TRABAJO DE INVESTIGACIN

MTODOS NUMRICOS EN ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

INTRODUCCIN

Las ecuaciones diferenciales sirven para modelar problemas de ciencias e ingeniera que requieren el cambio de una variable respecto a otra. En la mayor parte de ellos hay que resolver un problema de valor inicial, es decir, resolver una ecuacin diferencial que satisface una condicin inicial dada.En general, las situaciones de la vida real, la ecuacin diferencial que modela el problema resulta demasiado complicada para resolverla con una mayor precisin, por lo que se recurre a dos tcnicas para aproximar la solucin. La primera consiste en simplificar la ecuacin diferencial de modo que se pueda resolver precisamente y utilizar despus la solucin de la ecuacin simplificada para aproximar la solucin de la ecuacin original. La segunda, se vale de mtodos para aproximar la solucin del problema original. Esta tcnica es la que se emplea por lo regular, pues los mtodos de aproximacin dan resultados ms exactos y una informacin realista sobre el error.En la presente investigacin se evidenciar los distintos mtodos empleados para la resolucin de ecuaciones diferenciales ordinarias.

Integracin de RombergEste mtodo usa dos estimaciones de una integral para calcular una tercera ms exacta. Sea el valor de la integral que aproxima a , mediante una participacin de subintervalos de longitud , usando la regla de trapecio. Entonces, el valor de la integral exacta es la suma del valor estimado con un paso ms el error generado:

Donde es el error de truncamiento que se comete al aplicar la regla trapecial.El mtodo de Romberg propone una tcnica para acelerar la convergencia, en el clculo de una aproximacin de una integracin numrica, para obtener un tercer valor ms exacto.La integracin de Romberg se convierte en el algoritmo ms eficiente dentro de ste mtodo, la cual es una frmula recursiva.Suponiendo que se tienen dos aproximaciones: e , con subintervalos y respectivamente.

El error de la aplicacin mltiple de la regla trapezoidal se obtiene por:

Donde es un promedio de la doble derivada entre ciertos valores que pertenecen a cada uno de los subintervalos. Si se despeja se puede conocer el error sin conocer :

Sustituyendo en la igualdad de las dos aproximaciones, tenemos que:

Por ende se logra despejar :

Ya en el caso especial cuando siendo este el algoritmo de Romberg, tenemos:

Para lograr entender el mtodo, es conveniente pensar que se trabaja en niveles de aproximacin. En un primer nivel, es cuando aplicamos la regla del trapecio, y para poder usar la frmula anterior, debemos de duplicar cada vez el nmero de subintervalos: as podemos comenzar con un subintervalo, luego con dos, cuatro, ocho, etc., hasta donde se pida.Luego, se pasa al segundo nivel de aproximacin, que es donde se usa la frmula pero tomando las parejas continas a la aproximacin del nivel anterior, y que corresponden cuando .Los niveles de aproximacin dependen de las aproximaciones que se hicieron en el nivel 0. En general, si en el primer nivel, iniciamos con n aproximaciones, entonces alcanzaremos a llegar hasta el nivel de aproximacin n.

Ejemplo:Usar el algoritmo de Romberg para aproximar la integral:

Con los siguientes segmentos de longitud.

Solucin:Primero se usa la regla del trapecio para llenar el nivel 1. Tenemos entonces que:

Usando las frmulas de Romberg para cada nivel, obtenemos la siguiente tabla:

Donde se concluye que la aproximacin buscada es: Cuadratura Gaussiana Este se convierte en un excelente mtodo numrico para evaluar integrales definidas de funciones, por medio de sumatorias simples y fciles de implementar. Por otra parte, es una aplicacin bastante interesante de los polinomios ortogonales.Una cuadratura de Gauss n-puntos llamada as por Carl Gauss, es una cuadratura que selecciona los puntos de la evaluacin de manera ptima y no en forma igualmente espaciada, construida para dar el resultado de un polinomio de grado 2n-1 o menos, elegibles para los puntos x y los coeficientes para

Tal cuadratura dar resultados precisos solo si es aproximado por un polinomio dentro del rango [-1,1]. Si la funcin puede ser escrita como es un polinomio aproximado y es conocido.

Derivacin de la frmula de Gauss-Legendre basada en dos puntos La cuadratura gaussiana determina los coeficientes de una ecuacin de la forma

Donde son los coeficientes incgnitas, y en contraste a la regla trapezoidal que usa puntos extremos ay b, los argumentos de la funcin y ahora no estn fijos a los puntos extremos, sino que son incgnitas, y se requieren de cuatro condiciones para determinarlas exactamente.Las condiciones se obtienen suponiendo que la ecuacin de coeficientes indeterminados ajusta exactamente la integral de una constante, de una funcin lineal, extendiendo este razonamiento al suponer que ajusta la integral a una funcin parablica y a una funcin cubica.

Estas ecuaciones se resuelven simultneamente,

Sustituyendo en la ecuacin de partida se obtiene la frmula de Gauss-Legendre de los dos puntos

La frmula de integracin que se deriv es el miembro ms simple de las cuadraturas de Gauss. Por lo tanto, se llega al resultado interesante de que la suma simple de los valores de la funcin en lleva una estimacin de la integral con una exactitud de tercer grado. Mtodo de Euler Este mtodo se aplica para encontrar la solucin a ecuaciones diferenciales ordinarias, esto es, cuando la funcin involucra solo una variable independiente:

El mtodo se basa de forma general en la pendiente estimada de la funcin para extrapolar desde un valor anterior a un nuevo valor:

Como tambin, De esta manera la formula se aplica paso a paso para encontrar un valor en el futuro y as trazar la trayectoria de la solucin.

Figura 1. Prediccin de un nuevo valor en la solucin. Fuente: www.gridmorelos.uaem.mx/~mcruz/cursos/mn/euler.pdfEl mtodo de Euler utiliza la pendiente al inicio del intervalo como una aproximacin de la pendiente promedio sobre todo el intervalo. La primera derivada proporciona una estimacin directa de la pendiente .

, es la ecuacin diferencial evaluada en y . Sustituyendo esta estimacin de la pendiente en la ecuacin (1), se tiene: La ecuacin (2), se le conoce como el mtodo de Euler. En esta frmula se predice un nuevo valor de por medio de la pendiente que es igual a la primera derivada en el valor original de , este nuevo valor habr de extrapolarse en forma lineal sobre el tamao de paso h.

Ejemplo:Dada la siguiente ecuacin diferencial con la condicin inicial:

NOTA:Primero observamos que esta ecuacin s puede resolverse por mtodos tradicionales de ecuaciones diferenciales. Por ejemplo, podemos aplicar el mtodo de separacin de variables. Veamos las dos soluciones.

Solucin Analtica.

Sustituyendo la condicin inicial:

Por lo tanto, tenemos que la curva solucin real est dada:

Y por lo tanto, el valor real que se pide es:

Aplicamos el mtodo de Euler y para ello, observamos que la distancia entre y no es lo suficientemente pequea. Si dividimos esta distancia entre cinco obtenemos un valor de y por lo tanto, obtendremos la aproximacin deseada en cinco pasos. De esta forma, tenemos los siguientes datos:

Sustituyendo estos datos en la frmula de Euler, tenemos, en un primer paso:

Aplicando nuevamente la frmula de Euler, tenemos, en un segundo paso:

Y as sucesivamente hasta obtener . Resumimos los resultados en la siguiente tabla:

n

0 0 1

1 0.1 1

2 0.2 1.02

3 0.3 1.0608

4 0.4 1.12445

5 0.5 1.2144

Concluimos que el valor aproximado, usando el mtodo de Euler es:

Puesto que en este caso, conocemos el valor verdadero, podemos usarlo para calcular el error relativo porcentual que se cometi al aplicar la frmula de Euler. Tenemos que:

Pseudocdigo:Lea a,b,n, h= (b-a)/n

Para i desde 1 hasta n haga

Fin paraPara i desde 1 hasta n hagaImprima Fin

Siendo (t) y (y), vectores, y siendo f() un mtodo que recibe dos parmetros y arroja un resultado (la funcin)

Mtodo de HeunEs un mtodo que mejora la estimacin de Euler, al estimar la pendiente con dos derivadas para el intervalo h evaluado, una en el punto inicial y la otra en el punto final.

Figura 2. Correccin de la pendiente con el mtodo de Heun al usar dos derivadas. En a) Predictor y b) corrector. Fuente: www.gridmorelos.uaem.mx/~mcruz/cursos/mn/euler.pdf En el mtodo de Euler la pendiente al inicio de un intervalo es:

Para extrapolar linealmente a

En el mtodo de Heun la es una prediccin intermedia conocida como ecuacin predictor. Esta permite la estimacin de la pendiente al final del intervalo:

Las dos pendientes calculadas, al inicio y al final del intervalo se pueden combinar para obtener una pendiente promedio para el intervalo:

Est pendiente promedio se utiliza despus para extrapolar linealmente desde , hasta usando el mtodo de Euler, que se conoce ahora como ecuacin corrector:

La ecuacin posee en ambos lados del signo igual a , por lo que se puede aplicar de forma iterativa ella misma, varias veces en cada intervalo. De esta manera en cada intervalo se podr mejorar repetidamente una estimacin de .Pseudocdigo:

Mtodo de Taylor El mtodo de Euler no es ms que un caso particular de los mtodos de Taylor, que consisten de manera general en aproximar la solucin por su polinomio de Taylor de un orden determinado.

Tal que presenta nica solucin en un entorno de aproximaremos dicha funcin por su polinomio de Taylor de orden N:

Y el error de aproximacin viene determinado por el resto de orden N+1, de manera que el erro proporcional a . Si fijamos una sucesin de puntos equiespaciados: con , y denominados a los valores aproximados correspondientes de , tendremos que:

Con un error de cada paso (error local2) proporcional a . Para poder aplicar el mtodo necesitamos conocer las derivadas de la solucin, pero teniendo en cuenta la propia ecuacin diferencial.

Ejemplo:Apliquemos el mtodo de Taylor de orden dos a la ecuacin , con la condicin inicial de . La expresin a considerar ser:

Tendremos entonces que:

Y as los primeros pasos tomando h=0.5 serian

Y as sucesivamente. El error local en esta aproximacin ser proporcional a y por tanto el error global lo ser .

BIBLIOGRAFA

Devincienzi G. (2008). Integraciones Numricas: Integracin de Romberg. Universidad Nacional del Nordeste. Facultad de Ingeniera. Provincia del Chaco. Argentina.

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Snchez M. (2009). Mtodos Numricos en ecuaciones diferenciales ordinarias Tema 4. Universidad de Salamanca. Facultad de Ingeniera. Salamanca. Espaa.

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