55 modelos de ecuaciones diferenciales

ECUACIONES DIFERENCIALES COMO MODELOS MATEMTICOS

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Ecuaciones Diferenciales

Modelos de Sistemas Dinmicos

1. DINMICA POBLACIONAL: Uno de los primeros intento modelar el crecimiento de la

poblacin humana por medio de las matemticas fue realizado en 1708 por el

economista ingls Thomas Malthus. Bsicamente la idea detrs de modelo de Malthus

es la suposicin de que la poblacin total del paso en ese tiempo. En otras palabras,

entre ms personas estn presentes en el tiempo t, habr ms en el futuro. En

trminos matemticos, si P(t) denota la poblacin al tiempo t; entonces esta

suposicin se puede expresar por.

O

Donde es una constante de proporcionalidad. Este modelo simple falla se

consideran muchos otros factores que puedan influir en el crecimiento o

decrecimiento, result, sin embargo bastante til y exacto entre los aos 1790-1860.

2. DECAIMIENTO RADIACTIVO: El ncleo de un tomo est formado por combinaciones

de protones y neutrones. Muchas de esas combinaciones son inestables, esto significa

que los tomos se desintegran o se convierten en tomos de otras sustancias, se dice

que estos ncleos son radiactivos, Por ejemplo, con el tiempo, el Radio ,

intensamente radiactivo, se convierte en el radiactivo gas radn . Para modelar

el fenmeno del decaimiento radiactivo, se supone que la razn con la que los

ncleos de una sustancia se desintegran es proporcional a la cantidad (ms

precisamente, el numero de ncleos) Q(t) de la sustancia que queda al tiempo t.

O

2.1. Velocidad de desintegracin: la velocidad con que se desintegra un radioelemento

vara mucho unos a otros, Se llama periodo de vida media o simplemente vida

media al tiempo en que cierta cantidad de sustancia radiactiva se reduce a la

mitad. Ejemplos de valores de vida media que muestran la variabilidad de las

velocidades de semidesintegracin


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2.1.1. Lista de istopos conocidos: Los periodos de semidesintegracin de cada nclido

se indican segn el color de cada celda. Los bordes coloreados indican los

periodos de semidesintegracin de los ismeros nucleares ms estables.

Periodo de semidesintegracin Ejemplo Gadolinio

145Gd < 1 da

146Gd 110 das

149Gd 10100 das

153Gd 100d10 aos

148Gd 1010,000 aos

150Gd 10k103m aos

152Gd > 700m aos

158Gd Estable


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3. LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON: Esta ley establece que la taza de cambio de la

temperatura T de un cuerpo respecto del tiempo en un instante t den un medio

de temperatura constante A es proporcional a la diferencia entre la temperatura del

medio y la del cuerpo, la ecuacin diferencial que nos da la variacin de temperatura

de un cuerpo viene dada por:

Con K > 0 que es la constante de transferencia de calor.

4. DINAMICA POBLACIONAL II: Un modelo de poblacin mas realista es el modelo

logstico donde se supone que existe una tasa de mortalidad debida a factores

externos.

En general. La constante b es muy pequea comparada con a de modo que si x

no es muy grande, entonces el trmino es insignificante comparado con

sin embargo si x es grande debe tomarse en cuenta ya que disminuye la

tasa de crecimiento.

5. PROPAGACION DE UNA ENFERMEDAD: Una enfermedad contagiosa, por ejemplo un

virus de gripe, se propaga a travs de una comunidad por personas que han estado en

contacto con otra persona enferma. Sea que x(t) denote el nmero de personas que

han contrado la enfermedad y sea y(t) denote el nmero de personas que an no han

sido expuestas al contagio. Es lgico suponer que la razn dx/dt con la que se propaga

la enfermedad es proporcional al nmero de encuentros, o interacciones, entre estos

dos grupos de personas, Si suponemos que el nmero de interacciones es

conjuntamente proporcional a x(t) y y(t), esto es, producto x*y, entonces.

Donde k es la constante usual de proporcionalidad. Suponga que una pequea

comunidad tiene una poblacin fija de n personas. Si se introduce una persona

infectada dentro de esta comunidad, entonces se podra argumentar que x(t) y y(t)

estn relacionadas por x + y = n + 1. Utilizando esta ltima ecuacin para eliminar y

en la ecuacin diferencial se obtiene el modelo.

Una condicin inicial que presenta este modelo es X(0) = 1.


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6. REACCIONES QUMICAS: La desintegracin de una sustancia radiactiva, caracterizada

por la ecuacin diferencial del decaimiento radiactivo, se dice que es una reaccin de

primer orden. En qumica hay algunas reacciones que siguen esta misma ley emprica:

si las molculas de la sustancia A de descomponen y forman molculas ms pequeas,

es natural suponer que la rapidez con que se lleva a cabo esta descomposicin es

proporcional a la cantidad de la primera sustancia que no ha experimentado la

conversin: esto es, si X(t) es la cantidad de la sustancia A que permanece en

cualquier momento, entonces dX/dt = kX, donde k es una constante negativa ya que

X es decreciente.

7. UN CASO PARTICULAR DE UNA REACCION QUMICA: Un ejemplo de una reaccin

qumica de primer orden es la conversin del cloruro de terbutilo, en

alcohol t-butlico :

Slo la concentracin del cloruro de terbutilo controla la rapidez de la reaccin. Pero

en la reaccin.

Se consume una molcula de hidrxido de sodio , por cada molcula de cloruro

de metilo , por lo que de forma una molcula de alcohol metlico, y una

molcula de cloruro de sodio . En este caso, la razn con que avanza la reaccin

es proporcional al producto de las concentraciones de y que quedan.

Para describir en general esta segunda reaccin, supongamos una molcula de una

sustancia A que se combina con una molcula de sustancia B para formar una

molcula de una sustancia C. Si X denota la cantidad de un qumico C formado al

tiempo t y si y son, respectivamente, las cantidades de los dos qumicos A y B en

t=0 (cantidades iniciales), entonces las cantidades instantneas no convertidas de A y B

al qumico C son y , respectivamente. Por lo que la razn de formacin de

C est dada por:

Donde k es una constante de proporcionalidad. Una reaccin cuyo modelo es la

ecuacin dada arriba se dice que es una reaccin de segundo orden.

8. MEZCLAS: Al mezclares dos soluciones salinas de distintas concentraciones surge una

ecuacin diferencial de primer orden, que define la cantidad de sal contenida en la

mezcla.


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8.1 Ejemplo: Supongamos que un tanque mezclador grande inicialmente contiene

300 galones de salmuera (es decir; agua en la que sea disuelto una cantidad de

sal). Otra solucin de salmuera entra al taque con razn de 3 galones por minuto:

la concentracin de sal que entra es 2 libras/galn. Cuando la solucin en el

tanque est bien mezclada, sale con la misma rapidez con que entra. Si A(t) denota

la cantidad de sal (medida en libras) en el tanque al tiempo t, entonces la razn

con la que A(t) cambia es una razn neta.

La razn de entrada con la que entra la sal en el tanque es

el producto de concentracin de entrada de la sal por la razn de

entrada del fluido. Observe que est medida en libras por

minuto:

Ahora; puesto que la solucin sale del tanque con la misma razn con la que entra el nmero

de galones de la salmuera en el tanque al tiempo t es una constante de 300 galones. Por lo

que la concentracin del tanque as como en el flujo de salida es c(t) = A(t)/300lb/gal, `pr lo

que la razn de salida de sal es.

Entonces en la razn neta, ser:


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Si y ( y no es lo mismo que ) denotan las razones

generales de entrada y salida de las soluciones de salmuera, entonces existen tres probabilidades = , > y < . En el anlisis que conduce a la

ecuacin de arriba suponemos que = . En los dos ltimos casos el nmero de

galones de salmuera est ya sea aumentando ( > ) o disminuyendo ( < ) a

la razn neta - .

9. DRENADO DE UN TANQUE: En hidrodinmica, la ley de Torricelly establece que la rapidez v de salida del agua a travs de un agujero de bordes afilados en el fondo de un tanque lleno de agua hasta una profundidad h es igual a la velocidad de un cuerpo (en este caso una gota de agua), que est cayendo libremente desde una

altura h esto es, , donde g es la aceleracin de la gravedad. Esta ltima

expresin surge al igualar la energa cintica, con la energa potencial, mgh, y

despejar v. Suponga que un tanque lleno de agua se vaca a travs de un agujero, bajo la influencia de la gravedad. Considere encontrar la profundidad, h, del agua en el tanque al tiempo t. Considere el tanque que se muestra en la figura. S el rea del

agujero es , (en ) y la rapidez del agua que sale del tanque es (en

pies/s), entonces el volumen de agua que sale del tanque, por segundo es (en

As, si V (t) denota al volumen de agua en el tanque al tiempo t, entonces.

Donde el signo menos indica que V est disminuyendo. Observe

que aqu estamos despreciando que aqu estamos despreciando la

posibilidad de friccin en el agujero, que podr causar una

reduccin de la razn del flujo. Si ahora el tanque es tal que el

volumen del agua al tiempo t se expresa como donde

en ( es el rea constante de la superficie superior del

agua, entonces dV/dt = dh/dt. Sustituyendo esta ltima

expresin en la primera ecuacin diferencial que desebamos para

expresar la altura del agua en el tiempo t:

10.INDUCTOR: Modelo matemtico.


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11.RESISTOR: Modelo matemtico.

12.CIRCUITOS EN SERIE: Consideremos el circuito en serie simple que tiene un inductor,

un resistor y un capacitor que se muestra en la imagen.

En un circuito con el interruptor cerrado, la corriente se

denota por i(t) y la carga en el capacitor al tiempo t se

denota por q(t). Las letras L, R, C son conocidas como

inductancia, resistencia y capacitancia, respectivamente

y en general son constantes. Ahora de acuerdo con la

segunda ley de Kirchhoff, el voltaje aplicado E(t) en un

circuito cerrado debe ser igual a la suma de cadas de

voltaje en el circuito. Las dos anteriores modelos

matemticos son validos (el de inductancia y de

resistencia) y muestran la cada de voltaje respectiva a travs del inductor y la

resistencia y la del capacitor es (1/C)q. Como la corriente i(t) est relacionada con la

carga q(t) en el capacitor mediante i = dq/dt, sumamos los tres voltajes.

Inductor Resistor Capacitor

, y

E igualando la suma de los voltajes con el voltaje aplicado se obtiene la ecuacin diferencial de

segundo orden:

13.CRECIMIENTO DE BACTERIAS: Modelo matemtico.

El crecimiento es proporcional al nmero de bacterias P(t) presentes en el tiempo t


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SISTEMAS MECNICOS DE TRASLACIN

14.MASA: Modelo matemtico.

15.RESORTE: Modelo matemtico.

16.AMORTIGUADOR CON FRICCIN VISCOSA: Modelo matemtico.

SISTEMAS MECNICOS DE ROTACIN

Todas las leyes vistas para el caso del movimiento de traslacin tiene su equivalente en

el movimiento de rotacin, donde las masas M se sustituyen por los momentos de

inercia J, las fuerzas f por los pares giro , la posicin x, por el desplazamiento angular

, la velocidad v, por la angular , y la aceleracin lineal a, por la angular .

17.MASA:


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18.RESORTE:

19.AMORTIGUADOR CON FRICCIN VISCOSA:

SISTEMAS ELECTRICOS:

20.CONDENSADOR.

SISTEMAS HIDRULICOS.

Hidrulica es la aplicacin de la mecnica de fluidos en ingeniera, para construir

dispositivos que funcionan con lquidos, por lo general agua o aceite.

Los sistemas hidrulicos trabajan con el flujo (caudal) y acumulacin de lquidos:


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Q, caudal en

v, volumen en

h, altura en m

p, presin en

Presin manomtrica es la diferencia entre la presin absoluta y la atmosfrica.

ELEMENTOS BSICOS.

21.CAPACITANCIA: Cuando un lquido est almacenado en un depsito abierto por la

parte superior, aparece una relacin entre volumen del lquido almacenado y la

presin ejercida sobre el fondo del depsito.

22.OTRA FORMA DE CAPACITANCIA:

23.INERTANCIA: Cuando un lquido est sometido a aceleraciones dentro una tubera de

longitud L y seccin A, presenta una inercia que se traduce en una prdida de presin.


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24.OTRA FORMA DE INERTANCIA:

25.RESISTENCIA: Cuando un liquido fluye a travs de una tubera, aparece una cada de

presin a lo largo de la tubera. Tambin ocurre cuando el lquido se encuentra con un

orificio pequeo o cuando fluye a travs de una vlvula. La prdida de presin est

relacionada con la prdida de energa debida al rozamiento con las paredes

generando una relacin entre caudal y la presin.

LEYES QUE GOBIERNANA A LOS SISTEMAS HIDRAULICOS.

Permite obtener las tasas de variacin de volumen, nivel o presin en un

sistema a lo largo del tiempo.

26.LEY I:

27.LEY II:


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28.LEY III:

SISTEMAS ELECTROMECNICOS

Circuito equivalente de un motor CC controlado por armadura.

Condiciones.

29.DEFINICN DE LAS CONDICIONES APLICADAS A UNA E.D.

30.DEFINICN DE LAS CONDICIONES APLICADAS A UNA E.D.

32. MODELO MATEMTICO:


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33. MODELO MATEMTICO:

34. MODELO LOGSTICO DE VERHULST.

El modelo logstico fue propuesto por Pierre Franois Verhulst en 1838 para describir la evolucin de una poblacin cuyo crecimiento es exponencial al principio (como en el caso del modelo de Malthus), pero que al cabo de un tiempo aparece la competicin entre los miembros de la poblacin por los recursos existentes, frenando el crecimiento y alcanzando una cota en el nmero de efectivos. Este modelo describe bien poblaciones confinadas en un entorno en el cual el alimento disponible est limitado. Tambin sirve para describir, por ejemplo, el crecimiento en el nmero de clulas de un embrin, que inicialmente es exponencial, pero posteriormente dicho crecimiento se va frenando y alcanza un mximo determinado por el hecho de que el feto est confinado en un espacio fsico limitado. Otro ejemplo al cual se puede aplicar el modelo de Verhulst es en el estudio de una poblacin confinada en un espacio limitado, ya que si bien inicialmente el crecimiento es exponencial, despus se va frenando y alcanza una cota en el nmero de individuos cuando se llega a una densidad mxima permitida por la limitacin fsica del espacio disponible.

Ecuacin logstica Teniendo en cuenta todo lo anterior, la tasa de crecimiento instantnea de este tipo de poblaciones tendr un trmino constante que describir el crecimiento inicial de la poblacin, al igual que sucede en los sistemas malthusianos, y otro trmino negativo que frenar el crecimiento de la poblacin de forma proporcional al nmero de individuos existentes en la poblacin. Por lo tanto, la tasa instantnea de crecimiento se podr escribir de la siguiente forma

As pues, la ecuacin diferencial que describe el modelo de Verhulst, tambin denominada ecuacin logstica ser.

La tasa de crecimiento, r: describe el crecimiento en la fase exponencial. Podemos ver que el primer trmino de la ecuacin diferencial, r*y, define un crecimiento proporcional al nmero de individuos (al igual que sucede en el modelo de Malthus). 2. La capacidad de carga o de persistencia, K: representa el nmero de individuos que puede soportar un entorno sin sufrir un impacto negativo. Se puede ver en la ecuacin que su

segundo trmino , frena el crecimiento y cuando se alcanza un nmero de individuos tal

que y(t) = K, el crecimiento se anula ( ).


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35. MODELO DE GOMPERTZ:

El modelo que vamos a tratar a continuacin fue propuesto por Benjamn Gompertz en 1825 para describir la mortalidad humana en edades adultas y es usado actualmente por muchas compaas de seguros para el clculo de los costes de los seguros de vida. Tambin describe con bastante buena aproximacin el crecimiento de los tumores, que representa un problema de desarrollo de una poblacin en un espacio confinado. La idea fundamental de este modelo se basa en que la tasa instantnea de crecimiento de la poblacin disminuye de forma exponencial con el tiempo, o lo que es lo mismo, la mortalidad crece de forma exponencial con la edad. Teniendo en cuenta lo expuesto en el apartado anterior, dado que la tasa instantnea de crecimiento debe disminuir de forma exponencial con el tiempo, propondremos una ecuacin diferencial de la forma

36. Modelo de von Bertalanffy: El siguiente modelo de inters en Biologa fue desarrollado por Ludwig von Bertalanffy a principios de la segunda mitad del siglo XX para describir el tamao de los individuos de una poblacin de peces en funcin de su edad. En general, describe bastante bien la evolucin de la talla de una poblacin con la edad (a partir de lo cual se puede describir tambin la evolucin de la masa corporal con la edad), de modo que el crecimiento es rpido al principio y posteriormente va disminuyendo dicho crecimiento hasta que cuando

es nulo.

Ludwig von Bertalanffy constat empricamente que si denominamos y(t) a talla de un individuo en funcin de la edad t y k es la talla mxima que alcanzan los individuos de dicha poblacin, se puede ver qu.

Donde t0 es un hipottico tiempo negativo en el cual la talla sera cero. Dicho t0 no tiene ningn significado real. Si denominamos por y (0) - y0 la talla de los individuos al nacer, podemos ver que y, por tanto, reescribir la ecuacin como.

Anlisis del modelo de von Bertalanffy: Con la ecuacin descrita en el modelo anterior, podemos comprobar que la evolucin de la talla en funcin del tiempo se puede describir con la ecuacin diferencial

Lo que nos muestra que el crecimiento, y(t), es grande cuando la talla, y(t), es pequea y que dicho crecimiento se anula cuando se alcanza la talla mxima de los individuos de la poblacin. K. Por lo tanto, la tasa instantnea de crecimiento ser.


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37. Desarrollo de epidemias: Supongamos un modelo sencillo en el que una poblacin de N individuos est sometida a un agente infeccioso (por ejemplo, un virus) con una tasa especfica de contagios . Suponiendo que la poblacin no queda inmunizada, podemos dividirla

entre personas infectadas, I, y personas sanas, S (y, por tanto, susceptibles de enfermar). La ecuacin que rige la propagacin del agente infeccioso ser.

Ya que cuanto mayor sea el nmero de enfermos mayor ser el ritmo de contagio y cuanto mayor sea el nmero de gente sana tambin ser mayor el ritmo de contagio. Como adems se cumple que N=I+S, podemos escribir

As que vemos que el desarrollo de un modelo de epidemia sencillo se puede describir con un modelo logstico en el cual la tasa de crecimiento es r = N y la capacidad de carga o tope

poblacional es K=N. Este modelo se puede complicar aadiendo otras opciones como un nmero de individuos no constante en el tiempo, la existencia de inmunidad, etc., dando lugar a sistemas de ecuaciones diferenciales.

38. FUSIN:

Se considera una esfera de hielo que se derrite a razn proporcional al rea de su superficie. Hallar una expresin para el volumen de la esfera en cualquier unidad de tiempo. 1. Variables: La incgnita del problema: volumen (es funcin del tiempo). Notacin matemtica: V: volumen, t: tiempo, V = V (t): el volumen depende del tiempo, es decir, es funcin del tiempo. 2. Leyes empricas que se pueden aplicar: En los datos: _La esfera se derrite a razn proporcional al rea de su superficie, es decir, el volumen de la esfera vara a razn proporcional al rea de su superficie. La variacin de volumen es la derivada de V con respecto al tiempo:


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39. REACCIONES QUIMICAS II.

En cintica de las reacciones, en lo que se est interesado es en la evolucin de stas con el transcurso del tiempo. Como las velocidades son derivadas con respecto al tiempo, no es de extraar que la cintica de las reacciones se modele mediante ecuaciones diferenciales. Un ejemplo de tales reacciones son las reacciones bimoleculares. Sea la reaccin bimolecular elemental.

En la que dos sustancias (reactantes) se unen para formar una tercera (producto). Hallar una expresin para las distintas concentraciones en cualquier unidad de tiempo. 1. Variables. Las incgnitas son las concentraciones de los reactantes y el producto (son funciones del tiempo): [A]; [B], [P]. 2. Leyes empricas que se pueden aplicar: La velocidad de reaccin depende de la concentracin de los reactantes y quizs del producto. La ley de la velocidad de reaccin es la formulacin de esa dependencia:

Para las reacciones elementales existe un principio bsico, la ley de accin de masas: la velocidad de una reaccin elemental es proporcional al producto de las concentraciones de los reactantes: Velocidad = k[A][B] La ley de accin de masas est basada en la suposicin de que reacciones elementales ocurren cuando las molculas de los reactantes estn en contacto simultneamente. Por tanto, a mayor concentracin, mayor velocidad. El coeficiente k es la constante de la reaccin y se toma siempre positiva. Por ltimo la ley de conservacin: la suma de las concentraciones de los productos y de cualquiera de los reactantes permanece constante a lo largo de la reaccin.


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A0; B0; P0 son las concentraciones iniciales de cada uno de los componentes. 3. Planteamiento de la ecuacin. Igualando velocidades:

40. DINAMICA POBLACIONAL III:

41. PRINCIPALES MODELOS POBLACIONALES. Resumen de los principales modelos poblacionales. Es la poblacin a en todos los modelos. Es el tope poblacional en los modelos de Verhulst, Gompertz y von Bertalanffy.


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42. MODELO LOGSTICO CON RETARDO:

43. SISTEMA DE MASA-RESORTE

El modelo que obtuvimos del sistema masaresorte constituye

Una Ecuacin Diferencial Ordinaria (EDO).

m - y (t) + b - y (t) + k y (t) = F(t)

y (t) es la variable de salida del modelo.

F (t) es la variable de entrada.

El modelo es de segundo orden.

Es un modelo lineal y estacionario.


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44. 2da LEY DE NEWTON:

45. MODELO DE MALTHUS CON RETARDO:


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46. MODELOS CON RETARDO:


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47. CAPACITANCIA DE CARGA PERIDICA:

Es interesante para algunas especies la consideracin, a partir del modelo logstico, de que la capacidad de carga no sea constante en el tiempo, sino que presente un comportamiento peridico debido a las caractersticas del medio en el que est situada la especie en cuestin. De esta manera, una posible ecuacin para describir estas situaciones sera la siguiente:

48. Otros Modelos de Dinmica de Poblaciones La Bacteria Daphnia Magna

En algunas poblaciones los modelos de Malthus y logstico no son capaces de reproducir los resultados observados, incluso en condiciones ptimas y a tiempos muy reducidos. Es el caso, por ejemplo, de la bacteria Daphnia Magna, que aislada y en condiciones favorables, no responde a ninguno de estos modelos. En un conocido trabajo2 de 1963, F.E. Smith resolvi esta situacin proponiendo un nuevo tipo de modelos de la forma siguiente: El razonamiento utilizado consiste en asumir que la cantidad de alimento y el uso del mismo constituyen un factor limitante en el crecimiento de la poblacin. As Smith propuso la ecuacin general:

donde S representa el alimento consumido por la poblacin en el momento de alcanzar su equilibrio y F la proporcin de alimento que es consumido por la poblacin N sobre el alimento total disponible. En una primera posibilidad, se analizo una expresin de F de la forma:

es decir se supuso que la cantidad de alimento consumido es proporcional a la poblacin (alimento destinado al mantenimiento de los N ejemplares de la especie) y tambin proporcional a la velocidad de crecimiento (alimento destinado al esfuerzo reproductor). Tomando S constante y sustituyendo en la ecuacin general se llega (tras simplificar redefinir las constantes3) a la ecuacin:


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49. CLIMATIZACIN EN EDIFICIOS:

50. TASA DE CAPTURAS LINEAL DE N:

El modelo logstico con capturas puede mejorarse si tomamos en cada instante de tiempo una tasa de capturas diferente en funcin del nmero total de individuos, la situacin ms sencilla ser la de considerar una tasa de capturas proporcional a N, tendremos as:

Para algn valor de la constante ". Es fcil observar que esta ecuacin puede re-escribirse como una nueva ecuacin logstica, con diferentes constantes, lgicamente:

51. ELIMINACIO DE DROGAS:


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En muchos casos la cantidad A(t) de cierta droga en el torrente sanguneo, medida por el exceso sobre el nivel natural de la droga, disminuye a una razn proporcional a la cantidad excedente. Es decir:

52. CRECIMIENTO RESTRINGIDO:

La poblacin en general, o un organismo en particular, no crecen indefinidamente. Hay limitaciones como la escasez de alimento, vivienda, espacio, condiciones fsicas intolerables, etc. Supongamos que existe un lmite superior fijo para el tamao de una poblacin, individuo, tejido etc., donde el tamao puede ser: un nmero (cantidad), el volumen, el peso, el dimetro, etc.. Llamamos B al lmite superior de N (t) entonces podemos aproximar N(t) asintticamente a B.

53. MODELO LOGSTICO CON CAPTURAS:

Tasa de capturas constante Una modificacin muy interesante del modelo logstico, y con muchas aplicaciones prcticas, viene dada por la consideracin de una \tasa de capturas" o \cosecha" (o de pesca, caza, etc. segn cada caso). Desde el punto de vista de la ley de conservacin expuesta en el tema anterior, la modificacin del modelo se reduce a considerar una tasa de migraciones que en un principio, como caso ms simple, podemos considerar constante:


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Donde se asume que E > 0 (y tiene unidades de nmero de individuos por unidad de tiempo). Esta ecuacin continua siendo de variables separadas, si bien su integracin es ligeramente ms complicada que la correspondiente al modelo logstico. La solucin general viene dada por la realizacin de las cuadraturas siguientes:

54. CRECIMIENTO DE UNA CELULA:

Comencemos suponiendo que una clula tiene una masa m0 y en un medio ideal crece. De este modo vemos que su masa variar en funcin del tiempo. Esto se expresa de la siguiente manera: m=m(t) Supondremos adems, que los compuestos qumicos pasan rpidamente la pared de la clula, en este caso su crecimiento slo est determinado por la velocidad del metabolismo dentro de la clula. Como el metabolismo depende de la masa de las molculas participantes, podemos pensar que la velocidad de crecimiento es proporcional a la masa en cada instante. Podemos expresar este hecho de la siguiente manera:

a= cte. de proporcionalidad a>0 Esta ecuacin corresponde a la ecuacin de crecimiento (1), sin embargo esta ecuacin tiene una restriccin: m


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Por tanto, la asuncin bsica del modelo de crecimiento exponencial (r constante) se traduce en que las tasas intrnsecas de nacimiento y muertes tienen que permanecer constantes.

BIOGRAFA DE JOHN NAPIER:

John Napier (Neper), barn de Merchiston (Edimburgo, 1550 - 4 de abril de 1617) fue un

matemtico escocs, reconocido por ser el primero en definir los logaritmos. Tambin hizo

comn el uso del punto decimal en las operaciones aritmticas.

Naci en el ao 1550 en el castillo de Merchiston (Edimburgo). A los trece aos, en 1563 comenz sus estudios en la Universidad de Saint-Andrews, de la que sali aos ms tarde para viajar por el continente europeo.

De regreso a Merchiston en 1571 contrajo matrimonio al ao siguiente, administrando a partir de entonces los bienes de la familia por encargo de su padre, al tiempo que continuaba sus estudios de matemticas y teologa.

A pesar de haber pasado a la posteridad por sus contribuciones en el campo de las matemticas, para Napier era sta una actividad de distraccin siendo su preocupacin fundamental la exgesis del Apocalipsis, a la que se consagr desde su estancia en el colegio. Fruto de esta labor fue su publicacin Descubrimientos de todos los secretos del Apocalipsis de San Juan, por dos tratados: uno que busca y prueba la verdadera interpretacin, y otro que aplica al texto esta interpretacin parafrsticamente e histricamente. La originalidad de su estudio es la aplicacin del formalismo matemtico en la argumentacin, de modo que admitiendo ciertos postulados, llega a demostrar sus proposiciones. Entre ellas, Napier predijo el fin del mundo para los aos 1668 a 1700. [cita requerida]

En 1614 Napier publica su obra Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio, ejusque usus in utroque Trigonometra; ut etiam in omni logstica mathematica, amplissimi, facillimi, et expeditissimi explicatio, en la que da a conocer los logaritmos que l llam nmeros artificiales.

Merced a estos nmeros las multiplicaciones pueden sustituirse por sumas, las divisiones por restas, las potencias por productos y las races por divisiones, lo que no slo simplific enormemente la realizacin manual de los clculos matemticos, sino que permiti realizar otros que sin su invencin no hubieran sido posibles.


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En 1617 apareci su obra Rabdologi seu numerationis per virgulas libri duo: cum appendice expeditissimo multiplicationis promptuario, quibus accesit et arithmetic localis liber unus, en la que describe el baco neperiano.

Una cita de Pierre-Simon Laplace hace mencin y honor al descubrimiento y aplicacin de los logaritmos por Napier:

Con la reduccin del trabajo de varios meses de clculo a unos pocos das, el invento de los logaritmos parece haber duplicado la vida de los astrnomos.

55 modelos de ecuaciones diferenciales

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