sistemas especiales de ecuaciones lineales simultÁneas

SELS: Sistemas de Ecuaciones Lineales Simultáneas // Problemas propuestos Ing. William Alvarez-Montoya http://xue.unalmed.edu.co/~walvarem [email protected]

Problemas propuestos para solucionar Sistemas de Ecuaciones Lineales Simultáneas

Sis

tem

as

de

Ec

ua

cio

ne

s L

ine

ale

s S

imu

ltá

ne

as

2007

1

FFIIGGUURRAA 22. Ejemplo de diseño para el Form1 que está enlazado con el MDIForm1, mostrado en la figura 1.

PPRROOBBLLEEMMAASS PPRROOPPUUEESSTTOOSS –– EECCUUAACCIIOONNEESS LLIINNEEAALLEESS SSIIMMUULLTTÁÁNNEEAASS LLIINNEEAAMMIIEENNTTOOSS GGEENNEERRAALLEESS Para cada uno de los problemas que se listan en esta sección se han de efectuar las siguientes tareas: • Entender cabalmente cada problema planteado. Definir claramente las constantes y variables pertinentes, especificando la

matriz de coeficientes tecnológicos, A(), el vector de restricciones o capacidades (términos .independientes), B(), y el vector solución, X().

• Elaborar la formulación de un Sistema de Ecuaciones Lineales Simultáneas (SELS), especificando el conjunto de N

ecuaciones con N incógnitas, tanto en forma explícita como en forma implícita es decir con las fórmulas del caso.

• Aplicar los métodos de solución: Gauss, Gaus-Jordan, Jacobi, Gaus-Seidel.

• Elaborar un proyecto Visual Basic que contenga un formulario MDI, uno o más formularios simples, un módulo de programas; y en formulario MDIFORM1 se ha de diseñar un menú tipo barra como el que se ejemplifica en la figura 1 mostrada a continuación:

Y en un formulario Form1, por ejemplo, se debe diseñar un control tipo cajatexto (TextBox) en el cual se han de mostrar los resultados de la lectura de datos, de las transformaciones intermedias (como la matriz escalonada, o la matriz ampliada, etc.), y el vector solución debidamente documentado en cada uno de sus componentes. En la figura 2 se ilustra un diseño del Form1.

FFIIGGUURRAA 11. Ejemplo de un menú tipo barra, en una interfaz que contiene un formulario tipo MDI. La imagen de fondo se ha puesto con la propiedad Picture del formulario MDI.



Sis

tem

as

de

Ec

ua

cio

ne

s L

ine

ale

s S

imu

ltá

ne

as

2007

2

En la lista de problemas que sigue, se hará la solución de completa de uno de los problemas a modo de ejemplo1. 1. AASSIIGGNNAACCIIÓÓNN DDEE RREECCUURRSSOOSS. En una empresa se producen 10 tipos diferentes de productos (1 a 10). Cada producto requiere

ciertas cantidades de insumos; y cada insumo tiene ciertas restricciones de capacidad (disponibilidad y/o almacenaje) o de costos. En la tabla 1 se ilustra la disposición de los datos para cada producto e insumo. Determinar cuántas unidades de cada producto se puede fabricar para cumplir las restricciones de insumos.

TTAABBLLAA 11. Datos de los productos e insumos para el problema 1.

Unidades de cada insumo necesarias en la fabricación de cada producto Productos

Producto

1

Producto

2

Producto

3

Producto

4

Producto

5

Producto

6

Producto

7

Producto

8

Producto

9

Producto

10

Restricciones de los insumos

((BB((II)))) IINNSSUUMMOOSS

1 70.55 53.34 57.95 28.96 30.19 77.47 1.4 76.07 81.45 70.9 45352.76 2 41.4 86.26 79.05 37.35 96.2 87.14 5.62 94.96 36.4 52.49 767111.7 3 5.35 59.35 46.87 29.82 62.27 64.78 26.38 27.93 82.98 82.46 589163.0 4 98.61 91.1 22.69 69.51 98.0 24.39 53.39 10.64 99.94 67.62 15703.92 5 57.52 10.01 10.30 79.89 28.45 4.56 29.58 38.20 30.10 94.86 979829.40 6 40.14 27.83 16.04 16.28 64.66 41.01 41.28 71.27 32.62 63.32 207561.10 7 18.60 58.34 8.07 45.80 90.57 26.14 78.52 37.89 28.97 91.94 631742.40 8 62.76 42.85 9.80 56.10 69.45 91.37 83.48 2.26 54.34 91.62 430261.10 9 67.79 50.25 51.37 46.30 35.35 40.48 26.97 5.56 24.38 97.91 60916.24 10 39.03 36.50 48.99 15.57 47.45 25.73 62.88 54.21 15.63 93.85 654499.40

UUNNAA SSOOLLUUCCIIÓÓNN:: UUNN MMOODDEELLOO DDEE EECCUUAACCIIOONNEESS LLIINNEEAALLEESS SSIIMMUULLTTÁÁNNEEAASS • DDEEFFIINNIICCIIÓÓNN DDEE VVAARRIIAABBLLEESSYY CCOONNSSTTAANNTTEESS. Las variables y constantes a utilizar son la siguientes: N = 10, es el número de

productos y de insumos, y se corresponde con el número de ecuaciones y de incógnitas; número de filas y número de columnas de la matriz de coeficientes, A(); número de elementos del vector de términos independientes, B(); número de elementos del vector solución, X(). Además, Xi con i = 1,2, … ,N, son las cantidades a fabricar de cada producto, conformando el vector solución, X(); Aij con i = 1,2, .., N, y j = 1,2,..,N, son los valores de la matriz de coeficientes tecnológicos (las unidades requeridas de cada insumo para cada producto), que constituyen la matriz de coeficientes A(); Bi con i = 1,2,…,N, son las cantidades de restricciones de insumo para cada producto, conformando el vector de términos independientes, B(). La figura 2(a) muestra la matriz A() en términos de los datos de la tabla 1, la figura 2(b) los elementos del vector B().

1 Para una descripción - más detallada- de los elementos teóricos de los SELS, véase los documentos que se accesan con las respectivas opciones SELS

GENERAL y SELS ESPECIALES en la página web http://xue.unalmed.edu.co/~walvarem.

Estos son los coeficientes tecnológicos (o técnicos) que conforman la matriz A()

70.55 53.34 57.95 28.96 30.19 77.47 1.4 76.07 81.45 70.9 41.4 86.26 79.05 37.35 96.2 87.14 5.62 94.96 36.4 52.49 5.35 59.35 46.87 29.82 62.27 64.78 26.38 27.93 82.98 82.46 98.61 91.1 22.69 69.51 98.0 24.39 53.39 10.64 99.94 67.62 57.52 10.01 10.30 79.89 28.45 4.56 29.58 38.20 30.10 94.86 40.14 27.83 16.04 16.28 64.66 41.01 41.28 71.27 32.62 63.32 18.60 58.34 8.07 45.80 90.57 26.14 78.52 37.89 28.97 91.94 62.76 42.85 9.80 56.10 69.45 91.37 83.48 2.26 54.34 91.62 67.79 50.25 51.37 46.30 35.35 40.48 26.97 5.56 24.38 97.91 39.03 36.50 48.99 15.57 47.45 25.73 62.88 54.21 15.63 93.85

AA(()) ==

(a) (b) 45352.76 767111.7 589163.0 15703.92

979829.40 207561.10 631742.40 430261.10 60916.24

654499.40

BB(()) ==

FFIIGGUURRAA 33. La matriz de coeficientes, A(), y el vector de términos independientes, B(), en relación a los datos del problema 1, presentados en la tabla 1.



Sis

tem

as

de

Ec

ua

cio

ne

s L

ine

ale

s S

imu

ltá

ne

as

2007

3

• SSIISSTTEEMMAA DDEE EECCUUAACCIIOONNEESS LLIINNEEAALLEESS SSIIMMUULLTTÁÁNNEEAASS. Matricialmente, el Sistema de Ecuaciones Lineales Simultáneas (SELS) se

expresa como AX = b. Para el insumo 1, la cantidad necesaria para X1 unidades del producto 1 es A11X1; la cantidad necesaria para X2 unidades del producto 2 es A12X2; y así sucesivamente, la cantidad necesaria para Xn unidades del producto N es A1nXn; ahora, el cumplimiento de las restricciones de insumos implica que la suma de dichas cantidades sea igual a la restricción del insumo 1, cuya expresión algebráica es así: A11X1+ A12X2 +… + A1jXj + A1nXn = B(1) ≡ 45352.76 (ecuación 1), es decir que: 70.55X1 +53.34X2 +57.95X3 +28.96X4 +30.19X5 +77.47X6 +1.4X7 +76.07X8 +81.45X9 +70.9X10 = 45352.76. En forma resumida, la fórmula para esta ecuación lineal es la mostrada en la ecuación 2 siguiente:

Igual análisis se puede hacer para el resto de las restricciones de insumos, llegándose al SELS ilustrado en la figura 4.

• SSOOLLUUCCIIÓÓNN PPOORR EELL MMÉÉTTOODDOO DDEE GGAAUUSSSS. El Método de Gauss tiene dos fases claramente definidas. La primera fase del Método de

Gauss transforma la matriz de coeficientes técnicos, A(), en una matriz triangular superior; es decir, con ceros por debajo de la diagonal principal. La segunda fase calcula los elementos del vector solución, X(), empezando con el último, Xn; es decir, efectúa un proceso de sustitución regresiva. La figura 5 presenta los procedimientos básicos de estas dos fases.

11

1 BxAN

jjj =∑

=(ecuación 2)

70.55X1 +53.34X2 +57.95X3 +28.96X4 +30.19X5 +77.47X6 +1.4X7 +76.07X8 +81.45X9 +70.9X10 = 45352.76 41.4X1 +86.26X2 +79.05X3 +37.35X4 +96.2X5 +87.14X6 +5.62X7 + 94.96X8 +36.4X9 + 52.49X10 = 767111.70 5.35X1 +59.25X2 +46.87X3 +29.82X4 +62.27X5 +64.78X6 +26.38 X7 +27.93X8 + 82.98X9 +82.46X10 = 589163 98.61X1 +91.1X2 +22.69X3 +69.51X4 +98.0X5 +24.39X6 + 53.39X7 +10.64X8 +99.94X9 + 67.62X10 = 15703.92 57.52X1 +10.01X2 +10.3X3 +79.89X4 +28.45X5 +4.56X6 +29.58X7 +38.2X8 +30.1X9 +94.86X10 = 979829.4 40.14X1 +27.83X2 +16.04X3 +16.28X4 +64.66X5 +41.01X6 +41.28X7 +71.27X8 +32.62X9 +63.32X10 = 207561.1 18.6X1 +58.34X2 +8.07X3 +45.8X4 +90.57X5 +26.14X6 +78.52X7 +37.89X8 +28.97X9 +91.94X10 = 631742.4 62.76X1 +42.85X2 +9.8X3 +56.1X4 +69.45 X5 +91.37X6 +83.48X7 +2.26X8 +54.34X9 +91.62X10 = 430261.1 67.79X1 +50.25X2 +51.37X3 +46.3 X4 +35.35X5 +40.48X6 +26.97X7 +5.56X8 +24.38X9 +97.91X10 = 60916.24 39.03X1 +36.5X2 +48.99X3 +15.57X4 +47.45X5 +25.73X6 +62.88X7 +54.21X8 +15.63X9 +93.85X10 = 654499.4

FFIIGGUURRAA 44. Sistema de ecuaciones lineales simultáneas para el problema 1, cuyos datos se presentan en la tabla 1.

Private Sub mnu_ESCALONAR_Click() For k = 1 To N - 1 For i = k + 1 To N FACTOR = A(i, k) / A(k, k) For j = k To N A(i, j) = A(i, j) - FACTOR * A(k, j) Next j B(i) = B(i) - FACTOR * B(k) Next i Next k Form1.Text1 = Form1.Text1 & vbCrLf & String(70, "_") & vbCrLf & "MATRIZ ESCALONADA" & vbCrLf & _ String(70, "_") & vbCrLf For i = 1 To N For j = 1 To N Form1.Text1 = Form1.Text1 & Format(A(i, j), "0#.0#") & vbTab Next j Form1.Text1 = Form1.Text1 & B(i) & vbCrLf Next i Form1.Text1 = Form1.Text1 & vbCrLf & String(70, "_") & vbCrLf End Sub

(a) Private Sub mnu_SUSTITUIR_Click() ReDim X(N) Dim SUMA As Single X(N) = B(N) / A(N, N) For i = N - 1 To 1 Step -1 SUMA = 0# For j = i + 1 To N SUMA = SUMA + A(i, j) * X(j) Next j X(i) = (B(i) - SUMA) / A(i, i) Next i Form1.Text1 = Form1.Text1 & vbCrLf & "VECTOR SOLUCIÓN: " & vbCrLf & String(70, "_") & vbCrLf For i = 1 To N Form1.Text1 = Form1.Text1 & " X(" & i & ") = " & X(i) & vbCrLf Next i Form1.Text1 = Form1.Text1 & vbCrLf & String(70, "_") & vbCrLf End Sub

(b)

FFIIGGUURRAA 55. (a) - Algoritmo para escalonar la matriz de coeficientes y transformar el vector B(i); (b) – Algoritmo para la sustitución regresiva, que permite obtener los elementos del vector solución, X().



Sis

tem

as

de

Ec

ua

cio

ne

s L

ine

ale

s S

imu

ltá

ne

as

2007

4

La figura 6 presenta el resultado de la lectura de los datos, desde un archivo cuyos registros contienen tanto loe elementos de la matriz de coeficientes y del vector de términos independientes. En la figura 7 se muestra el resultado de escalonar la matriz de coeficientes, transformándola en una matriz diagonal superior; y el cálculo de los elementos del vector solución, X().

FFIIGGUURRAA 66. El archivo de datos se lee transfiriendo su contenido en los arreglos A() y B() que se muestran en la cajatexto Text1 del formulario Form1. En cada línea del archivo, y de esta visualización, se tienen los N elementos de cada fila de A() y un elemento adicional que corresponde al B(i).

FFIIGGUURRAA 77. Resultados de los algoritmos de la figura 5, que procesan los datos mostrados en la figura 6..



Sis

tem

as

de

Ec

ua

cio

ne

s L

ine

ale

s S

imu

ltá

ne

as

2007

5

Los valores negativos X(1), X(2), X(6) y X(10), mostrados en la figura 7, podrían interpretarse –desde el punto de vista práctico- que de estos productos no debe fabricarse ninguna unidad, puesto que en la función de ganancias (operacionales o netas) dichos productos tendrían un efecto negativo; sin embargo, en la práctica sería conveniente producir algo de estos productos con el fín de satisfacer algún mercado cautivo marginal. • LLAASS FFÓÓRRMMUULLAASS DDEELL MMÉÉTTOODDOO DDEE GGAAUUSSSS.. La estandarización del Método de Gauss (o de Eliminación Gaussiana), en la fase de

escalonar la matriz de coeficientes, implica la utilización de las siguientes fórmulas visualizadas en la figura 8. En la figura 9 se presenta un esquema del sistema transformado, en el cual la matriz de coeficientes se ha convertido en una matriz triangular superior. Las fórmulas para obtener, a partir de este sistema transformado, los elementos del vector X(), se presentan en la figura 10. Los coeficientes aij y bi son los transformados.

(b)

(c) (a)

FFIIGGUURRAA 88. Fórmulas para la fase de escalonar la matriz de coeficientes en el Método de Gauss. (a) – Transformación de cada elemento aij; (b) – rango de los subíndice utilizados: el subíndice k recorre las columnas de la matriz A(), el subíndice i recorre las filas, y el subíndice j recorre cada fila que se transforma; (c) – transformación de los elementos del vector de términos independientes.

Figura 9. Esquema general del Sistema de Ecuaciones Lineales Simultáneas transformado.

nn

nn a

bX = 1,...,2,1,11

−−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= ∑

+=

nniXaba

Xn

ijjiji

iii

(a) (b)

FFIIGGUURRAA 1100. Fórmulas para la fase de sustitución del Método de Gauss. (a) – Cálculo de Xn; (b) – Cálculo de los elementos Xn-1, Xn-2, …, X1.



Sis

tem

as

de

Ec

ua

cio

ne

s L

ine

ale

s S

imu

ltá

ne

as

2007

6

2. CCOOSSTTOOSS DDEE OOPPEERRAACCIIÓÓNN. Una empresa ha sido contratada para realizar seis trabajos especializados. Estos trabajos se pueden realizar en seis de sus plantas manufactureras. Debido a la magnitud y complejidad de los trabajos no es posible asignar más de dos o tres trabajos a una misma planta particular. Así mismo, el segundo trabajo no se puede asignar a la tercera planta. A continuación se dan los costos estimados, en millones de pesos, para efectuar los trabajos en las distintas plantas, en la tabla presentada, en la cual también se presentan las restricciones de capital disponible, en millones de pesos, en cada planta. Hallar una asignación de los trabajos a las plantas; y el costo total respectivo.

Trabajo Planta

1 2 3 4 5 6 1 $50 $55 $42 $57 $48 $52 2 66 70 ------ 68 74 63 3 29 68 72 80 85 78

4 40 62 38 45 46 42 5 39 55 62 62 56 65 6 55 49 66 69 47 44

Restricciones de capital

145 187 176 199 159 164

3. MMAATTEERRIIAALLEESS YY GGAANNAANNCCIIAASS DDEE PPRROODDUUCCCCIIÓÓNN. La compañía PQR tiene cinco centros de producción, especializado cada uno en un

producto diferente. Cada producto requiere ciertas unidades de varios tipos de materiales, como se ilustra en la tabla siguiente. También se presenta en dicha tabla, las ganancias unitarias de cada producto, y las disponibilidades de cada tipo de material.

Producto

Unidades de cada tipo de material

Ganancia unitaria

(miles de $) Material tipo 1

Material tipo 2

Material tipo 3

Material tipo 4

Material tipo 5

1 60 70 50 25 35 150 2 40 55 47 36 28 230 3 35 45 55 60 57 125 4 55 50 40 28 30 170 5 50 60 70 35 65 215

Disponibilidades de material

34850 41550 40050 18400 32950

Hallar un mezcla de producción, es decir cuáles cantidades de cada producto se fabrican, y cuál es la ganancia obtenida.

4. CCOOSSTTOOSS DDEE PPRROODDUUCCCCIIÓÓNN GGAANNAADDEERRAA.. En una empresa ganadera se ha determinado que cada res requiere en su dieta las

unidades de nutrientes que aparecen en la tabla siguiente. Igualmente, se muestran en dicha tabla las unidades de cada nutriente en una unidad de de alimento, y los costos por unidad de los alimentos.

Unidades de cada nutriente en cada unidad de alimento Costos

unitarios de alimentos

Alimento A B C D E F G

1 0.50 1.25 3.50 1.10 2.35 3.50 1.37 $4400.0 2 1.50 0.75 2.25 3.40 2.75 3.10 4.50 5500.0 3 2.10 1.50 1.78 2.37 2.15 1.80 2.15 4500.0 4 3.40 2.95 3.45 3.18 1.95 2.75 3.25 4750.0 5 1.80 1.15 1.25 1.65 1.37 1.85 1.92 4100.0 6 3.20 3.10 2.80 3.05 2.92 2.97 3.10 5750.0 7 2.80 2.95 2.15 2.75 2.25 2.15 3.40 4915.0

Requerimientos De nutrientes

13120.0 11305.0 14834.0 14339.0 14879.875 15423.0 15879.5



Sis

tem

as

de

Ec

ua

cio

ne

s L

ine

ale

s S

imu

ltá

ne

as

2007

7

5. EEMMPPRREESSAA MMAANNUUFFAACCTTUURREERRAA.. En una empresa manufacturera se tienen muchos tipos de materiales que se emplean en la fabricación de muchos productos como se observa en la tabla adjunta, en la cual se detallan las unidades de cada material utilizadas en la fabricación de cada producto. También se relaciona las disponibilidades de cada material y la ganancia unitaria de cada producto. Determinar una mezcla de producción y su ganancia respectiva (en miles de pesos).

Ma te rial

Unidades de material utilizadas en cada producto

Disponibilidades de cada material Pro.

1 Pro.

2 Pro.

3 Pro.

4 Pro.

5 Pro.

6 Pro.

7 Pro.

8 Pro.

9 Pro. 10

Pro. 11

Pro. 12

Pro. 13

Pro. 14

Pro. 15

Pro. 16

Pro. 17

Pro. 18

Pro. 19

Pro. 20

1 70.55 53.34 57.95 28.96 30.19 77.47 1.40 76.07 81.45 70.9 4.54 41.4 86.26 79.05 37.35 96.2 87.14 5.62 94.96 36.4 524868.4

2 76.71 5.35 59.25 46.87 29.8 62.27 64.78 26.38 27.93 82.98 82.46 58.92 98.61 91.1 22.69 69.51 98.0 24.38 53.39 10.64 999414.6

3 67.62 1.57 57.52 10.01 10.3 79.89 28.45 4.56 29.58 38.2 30.1 94.86 97.98 40.14 27.83 16.04 16.28 64.66 41.01 41.28 712730.5

4 32.62 63.82 20.76 18.6 58.4 8.07 45.8 90.57 26.14 78.52 37.89 28.97 91.94 63.17 62.76 42.85 9.8 56.1 69.45 91.37 834817.2

5 2.26 54.34 91.62 43.03 67.79 50.25 51.37 46.3 35.35 40.48 26.97 5.56 24.38 97.91 6.09 39.03 36.5 48.99 15.57 47.45 257267.7

6 62.88 54.21 15.63 93.85 65.45 50.61 39.05 10.74 78.4 45.96 75.37 59.61 83.27 1.88 21.04 7.4 10.55 33.17 12.82 10.02 536794.1

7 65.71 54.4 82.74 8.19 19.19 67.89 45.42 35.7 15.0 70.44 92.88 53.02 8.96 75.77 40.18 46.19 49.22 20.76 32.97 9.54 589792.6

8 16.99 92.76 9.79 44.39 27.29 87.25 75.07 27.29 67.36 25.66 8.99 3.1 32.27 79.01 29.73 23.53 48.05 25.46 34.06 4.49 482428.1

9 20.6 86.45 58.86 75.49 92.79 33.1 54.29 8.07 63.44 41.0 96.04 11.46 92.34 62.02 34.77 14.92 48.0 21.94 99.37 13.04 28885.78

10 34.54 54.77 92.3 53.82 40.7 84.72 82.62 67.24 72.19 99.7 33.98 49.52 41.3 69.53 17.91 42.29 54.32 81.47 54.09 42.75 509068.1

11 22.78 61.92 48.98 68.08 88.7 37.05 30.25 29.29 15.03 52.98 22.33 58.45 36.35 87.6 47.8 19.06 68.41 74.74 61.39 78.21 161743.7

12 80.78 20.26 95.68 6.59 6.15 79.32 37.96 46.36 11.95 11.55 17.38 4.81 71.48 53.3 56.1 21.67 46.8 74.64 75.23 39.89 903098.8

13 74.6 8.86 63.46 71.3 1.57 43.11 40.2 27.53 98.54 80.26 69.61 41.76 73.45 27.72 35.66 43.35 94.5 12.15 64.6 34.78 104432.3

14 18.54 7.77 43.28 95.93 54.2 49.44 97.3 21.78 37.9 39.58 28.15 50.34 13.87 51.73 96.54 55.75 90.92 65.73 44.11 69.3 64491.15

15 75.61 70.05 49.71 15.54 22.37 32.61 78.45 5.03 51.8 75.7 80.07 32.52 97.27 80.43 67.48 90.51 87.58 41.66 12.31 95.42 797297.3

16 69.63 40.16 1.63 16.78 16.42 50.97 40.61 10.61 27.61 64.3 84.91 49.8 18.78 89.7 37.28 32.36 77.08 21.8 44.7 23.6 878384.6

17 61.04 37.44 38.95 86.06 58.6 93.16 51.72 33.03 86.9 25.91 25.95 17.87 34.7 0.25 74.23 84.09 27.86 70.3 40.49 81.16 741780.7

18 43.77 7.8 41.06 33.94 71.06 31.23 79.88 15.18 59.3 95.62 24.31 94.0 11.43 98.43 63.3 59.89 90.26 57.49 24.52 86.02 74950.34

19 43.9 76.0 24.57 37.86 39.72 52.66 27.04 58.12 20.97 7.87 89.54 11.14 65.24 90.0 23.16 94.99 84.62 44.12 49.2 76.95 834893.3

20 38.26 19.55 32.62 41.32 15.27 61.98 9.94 20.5 69.25 50.45 18.31 99.14 47.14 10.4 42.58 28.87 75.25 89.13 82.19 17.69 108785.9

Ganancia

11.57 1.25 0.365 9.35 0.98 0.750 1.17 0.325 0.456 0.145 0.187 0.231 0.247 8.75 0.654 7.975 0.354 6.975 4.523 0.155

6. EEXXTTRRAACCCCIIÓÓNN LLÍÍQQUUIIDDOO--LLÍÍQQUUIIDDOO: La extracción líquido-líquido depende de la habilidad de ciertos iones metálicos para formar

metales complejos con ácidos orgánicos2. El método es utilizado para separar, concentrar y purificar metales, y compuestos orgánicos. Precisamente, la técnica denominada extracción líquido-líquido fue la empleada para generar el Uranio empleado en las armas atómicas durante la era de la “guerra fría”. La técnica también es empleada para fines comerciales con el fin de recuperar metales nobles empleados en procesos catalíticos tales como en el refinamiento del petróleo, etc.

En la extracción líquido-líquido, el ión metálico en la fase acuosa es recuperado al mezclar dicha fase acuosa con una fase orgánica. El ión metálico forma –entonces- un compuesto con la fase orgánica y flota sobre la fase acuosa. La fase orgánica puede ser decantada y separada de la fase orgánica, y el ión metálico compuesto puede recuperarse en una forma útil, empleando un ácido (ácido nítrico para los nitratos, ácido sulfúrico para los sulfatos, etc.).

2 Kalu, Egwu Eric: « Simultaneous Linear Equations, Estimating nickel in organic phase», 2007, http://numericalmethods.eng.usf.edu.



Sis

tem

as

de

Ec

ua

cio

ne

s L

ine

ale

s S

imu

ltá

ne

as

2007

8

Un proceso de extracción líquido-líquido se efectúa en el Laboratorio de Materiales Electromecánicos, involucrando la extracción de niquel (Ni) de la fase acuosa a la fase orgánica. Un conjunto típico de datos experimentales se relaciona en la tabla siguiente:

Ni en fase acuosa (g/l) 2 2.5 3 3.5 4

Ni organic phase (g/l) 8.57 10 12 14 15.66

El objetivo de este problema es estimar la cantidad de niquel en la fase orgánica cuando 2.3 g/l (gramos por litro) están en la fase acuosa, utilizando la interpolación cuadrática, lo que previamente requerirá la solución de un Sistema de Ecuaciones Lineales Simultáneas.

SSOOLLUUCCIIÓÓNN El polinomio de interpolación pasa por tres puntos en el plano cartesiano; las coordenadas de tales puntos son: (a1,g1), (a2,g2) y (a3,g3), que de acuerdo con la tabla anterior pueden ser así: 57.8,2 11 == ga ; 10,5.2 22 == ga ; 12,3 33 == ga ;

requiriéndose que se cumpla la ecuación 322

1 xaxaxg ++= que debe pasar por los tres puntos dados, por lo cual se

cumplen las siguientes valuaciones de la función g(a): ( ) 31221111 xaxaxgag ++==

( ) 32222122 xaxaxgag ++==

( ) 33223133 xaxaxgag ++==

Sustituyendo los datos ( ) ( ) ( )332211 g , ,g , ,, aaga se obtienen tres ecuaciones en tres incógnitas x1, x2, x3:

( ) ( ) 57.822 322

1 =++ xxx

( ) ( ) 105.25.2 322

1 =++ xxx

( ) ( ) 1233 322

1 =++ xxx

Este conjunto de ecuaciones puede ser expresado

matricialmente de la siguiente forma:

Este conjunto de ecuaciones lineales simultáneas se puede escribir como una

combinación lineal de la siguiente forma:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

121057.8

111

35.2

2

925.64

321 xxx

y expresándolo en el formato Ax = b se tiene que:

57.824 321 =++ xxx105.225.6 321 =++ xxx

1239 321 =++ xxx

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

++++++

121057.8

395.225.6

24

321

321

321

xxxxxxxxx

ecuación 3

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

121057.8

xxx

13912525.6124

3

2

1



Sis

tem

as

de

Ec

ua

cio

ne

s L

ine

ale

s S

imu

ltá

ne

as

2007

9

FFIIGGUURRAA 1111. Resultados de la aplicación del Método de Eliminación Gaussiana al sistema AX = b definido por la ecuación 3.

La solución de este SELS da los respectivos valores de las variables .,, 321 xxx En la figura 11 se observa la solución obtenida utilizando el Método de Eliminación Gaussiana estándar.

Al aplicar los resultados obtenidos, 321 ,, xxx , para el valor de a = 2.3, y

utilizando la función ( ) 322

1 xaxaxag ++= , se obtiene el valor del níquel en la fase orgánica g = 9.35960021.

7. AANNÁÁLLIISSIISS DDEE EESSTTAADDOO--EESSTTAABBLLEE DDEE UUNN SSIISSTTEEMMAA DDEE RREEAACCTTOORREESS.. Uno de los más importantes principios de la Ingeniería Química es

la conservación de la masa3. En términos cuantitativos, el principio se expresa como un balance de masa que se verifica para todos los orígenes y destinos para un material que entra y sale en un volumen determinado, como se expresa en la figura 11. En un periodo finito de tiempo, esto puede expresarse por medio de la ecuación 3.

El balance de masa representa un modelo conceptual que se puede aplicar a una determinada sustancia. Para un periodo determinado, si las entradas son mayores que las salidas, la masa de la sustancia dentro del volumen aumenta; si las salidas son mayores que las entradas, entonces el volumen decrece; si las entradas son iguales a las salidas, el volumen permanece estable, y se puede afirmar que el estado estable está regido por la ecuación 4. Se empleará el principio del balance de masa para determinar las concentraciones de estado-estable de un sistema de reactores acoplados, como se ilustra en las figuras 13 y 14. En general, el modelo del balance de masa se utiliza en áreas técnicas y de Ingeniería para resolver problemas en los cuales se puede expresar las entradas y las salidas en términos de variables y parámetros que pueden ser medidos. Por ejemplo, si se desea elaborar un balance de masa para una substancia conservativa (es decir, una que no aumenta o decrece debido a las transformaciones químicas) en un rectar, como el mostrado en la figura 12, se tiene que cuantificar la rata a la cual la masa fluye hacia el reactor por medio de las dos tuberías de entrada, y la rata a la cual la masa sale del reactor por medio de la tubería de salida. Esto puede hacerse tomando el producto de la rata de flujo, Q (en metros cúbicos por minuto), y la concentración, c (en miligramos por metro cúbico), para cada tubería. En este caso, para la tubería 1, en la figura 12, Q1 = 2m3/min y c1 = 25 mg/m3; por lo cual, la rata a la cual la masa fluye hacia el reactor en la tubería 1 es Q1c1 = (2m3/min)( 25 mg/m3) = 50 mg/min. Es decir, que 50 mg de de la sustancia fluye hacia dentro del reactor, a través de la tubería 1, en cada minuto; similarmente, por la segunda tubería de entrada, la rata de flujo de la masa se puede calcular como Q2c2 = (1.5m3/min)(10 mg/m3) = 15 mg/min. 3 Chapra, Steven C. and Canale, Raymond P.: «Numerical Methods for Engineers, with software and programming applications», Fourth edition, McGraw-Hill, New

York, 2002, chapter 12: «Engineering Applications, Linear Algebraic Equations», pp. 305 – 316.

(ecuación 3) Acumulación = Entradas – Salidas

FFIIGGUURRAA 1122. Esquema conceptual del balance de masa.

Entradas = salidas (ecuación 4)



Sis

tem

as

de

Ec

ua

cio

ne

s L

ine

ale

s S

imu

ltá

ne

as

2007

10

FFIIGGUURRAA 1133. Esquema conceptual del modelo de estado-estable para un reactor con dos tuberías de entrada y una de salida. El flujo Q está en metros cúbicos por minuto y la concentración, c, está en miligramos por metro cúbico.

Nòtese que la concentración que sale del reactor , a través de la tubería 3, no se especifica en la figura 13.

Esto es debido a que ya se tienen suficientes datos para calcular dicha concentración, teniendo como base la conservación de masa. Debido a que el rector se conceptualiza como de estado-estable, la ecuación 4 se cumple, de modo que las entradas se balancean con

las salidas, es decir que: Q1c1 + Q2c2 = Q3c3 (ecuación 5), sustituyendo los valores daos en la figura 13, se obtiene la ecuación siguiente: 50 + 15 = 3.5c3, con lo cual se calcula c3 = 18.6 mg/m3. De este modo, se ha determinado la concentración en la tubería de salida. Debido, también a que el reactor se conceptualiza como de una mezcla bien formada (simbolizada por el propeler en la figura 13), la concentración será uniforme, u homogénea, por todo el volumen del tanque. Por lo cual, la concentración de salida en la tubería 3 será igual a la concentración en todo el volumen del reactor. Por lo tanto, la conservación de masa ha permitido calcular tanto la concetración de salida como la del reactor (c3). Tal proceso de análisis y la información que suministra es de gran utilidad en áreas de la Ingeniería Química y la Ingeniería de Petróleos en las cuales es común diseñar reactores que contengan mezclas de una concentración específica. Hasta ahora, sòlo el Álgebra básica se ha utilizado para determinar la concentración de un simple reactor, como el conceptualizado en la figura 13; sin embargo, no es obvio cómo determinar la concentración en un sistema de reactores, como el ilustrado en la figura 14.

Figura 14. Cinco reactores enlazados por tuberías. Aquí es necesario utilizar modelos matemáticos más avanzados como el de las ecuaciones lineales simultáneas.

Q31 = 1



Sis

tem

as

de

Ec

ua

cio

ne

s L

ine

ale

s S

imu

ltá

ne

as

2007

11

En la figura 14 hay cinco reactores interconectados, o reactores acoplados, cinco ecuaciones simultáneas de balance de masa son necesarias para caracterizar el sistema. Para el reactor 1, la rata del flujo de entrada está dada por la ecuación lineal siguiente: 5*(10) + Q31c3; y la rata del flujo de salida es así: Q12c1 + Q15c1; y debido a que el sistema se conceptualiza como de estado-estable, las entradas y las salidas deben balancearse con lo cual se obtiene que: 5*(10) + Q31c3 = Q12c1 + Q15c1, y sustituyendo los valores mostrados en la figura 14, se llega a la ecuación lineal que relaciona las concentraciones c1 y c3: 6c1 – c3 = 50 (ecuación 6). Ecuaciones similares se pueden obtener para los otros reactores, llegándose el Sistema de Ecuaciones Lineales Simultáneas siguiente:

66CC11 –– CC33 == 5500 --33CC11 ++ 33CC22 == 00 --CC22 ++ 99CC33 == 116600 --CC22 –– 88CC33 ++ 1111CC44 -- 22CC55 == 00 --33CC11 –– CC22 ++ 44CC55 == 00

Utilizando el Método de Gauss-Jordan, por ejemplo, se llega al siguiente vector solución, es decir el vector de concentraciones: CT = { 11.51, 11.51, 19.06, 17.00, 11.51 } Adicionalmente, se llega a la siguiente matriz inversa, A-1 :

AA--11 == Los valores de la matriz inversa tienen significados prácticos muy precisos: cada elemento Aij significa el cambio en concentración del reactor i debido al cambio unitario en la carga del reactor j. Así, los ceros en la columna 4 indican que una carga en el reactor 4 no afectará los reactores 1, 2, 3 y 5. Esto es consistente con la configuración del sistema, esquematizada en la figura 14, la cual indica que el flujo saliento del reactor 4 no retroaliemnta a ninguno de los otros reactores. En contraste, las cargas en cualquiera de los primeros tres reactores afectarán a todo el sistema, como está indicado en las tres primeras columnas de la matriz inversa, en las cuales no hay ceros. Esta utilidad es de suma importancia para los ingenieros que diseñan y operan tales sistemas. Ejercicios adicionales: (1) – Aplicando el Método Gauss-Jordan, comprobar que efectivamente se llega a dicha solución y la inversa descrita, tomando como base el sistema de la figura 14 y las ecuaciones lineales simultáneas deducidas. (2) – Comprobar que al multiplicar la matriz inversa por el vector de términos independientes, se obtiene el vectro solución. (3) – Comprobar que efectivamente la inversa dada sí es la inversa, obteniéndose una matriz identidad al multiplicar la inversa por la matriz de coeficientes originales.

0.16981 0.00629 0.01887 0.00 0.00 0.16981 0.33962 0.01887 0.00 0.00 0.01887 0.03774 0.11321 0.00 0.00 0.06003 0.07461 0.08748 0.09091 0.04545 0.016981 0.08962 0.01887 0.00 .025000

sistemas especiales de ecuaciones lineales simultÁneas

Documents