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POLINOMIOS ( I )
VALOR NUMRICO (V.N.) Es el resultado que se obtiene al reemplazar las variables de una expresin algebraica por valores determinados. Ejemplo :
1. P(X,Y,Z) = X2 + 3YZ para : x = 5; y = -2; z = 3 Reemplazando:
P(5; -2; 3) = 25 3( 2)(3) 7
2. Determinar P(5), si :
Para este caso, se resuelve la ecuacin : x + 7 = 5; de donde : x = -2. Al reemplazar :
3( 2 7) 2( 2) 5( 2)1 16 10 1P
(5) 27P
PROPIEDADES : para un polinomio P(x). 1. Suma de coeficientes = P(1). 2. Trmino independiente = P(0). POLINOMIO
Es toda expresin algebraica racional y entera. Ejemplo :
2( ; ) 3 7 5P x y x y polinomio (trinomio).
P(x;y;z) = 2 2x y z no es polinomio.
GRADOS DE UN MONOMIO :
Grado Absoluto: es la suma de los exponentes de sus variables. Grado Relativo: es el exponente de la variable en referencia. Ejemplo: P(X,Y) = 2a3x4y5
G. A. = 5 + 4 G.R. (x) = 4 G.R. (y) = 5 GRADOS DE UN POLINOMIO DE DOS MS TRMINOS: Grado Absoluto: es el mayor grado absoluto de uno de sus monomios. Grado Relativo: es el mayor exponente de la variable en referencia. Ejemplo:
G.A. = 9 G.R. (x) = 6 G.R. (y) = 5 POLINOMIOS ESPECIALES 1. Polinomio Homogneo: cuando sus
trminos son de igual grado absoluto. Ejemplo :
Homogneo de grado 7. 2. Polinomio Completo : cuando tiene todos
los exponentes de la variable en referencia, desde el mayor hasta el cero incluido.
Ejemplo:
15x2x7)P(x 3
26543yx6yx7yx2P(x;y)
4 9 8Grados
mayor mayor
7
6
7
25
7
34 yx5yxyx2)y;x(P
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Completo con respecto a "x" . Propiedad: para un polinomio completo
P(x).
3. Polinomio Ordenado: es aquel cuyos
exponentes de la variable en referencia (ordenatriz) van aumentado (orden creciente) o disminuyendo (orden decreciente).
Ejemplo:
Ordenado ascendentemente respecto a "y". POLINOMIO IDNTICAMENTE NULO Es aquel polinomio cuyos trminos presentan coeficientes iguales a cero, como por ejemplo :
3 2( )P x ax bx c
ser idnticamente nulo, si : a = 0; b = 0; c = 0. Propiedad: todo polinomio idnticamente nulo tiene valor numrico igual a cero para cualquier sistema de valores asignados a sus variables.
1. Hallar el grado de:
4 16152 y xa5)y(S
a) 2 b) 3 c) 4 d) 7 e) 9
2. Sea el polinomio:
P(x) = 12x7 3x4 + 3x2 x + 1
I. El polinomio es de grado 12.
II. El trmino independiente es 1 III. El coeficiente del trmino lineal es 1
IV. El coeficiente del trmino cuadrtico
es 3. V. Suma de coeficientes es 12.
Cuntos enunciados son
verdaderos?
a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1
3. Q(x) = ax
17 + bx7(2a-1)x2 (3a+1)x
4a cuyo coeficiente del trmino cuadrtico es 7. Hallar el coeficiente
de su trmino lineal.
a) 22 b) -22 c) 13 d) -13 e) 1
4. Hallar el coeficiente de:
M(x) = 2nn-1 xn-2, si es de primer
grado.
a) 36 b) 16 c) 18 d) 24 e) 4
5. Hallar el coeficiente de:
k nkn)x( x n2S si es de grado tres.
a) 2 b) k c) 216
d) 27 e) 54
6. Sea: P(x) = 3x 5
Calcular: ))3(P()6(PPE
a) 17 b) 18 c) 29 d) 20 e) 21
7. Sea Q(x) = 2x 1. Hallar Q(3x 2)
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
8. Sea: 2x5P )x(
Evaluar: 4
)x(P)4x(P
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
y5yx7yx2P(x; y)423
"x" tiene exponente cero
"x" tiene exponente "1"
# trminos = Grado + 1
209734xy5yx6yx4P(x; y)
aumenta
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9. Sea: H(z) = 3z+2
Resolver para x: H(x-5) . H(x+3) = 27
x-4
a) 14 b) 8 c) 16 d) 7 e) 3
10. Sea: A(x-2) = 3x 4. Hallar A(3)
a) 5 b) 15 c) 11
d) 10 e) 14
11. Si: P(x) = x-2; Calcular: P(3 + P (3 + P (3+.. 15 veces P)
a) 18 b) 17 c) 16 d) 15 e) 14
12. Sea H(2x-3)= x+1. Hallar H(6x + 1)
a) 3x + 2 b) 3x - 1 c) 3x + 3
d) 3x e) 0
13. La siguiente adicin de monomios resulta 3x10m.
cba x
ca
x
cb
x
ba
Entonces, sealar el grado de: 9
bca)x( x
c
x
a
x
bA
a) 25 b) 26 c) 27 d) 28 e) 29
14. Si todos los trminos se reducen a
un solo trmino, entonces indicar el coeficiente final de la adicin:
a)ab(c
cacba xcxbxax
a) 23 b) 27 c) 29
d) 31 e) 33
15. Si P(x-1) = x + 1, P(Q(x)) = 4x + 5.
Hallar: Q(3) a) 15 b) 12 c) 9
d) 6 e) 3
16. Hallar la suma de coeficientes del polinomio:
P(x) = 3x2a-5 + (a-1)x2a-3 + a2x2a-4 si
es de quinto grado.
a) 15 b) 18 c) 22
d) 21 e) 24
17. Si: (GA(P) = a GA(Q) = b,
sabiendo:
GA(P2 . Q) = 11 GA (Q P) = b 3
Calcular: 2b a
a) 1 b) 3 c) 5
d) 7 e) 9
18. Si: GA(P2 . Q2) = 86 GA (P Q) = 1
Siendo P(x) Q(x) dos polinomios
desconocidos. Calcular GA(P + Q)
a) 22 b) 11 c) 12
d) 13 e) 14
POLINOMIOS ( II )
1. Hallar el grado absoluto de:
35,0316
4322)z,y,x( zyxxa3A
a) 13 b) 6 c) 10 d) 15 e) 8
2. Dado el monomio:
ba3a3b2b2)y;x( yx)2(4M
Se tiene: GA(M) = 8; GR(x) = 7
Sealar su coeficiente.
a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) -2
3. Dado el monomio:
b32a2)y;x( yx)ba(M
Donde: coef. (M) = GR(x)
GA (M) = 27 Determinar: ab
a) 5 b) 7 c) 12 d) 35 e) 42
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Indicar el coeficiente del monomio:
M(x;y) = 2a(2b)2a x7b-ay4b+3a Donde: GA(M) = 15; GR(x) = 5
a) 4 b) 16 c) 64 d) 128 e) 45
4. Sea el polinomio:
67452643452 yzxa3zyxb32zyxa3)y,x(R
Hallar el producto de su grado
absoluto con el grado relativo a x.
a) 126 b) 98 c) 45
d) 36 e) 63
5. En el siguiente polinomio: 1b3a2b2ab1a1ba yxyxyxyx)y;x(P
De donde:
GR(x) = 10; GA(P) = 13; GR(y) = ?
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7
6. Dado el polinomio:
36b1a4b3a65b2a zyx7zyxzyx5)y,x(P
de grado absoluto 17 y grado relativo a x es seis. Indique a
b.
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 7
7. En el polinomio:
3n2m8n3m5n1m ynx2ymxyx)y,x(P
halle la suma de sus coeficientes si:
Grx = 7 y G.A. = 13
a) 17 b) 24 c) 18 d) 25 e) 30
8. Dado el polinomio:
P(x,y) = xa+2yb-1+xa+6yb+xa+4yb+4 De donde: GA(P) = 16 GR(x) = 10
Calcular GR(y) a) 8 b) 6 c) 4
d) 2 e) 1 9. Si el grado absoluto de:
P(x,y) = x2ayb+5-3xayb+2+xayb
Es igual a la mitad de la suma de los
exponentes de todas sus variables. Calcular el grado relativo a y.
a) 8 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
10. Encontrar el valor de n (n 2) si el
producto de los grados relativos de x e y es 28.
nnnn3n1n xy)xy(yx)y,x(P
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
11. Determine el grado absoluto del
siguiente polinomio:
3a2a1
6
a
5a1
3
a
4a yxyxyx)y,x(P
Siendo: 9 < GR(x) < 15
a) 26 b) 27 c) 28 d) 29 e) 30
12. El siguiente polinomio: P(x,y) = xa-byb-6+xa-2byb-4+xa-3byb-2
posee un trmino independiente de x y otro independiente de y.
Calcular entonces la suma de los grados relativos de ambas variables.
a) 8 b) 6 c) 4 d) 2 e) 16
13. En el polinomio homogneo:
P(x,y) = 2ax2a-b b3xbya+2b xa-by8
Hallar la suma de sus coeficientes
a) 6 b) 7 c) 5 d) 8 e) 9
14. Si el polinomio: P(x) = (a + b 2)x3 + (a+c 3)x +
(b+c 5) se anula para cualquier valor de x determinar: a b + c
a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2
15. Se tiene p(x,y) 0;
(a 4)xy2 (20 b)x2y + ax2y 0
Determinar: ab
a) 4 b) 8 c) 16 d) 64 e) 72