2α = .

5. Construye razonadamente un ángulo a que cumpla:

a) tg 5 / 3α = b) sen 0 '2α = c) cos 2 / 3α =

6. ¿Existe algún ángulo a tal que: sen 3/ 5 y cos 4 / 3α α= = ?.

7. Resuelve los siguientes triángulos:

a) c = 34,A = 90°, B = 42° 20' b) a = 54,A = 90°, B = 32°

c) a = 62, b = 32, A = 90° d) c = 27, a = 35, A = 90°

8. Determina las longitudes de los lados que se indican con letras en los triángulos siguientes:

9. Determina los ángulos A y B de los triángulos rectángulos siguientes a partir de los datos:

10. Determina el área del triángulo isósceles de la figura:

11. Calcula el área de un pentágono regular cuyo lado mide 20 cm.

12. Calcula la altura de una torre sabiendo que desde 30 m se ve bajo un ángulo de 30º.

13. En una circunferencia de 100 cm de radio se unen dos puntos con una cuerda de 50 cm. Halla el ángulo central formado.

14. Las dos puntas de un compás de 12 cm de largo están separadas 10 cm. Calcula el ángulo que forman.

15. Las diagonales de un rombo miden 45 y 56 cm. Calcula los ángulos y la longitud de sus lados.

16. Determina la altura de una torre sabiendo que en un determinado momento del día su sombra mide 62 m y que en ese mismo instante un semáforo que mide 2,5 m produce una sombra de 1,5 m.


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Bloque 4: ESTADÍSTICA

14. Estadística descriptiva.

14.1. Introducción a la estadística.

14.2. Medidas de centralización y de dispersión.

15. Probabilidad.

matemÁticas enseÑanaza secundaria de … · 7. potencias y radicales. uso de la calculadora....

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