Método de las potencias

Natalia Guevara ✰

Trabajo finalÁlgebra Lineal, 2do cuatrimestre del 2015

El método es utilizado para determinar el autovalor dominante de una matriz.

Tambieén es posible hacer una aproximacioón a su autovector asociado.

Utilizando la matriz inversa, se puede obtener el autovalor de míónimo moó dulo y su autovector asociado.

A su vez, con otras variaciones se pueden obtener otros autovalores.

Dada una matriz A, la matriz debe ser:

•De coeficientes reales o, si tiene coeficientes complejos, debe ser hermíótica.

•Debe tener una base de autovectores linealmente independiente (ser diagonalizable).*

Supongo que tiene un autovalor dominante.

|λ1|>|λ

2|≥.....≥|λ

n-1|≥|λ

n|

*Tambieén se puede realizar el método con matrices no diagonalizables usando la forma de Jordan.

Sea la base de autovectores linealmente independiente: {v(0),v(1),v(2),....,v(n)}Sea x

0 un vector cualquiera de ℝn (oó ℭn)

entonces

x0=∑β

jv(j) j=1,...,n si multiplico por A

Ax0=∑β

jAv(j)=∑β

jλjv(j) si multiplico por A

A2x0=∑β

jAλ

jv(j)=∑β

j(λ

j)2v(j) luego...

Ak x0=∑β

j(λ

j)kv(j) Tengo una sucesioón

xk=Ax

k-1 k=1,2,3....,n

despejando λ1 obtengo

xk=Akx

0=(λ

1)k(∑β

j(λ

j/λ

1)kv(j))

Como tengo que |λ1|>|λ

i| ∀i 1<i≤n

, líóm(λj/λ

1)k=0 y,

k→∞ líóm Akx0 =líóm (λ

1)kβ

1v(1)

, k→∞ k→∞

(A condicioó n de que β1≠0) luego

(1/λ1)kx

k=β

1v(1)+O(|λ

2/λ

1|k) (1)

El radio de convergencia es lineal yEs igual a |λ

2|/|λ

1| , x

k converge al autovector

asociado a λ1

Para asegurarnos que la sucesioón converja a un líómite finito distinto de 0, debemos normalizar el vector inicial x

0

Asó asumimos que ||x

0||∞=1, x

k=Ax

k-1 , μ

k=||x

k||∞ ,

xk=xk/μ

k k=1,2,3,....,n

Y xk=(1/γ

k)Akx

o donde γ

k=μ

1·μ

2·μ

3· ··· ·μ

k

Asó xk converge a un vector v(1) normalizado,

,luego por (1)xk=λ

1xk-1+O(|λ

2/λ

1|k) (2)

Y el líóm μk=|λ

1|

, k→∞

la convergencia es lenta cuando |λ2|≈|λ

1|

Puede acelerarse con métodos de extrapolacioón.

En el caso de una matriz hermíótica, como es simétrica y sus autovalores son reales, puedo elegir los autovectores reales y ortogonales.

Luego por (2), el cociente de Rayleigh ρ seraóρ(x

k-1)=(x

k-1)TAx

k-1=(x

k-1)Tx

Converge dos veces maó s raó pido junto con μk

λ1=ρ(x

k-1)+O(|λ

2/λ

1|2k)

Si la matriz tiene su autovalor dominante repetido, el método tambieén es aplicable, siempre que la matriz sea diagonalizable.SI r es la multiplicidad geométrica de λ

1 entonces

|λ1|=...=|λ

r|>|λ

r+1|≥|λ

n|

Y el método convergeraó un sólo vector del espacio propio de λ

1 que dependeraó del vector

inicial dado.

El método se aplica para matrices no diagona-lizables, mientras el autovalor dominante sea uónico (multiplicidad geométrica 1), puedo obtener una buena aproximacioó n de un autector asociado al autovalor dominante.

Sea A=VJV-1

Donde la primea columna de V corresponde al autovector asociado al vector dominante,como es uónico, el primer bloque de Jordan es la matriz 1x1 [λ

1]

El vector inicial b0 puede ser escrito como

combinacioó n lineal de los vectores columna de V: b

0=c

1v1+c

2v2+...+c

nvn

con c1≠0

Asumo, bk=Akb

0/||Akb

0|| luego

Luego, [(1/c1)V((1/λ

1)J)k]∑c

jej→ v

1(∑c

jej)=0 si k→∞

, y φ→v1

entoncesbk→(λ

1/|λ

1|)k(c

1/|c

1|)(v

1/||v

1||)

Donde bk es un autovector de A para un k grande

bk=(VJV-1)kb

0/||(VJV-1)kb

0|| = (VJkV-1)b

0/||(VJkV-1)b

0|| =

=(VJkV-1)(∑civi)/||(VJkV-1)(∑c

ivi)||= VJk(∑c

iei)/||VJk(∑c

iei)||=

=(λ1/|λ

1|)k(c

1/|c

1|)(φ/||φ||)

Donde φ=v1+(1/c

1)V(J/λ

1)k(∑c

jej) y j=2,3,....,n

La expresioón se simplifica si k→∞

El método de la potencia inversaAplicando el método de la potencia a la matriz (A-pI) se determina el autovalor maó s cercano a p y se calcula su autovector. SI se elije p correctamente, el método converge al autovalor de menor moó dulo.

El método converge mucho maó s raó pido, ya que los autocalores de mi matriz seraó n

(λ1-p),(λ

2-p),....,(λ

n-p) y debo elegir p tal que

λ1-p sea el autovalor dominante y |λ

1-p|/|λ

2-p|

sea mucho menor a |λ1|/|λ

2|

Luego, el método converge a λ1-p y determino λ

1

Aplicaciones:Centralidad de autovaloresLa centralidad en un grafo se refiere a una medida posible de un veértice en dicho grafo, que determina la importancia de eéste.

En eéste caso, se mide utilizando el valor y vector propio de la matriz de adyacencia del grafo.

Éste tipo de centralidad se utiliza en algoritmos de redes sociales.

Aplicaciones:matriz de covarianciaEn estadíóstica, se llama matriz de covariancia a la matriz que calcula la covariancia de los elementos de un vector. Obteniendo el autovalor y el autovector dominantes se puede determinar la direccioón principal del graófico de los datos.

Aplicaciones:Mecaónica Cuaó nticaEn mecaónica

cuaó ntica las ecuaciones de onda son ecuaciones de autovalores, en el caso de la ecuacioón de Schroö dinger, los autovalores representan la energíóa del sistema, y su autovalor míónimo determina el “ground state”.

El programaEn el programa debo ingresar la dimensioón, la matriz, el vector inicial, una cota del error y un nuómero maó ximo de iteraciones.Me devuelve el mayor autovalor, el autovector asociado, un mensje con las iteraciones utilizadas o un cartel del error si mi vector inicial no tiene componente en el autovector asociado al autovalor dominante. Utilizo las subrutinas:

Y el main program

Mi maó s profundo agradecimiento a:

•Richard L. Burden y J. Douglas Faires, autores de “Anaó lisis numeérico” 7ma edicioó n.

•Germund Dahlquist y Åke Bjoö rk, autores de “Numerical methods in scientific computing”vol 2• Wikipedia, por todas sus definiciones.

• A cienciaexplicada.com por sus ejemplos.

• A ustedes por escuchar el coloquio.

FIN