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Presentación de la unidad
•Las operaciones con potencias y radicales son herramientas ma-temáticas que tienen su aplicación, fundamentalmente, en cur-sos superiores. Por ello, el núcleo de estos contenidos se ubica más tarde, en el segundo ciclo de la Educación Secundaria. Sin embargo, conviene que los alumnos vayan iniciando la construc-ción de algunos conceptos básicos y se vayan acostumbrando a utilizar notaciones, nomenclaturas y procedimientos que, sin es-tar reñidos con su momento evolutivo, van preparando el cami-no y facilitarán enormemente el aprendizaje futuro.
•Así pues, no perderemos de vista la idea de que estamos mane-jando contenidos a nivel de iniciación, y que por sus característi-cas, pueden entrañar gran dificultad para buena parte del alum-nado que aún no han madurado plenamente la capacidad de abstracción.
•Los objetivos de la unidad se centrarán fundamentalmente en los aspectos procedimentales, sin desatender el proceso de construcción de conceptos y la comprensión de propiedades.
•Los contenidos de la unidad se pueden clasificar en tres apartados:
– Aspectos teóricos:
•Conceptodepotencia.
•Conceptoderaízcuadrada.
–Cálculoescritoymental:
•Utilizacióndelaspotenciasparaabreviarlaexpresióndenú-meros y operaciones.
•Adquisicióndetécnicasdecálculoconpotenciasyraícescuadradas.
•Cálculomental.Aproximacionesyestimaciones.
–Utilizacióndelacalculadora:
•Conocimientodetécnicasbásicas.
•Estrategiasparalainvestigacióndepropiedadesnuméricas.
•Usocorrectodelamáquina.Hábitodeprescindirdelacalcu-ladora al realizar todas aquellas operaciones que se pueden resolver mentalmente.
Esquema de la unidad
2 Potencias y raíces
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POTENCIAS Y RAÍCES
DOS FACTORESIGUALES
TRESFACTORESIGUALES
EXPRESIONESABREVIADASDEPRODUCTOS
DEFACTORESIGUALES
•POTENCIADEUNPRODUCTO•POTENCIADEUNCOCIENTE•PRODUCTODEPOTENCIAS DELAMISMABASE
•COCIENTEDEPOTENCIAS DELAMISMABASE
•POTENCIADEUNAPOTENCIA
ESCRIBIRNÚMEROSGRANDESDEFORMABREVE
LAOPERACIÓNINVERSADEELEVAR
ALCUADRADO
POTENCIASDEBASE10
CUADRADO CUBO PORTANTEO CONCALCULADORA USANDOELALGORITMO
RAÍZCUADRADAPOTENCIAS
que dependiendo del número de factores
se denominan
si son si son
usando
que es
y se puede calcular
que se utilizan paraque son que se operan
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Conocimientosmínimos
Se consideran imprescindibles, a este nivel, los siguientes conteni-dos:
•Conceptodepotencia.
•Cálculodepotenciassencillas.
•Cálculomentaldepotenciasdebasediez.
•Aplicación inmediata de las propiedades de las potencias.
•Conceptoderaízcuadrada.
•Cálculodepotenciasyderaícescuadradasconlacalculadora.
Anticipación de tareas
•Revisarlasoperacionesconnúmerosnaturalesysuspropieda-des.
•Revisarlasnormasdeprioridadenlasexpresionesconparénte-sis y operaciones combinadas.
•Diferenciar los distintos tipos de calculadora.
•Asegurarlastécnicasbásicasyelbuenusodelacalculadora.
Adaptación curricular
Enlapartede“Recursosfotocopiables”seofreceunaadaptacióncurricular de esta unidad 2 del libro del alumnado, para cuya ela-boración se han tenido en cuenta los conocimientos mínimos que aquí se proponen.
La lectura inicial servirá para ejercitar la comprensión lectora y para mostrar los dos aspectos que justifican el estudio de las matemáti-cas: el práctico y el intelectual.
Loscontenidos,siseadaptanaesosmínimosexigibles,obiennohan sufrido cambio alguno o bien se han modificado ligeramente para adecuarlos al posible nivel de los estudiantes a quienes va dirigido. Lo mismo cabe decir de los ejercicios prácticos que se proponen.
Sialgúncontenidosuperalosmínimosexigibles,obiensehasu-primidoobiensehaadaptadoparaajustarloalosrequisitosexigi-dos.
Finalmente, los ejercicios y problemas con los que finaliza la uni-dad se han reducido en cantidad y se han modificado o bajado de nivel hasta adaptarse a lo convenido. Lo mismo cabe decir de la autoevaluación.
APRENDIZAJE COOPERATIVO PENSAMIENTO COMPRENSIVO PENSAMIENTO CRÍTICO
Pág. 29. Actividad sugerida en esta P.D. Pág.30.Ladillo“Númerosygeometría”(*) Pág.31.Actividades12y13
Pág.35.“Piensaypractica”(*) Pág.31.Actividad7 Pág.32.Ladillo“Reflexiona”(*)
Pág.37.Actividad5 Pág. 32. Actividad sugerida en esta P.D.
Pág.39.Actividad18
INTERDISCIPLINARIEDAD TIC EMPRENDIMIENTO RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Pág.39.Actividad12 Pág.38.Actividad11(*) Pág.41.Actividades32,34y37 TodoslosproblemaspropuestosenelL.A.estánen-cuadrados en este apartado. Aquí se señalan algu-nosquetienenespecialinterés.
Pág.42.Actividad“Lee,reflexio-naydeduce”(*)
Pág.31.Actividad15
Pág.42.Actividad“Infórmate” Pág.40.Actividad“Aprendearesolverproblemas”(*)
Pág.41.Actividades34,35y36
Pág.43.Actividad“Entrénateresolviendoproble-mas”(*)
En la siguiente tabla se recoge una relación de actividades para atender y trabajar el aprendizaje cooperativo, el pensa-mientocomprensivo,elpensamientocrítico,lainterdisciplinariedad,lasTIC,elemprendimientoylaresolucióndepro-blemas.Unasestánpropuestasenellibrodelalumnado(L.A.),yaquísehacereferenciaaellasindicandolapáginaylaactividad, y otras, como se indica, se sugieren en esta Propuesta Didáctica (P.D.).
Unaseleccióndeestassugerenciasestánmarcadasenellibrodelalumnadoconunicono;aquísehanmarcadocon(*).
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Las matemáticas siempre fueron una herramienta para resolver problemas cotidianos. ¿Cuánto mide este terreno? ¿Cómo hemos de repartirnos la cosecha? ¿Cómo utilizar las estrellas para orientarnos?
Números cuadrados y números cúbicosLos pitagóricos, en sus investigaciones sobre las propiedades de los números, los re-lacionaron con la geometría. Así hablaban de los números cuadrados y de los números cúbicos. A continuación puedes ver los primeros de unos y de otros:NÚMEROS CUADRADOS
1 4
A1 A2 A3 A4
9 16
NÚMEROS CÚBICOS
18
B1 B2 B3 B4
2764
1 Escribe los tres términos siguientes de cada una de las series anteriores.
2 Calcula A100 y B100.
Suma de imparesObserva y comprueba la siguiente relación pitagórica: Cualquier número cuadrado se puede expresar como suma de unos cuantos de los primeros números impares.S1 S2 S3 S4 S5
1
↓1
12
1 + 3
↓4
22
1 + 3 + 5
↓9
32
1 + 3 + 5 + 7
↓16
42
1 + 3 + 5 + 7 + 9
↓25
52
3 Según esto, calcula:a) La suma de los siete primeros números impares.
S7 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13b) La suma de los diez primeros números impares (S10).
4 ¿Cómo calcularías, de forma rápida y sencilla, la suma de los cien primeros impares?
S100 = 1 + 3 + 5 + … + 199
El primer gran teórico de las matemáticas fue Pitágo-ras. Este griego, gran viajero, acabó asentándose en
el sur de Italia, donde fundó una secta místico-científi ca que rendía culto a la astronomía.
Tres siglos después aparece en escena Arquímedes, na-cido en la colonia griega de Siracusa, en Sicilia (actual
Italia). Además de gran matemático, fue un extraordinario calculista. Y gracias a esto, ideó un sistema para describir números enormes. Estaba basado en la potencias de base 10, que estudiarás en esta unidad.
Hasta el siglo VI a.C. no aparecen los primeros matemáti-cos teóricos, estudiosos interesados por la investigación
y el desarrollo de la ciencia, independientemente de su utili-dad práctica.
2 Potencias y raíces
Siracusa
Crotona
GRECIA
Al iniciar la unidad
• Eltextopretendedespertarlacuriosidaddelalumnadohacialahistoriade las matemáticas, mostrando que eso que van a aprender ahora ya interesaba a matemáticos y a escuelas de pensamiento hace más de dos mil quinientos años.
• Traslalecturasepuedeinducirunareflexiónsobreelméritodeaque-llos griegos, interesados en la investigación y el saber, a pesar de dispo-ner de peores herramientas. Por ejemplo, carecían del sistema de nu-meracióndecimal.Unamuestradesumaestríasonlaspropuestasdelapágina siguiente, que relacionan los números impares, los cuadrados y los cubos.
• Unaactividadderivadadeltextopodríaconsistirenbuscarinformaciónen Internet o en la biblioteca sobre los personajes mencionados, su obra, sus aportaciones, etc.
• El alumnado constatará, finalmente, que la ciencia matemática se ha construido a base de un continuo esfuerzo, desde tiempos remotos, y es el resultado de la suma de aportaciones de los distintos personajes, culturas y pueblos que se han sucedido a lo largo de la historia de la humanidad.
Cuestiones para detectar ideas previas
•Las actividades de la página 29, motivadoras por informales y por la be-lleza de las relaciones que muestran, pueden servir para detectar y acti-var los conocimientos previos del alumnado.
•En caso de que resulten de nivel elevado para el grupo, podrán ser reto-madas tras el estudio de la unidad.
•Enelmismocontextosepuedenproponeralgunostrabajosdeinvesti-gación como los que se sugieren a continuación:
– Representarycomprobarquecualquiercuadradoperfectosepuedeexpresarcomosumadeunaseriedenúmerosimpares.
– Teniendoencuentaque13=1;23=3+5;33=7+9+11;43 = …, expresarotroscubosperfectoscomosumadeimpares.
– Y como consecuencia de lo anterior:
(1+2)2 = 32=(1)+(3+5)=13 + 23
(1+2+3)2=62=(1)+(3+5)+(7+9+11)=13 + 23 + 33
¿Quépodemosdecirde(1+2+3+4)2?
•Todasestaspropuestasseprestanalaprendizajepordescubrimiento,entre iguales, realizadas en pequeño grupo. Y son bien aceptadas por el alumnado.
Aprendizaje cooperativo Si el profesor o profesora lo considera oportuno, estas actividades pue-den realizarse en grupo, estimulando el aprendizaje entre iguales. En un primer momento, los grupos buscarán soluciones, que se contrastarán en una posterior puesta en común, justificando los logros conseguidos, reba-tiendo en los desacuerdos y llegando, finalmente, a conclusiones comunes.
Soluciones de las actividades
1 A5 = 25 A6=36 A7 = 49
B5=125 B6=216 B7 = 343
2 A100=10000
B100=1000000
3 a) S7 = 49
b) S10=100
4 S100=1002=10000
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2UNIDAD
3130
Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto de factores iguales:a · a · a · a · a = a5
En las potencias, el factor repetido se llama base, y el número de veces que se repite, exponente.
a b exponente
base → Se lee: a elevado a b.
Ejemplos
• Expresar cada producto en forma de potencia:a) 3 · 3 · 3 · 3 = 34 → Tres elevado a cuatro o tres elevado a la cuarta.b) 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 25 → Dos elevado a cinco o dos elevado a la quinta.
• Calcular estas potencias.a) 73 = 7 · 7 · 7 = 343 b) 104 = 10 · 10 · 10 · 10 = 10 000
Dos potencias especiales: el cuadrado y el cubo
Elevar un número a la potencia de exponente 2 es elevar al cuadrado.
Por ejemplo: 72 = 7 · 7 = 49 → El cuadrado de 7 es 49.Elevar un número a la potencia de exponente 3 es elevar al cubo.
Por ejemplo: 73 = 7 · 7 · 7 = 343 → El cubo de 7 es 343.
Las potencias en la calculadora
Las potencias, excepto en los casos más sencillos, arrojan como resultados núme-ros grandes.Por ejemplo:
96 = 9 · 9 · 9 · 9 · 9 · 9 = 81 · 9 · 9 · 9 · 9 = 729 · 9 · 9 · 9 = … = 531 441Estos cálculos resultan rutinarios y molestos, por lo que suelen hacerse con una calculadora.• En las calculadoras sencillas, utilizaremos las teclas * e =. 96 ⎯→ 9 * * = = = = = ⎯→ {∫∫∞«‘¢¢‘} ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 92 93 94 95 96
• En una calculadora cientí� ca, utilizaremos la tecla ‰.96 ⎯→ 9 ‰ 6 = ⎯→ {∫∫∞«‘¢¢‘}
Nota: Cuando el resultado es muy grande y no cabe en la pantalla, las calculado-ras sencillas dan error mientras que las cientí� cas lo dan en formatos como este:
458 ⎯→ [VCWHJCGCDGEKÀÍÏ]
que signi� ca que el número decimal de la pantalla hay que multiplicarlo 13 veces por 10 (esto es, desplazar la coma decimal 13 lugares a la derecha).
1 Potencias1. Expresa con una potencia.
a) 6 · 6 b) 6 · 6 · 6c) 7 · 7 d) 5 · 5e) 10 · 10 · 10 f ) 4 · 4 · 4 · 4g) 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 h) 10 · 10 · 10 · 10 · 10
2. Lee estas potencias y exprésalas como producto:a) 34 b) 27 c) 93
d) 152 e) 106 f ) 204
3. Completa la tabla en tu cuaderno.Completa la tabla en tu cuaderno.POTENCIA BASE EXPONENTE
26
5 3a4
m 5
4. Calcula mentalmente y ordena de mayor a menor.a) 23 b) 52 c) 43
d) 203 e) 104 f ) 112
5. Calcula con lápiz y papel.a) 28 b) 35 c) 123
d) 94 e) 152 f ) 852
g) 123 h) 304 i) 1003
6. Obtén estas potencias con ayuda de la calculadora:a) 115 b) 623 c) 374
d) 1363 e) 1014 f ) 1404
7. Escribe el valor de cada exponente:a) 2x = 64 b) 3 y = 81c) 6z = 36 d) 8m = 512e) 10n = 10 000 f ) 30t = 810 000
8. Calcula el valor de la base, a, en cada caso:a) a4 = 16 b) a2 = 25 c) a3 = 64d) a4 = 2 401 e) a3 = 1 000 f ) a10 = 1 024
9. Escribe los cuadrados de los veinte primeros números naturales. 12 22 32 … 202
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 1 4 9 … 400
10. Calcula expresando el proceso paso a paso.a) 82 + 8 b) 33 – 32
c) 53 – 52 + 5 d) (92 – 72) + 42
e) (26 – 24)5 – 24 f ) (82 – 72)2 – 2 · 102 – 25
11. ¿Verdadero o falso?a) Elevar un número al cubo es igual que multipli-
carlo por sí mismo tres veces.b) Elevar a la cuarta es como multiplicar por cuatro.c) El cuadrado de 10 es 20.d) El cubo de 10 es 1 000.e) Trece a la quinta es igual que cinco elevado a trece.
12. Álvaro dibuja tres cuadrados, uno de 5 cm de lado, otro de 12 cm de lado y el tercero de 13 cm de lado. Después colorea de rojo los dos primeros y de verde el último. ¿Qué superficie es mayor, la verde o la roja?
13. Recorta en papel cuadriculado dos cuadrados, uno de diez cuadrados de lado y otro de cinco.¿Hay en el primero el doble de cuadrados que en el segundo? Explica tu respuesta.
14. Estos edificios tienen el mismo número de ven-tanas en todas sus caras. Expresa con una poten-cia de base cinco, y calcula, cuántas hay en total.
15. Expresa con potencias el número de cubos unitarios que hay en cada construcción poli-cubo:
A
C D
B
Piensa y practica
Concepto de potencia.
En la web
Números y geometría
el cuadrado
El cuadrado de 5 es52 = 5 · 5 = 25(25 cuadraditos).
5
5
el cubo
El cubo de 5 es53 = 5 · 5 · 5 = 125(125 cubitos).
5
5
5
¿Cómo representarías geométrica-mente los números 32 y 33? ¿Serías capaz de idear una forma de repre-sentar también 34?
En la web Practica el concepto de potencia y algunos cálculos sencillos.
Sugerencias
• Aunque los estudiantes conocen la notación relativa a las potencias, el concepto está aún en formación, detectándose frecuentes errores.
Noestádemás,portanto,iniciarlaunidadinsistiendoenelsignificadoy el cálculo de potencias. La repetición de ejercicios y el contraste con otras operaciones irá fijando el significado de esta notación e incorpo-rándola al lenguaje matemático que manejan los estudiantes.
• Tambiénresultainteresantelaobtencióndepotenciasconlacalculadorade cuatro operaciones, como se muestra en el segundo apartado del epí-grafe.
Convieneexplicarqueelprocedimientoesunaaplicacióndelfactorconstante. Es decir, cuando se introduce un número seguido de dos pul-saciones de la tecla de multiplicar, la calculadora queda programada para calcular el producto de dicho número por la cantidad que se intro-duzca en pantalla. Así, si nos limitamos a pulsar repetidamente la tecla =, iremos obteniendo las sucesivas potencias de la primera entrada.
Refuerzo y Ampliación
Se recomiendan:
• Delcuadernon.º2deEJERCICIOSDEMATEMÁTICAS:
Refuerzo:Ejercicios1,2y3delapág.14.
Ampliación:Ejercicio8delapág.15.
Soluciones de “Piensa y practica”
1 a)62 b)63 c)72 d) 52
e)103 f ) 44 g) 36 h)105
2 a) 3 · 3 · 3 · 3 b) 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 c) 9 · 9 · 9
d)15·15 e)10·10·10·10·10·10 f) 20·20·20·20
3 potencia base exponente
26 2 6
53 5 3
a 4 a 4
m 5 m 5
4 a)8 b)25 c)64 d)8000 e)10000 f) 121
10000>8000>121>64>25>8
5 a)256 b) 243 c) 1728 d) 6561 e) 225
f) 7225 g)1728 h)810000 i) 1000000
6 a)161051 b)1874161 c)238328
d)2515456 e)104060401 f) 384160000
7 a)6 b)4 c)2 d)3 e)4 f) 4
8 a)2 b)5 c)4 d)7 e)10 f) 2
9 1;4;9;16;25;36;49;64;81;100;121;144;169;196;225;256;289;324;361;400
10 a)72 b)18 c)105 d)48 e)16 f) 0
11 a)V b)F c)F d)V e)F
12 Las dos son iguales.
13 No,enelprimerohay100yenelsegundohay25.
14 54=625ventanas
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2UNIDAD
3332
Vas a aprender ahora algunas propiedades que facilitan el cálculo con potencias. Por eso, es conveniente que las entiendas, las memorices y ensayes su aplicación en diferentes situaciones.
Potencia de un producto (Producto de potencias con el mismo exponente)
Compara las dos expresiones siguientes y observa que en ambas se obtiene el mismo resultado. • (2 · 3)3 = 63 = 6 · 6 · 6 = 216• 23 · 33 = (2 · 2 · 2) · (3 · 3 · 3) = 8 · 27 = 216O también:• 23 · 33 = (2 · 2 · 2) · (3 · 3 · 3) = (2 · 3) · (2 · 3) · (2 · 3) = (2 · 3)3
La potencia de un producto es igual al pro-ducto de las potencias de los factores. ⎯→ (a · b)n = an · bn
Potencia de un cociente (Cociente de potencias con el mismo exponente)
Observa otras dos expresiones que también tienen el mismo valor.• (6 : 3)3 = 23 = 2 · 2 · 2 = 8• 63 : 33 = (6 · 6 · 6) : (3 · 3 · 3) = 216 : 27 = 8O también:• 63 : 33 = (6 · 6 · 6) : (3 · 3 · 3) = (6 : 3) · (6 : 3) · (6 : 3) = (6 : 3)3
La potencia de un cociente es igual al cociente de las potencias del dividendo y del divisor. ⎯→ (a : b)n = an : bn
(2 + 3)4 = 54 = 625 24 + 34 = 16 + 81 = 97 (2 + 3)4 ≠ 24 + 34 La potencia de una suma (o una resta) NO ES IGUAL a la suma de las po-tencias de los sumandos.
(a + b)n ≠ an + bn
(a – b)n ≠ an – bn
No te confundas
Ya sabes que para multiplicar por 10 basta añadir un cero. Así:102 = 10 · 10 = 100 103 = 10 · 10 · 10 = 1 000105 = 100 000 109 = 1 000 000 000
9 ceros
Una potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como indica el exponente.
Expresión abreviada de números grandes
Los números terminados en ceros pueden expresarse como producto de un nú-mero por una potencia de base 10.Por ejemplo: 400 000 = 4 · 100 000 = 4 · 105
Este recurso facilita la expresión y la comprensión de números muy grandes.
Ejemplo
Un año luz: 9 460 800 000 000 km. Observa las transformaciones que hacemos para que esta cantidad sea más fácil de leer, de escribir y de recordar:• Redondeamos, dejando dos cifras signi� cativas → 9 500 000 000 000 • Descomponemos en producto → 95 · 100 000 000 000• Expresamos el segundo factor como una potencia de base 10 → 95 · 1011
Un año luz equivale a 95 · 1011 km.
Descomposición polinómica de un número
La descomposición de un número según el valor posicional de sus cifras, y lo que has aprendido sobre las potencias de base 10, permiten la transformación que muestra el ejemplo siguiente. Es la descomposición polinómica del número.
800 000 + 30 000 + 6 000 + 200 + 70 + 9 8 · 105 + 3 · 104 + 6 · 103 + 2 · 102 + 7 · 10 + 9
836 279 =
¿Qué es más cómodo de escribir y de interpretar?
1 000 000 000 000
1012
Reflexiona
En un gramode oxígeno hay
38 · 1021
átomos.
En un gramo de oxígeno hay…37�638�383�060�000�000�000�000 átomos.
37�638�383�060�000�000�000�000 21 cifras
3 Operaciones con potencias2 Potencias de base 10. Aplicaciones
1. Escribe como potencias de base 10.a) Un millar. b) Un millón. c) Mil millones. d) Un billón.
2. Expresa con todas sus cifras.a) 4 · 105 b) 15 · 109 c) 86 · 1014
3. Escribe el valor de x en cada caso:a) 2 936 428 ≈ 29 · 10 x b) 3 601 294 835 ≈ 36 · 10 x
c) 19 570 000 000 000 ≈ 20 · 10 x
4. Realiza la descomposición polinómica de los siguien-tes números:a) 74 238 b) 680 290c) 4 528 926 d) 46 350 000
5. Escribe en notación abreviada los datos que siguen:a) El número de moléculas elementales en un litro de
agua es 334 326 000 000 000 000 000 000.b) Las estrellas Alfa Centauri están a unos cuarenta bi-
llones de kilómetros del Sol.
Piensa y practica
Ejercicios resueltos
1. Calcular, por el camino más sencillo, 5 6 · 2 6.
Antes de operar sin más, observamos que es un producto de potencias con el mismo exponente. Aplicamos la primera propiedad:
56 · 26 = (5 · 2)6 = 106 = 1 000 000
2. Buscar la forma más sencilla para calcular 12 3 : 4 3.
Vemos que es un cociente de potencias con el mismo exponente. Ahorramos operaciones si aplicamos la segunda propiedad:
123 : 43 = (12 : 4)3 = 33 = 27
3. Calcular (6 4 · 5 4) : 15 4. Aplicamos la primera propiedad dentro del paréntesis: 64 · 54 = (6 · 5)4 = 304 A continuación, la segunda propiedad: 304 : 154 = (30 : 15)4 = 24
Y lo presentamos todo, en conjunto, así:(64 · 54) : 154 = (6 · 5)4 : 154 = 304 : 154 = (30 : 15)4 = 24 = 2 · 2 · 2 · 2 = 16
Practica la aproximación de números grandes utilizando potencias de base 10.
En la web
Sugerencias• El cálculo de las sucesivas potencias de base diez permitirá al alumnado
la elaboración de mecanismos de cálculo mental y cálculo rápido.
• El epígrafe muestra algunas aplicaciones de las potencias de base diez. Destacamoslaexpresiónaproximadadenúmerosdegrantamaño.Estaforma de presentar los números permite manejar grandes cantidades, compararlas por su rango, realizar estimaciones de operaciones, etc.
Refuerzo y Ampliación• Delcuadernon.º2deEJERCICIOSDEMATEMÁTICAS:
Refuerzo:Ejercicio4delapág.14.Ejercicio7delapág.15.
Pensamiento crítico Escribir números de dos o tres cifras seguidas de muchos ceros. Y, des-pués,laexpresióndeesacantidadcomounproductoporunapotenciadebasediez.Conlasdosnotacionesalavista,propondremos:¿Quéfor-maesmáscómoda?,¿Quéformapermiteapreciarmejoreltamañodelnúmero?¿Cuálesmásmanejableparahacercomparaciones?
Soluciones de “Piensa y practica”
1 a)103 b)106 c)109 d)1012
2 a)400000 b)15000000000 c)8600000000000000
3 a)5 b)8 c)12
4 a)7·104+4·103+2·102+3·10+8
b)6·105+8·104+2·102+9·10
c)4·106+5·105+2·104+8·103+9·102+2·10+6
d)4·107+6·106+3·105+5·104
5 a)33·1022 b)40·1012
Sugerencias
• Para la implantación de las propiedades de las potencias, a estas eda-des,suelensermáseficaceslosmétodosexperimentaleseintuitivos(re-petición de actividades y comprobación práctica) que los deductivos (demostración teórica).
• Si las características del grupo lo permiten, puede ser enriquecedor re-curriralmétododeldescubrimientomediantelaresolucióndepropues-tas secuenciadas, elaboradas por el profesorado y realizadas individual-mente o en pequeño grupo.
El alumnado abordará sucesivos ejercicios similares, de pequeña o mo-derada dificultad, hasta que la propiedad surja de forma espontánea. Por ejemplo:
– Calcularycompararelvalordelasexpresiones43 · 33 y (4 · 3)3.
La repetición de actividades similares hará aflorar la propiedad.
Finalmente, en la elaboración de conclusiones se trabajará la formali-zaciónylaexpresióngeneralizadadelapropiedad.
– Encontrar la forma más breve y cómoda de calcular 25 · 55.
Trasvariosejerciciosdeestetipo,ylaobservacióndelosresultados,algún alumno o alumna propondrá un camino más directo:
25 · 55 = (2 · 5)5=105
Esta dinámica se enriquece con el trabajo en pequeño grupo, lo que favorece el aprendizaje entre iguales.
Refuerzo y Ampliación
Se recomiendan:
• Delcuadernon.º2deEJERCICIOSDEMATEMÁTICAS:
Refuerzo:Ejercicios5y6delapág.17.
45
2UNIDAD
3534
Producto de potencias de la misma base
Al multiplicar dos potencias del mismo número, se obtiene otra potencia de dicho número.
54 · 53 = (5 · 5 · 5 · 5) · (5 · 5 · 5) = 57 ⎯→ 54 · 53 = 54 + 3 = 57 4 veces 3 veces
Observa que el exponente del producto � nal es la suma de los exponentes de los factores.
Para multiplicar dos potencias de la misma base, se deja la base y se suman los exponentes. ⎯→ am · an = am + n
Cociente de potencias de la misma base
Recordando las relaciones entre la multiplicación y la división, tenemos que:
54 · 53 = 57 ↔ 57 : 53 = 54 ⎯→ 57 : 53 = 57 – 3 = 54
57 : 54 = 53 ⎯→ 57 : 54 = 57 – 4 = 53
Observa que el exponente de cada cociente es la diferencia entre el exponente del dividendo y el exponente del divisor.
Para dividir dos potencias de la misma base, se deja la base y se restan los exponentes. ⎯→ am : an = am – n
Potencia de otra potencia
Al elevar una potencia a otra potencia, se obtiene una nueva potencia de la mis-ma base.
(54)3 = 54 · 54 · 54 = 54 + 4 + 4 = 54 · 3 = 512
Observa que el exponente � nal es el producto de los exponentes de la expresión inicial.
Para elevar una potencia a otra potencia, se deja la misma base y se multiplican los exponentes. ⎯→ (an)m = an · m
Potencia de exponente cero
Observa lo que ocurre cuando dividimos una potencia cualquiera, por ejemplo 53, entre sí misma:• Aplicando la propiedad del cociente → 53 : 53 = 53 – 3 = 50
• Aplicando el cálculo habitual → 53 : 53 = 125 : 125 = 1 → 50 = 1
Así, a 50 le asignamos el valor 1.
La potencia cero de un número (distinto de cero) es igual a uno. ⎯→ a0 = 1 (a ≠ 0)
Por ejemplo: 20 = 1 80 = 1 100 = 1 340 = 1
Ejercicios resueltos
1. Calcular, con la ayuda de las propiedades:
(83)2 : (83 · 82)
En el primer paréntesis aplicamos la potencia de otra potencia: (83)2 = 83 · 2 = 86 Y en el segundo, el producto de potencias de la misma base: 83 · 82 = 83 + 2 = 85 Y terminamos restando exponentes para dividir dos potencias de la misma base:
(83)2 : (83 · 82) = 86 : 85 = 86 – 5 = 81 = 8
2. Reducir a una sola potencia.
(a2 · a)4 : (a6 : a3)3
Reducimos los paréntesis, aplicando el producto y el cociente de potencias de la misma base: (a2 + 1)4 : (a6 – 3)3 = (a3)4 : (a3)3
Avanzamos aplicando la potencia de otra potencia: a3 · 4 : a3 · 3 = a12 : a9 Y terminamos con el cociente de potencias de la misma base: a12 – 9 = a3 Resumiendo: (a2 · a)4 : (a6 : a3)3 = (a3)4 : (a3)3 = a12 : a9 = a12 – 9 = a3
1. Completa en tu cuaderno, como en el ejemplo.
• ( ) ( )4 3 12 1444 3 16 9 144
4 3 4 3·· ·
· ·2 2
2 22 2 2"
= == =
=4
( · ) …· …
…3 53 5
a) 2
2 2==4 ( · ) …
· ……4 2
4 2b) 3
3 3==4
( : ):
12 312 3
) ……
…c 2
2 2==4 ( ):
:20 4
20 4) …
……d 3
3 3==4
2. Reflexiona y calcula de la forma más sencilla.a) 53 · 23 b) 42 · 52 c) 252 · 42
d) 203 · 53 e) 165 : 85 f ) 183 : 63
g) 214 : 74 h) 352 : 52 i) 1003 : 503
3. Calcula.a) (25 · 35) : 65 b) (64 · 34) : 94
c) (803 : 83) : 53 d) (482 : 22) : 62
e) (82 · 122) : (62 · 82) f ) (33 · 43) : (203 : 53)
4. Calcula y observa que los resultados no coinciden.a) (6 + 4)2 b) (5 + 2)3
62 + 42 53 + 23
5. Copia en tu cuaderno y sustituye cada casilla por el signo “=” o “≠”, según corresponda:a) (4 + 1)3 43 + 13 b) (4 + 1)3 53
c) (6 – 2)4 64 – 24 d) 73 (10 – 3)3
e) 102 52 · 22 f ) 104 52 · 22
g) (12 : 3)2 122 : 32 h) 127 : 32 45
6. Reduce a una sola potencia.a) 52 · 52 b) 32 · 35
c) 105 · 102 d) a5 · a5
e) m7 · m f ) x2 · x6
7. Expresa con una única potencia.a) 26 : 22 b) 38 : 35 c) 107 : 106
d) a10 : a6 e) m5 : m f ) x8 : x4
8. Reduce a una única potencia.a) (52)3 b) (25)2 c) (103)3
d) (a5)3 e) (m2)6 f ) (x4)4
9. Reduce.a) x · x2 · x3 b) m2 · m4 · m4
c) (k9 : k5) : k3 d) (x5 : x3) : x2
e) m6 : (m8 : m4) f ) (k2 · k5) : k6
g) (x2)5 : x7 h) m10 : (m3)3
i) (k2)6 : (k3)4 j) (x5 : x3)2
10. Resuelve estas expresiones con operaciones combi-nadas:a) 62 + 22 – 22 + 5b) 24 – 38 : 36 – 22
c) 10 + (52)3 : (53)2
d) (105 : 55) – (22 · 22)e) [(8 – 5)2 · (9 – 6)3] : 35
f ) [(7 – 4)3 – (9 – 4)2]4
Piensa y practicaEn la web Practica las operaciones con potencias.
Practica el producto de potencias de la misma base.
En la web
Practica el cociente de potencias de la misma base.
En la web
Practica la potencia de otra poten-cia.
En la web
Practica las operaciones con potencias.En la web
Sugerencias• Siguiendo en la línea de la página anterior, se sugiere proponer, para
cada caso, actividades como la siguiente:
33 · 35 = (3 · 3 · 3) · (3 · 3 · 3 · 3 · 3) = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 38
Intencionadamente, en estos ejemplos se están siguiendo caminos lar-gos y tediosos que inmediatamente harán surgir ideas de mejora y pro-puestas de simplificación: eso es lo que pretendemos.
• Unavezdescubiertosesoscaminosmáscortos,comprobadosyasegu-rados, guiaremos su formalización.
Refuerzo y AmpliaciónSe recomiendan:
• Delcuadernon.º2deEJERCICIOSDEMATEMÁTICAS:
Refuerzo:Ejercicios1,2y3delapág.16.
Ampliación:Ejercicios4,7y8delapág.17.
• DelfotocopiableINCLUSIÓNYATENCIÓNALADIVERSIDAD:
Refuerzo:Ejercicios7y8.
Ampliación:Ejercicios13,14y15.
Aprendizaje cooperativo Se sugiere la siguiente actividad:
El grupo clase se divide en dos equipos.
En cada equipo, cada estudiante toma dos tarjetas en blanco: en una es-cribeunaoperaciónconpotencias,yenlaotra,susolución;ylamuestraalresto del equipo para que evalúe si es correcta.
Unavezaceptadastodaslasparejasdetarjetas,semezclanyseentreganal equipo contrario.
Cadaequipodeberáemparejarlastarjetasdelloterecibido.
El equipo que antes acabe será el ganador.
Soluciones de “Piensa y practica”
1 a) (3 · 5)2=152 = 225 b) (4 · 2)3=83=512
32 · 52 = 9 · 25 = 225 43 · 23=64·8=512
c) (12:3)2 = 42=16 d)(20:4)3 = 53=125
122 : 32=144:9=16 203 : 43=8000:64=125
2 a)1000 b)400 c)10000
d)1000000 e)32 f) 27
g)81 h)49 i) 8
3 a)1 b)16 c)8 d)16 e)4 f) 27
4 a)(6+4)2=102=100;62 + 42=36+16=52
b) (5 + 2)3=73=343;53 + 23=125+8=133
5 a) ≠ b) = c) ≠ d) =
e) = f ) ≠ g) = h) ≠
6 a) 54 b) 37 c)107 d) a10 e) m 8 f ) x 8
7 a) 24 b) 33 c)101 d) a 4 e) m 4 f ) x 4
8 a) 56 b) 210 c)109 d) a 15 e) m 12 f ) x 16
9 a) x 6 b) m10 c) k 1 d) x 0=1 e) m 2
f ) k 1 g) x 3 h) m 1 i ) k 0=1 j) x 4
10 a)41 b)3 c)11 d)16 e)1 f) 16
46
2UNIDAD
3736
Cálculo de la raíz cuadrada por tanteo
Con lo que ya sabes, puedes calcular raíces mediante el tanteo. Esta técnica te ayudará a aclarar ideas y a � jar el concepto. Más tarde aprenderás otras técnicas más rápidas.
Ejemplo
Calcular, por tanteo, 3 900 .
.
60 3 600 3 900
62 3 844 3 90063 3 969 3 900
3900 62 63Como ves, es mayor que y menor que
<
<>
2
2
2
2 2h h h
=
==
_
`
a
bb
bb
Por tanto: 62 3 900 63< <La raíz cuadrada de 3 900 es un número comprendido entre 62 y 63.
3900 62≈ → La raíz entera de 3 900 es 62.
3 844
3 900↓
√—3 900
↓
3 969
622 632
62 63
Calcular la raíz cuadrada es hacer la operación inversa de elevar al cuadrado.
b a a b2 )= =
Ejemplos
• 42 = 16 → 16 = 4 → La raíz cuadrada de 16 es 4.
• 152 = 225 → 225 = 15 → La raíz cuadrada de 225 es 15.
raíz
radicando√
—a = b ⎯→ Se lee: la raíz cuadrada de a es igual a b.
Raíces exactas y raíces enteras
• Los cuadrados de los números naturales se llaman cuadrados perfectos:12 - 22 - 32 - 42 - 52 - … - 82 - … - 112 - … - 202 - …
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 1 4 9 16 25 64 121 400
La raíz cuadrada de un cuadrado perfecto es una raíz exacta.
Por ejemplo, son raíces exactas las siguientes:
9 3 121 11 400 20= = =
• Sin embargo, para la mayoría de los números, la raíz no coincide con una can-tidad exacta de unidades enteras.Busquemos, por ejemplo, la raíz de 40:
6 36 407 49 40
<>
2
2==
4 → 6 < 40 < 7 → La raíz cuadrada de 40 es unnúmero comprendido entre 6 y 7.
Al número natural que más se aproxima, por debajo, a la raíz, lo llamamos raíz entera.
40 ≈ 6 → La raíz entera de 40 es 6.
1. Calcular mentalmente 900 .
x2 = 900 → 302 = 900 → 900 = 30 → Raíz exacta
2. Teniendo en cuenta los datos del cuadro, cal-cular 1440 , 1444 y 1580 .
1440 37≈ → Raíz entera
1444 38= → Raíz exacta
1580 39≈ → Raíz entera
372 = 1 369382 = 1 444392 = 1 521402 = 1 600
Ejercicios resueltos
Te conviene memorizar los primeros cuadrados perfectos.
12 = 1 102 = 100 22 = 4 112 = 121 32 = 9 122 = 144 42 = 16 132 = 169 52 = 25 142 = 196 62 = 36 152 = 225 72 = 49 162 = 256 82 = 64 172 = … 92 = 81 182 = …
No lo olvides
4 Raíz cuadrada
1. Copia y completa, como en el ejemplo.• 25 5 La raíz de 25 es igual a 5."=
a) …49 7 "=
b) …64 …"=
c) 81 … …"=
d) 121 … …"=
2. Calcula mentalmente.
a) 4 b) 9 c) 36
d) 400 e) 900 f ) 3 600
g) 006 4 h) 0081 i) 0010 0
3. Calcula la raíz entera en cada caso:
a) 5 b) 10 c) 24
d) 32 e) 39 f ) 50
g) 68 h) 92 i) 105
4. Escribe en tu cuaderno los cuadrados perfectos com-prendidos entre 200 y 900. 152 162 172 182 … 302
225 256 289 324 … 900
5. Calcula, teniendo en cuenta los resultados del ejerci-cio anterior.
a) 289 b) 361 c) 484
d) 576 e) 676 f ) 841
6. Observa el cuadro y calcula indicando si la raíz es exacta o entera.
502 = 2 500 512 = 2 601 522 = 2 704532 = 2 809 542 = 2 916 552 = 3 025
a) 02 55 b) 602 1 c) 2 725
d) 2 815 e) 2 916 f ) 2 929
7. Calcula por tanteo.
a) 90 b) 150 c) 700
d) 1521 e) 6 816 f ) 10 816
8. Resuelve.
a) 121 100 81– +
b) · · :4 25 5 9 5–` jc) 4 2 5 7– –3 5 2 +
d) ( ) :8 6 4– 6 4
Piensa y practica
Practica el cálculo de la raíz entera.En la web
Sugerencias
• Tradicionalmente,elestudiantedeestenivelaprendíaahacerraícescuadradas mediante la aplicación del correspondiente algoritmo. Sin embargo,entendemosquelaexistenciadecalculadorassencillasquepermitenrealizarlatareaconsoloapretarunatecla,relegaesatécnicaaunsegundoplano.Creemosqueesmásenriquecedorcentrarelesfuer-zo en la construcción del concepto, nada fácil para el alumnado.
Para ello, proponemos la siguiente secuencia de contenidos:
– Obtención de cuadrados perfectos y asociación de cada uno con su correspondiente raíz cuadrada.
El alumnado aprenderá a diferenciar los números que tienen raíz exacta,loscuadradosperfectos,delosquenolatienen.
– Obtenciónderaícesexactasportanteo.
Se pedirá la raíz cuadrada de números grandes que sean cuadrados perfectos.Elmétododeresoluciónseráirelevandodistintosnúmerosal cuadrado hasta encontrar el adecuado, con la consigna de alcanzar el objetivo con el mínimo número de intentos.
– Aproximaciónderaícesenteras.
Comenzaremosproponiendounaraíz,sinanunciarlesqueelradican-donoescuadradoperfecto.Cuandodiganquenosepuedehacer,les pediremos la búsqueda, por tanteo, del número entero cuyo cua-drado(pordefectooporexceso)seaproximemásalacantidaddada.
Refuerzo y Ampliación
Se recomiendan:
• Delcuadernon.º2deEJERCICIOSDEMATEMÁTICAS:
Refuerzo:Ejercicios1,2y3delapág.18.Ejercicios4,5y6delapág.19.
Ampliación:Ejercicios1y2delapág.21.
• DelfotocopiableINCLUSIÓNYATENCIÓNALADIVERSIDAD:
Refuerzo:Ejercicios9y10.
Ampliación:Ejercicios16a20.
Soluciones de “Piensa y practica”
1 a) 49 =7→Laraízcuadradade49esiguala7.
b) 64 =8→Laraízcuadradade64esiguala8.
c) 81 = 9 →Laraízcuadradade81esiguala9.
d) 121 =11→Laraízcuadradade121esiguala11.
2 a)2 b) 3 c) 6 d) 20 e) 30
f) 60 g)80 h)90 i) 100
3 a)2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
f) 7 g)8 h)9 i) 10
4 225;256;289;324;361;400;441;484;
529;576;625;676;729;784;841;900
5 a)17 b)19 c)22 d)24 e)26 f) 29
6 a)50,entera b)51,exacta c)52,entera
d)53,entera e)54,exacta f) 54,entera
7 a) 90≈ 9 b) 150≈12 c) 700≈26
d) 1521 = 39 e) 6816≈82 f) 10 816 =104
8 a)10 b)1 c)0 d)4
47
2UNIDAD
39
Ejercicios y problemas
38
Algoritmo para el cálculo de la raíz cuadrada
Para calcular con lápiz y papel una raíz cuadrada, sigue los pasos que se describen a continuación:
Ejemplo
Vamos a calcular 105674:1 Separamos de dos en dos, desde la derecha, las cifras del radicando, y calcula-
mos la raíz del paquete de la izquierda …10` j. √10 . 56 . 74 3 ← A A = 10 = 3 y deja 1 de resto. 3 · 3 → –9 6 ← B B: Escribimos el doble de A. 12 Bajamos el paquete siguiente (56) y buscamos la cifra c , de forma que
6 c × c sea lo más próximo a 156, sin sobrepasarlo.
√10 . 56 . 74 3 √10 . 56 . 74 3 –9 ↓ ↓ 6 c × c –9 62 × 2 = 124 1 56 c = 2 156 6 2 × 2 = 124 → 124 0323 Subimos el valor c = 2 al campo de la solución, bajamos el siguiente paquete
(74) y repetimos el proceso.
√10 . 56 . 74 32 √10 . 56 . 74 32 9 62 × 2 = 124 9 62 × 2 = 124 156 64 d × d 156 645 × 5 = 3 225 124 124 32 74 d = 5 3274 64 5 × 5 = 3 225 → 3225 00494 Subimos el valor d = 5 al campo de la solución.Solución:
105 674 325=Prueba: 3252 + 49 = 105 674
√10 . 56 . 74 3 √10 . 56 . 74 3 √10 . 56 . 74 3 –9 6
√10 . 56 . 74 3 √10 . 56 . 74 3 √10 . 56 . 74 3 √10 . 56 . 74 3
1 56
√10 . 56 . 74 3 √10 . 56 . 74 3 6
1 56
√10 . 56 . 74 32 √10 . 56 . 74 32 √10 . 56 . 74 32 √10 . 56 . 74 32 √10 . 56 . 74 32 √10 . 56 . 74 32 9 62 156 64 124 124
√10 . 56 . 74 3 √10 . 56 . 74 3 √10 . 56 . 74 3 √10 . 56 . 74 3 √10 . 56 . 74 3 √10 . 56 . 74 3 –9 62
√10 . 56 . 74 32 √10 . 56 . 74 32 √10 . 56 . 74 32 √10 . 56 . 74 32 √10 . 56 . 74 32 √10 . 56 . 74 32 2 = 124 9 62
156 645
Cálculo de potencias1. Calcula mentalmente.
a) 24 b) 63 c) 35 d) 204 e) 300
2. Copia en tu cuaderno y completa.a) 3 = 8 000 b) 2 = 4 900c) 4 = 10 000 d) 4 = 160 000
3. Calcula el exponente en cada caso:a) 2x = 256 b) 10x = 10 000c) 7x = 2 401 d) 13x = 2 197
4. Calcula con lápiz y papel.a) 55 b) 95 c) 110 d) 153 e) 164
5. Obtén con la calculadora.a) 412 b) 510 c) 453 d) 674 e) 993
6. Escribe todos los cuadrados perfectos comprendi-dos entre 1 000 y 1 500.
Potencias de base 10. Expresión abreviada de números grandes7. Escribe con todas sus cifras.
a) 102 b) 106 c) 1010 d) 1012 e) 1016
8. Escribe como potencia de base 10.a) Cien. b) Cien millones.c) Cien billones d) Cien mil billones.
9. Expresa con todas sus cifras.a) 13 · 107 b) 34 · 109 c) 62 · 1011
10. Transforma como el ejemplo.• 180 000 = 18 · 104
a) 5 000 b) 1 700 000 c) 4 000 000 000
11. En un kilómetro hay 103 = 1 000 metros, y en un metro hay 102 = 100 centímetros.Expresa, de la misma forma, los centímetros que hay en un kilómetro.
12. Redondea a la centena de millar y escribe abrevia-damente con el apoyo de una potencia de base 10 el número de habitantes de cada una de estas ciudades:roma: 2 823 201 parís: 11 837 743madrid: 3 234 359 el cairo: 16 248 530
13. Ordena, de menor a mayor, estas cantidades:8 · 109 17 · 107 98 · 106
1010 16 · 108 9 · 109
14. Escribe en la notación abreviada, con ayuda de una potencia de base 10.a) Ocho mil quinientos millones.b) Dos billones, trescientos mil millones.c) Cuatro trillones, novecientos mil billones.
Operaciones con potencias15. Calcula.
a) 72 – 62 + 52 – 42
b) (5 – 4 + 2 – 1)3
c) (10 – 6)2 – (10 – 8)3
d) 34 – (5 – 3)2 – (23)2
e) (13 – 3)2 · (7 + 3)2 + (15 – 5)2 · 10
16. Calcula de la forma más sencilla.a) 82 · 52 b) 26 · 56 c) 253 · 43
d) 65 : 35 e) 153 : 53 f ) 204 : 54
17. Copia en tu cuaderno y completa las casillas va-cías.a) 52 · 53 = 5 b) 64 · 63 = 6c) a5 · a3 = a d) m3 · m = m9
e) 26 : 24 = 2 f ) 78 : 75 = 7g) a9 : a8 = a h) m8 : m = m6
i) (42)3 = 4 j) (53)3 = 5k) (a2)2 = a l) (m4) = m12
18. Reflexiona sobre estos enunciados y tradúcelos a igualdades o desigualdades matemáticas:a) Potencia de un producto. ↔ Producto de las po-
tencias de los factores.b) Potencia de una suma. ↔ Suma de las potencias
de los sumandos.c) Producto de potencias de igual base. ↔ La misma
base elevada a la suma de exponentes.d) Potencia de potencia. ↔ La misma base elevada al
producto de los exponentes.e) Potencia de exponente cero. ↔ Uno.
• En algunas calculadoras, la sucesión de teclas para calcular 105 674 es:105674 $ → {«“∞…≠|∞………}
• En otras, es la siguiente:$ 105674 = → {«“∞…≠|∞………}
Utiliza la calculadora
9. Copia en tu cuaderno y completa las siguientes raíces resueltas mediante el algoritmo:
√ 1 1 5 8 4 – 6 × – 2 5 6 0 0
6
√ 2 7 3 8 5 102 × 2 2 3 8
5 102
10. Calcula con lápiz y papel y, después, comprueba con la calculadora.
a) 1444 b) 2 025 c) 2 945
d) 93 74 e) 02 164 f ) 126 782
11. Obtén con ayuda de la calculadora.
a) 2 936 b) 10 568 c) 528 471
Piensa y practica
Practica el algoritmo de la raíz cuadrada.En la web
Sugerencias
• Unavezconstruidoelconceptoderaízcuadrada,sielritmodelgrupolo aconseja, se puede abordar su algoritmo.
• Utilizaremoslacalculadoraparalacomprobacióndelosresultados.
Aquí es importante la interpretación del resultado, con la apreciación del redondeo a la unidad más cercana.
Soluciones de “Piensa y practica”
9 √ 1 1 5 8 3 4 – 9 6 4 × 4
2 5 8 – 2 5 6 0 0 2
√ 2 7 3 8 5 2
2 5 102 × 2 2 3 8 2 0 4
0 3 4
10 a)Raíz=38.Resto=0 b)Raíz=45.Resto=0
c)Raíz=54.Resto=29 d)Raíz=63.Resto=5
e)Raíz=142.Resto=0 f) Raíz=356.Resto=46
11 a)54 b)103 c)727
Soluciones de “Ejercicios y problemas”
1 a)16 b) 216 c) 243 d) 160000 e) 1
2 a)20 b)70 c)10 d)20
3 a)8 b)4 c)4 d)3
4 a)3125 b) 59049 c) 1 d) 3375 e) 65536
5 a)16777216 b)9765625 c)91125
d)20151121 e)970299
6 322=1024 332=1089 342=1156 352=1225
362=1296 372=1369 382=1444
7 a)100 b)1000000 c)10000000000
d)1000000000000 e)10000000000000000
8 a)102 b)108 c)1014 d)1017
9 a)130000000 b)34000000000 c)6200000000000
10 a)5·103 b)17·105 c)4·109
11 1km=105 cm
12 Roma→28·105 París →118·105
Madrid →32·105 ElCairo→162·105
13 98·106<17·107<16·108<8·109<9·109<1010
14 a)85·108 b)23·1011 c)49·1017
15 a)22 b) 8 c) 8 d) 13 e) 11000
16 a)1600 b)1000000 c)1000000
d)32 e)27 f) 256
17 a)5 b)7 c)8 d)6 e)2 f) 3
g)1 h)2 i) 6 j) 9 k)4 l) 3
18 a) (a · b)m = am · bm b) (a + b)m ≠ am + bm c) am · an = am + n
d) (am)n = am · n e) a0=1
48
2UNIDAD
40 41
Ejercicios y problemas19. Reduce estas expresiones:
a) x8 : x3 b) m4 · m2 c) (k2)4
d) x5 · x5 e) (m3)2 f ) k6 : k4
20. Calcula.a) 364 : (24 · 94) b) (24 · 25) : 29
c) (155 : 55) : 33 d) 129 : (47 · 37)e) (43 · 45) : (44 · 42) f ) (307 : 57) : (25 · 35)
21. Reduce a una sola potencia.a) (x5 : x) · x2 b) (m7 : m4) : m3
c) (x2)4 : (x2)3 d) (m4)3 : (m5)2
e) (a3 · a5) : (a · a4) f ) (x3 : x2) · (x4 · x3)
22. Ejercicio resueltoReducir a una sola potencia y, después, calcular:
164 : 45
164 : 45 = (42)4 : 45 = 48 : 45 = 48 – 5 = 43 = 64
23. Reduce a una sola potencia y, después, calcula.a) 210 : 44 b) 36 : 92 c) 253 : 54
d) (23 · 42) : 8 e) (34 · 92) : 272 f ) (55 · 53) : 253
Raíz cuadrada
24. Calcula, por tanteo, la raíz exacta o la entera.a) 90 b) 121 c) 1785
25. Resuelve con la calculadora.a) 655 b) 1024 c) 1369d) 4 225 e) 12 664 f ) 33 856
26. Copia en tu cuaderno los cuadrados perfectos:1 000 1 225 1 600 1 724 1 601 2 4643 364 3 540 3 773 3 844 4 000 5 625
27. Resuelve.
a) 5 12 5–2 2 2+ ` j b) 2 53 – 024
+` `j j
Resuelve problemas
28. Un hortelano planta lechugas en una parcela de su huerta. Las distribuye en 25 surcos y en cada surco pone 25 lechugas. ¿Cuántas plantas ha colocado?
29. Un cine de vera-no dispone de 625 sillas distribuidas en igual número de fi-las y de columnas. ¿Cuántas sillas hay en cada fila?
30. Una finca cuadrada tiene 900 metros cuadrados de superficie. ¿Cuántos metros lineales de alambrada habría que comprar para cercarla?
31. Un paquete de igual longitud, anchura y altura, contiene 1 000 terrones de azúcar de un centímetro de arista. ¿Cuáles son las dimensiones del paquete?
32. Supón que construimos estas dos estructuras con cubos de madera de 1 cm de arista (¡Ojo! Los dibujos no están hechos con la misma proporción):a) Una placa cuadrada de b) Un bloque cúbico de
1 000 cm de lado. 100 cm de arista.
¿Cuál de las dos crees que pesaría más? Razona tu res-puesta.
33. ¿Cuántos padres y madres tenían entre todos tus tatarabuelos?
34. Observa el cubo de la ilustración formado por 5 × 5 × 5 cubitos unitarios.
a) Supón que lo pintamos de rojo. ¿Cuántos cubitos unitarios habrían quedado parcialmente pintados?
b) Supón que lo queremos hacer mas grande, recu-briéndolo completamente con una capa de cubitos verdes. ¿Cuántos cubitos verdes necesitaríamos?
Problemas “+”
35. Se ha solado una habitación de 6 m × 6 m con baldosas cuadradas que se venden en paquetes de 12. ¿Cuál es el tamaño de las baldosas, sabiendo que se han necesitado 34 paquetes, que no se ha partido ninguna, y que han sobrado unas pocas?
Si han comprado 12 · 34 = 408 baldosas, ¿cuántas filas de baldosas se han colocado?
36. Alberto les cuenta un cotilleo a sus amigos Nacho y Sara.Diez minutos después, Nacho se lo ha contado ya a Raquel y a Marta, y Sara, a Rosa y a Pablo.Pasados otros diez minutos, cada uno de estos últi-mos se lo ha contado a otras dos personas.Si la difusión del cotilleo sigue al mismo ritmo, ¿cuántas personas lo sabrán dos horas después de que se enteraran Nacho y Sara?
37. El suelo de una habitación cuadrada está enlo-sado con 484 baldosas de 15 cm de lado. Son todas blancas, excepto las que están a 15 cm de la pared, que forman un marco decorativo de color rojo como se ve en este dibujo:
¿Cuántas baldosas rojas hay en ese suelo?
Aprende a resolver problemasAprende a resolver problemas
¿Cuántas pegatinas ha comprado Marta? ¿Ha usado alguna?¿Qué quiere hacer con las que quedan? ¿Qué te preguntan?
¿Por dónde te parece que debes empezar?
¿Y cómo decides aho-ra si las 146 pegatinas que le quedan son su-� cientes para decorar el cubo grande?
¿Te vendría bien saber cuán-tas pegatinas ha gastado ya? ¿Cuántas le quedan entonces?
— Creo que comenzaré calculando cúantas pegatinas compró:5 hojas de 40 pegatinas → 5 · 40 = 200 pegatinas compró.
— Primero tengo que saber cuántas necesita para el cubo grande, que tiene 6 caras con 6 · 6 cuadraditos por cara:Necesita 6 · 6 · 6 = 63 = 216 pegatinas, que son más que 146.¡No tiene su� cientes!
Solución: A Marta no le quedan suficientes pegatinas para decorar el cubo grande.
— Ha decorado un cubo de 6 caras, y en cada cara ha usado 32 = 9 pegatinas:Pegatinas usadas: 9 · 6 = 54 pegatinas.Por tanto, le quedan 200 – 54 = 146 pegatinas.
Marta ha comprado cinco hojas con cuarenta pegatinas cada una y ha decorado el cubo pequeño. ¿Le quedan su� cientes pegatinas para decorar de la misma forma el cubo grande?
Comprueba que has entendido el enunciado.
Piensa en el camino que vas a seguir para resolver el problema. ¿Qué necesitas saber?
40
100 cm
100 cm100 cm1000 cm1000 cm
Soluciones de “Ejercicios y problemas”
19 a) x 5 b) m 6 c) k 8
d) x 10 e) m 6 f ) k 2
20 a)16 b)1 c)9
d)144 e)16 f) 36
21 a) x 6 b) m 0=1 c)x 2
d) m 2 e) a 3 f ) x 8
23 a) 22 = 4 b) 32 = 9 c) 52 = 25
d) 24=16 e)32 = 9 f ) 52 = 25
24 a)9,entera b)11,exacta c)42,entera
25 a)25,entera b)32,exacta c)37,exacta
d)65,exacta e)112,entera f) 184,exacta
26 1225=352 1600=402 3364=582
3844=622 5625=752
27 a)8 b)6
28 Hacolocado625plantas.
29 En cada fila hay 25 sillas.
30 Habríaquecomprar120mdealambrada.
31 Lasdimensionesdelpaqueteson10cm×10cm×10cm.
32 Lasdospesaríanlomismo,puesambasestánformadaspor1000000cubos.
33 Entre todos tus tatarabuelos tenían 32 padres y madres.
34 a)Habríanquedadopintados98cubitos.
b)Necesitaríamos218cubitosverdes.
35 Lasbaldosasmiden30cm2.
36 Sabránelcotilleo4096personas.
37 Hay76baldosasrojas.
ANOTACIONES
49
2UNIDAD
42 43
Taller de matemáticasTaller de matemáticas
aprenderemprender
Lee, reflexiona y deduceEl mundo de los números presenta múltiples relaciones, algunas tan sorprendentes que parecen envueltas en una aureola de magia. Como ejemplo, te mostramos las siguientes:
■ En la suma de los números impares, encontramos la suma de los números cúbicos:
1
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + …
827
64
13 23 33 43
• Averigua qué porción de la suma anterior has de tomar para obtener 53 = 125. ■ Como consecuencia de lo anterior, y teniendo en cuenta esto que vimos en las primeras páginas de la unidad:
62 = 36 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11
aparece una sorprendente relación entre algunos números cuadrados y los números cúbicos:
18
27
+36
+←→
62 = 36 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 13 + 23 + 33
62 = 36 = (1 + 2 + 3)2 = 13 + 23 + 33
• Comprueba que 13 + 23 + 33 + 43 es igual a un número cuadrado.• Busca otro número cuadrado que se pueda expresar como suma de cubos.
42
Números en las computadorasYa sabes que nosotros, para escribir los números, uti-lizamos el sistema decimal, con diez signos, del 0 al 9. Los ordenadores y las calculadoras, en su lenguaje in-terno, escriben los números en el sistema binario; es decir, utilizando solo dos signos, el 0 y el 1. • Estudia y completa las tablas en tu cuaderno, si-
guiendo la lógica de las primeras � las. Cuando hayas terminado, habrás traducido al sistema binario los primeros quince números naturales.
Infórmate ÓRDENES DE UNIDADES
23 22 21 20
8 4 2 1
0 0 0 0 01 0 0 0 12 0 0 1 03 0 0 1 14 0 1 0 05 0 1 0 16 0 1 1 07
ÓRDENES DE UNIDADES
23 22 21 20
8 4 2 1
8
9
10 1 0 1 011
12
13
14
15 1 1 1 1
43
1. Expresa en forma de potenciaa) 5 · 5 · 5 · 5 b) 10 · 10 · 10c) a · a · a · a · a d) m · m
2. Calcula.a) 26 b) 53
c) 72 c) 106
3. Copia y completa en tu cuaderno.a) 2 = 8 b) 2 = 81
4. Copia y completa esta tabla en tu cuaderno:
PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS
La potencia de un producto es igual al producto de las potencias de los factores. (a · b)n = an · bn
La potencia de un cociente es igual al cociente de las potencias del dividendo y del divisor.
Para multiplicar dos potencias de la misma base, se suman los exponentes.
Para dividir… am : an = am – n
Para elevar una potencia a otra potencia…
5. Reduce a una sola potencia.a) a3 · a2 b) x5 : x4 c) (a3)4
6. Calcula por el camino más corto.a) 24 · 54 b) 183 : 93
7. Copia y completa en tu cuaderno.a) x 3 · y 3 = ( · ) b) x 4 : y 4 = ( : )
8. Reduce.a) (x 5 · x 2) : x 4 b) (a5)2 : (a2)3
9. Copia en tu cuaderno y completa. a) 36 = b) 400 = c) 10000 =d) 3= e) 8= f ) 30=
10. Calcula con lápiz y papel la raíz cuadrada entera de 2 920. Después, comprueba con la calculadora si el resultado es correcto.
11. ¿Cuántos dados de madera, de 1 cm de arista, hay en 10 paquetes como el que ves en la ilustración?
Autoevaluación En la web Resoluciones de estos ejercicios.
10 cm
10 cm 10 cm
Tantea, ponte ejemplos• Tengo tres cajas idénticas. Una contiene caramelos de naranja;
otra, caramelos de limón, y la tercera contiene una mezcla de cara-melos de naranja y de limón. Están etiquetadas con estas referen-cias, pero ninguna caja lleva la etiqueta que le corresponde.
NN → Solo caramelos de naranja. LL → Solo caramelos de limón. NL → Caramelos de naranja y de limón.Raquel dice que si me da una caja y yo saco un caramelo y se lo enseño, puede adivinar el contenido de todas las cajas. Si crees que es cierto lo que dice Raquel, explica cómo lo consigue.
• Divide esta � gura en cuatro partes, todas ellas de igual forma y tamaño.
Entrénate resolviendo problemas
NN LL NL
Lee, reflexiona y deduce
Seretomanaquí,yseamplían,laspropuestasqueexponíamosenlasegun-da página de la unidad.
El alumnado abordará las actividades de forma manipulativa, dibujando nuevoselementosdelaserie,experimentando,haciendoconjeturas,elabo-rando hipótesis y comprobándolas, etc.
Finalmente, se sugiere una puesta en común de las conclusiones.
Soluciones
• 53=21+23+25+27+29
• 13 + 23 + 33 + 43=1+8+27+64=100=102
• Porejemplo:13 + 23=(1+2)2 = 32 = 9 13 + 23 + 33 + 43 + 53=(1+2+3+4+5)2=152 = 225
Infórmate
Números en las computadoras
Se sugiere la misma metodología que en la actividad anterior: los alumnos y las alumnas han de observar los primeros casos y deducir la ley de cons-trucción de la tabla.
El profesorado ha de estar atento a las desviaciones y errores en el proce-so.Comoayuda,sepuederecordarelfuncionamientodelosábacosdelsistema decimal, y ofrecer un ábaco con las reglas del sistema binario: dos unidades de cualquier orden hacen una de orden superior.
Soluciones
• 7→0111 8→1000
9 →1001 11→1011
12→1100 13→1101
14→1110
Entrénate resolviendo problemas
Tantea, ponte ejemplos
Soluciones
• RaqueltomarálacajaetiquetadaconNL,ysacaráuncaramelo.
Sielcarameloesdelimón,NLcontieneloscaramelosdelimón,NNeslacajamixtayLLcontieneloscaramelosdenaranja.
Sielcaramelofuesedenaranja,NLseríalacajadecaramelosdenaran-ja,LL,lamezcla,yNN,limón.
•
Soluciones de la autoevaluación
1 a) 54 b)103 c) a 5 d) m 2
2 a)64 b)125 c)49 d)1000000
3 a) 3 b) 9
4 Estas propiedades se pueden encontrar en las páginas 33 y 34 del L.A.
5 a) a 5 b) x c) a 12
6 a)10000 b)8
7 a) (x · y)3 b) (x : y)4
8 a) x 3 b) a 4
9 a)6 b)20 c)100 d)9 e)64 f) 900
10 2 920 = 54
11 Habrá10000dadosentotal.