1

LOS COEFICIENTES DE TRANSPORTE (viscosidad, conductividad térmica y

coeficiente de difusividad)

Hemos visto que los procesos de trasporte (momento, calor, y masa) cada uno involucra

una propiedad del sistema [viscosidad ( ), conductividad térmica (k), difusividad (DAB)].

Estas propiedades son llamadas coeficientes de trasporte. Como propiedades del sistema

estas son funciones de la temperatura y la presión.

Las expresiones para el comportamiento de estas propiedades en gases de baja densidad

pueden ser derivadas mediante el uso de dos teorias aproximadas:

1. La teoría cinética de los gases

2. Uso de interacciones moleculares (teoría de Chapman-Enskog).

En el primer caso las moléculas son rígidas, no se atraen y son de forma esférica. Entonces

podemos considerar que estas moleculas tienen:

Una masas m y un diámetro d

Una concentración n (moléculas / unidad de volumen)

Una distancia de separación que muchas veces es d.

De acuerdo a lo anterior, se pueden obtener las siguientes expresiones para la viscosidad,

la conductividad térmica, y la difusividad:

(1-10)

donde K es la constante de Boltzmann ( k = 1,38 × 10-23 J . k-1).

(1-11)

Donde el gas es monoatómico

(1-12)

Los subíndices A y B se refieren al gas A y al gas B.

Si las interacciones moleculares son consideradas (p. ej., las moléculas pueden ambas

atraerse y rechazarse) un grupo de ecuaciones diferentes para las propiedades de transporte

son obtenidas. Estas expresiones aproximadas implican el relacionar la fuerza de

interacción, F, a la energía potencial de interacción . La última cantidad (energía

potencial de interaccion) es representada por el potencial de Lennard-Jones (ver figura 1-4)

2

3 3/2

mKT

d2

k1

d2K 3T3m

DAB2

3

K 3

3

1/2

1

2mA

1

2mB

1/2

T 3/2

PdA dB2

2

(r) 4r

12

r

6

2

Donde es el diámetro característico de la molécula y la energía característica de

interacción entre moléculas (la energía de atracción máxima entre dos moléculas) (ver tabla

A-33 en el apéndice de valores de y ).

La ecuación de potencial de Lennard-Jones predice la atracción débil molecular a grandes

separaciones (proporcional a r-6

) y la repulsión fuerte para separaciones pequeñas

(proporcional a r-12

).

Las ecuaciones resultantes de viscosidad, conductividad térmica, y difusividad usando el

potencial de Lennard-Jones son:

Donde esta en unidades de kg/m-s o pascal-segundo, T esta en °K, esta en Å, la

es una función de KT/ (ver apéndice), y M es peso molecular.

donde k esta en W/m°K, esta en Å, y K

= . La expresión es para un gas

monoatómico.

donde ABD esta en unidades de m

2/s, P esta en atmósferas, AB

1

2A B ,

AB A B , y DAB

esta en función de KT/AB

(ver apéndice B, tabla A-3-4).

2.6693 10 6 MT2

k 0.8322T /M2

K

DAB 1.8583 10 7T 3 1 /MA 1 /MB

P AB

2

DAB

3

Figura 1-4. Modelo potencial de Lennard-Jones en función de la energía.

Ejemplo 1-1 La viscosidad del isobutano a 23°C y presión atmosférica es 7.6 x 10-6

pascal-seg. Compare este valor con el calculado por la deducción de Chapman-Enskog.

De la tabla A-3-3 del apéndice A tenemos

Å

Entonces, KT/ =296.16/313=0.946 y de la tabla A-3-4 del apéndice B obtenemos:

341.5 /K 313oK

1.634

2.6693 10 6 MT2

2.6693 10 6 (58.12)(296.16)

(5.341)2 (1.634)

7.51 10 6 pascal seg

%error 7.6 7.51 / 7.6 100 1.18%

4

K5.177K)230)(K137(KKK

BAAB

Ejemplo 1-2 Calcular la difusividad del sistema metano-etano a 104°F y 14.7 psia.

El metano será A y el etano será B. Entonces,

De la tabla A en el apéndice tenemos:

A

K134 K,

418.4822.32

1

2

1BAAB Å= 4.120 Å

KT

AB

313

177.51.763

De la tabla A-3-4 en el apéndice, nosotros tenemos 125.1DAB

DAB1.8583 10 7 T 3(1 /MA 1 /MB )

P AB

2

DAB

DAB1.8583 10 7 (313 K)3(0.0956)

(1)(4.120)2(1.125)

segmDAB /1066.1 25

El valor actual es 1.84 10-5

m2/seg. El porcentaje de error es 9.7%.

T104 460

1.8K 313 K

1

M A

1

M B

1

16.04

1

30.070.0956

B 4.418Ao

A 3.822Ao

B

K230 K

5

EJERCCIOS: determine el valor de la conductividad termica para el argon a presion

atmosferica y 100 C. Comparelo y detemine el porcentaje de error con algun valor

tabulado.

Determine la difusivad para el sistema argon-metano a 345 K y compare su resultado con

algun valor tabulado.

COMPORTAMIENTO DEL COEFICIENTE DE TRANSPORTE PARA GASES DE

ALTA DENSIDAD Y MEZCLA DE GASES

Si los sistemas de gases tienen alta densidad, tanto la teoría de la cinética de los gases y la

teoría de Chapman-Enskog no son adecuadas para describir el comportamiento de los

coeficientes de transporte. Por otra parte, la expresión previamente derivada de la

viscosidad y de la conductividad térmica sólo se aplican a los gases puros y no a las

mezclas de gases. El enfoque típico de estas situaciones es utilizar la teoría de los estados

correspondientes como un método para abordar el problema.

Recordemos que la teoria de los estados correspondientes establece que dos gases a

diferentes T y P pero con la misma Tr y Pr tendran un mismo Vr. Es decir, estaran en

estados correspondientes. Cuando dos o mas gases estan en estados correspondientes,

algunas de sus propiedades fisicas, tales como densidad, viscosidad, peso especifico,

fugacidad, etc. Son iguales o al menos casi iguales.

Las figuras 1-5, 1-6, 1-7, y 1-8 dan la correlación de la viscosidad y de la conductividad

térmica de los gases monoatómicos. Las figuras 1-5 y 1-7 son gráficos de la viscosidad

reducida (C/ , donde C es la viscosidad en el punto crítico) y la conductividad térmica

reducida ( Ckk / ) versus temperatura reducida ( CTT / ) y presion reducida ( Cpp / ) . El otro

conjunto son gráficos de viscosidad y conductividad térmica dividida por los valores

( ,0 k0) a presión atmosférica y la misma temperatura.

Los valores de C pueden ser estimadas a partir de las relaciones empíricas

C 61.6(MTC )

1/2

(V̂C )2 /3

C

7.70M 1/2PC2/3

(TC )1/6

Donde C esta en micropoises, CT esta en °K, CP en atmósferas, y CV̂ esta en cm3/gmol.

6

Figura 1-5. Viscosidad reducida como una función de la presión y la temperatura reducida

(2).

7

Figura 1-6. Viscosidad reducida en función de la temperatura y la presión reducida (3).

8

Figura 1-7. Conductividad térmica reducida (gases monoatómicos) en función de la

temperatura y la presión reducida.

9

Figura 1-8. . Conductividad térmica reducida (gases monoatómicos) en función de la

temperatura y la presión reducida.

10

El comportamiento de la viscosidad y la conductividad térmica de las mezclas de gases a

bajas densidades se describe semiempiricamente por las relaciones derivadas por Wilke

de la viscosidad y por Mason y Saxena de conductividad térmica:

mix

yi i

y j ij

j 1

n

i 1

n

(1-19)

ij

1

81M i

M j

1/2

1 i

j

1/2

M j

M i

1/42

(1-20)

kmixyi i

y j ij

j 1

n

i 1

n

(1-21)

Las ij ´s en la ecuación (1-21) están dadas por la ecuación (1-20). Las y´s se refieren a

las fracciones mol de los componentes.

Para las mezclas de gases densos el método pseudocrítico es recomendado. Aquí las

propiedades críticas de la mezcla están dadas por:

n

i

CiiC PyP1

´

n

i

CiiC TyT1

´

n

i

CiiC y1

´

donde iy es una fracción molar mdel componente i; CiP , CiT y Ci son los valores de las

propiedades criticas del componente puro i. Estos valores son entonces utilizados para

determinar la ´

RP y ´

RT valores necesarios para obtener ( i/ ) en la figura 1-5.

El mismo método puede ser usado para la conductividad térmica con la figura 1-7 si los

datos de Ck se pueden obtener o mediante el uso de k° valor determinado a partir de la

ecuación (1-15).

El comportamiento de difusividades no es tan fácilmente obtenido como los otros

coeficientes de transporte. La combinación ( PDAB ) es esencialmente una constante hasta

11

alrededor de las 150 atm de presión. Más allá de eso, la única correlación es la elaborada

por Slattery y Bird. Esta, sin embargo, deberá ser utilizada con cautela porque esta basada

en datos muy limitados.

Ejemplo 1-3. Comparar las estimaciones de la viscosidad de CO2 a 114,6 atm y 40.3°C.

utilizando

1. Figura 1-6 y un valor de viscosidad experimental de 1800 x 10-8

pascal-seg de C02 a 45.3

atm y 40.3°C.

2. La relación de Chapman-Enskog y la figura 1-6.

De la tabla A-3-3 del apéndice A, TC=304.2°K y PC=72.9 atmósferas. Para el primer caso

tenemos:

03.12.304

46.313RT , 622.0

9.72

3.45RP

de modo que # 1.12 y

0 #

1800 10 8 pascal seg

1.121610 10 8 pascal seg

Para P=114.6 atm tenemos

PR114.6

72.91.57 , 03.1RT

De modo que 7.3# y

segpascalesegpascales 88

0

# 106000)101610)(7.3(

Para el segundo caso, de la tabla A-3-3 del apéndice tenemos

01.44M , 996.3 Å, 190/ k K

y

KT 313.46

1901.165

así que de la tabla A-3-4 del apéndice y 264.1 obtenemos

12

2.6693 10 6 MT2

2.6693 10 6 (44.01)(313.46)

(3.996)2 (1.264)1553 10 8 pascal seg

De la figura 1-6, # es aun 3.7 así que

segpascalsegpascal 8105746)101553)(7.3(

El valor experimental actual es 5800x10-8

pascal-seg. Los porcentajes de error para el caso

1 y caso 2 son 3.44% y 0.93%, respectivamente.

Ejemplo 1-4. Estimación de la viscosidad de una mezcla de gases de CO2 (y=0.133);

O2 (y=0.039); N2 (y=0.828) a 1 atm y 293°K usando

1. La figura 1-5 y el concepto pseudocritico.

2. Ecuaciones (1-19) y (1-20) con las viscosidades de los componentes puros de 1462, 2031

y 1754 x 10-8

pascal-seg, respectivamente, para CO2 O2 y N2.

En el primer caso los valores de TC, PC, y C (de la tabla A-3-3 del apéndice) son como se

muestran:

TC (ºK) PC (atmosferas) c(pascal-seg)

CO2 304.2 72.9 3430x10-8

O2 154.4 49.7 2500x10-8

N2 126.2 33.5 1800x10-8

)K2.126)(828.0()K4.154)(039.0()K2.304)(133.0(´

CT

K97.150´

CT

)5.33)(828.0()7.49)(039.0()9.72)(133.0(´

CP atm

37.39´

CP atmósferas

8´ 10)1800)(328.0()2500)(039.0()3430(133.0C pascal-seg

8´ 101.2044C pascal-seg

Entonces

94.197.150

293´

RT , 025.037.39

1´

RP

13

De la figura 1-5 tenemos

855.0´

´

C

R

8101.2044)(855.0( pascal-seg)=1747.7 810 pascal-seg

Para el caso 2, tenemos CO2=1, O2=2, y N2=3. Entonces: M1=44, M2=32, M3=28

i j Mi / Mj Mj / Mi ij

1 1 1.00 1.00 1.00

2 1.38 0.72 0.73

3 1.57 0.83 0.73

2 1 0.73 1.39 1.39

2 1.00 1.00 1.00

3 1.14 1.16 1.04

3 1 0.64 1.20 1.37

2 0.88 0.86 0.94

3 1.00 1.00 1.00

mix

Yi i

y j ij

j 1

3

i 1

3

mis

(0.133)(1462)

(0.76)

(0.039)(2031)

(1.06)

(0.828)(1754)

(1.05)10 8 pascal-seg

8101714mixpascal-seg

El valor experimental actual de la viscosidad de la mezcla es 1793 10-8

pascal-seg. Los

porcentajes de error son 2.51 y 4.41% respectivamente, para los casos 1 y 2.

COEFICIENTES DE TRANSPORTE EN SISTEMAS LIQUIDOS Y SÓLIDOS.

En general, la comprensión del comportamiento de los coeficientes de transporte de

gases es mucho mayor que la de los sistemas de líquidos. Esto puede explicarse en parte

por que los líquidos son mucho más densos de los gases. Además, teórica y

experimentalmente el trabajo realizado para los gases es mucho más extenso que el caso de

los líquidos. En cualquier caso, el resultado neto es que los enfoques para el

14

comportamiento de los coeficientes de transporte en los sistemas líquidos son

principalmente de naturaleza empírica.

Una expresión aproximada utilizada para la viscosidad de líquidos se basa en la

teoria de la velocidad de activacion de Eyring. Esta conduce a una expresión de la forma

Nh

Vexp

0.408 Uvap

RT

donde N es el número de Avogadro, h es la constante de Plancks, V es el volumen molar, y

vapU es el cambio de energía interna molar en el punto normal de ebullición del liquido.

La ecuación de Eyring, es una de las mejores aproximaciones, por lo que se recomienda

que las viscosidades de los líquidos sea estimado usando el nomograma dado en la figura

B-1 del apéndice.

Para la conductividad térmica la teoría de Bridgman propone la siguiente expresión:

SKVV

Nk

3/2

ˆ

ˆ80.2

donde Vs, es la velocidad del sonido

TV

PS

P

C

CV

Las anteriores expresiones para viscosidad y conductividad térmica son para componentes

puros. Para mezclas es recomendado que el método pseudocritico sea usado donde sea

posible de acuerdo a las regiones liquidas de las figuras 1-5 a la 1-8.

Las difusividades en líquidos pueden ser tratados por la ecuación de Stokes-Einstein

A

BAB

RKT

D

4

1

Donde AR es el radio de difusión de las especies y B es la viscosidad del solvente.

15

Otro enfoque (para soluciones diluidas) es utilizar la correlación de Wilke y Chang:

6.0

2/18

)ˆ(

)(104.7

A

BBAB

V

TMD

donde AV̂ es el volumen molar de la especie que se difunde en su punto de ebullición

normal, es la viscosidad de la solución, y B

es un parámetro empírico ( "parámetro de

asociación"), como se indica en la tabla 1-1.

Las difisividades de líquidos son altamente dependientes de la concentración. Las

anteriores expresiones deben ser usadas por lo tanto, solo para casos de mezclas binarias

diluidas.

Para los sistemas de sólidos el lector debe consultar el texto de Jakob (13) para

conductividades térmicas. Las difusivitidades en sistemas sólidos son dadas por las

referencias 14-17.

Ejemplo 1-5. Comparar los valores de viscosidad para el agua líquida a 60 ° C según lo

determinado por

1. La ecuación de Eyring (la vapU es KgmolJ /10759.3 7 )

2. Usando el nomograma en la figura B-1 y en la tabla B-1 del apéndice.

Para el caso 1,

kgmol

m

kgmol

mMV

33

01802.01000

02.18ˆ

16

RT

U

V

hN vap408.0exp

ˆ

ˆ

)/4.8314)(10.333(

/10759.3408.0exp

/01802.0

1062.610023.6 37

3

3426

kgmoljK

kgmolm

kgmolm

Jseg

kgmol

00562.0 pascal-seg

para el caso 2, las coordenadas de agua son (10.2, 13). Conectando a 60 ° C con este punto

da una viscosidad de 41070.4 pascal-seg.

El valor de viscosidad experimental actual es 41067.4 pascal-seg, que indica claramente

que el método de Eyring es sólo una aproximación.

Ejemplo 1-6 Estimación de la conductividad térmica del líquido de tetracloruro de

carbono (CCl4) a 20°C y presión atmosférica.

3/1595 mkg , N

m

P T

211105.89

1

2

25

2113107

)/105.89)(/1595(

1

)/(/1

1

seg

m

JmmkgP

P

TT

si se supone que Cp=Cv (una suposición buena para las condiciones), entonces:

segmsegmP

C

CV

TV

PS /837)/107)(1( 225

Los valores de V están dados por

kgmol

m

kgmol

mMV

33

0965.01595

84.153ˆ

17

3/2

ˆ

ˆ80.2

V

NkV

)/837(103805.10965.0

10023.680.2 23

3/2

3

26

segmK

J

mkgmol

kgmolKVS

Kmseg

Jk 112.0

El valor experimental es 0.103 J/mseg°K. Esto da un porcentaje de error de 8.74%.

Ejemplo 1-7 ¿Cuál es la difusividad de una solución diluida de ácido acético en agua a

12,5 ° C?. La densidad de ácido acético en su punto de ebullición normal es 0.937 g / cm3.

La viscosidad del agua a 12.5°C es 1.22 Cp.

Usando la ecuación de Wilke-Chang, obtenemos

6.0

2/18

ˆ)(104.7

AB

BBABV

TMD

gmol

cm

gmol

cmMVA

33

1.64937.0

60ˆ

6.2B (de la tabla 1-1)

6.03

2/18

)/1.64)(22.1(

5.287)186.2(104.7

gmolm

KDAB

segmsegcmDAB /108.9/108.9 21026

ECUACIÓN DE CAMBIO DE UNA DIMENSIÓN; ANALOGIAS

Como se indica anteriormente, cada uno de los tres procesos de transporte es una función

de una impulsora y un coeficiente de transporte. También es posible hacer las ecuaciones

más similares mediante la conversión de los coeficientes de transporte a las formas de

18

difusividades. La primera ley de Fick ya tiene su coeficiente de transporte de esta forma.

Las formas para la ley de Fourier y la ley de Newton de la viscosidad son

Difusividad térmicaPC

k

Difusividad de momento v (viscosidad cinematica)

Las unidades de todas las difusividades son (longitud)2/unidad de tiempo (por ejemplo:

cm2/seg, m

2/seg y ft

2/hr). La difusividad de momento también se conoce como viscosidad

cinemática.

Si los coeficientes de transporte se convierte de este modo, las ecuaciones de cambio en una

dimensión entonces llegan a ser

dy

TCdq P

y

)(

dy

Vdv x

yx

)(

dy

CdDJ A

ABAy

)(

Este resultado indica que esos tres procesos son análogos en casos de una dimensión. De

hecho, la transferencia de calor y masa serán análogos, incluso en casos más complicados,

como será demostrado posteriormente. Para el caso de transferencia de momento esto no es

cierto, cuyo comportamiento análogo sólo se aplica para casos de una dimensión.

19

20