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2.1

2.1MatemáticasActividades de progresión personalizada

MATPRO

MAT

EMÁT

ICA

SMAT

PRO

G. Ruiz Bueno

MAT PRO es un proyecto diseñado para el aprendizaje de las matemáticas que se adapta a las distintas metodologías:

• Se centra en el aprendizaje autónomo y personalizado.

• Sigue un modelo de progresión gradual.

• Es integrable y polivalente.

• Se adecua al grado de madurez del alumnado.

• Responde al currículo del área de Matemáticas.

ISBN: 978-84-682-4306-1

9 788468 2430611 3 1 2 3

MATPRO

MATEMÁTICAS 1Matemáticas 1.1• Números naturales• Divisibilidad• Números enteros• Fracciones• Números decimales

Matemáticas 1.2• Álgebra• Proporcionalidad• Rectas y ángulos• Polígonos

Matemáticas 1.3• Circunferencia y círculo• Áreas y perímetros• Funciones• Estadística y probabilidad

MATEMÁTICAS 2Matemáticas 2.1• Divisibilidad y números enteros• Fracciones y decimales• Potencias• Álgebra• Ecuaciones

Matemáticas 2.2• Sistemas de ecuaciones• Proporcionalidad• Semejanza• Poliedros

Matemáticas 2.3• Cuerpos redondos• Funciones• Estadística• Probabilidad

MATEMÁTICAS 3AMatemáticas 3.1A• Números racionales• Números reales• Polinomios• Ecuaciones• Sistemas de ecuaciones

Matemáticas 3.2A• Sucesiones y progresiones• Relaciones geométricas• Figuras planas y movimientos• Cuerpos geométricos• Funciones y gráficas

Matemáticas 3.3A• Funciones elementales• Estadística• Parámetros estadísticos• Probabilidad

MATEMÁTICAS 3BMatemáticas 3.1B• Números y operaciones• Números decimales• Polinomios• Ecuaciones• Sistemas de ecuaciones

Matemáticas 3.2B• Sucesiones y progresiones• Relaciones geométricas• Figuras planas y movimientos• Cuerpos geométricos

Matemáticas 3.3B• Funciones y gráficas• Funciones elementales• Estadística• Parámetros estadísticos

MATEMÁTICAS 4AMatemáticas 4.1A• Números reales• Potencias, radicales y logaritmos• Polinomios y fracciones algebraicas• Ecuaciones• Sistemas de ecuaciones

Matemáticas 4.2A• Inecuaciones• Trigonometría• Geometría analítica• Funciones

Matemáticas 4.3A• Modelos de funciones• Estadística• Combinatoria• Probabilidad

MATEMÁTICAS 4BMatemáticas 4.1B• Números reales• Proporcionalidad• Polinomios• Ecuaciones

Matemáticas 4.2B• Sistemas de ecuaciones• Semejanza• Áreas y volúmenes• Funciones

Matemáticas 4.3B• Modelos de funciones• Estadística unidimensional• Estadística bidimensional• Probabilidad

ESO

013120

MatemáticasActividades de progresión personalizada

MATPRO

1. Divisibilidad y númerosenteros ............................... 2

2. Fracciones y decimales .... 16

3. Potencias .......................... 32

4. Álgebra ............................. 44

5. Ecuaciones ....................... 56

G. Ruiz BuenoCatedrático de Matemáticas de IES

2.1

Ptlla_Matematicas 2_1 MATPRO.indd 1 4/4/17 9:47

• Este cuaderno es una colección de actividades orientadas a la consecuciónde los estándares de aprendizaje establecidos en el currículo.

• Para facilitar el aprendizaje, muchas de las actividades resueltas van acom-pañadas de un vídeo y de una presentación descargable que puede serutilizada para evaluar exposiciones de actividades por parte de los alum-nos y las alumnas.

43. Calcula: 3 · (x + 5) + 7x · (2x + 1) 2

3 · (x + 5) + 7x · (2x + 1)2 =

= 3 · (x + 5) + 7x · [(2x)2 + 2 · 2x · 1 + 12] =

= 3 · (x + 5) + 7x · (4x 2 + 4x + 1) =

= 3x + 15 + 28x 3 + 28x 2 + 7x =

= 28x 3 + 28x 2 + 10x + 15

Para acceder a estos recursos se debe entrar en edubook.vicensvives.comy activar la licencia digital.

• El trazo hueco del número de algunas actividades indica que se necesitanhojas adicionales para hacer los cálculos o una parte de ellos.

Calcula:

a) m.c.d. (168, 192, 504) =

= m.c.d. ( .................... , .................... , .................... ) =

= ............................... = ............................... = ..............

• El cuaderno consta de cinco unidades didácticas que se estructuran comose muestra en la página siguiente.

Cómo es este cuaderno

comoII MATPRO2.1E KC43 P.A.R Barco 2 3/4/17 16:08

Páginas �nales

Interior

Página inicial

Índice de los apartados enque se estructura la unidad.

Actividades para revisar losconocimientos inicialesnecesarios para abordar launidad.

Resumen de loscontenidosnecesarios pararesolverlas actividadespropuestas.

Actividadesresueltas contodo detalle quesirven de modelo.

Se planteannumerososproblemas quemuestran laaplicación de todolo aprendido en launidad, incidiendoen la necesidad deplantear lasdiferentes etapasde resolución.

Actividades paracomprobar si se hanalcanzado losestándares deaprendizajecorrespondientes ala unidad.

Actividadesdiseñadas paratrabajarcontenidos de launidad conherramientastecnológicas.

como1 MATPRO2.1E KC43 P.A.R Barco 1 3/4/17 15:44

2 Unidad 1

1 Divisibilidad y números enteros

Conocimientos iniciales

1. Divisores y múltiplos – – – – – – – – – – – – – 3

2. Números primos y números compuestos – – 4

3. m.c.d. y m.c.m.– – – – – – – – – – – – – – – – – 5

4. Problemas de aplicación de m.c.d. y m.c.m. – 7

5. Números enteros – – – – – – – – – – – – – – – 9

6. Operaciones con números enteros– – – – – – 10

7. Problemas – – – – – – – – – – – – – – – – – – – 12

VAS A APRENDER

UN

IDA

D

1. Escribe tres números:

a) Impares: ......... , ......... y .........

b) Pares: ......... , ......... y .........

2. Halla tres divisores de:

a) 24 → 2, 4 y 12

b) 36 → ......... , ......... y .........

Calcula tres divisores comunes de 48 y 72.

......... , ......... y .........

4. Halla tres múltiplos de:

a) 24 → 48, 96 y 240

b) 36 → ......... , ......... y .........

Calcula tres múltiplos comunes de 12 y 15.

......... , ......... y .........

6. Representa en la recta numérica y escribe orde-nados de menor a mayor estos números:

–3, 3, –5, –2, 1, 4

0

........ � ........ � ........ � ........ � ........ � ........

7. Calcula:

a) |–3| = ......... b) – |5| = ......... c) – |–3| = .........

8. Calcula:

a) 3 – 5 + 9 = 12 – 5 = 7

b) 2 – 5 + 7 – 9 – 3 =

c) 12 : (–4) =

d) 3 + 4 · 5 =

9. Calcula, en cada caso, el número que falta:

a) 3 – = 10 c) 12 : (– ) + 12 = 15

b) – – 7 = –25 d) –3 · + (–4) = –4

10. ¿De cuántas maneras podemos empaquetaren cajas iguales 12 botellines sin que sobreninguno?

01 MATPRO2.1E KC43 P.A.R Barco 2 31/3/17 12:47

Divisibilidad y números enteros 3

1. Divisores y múltiplos

RECUERDA

Si la división b : a es exacta, es decir, existe un númeroentero k tal que b = k · a, entonces decimos que b esdivisible por a. También decimos que:

• a es divisor de b.

• b es múltiplo de a.

Por ejemplo, como 15 : 3 es exacta, decimos que 3 esdivisor de 15 y que 15 es múltiplo de 3.

1. Escribe un divisor de cada uno de estos números:

a) 24 → ......... b) 36 → .........

2. Escribe tres múltiplos de cada uno de estos números:

a) 6 → ......... , ......... y .........

b) 24 → ......... , ......... y .........

3. 18 es múltiplo de 9 y 72 es múltiplo de 18. Com-prueba que 72 es múltiplo de 9.

• 18 es múltiplo de 9 porque 18 = 2 · 9.

• 72 es múltiplo de 18 porque 72 = 4 · 18.

Luego:

72 = 4 · 18 = 4 · (2 · 9) = 4 · 2 · 9 = 8 · 9

Por tanto, 72 es múltiplo de 9.

4. Completa:

a) ......... es múltiplo de 6 y 72 es múltiplo .......... Por

tanto, 72 es múltiplo de 6.

b) 3 es divisor de ......... y ......... es divisor de 54. Por

tanto, 3 es divisor de 54.

5. Escribe 3 múltiplos de 28 mayores que 100 y meno-res que 200.

........... � ........... � ...........

6. Calcula todos los divisores de:

a) 24 → 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24

b) 36 → ..........................................................................

c) 60 → ..........................................................................

..........................................................................

RECUERDA

• Un número es divisible por 2 si acaba en 0 o en cifrapar:

20 34 238

• Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifrases múltiplo de 3:

675 → 6 + 7 + 5 = 18 = 6 · 3

• Un número es divisible por 5 si acaba en 0 o en 5:

765 830 76430

• Un número es divisible por 9 si la suma de sus cifrases múltiplo de 9:

8973 → 8 + 9 + 7 + 3 = 27 = 3 · 9

• Un número es divisible por 11 si la diferencia entrela suma de las cifras que ocupan lugar par y la su-ma de las que ocupan lugar impar es 0 o múltiplode 11:

3751 → 3 + 5 – (7 + 1) = 0

9581 → 9 + 8 – (5 + 1) = 11

7. Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderaso falsas y justifica la respuesta:

a) 459 es divisible por 3. V F

.....................................................................................

.....................................................................................

b) 3531 es divisible por 11. V F

.....................................................................................

c) 9325 es divisible por 9. V F

.....................................................................................

.....................................................................................

d) 3257 es divisible por 5. V F

.....................................................................................

8. Escribe un número que cumpla estas condiciones:

a) Sea múltiplo de 9 y tenga 5 cifras: .........................

b) Sea múltiplo de 9 y de 11, y tenga 4 cifras:

........................

c) Sea múltiplo de 3, 5 y 11, y mayor que 10000:

..........................


4 Unidad 1

2. Números primos y números compuestos

RECUERDA

• Un número es primo si solo tiene dos divisores: élmismo y 1. Si tiene más divisores, es compuesto.

• Para saber si un número es primo, es suficientecomprobar que no es divisible por los números pri-mos menores o iguales que su raíz cuadrada entera.

9. Rodea con un círculo los números primos:

24 37 15 23 17 34 73

10. Averigua si los siguientes números son primos:

a) 137

Calculamos ��137 � 11.

• 137 no es divisible por 2 porque no terminaen cero ni en cifra par.

• 137 no es divisible por 3 porque 1 + 3 + 7 = 11,que no es múltiplo de 3.

• 137 no es divisible por 5 porque termina en 7.

• 137 no es divisible por 7 porque la división137 : 7 no es exacta.

• 137 no es divisible por 11 porque 1 + 7 – 3 = 5,que no es múltiplo de 11.

Por tanto, 137 es primo.

b) 181

11. Descompón 252 en factores primos:

252 2126 2

63 321 37 71

Por tanto:

252 = 22 · 32 · 7

12. Descompón en factores primos estos números:

396

1

330

1

396 = ................................. 330 = .................................

13. Descompón en factores primos:

660 2970

660 = ................................. 2970 = .................................

14. En cada caso, escribe un número de 4 cifras quetenga en su descomposición factorial al menos losfactores que se indican:

a) 32, 5 y 11 → ................

b) 2, 33 y 13 → ................

c) 24 y 72 → .....................

15. Busca en Internet cuántos números primos hay ma-yores que 500 y menores que 1000, y escribe tres.

Hay .............. números primos mayores que 500 ymenores que 1000.

Por ejemplo: .............., .............. y ..............



3. m.c.d. y m.c.m.

RECUERDAEl máximo común divisor (m.c.d.) de varios númeroses el producto de los factores comunes de sus factori-zaciones elevados a los menores exponentes.

16. Calcula el máximo común divisor de 84, 126 y396.

Descomponemos 84, 126 y 396 en factores primos:

396 2198 299 333 311 111

396 = 22 · 32 · 11

126 263 321 37 71

126 = 2 · 32 · 7

84 242 221 37 71

84 = 22 · 3 · 7

m.c.d. (84, 126, 396) =

= m.c.d. (22 · 3 · 7, 2 · 32 · 7, 22 · 32 · 11) =

= 2 · 3 = 6

17. Calcula:

a) m.c.d. (24 · 33 · 5, 22 · 32 · 52, 23 · 33 · 7) =

= m.c.d. (24 · 33 · 5, 22 · 32 · 52, 23 · 33 · 7) =

= · = ...................... = ..............

b) m.c.d. (23 · 3 · 52 · 7, 33 · 72, 23 · 32 · 72) =

= .......................... = ..............

Calcula:

a) m.c.d. (168, 192, 504) =

= m.c.d. ( .................... , .................... , .................... ) =

= ................................ = ........................... = ...............

b) m.c.d. (342, 396, 756) =

= m.c.d. ( ............,,,...... , .................... , ................... ) =

= ................................ = ........................... = ...............

c) m.c.d. (1540, 3150, 770) =

= m.c.d. ( ................................. , ................................. ,

................................. ) =

= ................................ = ...............

RECUERDAEl mínimo común múltiplo (m.c.m.) de varios númeroses el producto de los factores comunes y no comunesde sus factorizaciones elevados a los mayores expo-nentes.

19. Calcula el mínimo común múltiplo de 84, 126y 396.

Descomponemos 84, 126 y 396 en factores primos:

396 2198 299 333 311 111

396 = 22 · 32 · 11

126 263 321 37 71

126 = 2 · 32 · 7

84 242 221 37 71

84 = 22 · 3 · 7

m.c.m. (84, 126, 396) =

= m.c.m. (22 · 3 · 7, 2 · 32 · 7, 22 · 32 · 11) =

= 22 · 32 · 7 · 11 = 2772

20. Calcula:

a) m.c.m. (24 · 33 · 5, 22 · 32 · 52, 23 · 33 · 7) =

= m.c.m. (24 · 33 · 5, 22 · 32 · 52, 23 · 33 · 7) =

= · · · =

= ...................................... = .....................

b) m.c.m. (23 · 3 · 52 · 7, 33 · 72, 23 · 32 · 72) =

= ...................................... = ...................................... =

= .....................

Calcula:

a) m.c.m. (168, 192, 504) =

= m.c.m. ( ...................... , ............... , ....................... ) =

= ...................................... = ...................................... =

= .....................

b) m.c.m. (342, 396, 756) =

= m.c.m. (................... , .................... , ...................) =

= ....................................... = ...................................... =

= .....................


6 Unidad 1

22. Sabiendo que m.c.d. (8, 9) = 1, calcula mentalmente:

a) m.c.d. (7 · 8, 7 · 9) = ..........................

b) m.c.d. (6 · 8, 6 · 9) = ..........................

23. Sabiendo que m.c.m. (12, 15) = 22 · 3 · 5 = 60, calcu-la mentalmente:

a) m.c.m. (3 · 12, 3 · 15) = ..................................

b) m.c.m. (12 : 3, 15 : 3) = ..................................

24. Razona si estas afirmaciones son verdaderas o falsas:

a) El m.c.d. de dos o más números siempre es me-

nor que su m.c.m.

V F porque ..................................................

......................................................................................

......................................................................................

b) El m.c.d. y el m.c.m. de dos o más números tie-

nen los mismos factores.

V F porque ..................................................

......................................................................................

......................................................................................

c) El m.c.d. de dos o más números es un divisor del

m.c.m.

V F porque ..................................................

......................................................................................

......................................................................................

RECUERDASi m.c.d. (a, b) = 1, los números a y b son primos en-tre sí.

25. Averigua si son primos entre sí:

a) 18 y 35

Factorizamos los números 18 y 35:

18 = .......................... 35 = ..........................

m.c.d. (18, 35) = ..........................

18 y 35 ........................................................... .

b) 198 y 330


198 = .......................... 330 = .................................

m.c.d. (198, 330) = ....................................................

198 y 330 ....................................................... .

26. ¿Son primos entre sí los números 40 y 63? Calcula sum.c.m. y comprueba que coincide con su producto.


40 = .......................... 63 = ..........................

• m.c.d. (40, 63) = ..........................

Por tanto, 40 y 63 ..................................................... .

• m.c.m. (40, 63) = .........................................................

• 40 · 63 = .......................

27. ¿Es cierto que el m.c.m. de dos números primos en-tre sí es siempre igual a su producto? Razónalo.

...........................................................................................

...........................................................................................

...........................................................................................

...........................................................................................

28. Calcula un número a para el que se verifique quem.c.d. (a, 72) = 24. Explica cómo lo has hecho.

a = .........

...........................................................................................

...........................................................................................

...........................................................................................

29. Calcula:

a) m.c.d. (a, 2a) = ........... ; m.c.m. (a, 2a) = ...........

b) m.c.d. (2a, 4a) = ........... ; m.c.m. (2a, 4a) = ...........

c) m.c.d. (2a, 3a, 4a) = ........... ;

m.c.m. (2a, 3a, 4a) = ..................................



4. Problemas de aplicación de m.c.d. y m.c.m.

30. Hay tres líneas de autobuses que parten delcampus universitario. Los autobuses de una deellas salen cada 15 min; los de otra, cada 20 min, ylos de la otra, cada 24 min. Si tres autobuses, unode cada línea, han coincidido en su salida a las 12de la mañana, ¿a qué hora volverán a coincidirpor primera vez?

Plan de resolución:

Volverán a coincidir cada vezque la cantidad de minutostranscurridos sea un múltiplocomún de 15, 20 y 24.

Lo harán por primera vez cuando ese múltiplo seael menor. Debemos buscar, pues, el m.c.m. de 15,20 y 24.

Resolución:

24 212 26 23 31

15 35 51

20 210 25 51

15 = 3 · 5 20 = 2 2 · 5 24 = 2 3 · 3

m.c.m. (15, 20, 24) = m.c.m. (3 · 5, 22 · 5, 23 · 3) =

= 23 · 3 · 5 = 120

Solución:

Los tres autobuses coincidirán de nuevo por pri-mera vez transcurridos 120 min, es decir, a las 2 dela tarde.

12

3

6

9 15 min

20 min

24 min

31. La abuela de Bea tiene una receta electrónica queregula la frecuencia con la que puede comprar lostres medicamentos prescritos por su médico. El pri-mero, cada 24 días; el segundo, cada 30 días, y eltercero, cada 45 días. Si hoy ha comprado los tres,¿dentro de cuántos días coincidirán las compras porprimera vez?


...........................................................................................

...........................................................................................

...........................................................................................

...........................................................................................

...........................................................................................

Resolución:

Solución:

...........................................................................................

...........................................................................................

32. Disponemos de una caja de30 cm de largo, 24 cm de altoy 27 cm de ancho, y deseamosllenarla con cubos del mayortamaño posible sin que sobreespacio.

¿Qué tamaño deben tener estos cubos?


Para que los cubos encajen perfectamente y llenen

la caja, su arista debe ser ............................ de .......... ,

.......... y .......... .

Si los cubos deben tener el mayor tamaño posible,

debemos calcular el .................................................. .

Resolución:

Solución:

..........................................................................................

27 cm

24cm

30 cm


8 Unidad 1

33. En un almacén se guardan cajas de 35 cm de alturay cajas de 45 cm de altura. Se quiere almacenarlasen columnas de cajas iguales y de la misma altura.¿Cuál será la altura mínima de cada columna?


...........................................................................................

...........................................................................................

...........................................................................................

Resolución:

Solución:

...........................................................................................

34. Se quiere enmarcar dos cuadros utilizando trozosde moldura de la misma longitud. Si uno de ellos esun cuadrado de 48 cm de lado, y el otro, un rectán-gulo de 72 cm de largo y 60 cm de ancho, ¿cuál de-be ser la longitud máxima de cada trozo si no sequiere partir ningún trozo?


...........................................................................................

...........................................................................................

...........................................................................................

Resolución:

Solución:

...........................................................................................

35. Ainhoa desea embaldosar el suelo de su nave indus-trial, que tiene la forma de un rectángulo de 72 mde largo por 21 m de ancho, con placas cuadradasdel mayor tamaño posible sin que sobre nada de es-pacio. ¿Qué dimensiones deben tener?


...........................................................................................

...........................................................................................

...........................................................................................

Resolución:

Solución:

...........................................................................................

36. Escribe el enunciado de un problema que verifiquelas siguientes condiciones:

• Intervengan los números 360, 450 y 720.

• Para resolverlo, se deba utilizar el mínimo comúnmúltiplo.

...........................................................................................

...........................................................................................

...........................................................................................

...........................................................................................

...........................................................................................

...........................................................................................

...........................................................................................

...........................................................................................

...........................................................................................

a) Resuelve el problema.

b) Realiza una presentación que te sirva de ayudapara exponer el problema y su resolución.



RECUERDA

• El conjunto de los números naturales es:

= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …}

• El conjunto de los números enteros es:

= {…, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, …}

37. Indica cuál es el menor conjunto numérico ( o )al que pertenecen estos números:

3 –5 0 4 2 –21

• : ............................ • : ............................

RECUERDAEl valor absoluto de un número entero es la distanciadesde el 0 hasta el punto que representa dicho núme-ro en la recta numérica.

38. Calcula los valores que puede tomar a:

a) |a| = 3

Buscamos dos números que estén a 3 unidadesdel cero:

33

3–3 0

Los números buscados son –3 y 3.

b) |a| = 5

Buscamos dos números que estén a ......... unida-des del cero:

0

Los números buscados son ......... y ......... .

39. Si dos números enteros tienen el mismo valor abso-luto, pero distinto signo, se dice que son opuestos.

Así, 4 y –4 son opuestos, y escribimos:

Op (4) = –4 y Op (–4) = 4

Escribe el opuesto de cada número:

a) –5 → ......... b) 6 → ......... c) 0 → .........

40. Completa:

a) Op ( ) = 5 c) Op (Op ( )) = –8

b) Op (| |) = –12 d) Op (Op ( )) = 9

41. Representa en la recta numérica y ordena demenor a mayor:

–2, |–5|, 2, – |–4|, 0

Primero calculamos los valores absolutos:

|–5| = 5 – |–4| = –4

Ahora representamos en la recta numérica:

0 2 I–5I– I–4I –2

Finalmente, ordenamos:

– |–4| � –2 � 0 � 2 � |–5|

42. Representa en la recta numérica y ordena de me-nor a mayor:

–4, |3|, 2, – |–2|, |–4|, –3

Primero calculamos los valores absolutos:

|3| = ......... – |–2| = ......... |–4| = .........

A continuación, representamos en la recta numéri-ca y ordenamos:

........ � ........ � ............... � ....... � ......... � .........

43. Expresa mediante números enteros las siguientestemperaturas, ordénalos de menor a mayor y re-preséntalos en la recta numérica:

• 3ºC bajo cero → ........ • 4ºC bajo cero → ........

• 7ºC → ........ • 2ºC → ........

......... � ......... � ......... � .........

44. Escribe tres números enteros que cumplan esta des-igualdad:

–8 � ? � –15 → .................................................

45. Escribe:

a) Un número mayor que –3 y cuyo valor absoluto

sea menor que 1 → ........

b) Un número menor que –3 y cuyo valor absoluto

sea mayor que 5 → ........

5. Números enteros

0

0

01 MATPRO2.1E KC43 OCES Barco 9 5/4/17 14:57

10 Unidad 1

6. Operaciones con números enteros

46. Calcula con ayuda de un gráfico:

a) 2 – 5

2

0 2–3

–5

2 – 5 = –3

b) –1 – 3

0–1–4

–3 –1

–1 – 3 = –4

c) –3 + 5

0 2–3

5–3

–3 + 5 = 2

47. Calcula con ayuda de un gráfico:

a) 3 – 7 = .........

10

b) –5 – 9 = .........

10

c) 7 – 9 + 3 – 9 = .........

10

RECUERDASimplificación de la escritura: + (– → – – (– → +

48. Calcula:

a) 5 – (–8) = 5 – (–8) = 5 + 8 = 13

b) 7 – 6 + (–3) = ..............................................................

c) –7 – (–9) + 3 – (–12) = ..............................................

......................................................................................

d) 13 – (–6) + (–8) – (–10) = .........................................

......................................................................................

49. Calcula:

a) 3 – [–25 + 7 – (–9)] = 3 – [–25 + 7 – (–9)] =

= 3 – (–25 + 7 + 9) =

= 3 – (–25 + 16) =

= 3 – (–9) = 3 + 9 = 12

b) 9 + [–16 – (–3) + 8] = 9 + [–16 – (–3) + 8] =

= ............................................. =

= ............................................. =

= ..................... = ............. = ......

c) –12 – [–4 + 11 – (–17)] =

50. Aplica la propiedad distributiva y calcula:

a) (–7) · (3 – 5 + 4) = (–7) · (3 – 5 + 4) =

= (–7) · 3 – (–7) · 5 + (–7) · 4 =

= – 21 – (–35) + (–28) =

= – 21 + 35 – 28 =

= 35 – 49 = –14

b) (–2) · [–3 – (–6) + 5] =

51. Extrae factor común y calcula:

a) 3 · (–5) + 7 · (–5) = 3 · (–5) + 7 · (–5) =

= (3 + 7) · (–5) =

= 10 · (–5) = –50

b) –7 · (–2) – 8 · (–2) =

c) –4 · 5 + 3 · 5 – 5 · (–4) =



52. Extrae factor común y calcula:

a) 4 · (–5) – 30 + 40 = –4 · 5 – 6 · 5 + 8 · 5 =

= 5 · (–4 – 6 + 8) =

= 5 · (–10 + 8) =

= 5 · (–2) = –10

b) 42 – 14 · (–3) + 70 =

RECUERDAPara calcular operaciones combinadas, efectuamos:

1. Paréntesis

2. Productos y cocientes

3. Sumas y restas

53. Calcula: 3 · (–4) – (–5) · [–2 – (–9)]

3 · (–4) – (–5) · [–2 – (–9)] =

= 3 · (–4) – (–5) · (–2 + 9) =

= 3 · (–4) – (–5) · 7 =

= –12 – (–35) =

= –12 + 35 = 23

1

2

3

54. Calcula:

a) 7 – (–3) · [5 – 2 · (–9)] =

b) –6 : (–2) – 7 · [3 – 8 · (–4)] =

55. Calcula:

a) 12 – 8 · [3 – 3 · (7 – 24 : 8)] =

b) –6 : (–2) + 7 · [–5 – (–3) · (12 – 4 · 6)] =

56. Calcula:

a) –12 : [18 + (–5) · 3] – (–4) · [7 · (–3) + 5] =

b) 2 · [–6 + 4 · 3 + (–2) · 5] – (–7) · [5 + 24 : (–6)] =

c) –5 + 7 · {–12 – (–3) · [7 – 5 · (–8) + 1] – 4} =


12 Unidad 1

7. Problemas

57. En un examen tipo test que consta de 20 pre-guntas, cada respuesta correcta suma 7 puntos,cada respuesta incorrecta resta 4 puntos y cadarespuesta en blanco resta 2 puntos.

Calcula la puntuación obtenida al contestar 12preguntas correctamente, 4 de forma incorrecta ydejar el resto en blanco.


En primer lugar, calculamos cuántas preguntas sehan dejado en blanco.

Para conocer la puntuación obtenida, debemosmultiplicar el número de respuestas correctas por7, el de respuestas incorrectas por –4 y el de res-puestas en blanco por –2, y sumar los resultados.

Resolución:

El número de respuestas en blanco es:

20 – (12 + 4) = 20 – 16 = 4

Por tanto, la puntuación obtenida es:

12 · 7 + 4 · (–4) + 4 · (–2) =

= 84 + (–16) + (–8) =

= 84 – 16 – 8 = 60

Solución:

La puntuación obtenida es de 60 puntos.

58. Para superar el test de la actividad anterior, se de-ben conseguir al menos 70 puntos. ¿Cuál es el nú-mero máximo de preguntas que se pueden dejar enblanco para superar el examen si todas las pregun-tas respondidas son correctas? Razona la respuesta.

59. El dron submarino XJ55 es capaz dedescender 15 m cada 20 s. Si se en-cuentra a 30 m de profundidad y des-ciende durante 2 min, ¿qué profundi-dad alcanza? Resuelve el problemamediante una operación combinada.


Calculamos primero cuánto desciende en 2 min, te-niendo en cuenta que 2 min equivalen a 120 s, ydespués hallamos la posición final, sabiendo queparte de 30 m de profundidad.

Resolución:

Si calculamos 120 : 20, tendremos las veces que des-ciende 15 m. Por tanto, el número de metros quedesciende es:

...........................................................................................

Como parte de 30 m de profundidad, la profundi-dad alcanzada será:

–30 – ........................................ =

= .................................................. =

= ................................ = .................

Solución:

Al cabo de 2 min, el dron alcanza una profundidad

de .................. .

60. Si el dron del problema anterior hubiese descendi-do 30 m cada 20 s durante los 2 min:

a) ¿Habría alcanzado los 240 m de profundidad?

b) Si hubiese partido de 60 m de profundidad, ¿quéprofundidad habría alcanzado?

30 m

15 m20 s



61. Según la previsión meteorológica, la temperatura enla cumbre del Aneto descenderá 3ºC por hora du-rante las próximas 7 h y ascenderá 2ºC por hora lassiguientes 5 h. Sabiendo que la temperatura actuales de 9 ºC, ¿qué temperatura se espera que hayadespués de 11 h?


Calculamos:

1 La temperatura al cabo de7 h, teniendo en cuentaque baja 3°C cada hora.

2 La temperatura transcu-rridas las 4 h siguientes,pues 11 – 7 = 4, sabiendoque sube 2°C cada hora.

Resolución:

1

2

Solución:

La temperatura final será de .................. .

62. La temperatura actual en Sevilla es de 15°C y la va-riación máxima las últimas horas ha sido de 12°C.Utilizando el valor absoluto, escribe una expresiónque permita hallar cuáles pueden haber sido las tem-peraturas máxima y mínima alcanzadas en Sevillaese período de tiempo y calcula dichas temperaturas.


Debemos buscar dos números cuya diferencia con15 sea 12. Esto, en lenguaje matemático, se expresacomo:

...........................................................................................

Resolución:

Solución:

La temperatura máxima que se puede haber alcan-

zado es de .................. , y la mínima, de .................. .

0ºC10ºC

3ºCpor hora

9ºC

1

2

2ºCpor hora

63. Patricia ha anotado las temperaturas máximas y mí-nimas alcanzadas en los últimos días en su localidad:

día mínima máxima

1 –4ºC 12ºC

2 –7ºC 5ºC

3 –9ºC –3ºC

4 –5ºC 8ºC

a) ¿En qué día se produjo la mayor variación detemperatura?


Hallamos la variación de temperatura correspon-diente a cada día y observamos cuál es la mayor.

Resolución:

• Día 1:

Solución:

La mayor variación de temperatura se produjo

el día ............ .

b) ¿Cuál fue la variación de temperatura producidadurante los cuatro días?


......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

Resolución:

Solución:

La variación de temperatura durante los cuatro

días fue de .................. .

Escribe un problema que cumpla las siguientes con-diciones y resuélvelo:

• Aparezcan 4 números distintos en el enunciado.

• Para resolverlo, se deba restar a uno de los nú-meros los otros tres números.

• El resultado sea un número negativo.


14

Pra

ctic

aco

nla

sTI

C

Unidad 1

GeoGebra65 En la vista Cálculo Simbólico (CAS)de GeoGebra podemos factorizar números y calcu-lar el m.c.d. y el m.c.m. de varios números.

a) Factoriza 5544.

Escribimos Factoriza [5544] y hacemos clic sobre. De este modo, obtenemos:

23 · 32 · 7 · 11

b) Calcula el m.c.d. de 330 y 2772.

Escribimos MCD[330,2772] y hacemos clic sobre. Obtenemos: 66

c) Calcula el m.c.m. de 330 y 2772.

Escribimos MCM[330,2772] y hacemos clic sobre. Obtenemos: 13860

d) Calcula el m.c.m. de 99, 36, 96 y 440.

Escribimos MCM[{99,36,96,440}] y selecciona-mos . Obtenemos: 15840

GeoGebra66 En una prueba de resistencia, tres co-ches salen de Cádiz para una ruta. El primero deberepostar cada 1008 km; el segundo, cada 1512 km,y el tercero, cada 1134 km. Si llenan el depósito enCádiz, ¿cuántos kilómetros deben recorrer para vol-ver a repostar los tres juntos por primera vez?

Calculamos el ............................................................... .

Instrucción: ...........................................................................

Resultado: ..................................

Repostarán los tres juntos por primera vez cuando

hayan recorrido .......................................... .

GeoGebra67 Un mayorista de recuerdos turísticostiene en el almacén 13860 llaveros, 5929 camisetasy 17017 imanes de nevera. Se acerca el día de ungran acontecimiento en la ciudad y decide hacer lo-tes de recuerdos de forma que cada uno tenga lamisma cantidad de cada producto y no le sobre na-da en el almacén. ¿Cuál es el mayor número de lo-tes que puede hacer?

Calculamos el ...................................................................... .

Instrucción: ...........................................................................

Resultado: ..................................

Puede hacer como máximo .............................. lotes.

GeoGebra68 En la vista Cálculo Simbólico (CAS)también podemos obtener el valor absoluto de unnúmero entero, así como calcular el resultado deoperaciones combinadas con números enteros.

a) Calcula el valor absoluto de –15.

Escribimos abs (–15) y seleccionamos . Obte-nemos: 15

b) Calcula 75 – [(–12) · (–3) + 27 : 3].

Escribimos 75 – ((– 12) * (– 3) + 27 / 3) y hacemosclic sobre . Obtenemos: 30

GeoGebra69 Calcula:

a) |234 · (–7) | + (–3) · (–7)

Instrucción: ................................................................

Resultado: ..................................................................

b) –7 – (–5) · [12 : 4 + (–3) · (4 · 2 + 9)]

Instrucción: ................................................................

Resultado: ..................................................................

GeoGebra70 Alejandro trabaja de comercial. Tie-ne un sueldo de 1200 € fijos al mes más 55 € porcada cliente nuevo, y gasta una media de 39 € dia-rios entre combustible y comida. ¿Cuántos clientesnuevos ha conseguido un mes en que ha trabajado22 días y ha ganado 1497 €?

Operación: .......................................................................

Instrucción: ......................................................................

Alejandro ha conseguido ............... clientes nuevos.

GeoGebra71 En un centro escolar, se ha pasadouna prueba para comprobar el nivel de conoci-mientos en Historia. De los 1 243 estudiantes delcentro, 454 han conseguido 4 puntos, 265 han ob-tenido 2, 120 han obtenido 1, y el resto, –2. ¿Cuán-tos puntos ha obtenido el centro?

Operación: .......................................................................

...........................................................................................

Instrucción: ......................................................................

...........................................................................................

El centro ha obtenido ............... puntos.


Aut

oev

alua

ció

n


1. Calcula el m.c.d. y el m.c.m. de 432, 440 y 1320:

2. El suelo del salón de actos mide 12 m de largo y10 m de ancho. Deseamos cubrirlo con láminas cua-dradas de madera del mayor tamaño posible. ¿Quémedidas deberán tener dichas láminas y cuántasnecesitaremos para cubrir el suelo?


...........................................................................................

...........................................................................................

...........................................................................................

Resolución:

Solución:

...........................................................................................

...........................................................................................

3. Representa con un número entero:

a) Debo 5 €. → ...............

b) La temperatura es de 4ºC bajo cero. → ...............

4. Indica el menor conjunto ( o ) al que pertenecenestos números y represéntalos en la recta numérica:

– 2, 3, –1, 2, – 3, 5

• : ................................. • : .................................

0

5. Ordena de menor a mayor: –3, | –14|, 12, –15, 3, |5|

......... � ........ � ...... � ........ � ........ � ..........

6. Calcula mentalmente:

a) 3 – 7 = ........ c) (–3) · (–12) = ........

b) –4 – (–3) = ........ d) 12 : (–3) = ........

7. Calcula:

a) 7 – 3 · (5 – 17) =

b) –3 · (–14 + 3 · 4) =

8. Calcula: –2 · 3 – 4 · [7 – 5 · (2 – 9)]

GeoGebra9 Calcula: (–11 + 2) : 3 – (8 – 15) · (3 – 17)

Instrucción: ................................................................

Resultado: ..................................................................

10. David participa en una competición. Por cada pruebaganada consigue 7 puntos; si queda en segundo lu-gar, 3; y, en cualquier otro caso, pierde 2. ¿Qué pun-tuación obtendrá si gana 12 pruebas, queda en se-gundo lugar en 3 y en cualquier otra posición en 9?


...........................................................................................

...........................................................................................

...........................................................................................

...........................................................................................

Resolución:

Solución:

Obtendrá ............... puntos.


2.1

2.1MatemáticasActividades de progresión personalizada

MATPRO

MAT

EMÁT

ICA

SMAT

PRO

G. Ruiz Bueno

MAT PRO es un proyecto diseñado para el aprendizaje de las matemáticas que se adapta a las distintas metodologías:

• Se centra en el aprendizaje autónomo y personalizado.

• Sigue un modelo de progresión gradual.

• Es integrable y polivalente.

• Se adecua al grado de madurez del alumnado.

• Responde al currículo del área de Matemáticas.

ISBN: 978-84-682-4306-1

9 788468 2430611 3 1 2 3

MATPRO

MATEMÁTICAS 1Matemáticas 1.1• Números naturales• Divisibilidad• Números enteros• Fracciones• Números decimales

Matemáticas 1.2• Álgebra• Proporcionalidad• Rectas y ángulos• Polígonos

Matemáticas 1.3• Circunferencia y círculo• Áreas y perímetros• Funciones• Estadística y probabilidad

MATEMÁTICAS 2Matemáticas 2.1• Divisibilidad y números enteros• Fracciones y decimales• Potencias• Álgebra• Ecuaciones

Matemáticas 2.2• Sistemas de ecuaciones• Proporcionalidad• Semejanza• Poliedros

Matemáticas 2.3• Cuerpos redondos• Funciones• Estadística• Probabilidad

MATEMÁTICAS 3AMatemáticas 3.1A• Números racionales• Números reales• Polinomios• Ecuaciones• Sistemas de ecuaciones

Matemáticas 3.2A• Sucesiones y progresiones• Relaciones geométricas• Figuras planas y movimientos• Cuerpos geométricos• Funciones y gráficas

Matemáticas 3.3A• Funciones elementales• Estadística• Parámetros estadísticos• Probabilidad

MATEMÁTICAS 3BMatemáticas 3.1B• Números y operaciones• Números decimales• Polinomios• Ecuaciones• Sistemas de ecuaciones

Matemáticas 3.2B• Sucesiones y progresiones• Relaciones geométricas• Figuras planas y movimientos• Cuerpos geométricos

Matemáticas 3.3B• Funciones y gráficas• Funciones elementales• Estadística• Parámetros estadísticos

MATEMÁTICAS 4AMatemáticas 4.1A• Números reales• Potencias, radicales y logaritmos• Polinomios y fracciones algebraicas• Ecuaciones• Sistemas de ecuaciones

Matemáticas 4.2A• Inecuaciones• Trigonometría• Geometría analítica• Funciones

Matemáticas 4.3A• Modelos de funciones• Estadística• Combinatoria• Probabilidad

MATEMÁTICAS 4BMatemáticas 4.1B• Números reales• Proporcionalidad• Polinomios• Ecuaciones

Matemáticas 4.2B• Sistemas de ecuaciones• Semejanza• Áreas y volúmenes• Funciones

Matemáticas 4.3B• Modelos de funciones• Estadística unidimensional• Estadística bidimensional• Probabilidad

ESO

013120

matemáticas - editorial vicens vives€¦ · • polinomios • ecuaciones • sistemas de...

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