Modelos de ecuaciones

simultaneas

1) Cuando la variable dependiente de una ecuación tambien es la variable explicativa en alguna otra ecuación , tenemos un sistema o modelo de ecuaciones simultaneas

2) Un modelo de ecuaciones simultaneas por lo tanto tendrá dos o mas ecuaciones

3) En los modelos de ecuaciones simultaneas podemos reconocer dos tipos de variables: variables endógenas y variables exógenas

TIPOS DE VARIABLES EN UN MODELO

DE ECUACIONES SIMULTANEAS

VARIABLES ENDOGENAS

VARIABLES EXOGENAS

1) Es la variable dependiente desde el punto de vista matemático

2) Es la variable que cumple dos funciones en un sistema de ecuaciones simultaneas: es la variable cuyo comportamiento es explicado dentro del modelo y además explica el comportamiento de otras variables en alguna otra ecuación del sistema

3) Variable endógena es la variable cuyo valor se forma dentro del modelo, por la interacción de las otras variables

Variable endógena

1) Es la variable que solo explica el comportamiento de las otras variables dentro del sistema, su comportamiento no es explicado dentro del modelo

2) Es la variable cuyo valor no se forma dentro del modelo

3) Dentro de las variables exógenas también se tiene a las variables predeterminadas, que son las variables endógenas con retardo o desfase

Variable exógena

En el modelo: 1) Mt = a0 + a1 Y + µt

2) Yt = b0 + b1 Mt + b2 It + µt

Donde:Mt: oferta de dinero en el periodo t

Yt : es el ingreso nacional

It : es la inversión

Yt explica el comportamiento de Mt en la ecuación 1

Yt es explicado su comportamiento en la ecuación 2Þ Yt es una variable endógena

Mt: explica el comportamiento de y en la ecuación 2

Mt: su comportamiento es explicado en la ecuación 1

=> Mt es una variable endógena

Ejemplo de un modelo de ecuaciones simultaneas

En el modelo anterior It solo explica el comportamiento deYten la ecuación 2

Su comportamiento no es explicado dentro del modelo

=> It es una variable exógena en el modelo anterior

Dado el modelo siguiente:1)Ct = a0 + a1 Yt

2)I= bo + b1 ( Yt-1 – Yt-2 )

3)Yt =Ct+ It + Gt

4)Lt = c0 + c1 Yt + c2 rt

5)Mt = d0 + d1 Yt

6)Mt = Lt

Donde:Ct : consumo nacional

It : Inversión neta

Yt : ingreso nacional

Gt: Gasto publico

Lt :Demanda monetaria

Mt: oferta monetaria

rt: tasa de interés

a) Determinar las variables endógenas del modelob) Determinar las variables exógenas del modeloc) Determinar las variables endógenas en cada ecuaciónd) Determinar las variables exógenas en cada ecuación

Para que un sistema de ecuaciones sea completo, se requiere que el numero de ecuaciones iguale al numero de variables endógenas.

En un sistema de ecuaciones completo generalmente sus parámetros son posibles de ser estimados, lo que no ocurre lo mismo en un sistema de ecuaciones incompleto

Sistema de Ecuaciones completo

1) Los modelos de ecuaciones simultaneas tienen dos formas de especificación:

Forma estructural o comportamental del modelo

Forma reducida del modelo

Forma estructural y reducida de los modelos

Forma estructural o comportamental del modelo: es el modelo que ha sido derivado o elaborado a partir de la teoría Ejm: forma estructural del modelo

1) Mt = a0 + a1 Y + µ1t

2) Yt = b0 + b1 Mt + b2 It + µ2t

Forma estructural del modelo

3) Forma reducida del modelo: es el modelo en el cual las variables endógenas del modelo están expresadas únicamente en función de las variables exógenas del modelo La forma reducida del modelo se obtiene a partir de la forma estructural del modelo

VARIABLES ENDOGENAS = F VARIABLES EXOGENAS UNICAMENTE

3) Hallando la forma reducida del modelo anterior: Forma reducida de Mt

Mt = a0 + a1 Y + µ2t, en esta ecuación se sustituye Yt por el valor que tienen en la ecuación 2

Mt = a0 + a1(b0 + b1 Mt + b2 It + µ1t) + µ2t

M=(a0 +a1b0 )/1-a1b1+(a1 b2/1-a1b1 )IT+(u1t+a1 u2t )(1-a1 b1 )

=>Mt= π0 + π1 I + v1t

Forma reducida de Y:Yt = b0 + b1 (a0 + a1 Y + µ1t )+ b2 It + µ2t

Y=( a0 b1+b0 )/1-a1 b1+(b2 /1-a1 b1 )It+(b1u1t +u2t )/(1-a1 b1)

=>Yt= π2 + π3It + v2t

Luego:Mt= π0 + π1It + v1t

Yt= π2 + π3It + v2t

1) La identificación hace referencia a la posibilidad de calcular los parámetros estructurales del modelo de ecuaciones simultaneas a partir de los parámetros de la forma reducida del modelo

2) Si se estiman los parámetros estructurales por el método de mínimos cuadrados ordinarios a partir de la forma estructural del modelo se obtienes estimadores sesgados e inconsistentes

Identificación

Identificación

Parámetros estructurales de la forma estructural del modelo

Parámetros estimados de la Forma reducida del modelo

Posibilidad de calcular los parámetros estructurales a partir de los parámetros dela FR

3) Para determinar la identificación de una ecuación de un modelo de ecuaciones simultaneas hay dos condiciones:

a) Condición de orden b) Condición de Rango

1) La condición de orden, es una condición necesaria (pero no suficiente) para la identificación

2) De acuerdo a esta condición una ecuación de un modelo de ecuaciones simultaneas puede estar:

Exactamente identificada Sobreidentifacada subidentificada

Condición de orden de la identificación

1) Una ecuación del sistema esta exactamente identificada si el numero de variables exógenas excluidas de la ecuación es igual al numero de variables endógenas de la ecuación menos 1

2) Si una ecuación de un sistema esta exactamente identificado)=> se podrá calcular un único valor de los parámetros estructurales a partir de los parámetros de la forma reducida del modelo

Ecuación Exactamente identificada

1) Una ecuación esta sobre identificada cuando el numero de variables exógenas excluidas de la ecuación es mayor que el numero de variables endógenas en la ecuación menos 1

2) Si una ecuación de un sistema esta sobreidentificada => se podrá calcular mas de un valor para los parámetros estructurales de dicha ecuación

Ecuación sobreidentificada

1) Una ecuación de un sistema esta subidentificada si el numero de variables exógenas excluidas de dicha ecuación es menor que el numero de variables endógenas de la ecuación menos 1

2) Si una ecuación de un sistema esa subidentificada => no se podrá calcular ningún valor para los parámetros estructurales de dicha ecuación

Ecuación subdentificada

a) En el sistema:1) Mt = a0 + a1 Y + µ1t

2) Yt = b0 + b1 Mt + b2 It + µ2t

b) Las variables endógenas son: M e Yc) Las variables exógenas son: Id) Identificación de la Ec (1):Numero de variables exógenas excluidas de la Ec(1)=1Numero de variables endógenas en la Ec(1)-1= 2-1 =1=> La Ec(1) del modelo esta exactamente identificada

=> se podrá calcular un único valor de los parámetros (a0 y a1 )

Ejemplo

e) Identificación de la Ec(2)El numero de variables exógenas excluidas de

la Ec(2)= 0El numero de variables endógenas de la Ec(2)

-1 =2-1=1=> La Ec(2) esta subidentificada

Dado el siguiente sistema de ecuaciones simultaneas, determinar la identificación de las ecuaciones:1)Wt= a0 + a1 Pt +a2 Qt + µ1t

2)Pt = b0 + b1 Wt + µ2t

Wt : salario real en el periodo t; Pt: índice de precios Qt: productividad

a) Determinar las variables endógenas y exógenas del modelo

b) Hallar la forma reducida de las ecuacionesc) Determinar la identificación por orden de las

ecuacionesd) ¿Qué significa el tipo de identificación en cada caso?

Otro ejemplo

1) La condición de orden analizada es una condición de necesaria pero no suficiente para la identificación; es decir, aun si esta se cumple, puede suceder que una ecuación no este identificada

2) La condición de rango dice si la ecuación bajo consideración esta identificada o no

3) M= # de variables endógenas del modelo o sistema

Condición de rango de identificación

1) Escríbase el sistema en forma tabular2) Elimínese los coeficientes de la fila en el cual

aparece la ecuación bajo consideración3) Elimínese tambien las columnas que

corresponde aquellos coeficientes del paso 2 que son diferentes de cero

4) Los datos que quedan en la tabla corresponden únicamente a los coeficientes de las variables incluidas en el sistema pero no en la ecuación bajo consideración

Procedimiento para determinar la identificación

5) Con estos datos, fórmese todas las matrices posibles(A) de orden M-1

6) Obténgase los determinantes correspondientes. Si es posible encontrar al menos un determinante diferente de cero, la ecuación esta identificado, en caso contrario la ecuación no esta identificada

7) De acuerdo a la condición de rango: Una ecuación está identificada sólo si se puede

construir por lo menos un determinante diferente de cero de orden (M-1)x(M-1), a partir de los coeficientes de las variables endógenas y exógenas excluidas de esa ecuación, pero incluidas en las demás

1) Sea el sistema siguiente:1) Y1t= B10 + B12 Y2t + B13 Y3t + λ11 X1t +µ1t

2) Y2t= B20 + B23 Y3t + λ21 X1t + λ22 X2t +µ2t

3) Y3t= B30 + B31 Y1t+ λ31 X1t + λ32 X2t +µ3t

4) Y4t= B40 + B41Y1t + B42 Y2t + λ43 X3t +µ4t

Ejemplo

1)Y1t -B10 -0 - B12 Y2t -B13 Y3t - λ11 X1t -0 -0 = µ1t

2) Y2t - B20 - 0 -0 -B23 Y3t - λ21 X1t -λ22 X2t -0 = µ2t

3) Y3t - B30 -B31 Y1t -0 -0 -λ31 X1t - λ32 X2t -0 = µ3t

4) Y4t - B40 -B41Y1t - B42 Y2t -0 -0 -0 -λ43 X3t = µ4t

1 Y1 Y2 Y3 Y4 X1 X2 X3

1234

-B10 1 - B12 -B13 0 -λ11 0 0

-B20 0 1 -B23 0 -λ21 -λ22 0 -B30 -B31 0 1 0 -λ31 -λ32 0-B40 -B41 -B42 0 1 0 0 -λ43

1 Y1 Y2 Y3 Y4 X1 X2 X3

-B10 1 - B12 -B13 0 -λ11 0 0

-B20 0 1 -B23 0 -λ21 -λ22 0

-B30 -B31 0 1 0 -λ31 -λ32 0

-B40 -B41 -B42 0 1 0 0 -λ43

A = 0 -λ22 0 0 -λ32 0 1 0 -λ43

=>| A |= 0

En la practica, para un modelo pequeño es sencillo comprobar ambas condiciones. Para un modelo amplio, con frecuencia solo se comprueba la condición de orden

La identificación de modelos en la practica

Dado el modelo:1) C = a + b ( Y –T)2) T= b + b Y3) Y= C+ I + Ga) Determinar las variables endógenas del modelob) Determinar las variables exógenas del modeloc) Hallar la forma reducida del modelod) Determinar la identificación de las ecuaciones

de acuerdo ala condición de ordene) Determinar la identificación de las ecuaciones

de acuerdo a la condición de rango

OTRO EJEMPLO

Para estimar los modelos de ecuaciones simultaneas existen muchos métodos de estimación , por ahora estudiaremos dos métodos :

El método de mínimos cuadrados indirectos El método de mínimos cuadrados en dos

etapas

Estimación de modelos de ecuaciones simultaneas

Es un método para estimar los valores de los parámetros estructurales para el caso de ecuaciones exactamente identificadas. Para lo cual se procede en la siguiente forma:

Se estiman las ecuaciones de la forma reducida del modelo por el método de mínimos cuadrados (MCO)

Luego en base a los parámetros de la forma reducida se calculan los parámetros estructurales de la ecuación

El método de mínimos cuadrados indirectos

1) Dado el modelo siguiente: 1) Mt = a0 + a1 Y + µ1t

2) Yt = b0 + b1 Mt + b2 It + µ2t

2) La Ec. (1) esta exactamente identificado; la Ec.(2) esta subidentificado => solo la ecuación (1) se puede estimar por el método de MCI

3) La forma reducida del modelo es el siguiente:

Mt=( a0 +a1 b0 )/1-a1 b1 +( a1 b2 /1-a1 b1 )IT + V1t

Yt=( a0 b1+b0 )/1-a1 b1+(b2 /1-a1 b1 )It + V2t

Ejemplo de aplicación

3) =>1)Mt= π0 + π1It + v1t

2)Yt= π2 + π3It + v2t

4) Ecuaciones estimadas de la FR del sistema:1)Mt= 312.0608 + 0.5693 It ; R2=0.67

(2.98) (5.65) 2)Yt= 852.3203+ 5.3522It ; R2= 0.93

(2.17) (14.18)

5) Calculando los parámetros estructurales de la Ec.(1) ( a1 b2 /1-a1 b1 )/ b2 /1-a1 b1 )=a1=

Π1/π3=0.5693/5.3522= 0.1064=> a1 = 0.1064

a0 = π0 – a1π2=

=( a0 +a1 b0 )/(1-a1 b1 )– a1 π2 =

= ( a0 +a1 b0 )/(1-a1 b1 )- a1( a0 b1+b0 )/(1-a1 b1)

= [ a0 +a1 b0 - a1 a0 b1- a1 b0 ]/ 1-a1 b1

= a0 (1- a1 b1) / (1-a1 b1 ) = a0

a0 = π0 – a1π2= 312.0608 – 0.1064(852.3203) = 221.3739

Þ a0 = 221.3739 Þ Luego: 1)Mt= 221.3739 + 0.1064 It

1)Es un método para la estimación de parámetros estructurales consistentes en el caso de ecuaciones sobreidentificados ( tambien se utiliza para estimar las ecuaciones exactamente identificadas)

2) El método de MC2E requiere hacer una regresión de cada variable endógena sobre todas las variables exógenas del sistema y después utilizar los valores previstos o pronosticados de las variables endógenas para estimar las ecuaciones estructurales del modelo

Mínimos cuadrados en dos etapas

1) 1) Mt = a0 + a1 Yt + µ1t

2) Yt = b0 + b1 Mt + b2 It + b3 Gt +µ2t

2) La Ec.(1) esta sobreidentificado, La Ec(2) esta subidentificado

3) Para estimar la Ec(1) : Mt = a0 + a1 Yt + µ1t

4) La ecuación no se puede estimar porque Yt es endógena

5) Por lo tanto Yt debe ser reemplazado por su valor estimado Yest

6) Es decir se debe estimar la ecuación: Mt = a0 + a1 Yest + µ1t

7) Donde Yest es dado por:Yest = c0 + c2 It + c3 Gt +µ2t

Ejemplo de aplicación

8) Entonces para estimar la Ec(1) por el MC2E, se tendrá que estimar primero la Ec(a), luego calcular los valores de Yest en base a esta ecuación estimada y por ultimo estimar la Ec(b)a) Yest = c0 + c2 It + c3 Gt +µ2t

b) Mt = a0 + a1 Yest + µ1t

a)Yest = -1007.5346 + 1.7471 It + 4.5794 Gt ; R2 = 0.99 (-5.71) (6.10) (13.57)

b) Mt = 166.5660 + 0.1153 Yest ; R2 = 0.84

(2.07) (9.19)