Métodos de ecuaciones simultáneas

ECONOMETRIA II

INTEGRANTES

JURADO AVALOS

RODRIGUEZ

AULA 44 TURNO NOCHE E

Métodos de ecuaciones simultáneas

Los modelos multiecuacionales se caracterizan por presentar un sistema interconectado de variables y ecuaciones, es decir, un sistema en el que la simultaneidad entre endógenas aparece en mayor o menor medida.Precisamente esa mayor o menor simultaneidad en las relaciones entre endógenas es un factor decisivo para determinar las propiedades de los distintos métodos de estimación. Esto no significa que sea la única variable a considerar, pero sí resulta el primero de los factores analicamente claves para una primera aproximación al método de estimación correcto.Si se considera el modelo general de M ecuaciones con M variables endógenas dado en la ecuación pueden adoptarse dos enfoques para estimar las ecuaciones estructurales:

Métodos uniecuacionales, también conocidos como métodos de información limitada: Cada ecuación en el sistema se estima individualmente, considerando las restricciones impuestas sobre ella sin preocuparse de las restricciones sobre las otras ecuaciones en el sistema de ahí el nombre de métodos de información limitada.

métodos de sistemas, conocidos como métodos de información completa:

Se estiman todas las ecuaciones en el modelo de manera simultánea, teniendo en cuenta las restricciones ocasionadas por la omisión o ausencia de algunas variables sobre dichas ecuaciones, de aquí el nombre métodos de información completa.

Como ejemplo, considere el siguiente modelo de cuatro ecuaciones:

En donde: las Y son las variables endógenas y las X son las variables exógenas

Modelos recursivos y mínimos cuadrados ordinarios (MCO)

Debido a la interdependencia entre el término de perturbación estocástico y la(s) variable(s) explicativa(s) endógena(s), el método de MCO es inapropiado para la estimación de una ecuación en un sistema de ecuaciones simultáneas. Si se aplica erróneamente, los estimadores no sólo resultan sesgados sino también inconsistentes; es decir, sin importar qué tan grande sea el tamaño de la muestra, el sesgo no desaparece. Sin embargo, hay una situación en la cual el método de MCO puede ser aplicado apropiadamente, aun en el contexto de las ecuaciones simultáneas. Es el caso de los modelos recursivos, triangulares o causales.

Para ver la naturaleza de estos modelos, considere el siguiente sistema de tres ecuaciones:

Dónde: Y = variables endógenasX = variables exógenas

Las perturbaciones son tales que

Es decir, las perturbaciones de diferentes ecuaciones en el mismo periodo no están correlacionadas (técnicamente, éste es el supuesto de cero correlación contemporánea).La primera ecuación de (20.2.1). Contiene variables exógenas al lado derecho y como, por los supuestos, no están correlacionadas con el término de perturbación u1t, esta ecuación satisface el supuesto crítico del método de MCO clásico, a saber: la no correlación entre las variables explicativas y las perturbaciones estocásticas. Por tanto, MCO puede aplicarse directamente a esta ecuación.La segunda ecuación de (20.2.1), la cual contiene la variable endógena Y1 como una variable explicativa junto con las X no estocásticas.MCO también puede ser aplicado a esta ecuación, siempre y cuando Y1t y u2t no estén correlacionadas.¿Es esto así? La respuesta es sí porque u1, el cual afecta a Y1, por los supuestos y no está correlacionada con u2. Por consiguiente, para todos los efectos prácticos, Y1 es una variable predeterminada en lo que respecta a Y2. Así, se puede proceder con la estimación de esta ecuación por MCO.También se puede aplicar MCO a la tercera ecuación en (20.2.1) porque Y1 y Y2 no están correlacionados con u3.Así, en el sistema recursivo, puede aplicarse MCO a cada ecuación en forma separada; de hecho, no se tiene el problema de las ecuaciones simultáneas en esta situación. Por la estructura de tales sistemas, es claro que no hay interdependencia entre las variables endógenas. Así, Y1 afecta a Y2 pero Y2 no afecta a Y1. En forma similar, Y1 y Y2 influyen en Y3 sin que esta última las influya. En otras palabras, cada ecuación presenta una dependencia causal unilateral, de ahí el nombre de modelos causales. Estimación de una ecuación exactamente identificada: el método de mínimos cuadrados indirectos (MCI)

Para una ecuación estructural precisa o exactamente identificada, el método para obtener las estimaciones de los coeficientes estructurales a partir de las estimaciones por MCO de los coeficientes en forma reducida se conoce como método de mínimos cuadrados indirectos (MCI), y las estimaciones así obtenidas se conocen como estimaciones de mínimos cuadrados indirectos.

MCI comprende los tres pasos siguientes:

Paso 1. Se obtienen primero las ecuaciones en forma reducida. Éstas se obtienen de las ecuaciones estructurales en forma tal que la variable

dependiente en cada ecuación es la única variable endógena y está en función únicamente de las variables predeterminadas (exógenas o endógenas rezagadas) y del (los) término(s) de error(es) estocástico(s).

Paso 2. Se aplica MCO individualmente a las ecuaciones en la forma reducida. Esta operación es permisible puesto que las variables explicativas en estas ecuaciones están predeterminadas y, por tanto, no están correlacionadas con las perturbaciones estocásticas.

Paso 3. Se obtienen estimaciones de los coeficientes estructurales originales a partir de los coeficientes en forma reducida estimados, obtenidos en el paso 2. Como se mencionó en el capítulo 19, si una ecuación está exactamente identificada, hay una correspondencia uno a uno entre los coeficientes estructurales y los coeficientes en la forma reducida; es decir, pueden derivarse estimaciones únicas de los primeros a partir de los últimos.

Como lo indica este procedimiento de tres etapas, el nombre de MCI se deriva del hecho de que los coeficientes estructurales (objeto principal de investigación en la mayoría de los casos) se obtienen indirectamente a partir de las estimaciones por MCO de los coeficientes en forma reducida.

Estimación de una ecuación sobreidentificada: método de mínimos cuadrados en dos etapas (MC2E)

En presencia de simultaneidad, una segunda estrategia para resolver los indeseables efectos derivados de la aplicación directa de MCO (sesgo e inconsistencia) es la utilización de la estrategia de estimación conocida como MC2E.El procedimiento consiste en utilizar MCO sobre la forma estructural pero, antes de ello, reemplazar los valores reales originales de las variables explicativas de cada ecuación (es decir, las endógenas que aparecen en el lado derecho de cada ecuación) por sus valores MCO estimados en la forma reducida (de otro modo, no podríamos plantear la estimación de la forma reducida). Para ilustrar el procedimiento operativo de MC2E, supongamos el siguiente modelo simultáneo con 2 ecuaciones:

Y 1 i=β11X1 i+β12X2 i+γ 12Y 2 i+U1 iY 2 i=β21 X1i+β23 X3 i+γ 21Y 1 i+U2 i

Para la primera ecuación, antes de proceder a la estimación directa con MCO, reemplazamoslos valores originales de la variable Y2i (un regresor estocásticoPotencialmente relacionado con U1i) por una estimación obtenida aplicando MCO sobre su forma reducida, es decir:

Y 2i=π 21X1 i+π22 X2i+π23 X3 i+V 2i→→ Y 2i= π21 X1i+ π22 X2i+ π 23X3 i→→Y 2i= π21 X1i+ π22 X2i+ π 23X3 i+V 2 i

Así, pues, la ecuación a estimar sería ahora:

Y 1 i=β11X1 i+β12X2 i+γ 12 ( Y 2i+V 2i)+U1i

o lo que es igual,

Y 1 i=β11X1 i+β12X2 i+γ 12Y 2 i+(U 1i+γ12V 2i) Como puede observarse, estamos nuevamente ante una estimación con información limitada ya que, nuevamente, no necesitamos conocer la especificación concreta de cada ecuación pero sí la lista de regresores (X) y endógenas (Y) del modelo.

Ventajas:1. De nuevo, como ya ocurriera con MCI, se aborda la estimación aislada de cada

ecuación lo que, operativamente, supone una ventaja y evita el contagio a todo el modelo de los errores presentes en una ecuación.

2. La utilización de los valores estimados de las explicativas evita la presencia de regresores estocásticos relacionados con la perturbación aleatoria; las variables explicativas originales son aleatorias pero sus valores estimados procedentes de la forma reducida no lo son

3. Así pues, en principio cabe pensar que la utilización de estimadores MC2E en presencia de simultaneidad produce estimaciones consistentes (es decir, evita el problema de los regresores estocásticos). No obstante, como ya ocurriera con MCI, la insesgadez y la eficiencia sólo se lograrán para muestras grandes, sin que pueda garantizarse para estimaciones con conjuntos de datos reducidos.

4. Sin embargo, además de compartir con MCI estas buenas propiedades asintóticas, la estimación MC2E presenta ventajas adicionales:

5. Resulta más sencillo de aplicar dado que no tenemos que resolver el sistema de ecuaciones de la segunda etapa de MCI; el método sólo requiere dos sencillas estimaciones sucesivas por MCO.

No requiere que la ecuación sea exactamente identificable; puede utilizarse también por tanto para ecuaciones superidentificables.Es más robusto que el método MCI ante problemas de especificación o multicolinealidad en las ecuaciones.Aunque en muestras pequeñas las ventajas de ambos estimadores se desvanecen, se ha demostrado que, en estos casos, el comportamiento de MC2E es relativamente mejor que el de MCI.En contraste con MCI, la aplicación de MC2E sí permite disponer de una estimación de las varianzas de los parámetros. Efectivamente, en la segunda etapa realizamos una estimación de los parámetros estructurales “β” y “γ” y, por tanto, disponemos de unos residuos derivados de esta estimación que nos permiten calcular las desviaciones típicas de los parámetros estimados.

Limitaciones:

1. Como ya ocurriera con MCI, el procedimiento de MC2E exige la estimación de la forma reducida de cada ecuación lo cual sólo es posible si n>k.

Problema sobre Métodos de ecuaciones simultáneas

EJERCICIO Nº 1

Dado el modelo:

Con información de las sumas de los productos cruzados:

Se pide:Identificar cada una de las ecuaciones del modelo.Explicar cuál método escogería para la estimación de los parámetros en cada una de las ecuaciones, de entre: mínimos cuadrados ordinarios (MCO), mínimos cuadramos indirectos (MCI) y mínimos cuadrados en dos etapas (MC2E) basado en las propiedades estadísticas de las estimaciones.Estimar la forma reducida.Estimar los parámetros de ambas ecuaciones por los métodos anteriormente elegidos.

Solución:

Para identificar el modelo crearemos la matriz A formada por los parámetros estructurales del modelo:

Puesto que solamente hay restricciones de nulidad podemos aplicar el método de la forma estructural.

En el modelo hay 2 variables endógenas (g) y 3 variables predeterminadas (k). El

número de variables excluidas en la primera ecuación es dos ( ) y el de la segunda

ecuación es una ( ) Primera ecuación.

Método del rango:

Ecuación identificada

Método del orden:

Ecuación sobre identificada Segunda ecuación.Método del rango:

Ecuación identificada

Método del orden:

Ecuación exactamente identificada

Para la elección del método de estimación de los parámetros nos fijamos en lo obtenido en el anterior apartado.Para la primera ecuación por estar sobreidentificada no se puede emplear MCI y de los dos métodos restantes MCO y MC2E, que son ambos sesgados, sólo MC2E es consistente, por tanto escogemos este último como método para la estimación de los parámetros de la ecuación.En la segunda ecuación, por estar exactamente identificada, se puede emplear MCI, MCO y MC2E, dado que los tres son sesgados, pero sólo son consistentes MCI y MC2E MCO se vuelve a descartar, de entre los que quedan y sabiendo que el resultado que se obtendrá será el mismo por ambos métodos, parece razonable escoger MCI ya que resulta más sencillo de aplicar.

Estimación de la forma reducida.Comenzaremos estimando por MCO los parámetros del modelo reducido.

Por tanto la estimación de la forma reducida será:

Ahora vamos a estimar el modelo por los métodos elegidos.En primer lugar vamos a estimar la primera ecuación del modelo por MC2E.La expresión matricial del estimador MC2E es:

Y donde es la estimación obtenida en el apartado anterior.

De donde:

Por tanto:

Ahora estimaremos por MCI la segunda ecuación del modelo.Para ello basta con resolver el sistema:

De esta forma se obtiene la estimación para la segunda ecuación:

Ejercicio Nº 2

Para ilustrar el método de MC2E, considere el modelo ingreso-oferta monetaria dado anteriormente en las ecuaciones (20.4.1) y (20.4.2). Como se mostró, la ecuación de la oferta monetaria está sobreidentificada. Para estimar los parámetros de esta ecuación, se acude al método de mínimos cuadrados en dos etapas. La información requerida

para el análisis está dada en la tabla 20.2; esta tabla también contiene la información requerida para responder algunas de las preguntas hechas en los ejercicios.

Regresión de la etapa 1

Primero se efectúa la regresión de la variable explicativa estocástica ingreso Y1, representada por el PIB, sobre las variables predeterminadas, inversión privada X1 y gastos del gobierno X2, obteniendo los siguientes resultados:

TABLA PIB, M2, GASFED, BT6, Estados Unidos,

Regresión de la etapa 2

Se estima ahora la función de oferta monetaria remplazando la variable endógena Y1 porY1 estimada de la ecuación. Los resultados son los siguientes:

Ya se señaló que los errores estándar estimados dados en (20.5.2) deben ser corregidos en la forma sugerida en el apéndice 20.A, sección 20A.2. Una vez realizada esta corrección (la mayoría de los programas econométricos hacen esto rutinariamente), se obtienen los siguientes resultados:

Como se menciona en el apéndice 20A, sección 20A.2, los errores estándar dados en (20.5.3) no difieren mucho de aquellos dados en (20.5.2), debido a que R2 en la regresión de la primera etapa es muy alto.Regresión por MCOCon fi nes comparativos, se presenta la regresión de las existencias de dinero sobre el ingreso, como se muestra en la ecuación (20.4.2), sin “depurar” la Y1t estocástica de la influencia del término de perturbación estocástica:

Al comparar los resultados “inapropiados” de MCO con la regresión de la etapa 2, se observa que las dos regresiones son virtualmente iguales. ¿Significa esto que el procedimiento de MC2E no tiene ningún valor? Definitivamente no. No debe sorprender que en la situación actual los dos resultados sean prácticamente idénticos porque, como se mencionó anteriormente, el valor del R2 en la primera etapa es muy alto, igualando prácticamente Yˆ 1t con Y1t observado. Por consiguiente, en este caso las regresiones por MCO y de la segunda etapa serán más o menos similares. Pero no hay garantía de que esto suceda en cada aplicación. Una implicación, entonces, es que en ecuaciones sobreidentificadas no debe aceptarse el procedimiento clásico de MCO sin verificar la(s) regresión(es) de la segunda etapa.Simultaneidad entre el PIB y la oferta monetariaPara averiguar si el PIB (Y1) y la oferta monetaria (Y2) son mutuamente dependientes, se utiliza la prueba de simultaneidad de Hausman analizada en el capítulo 19. Primero se efectúa la regresión del PIB sobre X1 (gasto de inversión) y X2 (gasto del gobierno), las variables exógenas en el sistema (es decir, se estima la regresión en la forma reducida). De esta regresión se obtiene el PIB estimado y los residuos ˆvt, como lo indica la ecuación (19.4.7).

Luego se efectúa la regresión de la oferta monetaria sobre el PIB estimado y sobre vt para obtener los siguientes resultados:

Puesto que el valor t de ˆvt es estadísticamente significativo (el valor p es 0.0263), no puede rechazarse la hipótesis de simultaneidad entre la oferta monetaria y el PIB, lo cual no debe sorprender.

Pruebas de hipótesis

Suponga que se desea probar la hipótesis de que el ingreso no tiene efecto sobre la demanda de dinero. ¿Se puede probar esta hipótesis con la prueba t usual de la regresión estimada (20.5.2)?Sí, siempre y cuando la muestra sea grande y se corrijan los errores estándar, como se muestra en la ecuación (20.5.3); se puede utilizar la prueba t para probar la significancia de un coeficiente individual y la prueba F para probar la significancia conjunta de dos o más coeficientes, utilizando la fórmula (8.4.7).17 ¿Qué sucede si el término de error en una ecuación estructural está autocorrelacionado y/o correlacionado con el término de error de otra ecuación estructural del sistema? Una respuesta completa a esta interrogante se sale del alcance de este libro y es mejor dejarla para las referencias. Sin embargo, existen técnicas de estimación (tales como la técnica SURE de Zellner) para manejar estas complicaciones.

EJERCICIOS del libro de Domar Gujarati

20.8. Considere el siguiente modelo:

En donde Mt (oferta monetaria) es exógena, Rt es la tasa de interés y Yt es el PIB.

a) ¿Cómo se justificaría el modelo?b) ¿Están identificadas las ecuaciones?c) Con la información dada en la tabla 20.2, estime los parámetros de las ecuaciones identificadas. Justifique el (los) método(s) que se utiliza(n).

Solución:A. el modelo IS-LM de la macroeconomía puede ser utilizada para justificar el

modelo.B. por la condición de la orden. la ecuación de tasa de interés no ha sido

identificado, pero la ecuación de ingresos se acaba de identificar.C. En este ejemplo, m es la variable exógena. utilizando los datos que figuran en

la tabla 20.2, obtenemos los siguientes resultados por ILS:

20.9. Suponga que en el ejercicio 20.8 se cambia el modelo de la siguiente manera:

a) Averigüe si el sistema está identificado.b) Con la información dada en la tabla 20.2, estime los parámetros de la(s) ecuación(es) identificada(s).

Solución:a) por la condición de la orden, la ecuación de la tasa de interés no es

identificada, y la ecuación de ingresos se sobreidentificado.b) Aquí usted puede utilizar MC2E. utilizamos M y Yt-1 como instrumentos.

Los resultados de la regresión, utilizando eviws 4, son los siguientes:

Donde R es la tasa de interés de las letras del Tesoro a seis meses.

20.10. Considere el siguiente modelo:

En donde las variables están definidas como en el ejercicio 20.8. Al considerar I (inversión doméstica) y M exógenamente, determine la identificación del sistema. Utilizando la información de la tabla 20.2, estime los parámetros de la(s) ecuación(es) identificada(s).

Solución:

Aquí tanto las ecuaciones se identifican con exactitud. Uno puede usar el ILS o MC2E para estimar los parámetros, pero van a dar resultados idénticos por las razones expuestas en el capítulo.

Aquí están las estimaciones MCO de la forma reducida (RF) ecuaciones. en cuenta que en la RF, sólo las variables exógenas (I) y M aparecen en el lado derecho de cada ecuación.

20.11. Suponga que se cambia el modelo del ejercicio 20.10 de la siguiente manera:

Suponga que M está determinado exógenamente.a) Determine cuáles ecuaciones están identificadas.b) Estime los parámetros de la(s) ecuación(es) identificada(s) utilizando la información de la tabla 20.2. Justifique el (los) método(s).

Solución:

a) ya no se identifican las ecuaciones para R e Y, mientras que la ecuación de inversión se identifica exactamente

b) primero, se obtuvo la RF para la función de inversión. ya que sólo hay una variable exógena. M, hacemos una regresión Y en M, que da el siguiente resultado:

20.13. Remítase al modelo de demanda y oferta dado en las ecuaciones (20.3.1) y (20.3.2). Suponga que la función de oferta se altera de la siguiente manera:

En donde Pt−1 es el precio predominante en el periodo anterior.

a) Si X (gasto) y Pt−1 están predeterminadas, ¿existe un problema de simultaneidad?b) Si existe, ¿están determinadas cada una de las funciones de demanda y de oferta? Si lo están, obtenga las ecuaciones en forma reducida y estímelas con base en la información dada en la tabla 20.1.c) ¿Pueden derivarse los coeficientes estructurales a partir de los coeficientes en la forma reducida? Muestre los cálculos necesarios.

Solución:

a) ya que el suministro es una función de la precisión en el período anterior, el sistema es recursivo. Por lo tanto, no hay ningún problema simultaneidad aquí.

b) cada ecuación se puede estimar por MCO individualmente.c) los resultados de la regresión son de la siguiente manera

Función de demanda:

Ya que los coeficientes de las dos variables explicativas no son individualmente estadísticamente significativa, no se puede decir mucho acerca de esta función de demanda. En cuenta que el coeficiente de precio es positivo, contrariamente a las expectativas anteriores.

Función de oferta

Como se esperaba, el coeficiente de la variable precio diferido es positivo. También es estadísticamente significativa.

CONCLUSIONES

Suponiendo que una ecuación en un modelo de ecuaciones simultáneas está identificada (en forma exacta o sobreidentificada), se dispone de diversos métodos para estimarla.Estos métodos se clasifican en dos categorías generales: Métodos Uniecuacionales y Métodos de Sistema.Por razones de economía, los métodos uniecuacionales son los más comunes. Una característica de estos métodos es que es posible estimar aisladamente una ecuación que forma parte de un modelo multiecuacional sin considerar apenas las otras ecuaciones del modelo.Tres métodos uniecuacionales más utilizados: MCO, MCI, MC2E.Aunque MCO en general es inapropiado en el contexto de modelos de ecuaciones simultáneas, éste pude ser aplicado a los llamados modelos Recursivos en donde hay una relación de causa y efecto definida pero unidireccional entre las variables endógenas.El método de MCI es apropiado para ecuaciones exactamente identificables. Mediante este método, se aplica MCO a la ecuación en la forma reducida y es a partir de los coeficientes de dicha forma que se estiman los coeficientes estructurales originales.El método de MC2E está diseñado especialmente para ecuaciones superidentificadas, aunque también puede ser aplicado a ecuaciones exactamente identificadas (siendo la estimación por MCI y por MC2E la misma). La idea básica del método MC2E es reemplazar la variable explicativa endógena (estocástica) por una combinación lineal de variables predeterminadas en el modelo y utilizar esta combinación como variable explicativa en lugar de la variable endógena original.El método MC2E se parece entonces al Método de Estimación de VARIABLE INSTRUMENTAL en el que la combinación lineal de las variables predeterminadas sirve como instrumento o variable aproximada para el regresor endógeno.Una característica importante a mencionar sobre MCI y MC2E es que las estimaciones obtenidas son CONSISTENTES, es decir, a medida que el tamaño de la muestra aumenta indefinidamente, las estimaciones convergen hacia sus verdaderos valores poblacionales. Las estimaciones pueden no satisfacer las propiedades de muestra pequeña tales como el insesgamiento y la varianza mínima. Por tanto, los resultados obtenidos mediante la aplicación de estos métodos a muestras pequeñas y las inferencias obtenidas de ellos deben ser interpretados con la debida precaución.

Bibliografía

Universidad de Granada. CC. Proyecto de Innovación Docente: Guía

multimedia para la elaboración de un modelo econométrico.

Damodar N. Gujarati Econometría “métodos de ecuaciones simultaneas”,

Quinta edición.

Breve apunte sobre la estimación de modelos multiecuacionales, Ramón

Mahía, Abril 2006