MODELOS DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS

LUIS MIGUEL GALINDO

INTRODUCCIÓN

IDENTIFICACIÓN

Problema de identificación: Pueden existir varias estructuras que generan la misma forma reducida o que dan pie a la observación del mismo conjunto de datos. Esto es, existe un conjunto de parámetros estructurales que generan la misma forma reducida o las mismas observaciones

El problema de la identificación se resuelve cuando una sola hipótesis o estructura es consistente con los datos y la teoría

Formulación inversa: Un conjunto de datos permite formular diversas hipótesis. Estas hipótesis se reducen utilizando ceros

Problema de identificación: ¿los valores numéricos de los parámetros estructurales se pueden desprender de la forma reducida?

Estructura admisible con respecto a los datos es el conjunto de estructuras que son compatibles con respecto a los datos observados

Una ecuación es compatible con respecto a los datos en el caso en que los datos y los valores obtenidos por la ecuación en forma reducida satisfagan exactamente a la ecuación

Estructura admisible con respecto al modelo cunado satisface las restricciones impuestas por la teoría económica

Una estructura esta identificada si existe únicamente una estructura que sea admisible respecto a los datos y al modelo.

Existe un solo conjunto de valores numéricos de los parámetros estructurales que corresponden a la forma reducida dada por los datos y que satisfacen las restricciones impuestas por el modelo

En algunos casos los parámetros de la forma estructural no pueden obtenerse de la forma reducida

La identificación no es un problema de estimación sin de obtener estimadores con significado económico en los parámetros estructurales

La identificación revisa si cualquier combinación lineal de las ecuaciones estructurales contiene exactamente las mismas variables que la ecuación estructural

La ecuación esta exactamente identificada cuando los parámetros de la forma estructural están determinados únicamente

La ecuación no esta identificada implica que el modelo no puede estimarse

Ejemplo 1: Modelo de oferta y demanda

(1) D: Qt = 0 + 1Pt 1 < 0

(2) O: Qt = 0 + 1Pt 1 > 0

Ambas ecuaciones estructurales tienen la misma forma reducida

Multiplicando por (3/5) a (1) y por (2/5) a (2) y sumando se obtiene:

(3)

Multiplicando por (1/3) a (1) y por (2/3) a (2):

(4)

tt PQD5

23

5

23:' 1100

tt PQO3

2

3

2:' 1100

En el uso donde se cumple las restricciones que:

Las ecuaciones (1) y (2) no están identificadas ya que tienen la

misma forma reducida ya que las ecuaciones derivadas se

obtuvieron de una combinación lineal de (1) y (2)

Los datos y las restricciones del modelo también son satisfechas

por O’ y D’

Ejemplo 2: Modelo de oferta y demanda ampliado

(1) D: qt = 0 + 1Pt + 2Yt

(2) O: qt = 0 + 1Pt + 2Wt

Variables endógenas: Pt y qt

Forma reducida:

(3) Pt = 11 + 12Yt + 13Wt

(4) qt = 21 + 22Yt + 23Wt

Los coeficientes de la forma reducida:

12

221

11

3122

11

312

11

3123

11

1222

11

011021

11

313

11

212

11

0011

:

como

Los parámetros estructurales son:

Las ecuaciones están identificadas.

En otro caso existen infinitos valores de las ’s.

11

2112222

11

21110

11

21200

12

2211212

12

22110

12

22200

,,

,,

Una ecuación estructural esta identificada si existen valores únicos de sus parámetros que corresponden a la forma reducida dada y que satisfacen además las restricciones impuestas a priori

Una ecuación no esta identificada en el caso donde las

combinaciones lineales de las ecuaciones estructurales contienen

exactamente las mismas variables que la ecuación estructural

La combinación lineal implica que no agrega información y por tanto

existen menos ecuaciones que variables endógenas

Ejemplo 3: Modelo de oferta y demanda de dos bienes

(1) D1: q1t = 0 + 1P1t + 2P2t + 3Yt

(2) Si q1t = 0 + 1P1t + 4Wt

(3) D2: O = (0 - q2t) + 1P1t + 2P2t + 3Yt

Variables endógenas: q1t, P1t, P2t

Variables exógenas: Yt, Wt

La ecuación (2) está identificada si no existe ninguna combinación lineal de las otras ecuaciones que excluya simultáneamente a P2t, Yt.

¿Se puede eliminar P2t utilizando las ecuaciones (1) y (3)?Multiplicando a (1) por 2 y a (3) por 2 y restando (D1 – D2):Para eliminar Yt se multiplica (1) por 3 y a (3) por 3 y se restan.

Para hacer el proceso simultáneo se requiere que los coeficientes sean los mismos:

La ecuación (1) no está identificada:

Condición de orden: Un modelo con ecuaciones requiere para identificar una ecuación que excluya al menos - 1 variables - 1 = 3 – 1 = 2 excluye Wt y q1t

0

0:

0

32

32

2332

23323

3

2

2

Condición

CONDICIONES DE ORDEN Y DE RANGO

Condición de orden:

Ecuación exactamente identificada: En un modelo de G ecuaciones lineales entonces una ecuación esta identificada cuando faltan al menos G-1 de las variables incluidas del modelo

Ecuación sobreidentificada: Faltan más de G-1 variables incluidas en el modelo

Ecuación no identifica: No se excluyen al menos G-1 variables que están en el modelo

La condición de orden (o de conteo) es necesaria pero no suficiente

La condición de orden asegura que existe al menos una solución pero no asegura que la solución es única

Condición de rango: en un modelo lineal de G ecuaciones entonces

una ecuación esta identificada si y solo si existe al menos una

matriz de dimensión (G-1)X(G-1) no singular que esta contenida en

la matriz de coeficientes correspondientes a las variables

eliminadas de la ecuación cuya posible identificabilidad se está

estudiando y que aparecen en las otras ecuaciones del modelo

Ejemplo 4: Modelo de oferta y demanda de bienes ampliado

(1) D1: q1t = 0 + 1P1t + 2P2t + 3Yt

(2) Si q1t = 0 + 1P1t + 4Wt

(3) D2: q2t = 0 + 1P1t + 2P2t + 3Yt

(4) Si q2t = 0 + 2P2t

Variables endógenas: q1t, q2t, P1t, P2t

Variables exógenas: Yt, Wt q1t q2t 1 P1t P2t Yt Wt

D1 1 0 0 1 2 3 0 S1 1 0 0 1 0 0 4 D2 0 1 0 1 2 3 0 S2 0 1 0 0 2 0 0

Ecuación Número de ceros Condición de orden D1 2 No identificada S1 3 Justamente identificada D2 2 No identificada S2 4 Sobre identificada

- 1 = 4 – 1 = 3

Las ecuaciones (1) y (3) no pueden tener condición de rango

Condición de rango de la ecuación (2):

Excluyendo (q2t, P2t, Yt):

Determinante: 23 + 3(2 - 2) 0

01

1

0

2

32

32

Condición de rango para la ecuación (4):

0 (determinante 3x3)

0

0

0

01

1

4

31

1

31

Identidades (2 métodos):

1. Sustituir en las ecuaciones del sistema (reduciendo el número de

ecuaciones y variables)

2. Dejar las identidades. No tienen problema de identificación

porque los parámetros satisfacen las restricciones. Se incluyen en

la cuenta de G ecuaciones al contar le número de ecuaciones y

variables

Condición de orden equivalente:

H = variables endógenas

G – H = Variables endógenas que han sido eliminadas de la ecuación respectiva

J = variables predeterminadas

K – J = Variables predeterminadas eliminadas del modelo

Condición de orden: El número de variables eliminadas debe ser al menos igual que el número de ecuaciones menos una:

(G - H) + (K - J) >= G - 1

Simplificación: el número de variables predeterminadas que han sido eliminadas de la ecuación es mayor o igual que el número de variables endógenas que quedan en la ecuación menos una K – J >= H - 1

No se necesita G

Variables instrumentales

Identificación en forma reducida

Ejercicios:

Pindyck pp. 329Johnston pp. 608Griffits pp. 610Wooldrige pp. 485.

PRUEBA DE ENDOGENEIDAD

Los estimadores en dos etapas son menos eficientes que los MCO

cuando las variables explicativas son exógenas (Los MC2E

pueden tener errores estándar muy grandes)

Y1t = 0 + 1Y2t + 2Z1t + 3Z2t + ut

Z1t, Z2t son exógenas

Hausman (1978): Estimar por MCO y MC2E y comparar

Diferentes Y2t es endógena

Estimar:

Y2t = 0 + 1Z1t + 2Z2t + 3Z3t + 4Z4t + v2t

Regresión:

Y1t = 0 + 1Y2t + 2Z1t + 3Z2t + v2t + et

Rechazo de Ho Y2t es endógena

Prueba de restricciones sobre identificadas:

(1) Estimar la ecuación estructural por MCO y obtener los residuos

de MC2E

(2) Regresión de sobre las variables exógenas

(3) R21 2q, donde q es el número de VI fuera del modelo menos

el número total de variables explicativas endógenas

Rechazo de Ho al menos alguna de las VI no es exógena

Ejercicio 1: Modelo macroeconómico

(1)Ct = 1 + 2Yt + 3rt + u1t

(2) It = 1 + 2rt + 3Yt + u2t

(3) rt = 1 + 2It + 3Mt + u3t

(4) Yt = Ct + It + t

1. Determinar las condiciones de identificación de las ecuaciones

2. Qué procedimiento de estimación se puede utilizar con las ecuaciones identificadas

Solución:

Variables endógenas = 4

Variables predeterminadas = 2

Condición de orden: - 1 = 4 – 1 = 3

Se requiere excluir a 3 o más variables

Puede estimarse por mínimos cuadrados indirectos

Ct It rt Yt 1 Mt t (1) -1 0 3 2 1 0 0 (2) 0 -1 2 3 1 0 0 (3) 0 2 -1 0 1 3 0 (4) -1 -1 0 -1 0 0 1

Ecuación Número de ceros Condición de orden

(1) 3 Exactamente identificada

(2) 3 Exactamente identificada

(3) 3 Exactamente identificada

(4) Identidad

Ejercicio 2: Modelo econométrico

(1) Ct = 11 + 12Yt + e1t

(2) It = 12 + 22rt + e2t

(3) Yt = Ct + It + t

Variables endógenas: Ct, It, Yt

Variables exógenas: t, rt

1. Identifique los signos esperados de los coeficientes

2. Derive algebraicamente la forma reducida

3. Determine las condiciones de orden de identificación del modelo

Solución:

1.

(1) 11 > 0 12 > 0

(2) 21 > 0 22 < 0

2. Ct = (Ct + It + t) + 11 + e1t

Ct - 12Ct = 12It + 12t + 11 + e1t

12

12

12

12

12

12

12

2212

12

1112

12

1

12

11

12

1222121

12

12

12

1

12

11

12

12

12

12

11111

111)(

1

1111

ttttt

ttttt

tttt

eerC

eerC

eIC

Ct It Yt 1 rt t (1) -1 0 12 11 0 0 (2) 0 -1 0 21 22 0

Condición de orden: - 1 = 3 – 1 = 2

Las ecuaciones están exactamente identificadas

MODELOS DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS

LUIS MIGUEL GALINDO