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1
I CALCULO INTEGRAL
I.1.-LA DIFERENCIAL.- La notación para la derivada de una función y = f(x) es
y´ = = f ´(x)
en donde el símbolo representa el límite del cociente cuando 0. De la
expresión de derivada podemos definir:
dx, leído diferencial de x, por, la relación dx = dy, leído diferencial de y, por la relación dy = f ´(x) dx
hay que considerar que por definición, la diferencial de una variable independiente (dx) es igual a su incremento ( ). Sin embargo, la diferencial de una variable dependiente o función ( dy ) no es igual a su incremento ( )
La diferencial de una función es igual al producto de su derivada por el incremento o diferencial de la variable independiente. Cuando el incremento de la variable independiente dx es muy pequeño, entonces dy y son aproximadamente iguales.
dy = f ´(x) dx
Geométricamente, se puede demostrar lo afirmado anteriormente:
Sea y = f (x ) la función y su derivada f ´(x), que se identifica con el valor de la derivada en P; si el incremento de la variable independiente es = dx = PB, por la definición de diferencial resulta:
y = f (x )
2
dy = f ´(x) dx
Si el valor de la derivada en cualquier punto es la pendiente de la tangente, se tiene:
dy = f ´(x) dxdy = tg ( PB )
en la gráfica se tiene que tg =
dy = ( PB ) de donde
dy = BC representa el incremento de la ordenada correspondiente a dx
EJEMPLOS:
a) Hallar la diferencial para la función y = ax3 dy = f (x) dx = 3ax2dx.
b) Si y = x3 + 2x2 – x; entonces: dy = = f (x) dx = ( 3x2 + 4x – 1 ) dx
c) Calcular la diferencial de la función y = para x = 5 y = dx = 0.05
dy = f (x) dx = dx = dx
dy = (0.05)
dy = (0.05)
dy = 0.09375
d) Calcular el valor aproximado para .
Seay = { la función representativa de x = 25dx = = 2 { incremento de x para tener
dy = = ; dy = 0.2
Si y = = = 5 y = y + dy = 5 + 0.2 = 5 + 0.2
= 5.2 Valor aproximado de
e) Calcular el volumen aproximado de una cáscara esférica de 300 mm. de diámetro exterior y 1.5 mm. de espesor.
3
SeaV =
r = 150dr = = - 1.5 { Grosor de la concha esférica }
dV = 4r2 dr = 4 ( 150 )2 ( - 1.5 ) ;
dV = 135 000 mm3 Volumen aproximado de la concha esférica ( mm3 )
f)Determinar el incremento del área de un cuadrado de 6 pulgadas de lado, al aumentar el
lado de pulgada.
SeaA = x2
x = 6 pulgadas
dx = x = { Aumento del lado del cuadrado }
dA = 2x dx = 2 ( 6 ) ( );
dA = = 0.375 pulg.2 Incremento de área de 0.375 pulgadas cuadradas.
EJERCICIOS I:
1) Determinar la diferencial en cada caso:
a) y =x3 - 3x
b) y =
c) y = d) y = x e) s = a e bt
f) u = ln cv
g) = sen ah) y = ln sen xi) = cos j) s = e t cos tk) Si x2 + y2 = a2 ; demostrar que
dy = -
2) Aplicando el concepto de diferenciales, resuelve los problemas que se plantean :
a) Calcular el valor aproximado de:a) b) c)
b) Hallar el valor aproximado del incremento de y en y = x3 cuando x pasa de 5 a 5.01
c) Determinar el valor aproximado del incremento de área ( dA ) de un cuadrado cuando su lado varía de 8 cm. a 8.01 cm. ( A = l2 )
4
d) Determinar el valor aproximado del incremento de área ( dA ) de un disco metálico que se dilata con el calor si su radio aumenta de 5 cm. a 5.01 cm. ( A = r2 )
e) Si el radio de un globo esférico varía de 8 cm. a 8.1 cm.; determinar el
crecimiento aproximado de su volumen ( V = r3 )
f) Un balín de hierro de 9 cm. de radio, por su uso sufre un desgaste hasta que su radio queda de 8.72 cm. Hallar la disminución aproximada de su volumen.
g) Una bola de hielo de 10 cm. de radio se derrite hasta que su radio adquiere el valor de 9.8 cm; hallar el valor aproximado de la disminución de su volumen.
h) Calcular el volumen aproximado que se necesita para construír una pelota de caucho si el radio del núcleo hueco debe ser de 2 pulgadas y el espesor del caucho
es de de pulgada.
i) Determinar el área aproximada de la disminución de una quemadura cuando el radio disminuye de 1 centímetro a 0.8 centímetros.
j) Un tumor esférico en el cuerpo de una persona tiene un aumento en el radio de 1.5 centímetros a 1.6 centímetros. ¿ Cuál es el incremento aproximado en su volumen ?
I.2.- INTRODUCCION.- El cálculo integral está relacionado con el cálculo diferencial de manera semejante a la relación que hay entre la resta y la suma, la división y la multiplicación, la radicación y la potenciación, etc. El cálculo integral es sólo lo contrario del cálculo diferencial.
Si y = x4, se tiene que dy = 4x3dx. Si se tiene ahora 4x3dx y queremos integrarlo, la expresión completa sería:
Llamaremos a x4 la función primitiva, al diferenciarla (es decir, derivarla), tendremos la diferencial de esa función primitiva. Si tomamos la diferencial de la función y la integramos tendremos la función primitiva.
En resumen, en cálculo integral siempre se nos dará la diferencial de una función primitiva y nos pedirán encontrar la función primitiva. Dada la diferencial de una función, hallar la función.
EJEMPLOS
FUNCION PRIMITIVA FUNCION DERIVADA INTEGRAL
5
Constante de integración.- Consideremos ahora las siguientes funciones primitivas y sus diferenciales:
1) ( x4 ) d( x4 ) = 4x3dx2) ( x4 + 1 ) d( x4 + 1 ) = 4x3dx3) ( x4 + 5 ) d( x4 + 5 ) = 4x3dx4) ( x4 + b ) d( x4 + b ) = 4 x3dx
Se observa que en los cuatro casos el resultado es el mismo, si se pide (que se lee integrar 4x3dx ), se tendrán dudas para elegir la respuesta acertada; para tal caso, lo que se hace es agregar una letra “c” llamada CONSTANTE DE INTEGRACIÓN, que en el primer caso vale cero, en el segundo vale uno, en el tercero cinco y en el cuarto b. Debe tenerse en mente que hay que agregar esa letra c por si en la diferencial que se trabaje ha sido eliminada una constante. Hay que recordar que d( c ) = 0. El diferencial dx en una integración, indica que la variable de integración es la x.
EJERCICIOS II:
1) Encontrar la integral de las funciones que se proporcionan (El cálculo se realiza mediante ensayo y error).
a) y = x
b) y = x + 3
c) y = 1
d) y = 5
e) y = 2x
2) Demostrar que las expresiones de cada inciso son válidas
a) = x3 + x2 - 5x + c b) = y sen y +
c) = ex + cd) = + c
La integración es de gran importancia por su aplicación en el cálculo de áreas, volúmenes, trabajo, energía, etc.
Como un adelanto, se ejemplifica la utilidad de la integración en el cálculo de áreas y se comprueban los resultados mediante métodos geométricos. Para esto, téngase en cuenta que:
1) Calcular el área limitada por y = x entre x = 0; x = 1. donde a = 0; b = 1
Geométricamente el cálculo es:
= =
0EJERCICIOS III
1) Para los incisos b), c), d) y e) del ejercicio II.1), calcula el área de cada caso con los límites que se proporcionan a continuaciónb) x = 0; x = 3.
c) x = 0; x = 1
d) x = 2; x = 4
e) x = 0; x = 2
I.3.- REGLAS DE INTEGRACION.- El cálculo de integrales es un procedimiento de ensayo, para facilitarlo existen tablas de integrales inmediatas, analicemos el siguiente ejemplo:
d ( 3 - x2 )2 = 2 ( 3 - x2 ) ( -2x dx ) y simplificarlo se tiene d( 3 - x2 )2 = -4x ( 3 - x2 ) dx, pero si se presenta la integración siguiente no se puede decir que la contestación sea ( 3 - x2 )2 porque al comparar ( 3 - x2 ) x dx con ( 3 - x2 ) ( -4x dx ) se ve que no son iguales, pues la segunda expresión tiene un –4 que en la primera no existe. Esto
significa que hay que analizar si se tiene una diferencial, o sea, ver si no sobra o falta algo para poder hacer la integración.
Estos principios fundamentales sirven para iniciar el cálculo de integrales mediante fórmulas de integración inmediata, de las que la primera es:
para n - 1 (1)
Para poder aplicar esta fórmula, hay que desarrollar los siguientes pasos:
1. Poner en forma de factores los términos que contienen la variable.2. Sacar fuera del signo de integración los factores que sean constantes (escribirlos a la
izquierda del signo de integración), y multiplicar el resultado de la integración si están multiplicando o dividir si están dividiendo.
3. Diferenciar la base del término mas complicado (u) que está afectada por el exponente (n); lo que sobre será la diferencial.
4. Comparar la diferencial de la base con la diferencial del ejercicio.5. Si faltan o sobran constantes y/o signos, multiplicar la diferencial por la constante
y/o signos que falten y dividir por la misma cantidad para no alterar la expresión.6. Aplicar la fórmula.7. Simplificar si es necesario.
EJEMPLOS
1) :1. No se realiza2. No se realiza3. d( y ) = dy4. Se hace la comparación5. No se realiza
6.
7. No hay reducción
2)
1.2.3. d ( a2 - bx4 ) = -4bx3dx4. Al comparar –4bx3 dx con x3 dx nos falta –4b
5.
6.
7.
Debe observarse que cuando n =-1; el denominador y el exponente en el numerador del resultado se hacen cero, lo que equivale a una división indeterminada. Lo anterior significa que para n = -1, la fórmula no es válida. Para reafirmar lo anterior se proponen los siguientes:
EJERCICIOS IV
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)La siguiente formula es:
(2)
La presente fórmula es la que se utiliza cuando n = - 1. Los pasos a realizar son los mismos del caso anterior.
EJEMPLOS
1)
1.2.3. d ( 2 - 3x ) = -3dx4. Comparando falta –3
5. -
6. -
7. No hay reducción
2)
1.2.3. d ( a2 - 3t2 ) = -6t dt4. Comparando falta –6
5.
6.
7. No hay reducción
Para reafirmar lo visto, se plantean los siguientes:
EJERCICIOS V
1) 2)
3)
4)
5)
6)
7)
8) 9)
10)
Dos fórmulas mas de integración inmediata son:
(3) y (4)
donde “e” y “a” son constantes. La a será cualquier constante y la e es una constante única. Para aplicar estas dos fórmulas, se siguen los pasos ya descritos, variando únicamente el tercero que queda de la siguiente forma:
3) “Diferenciar el exponente de la constante”
EJEMPLOS
1)
1.2.3. d ( - 3x ) = -3 dx4. Falta el –3
5.
6. -
7. No hay reducción
2) 1. No se realiza2. No se realiza3. d ( x3 ) = 3x2 dx4. Falta el 3
5.
6.
7.
EJERCICIOS VI
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
Uso de la fórmula:
(5)
Esta fórmula señala que hay que integrar una suma de diferenciales. Los pasos explicados con anterioridad nos indican que “al comparar la diferencial de la base con la diferencial del ejercicio nos sobran o faltan CONSTANTES etc.”, pero cuando nos sobran o faltan VARIABLES hay que hacer las operaciones primero.
Veamos dos ejemplos parecidos:
Tercer paso
d ( x2 - 1) = 2x dx d ( x2 – 1 ) = 2x dx
Cuarto paso
Al comparar, en el ejemplo de la izquierda falta 2x mientras que en el de la derecha sólo falta el 2. En el de la izquierda se hace la operación (desarrollo del cuadrado de un binomio) mientras que en el otro, se continúa aplicando los pasos indicados.
Generalmente, las operaciones a ejecutar que con mayor frecuencia se presentan son:
1) Producto de dos o mas factores2) Productos notables3) Quebrados cuyo denominador consta de un solo término
4) Quebrados cuyo denominador consta de dos o mas términos
EJERCICIOS VII
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
Las siguientes formulas son:
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
Para aplicar los pasos descritos con anterioridad, es necesario cambiar el primer paso por lo siguiente: “poner en forma de cuadrados los términos del denominador”. Recordando que si son cuadrados perfectos se les saca raíz y se expresa elevando al cuadrado, si no la tiene, se deja indicado.
EJEMPLOS
1)
1.
2. No se realiza3. d ( 4x ) = 4 dx4. Falta un 4
5.
6.
7. No hay simplificación
2)
1.
2. No hay constante que sacar3. d ( x ) = dx4. No falta nada5. No se realiza
6.
7. No se realiza
Resuelve los siguientes:EJERCICIOS VIII
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
Las fórmulas siguientes se han separado de las anteriores porque se diferencian de ellas en que no son una expresión en forma de quebrado:
(13)
(14)
(15)
Para la aplicación de estas fórmulas, se efectúa el mismo proceso ejecutado en las fórmulas 6 a 12.
EJERCICIOS IX
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)8)
9)
10)
II INTEGRACION DE DIFERENCIALES TRIGONOMETRICAS
II.1 INTRODUCCION.- Para resolver integrales con diferenciales trigonométricas, se encuentra la solución de algunos problemas donde se utilizan las fórmulas iniciales mediante los siguientes
EJEMPLOS:
1)
4. Falta el 6
2)
4. Le falta –a
Resuelva los siguientes:
EJERCICIOS X
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
II.2 INTEGRACION DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS.- Otras fórmulas de integración para diferenciales trigonométricas son las siguientes:
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
(21)
(22)
(23)
(24)
(25)
Para la aplicación de las fórmulas anteriores, hay que tener en cuenta las siguientes recomendaciones:
1. Siempre hay que diferenciar el ángulo para el paso número cuatro de los problemas pasados
2. Es muy común el uso de identidades trigonométricas3. Si en el denominador hay binomios, en ocasiones se puede multiplicar
tanto denominador como numerador por el conjugado del denominador para luego separar integrales
4. Si el denominador sólo tiene un término, se pueden usar en algunos casos las identidades trigonométricas inversas
5. Si se tienen productos de funciones o productos notables, se desarrollan y se separan integrales
EJEMPLOS
1)
3. Diferenciando el ángulo se tiene d ( 3x ) = 3 dx
4. Comparando falta el 3
5.
6. -
2)
Por identidades
Por lo que
Aplicando fórmula
EJERCICIOS XI
1)
2)
3)
4)5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
Además, se presentan los siguientes casos de integrales con diferenciales trigonométricas:
II.3 DIFERENCIALES QUE CONTIENEN POTENCIAS IMPARES DE SENOS Y/O COSENOS.- Para este tipo de problemas, se recomiendan los pasos siguientes:
1. Descomponer la potencia impar en una par y otra impar elevada a la unidad2. Transformar la potencia par con las identidades:
sen2 x = 1 - cos2 x; cos2 x = 1 - sen2 x3. Efectuar las operaciones resultantes y separar integrales4. Integrar cada integral y simplificar
EJEMPLOS1)
2)
Resuelve los siguientes:EJERCICIOS XII
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
II.4.- DIFERENCIALES QUE CONTIENEN POTENCIAS PARES DE
SENOS Y/O COSENOS.- En este tipo de problemas, las potencias pares se descomponen con las identidades:
Todo lo demás es igual al caso anterior.
EJEMPLOS1)
2.
2)
4. d (4 y ) = 4 d y
Resuelve los siguientes:
EJERCICIOS XIII
1)
2)3)
4)5)
6)
7)
8)
9)
10)11)
12)
II.5.- DIFERENCIALES DE PRODUCTOS DE SENOS Y/O COSENOS QUE TIENEN ANGULOS DIFERENTES.- El procedimiento es el mismo de los casos anteriores. Las identidades que se utilizan son:
a) sen x cos y = [ sen ( x – y ) + sen ( x + y ) ]
b) sen x sen y = [ cos ( x – y ) – cos ( x + y ) ]
c) cos x cos y = [ cos ( x – y ) + cos ( x + y ) ]
d) sen ( -x ) = - sen x
e) cos ( - x ) = cos x
EJEMPLOS
1) sen 3x sen 2x dx
Aplicando la formula (b)
[ cos ( 3x - 2x ) – cos ( 3x + 2x ) ] dx
( cos x – cos 5x ) dx
cos x dx - cos 5x dx
= sen x - sen 5x + c
2) sen 3y cos 5y dyAplicando (a)
[ sen ( 3y - 5y ) + sen ( 3y + 5y ) ] dy
[ sen ( - 2y ) + sen 8y ] dy
Aplicando (d)
- sen 2y dy + sen 8y dy
= cos 2y - cos 8y + c
EJERCICIO XIV
1) 2)3) 4) 5)
6)7)8)9)10)
II.6.- INTEGRACION DE DIFERENCIALES DE TANGENTES Y/O SECANTES.- El proceso es similar al de senos y/o cosenos de potencias impares o pares. Hay que considerar las siguientes recomendaciones para cuando son tangentes:
1. Separar una potencia par de la tangente2. Transformar esta potencia par con la identidad 3. Continuar con los pasos ya indicados
Si son secantes, hay que recordar que sólo potencias pares de secantes son integrables por este método. Para las potencias impares hay otros métodos. Sin embargo, en algunos casos resulta la integral
(fórmula que se demostrará
en integración por partes).
EJEMPLOS1) tan5 x dx
1. tan3 x tan2 x dx2. tan3 x ( sec2 x – 1 ) dx3. tan3 x sec2 x dx - tan3 x dx
d ( tan x ) = sec2x dx
tan2x dx
( sec 2 x – 1 ) dx
sec 2 x dx + dx
2)
3)
Resuelve los siguientes:
EJERCICIO XV
1)2)3)
4)
5)
6)
7)
8)
II.7.- INTEGRACION DE DIFERENCIALES DE COTANGENTES Y/O COSECANTES.- El procedimiento es semejante al anterior y la identidad a utilizar será:
EJEMPLOS
1) cot3 2x dxcot 2x cot2 2x dxcot 2x ( csc2 2x – 1 ) dxcot 2x csc2 2x dx - cot 2x dx
d ( cot 2x ) = - 2csc2 2x dx; d ( 2x ) = 2 dx
EJERCICIO XVI
1)
2)
3)
4)
5)
6)
III METODOS DE INTEGRACION
III.1.- SUSTITUCION TRIGONOMETRICA.- Los métodos de integración son formas que se utilizan para integrar diferenciales en las que no se pueden aplicar las fórmulas hasta ahora vistas. Este primer método se denomina de sustitución trigonométrica porque las integraciones de diferenciales algebraicas se sustituyen por funciones trigonométricas que permiten hacer la integración.
En este tipo de problemas siempre tendremos una suma o una diferencia de dos términos elevados a cualquier exponente, con la característica de que los dos términos siempre son una constante y una variable, la variable siempre está elevada al cuadrado. Puede existir otra potencia de la misma variable multiplicando o dividiendo pero lo fundamental para el trabajo del método son la suma o diferencia de dos términos.
Este es el método del triángulo.
Para el uso del método, se recomiendan los pasos siguientes:
1. Dibujar un triángulo rectángulo y elegir un ángulo agudo interno2. Sobre los lados de este triángulo colocar:
a. La raíz cuadrada de los dos términos en la hipotenusa si se están sumando. La raíz cuadrada de la variable en un cateto y la raíz cuadrada de la constante en el otro. (Aunque no es forzoso, generalmente se coloca la variable en el cateto opuesto)
b. Colocar la raíz cuadrada de los dos términos en uno de los catetos si es diferencia, la raíz cuadrada del minuendo en la hipotenusa y la del sutraendo en el otro cateto
3. Calcular las funciones trigonométricas cuya razón tenga en el denominador la constante
4. A partir de estas dos funciones, calcular los términos que componen la diferencial que se ha de integrar y sustituirlos en la misma
5. Resolver la nueva integral6. Sustituir en el resultado encontrado las funciones trigonométricas por sus
equivalentes algebraicas. (Es necesario auxiliarse del triángulo dibujado)7. Simplificar
NOTA: Hay que recordar la propiedad de los logaritmos ln = ln a - ln b
Ejemplo: a ln + c = a ln x – a ln b + c ; y como: a ln b = constante, entonces:
a ln = a ln x + c
EJEMPLOS
1)
1. y 2. ............................
Del triángulo de la figura:
3.
4.
obtenido al diferenciar y sustituyendo resulta
y al simplificar queda
5.
6. Del triángulo, se tiene que
7.
2)
1. y 2. ..................................
3.
4.x = sec
5.
6.
7.
Cuando el resultado es sólo el ángulo, se acostumbra escribir el arco de la función cuya razón sea la variable sobre la constante.
Resuelve los siguientes:
EJERCICIOS XVII
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
sen 2 a = 2 sen a cos a; cos 2 a = 2 cos2 a - 1; tan 2 a =
III.2.- INTEGRACION POR PARTES.- Este método se aplica a las diferenciales en las que se encuentre un producto de dos funciones y que a continuación se señalan:
a) Variable por función trigonométrica de la variableb) Variable por exponenciales de la variablec) Exponenciales por funciones trigonométricasd) Logaritmos y arcos de funciones trigonométricase) Producto de seno y/o coseno de diferentes ángulos
La fórmula que se ha de utilizar es la siguiente:
Para la aplicación de este método, no se pueden proporcionar pasos concretos a seguir; sólo se sugieren las recomendaciones siguientes:
1. Si la diferencial del problema es un logaritmo o un arco de función trigonométrica, el logaritmo o la función se iguala a “u” y el otro factor será “dv”
2. “u” se iguala al factor fácilmente diferenciable y “dv” al factor fácilmente integrable
3. Después de haber derivado “u” para encontrar “du” e integrado “dv” para encontrar “v”, sustitúyanse los valores obtenidos en la fórmula
4. Resolver la integración resultante, si aparece una nueva integral por partes, se procede como se indica en los incisos anteriores
5. Si la integral resultante es igual o casi igual a la del miembro de la izquierda, hay que despejar y simplificar para terminar con el problema
6. Generalmente al integrar “dv” no debe aumentar el valor del exponente7. Si se tienen exponenciales, se toma el exponencial junto con el diferencial de
la variable como “dv”EJEMPLOS
1)
2.
3.
4.
2) 2.
3.
4.
Resuelve los siguientes:
EJERCICIOS XVIII
1) 2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
III.3.- INTEGRACION POR DESCOMPOSICION EN FRACCIONES PARCIALES.- Un polinomio en x es una función de la forma a 0xn + a1xn-1 +...+ an-1 x + an en donde los coeficientes (a) son constantes, a0 0 y n un número entero y positivo cualquiera incluido el cero.
Si dos polinomios del mismo grado toman iguales valores numéricos para todos los valores de la variable, los coeficientes de los términos de igual grado de ésta, en ambos polinomios, son iguales.
Todo polinomio de coeficientes reales se puede expresar (al menos teóricamente) como producto de factores reales lineales de la forma ax + b, y de factores cuadráticos reales irreducibles de la forma ax2 + bx + c.
Una función F(x) = en la que f(x) y g(x) son polinomios, recibe el nombre
de fracción racional.
Si el grado de f(x) es menor que el de g(x), F(x) recibe el nombre de función propia, en caso contrario se llama impropia.
Toda fracción racional impropia se puede expresar como suma de un polinomio y una fracción propia.
Toda fracción racional propia se puede expresar como suma de fracciones simples cuyos denominadores son de la forma ( a x + b )n y ( a x2 + b x + c )n, siendo n un número entero y positivo. Aprovechando las propiedades antes mencionadas, éstas son utilizadas en la solución de integrales. Aunque son varios casos, únicamente se tratarán los dos siguientes:
I). Para cada factor lineal a x + b que aparezca sólo una vez, habrá un término de
la forma . A es constante a determinar.
EJEMPLOS
1)
1. Descomponiendo el denominador en factores:x3 + x2 - 2x = x ( x – 1 ) ( x + 2 )
2. Por lo tanto
3. 3x2 + 6 = A ( x – 1 ) ( x + 2 ) + Bx ( x + 2 ) + Cx ( x – 1 )
4. Se sustituyen los valores de x que hacen cero los denominadores de 2) en 3) para calcular los valores de A, B y C. Es decir; x = 0, x = 1, y x = -2
3 ( 0 )2 + 6 = A ( 0 – 1 ) ( 0 + 2 ) + B( 0 ) ( 0 + 2 )+ C ( 0 )( 0 – 1 )6 = A ( -1 ) ( 2 )
6 = - 2A; A = - 33 ( 1 )2 + 6 = A ( 1 – 1 ) ( 1 + 2 ) + B ( 1 ) ( 1 + 2 ) + C ( 1 ) ( 1 – 1 )
9 = B ( 3 ); B = 33 ( - 2 )2 + 6 = A ( - 2 – 1 )( - 2 + 2 ) + B ( - 2 )( - 2 + 2 )+ C ( - 2 ) ( - 2 – 1 )
18 = C ( 6 ); C = 3
5. Sustituyendo en 2)
y la integral del problema se puede transformar a:
El cálculo de las constantes A, B y C, también se puede realizar formando ecuaciones simultaneas con los coeficientes de términos del mismo grado en el paso 3):
3 + 6 = A ( x – 1 ) ( x + 2 ) + Bx ( x + 2 ) + Cx ( x –1 )3 + 6 = ( A + B + C ) + ( A + 2B – C ) x - 2A
a) 3 = A + B + Cb) 0 = A + 2B - Cc) 6 = - 2A; A = - 3
Sumando a) y b) y sustituyendo el valor de A3 = 2A + 3B3 = 2 ( - 3 ) + 3B3 = - 6 + 3B
9 = 3B; B = 3Sustituyendo en b) los valores de A y BO = ( - 3 ) + 2 ( 3 ) - CC = - 3 + 6; C = 3Que son los mismos valores encontrados
2)
1. Descomponiendo el denominador en factores: + 7x + 6 = ( x + 1 ) ( x + 6 )
2. Por lo tanto:
3. 1 = A ( x + 6 ) + B ( x + 1 )
4. Se sustituyen los valores de x que se hacen cero los denominadores de 2) en 3) para calcular los valores de A y B. Estos son x = - 1 y x = - 6.
1 = A ( - 1 + 6 ) + B ( - 1 + 1 )
1 = A ( 5 ); A =
1 = A (-6+6) + B (-6+1)
1 = B (-5); B = -
5. Sustituyendo en 2)
y la integral del problema se puede transformar a:
Para los valores de A y B:1 = A ( x + 6 ) + B ( x + 1 )1 = ( A + B )x + 6A + B
a) 0 = A + Bb) 1 = 6A + B
Multiplicando a) por –1 y sumando con b)
1 = 5A; A =
Sustituyendo el valor de A en a)
0 = ( 1/5 ) + B; B = -
valores iguales a los calculados.
II) A cada factor lineal ax + b, que figure n veces en el denominador de una fracción racional propia, le corresponde una suma de n fracciones de la forma:
siendo A, B, C,.... constantes a determinar.
EJEMPLOS:
1)
1. Expresado en la forma general:
2. Por lo tanto3 + 5x = A ( x + 1 ) 2 + B ( x – 1 ) + C ( x – 1 ) ( x + 1 )
3. Haciendo lo del paso 4) en el caso I)3 ( - 1 ) 2 + 5 ( - 1 ) = A ( - 1 + 1 ) 2 + B ( - 1 – 1 ) + C ( - 1 – 1 ) (-1+1)- 2 = - 2B; B = 13 ( 1 ) 2 + 5 ( 1 ) = A ( 1 + 1 ) 2 + B ( 1 – 1 ) + C ( 1 – 1 ) ( 1 + 1 )8 = 4A; A = 2Para el cálculo de C, se usa cualquier valor para x:3 ( 2 ) 2 + 5 ( 2 ) = A ( 2 + 1 ) 2 + B ( 2 – 1 ) + C ( 2 – 1 ) ( 2 + 1 )22 = 2 ( 9 ) + 1 ( 1 ) + C ( 3 ), sustituyendo los valores de A y B.22 – 19 = 3C3 = 3 C; C = 1
4. Sustituyendo en 1)
y la integral queda:
EJERCICIOS XIX
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
IV APLICACIONES DE LA INTEGRACION
IV.1.- TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO.- Considérese la función (x) = y, el eje de las “x” y las ordenadas correspondientes a x = a y x = b para hacer la construcción siguiente:
La figura construida tiene:
a) Un número “n” de rectángulos igual a un número “n” de subintervalos en que se ha dividido el intervalo desde x = a hasta x = b
b) Las abscisas x1,x2,.....,xn en cada subintervaloc) Con las longitudes x1, x2,....., xn correspondientes a cada
subintervalod) Las ordenadas ( x1 ), (x2),....., (xn) correspondientes a cada
abscisa señalada
e) Áreas correspondientes a cada rectángulo formado y que valen:
( x1) x1, (x2) x2,....., (xn) xn
De las consideraciones anteriores se tiene que el área bajo la curva puede ser calculada de la siguiente manera:
A = [ ( x1) x1 + (x2) x2 +.....+ (xn) xn]
Pero además ya se vio que el área bajo la curva es:
Por lo que se puede escribir:
= [ ( x1) x1+ (x2) x2+.....+ (xn) xn]
La igualdad anterior es un teorema que se define:
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO.- Sea (x) una función continua en el intervalo x = a y x = b; divídase este intervalo en “n” subintervalos con longitudes x1, x2, ....., xn y elíjase un punto en cada subintervalo con abscisas x1, x2, ..... , xn y considérese la suma:
( x1) x1 + (x2) x2 +..... + (xn) xn =
Entonces, el valor límite de la suma cuando n tiende a infinito y cada subintervalo tiende a cero, es igual al valor de la integral definida:
IV.2.- INTEGRAL DEFINIDA.- La integral definida es un número resultante de integrar una función continua en un intervalo dado y se expresa de la siguiente manera:
donde a es menor que b y a es el límite inferior de la integración mientras que b es el límite superior siendo f(x) el integrando. La integral así definida se llama integral de RIEMANN.
Si a < b; = -
y si a = b, entonces = 0Del teorema fundamental del cálculo, tenemos:
= g(b) - g(a)...........que se denomina .............REGLA DE BARROW
donde g’(x) = f(x). La diferencia de valores para x = a y x = b da el área limitada por la curva cuya ordenada es “y”, el eje de las “x” y las ordenadas que corresponden a x = a y x = b.
Para calcular la integral definida se procede de la siguiente manera:
1. Se integra la expresión diferencial dada conforme a las reglas conocidas2. Sustituir en la integral encontrada el límite superior y restar del resultado la
sustitución del límite inferior. La constante de integración siempre desaparece en este tipo de problemas
IV.3.- PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA.- A continuación, se enumeran las propiedades de la integral definida:
I. = 0
II. = -
III. = c siendo c = constante
IV. =
V. = + cuando a < b < c
EJEMPLOS1)
= = =
g(x) = ;
g(b) = g(5) = = ; g(a) = g(0) = = 0
2)
Resuelve los siguientes
EJERCICIOS XX1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
IV.4.- CALCULO DE AREAS.- Para el cálculo de áreas se encuentra la solución de la integral definida respectiva basados en el teorema fundamental del cálculo.
EJEMPLOS
1) Calcular el área limitada por y = 4x - x2 y el eje “x”; los límites x = a y x = b se encuentran donde la curva cruza el eje “x”. A continuación se traza la gráfica correspondiente:
el límite inferior es a = 0 y el superior b = 4
2) Calcular el área limitada por y = x2 - 7x + 6; el eje de las “x”; x = 2; x = 6.
Resuelve los siguientes:
EJERCICIOS XXI
1).- Calcula el área en cada inciso conforme a los límites que en los mismos se indican:
a) y = x + 3; y = - 2x + 8; x = 2; x = 4
b) x = 8 + 2y – y2 ; eje "y"; y = -1; y = 3
c) y = x2 ; eje "x"; x = 2; x = 4
d) y = 6x – x2; y + x + 1 = 0; x = 1; x = 3
e) y = x2; y = 0; x = 2; x = 5
f) y = x3; eje "x"; x = 1; x = 3
g) y = 8x – x2; y = 0; x = 1; x = 3
IV.5.- CALCULO DE VOLUMENES DE SOLIDOS DE REVOLUCION.
Si se tiene la curva CD cuya función es y = f(x), el área entre dicha curva y el eje “x” será la región que esta dentro de ABDC. Si enseguida se hace girar el área ABDC tomando como eje de giro el eje de las “x”, la superficie en movimiento generará un sólido al que se llama SÓLIDO DE REVOLUCIÓN, el eje “x” es un eje de simetría de dicho sólido.
El volumen del sólido de revolución se calcula recordando que el volumen es el producto de la base por la altura y se procede dela siguiente manera:
1. Se divide el eje “x” en un número infinito de tramos con longitud dx2. Cada dx con una altura “y” formará rectángulos elementales3. Cada rectángulo elemental al girar alrededor de “x” formará cilindros
elementales con radio “y” y altura dx por lo que su volumen será y2dx4. Se suman los volúmenes de los cilindros elementales conforme al teorema
fundamental del cálculo para determinar el volumen del sólido de revolución
EJEMPLOS
1) Calcular el volumen del sólido generado cuando la región limitada por y = 4, x = 2 y x = 5 gira sobre el eje “x”.
= 16 ( 5 – 2 ) = 48 u2
2) Hallar el volumen del sólido que genera la región limitada por y – x – 3 = 0; x = 0 y x = 3 cuando gira alrededor del eje “x”.
= 63 u3
Resuelve los siguientes:
EJERCICIOS XXII
1).-Calcula el volumen generado cuando las áreas que tienen los límites que en cada inciso se indican giran sobre el eje "x".
a) y = x - x2; x = 1; x = 3
b) y = x3; x = 0; x = 2
c) 2y = x; x = 0; x = 6
d) y2 = 8x; x = 2; en el primer cuadrante.
e) x2 + y2 = r2; x = -r; x = r
BIBLIOGRAFIA
[1] CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRALGranville, William AnthonyUnión Tipográfica Editorial Hispano – AmericanaReimpresión de 1971, México
[2] CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRALSerie SchaumEditorial Mac Graw – HillReimpresión de 1988, México
[3] CALCULO DIFERENCIAL E INTEGALTaylor y WadeEditorial LimusaDécimaoctava reimpresión 1981, México
[4] MATEMÁTICAS V. CALCULO INTEGRAL Benjamín Garza OlveraDirección General de Educación Tecnológica IndustrialPrimera reimpresión 2000
[5] LECCIONES DE CALCULO – 2. INTRODUCCIÓN A LA INTEGRALCurse / LehmanFondo Educativo InteramericanoPrimera Edición, 1982, México
INDICE
I. CALCULO INTEGRAL 1I.1. LA DIFERENCIAL 1I.2. INTRODUCCIÓN 4I.3. REGLAS DE INTEGRACIÓN 7
II. INTEGRACIÓN DE DIFERENCIALES TRIGONOMÉTRICAS18
II.1. INTRODUCCIÓN 18II.2. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 19II.3.POTENCIAS IMPARES DE SENOS Y/O COSENOS 22II.4.POTENCIAS PARES DE SENOS Y/O COSENOS 24II.5.SENOS Y/O COSENOS DE ÁNGULOS DIFERENTES 26II.6.TANGENTES Y/O SECANTES 27II.7.COTANGENTES Y/O COSECANTES 29
III. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 31III.1. SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA 31III.2. INTEGRACIÓN POR PARTES 34
III.3. DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES PARCIALES 36
IV. APLICACIONES DE LA INTEGRACIÓN 41IV.1. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO 41IV.2. INTEGRAL DEFINIDA 42IV.3. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA 43IV.4. CALCULO DE ÁREAS 44IV.5. CALCULO DE VOLÚMENES 46
V. RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS 49
BIBLIOGRAFÍA 67