231

Capítulo VI

Modelos de Ecuaciones Aparentemente No Relacionadas

VI.1. INTRODUCCIÓN Nos encontramos ante modelos de ecuaciones aparentemente no relacionadas cuando disponiendo de varias ecuaciones, el lado derecho contiene variables estrictamente exógenas y los residuos entre las ecuaciones están correlacionados. En estas circunstancias, el estimador de MCO es ineficiente e inconsistente. Por ello, Zellner desarrolló un nuevo estimador de MCG - que es un estimador en tres etapas – y que recibe el nombre de estimador SUR (Seemingly Unrelated Regression Estimator, SURE). Ilustramos la estimación SURE de Zellner, matizando que dicho método de estimación no es aplicable a las ecuaciones simultáneas. En general, sólo se justifica porque es un método aplicable a varias ecuaciones relacionadas sólo a través de los términos de perturbación. Aludiremos a los contrastes de restricciones entre los parámetros de distintas ecuaciones, como por ejemplo el caso de las funciones de producción translog. Si todas las variables o regresores del lado derecho son exógenas, y la matriz de varianzas y covarianzas de los errores está dada por

232

TI⊗Σ=Ω , donde Σ es una matriz simétrica de correlaciones contemporáneas, entonces el método de estimación apropiado es SUR. Este método es un método de mínimos cuadrados generalizados factibles, y es aplicable cuando los residuos poseen heterocedasticidad cruzada y están contemporáneamente autocorrelacionados. El estimador SUR de Zellner puede escribirse como sigue:

( )( ) ( )YIXXIX TTSUR ⊗Σ⊗Σ= −−− 111 ˆ´ˆ´β donde 1ˆ −Σ es a estimación consistente de Σ , cuyos elementos están formados por

( ) ( ) Txyxy SURjjSURiiij /ˆˆˆ ''' ββσ −−= .

233

VI.2. CASO 12: SISTEMA DE ECUACIONES DE DEMANDA DE FACTORES: EL MODELO TRANSLOG Planteamiento del caso: Este ejercicio se resolverá en el programa E-VIEWS. El fichero de datos P12.WF1 contiene a las siguientes variables: QY = producción agregada; PK y QK son el índice de precios y la cantidad agregada del factor de producción “Capital”; PL y QL son el índice de precios y la cantidad agregada del factor de producción “Trabajo”; PE y QE son el índice de precios y la cantidad agregada del factor de producción “Energía”; y PM y QM son el índice de precios y la cantidad agregada del factor de producción “Otros Inputs Intermedios no Energéticos”. El tamaño de la muestra abarca 25 años (1947-1971). Se trata de estimar una función de costes translog e interpretarla. Se hará la estimación directa de la función de costes y la estimación del sistema de demanda de factores (ecuaciones de participación). Cuestiones: 1. Crea las variables necesarias para estimar los modelos translog.

Crea:

COSTE (coste nominal de producción) como suma de los costes de los cuatro inputs. La cuota de participación de cada factor en el coste: SK, SL, SE y SM. Logaritmos de los precios: LPK, LPL, LPE y LPM. Logaritmos del output: LY.

234

2. Responde a las siguientes cuestiones:

2.1. Crea un sistema de ecuaciones de demanda de factores (cuotas de participación de los cuatro factores en los costes) de una especificación translog sin restricciones de simetría ni de homogeneidad en precios. 2.2. Estímalas por MCO. 2.3. Verifica que los resultados cumplen las 6 restricciones de homogeneidad en precios de grado 1. 2.4. ¿Se cumplen las restricciones de simetría?. 2.5. Si intentaras estimar el sistema por el método SUR, ¿qué pasaría?, ¿porqué?.

3. Responde a las siguientes cuestiones 3.1. Ahora, impón las restricciones de simetría y las restricciones

de homogeneidad en precios al sistema anterior. 3.2. Estima, entonces, por MCG con iteraciones las tres ecuaciones de demanda de factores que resultan de tomar como numerario (excluir) el input de materiales intermedios (M). 3.3. Calcula para cada año las cuotas de participación estimadas para los cuatro inputs.

3.4. Calcula las estimaciones implicadas para la ecuación SM. 3.5. Calcula el error estándar estimado del coeficiente αM.

4. Estimación de las elasticidades en la función translog:

4.1. Calcula a partir de los resultados de la estimación del sistema de ecuaciones de demanda translog (apartado 3) las 16 elasticidades respecto al propio precio y al precio de los cuatro inputs (En Excel).

K L E M K L E M

235

4.2. ¿Qué inputs son sustitutivos y cuáles son complementarios?. 4.3. ¿Son las demandas elásticas o inelásticas al propio precio?. 5. Responde a las siguientes cuestiones: 5.1. Haz un intento de estimar la función de costes translog

directamente. Escribe la ecuación y estímala por MCO. ¿Qué problemas son los que encuentras?. Coméntalos. 5.2. Plantea algunas especificaciones de costes más sencillas.

236

Resolución. La función de costes logarítmica trascendental no homotética (o translog) puede ser vista como una aproximación de Taylor en los logaritmos de una función de costes arbitraria. Las funciones no homotéticas son muy generales, ya que los cocientes (ratios) de coste/demanda de inputs que son mínimos, pueden depender de un nivel general de output, en contraposición a lo que suponen las funciones homotéticas, ya que en este caso, las demandas de inputs son independientes del nivel general de output. Siguiendo a Berndt (1992, págs. 469 y ss.) la función no homotética translog puede escribirse como:

( )

∑

∑ ∑∑

=

= = =

+

++++

=

n

iiiY

n

i

n

i

n

jYYYjiijii

YP

YYPPP

C

1

1 1 1

2

0

lnln

ln21lnlnln

21ln

lnln

γ

γαγα

α

En la anterior ecuación pueden imponerse una serie de restricciones generales. Estas restricciones pueden ser: 1) Restricción de simetría: jiij γγ = . Por ejemplo, si existiesen dos

factores de producción: capital (K) y trabajo (L), la expresión del doble sumatorio sería equivalente a:

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( ) 21122

2222

111

21122

2222

111

122121122

2222

111

2

1

2

1

lnlnln21ln

21

lnln2lnln21

lnlnlnlnlnln21lnln

21

PPPP

PPPP

PPPPPPPPi j

jiij

γγγ

γγγ

γγγγγ

++=

++=

+++=∑∑= =

237

2) Restricción de homogenidad de grado uno en precios. Para que una función de costes se comporte adecuadamente, entre otras cosas debe cumplir el ser homogénea de grado uno en los precios, dado Y. Esto implica las siguientes restricciones sobre la ecuación anterior:

∑∑∑∑====

====n

iiY

n

jji

n

iij

n

ii

11110,1 γγγα

Otras restricciones adicionales que pueden introducirse en el modelo son: 3) Función homotética. Es necesario y suficiente que

niiY ,....,1,0 =∀=γ . Esta condición implica que las demandas de factores son independientes del output.

4) Función homogénea de grado constante en el output. Es necesario que la función sea homotética y que además, 0=YYγ . El grado de homogenidad es Yα/1 .

5) Rendimientos a escala constantes de la función de producción dual. Esto ocurre cuando la función de producción es homotética, homogénea de grado uno en precios y , además, 1=Yα . Esto significa que los costes medios no dependen del output.

6) Función de Cobb-Douglas de rendimientos constantes a escala. Esto ocurrre cuando añadimos a todas las anteriores restricciones (homotecidad, homogenidad rendimientos constantes a escala), la restricción njiij ,....,1,0 =∀=γ

Diferenciando la función de costes en logaritmos (ln C) con respecto a los precios (Pi), y utilizando el lema de Shephard, podemos obtener un sistema de ecuaciones de demandas de factores que no dependen del output, las cuales son las condiciones de primer orden del problema de minimización del coste. Así, por ejemplo,

∑=

++==∂∂

=∂∂

=n

jiYjiji

ii

i

i

i

i

i

ii YP

CQP

PC

CP

PC

S1

lnlnlnln γγα

238

teniendo en cuenta que ii

n

iii Q

PCQPC =

∂∂=∑

=

,1

y ∑=

=n

iiS

1

1 .

Considerando que n=4, y que estos cuatro factores son Capital (K), Trabajo (L), Energía (E) e inputs intermedios no energéticos (M), la ecuación translog con restricciones de simetría puede escribirse como:

( ) ( ) ( ) ( )

( )

YMMYYEEYYLLYYKKY

YYY

MMMEEELLLKKK

MEEMMLLMELLE

MKKMEKKELKKL

MMEELLKK

PPPPPPPP

YY

PPPP

PPPPPPPPPPPLnP

PPPPC

lnlnlnlnlnlnlnln

ln21ln

ln21ln

21ln

21ln

21

lnlnlnlnlnlnlnlnlnlnln

lnlnlnlnlnln

2

2222

0

γγγγ

γα

γγγγ

γγγγγγ

ααααα

++++

++

++++

++++++

++++=

La estimación de la función de costes puede resolverse directamente, estimando 24 parámetros. No obstante, si se quiere ganar eficiencia en dicha estimación, puede construirse el sistema de ecuaciones de demanda de factores en la base de las participaciones de cada factor. Este sistema representa las condiciones de primer orden del problema de costes. Por otro lado, el sistema de demanda de factores sin restricciones es igual; para i,j=K,L,E,M; a:

YPPPPS

YPPPPS

YPPPPS

YPPPPS

MYMMMEMELMLKMKMM

EYMEMEEELELKEKEE

LYMLMELELLLKLKLL

KYMKMEKELKLKKKKK

lnlnlnlnln

lnlnlnlnln

lnlnlnlnln

lnlnlnlnln

γγγγγα

γγγγγα

γγγγγα

γγγγγα

+++++=

+++++=

+++++=

+++++=

239

donde existirán también 24 parámetros a estimar. Sin embargo, también a este sistema pueden imponérseles las restricciones 1) a 6). Así, podeos cosndierar los siguientes aspectos: a) Restricciones de simetría:

EMMEMLLMELLEMKKMEKKELKKL γγγγγγγγγγγγ ====== ,,,,, Imponiendo sólo estas restricciones el número de parámetros a estimar se reduce de 24 a 18. b) Restricciones de homogeneidad de grado 1 en precios.

Concretamente, y al igual que para la ecuación de costes, las restricciones de homogeneidad de grado uno en precios son:

00

000

1

=+++=+++

=+++=+++=+++

=+++

MYEYLYKY

MMMEMLMK

EMEEELEK

LMLELLLK

KMKEKLKK

MELK

γγγγγγγγ

γγγγγγγγγγγγ

αααα

Pues bien, incorporando las dos restricciones: simetría y homogeneidad de grado 1 en precios, y además, eliminando la ecuación correspondiente a M, el sistema de ecuaciones de demanda de factores se reduce a:

240

YPP

PP

PPS

YPP

PP

PP

S

YPP

PP

PPS

EYM

EEE

M

LLE

M

KKEEE

LYM

ELE

M

LLL

M

KKLLL

KYM

EKE

M

LKL

M

KKKKK

lnlnlnln

lnlnlnln

lnlnlnln

γγγγα

γγγγα

γγγγα

+

+

+

+=

+

+

+

+=

+

+

+

+=

Y, luego, para estimar los coeficientes de la ecuación SM se utilizan las restricciones de homogeneidad de grado uno en precios, despejando los parámetros desconocidos en cada una de ellas. En este sentido, el número de parámetros libres para ser estimados será de 12. Finalmente, podríamos obtener las elasticidades parcales de sustitución de Allen, basadas en la forma funcional translog:

MELKiS

SS

jiMELKjiSS

SS

i

iiiiii

ji

jiijij

,,,,

,,,,,,

2

2

=−+=

≠=+

=

γσ

γσ

A partir de estas expresiones podemos determinar qué inputs son sustitutivos y qué inputs son complementarios. Por otro lado, las elasticidades precio pueden construirse a partir de la expresión: ijjij S σε = , de tal manera que las expresiones anteriores pueden reescribirse como:

MELKiS

SS

jiMELKjiS

SS

i

iiiiii

i

jiijij

,,,,

,,,,,,

2

=−+=

≠=+

=

γε

γε

241

Pues bien, una vez hemos especificado algunas cuestiones teóricas del modelo de costes translog, podemos pasar a contestar las cuestiones que se planteaban al comienzo. 1. Crea las variables necesarias para estimar los modelos

translog: COSTE (coste nominal de producción) como suma de los costes de los cuatro inputs; la cuota de participación de cada factor en el coste (SK, SL, SE y SM); logaritmos de los precios (LPK, LPL, LPE y LPM) y logaritmos del output (LY).

En primer lugar creamos las variables que necesitamos para trabajar con el modelo translog. Para ello, generamos las siguientes variables: a) La variable COSTE es la suma de los costes de los cuatro inputs.

GENR COSTE=PK*QK+PL*QL+PE*QE+PM*QM b) La cuota de participación de cada factor en el coste: SK, SL, SE y SM, las generamos de la siguiente manera: GENR SK = PK*QK / COSTE GENR SL = PL*QL / COSTE GENR SE = PE*QE / COSTE GENR SM = PM*QM / COSTE c) Los logaritmos naturales de los precios: LPK, LPL, LPE y LPM y el logaritmo natural del output: LY. GENR LPK = LOG(PK) GENR LPL = LOG(PL)

242

GENR LPE = LOG(PE) GENR LPM = LOG(PM) GENR LY = LOG(QY) 2.1. Crea un sistema de ecuaciones de demanda de factores

(cuotas de participación de los cuatro factores en los costes) de una especificación translog sin restricciones de simetría ni de homogeneidad en precios.

Creamos a continuación un sistema de ecuaciones mediante la instrucción (OBJECT / NEW OBJECT / SYSTEM), que nos va a permitir escribir las cuatro ecuaciones de demanda de factores (referidas a las cuotas de participación de los cuatro factores en los costes) de una especificación translog sin restricciones de simetría ni de homogeneidad en precios. En el programa escribiremos el siguiente sistema de ecuaciones de demanda de factores: sk = c(1) + c(2)*lpk + c(3)*lpl + c(4)*lpe + c(5)*lpm + c(6)*ly sl = c(7) + c(8)*lpk + c(9)*lpl + c(10)*lpe + c(11)*lpm + c(12)*ly se = c(13) + c(14)*lpk + c(15)*lpl + c(16)*lpe + c(17)*lpm + c(18)*ly sm = c(19) + c(20)*lpk + c(21)*lpl + c(22)*lpe + c(23)*lpm + c(24)*ly donde los coeficientes a estimar son c(1) hasta c(24) si no se introdujesen las restricciones de simetría o de homogeneidad. 2.2. Estímalas por MCO.

243

Para estimar por MCO el sistema debemos acceder en la barra de herramientas de la opción de sistema a ESTIMATE, donde aparecen diversos métodos de estimación tales como LS, WLS, SUR, 2SLS, W2SLS, 3SLS, FIML y GMM con y sin iteraciones de los coeficientes y de las matrices de ponderaciones. Los resultados de la estimación MCO (Least Squares) son: ============================================================ System: DDA_FACTORES01 Estimation Method: Least Squares Sample: 1947 1971 Included observations: 25 Total system (balanced) observations 100 ============================================================ Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. ============================================================ C(1) 0.278555 0.034928 7.975092 0.0000 C(2) 0.044752 0.003688 12.13612 0.0000 C(3) 0.030501 0.010687 2.854059 0.0056 C(4) 0.000497 0.010461 0.047537 0.9622 C(5) -0.014648 0.014892 -0.983639 0.3284 C(6) -0.042873 0.006597 -6.498613 0.0000 C(7) 0.397897 0.113511 3.505362 0.0008 C(8) 0.021192 0.011984 1.768347 0.0810 C(9) 0.100947 0.034731 2.906570 0.0048 C(10) 0.041340 0.033996 1.216030 0.2277 C(11) -0.122509 0.048397 -2.531346 0.0134 C(12) -0.028335 0.021440 -1.321590 0.1903 C(13) 0.204715 0.017678 11.57992 0.0000 C(14) -0.003653 0.001866 -1.957165 0.0540 C(15) 0.029290 0.005409 5.415063 0.0000 C(16) 0.011475 0.005295 2.167341 0.0333 C(17) -0.012859 0.007537 -1.706013 0.0921 C(18) -0.030680 0.003339 -9.188234 0.0000 C(19) 0.118832 0.127302 0.933470 0.3535 C(20) -0.062291 0.013440 -4.634807 0.0000 C(21) -0.160739 0.038950 -4.126766 0.0001 C(22) -0.053313 0.038126 -1.398319 0.1661 C(23) 0.150016 0.054276 2.763921 0.0072 C(24) 0.101888 0.024045 4.237437 0.0001 ============================================================ Determinant residual covariance 0.000000 ============================================================ Equation: SK = C(1) + C(2)*LPK + C(3)*LPL + C(4)*LPE + C(5)*LPM + C(6)*LY Observations: 25 R-squared 0.904993 Mean dependent var 0.053488 Adjusted R-squared 0.879991 S.D. dependent var 0.004480 S.E. of regression 0.001552 Sum squared resid 4.58E-05 Durbin-Watson stat 1.230045 ============================================================ Equation: SL = C(7) + C(8)*LPK + C(9)*LPL + C(10)*LPE + C(11)*LPM + C(12)*LY Observations: 25 R-squared 0.878527 Mean dependent var 0.274461 Adjusted R-squared 0.846561 S.D. dependent var 0.012877 S.E. of regression 0.005044 Sum squared resid 0.000483 Durbin-Watson stat 1.916994 ============================================================

244

Equation: SE = C(13) + C(14)*LPK + C(15)*LPL + C(16)*LPE + C(17) *LPM + C(18)*LY Observations: 25 R-squared 0.949320 Mean dependent var 0.044820 Adjusted R-squared 0.935983 S.D. dependent var 0.003105 S.E. of regression 0.000786 Sum squared resid 1.17E-05 Durbin-Watson stat 1.455984 ============================================================ Equation: SM = C(19) + C(20)*LPK + C(21)*LPL + C(22)*LPE + C(23) *LPM + C(24)*LY Observations: 25 R-squared 0.877323 Mean dependent var 0.627230 Adjusted R-squared 0.845039 S.D. dependent var 0.014371 S.E. of regression 0.005657 Sum squared resid 0.000608 Durbin-Watson stat 1.741460 ============================================================ Obsérvese que algunos de los coeficientes no son significativos estadísitcamente, como por ejemplo C(4), C(5), c(10), c(12), c(19) y C(22); al menos al 10%. Obsérvese también, que debajo de las estiamciones aparecen los resultados parciales de los estadísitcos más relevantes de la regresión lineal en las estimaciones de cada ecuación y para los 25 datos de los que disponemos. 2.3. Verifica que los resultados cumplen las 6 restricciones de

homogeneidad en precios de grado 1. Si quisiésemos contrastar la hipótesis homogeneidad de grado 1 en precios, debemos ir a VIEW / WALD COEFFICIENT TEST, y escribir las siguientes hipótesis, en términos de los coeficientes C(i). Así,

c(1) + c(7) + c(13) + c(19) = 1, c(2) + c(8) + c(14) + c(20) = 0, c(3) + c(9) + c(15) + c(21) = 0, c(4) + c(10) + c(16) + c(22) = 0, c(5) + c(11) + c(17) + c(23) = 0, c(6) + c(12) + c(18) + c(24) = 0

Entonces, los resultados serían: ==================================================== Wald Test: System: DDA_FACTORES01 ====================================================

245

Null Hypothesis C(1)+C(7)+C(13)+C(19)=1 C(2)+C(8)+C(14)+C(20)=0 C(3)+C(9)+C(15)+C(21)=0 C(4)+C(10)+C(16)+C(22)=0 C(5)+C(11)+C(17)+C(23)=0 C(6)+C(12)+C(18)+C(24)=0 ==================================================== Chi-square 4.42E-22 Probability 1.000000 ====================================================

donde, analizando el valor Chi-square = 4.42E-22, comprobamos como no se rechaza la hipótesis de homogeneidad de grado uno en los precios dado que el p-valor es igual a la unidad. 2.4. ¿Se cumplen las restricciones de simetría? Esta pregunta se contesta de la misma manera que la anterior. Debemos identificar los coeficientes C(i) y luego aplicar el contraste de Wald, desde VIEW / WALD COEFFICIENT TEST. Las hipótesis serían las siguientes: c(3)=c(8) , c(4)=c(14) , c(5)=c(20) , c(10)=c(15) , c(11)=c(21), c(17)=c(22) Teniendo en cuenta que estas se corresponden con KL/LK, KE/EK, KM/MK, LE/EL, LM/ML y EM/ME. ==================================================== Wald Test: System: DDA_FACTORES01 ==================================================== Null Hypothesis C(3)=C(8) C(4)=C(14) C(5)=C(20) C(10)=C(15) C(11)=C(21) C(17)=C(22) ==================================================== Chi-square 11.39169 Probability 0.076999 ====================================================

246

2.5. Si intentaras estimar el sistema por el método SUR, ¿qué

pasaría?, ¿porqué?. En ESTIMATE seleccionamos Seemeingly Unrelated Regression (SUR). El resultado es que no podemos estimar dicho sistema, dado que existe colinealidad exacta, apareciendo la expresión Near Singular Matrix. 3.1. Ahora, impón las restricciones de simetría y las

restricciones de homogeneidad en precios al sistema anterior.

Ahora, utilizaremos el sistema anterior y le impondremos restricciones. Imponiendo las restricciones de simetría y las restricciones de homogeneidad en precios al sistema estimado anteriormente tenemos: sk = c(1) + c(2)*(lpk-lpm) + c(3)*(lpl-lpm) + c(4)*(lpe-lpm) + c(5)*ly sl = c(6) + c(3)*(lpk-lpm) + c(7)*(lpl-lpm) + c(8)*(lpe-lpm) + c(9)*ly se = c(10) + c(4)*(lpk-lpm) + c(8)*(lpl-lpm) + c(11)*(lpe-lpm) + c(12)*ly Obsérvese que tenemos los 12 parámetros libres de los que hablábamos. 3.2. Estima, entonces, por MCG con iteraciones las tres

ecuaciones de demanda de factores que resultan de tomar

247

como numerario (excluir) el input de materiales intermedios (M).

La estimación, por MCG con iteraciones de las tres ecuaciones de demanda de factores que resultan de tomar como numerario (excluir) el input de materiales intermedios (M) es igual a: ============================================================ System: DDA_FACTORES02 Estimation Method: Iterative Weighted Least Squares Sample: 1947 1971 Included observations: 25 Total system (balanced) observations 75 Convergence achieved after: 4 weight matricies, 5 total coef iteration ============================================================

Coefficient Std. Errort-Statistic Prob. ============================================================ C(1) 0.150881 0.025474 5.922980 0.0000 C(2) 0.034709 0.005342 6.497824 0.0000 C(3) 0.027909 0.008157 3.421524 0.0011 C(4) -0.006985 0.002222 -3.143324 0.0025 C(5) -0.017764 0.004801 -3.700026 0.0005 C(6) 0.372982 0.075619 4.932369 0.0000 C(7) 0.117787 0.025929 4.542677 0.0000 C(8) 0.038195 0.006538 5.841644 0.0000 C(9) -0.022816 0.014439 -1.580170 0.1191 C(10) 0.183034 0.021922 8.349359 0.0000 C(11) 0.007078 0.006786 1.043021 0.3009 C(12) -0.026260 0.004116 -6.379980 0.0000 ============================================================ Determinant residual covariance 7.45E-17 ============================================================ Equation: SK = C(1) + C(2)*(LPK-LPM) + C(3)*(LPL-LPM) + C(4)*(LPE -LPM) + C(5)*LY Observations: 25 R-squared 0.674238 Mean dependent var 0.053488 Adjusted R-squared 0.609086 S.D. dependent var 0.004480 S.E. of regression 0.002801 Sum squared resid 0.000157 Durbin-Watson stat 0.975795 ============================================================ Equation: SL = C(6) + C(3)*(LPK-LPM) + C(7)*(LPL-LPM) + C(8)*(LPE -LPM) + C(9)*LY Observations: 25 R-squared 0.859292 Mean dependent var 0.274461 Adjusted R-squared 0.831150 S.D. dependent var 0.012877 S.E. of regression 0.005291 Sum squared resid 0.000560 Durbin-Watson stat 2.027016 ============================================================ Equation: SE = C(10) + C(4)*(LPK-LPM) + C(8)*(LPL-LPM) + C(11) *(LPE-LPM) + C(12)*LY Observations: 25 R-squared 0.885531 Mean dependent var 0.044820 Adjusted R-squared 0.862638 S.D. dependent var 0.003105 S.E. of regression 0.001151 Sum squared resid 2.65E-05 Durbin-Watson stat 0.939011 ============================================================

248

3.3. Calcula para cada año las cuotas de participación

estimadas para los cuatro inputs. A continuación, calculamos para cada año las cuotas de participación estimadas para los cuatro inputs. Para ello, y después de haber estimado el sistema, podemos ejecutar desde la barra de herramientas dos opciones. La primera es PROCS / MAKE RESIDUALS creándose tres residuos: RESID01, RESID02 y RESID03, los cuales corresponden con las tres ecuaciones estimadas. Teniendo en cuenta, también, que la suma de las cuatro tasas de participación ha de ser igual a la unidad, entonces podremos construir las estimaciones de SK, SL, SE y SM que denominaremos SKE, SLE, SEE y SME. Así, GENR SKE = SK – RESID01 GENR SLE = SL – RESID02 GENR SEE = SE – RESID03

GENR SME = 1 – ( SKE + SLE + SEE )

Como tarea, sea el lector quien compruebe las variables generadas o estimadas mediante la instrucción

SHOW SKE SLE SEE SME. Es importante obtener las medias de dichas variable para calcular próximos apartados. Por otro lado, la matriz de varianzas y covarianzas de los parámetros en el modelo con restricciones de simetría es:

249

Coefficient Covariance Matrix =========================================================================================================================================================== C(1) C(2) C(3) C(4) C(5) C(6) C(7) C(8) C(9) C(10) C(11) C(12) =========================================================================================================================================================== C(1) 0.000649 3.33E-05 0.000186 -6.34E-06 -0.000122 0.000325 6.29E-05 4.68E-06 -5.67E-05 1.29E-05 -6.40E-06 -2.56E-06 C(2) 3.33E-05 2.85E-05 3.54E-06 4.03E-07 -5.50E-06 6.14E-06 1.19E-06 1.03E-07 -1.07E-06 4.69E-07 1.83E-07 -8.14E-08 C(3) 0.000186 3.54E-06 6.65E-05 -9.33E-07 -3.58E-05 0.000116 2.25E-05 1.71E-06 -2.02E-05 5.17E-06 -1.51E-06 -9.96E-07 C(4) -6.34E-06 4.03E-07 -9.33E-07 4.94E-06 1.13E-06 -1.95E-06 -3.91E-07 1.12E-07 3.43E-07 2.04E-06 2.89E-06 -2.95E-07 C(5) -0.000122 -5.50E-06 -3.58E-05 1.13E-06 2.30E-05 -6.25E-05 -1.21E-05 -9.04E-07 1.09E-05 -2.52E-06 1.18E-06 4.97E-07 C(6) 0.000325 6.14E-06 0.000116 -1.95E-06 -6.25E-05 0.005718 0.001883 -9.78E-05 -0.001091 -0.000314 5.35E-05 5.95E-05 C(7) 6.29E-05 1.19E-06 2.25E-05 -3.91E-07 -1.21E-05 0.001883 0.000672 -2.32E-05 -0.000362 -7.45E-05 1.27E-05 1.41E-05 C(8) 4.68E-06 1.03E-07 1.71E-06 1.12E-07 -9.04E-07 -9.78E-05 -2.32E-05 4.28E-05 1.80E-05 0.000137 -2.38E-05 -2.60E-05 C(9) -5.67E-05 -1.07E-06 -2.02E-05 3.43E-07 1.09E-05 -0.001091 -0.000362 1.80E-05 0.000208 5.79E-05 -9.86E-06 -1.10E-05 C(10) 1.29E-05 4.69E-07 5.17E-06 2.04E-06 -2.52E-06 -0.000314 -7.45E-05 0.000137 5.79E-05 0.000481 -0.000101 -9.02E-05 C(11) -6.40E-06 1.83E-07 -1.51E-06 2.89E-06 1.18E-06 5.35E-05 1.27E-05 -2.38E-05 -9.86E-06 -0.000101 4.61E-05 1.87E-05 C(12) -2.56E-06 -8.14E-08 -9.96E-07 -2.95E-07 4.97E-07 5.95E-05 1.41E-05 -2.60E-05 -1.10E-05 -9.02E-05 1.87E-05 1.69E-05 ===========================================================================================================================================================

251

La segunda es PROCS / MAKE MODEL. En esta opción aparece: ASSIGN @ALL F SK = 0.2225016381 + 0.03570489035*(LPK-LPM) + 0.05255767263*(LPL-LPM) - 0.01075914352*(LPE-LPM) - 0.03147722683*LY SL = 0.3603119189 + 0.01512513668*(LPK-LPM) + 0.11573707*(LPL-LPM) + 0.03379256667*(LPE-LPM) - 0.0206937752*LY SE = 0.182465492 - 0.007244156914*(LPK-LPM) + 0.03804548172*(LPL-LPM) + 0.007007176973*(LPE-LPM) - 0.02615712508*LY A la que añadiremos una última línea que rezará: SM = 1 – SK –SL – SE. De esta forma, se obtendrán las predicciones ejecutando - desde su barra de herramientas - SOLVE, de forma dinámica. El resultado podrá comprobarse en el menú de variables donde aparecerán cuatro nuevas: SKF, SLF, SEF y SMF. Estás coinciden exactamente con las de la opción anterior. El resultado obtenido, en cualquiera de los dos casos, será para los 25 años: =========================================================== obs SKF SLF SEF SMF =========================================================== 1947 0.057103 0.252534 0.044404 0.645959 1948 0.057623 0.271356 0.051540 0.619481 1949 0.046724 0.257685 0.051658 0.643934 1950 0.050586 0.258773 0.047201 0.643440 1951 0.051160 0.256474 0.044490 0.647876 1952 0.050268 0.261312 0.045750 0.642670 1953 0.050392 0.265238 0.044890 0.639480 1954 0.054066 0.269318 0.046726 0.629890 1955 0.051905 0.267922 0.044259 0.635913 1956 0.046842 0.262979 0.044867 0.645312 1957 0.049545 0.267751 0.045508 0.637195 1958 0.053294 0.271272 0.046945 0.628489

252

1959 0.057637 0.278465 0.045115 0.618782 1960 0.055245 0.276089 0.045141 0.623525 1961 0.055914 0.278062 0.045716 0.620308 1962 0.055402 0.279942 0.044907 0.619748 1963 0.057559 0.284371 0.044517 0.613553 1964 0.056617 0.286002 0.043994 0.613387 1965 0.056867 0.285147 0.041657 0.616329 1966 0.055967 0.283571 0.039946 0.620516 1967 0.054775 0.284771 0.040804 0.619650 1968 0.057468 0.292277 0.040885 0.609370 1969 0.053306 0.285293 0.039824 0.621577 1970 0.052037 0.288523 0.043362 0.616078 1971 0.048902 0.296405 0.046397 0.608297 =========================================================== el cual, lo habremos conseguido mediante las instrucciones: SHOW SKF SLF SEEF SMF. 3.4. Calcula las estimaciones implicadas para la ecuación SM. Ahora calculamos las estimaciones implicadas para la ecuación SM. Para estimar los parámetros de la ecuación SM podríamos utilizar las restricciones de homogeneidad de grado en 1 en precios, y sustituyendo los parámetros de dicha ecuación, tendríamos dichos coeficientes. Lo mismo haríamos para las varianzas de los parámetros de la ecuación SM. Así, por ejemplo, utilizando las estimaciones del apartado 3.2, los parámetros estimados serán iguales a:

[ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ]

[ ] 277812.0ˆˆˆˆ06684.0026260.0022816.0017764.0)12()9()5(ˆˆ

0382.0007078.0038195.0006985.0)11()8()4(ˆˆ183891.0038195.0117787.0027909.0)8()7()3(ˆˆ

055633.006985.0027909.0034709.0)4()3()2(ˆˆ293103.0183034.0372982.0150881.01)10()6()1(1ˆ

−=++−==−−−−=++−==

−=++−−=++−==−=++−=++−==

−=−+−=++−===++−=++−=

EMLMKMMM

YMMY

EMME

LMML

KMMK

M

cccccccccccc

ccc

γγγγγγγγγγγγ

α

253

3.5. Calcula el error estándar estimado del coeficiente αM.

Ahora, calculamos el error estándar estimado del coeficiente αM. Para calcular los errores estándar de los parámetros debemos obtener la matriz de varianzas y covarianzas en VIEW / COEFFICIENT COVARIANCE MATRIX. Por ejemplo, la varianza del primer parámetro será igual a:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )0067774.0

000314.020529.12000325.02000481.0005718.0000649.0

)10()6(cov2)10()1(cov2)6()1(cov2)10(var)6(var)1(var

)10()6()1(varˆvar

=−−−−

−++=−−

−++=++=

e

ccccccccc

cccMα

y la desviación estándar será igual a 0.0823249. 4. Estimación de las elasticidades en la función translog: 4.1. Calcula a partir de los resultados de la estimación del

sistema de ecuaciones de demanda translog (apartado 3) las 16 elasticidades respecto al propio precio y al precio de los cuatro inputs (En Excel).

254

Calculamos a partir de los resultados de la estimación del sistema de ecuaciones de demanda translog (apartado 3) las 16 elasticidades respecto al propio precio y al precio de los cuatro inputs (En Excel). Para ello, y previamente obtenemos los estadísticos descriptivos de SK, SL, SE y SM mediante la instrucción:

SHOW SK SL SE SM VIEW / DESCRIPTIVE STATS / COMMON SAMPLES

============================================================== Sample: 1947 1971 ============================================================== SK SL SE SM ============================================================== Mean 0.053488 0.274461 0.044820 0.627230 Median 0.054428 0.277162 0.044822 0.619619 Maximum 0.061855 0.297554 0.051266 0.659127 Minimum 0.046020 0.247274 0.039630 0.606417 Std. Dev. 0.004480 0.012877 0.003105 0.014371 Skewness -0.100805 -0.501718 0.121905 0.828324 Kurtosis 2.107953 2.739753 2.677593 2.546507 Jarque-Bera 0.871245 1.119388 0.170197 3.073062 Probability 0.646862 0.571384 0.918422 0.215126 Observations 25 25 25 25 ==============================================================

desde donde podemos obtener las participaciones medias de cada factor que son necesarias para calcular las elasticidades de sustitución. Los resultados que vamos a obtener a continuación se basan en dos aspectos. El primero es que los parámetros que aparecen son estimados bajo las restricciones de simetría, por lo tanto la matriz resultante será simétrica. El segundo es que las participaciones de los factores son las reales y no son las estimadas. Así, por ejemplo, algunas de las elasticidades de sustitución son:

255

( )( )( )( )

( )( )

( )( ) 0798.1

274461.0274461.0274461.0117787.0ˆˆ

5638.5053488.0

053488.0053488.0034709.0ˆˆ

9011101.2274461.0053488.0

274461.0053488.0027909.0ˆˆ

2

2

2

2

2

2

2

2

−=−+=−+=

−=−+=−+=

=+=+=

L

LLLLLL

K

KKKKKK

LK

LkKLKL

SSS

SSS

SSSS

γσ

γσ

γσ

La tabla siguiente resume los resultados de las elasticidades bajo el supuesto de simetría y utilizando sólo las estimaciones de los parámetros (no la de las participaciones).

K L E M

K -5.5638 2.90111 -1.91365 -0.65825 L -1.07980 4.10494 -0.06820 E -17.7880 -0.36196 M -1.30046

Dejamos al lector interesado el cálculo de las elasticidades de sustitución suponiendo que no existe simetría y utilizando las participaciones estimadas por el modelo. 4.2. ¿Qué inputs son sustitutivos y cuáles son

complementarios?. Los inputs sustitutivos son aquellos que poseen elasticidades cruzadas,

jiij ≠,ε , en las que los signos son positivos. Los factores que cumplen estos hechos son Capital y Trabajo; y Trabajo y Energía.

256

Los inputs complementarios son aquellos que poseen elasticidades cruzadas, jiij ≠,ε , en las que los signos son negativos. En esta situación se encuentran los factores Capital y Energía; Capital e Inputs no Energéticos; trabajo e Inputs no Energéticos; y Energía e Inputs no Energéticos. Al igual que en el apartado 4.1, dejamos al lector interesado que compruebe si estos resultados se mantienen utilizando las estimaciones, tanto de los parámetros como de las participaciones medias de los factores. 4.3. ¿Son las demandas elásticas o inelásticas respecto al propio

precio?. El cálculo de las elasticidades precio de los factores atiende a la siguiente expresión: ijiij S σε ˆˆ = . La tabla que aparece a continuación resume estos cálculos.

K L E M

K -0.2976 0.15517 -0.10236 -0.03521 L -0.29638 1.12665 -0.01872 E -0.79726 -0.01622 M -0.22703

Todas las elasticidades respecto al propio precio son negativas y muy próximas a cero, por lo que se supone que son inelásticas.

257

5.1 Haz un intento por estimar la función de costes translog directamente. Escribe la ecuación y estímala por MCO. ¿Qué problemas son los que encuentras?. Coméntalos. En este epígrafe estimaremos diversas funciones de costes que pueden derivarse de la expresión general siguiente. Recordemos que la función de costes translog para los cuatro inputs considerando las restricciones de simetría, es igual a:

( ) ( ) ( ) ( )

( )

YMMYYEEYYLLYYKKY

YYY

MMMEEELLLKKK

MEEMMLLMELLEMKKM

EKKELKKL

MMEELLKK

PPPPPPPP

YY

PPPP

PPPPPPPPPPPLnP

PPPPC

lnlnlnlnlnlnlnln

ln21ln

ln21ln

21ln

21ln

21

lnlnlnlnlnlnlnlnlnlnln

lnlnlnlnlnln

2

2222

0

γγγγ

γα

γγγγ

γγγγγγ

ααααα

++++

++

++++

++++++

++++=

En este punto, y antes de continuar, debemos advertir que los modelos que construiremos a continuación reflejan el orden estricto de los coeficientes y variables en esta ecuación. Lo único que haremos será redefinir los coeficientes en términos de los considerados por el programa E-VIEWS. A continuación, realizaremos la estimación de la función de costes translog de forma directa. Para ello, escribiremos la ecuación y, luego, la estimaremos por MCO. Antes de escribir la ecuación, y en primer lugar, vamos a generar el logaritmo del coste. La instrucción es: GENR LC = LOG(COSTE).

258

A continuación, por ejemplo, escribimos la ecuación translog desde la barra de herramientas mediante OBJECT / NEW OBJECT / EQUATION, tal que: LC = c(1) + c(2)*LPK + c(3)*LPL +c(4)*LPE +c(5)*LPM + c(6)*LPK*LPL + c(7)*LPK*LPE + c(8)*LPK*LPM + c(9)*LPL*LPE + c(10)*LPL*LPM + c(11)*LPE*LPM + 0.5*c(12)*LPK^2 + 0.5*c(13)*LPL^2 + 0.5*c(14)*LPE^2 + 0.5*c(15)*LPM^2 + c(16)*LY + 0.5*c(17)*LY^2 + c(18)*LPK*LY + c(19)*LPL*LY + c(20)*LPE*LY + c(21)*LPM*LY Nótese que aparecen 21 parámetros. Estos serán estimados por MCO. El resultado de la estimación es: ============================================================ Dependent Variable: LC Method: Least Squares Sample: 1947 1971 Included observations: 25 LC = C(1) + C(2)*LPK + C(3)*LPL +C(4)*LPE +C(5)*LPM+ C(6)*LPK

*LPL + C(7)*LPK*LPE + C(8)*LPK*LPM + C(9)*LPL*LPE + C(10) *LPL*LPM + C(11)*LPE*LPM + 0.5*C(12)*LPK^2 + 0.5*C(13)

*LPL^2 + 0.5*C(14)*LPE^2 +0.5*C(15)*LPM^2 + C(16)*LY + 0.5 *C(17)*LY^2 + C(18)*LPK*LY + C(19)*LPL*LY + C(20)*LPE*LY + C(21)*LPM*LY

============================================================ CoefficientStd. Errort-Statistic Prob. ============================================================ C(1) -61.64218 95.68254 -0.644236 0.5545 C(2) 15.45768 7.581219 2.038944 0.1111 C(3) -62.29459 57.08993 -1.091166 0.3365 C(4) -1.094599 51.06624 -0.021435 0.9839 C(5) 70.59190 72.59329 0.972430 0.3859 C(6) 0.987824 1.847020 0.534821 0.6211 C(7) -5.816154 8.240192 -0.705827 0.5192 C(8) 4.423523 6.428652 0.688095 0.5292 C(9) -0.392343 9.820083 -0.039953 0.9700 C(10) 18.07680 19.16864 0.943041 0.3991 C(11) 2.691456 21.07845 0.127688 0.9046 C(12) 2.462565 1.400247 1.758664 0.1535 C(13) -19.94883 18.54286 -1.075823 0.3426 C(14) 0.672511 20.97334 0.032065 0.9760 C(15) -14.68709 21.54260 -0.681770 0.5328 C(16) 25.04052 35.55905 0.704195 0.5201 C(17) -4.689333 6.618408 -0.708529 0.5177 C(18) -2.738582 1.407295 -1.945990 0.1235 C(19) 11.97199 10.74594 1.114094 0.3277 C(20) 0.251508 9.425459 0.026684 0.9800

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C(21) -13.51451 13.71358 -0.985484 0.3802 ============================================================ R-squared 0.999847 Mean dependent var 5.871775 Adjusted R-squared 0.999080 S.D. dependent var 0.388019 S.E. of regression 0.011767 Akaike info criter-6.199561 Sum squared resid 0.000554 Schwarz criterion -5.175705 Log likelihood 98.49451 F-statistic 1304.565 Durbin-Watson stat 2.646362 Prob(F-statistic) 0.000001 ============================================================

Sin embargo, aunque se ha conseguido estimar el modelo, éste presenta muchos problemas de colinealidad, pues encontramos que la mayoría de los parámetros no son significativos estadísticamente, y, además, el coeficiente de determinación es muy elevado (este tiene un valor de 0.9998). Cabe advertir, en este sentido, que puede ocurrir que el programa E-VIEWS no estime dicha ecuación, y lance el mensaje NEAR SINGULAR MATRIX. 5.2. Plantea algunas especificaciones de costes más sencillas. Finalmente, y para terminar, podemos plantear algunas especificaciones de la función de costes que son más sencillas, e incluso podría intentar verificarse si resultan mejores o peores estadísticamente frente a la función translog. Esta cuestión la dejamos al lector interesado. Sin embargo, se debe actuar con cautela a la hora de hacer comparaciones entre los modelos resultantes de este ejercicio, pues hay que tener presente que existe mucha colinealidad entre las variables, pudiéndose desvirtuar el análisis. De esta manera, y simplemente a título ilustrativo, mostraremos la forma de cómo llevar a cabo este análisis. Así, antes de especificar las diferentes funciones de coste translog, distinguiremos dos situaciones: simetría y homogenidad.