02 potencias radicales y logaritmos

7/24/2019 02 Potencias Radicales y Logaritmos

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El tema comienza con el estudio de las potencias; ste seinicia con las potencias de exponente natural, se prosi-gue con las de exponente entero y finaliza con las de expo-nente racional.

En esta primera parte, se resaltan las propiedades de laspotencias, la jerarqua de las operaciones y el uso de la calcula-dora, con el objetivo de evitar errores de clculo posteriores.En la segunda parte del tema se estudian los radicales y la rela-cin de escritura entre radicales y potencias. Se analizan condetalle las propiedades de los radicales, la simplificacin, elprocedimiento para extraer e introducir factores en el radical,las operaciones, la racionalizacin y el uso de la calculadora.En la ltima parte, se introducen los logaritmos comoexponentes en una cierta base positiva y distinta de uno, y

se resaltan los logaritmos decimales y neperianos. Se esta-blece la relacin entre potencias, radicales y logaritmos, yse explica el uso de la calculadora y, fundamentalmente, laspropiedades de los logaritmos.

ORGANIZA TUS IDEAS

POTENCIAS, RADICALES Y LOGARITMOS

propiedades: loga (p q) =

= log a p + log a q

loga =

= log a p log a q

loga pn = n log a p

loga =loga p

nnp

pq

logaritmos:n = log a p

propiedades: an a p = a n + p

an : a p = a n p

(an)p = a n p

(a b) n = a n b n

(a : b) n = a n : b n

potencias:p = a a a n) a

propiedades:

=

=

: =

=

( )p =

( )= npanpa

napna

na : b

nbna

na b

nbna

radicales:a = np

se trata de hallar una variable en la expresin

si se trata de hallarp se tienen

si se trata de hallara se tienen

si se trata de hallarn se tienen

que tienen que tienen que tienen

an = p


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1.1. Potencia de exponente natural

Ejemplo23 = 2 2 2 = 8

(2)3 = 2 (2) ( 2) = 8 ( )3 = =

1.2. Calculadora

Ejemplo

7,52 2,53

28 106

1.3. Signo de una potencia de exponente naturalElsigno de una potencia es positivo salvo cuando la base es negativa y elexponente es impar, en cuyo caso es negativo.

1000000=6EXP256=82

15,625=x 32.556,25=x 27.5

La calculadora tiene las teclas de cuadrado, ; cubo, ; potencia engeneral, o ; y potencia en base 10,

8125

25

25

25

25

Unapotencia es un producto de factores iguales.

a n = a a a Labase de una potencia es el factor que se multiplica, y elexponente esel nmero de veces que se multiplica la base.

32 BLOQUE I: ARTIMTICA

1. Potencias de exponente natural y entero

Calcula mentalmente las siguientes potencias:a) 23 b) (2)3 c) 23 d) (2)3

P I E N S A Y C A L C U L A

Propiedadesde las potencias

a n a p = a n + p

a n : a p = a n p

(a n)p = a n p

(a b)n = a n bn

(a : b)n = a n : bn

NombresCuadradoCuboo Potencia x y

x 3x 2

Casos particularesa) Una potencia de base cero y exponente positivo es cero.b) Un nmero distinto de cero, elevado a cero, es igual a uno.c) Una potencia de base uno y exponente cualquiera es uno.d) Un nmero elevado a uno es igual a dicho nmero.

Ejemplo

03 = 050 = 113 = 151 = 5

Base Exponente Signo del resultado+

Par o imparPar

Impar

++

Ejemplo

23 = 8; 24 = 16(2)4 = 16

(2)5 = 32

exponente

base

n

x 2 x 3x y EXP

Propiedadesde las potencias

a n a p = a n + p

a n : a p = a n p

(a n)p = a n p

(a b)n = a n bn

(a : b)n = a n : bn


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1.4. Potencia de exponente entero negativo

1.5. Evitar errores habituales

1.6. Jerarqua de las operaciones

Ejemplo

(35 19) = (243 19) 5,3 = 224 5,3 =1187,21187,2=28.09)1953(

28,09

La jerarqua de las operaciones dice que stas se realizan en el siguienteorden:a) Parntesis.b) Potencias y races.c) Multiplicaciones y divisiones.d) Sumas y restas.e) Si las operaciones tienen el mismo nivel, se empieza por la izquierda.

Unapotencia de exponente entero negativo es igual a uno dividido porla misma potencia pero con exponente positivo.

1a n = siempre que a? 0a n

332. POTENCIAS, RADICALES Y LOGARITMOS

Calcula mentalmente los cinco primeros cuadra-dos perfectos.

Calcula mentalmente:

a) 24 b) ( 2)4 c) 2 4 d) (2) 4

Calcula mentalmente:a) ( )3 b) ( )3 c) ( )3 d) ( )3

Calcula mentalmente:a) 07 b) ( 5)0 c) 16 d) ( 6)1

Utilizando la calculadora, realiza las siguientes ope-raciones y redondea los resultados a dos decimales:

a) 4,232 b) 2,53

c) 0,912 d) 5,3 10 7 8,4 10 3

Escribe en forma de potencia de base 2:

a) 32 b) 2 c) 1 d) 1/32

Utilizando la calculadora, realiza las siguientes ope-raciones y redondea los resultados a dos decimales:a) (12,72 + 83)

b) (5,63 5,2 47,5) :

c) (2,55 67,7 : 4,3)


a) (3 + 4) 2 b) 32 + 4 2 c) (5 3) 2 d) 52 3 2

Expresa el resultado en forma de una sola poten-cia utilizando las propiedades de las potencias:

a) x3 x4 b) x7 : x3 c) (x3)2 d) x3 x4 : x5

Una pecera tiene forma cbica y su arista mide75 cm.Si est llena,cuntos litros de agua contiene?

10

9

8

444,4333,3

34,2

7

6

5

4

23

23

23

23

3

2

1

A P L I C A L A T E

Casos particulares

a) No debe confundirse potencia con producto:a n no es igual quea nb) No debe confundirse(a)n con a n. Sin es impar, son iguales; y si

n es par, es igual aa n

c) (a + b)n no es igual quea n + bn

d) (a b)n no es igual quea n bn

Ejemplo

53 = 5 5 5 = 125(2)3 = 8

(2)4 = 16 = 24

(3 + 5)2 = 82 = 64(8 3)2 = 52 = 25

5 3 = 15 23 = 824 = 16

32 + 52 = 9 + 25 = 3482 32 = 64 9 = 55

EjemploCalcula: 2 3

23 = = 181

23

a n n( )

:+


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2.1. Radical

Ejemplo= 2 porque 23 = 8 = 2 porque

2.2. Nmero de races de un radicalSe pueden presentar los siguientes casos:

2.3. CalculadoraLa calculadora tiene la tecla o . En el caso de que no la tenga, hay que pasar la raz a potencia y utilizar la tecla o

2.4. Relacin en la escritura entre potencias y radicalesUnapotencia de exponente fraccionario es equivalente a un radicalcuyo ndice es el denominador del exponente y cuyo radicando es la baseelevada al numerador del exponente.

x y x 1/y x

24 = 16(2)4 = 16

41638

Laraz ensima de un nmeroa es otro nmerob, tal queb elevado anesa

na = b bn = a

La raz ensima es la operacin inversa de la potencia.


2. Radicales

Halla mentalmente el valor de x en los siguientes casos:a) = x b) = 10 c) = 3 d) = x 416x 816x 31000


a) Si el ndice del radical es impar, tiene una raz y es delmismo signo que el radicando.

na

b) Si el ndice del radical es par y el radicando positivo,

tiene dos races reales opuestas.

na

c) Si el ndice del radical es par y el radicando negativo, notiene raz real.

na

= 2= 23 8

38

= 3481

no tiene raz real

4 64

NombresRaz cuadrada Raz cbica Raz ensima x

3

NombresRadicalSigno radical

n ndicea Radicandob Raz

na

ConvenioEn las operaciones con radi-cales de ndice par, la raztoma el signo que lleve elradical.

= 8 5 = 32564

Ejemplo

2,159830012=47x 5

547

Potencia

Ejemplo

a 1/n = na

51/3 = 35

a 1/n = ; a? 01na

21/5= 152

a p/n = na p

32/5 = 532

a p/n = ; a? 01na p

32/5= 1532


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2.5. Simplificacin de radicalesDosradicales son equivalentes si tienen las mismas races. Si en un radicalse multiplica o divide el ndice de la raz y el exponente del radicando por unmismo nmero, el valor aritmtico del radical no vara, es decir, se obtieneun radical equivalente.

Ejemplo

= = = = = 3,65930571

Simplificacin de radicales

2.6. Introducir y extraer factores en el radicando

Ejemplo

2 = = =

Ejemplo

= 543523514

Paraextraer un factor de un radical se divide el exponente entre el ndi-ce de la raz; el cociente sale fuera del radical como exponente del nme-ro, y el resto se queda como exponente del nmero dentro del radical.

34038 5323 535

Paraintroducir un factor en un radical, se eleva el factor al ndice delradical y se introduce dentro del radical multiplicando al radicando.

a n b =n

a n b

Parasimplificar un radical, se divide el ndice del radical y el exponentedel radicando por el M.C.D. de ambos. Esta simplificacin es vlida siexisten los dos radicales.

ns a ps= n a p

1278976674372


Calcula mentalmente el valor de los siguientesradicales:

a) b) c) d)

Utilizando la calculadora, halla las siguientes races.Redondea los resultados a dos decimales.

a) b)

c) d)

Escribe en forma de radical las potencias:a) 51/3 b) x 1/2 c) a2/3 d) 6 3/4

Escribe en forma de potencia los radicales:

a) b) c) d)

Simplifica los siguientes radicales:

a) b) c) d)

Introduce dentro del radical el factor que est

delante:a) 3 b) a c) 2 4 a d) 32 x3

Extrae todos los factores posibles de los siguien-tes radicales:

a) b)

c) d)

El volumen de un cubo es 2 m 3. Cunto mide laarista? Redondea el resultado a dos decimales.

18

564x17y11z481a11b6

332a750

17

45x52a2345

16

12a88566x25415

1765

13a

5a27

14

13

51000489,45

3895,34345,67

12

364163 825

11

A P L I C A L A T E

14 32 4

Ejemplo

= =7

M.C.D.(6, 4) = 2

3526 :254 :2654


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3.1. Suma y resta de radicales

Ejemplo

3 4 = 15 12 =3Los radicales que no son semejantes no se pueden sumar ni restar. Si se quie-re obtener el valor aproximado, se suman o restan con la calculadora.

Ejemplo

3 2 = 3,47

3.2. Producto y cociente de radicales del mismo ndice

3.3. Producto y cociente de radicales cuando no tienen elmismo ndice

EjemploMultiplica los radicales: ym.i.c. (3, 4) = m.c.m (3, 4) = 12 12 : 3 =4 12 : 4 =3

= =1258 7912791258473352

473352

Para realizar el producto y el cociente de radicales que no tienen el mis-mo ndice, se sigue este procedimiento:

a) Se reducen los radicales al mnimo ndice comn. Para ello: Se halla el m.c.m. de los ndices, que es el m.i.c. Se divide el m.i.c. entre cada uno de los ndices, y el resultado se

multiplica por el exponente del radicando.b) Se multiplican o dividen los radicales que ya tienen ndice comn.

3,465117978=527357

2221850

Radicales semejantes son aquellos radicales que, despus de simplifica-dos, tienen el mismo ndice y el mismo radicando.Parasumar y restar radicales, stos tienen que ser semejantes. Si es as,se suman o restan los coeficientes y se deja el mismo radical.


3. Operaciones con radicales

Calcula mentalmente el resultado de las siguientes operaciones:a) b) + c) d) 92525 91699 + 16


Evitar erroreshabituales

? +? nbna na b

nbna na + b

Propiedadesde los radicales

=: =

( )p == npa np

a

na pna

na : bnbna

na bnbna

Clculo mentalPara extraer factores de unradical cuadrtico, se des-compone el radicando comoproducto del mayor cuadra-do perfecto y un nmero.

Ejemplo

= = 5= = 329 218

225 250

Elproducto de dos radicales del mismo ndice es otro radical delmismo ndice y de radicando el producto de los radicandos.

El cociente de dos radicales del mismo ndice es otro radical delmismo ndice y de radicando el cociente de los radicandos.

= na bnbna

: = na : bnbna

= = 2383432

: = = 53125323250


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3.4. Potencia y raz de un radical

3.5. Racionalizacin

En el denominador solamente hay una raz cuadrada

En el denominador solamente hay una raz ensima

Ejemplo

= = =

En el denominador hay una suma o resta con races cuadradas

Ejemplo

= = =

= =3(7

3 )

26(

7

3)

4

6(7

3)

7 36(

7

3)

(7 +

3) (

7

3)

6

7 +

3

Se multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del deno-minador. El conjugado dea + b esa b, y viceversa.

63737

6 573575

6 573572 573

6572

Se multiplica el numerador y el denominador por un radical del mismondice, elevado al ndice menos el exponente del radicando.

Se multiplica el numerador y el denominador por dicha raz cuadrada.

Racionalizar consiste en eliminar los radicales del denominador, trans-formando la expresin en otra equivalente.


Realiza las siguientes sumas y restas de radicales:

a) + +

b) 2 3 + 5 7 +

Utilizando la calculadora, halla la siguiente suma yresta de radicales. Redondea el resultado a dosdecimales:

4 7 + 2

Realiza los siguientes productos:

a) b)

c) d)

Realiza los siguientes cocientes:

a) : b) :

c) : d) :

Sustituye los puntos suspensivos por igual, =, o dis-tinto, ?:a) ( )2 b)

Racionaliza:

a) b) c)

d) e) f) 52 3

73 14

42

2 5 + 3

103 5

63

24

573 7352352

23

61839634

3534026

22

8563325

3503562

21

472835

20

300482712752008185072

19

A P L I C A L A T E

Suma por diferenciaEs igual al cuadrado del pri-mero menos el cuadrado delsegundo.( + ) ( ) == ( )2 ( )2 == 7 3 = 4

373737

Operacin

La raz de un radical es otro radical de ndice el producto de losndices y de radicando el mismo. = npa npa

Ejemplo

Lapotencia de un radical es igual al radical de la potencia. ( )p = na pna ( )3 = 75375

= 157537

Ejemplo

= = 3223

2

2

2

32


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4.1. Logaritmos

EjemploHalla log 2 8log 2 8 = 3, porque 23 = 8

Casos particularesa) log a a = 1 a 1 = a Ejemplo: log 5 5 = 1b)log a 1 = 0 a 0 = 1 Ejemplo: log 5 1 = 0

4.2. Logaritmo decimal

EjemploCalcula log 1 000 log 1000 = 3, porque 103 = 1000

4.3. Logaritmo neperiano

Ejemplo

Calcula L 1 000 L 1 000 = 6,90775524.4. Relacin entre potencia, raz y logaritmoDada la expresin

a n = p

a)Potencia: conocidosa yn, debe hallarsepb) Raz: conocidosn yp, debe hallarsea c)Logaritmo: conocidosa y p, debe hallarsen

a es la base.n es el exponente o logaritmo.p es el resultado de la potencia.

Loslogaritmos neperianos son los logaritmos en los que la base es elnmero e = 2,718281 Se representan porL o ln

L p = x e x = p

Loslogaritmos decimales son los logaritmos en los que la base es 10. Eneste caso, la base 10, que es el subndice, no se escribe.

log p = x 10 x = p

Ellogaritmo en base a (a > 0, a? 1) de un nmerop > 0 es elexponen-te x al que hay que elevar la basea para obtener el nmerop. Se repre-senta porloga p. Se tiene que:

loga p = x a x = p


4. Logaritmos

Halla el valor de x en los siguientes casos:a) 103 = x b) 10x = 1 000 000 c) x 2 = 100 d) x 1 = 10 e) 10x = 1


Logaritmo = exponente

Logaritmos decimaleslog 1000 = 3 103 = 1000log 100 = 2 102 = 100

log 10 = 1 101 = 10log 1 = 0 100 = 1log 0,1 = 1 10 1 = 0,1log 0,01 = 2 10 2 = 0,01

Ejemploa) Potencia: halla 23

23 = 8b) Raz: si a 3 = 8, hallaa

a 3 = 8 a = = 2c) Logaritmo: si 2n = 8, hallan

n = log 2 8 = 3

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4.5. CalculadoraLas calculadoras tienen las teclas para hallar el logaritmo decimal, ypara calcular el logaritmo neperiano.

Ejemplo

Calcula log 25,43log 25,43 = 1,4053

EjemploCalcula L 18,56L 18,56 = 2,9210

4.6. Propiedades de los logaritmos

EjemploSabiendo que log 2 = 0,3010, calcula el logaritmo de 5 sin utilizar la cal-culadora.

log 5 = log = log 10 log 2 = 1 0,3010 =0,6990102

2,9210=18.56ln

1,4053=25.43log

lnlog


Halla el valor de x en los siguientes casos:a) 32 = x b) x 3 = 27 c) 3 x = 1/3

Halla el valor de x en los siguientes casos:

a) 2 3 = x b) x 3 = 8 c) 2 x = 1/4

Halla mentalmente los siguientes logaritmos:

a) log 100 b) log 10 c) log 0,001

Halla mentalmente los siguientes logaritmos:

a) log2 32 b) log2 1 c) log2 1/8

Utilizando la calculadora, halla los siguientes loga-ritmos. Redondea el resultado a cuatro decimales.a) log 23,5 b) log 267 c) log 0,0456

Utilizando la calculadora, halla los siguientes loga-ritmos. Redondea el resultado a cuatro decimales.

a) L 3 b) L 23,7 c) L 0,5

Utilizando las propiedades de los logaritmos y lacalculadora, halla los siguientes logaritmos. Redon-dea el resultado a cuatro decimales.

a) log 315 b) log c) log (0,5 30 723)

Sustituye los puntos suspensivos por igual, =, o dis-tinto, ?:a) log (7 + 5) log 7 + log 5

b) log 52 2 log 5

c) log log 6 log 5

d) log log

Sabiendo que log 5 = 0,6990, halla:

a) log 2b) log 20

33

53

35

65

32

723

31

30

29

28

27

26

25

A P L I C A L A T E

Propiedad Logaritmos Ejemplo

a) El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos. log a (p q) = log a p + log a q log (6 8) = log 6 + log 8

b) El logaritmo de un cociente es el logaritmo del numera-dor menos el del denominador. log a = log a p log a qpq log = log 7 log 575c) El logaritmo de una potencia es el exponente multipli-

cado por el logaritmo de la base. log a pn = n log a p log 53 = 3 log 5

d) El logaritmo de una raz es el logaritmo del radicandodividido por el ndice. log a =

log a pn

np log =log 7337


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40 BLOQUE I: ARITMTICA

Profundizacin: demostracionesCuadro comparativo de las propiedades de las potencias y de los radicales

Potencias

a n = a a n) a

Ejemplo

23 = 2 2 2 = 8

0n = 0, n? 0 05 = 0

1n = 1 13 = 1

a 0 = 1, a? 0 50 = 1

a 1 = a 41 = 4

a n a p = a n + p 53 54 = 57

a n : a p = a n p 28 : 23 = 25

(a n)p = a n p (53)2 = 56

(a b)n = a n bn (2 3)5 = 25 35

(a : b)n = a n : bn (5 : 7)3 = 53 : 73

a n = , a? 01a n

2 3 = 123

a 1/n = na 61/5 = 56

a 1/n = , a? 01na 51/4= 145

a p/n = na p 72/3 = 372

a p/n = , a? 01na p63/4= 1463

Radicales

= b b2 = a a

Ejemplo

= 525

= b b3 = a 3a = 238

= b bn = a na = 2; = 3481532

= ( )n = a na na n = ( )5 = 757575

= na pnsa ps = =5735 27321076

a = na n bnb 2 = =340323 535

= na bnbna = 565352

: = na : bnbna : = 32 : 53532

( )p = na pna ( )2 = 37237

= n pa npa = 15753

7

= a 1/nna = 51/335

= a 1/n, a? 01na = 21/5152

= a p/nna p = 52/3352

= a p/n, a? 01na p= 73/41473


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Profundizacin: demostracin de las propiedades de los logaritmos

Propiedad del producto

DemostracinSupongamos que:log a p = x a x = p log a q = y a y = qlog a (p q) = log a (a x a y ) = log a a x + y = x + y = log a p + log a q

Propiedad del cociente

DemostracinSupongamos que:log a p = x a x = p log a q = y a y = q

log a = log a = log a a x y = x y = log a p log a q

Propiedad de la potencia

DemostracinSupongamos que:log a p = x a x = plog a pn = log a (a x )n = log a a nx = nx = n log a p

Propiedad de la raz

DemostracinSupongamos que:log a p = x a x = p

log a = log a = log a a x/n = =log a p

nx n

na x np

log a pEl logaritmo de una raz es el logaritmo del radicando dividido por el ndice: log a =n

El logaritmo de una potencia es el exponente multiplicado por el logaritmo de la base:log a pn = n log a p

a x a y

pq

pEl logaritmo de un cociente es la diferencia de los logaritmos: log a = log a p log a qq

El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos: log a (p q) = log a p + log a q

np


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1. Potencias de exponente natural yentero

Calcula mentalmente los cinco primeros cubosperfectos.

Calcula mentalmente:a) 34 b) ( 3)4 c) 3 4 d) (3) 4


a) ( )3 b) ( )3 c) ( )3 d) ( )3Calcula mentalmente:

a) 010 b) ( )0 c) 1 5 d) ( )1Utilizando la calculadora, realiza las siguientesoperaciones y redondea los resultados a dosdecimales:a) 0,552 b) 7,15 3

c) 1,210 d) 4,7 10 18 : 9,5 105


a) 81 b) 3 c) 1 d)

Utilizando la calculadora, realiza las siguientes

operaciones y redondea los resultados a dosdecimales:a) (7,52 23,5) b) (12,5 3 + 7,8 12,76) :c) (1,46 456,5 : 7,28)

Calcula mentalmente:a) (5 + 6) 2 b) 52 + 6 2

c) (10 8) 2 d) 10 2 8 2

Expresa el resultado en forma de una sola poten-cia utilizando las propiedades de las potencias:

a) x 2 x5 b) x3 : x7

c) (x 4)3 d) x 3 x5 : x 4

2. Radicales

Calcula mentalmente el valor de los siguientesradicales:a) b) c) d)

Utilizando la calculadora, halla las siguientes ra-ces. Redondea los resultados a dos decimales.

a) b)

c) d)

Escribe en forma de radical las siguientespotencias:

a) x1/2 b) 5 1/3 c) a3/4 d) 7 4/5

Escribe en forma de potencia los siguientesradicales:

a) b) c) d)

Simplifica los siguientes radicales:

a) b) c) d)

Introduce dentro del radical el factor que estdelante:

a) 5 b) a 2

c) 32 a4 d) 52 x2 y

Extrae todos los factores posibles de los si-guientes radicales:

a) b)

c) d)

3. Operaciones con radicales

Realiza las siguientes sumas y restas de radi-cales:

a) + +

b) 3 + 4 5 + 2

Utilizando la calculadora, halla la siguiente sumay resta de radicales. Redondea el resultado ados decimales:

5 2 + 7

Realiza los siguientes productos:

a) b) c) d)

Realiza los siguientes cocientes:

a) : b) :

c) : d) :

Sustituye los puntos suspensivos por igual, =, odistinto, ?:a) ( )3 b) 653 57372

54

53321239

353403653

6345323

3

103

1263

52

194723

51

2008185030048271275

50

5128x 19y15x10464a17b9381x1518

49

45x3y233a

352

48

12599a66x32647

1675

14a

352a

46

45

5524,541,25

31001000

44

4948136464

43

42

41

24,5791

7,5

40

127

39

38

3

4

3

4

37

32

32

32

32

36

35

34

Ejercicios y problemas


14/20


Racionaliza:

a) b) c)

Racionaliza:

a) b) c)

4. LogaritmosHalla mentalmente el valor de x en los siguien-tes casos:a) 25 = x b) x 1 = 2 c) 2 x = 1/4

Halla mentalmente el valor de x en los siguien-tes casos:a) 5 3 = x b) x 3 = 125 c) 5 x = 1

Halla mentalmente los siguientes logaritmos:a) log 1 000 b) log 1 c) log 10 6

Halla mentalmente los siguientes logaritmos:a) log3 9 b) log3 1/27 c) log 3 1

Utilizando la calculadora, halla los siguientes loga-ritmos. Redondea el resultado a cuatro decimales:

a) log 405,75 b) log 1,9 c) log 0,0005

Utilizando la calculadora, halla los siguienteslogaritmos. Redondea el resultado a cuatrodecimales.

a) L 5 b) L 25,8 c) L 0,034

Utilizando las propiedades de los logaritmos yla calculadora, halla los siguientes logaritmos.Redondea el resultado a cuatro decimales.

a) log 210 b) log c) log (5 23 :3,415)

Sustituye los puntos suspensivos por igual, =, odistinto, ?:a) log (12 : 19) log 12 log 19

b) log 3 log 7

c) log (22 + 8) log 22 + log 8

d) log (22 + 8) log 30

Sabiendo que log 2 = 0,3010, halla:

a) log 25 b) log 50

65

37

64

8673

63

62

61

60

59

58

57

143 3

1234

106

56

7

7

5

83

722

2

55

Escribe en forma de radical las siguientespotencias y halla mentalmente el resultado:

a) 81/3 b) 9 1/2 c) 253/2 d) 82/3

Efecta las siguientes operaciones:

a) ( + )2 b) ( )2

( + )( )

3 5 + 3

a) b) :

a) b) :

Escribe con un solo radical:

a) b)

Racionaliza:

a) b)

a) b)

a) b)

a) b)

a) b)

a) b)

Reduce al logaritmo de una sola expresin:

log 5 + log 6 log 2

2 log 7 + 3 log 5

3 log a + 2 log b 5 log c

2 log x 5 log y + 3 log z

log x + log y13

12

83

82

81

80

79

3 2 3 + 2

3 + 2 3 2

78

2 3 2

3 3 + 2

77

35573

2157

76

9332

432

75

1 55

63

74

1 + 33

82

73

x a

72

4737453571

365327098325069232368

232367

66

Ejercicios y problemas

Para ampliar


15/20


Calcula el volumen de un cubo de rea 5 m 2

Una escalera est apoyada sobre la fachada de

un edificio. Si la escalera mide 13 m de longitudy el pie de la escalera est a 5 m de la pared,a qu altura de la pared llega la escalera?

Una poblacin crece segn la funcin dada porP(t) = p 1,0025 t, donde t es el tiempo en aos.Si en el ao 2000 tena un milln de habitantes,siendo p la poblacin inicial, cuntos habitantestendr en el ao 2050?

Halla la arista de un cubo cuyo volumen es 7 m 3.Redondea el resultado a dos decimales.

La cantidad de madera de un bosque crece segn

la funcin y = x 1,025t, donde t es el tiempo enaos y x es la cantidad de madera inicial. Si en el

ao 2000 el bosque tiene 1 000 km 3 de madera,cunta madera tendr en el ao 2100?

Halla el volumen de un cono en el que el radiode la base mide 3 m, y la generatriz, 5 m

La frmula del capital final en el inters com-puesto es C = c(1 + r) t, donde C es el capitalfinal,c es el capital inicial, r es el tanto por unoy t es el tiempo en aos. Calcula en cada casola incgnita que falta:

a) c = 10000

, r = 0,05, t = 6 aosb) C = 15000 , r = 0,03, t = 8 aosc) C = 30000 , c = 15 000 , t = 10 aosd) C = 50 000 , c = 25 000 , r = 0,07

Las medidas de las tarjetas de crdito estn enproporcin urea, es decir, el cociente entre lamedida del largo y la medida del ancho es

f = . Si miden 53 mm de ancho, cuntomiden de largo?

Una ameba es un ser unicelular que se repro-duce por biparticin. Si partimos de un cultivode 2 000 amebas que se reproducen cada hora,cunto tiempo tiene que transcurrir para quetengamos 5 10 12 amebas?

Supongamos que, en cada uno de los 10 aossiguientes, el IPC es de un 2%. Si un productocuesta actualmente 100 , cunto costar alcabo de los 10 aos?

Para profundizarRacionaliza:

a) b)

Una moto se devala un 15% cada ao. Si nosha costado 5 000 , qu valor tendr al cabode 10 aos?

Halla el rea y el volumen de una esfera deradio R = 3,5 m

Se ha obtenido experimentalmente que la presinatmosfrica viene dada por la funcin p(x) = 0,9 x,donde x es la altura sobre el nivel del mar.La alturase mide en kilmetros, y, la presin, en atmsferas.a) Halla la presin en lo alto de una montaa

de 3 500 m

b) Halla la altura a la que hay que subir paraque la presin sea de 0,8 atmsferas.

La masa de un cuerpo radioactivo viene dadapor la funcin M = m(1/2) t, donde t es el nme-ro de perodos. Un perodo de semidesintegra-cin es el tiempo necesario para que la masa seconvierta en la mitad. Si tenemos 30 g de uncuerpo radioactivo que tiene un perodo de25 aos, cuntos aos tienen que transcurrirpara que tengamos 5 g de dicho cuerpo?

104

103

102

101

a b

a + b

a + b

a b

100

99

98

1 + 52

97

96

95

94

93

92

91

90

Ejercicios y problemasCon calculadoraUtilizando la calculadora, halla el valor de la siguiente

expresin.Redondea el resultado a dos decimales.(5,34 3,4 7,28)

a) 4 7,52 b) 7,53

a) 52,25 b) 7,53,4

a) e b) e

Utilizando la calculadora, halla los siguientes logarit-mos. Redondea el resultado a cuatro decimales.

a) log b) log c) log e

a) L b) L c) L 101 + 52

89

1 + 52

88

87

86

43

85

512,284

Problemas


16/20


Crecimiento de la poblacin

La frmula del crecimiento de una poblacin, sean personas, animales o vegetales, viene dada por:

P = p(1 + r)t

dondep es la poblacin inicial,r es el tanto por uno al cabo de un ao,t es el nmero de aos yP es la poblacin final.

Una ciudad tiene 200000 habitantes, y su poblacin crece un 2,5% cada ao. Cuntos habitantestendr al cabo de 40 aos?

Una poblacin de algas en un lago cubren una superficie de 25 m2. Si se reproducen a razn de0,25 m2 cada ao, cuntos metros cuadrados cubrirn al cabo de 30 aos?

Tenemos una poblacin inicial de 100 conejos en una gran llanura con comida abundante. Si sereproducen a razn de 20 conejos cada ao, cuntos conejos habr al cabo de 5 aos?

107

106

105

Aplica tus competencias

Define qu es un logaritmo decimal y pon un ejemplo.


a) 64 b) 1 c) 2 d)Extrae todos los factores posibles de los siguientes radicales:a) b) c) d)

Racionaliza:a) b) c)

Halla mentalmente el valor de x en los siguientes casos:a) 2 4 = x

b) x 3

= 8c) 2x = 1/8

Sabiendo que log 2 = 0,3010, halla:a) log 5 b) log 50

Halla la diagonal de un cubo de forma exacta, es decir, da el resultado en forma de un radical, cuan-do el volumen mide 5 m3

Una clula se reproduce por biparticin cada 5 horas. Si se parte inicialmente de 400 clulas, cun-to tiempo tiene que transcurrir para que haya 1 milln de clulas?

8

7

6

5

5 +

3

5

3

832

126

4

564x 18y 12z104128a 15b10381x 898

3

18

2

1

Comprueba lo que sabes


17/20


Calcula: 2,53Solucin:

a) Para escribir la potencia enelige Potencia

b)Hazclic en Calcular

Calcula: (35 19) Solucin:a) Para escribir la raz cuadrada en

elige Raz cuadrada b)Hazclic en Calcular

Calcula:Solucin:a) Para escribir la raz en elige

Razb)Dentro de la raz, despus del 47 se escribe

un punto para que d el resultado comodecimal.

Calcula: 3 4Solucin:

Racionaliza:

Solucin:

Racionaliza:

Solucin:

Calcula: log 25,43Solucin:

Calcula: L 18,56Solucin:

En Wiris, logaritmo neperiano se escribeln

Plantea los siguientes problemas y resulvelos conayuda de Wiris:

Un coche cuesta 30 000y se devala cada ao un 17%. Cuntos aos tardar en valermenos de 6000 .Solucin:Para resolver la ecuacin en eli-ge

Internet. Abre:www.editorial-bruno.es y eligeMatemticas, curso y tema.

117

116

115

114

6

7 +

3

113

32

112

1850111

547110

28,09109

108

Paso a paso



18/20


As funciona

Men operacionesParntesis Fraccin

Potencia Raz cuadrada

Raz

LogaritmosEl logaritmo decimal eslog(x)El logaritmo neperiano esln(x)

Comentarios

Para escribir cada lnea de comentario en se eligeComentar (Ctrl + T)Se conocen los comentarios porque aparecen escritos de color rojo.Si ya tenemos escrita parte de una lnea, e incluso si la tenemos escrita entera y nos hemos olvidado deque era un comentario, aparecer de color negro. Para hacer que sea un comentario y aparezca de colorrojo no es necesario borrarla y volverla a escribir; es suficiente con tener el cursor en cualquier posicin dedicha lnea y hacerclic en Comentar (Ctrl + T)Por el contrario, si hemos escrito una operacin como comentario y aparece de color rojo, con hacerclic en Comentar (Ctrl + T) se volver en negro.

Linux/Windows

Calcula:a) (12,72 + 83) b) (5,63 5,2 47,5) :

Calcula:a) b)c) d)

Calcula:

a) +b) 2 3 + 5

Racionaliza:

a) b) c)

Calcula:a) log 23,5 b) log 267 c) log 0,0456

Calcula:a) L 3 b) L 23,7 c) L 0,5

Calcula:a) log 315 b) log c) log (0,530 723)

Plantea los siguientes problemas y resulvelos conayuda de Wiris:

Una pecera tiene forma cbica y la arista mide 75 cm. Si est llena, cuntos litros deagua contiene?

Supongamos que en cada uno de los 10 aossiguientes el IPC es de un 2%. Si un produc-to cuesta hoy 100, cunto costar al cabode los 10 aos?

Una ameba es un ser unicelular que se repro-duce por biparticin. Si partimos de un culti-vo de 2 000 amebas que se reproducen cada hora, cunto tiempo tiene que transcurrirpara que tengamos 5 1012 amebas?

127

126

125

723124

123

122

2

5 +

3

105

63

121

271275185072

120

51000489,45

3895,34345,67

119

333,334,2

118

Practica


19/20


Calcula: 2,53Solucin:En laEntrada de Expresiones escribe:

2.5^3

Elige Introducir y Aproximar15.625

Calcula: (35 19) Solucin:

En laEntrada de Expresiones escribe:(3^5 19) 28.09


Calcula:Solucin:En laEntrada de Expresiones escribe:

47^(1/5)

Elige Introducir y Aproximar

2.1598Calcula: 3 4Solucin:En laEntrada de Expresiones escribe:

350 418Elige Introducir y Simplificar

3

Racionaliza:

Solucin:En laEntrada de Expresiones escribe:

3/2Elige Introducir y Simplificar

Racionaliza:

Solucin:En laEntrada de Expresiones escribe:

6/(7 + 3)Elige Introducir y Simplificar

Calcula: log 25,43Solucin:En laEntrada de Expresiones escribe:

log(25.43, 10)Elige Introducir y Aproximar

1.4053

Calcula: L 18,56Solucin:En laEntrada de Expresiones escribe:

ln(18.56)


Plantea los siguientes problemas y resulvelos conayuda de DERIVE:

Un coche cuesta 30 000y se devala cada ao un 17%. Cuntos aos tardar en valermenos de 6000 .Solucin:Planteamiento: 30 000 0,83x = 6000En laEntrada de Expresiones escribe:

30000 0.83^x = 6000Elige Introducir ExpresinEn la barra de herramientas eligeResol-

ver o despejar, activa el botnReal y hazclic en el botnResolverEn la barra de herramientas elige Aproximar

x = 8.6376Tardar 8,64 aos.

Internet. Abre:www.editorial-bruno.es y eligeMatemticas, curso y tema.

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332

372

6

7 +

3

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322

32

112

2

1850111

547110

28,09109

108

Paso a paso

Ajusta la configuracin:en la barra de mens elige:Opciones/Ajustes de Modo/Simplificacin/Restablecer



20/20


Calcula:a) (12,72 + 83) b) (5,63 5,2 47,5) :

Calcula:a) b)c) d)

Calcula:

a) +b) 2 3 + 5

Racionaliza:

a) b) c)

Calcula:a) log 23,5 b) log 267 c) log 0,0456

Calcula:a) L 3 b) L 23,7 c) L 0,5

Calcula:a) log 315 b) log c) log (0,530 723)

Plantea los siguientes problemas y resulvelos conayuda de DERIVE:

Una pecera tiene forma cbica y la arista mide 75 cm. Si est llena, cuntos litros deagua contiene?

Supongamos que en cada uno de los 10 aossiguientes el IPC es de un 2%. Si un produc-to cuesta hoy 100, cunto costar al cabode los 10 aos?

Una ameba es un ser unicelular que se repro-duce por biparticin. Si partimos de un culti-vo de 2 000 amebas que se reproducen cada hora, cunto tiempo tiene que transcurrirpara que tengamos 5 1012 amebas?

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723124

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5 +

3

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271275185072

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51000489,45

3895,34345,67

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333,334,2

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As funciona

PotenciasSigno de potencia, 53 se escribe 5^3El signo ^ es el acento circunflejo francs. Se pue-de obtener en el teclado manteniendo pulsada la tecla [ ]Maysculas y pulsando la tecla [^]. Cuando se hace esto no aparece el acento ^, pues, comotodos los acentos, est esperando la vocal correspondiente para ponerse encima; sin embargo, como loque escribimos a continuacin es un nmero y no se puede poner encima, aparecern al mismo tiempo elsigno ^ y el nmero. Tambin se puede obtener en la Ventana de SmbolosEl signo de potencia, ^, es el que est en la primera fila en el quinto lugar. No se debe confundir con elsigno de conjuncin, que es . ste es muy parecido, pero es ms grande y est ms bajo; se encuentra enla segunda fila.

RacesSigno de raz cuadrada. Se obtiene en la Ventana de Smbolos

Para hallar una raz cbica o de orden superior, hay que expresarla como potencia.= 471/3 en DERIVE se escribe47^(1/3)

Si en el radicando hay una operacin, sta hay que ponerla entre parntesis.LogaritmosEl logaritmo neperiano esln(x), o bienlog(x). Cualquier otro logaritmo, incluido el decimal, se escribelog(x, b), dondeb es la base.

347

Practica

Windows Derive

02 potencias radicales y logaritmos

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