POLINOMIOS ( I )

VALOR NUMRICO (V.N.) Es el resultado que se obtiene al reemplazar las variables de una expresin algebraica por valores determinados. Ejemplo :

1. P(X,Y,Z) = X2 + 3YZ para : x = 5; y = -2; z = 3 Reemplazando:

P(5; -2; 3) = 25 3( 2)(3) 7

2. Determinar P(5), si :

Para este caso, se resuelve la ecuacin : x + 7 = 5; de donde : x = -2. Al reemplazar :

3( 2 7) 2( 2) 5( 2)1 16 10 1P

(5) 27P

PROPIEDADES : para un polinomio P(x). 1. Suma de coeficientes = P(1). 2. Trmino independiente = P(0). POLINOMIO

Es toda expresin algebraica racional y entera. Ejemplo :

2( ; ) 3 7 5P x y x y polinomio (trinomio).

P(x;y;z) = 2 2x y z no es polinomio.

GRADOS DE UN MONOMIO :

Grado Absoluto: es la suma de los exponentes de sus variables. Grado Relativo: es el exponente de la variable en referencia. Ejemplo: P(X,Y) = 2a3x4y5

G. A. = 5 + 4 G.R. (x) = 4 G.R. (y) = 5 GRADOS DE UN POLINOMIO DE DOS MS TRMINOS: Grado Absoluto: es el mayor grado absoluto de uno de sus monomios. Grado Relativo: es el mayor exponente de la variable en referencia. Ejemplo:

G.A. = 9 G.R. (x) = 6 G.R. (y) = 5 POLINOMIOS ESPECIALES 1. Polinomio Homogneo: cuando sus

trminos son de igual grado absoluto. Ejemplo :

Homogneo de grado 7. 2. Polinomio Completo : cuando tiene todos

los exponentes de la variable en referencia, desde el mayor hasta el cero incluido.

Ejemplo:

15x2x7)P(x 3

26543yx6yx7yx2P(x;y)

4 9 8Grados

mayor mayor

7

6

7

25

7

34 yx5yxyx2)y;x(P

Av. Villanueva Pinillos N 829 Jan

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IMPULSO AL SERVICIO DE LA CLASE POPULAR

Completo con respecto a "x" . Propiedad: para un polinomio completo

P(x).

3. Polinomio Ordenado: es aquel cuyos

exponentes de la variable en referencia (ordenatriz) van aumentado (orden creciente) o disminuyendo (orden decreciente).

Ejemplo:

Ordenado ascendentemente respecto a "y". POLINOMIO IDNTICAMENTE NULO Es aquel polinomio cuyos trminos presentan coeficientes iguales a cero, como por ejemplo :

3 2( )P x ax bx c

ser idnticamente nulo, si : a = 0; b = 0; c = 0. Propiedad: todo polinomio idnticamente nulo tiene valor numrico igual a cero para cualquier sistema de valores asignados a sus variables.

1. Hallar el grado de:

4 16152 y xa5)y(S

a) 2 b) 3 c) 4 d) 7 e) 9

2. Sea el polinomio:

P(x) = 12x7 3x4 + 3x2 x + 1

I. El polinomio es de grado 12.

II. El trmino independiente es 1 III. El coeficiente del trmino lineal es 1

IV. El coeficiente del trmino cuadrtico

es 3. V. Suma de coeficientes es 12.

Cuntos enunciados son

verdaderos?

a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1

3. Q(x) = ax

17 + bx7(2a-1)x2 (3a+1)x

4a cuyo coeficiente del trmino cuadrtico es 7. Hallar el coeficiente

de su trmino lineal.

a) 22 b) -22 c) 13 d) -13 e) 1

4. Hallar el coeficiente de:

M(x) = 2nn-1 xn-2, si es de primer

grado.

a) 36 b) 16 c) 18 d) 24 e) 4

5. Hallar el coeficiente de:

k nkn)x( x n2S si es de grado tres.

a) 2 b) k c) 216

d) 27 e) 54

6. Sea: P(x) = 3x 5

Calcular: ))3(P()6(PPE

a) 17 b) 18 c) 29 d) 20 e) 21

7. Sea Q(x) = 2x 1. Hallar Q(3x 2)

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

8. Sea: 2x5P )x(

Evaluar: 4

)x(P)4x(P

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

y5yx7yx2P(x; y)423

"x" tiene exponente cero

"x" tiene exponente "1"

# trminos = Grado + 1

209734xy5yx6yx4P(x; y)

aumenta

9. Sea: H(z) = 3z+2

Resolver para x: H(x-5) . H(x+3) = 27

x-4

a) 14 b) 8 c) 16 d) 7 e) 3

10. Sea: A(x-2) = 3x 4. Hallar A(3)

a) 5 b) 15 c) 11

d) 10 e) 14

11. Si: P(x) = x-2; Calcular: P(3 + P (3 + P (3+.. 15 veces P)

a) 18 b) 17 c) 16 d) 15 e) 14

12. Sea H(2x-3)= x+1. Hallar H(6x + 1)

a) 3x + 2 b) 3x - 1 c) 3x + 3

d) 3x e) 0

13. La siguiente adicin de monomios resulta 3x10m.

cba x

ca

x

cb

x

ba

Entonces, sealar el grado de: 9

bca)x( x

c

x

a

x

bA

a) 25 b) 26 c) 27 d) 28 e) 29

14. Si todos los trminos se reducen a

un solo trmino, entonces indicar el coeficiente final de la adicin:

a)ab(c

cacba xcxbxax

a) 23 b) 27 c) 29

d) 31 e) 33

15. Si P(x-1) = x + 1, P(Q(x)) = 4x + 5.

Hallar: Q(3) a) 15 b) 12 c) 9

d) 6 e) 3

16. Hallar la suma de coeficientes del polinomio:

P(x) = 3x2a-5 + (a-1)x2a-3 + a2x2a-4 si

es de quinto grado.

a) 15 b) 18 c) 22

d) 21 e) 24

17. Si: (GA(P) = a GA(Q) = b,

sabiendo:

GA(P2 . Q) = 11 GA (Q P) = b 3

Calcular: 2b a

a) 1 b) 3 c) 5

d) 7 e) 9

18. Si: GA(P2 . Q2) = 86 GA (P Q) = 1

Siendo P(x) Q(x) dos polinomios

desconocidos. Calcular GA(P + Q)

a) 22 b) 11 c) 12

d) 13 e) 14

POLINOMIOS ( II )

1. Hallar el grado absoluto de:

35,0316

4322)z,y,x( zyxxa3A

a) 13 b) 6 c) 10 d) 15 e) 8

2. Dado el monomio:

ba3a3b2b2)y;x( yx)2(4M

Se tiene: GA(M) = 8; GR(x) = 7

Sealar su coeficiente.

a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) -2

3. Dado el monomio:

b32a2)y;x( yx)ba(M

Donde: coef. (M) = GR(x)

GA (M) = 27 Determinar: ab

a) 5 b) 7 c) 12 d) 35 e) 42

Indicar el coeficiente del monomio:

M(x;y) = 2a(2b)2a x7b-ay4b+3a Donde: GA(M) = 15; GR(x) = 5

a) 4 b) 16 c) 64 d) 128 e) 45

4. Sea el polinomio:

67452643452 yzxa3zyxb32zyxa3)y,x(R

Hallar el producto de su grado

absoluto con el grado relativo a x.

a) 126 b) 98 c) 45

d) 36 e) 63

5. En el siguiente polinomio: 1b3a2b2ab1a1ba yxyxyxyx)y;x(P

De donde:

GR(x) = 10; GA(P) = 13; GR(y) = ?

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

6. Dado el polinomio:

36b1a4b3a65b2a zyx7zyxzyx5)y,x(P

de grado absoluto 17 y grado relativo a x es seis. Indique a

b.

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 7

7. En el polinomio:

3n2m8n3m5n1m ynx2ymxyx)y,x(P

halle la suma de sus coeficientes si:

Grx = 7 y G.A. = 13

a) 17 b) 24 c) 18 d) 25 e) 30

8. Dado el polinomio:

P(x,y) = xa+2yb-1+xa+6yb+xa+4yb+4 De donde: GA(P) = 16 GR(x) = 10

Calcular GR(y) a) 8 b) 6 c) 4

d) 2 e) 1 9. Si el grado absoluto de:

P(x,y) = x2ayb+5-3xayb+2+xayb

Es igual a la mitad de la suma de los

exponentes de todas sus variables. Calcular el grado relativo a y.

a) 8 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

10. Encontrar el valor de n (n 2) si el

producto de los grados relativos de x e y es 28.

nnnn3n1n xy)xy(yx)y,x(P

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

11. Determine el grado absoluto del

siguiente polinomio:

3a2a1

6

a

5a1

3

a

4a yxyxyx)y,x(P

Siendo: 9 < GR(x) < 15

a) 26 b) 27 c) 28 d) 29 e) 30

12. El siguiente polinomio: P(x,y) = xa-byb-6+xa-2byb-4+xa-3byb-2

posee un trmino independiente de x y otro independiente de y.

Calcular entonces la suma de los grados relativos de ambas variables.

a) 8 b) 6 c) 4 d) 2 e) 16

13. En el polinomio homogneo:

P(x,y) = 2ax2a-b b3xbya+2b xa-by8

Hallar la suma de sus coeficientes

a) 6 b) 7 c) 5 d) 8 e) 9

14. Si el polinomio: P(x) = (a + b 2)x3 + (a+c 3)x +

(b+c 5) se anula para cualquier valor de x determinar: a b + c

a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2

15. Se tiene p(x,y) 0;

(a 4)xy2 (20 b)x2y + ax2y 0

Determinar: ab

a) 4 b) 8 c) 16 d) 64 e) 72