i potencia s y radicale - … · potencias, radicales y logaritmos: operaciones con potencias y...

I. Potencias, radicales y logar i tmos

::

i Potencias y radicales

Potencias de exponente entero de base un número a:- Exponente positivo (mayor que 1): a" = a • ... • a- Exponente cero: a° = 1, con a * O

1- Exponente negativo:

Radical de índice n de un número A vA = r<=> rn = A

PASO A PASO

I Resuelve las siguientes potencias y raíces.a) 34 = 3 - 3 • 3 • 3 = fsTI

J _ *8

c) V64

d) ^3

, pues 26 = 64y (-2f = 64

2 1, pues (-2)6 = -32

f*)Deja en forma fraccionaria, sin paréntesis ni exponente, los siguientes números,

a) 2-5 = b) lO-2 = c) (-5r3 = d) (-3T4 =

Escribe como potencias de base 10 los números siguientes.

a) 1 - b) 100 - O I100

d) 11000

Escribe como potencias de base 2 los números siguientes.

a) 32 = O I256

d) 128 =

Halla las siguientes raíces descomponiendo en factores el radicando.

a) \/8 =

b) VI 000 -

c) V-64 ' =

d) -V81 =

I . Potencias , radica les y logaritmos: P o t e n c i a s y r a d i c a l e s

UN PASO MÁS >- - - - - - -

í Expresa en forma de radical las siguientes potencias de exponentefraccionario.

i 3/ i 3a) 83 = V82 --

Potencia de exponentefraccionario:

aa =

(Expresa en forma de radical las siguientes potencias.

a) 84 -

b) 132 =

c) 97 =

d) (-24)5 =

Escribe en forma de potencia los siguientes radicales.

a) \/42 = c)

e/b) V75 = d) V511 =

Expresa las bases en forma de potencia, pasa a la forma radical y calcula.

a) 645 =

b) 1 OOO3 =

c) 6254 =

d) 27^ =

Expresa en forma de potencia positiva y pasa a la forma radical.

a) 7 2 = b) -3164

Calcula las siguientes potencias de exponente decimal pasándolas, previamente, a exponentefraccionario.

a) 271-666- = b) 2 048o'3636 • =

I. Potencias, radicales y logaritmos: Po tenc ias y r ad i ca l es

UN PASO MÁS

(Expresa en forma de radical las siguientes potencias de exponentefraccionario.

1 -3./-T FsT^n -l .Sr—- s / 1a) 83 = W" = W

Potencia de exponentefraccionario:

J

Expresa en forma de radical las siguientes potencias.

a) 84 =

b) 132 =

c) 97 -

d) (-24) =

¡Escribe en forma de potencia los siguientes radicales.

a) V42 =

b)

c) V34 .

d) V511

Expresa las bases en forma de potencia, pasa a la forma radical y calcula.

a) 645 -

b) 1 OOO3 =

c) 6254 =

d) 27^ =

Expresa en forma de potencia positiva y pasa a la forma radical.-5

a) 7 2 - b) 1

le"4'

^Calcula las siguientes potencias de exponente decimal pasándolas, previamente, a exponentefraccionario.

a) 271-666- - b) 2 048°'3635- =

I I I . Potencias, radicaleí ylogaritraoi

Operaciones con potencias y radicales

Propiedades de las potencias

a /7 o / T 7 _ o f ) + / 7 ? rt /7 . rt/77 nH — 17)' a — a ¿4 . cí — ¿i

a" • bn=(a- b)n a" : bn = (a : b)n

(a")m = a"'m

Propiedades de los radicalesn ;—

ni— ni— n t \/í5\fa -\íb = Va^b va

n/—\ .n,m \_ A /_ m . ba'" = Va.n/ mr— n - mr—VVa= Va

\ : ^

PASO A PASO

) Resuelve las siguientes operaciones.

a) = (5 •2 I 2 _1 _3_

b)37 : 35 =37~5 =335

I\5

-2-

= V9~4 = V36

4/ — 3 - 4 ; — 12> -V5 = V5 = V5

(Aplica las propiedades y resuelve las siguientes operaciones.

d) V^ • V3~ =a) 107 • ID"4 : 1012 =

b) (103)2 : 10-3 • 10-8 =

3\c) 62 : 6 4 =

e)VÍ7/ - » 5 / 6 / \15

f) VV27 =

(¿Qué valor debe tener x para que se'cumplan las siguientes igualdades?

a) 5 * - 5^ = 52i *. i

c) 494 ; 72 -74

b ) 3 5 . 3* = d) 64 • 26 = 126

III. Potencias, radicales y logaritmos: Operaciones con potencias y rad i ca le s

> Comprueba si los siguientes radicales son equivalentes,

a) V7* y \^ b)\Í2fy^'

a)

b)

2-4/71"7 =

4-2, - 8V2J3'2 =

\ÍTy son equivalentes |

Radicales equivalentes son aque-llos que tienen la misma rafz, seobtienen multiplicando o dividien-do el índice y el exponente delradicando por un mismo número.

213 y v215 no son equivalentes

yjy Indica cuáles de los siguientes radicales son equivalentes (factoriza el radicando).

b) V277 c) V656120,

d) \/5314414

1,— 6/— 3/—| Reduce a índice común y ordena los radicales V8 , \9 y V2 .

1° Calculamos el m.c.m. de los índices: m.c.m.(7, 6, 3) - 42

2° Obtenemos los radicales equivalentes de índice42:6/— 6 - 7 / 42, 3/— 3-

¡ V9 = V^= V97 ; V2 =42 /

= V2 14

3.° Comparamos los radicandos: 97 > 86 > 2

de menor a mayor los siguientes conjuntos de radicales.

a) V20 ,

b) V211, Vi 024 , 2 52 \63 J

Potencias , rad ica les y logaritmos: O p e r a c i o n e s con p o t e n c i as y r a d i c a l e s

UN PASO MÁS

Extrae los factores posibles del radical A/9072 .

1° Descomponemos factorialmente el radicando:

2. ° Expresamos los factores con exponentes iguales al índice:

. 3 4 - 7• 23 - 3 • 33 • 7

3° Sacamos fuera de la raíz las potencias de exponente igual al índice-. = 2 • 3 • V2 • 3 - 7 = 6V42

\ los factores posibles de cada radical,

a) V48 = I d) Vl8 - a - ¿)4

b) V486 =

c) V50 • a3 =

e) VI 152 =

f) Va7 - b2 • c8 =

[Introduce dentro del radical el factor o divisor que está fuera.

2 - V4a) 3 • V5~ •=

b) 180

O

! d) 2 + 3 • V2~ -

¡«Escribe bajo un solo radical las siguientes expresiones y simplifica.

a)

b) 4-V27

O A3 4 -

d ) A 3 - -

( . P o t e n c i a s , rad ica les y logar i tmos: Ope rac i ones con po tenc ia s y r a d i c a l e s

\ la siguiente expresión dando el resultado en forma de potencia y en forma de32 • vT" • \/?~• • i *J V *J V *-?radical: .

Val- Transformamos todas las expresiones en forma de potencia y operamos-.

12 _31 33

Reducimos a índice común los radica/es y operamos-.

V8112 12/ 12/

= 3 2 - V 31

^wEfectúa las siguientes operaciones, dando el resultado en forma de radical.

b)^ /

V3 • V36

O

I Efectúa las siguientes operaciones, dando el resultado en forma de potencia.10

a)

b) ^ (a

2 I

Potencias, radicales y logaritmos: Ope rac i one s con po tenc ias y r ad i ca l e s

Realiza las siguientes operaciones con radicales.

a)-V3 + 5V3 -6V3 b)V32-V50 +4

a) Como los radicales tienen el mismo índice y radicando, sacamos factor común el radical:r

4V3 + sVs -eVs =(^. + 5-6\b) Como los radicales tienen el mismo índice y distinto radicando, extraemos los factores posibles de los

radicales y operamos los que tienen el mismo radicando:

V32 - V50 + Vl4 = \22-22-2 -V2-52 + VF7= 4 • V? - 5VJ+VÍ4 =[-VF+Vz4

(Resuelve las siguientes operaciones con radicales,

a) 2 Vil - 7 VTT + 3 VTT - VTf =

c) V6 - 2 V24 + 3 V54 + 5 Vl2 =

d) i 5\/2?a j " " ~

e) -

f) 6 \/32 - 3 V^50 - 5 \/108 + V864 + 7 V5Í =

A/a" 5,— o s/g) ^1+ V9^_|A/7^ =

^T O

I. Potencias, rad ica les y logar i tmos

Notación científica

Un número está escrito en notación científica cuando se expresa como producto de una potencia debase 10 por un número decimal con una sola cifra entera distinta de cero.

PASO A PASO

Expresa en notación científica los siguientes números.

a) 72 630 000 000 = [^263^10^] b) 0,00000258 = \10 cifras 6 cifras

Expresa en notación científica los siguientes números.

a )4320000= 1 e)6342,81 =

b) 0,000 52 =

c) 92000 =

d) Doce billones =

f) 9520000000000 =

i g) 0,000000009 =

h) Mil millones =

pCalcula y expresa en notación decimal los siguientes números.

a) 7,49 • 10 5 _

b) 2,325 • 1010 =

c) 6,27 • 10-4 =

d) 1,01 • 102 =

e) 7 • 10~7 =

f) 2,003 • 10-6 =

g) 4,59 • 1010 -

h) 1,031 • 10-2 =

I. Potencias , rad ica les y logaritmos: No tac ión c i en t í f i ca

Escribe en notación científica el resultado de calcular las siguientesoperaciones.

= [252~lO-*\) (6,25- J O 3 ) - ( 5 , 4 - JO6) = (6,25 - 5,4) • 10^ = 33,75- 109 = ¡3,375 • 10b) (2,34 • JO5) : (9,3 • JO8) = (2,34 : 9,3) • 10^ = 0,252 •

c) 6,435 • JO8 + 5,27 • JO6 = 6,435 • 108 + 0,0527 • 108 =

= (6,435+ 0,0527) • 108--

Las operacionescon números ennotación científicase realizan operandopor separado iosnúmeros decimales ylas potencias de 10.

Escribe en notación científica el resultado de calcular las siguientes operaciones.

a) (4,25 • 103) + (3,2 • 107) =

b) (9,23 • 104)-0,0075 =

c) (1,623 • 105): (2,084- 103) =

d) (3,26 • 103) • (8,435 - 10~7) =

e) 0,0000253 - 0,00045 =

f) 150000000 • (8,4522 • 105) =

^Calcula con notación científica y expresa el resultado de la siguiente operación en forma decimal.

0,00267 • 105-(3,28 • 104)2 =

(En cada apartado, calcula el valor de x, dando el resultado en forma decimal.

a) (1,63 • 10-1) • x=7, b)0,65 • 10¿

= 0,0000036

Soluciones

53. En orden decreciente:Chicas menores de edad:E = 6,38 %Chicos menores de edad:E = 5,98 %Mujeres mayores de edad:E = 1,76 %Hombres mayores de edad:E = 1,756 %

^•/ \\T \' . \0 3 i

7

yS-\ /•

>^ \ \3 25 4

7

CC p

xí* 3 ¿X^

-I"! f¡ If 2 |3

56.3) 1 7 P 18 U ± 7 3 1 7 4

\ \

0 1 2 3 1 2 1 , 7 1 , 8

b) A y/ í

X / l ''• 1 \— i

0 1 V2 V3 2

57. 2,3 . „, 2,29

L á_J.< 4 EgZ — a 2,2 - -JAS

58 /;-••^ Í̂i(£— i i < i0 1 A/2 2V6Y73

59. A = V2~, B = Vb y C = Vio"

60. (-1, 1]-1 no pertenece; 0,5 y 1 sí.

- 2 - 1 : i

Pertenecen 1, -1 y 0,5.

h\ - •

0 1 2 3 4

Pertenecen \ y V'lO .

62.a) [-3,-D b) [-1, 1]

63. [1, 2] ; [1,7, 1,8] ; [1,73, 1,74]

64. a) Números x tales que 2 < xb) Números x tales que 2 < xc) Números x tales que x < 2d) Números x tales que x<2

65 i) ó »-1 0

W 4 • i3 4

66. a) (5, + oo) b) (-00, - l]

67. a, c y d

68. a) (3, + oo)1 • ..... . b

2 3

b) (-4, + oo)

-5 -4 -3

69. a) 81 b) — c) ±2 d) -28

1 1 1 1

71. a) 10° b) 102 c) 10-2 d) 1Q-3

72. a) 25 b) 2 3 c) 2~8 d) 27

73. a) 2 b) 10 c) -4 d) -3

3^ l~~74 a) V64 b) A5/

V 4

75. a) V^3" c) V^

b) VU d)V^24~

76. a) 42^ b) 7^ c) 3^ d) 5^

77.a) 2 b) 10000 c) 125 d) —

1 1 4/•JO oí ^ -1- A / 1 c3 o

79. a) 243 b) 16

80. a) 30^ c) 9^ e) V^

b) 3^ d) \/Í6~ f) V^

81. a) 1(T* c =

b)lQ* d)3 fl\^27:;=\= ;

"4" "5~ ° T" ~9~

83. a) Sí b) No

84. a y b

85. \/9 < V^ < \Í2

86. a) VeT < V324 < V2Ó"

b) ̂ jjf < v^2T < V^

3,

87. 6V42

88. a) 4V3~ d) 3 • b2 \/2 - a

b) 9 Ve" e) 2\/9

c) 5 - a V 2 - a f) a - c V a - ¿ j 2 - c 2

/ Q / 3289. a) V45 c) ^/

b) Vs" d) 2+^1458

90. a) V7!̂ c) VT

12,V35

91.3^y32 • VJ

92 a) V? M ,6/ r) \/a3 . h2

V o

93. a) 2= b) Í-^V c) |— V

«}/l Ti ~ hl Vv^ i \/T4~4

95. a) -sVTT e) -13 Vs"

w-l^yi" nev^ + s^v7^28

5/—

r1 c\/c" i in\/T T!4

dj^Vs"6

96 Se necesita más de la mitad delcartón para los envases pequeños.Para fabricar 1 000 envasespequeños:Se = 0,63 - SE = 0,63 • 200 = 126 m2

97. a) 7,263-1010 b) 2.5&-1O*

47

Soluciones

98. a) 4,32 • 106 e) 6,34281 • 103

b) 5,2 • IQ-4 f) 9,52 • 1012

c) 9,2 • 104 g) 9 • 10-9d) 1,2 - 1013 h) 109

99.a) 749000b) 23250000000c) 0,000627d) 101e) 0,0000007f) 0,000002003g) 45 900 000 000h) 0,01031

100.a) 3,375 • 1010

b) 2,52 • 10-4

c) 6,4877 - 108

101.a) 3,200425 • 107

b) 9,22999925 • 104

c) 7,79 • 10d) 2,74981 • 10~3

e) -4,247 - 10-4f) 1,26783 • 1014

102.-1075 839 733

103.3)4438650 b) 0,0234

104.49,1 • 108€

105.8,25 • 108 hematíes

106. 4,7304 • 108 s

107. Distancia a la Luna: 4,5 • 108 mDistancia a Saturno: 1,548 • 1012 m

108.7,7908 • 10-30m3

109. a) 2,415 • 106 km = 6,28 dilunesb) 9,4 • 108km = 2 448 dilunes

O6,28

110 .x=3

111.a) x=5

b) x = 8

veces

c) x = -3

d) x = —2

112.a) a = l c ) £ > = 9

b)a=V /3~ d)b=l

113.x= 2

C) X = y

b)x=4 d ) x = 0

116.

117.

118.

a) 1

a) 2

b) 3

b) O

c) -1 d)4

c)-4-log2

a) Falsa c) Verdaderab) Verdadera d) Falsa

119. log 8 = 0,903

120.a) 1,204 c) 0,699b) -0,4013 d) -0,699

121.a) 1,079 c) 1,778b) 2,398 d) 0,19

122.0

123. a = 2

124.a) 1 día: 457; 2 días: 525;3 días: 603

b) 11 díasc) P= 1,15'= 102'6+ao6f

1 día: 457; 2 días: 525;3 días: 603

No hay variación.

125. Las magnitudes son inversamenteproporcionales y su constante es2,25.

126. a) Las magnitudes son directamenteproporcionales y su constantees 0,8.

b) Las magnitudes son inversamenteproporcionales y su constantees 60.

127. Cada alumno tendrá que pagar10 euros.

128. Se deberán apuntar 6 alumnos más.

115.a} 3 b)3 c)

130.

131.

132.

133.

134.

135.

:: 750 g;judías verdes: 187,5 g y aceite:56,25 g.

Base: 36 mmÁngulo: 32°

El producto costaba 45 euros antesde las rebajas.

Costaba 5,33 €.

Nueva longitud: 160,4 cm

a) Precio sin impuesto: 25 €b) IVA: 20%

a) Al final habrá 470 bacterias.b) La población ha aumentado un

9,25%.

136. En ambos casos la cantidad Tina!disminuye en un 1,44%.

137. La velocidad era de 5 MB porsegundo.

138. Hay 1000 voluntarios.

139. Tendrán 1 584 €.

140. Se convierten en 3 225 €.

141. Ha estado 7 años.

142. Tendrán 2812 €.

143. Se convierten en 13 390 €.

144. Intereses obtenidos: 479 €

145. Capital: 907 €

146. Rédito: 3,78%

147. Son necesarios 20 años para doblarel capital.

148. Son necesarios 16 años paratriplicar el capital.

149. R: 2%; CF a interés simple: 106;CF a interés compuesto: 106,12;Intereses a interés simple: 6;Intereses a interés compuesto:6,12.

R: 5%; CF a interés simple: 115;CF a interés compuesto: 115,76;Intereses a interés simple: 15;Intereses a interés compuesto:15,76.




150. Intereses de 5000 euros en elDepósito Limitado: 1125 €.

Intereses de 1 000 euros en elDepósito Simple: 217,5 €.

Total; 1 342,5 €

48

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