polinomios de schur y soluciones básicas de las recurrencias...

Recurrencias lineales Polinomios de Schur Polinomios de Schur sesgados Soluciones basicas

Polinomios de Schury soluciones basicas de las recurrencias lineales

Egor Maximenko, Mario Alberto Moctezuma Salazar

Instituto Politecnico Nacional, ESFM, Mexico

50o Congreso Nacionalde la Sociedad Matematica Mexicana

UNAM, Ciudad de Mexico25 de octubre de 2017

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Ejemplo de recurrencia lineal: contamos los ritmosFijamos una unidad de tiempo T (por ejemplo, un segundo).Rn := el numero de los ritmos de longitud nT que consistende sonidos de dos tipos: cortos (T ) y muy largos (3T ).

R1 = 1:

R2 = 1:R3 = 2: ,R4 = 3: , ,R5 = 4: , , ,R6 = 6: , , , , ,

Recurrencia lineal:

Rn = Rn−1 +Rn−3.

Condiciones iniciales: R0 = 1, R1 = 1, R2 = 1.

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R1 = 1:R2 = 1:

R3 = 2: ,R4 = 3: , ,R5 = 4: , , ,R6 = 6: , , , , ,

Recurrencia lineal:

Rn = Rn−1 +Rn−3.


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R1 = 1:R2 = 1:R3 = 2: ,

R4 = 3: , ,R5 = 4: , , ,R6 = 6: , , , , ,

Recurrencia lineal:

Rn = Rn−1 +Rn−3.


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R1 = 1:R2 = 1:R3 = 2: ,R4 = 3: , ,

R5 = 4: , , ,R6 = 6: , , , , ,

Recurrencia lineal:

Rn = Rn−1 +Rn−3.


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R1 = 1:R2 = 1:R3 = 2: ,R4 = 3: , ,R5 = 4: , , ,

R6 = 6: , , , , ,

Recurrencia lineal:

Rn = Rn−1 +Rn−3.


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R1 = 1:R2 = 1:R3 = 2: ,R4 = 3: , ,R5 = 4: , , ,R6 = 6: , , , , ,

Recurrencia lineal:

Rn = Rn−1 +Rn−3.


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R1 = 1:R2 = 1:R3 = 2: ,R4 = 3: , ,R5 = 4: , , ,R6 = 6: , , , , ,

Recurrencia lineal:

Rn = Rn−1 +Rn−3.

Condiciones iniciales: R0 = 1, R1 = 1, R2 = 1.2 / 39


Sucesion de Fibonacci (Leonardo de Pisa)

F1 = 1

F2 = 1

F3 = 2

F4 = 3

F5 = 5

F6 = 8

Fn = Fn−1 + Fn−2, F0 = 0, F1 = 1.

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Recurrencia lineal homogenea de orden dcon coeficientes constantes

Para cada n ≥ d,

a0︸︷︷︸1

fn + a1fn−1 + a2fn−2 + · · ·+ adfn−d = 0. (RecLin)

Definicion (polinomio caracterıstico)

a(t) = a0td + a1t

d−1 + · · ·+ adt0.

Definicion (conjunto solucion)La := el conjunto de las sucesiones complejas f = (fk)∞k=0

que satisfacen (RecLin) para cada n ≥ d.

L es un espacio vectorial.

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Recurrencia lineal homogenea de orden dcon coeficientes constantes

Para cada n ≥ d,

a0︸︷︷︸1

fn + a1fn−1 + a2fn−2 + · · ·+ adfn−d = 0. (RecLin)

Definicion (polinomio caracterıstico)

a(t) = a0td + a1t

d−1 + · · ·+ adt0.

Definicion (conjunto solucion)La := el conjunto de las sucesiones complejas f = (fk)∞k=0

que satisfacen (RecLin) para cada n ≥ d.

L es un espacio vectorial.4 / 39


Condiciones inicialesRecurrencia lineal de orden 2 con dos valores iniciales v0 y v1:

f0 = v0,

f1 = v1,

f2 + a1f1 + a2f0 = 0,

f3 + a1f2 + a2f1 = 0,

f4 + a1f3 + a2f2 = 0,

. . .

Proposicion (existencia y unicidad de solucion de rec. lin.)Sean a0 = 1, a1, . . . , ad ∈ C y v0, v1, . . . , vn−1 ∈ C.Entonces existe una unica sucesion f en La tal que

f0 = v0, f1 = v1, . . . , fd−1 = vd−1.

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Metodo clasico de solucion, para d = 2Consideramos la recurrencia lineal de segundo orden:

fn + a1fn−1 + a2fn−2 = 0 (n ≥ 2).

Denotamos por x1 y x2 a las raıces del polinomio caracterıstico:

a(t) = t2 + a1t+ a2 = (t− x1)(t− x2).

Las progresiones geometricas

(xk1)∞k=0, (xk2)∞k=0

son soluciones de la recurrencia lineal:

xn1 + a1xn−11 + a2x

n−21 = xn−2

1 (x21 + a1x1 + a2) = 0.

Consideramos el caso x1 6= x2.Entonces (xn1 )∞n=0 y (xn2 )∞n=0 forman una base de La.

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Metodo clasico de solucion, para d = 2

Consideramos el caso x1 6= x2. La solucion general es

fn = αxn1 + βxn2 .

Los coeficientes se determinan por las condiciones iniciales:

n = 0: αx01 + βx0

2 = v0,

n = 1: αx11 + βx1

2 = v1.

En forma matricial,[x0

1 x02

x11 x1

2

] [α

β

]=[v0

v1

].

Como x1 6= x2, el determinante de Vandermonde es no nulo,y el sistema tiene una unica solucion.

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Metodo clasico para d = 3

Para d = 3, si x1, x2, x3 son diferentes a pares, entonces

fn = αxn1 + βxn2 + γxn3 ,

donde los coeficientes α, β, γ se determinan del sistemax0

1 x02 x0

3x1

1 x12 x1

3x2

1 x22 x2

3

α

β

γ

=

v0

v1

v2

.Un defecto de esta forma de la solucion:

las condiciones iniciales v0, . . . , vd−1no aparecen de manera simple en la respuesta.

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Busquemos soluciones basicas

Denotemos por b(0), . . . , b(d−1) a las sucesiones de clase Laque se determinan por los siguientes valores iniciales:

b(0) = (d︷︸︸︷

1, 0, . . . , 0, ?, ?, . . .),b(1) = ( 0, 1, . . . , 0, ?, ?, . . . ),· · ·

b(d−1) = ( 0, 0, . . . , 1, ?, ?, . . . ).

Formalmente,b(j)k = δj,k (0 ≤ k < j).

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Solucion general en terminos de las soluciones basicas

Proposicion

Sea f ∈ La. Entonces f =d−1∑j=0

fjb(j).

¡Los coeficientes son los valores iniciales!

Demostracion.La sucesion g :=

∑d−1j=0 fjb

(j) es de clase La.Ademas, tiene los mismos valores iniciales que la sucesion f .En efecto, si k < d, entonces

gk =d−1∑j=0

fjδj,k = fk.

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Soluciones basicas para d = 2

t2 + a1t+ a2 = (t− x1)(t− x2) = t2 + (−x1 − x2)︸︷︷︸a1

t1 + x1x2︸︷︷︸a0

t0.

Si f ∈ La, entonces para cada n ≥ 2

fn = −a1fn−1 − a2fn−2 = (x1 + x2)fn−1 − x1x2fn−2.

Las soluciones basicas empiezan con las siguientes componentes:

b(0) =(1, 0, −x1x2, −(x2

1x2 + x1x22), . . .

),

b(1) =(0, 1, x1 + x2, x

21 + x1x2 + x2

2, . . .).

¡Las componentes son polinomios simetricos homogeneos!

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Algunas familias de polinomios simetricos

Macdonald (1995): Symmetric functions and Hall polynomials.Stanley (1999): Enumerative combinatorics, vol. 2.

Polinomiossimetricos

completos

elementales Schur

Schursesgados

generan al algebra

generan al algebra base del espacio vectorial

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Polinomios simetricos completos

h1(x1, x2, x3) = x1 + x2 + x3,

h2(x1, x2, x3) = x21 + x2

2 + x23 + x1x2 + x1x3 + x2x3,

h3(x1, x2, x3) = x31 + x3

2 + x33 + x2

1x2 + x21x3 + x2

2x1 + x22x3

+ x23x1 + x2

3x2 + x1x2x3.

DefinicionEl polinomio simetrico completo de orden k en n variableses la suma de todos los monomios de grado total k:

hk(x1, . . . , xn) =∑

p1,...,pn≥0p1+p2+···+pn=k

xp11 · · ·x

pnn .

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Polinomios simetricos elementales

e1(x1, x2, x3, x4) = x1 + x2 + x3 + x4,

e2(x1, x2, x3, x4) = x1x2 + x1x3 + x1x4 + x2x3 + x2x4 + x3x4,

e3(x1, x2, x3, x4) = x1x2x3 + x1x2x4 + x1x3x4 + x2x3x4,

e4(x1, x2, x3, x4) = x1x2x3x4.

DefinicionEl polinomio simetrico elemental de grado k en n variableses la suma de todos los productos de k variables diferentes:

ek(x1, . . . , xn) =∑

1≤j1<j2<···<jk≤nxj1xj2 · · ·xjk .

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Formula de Vieta (Francois Viete, 1540–1603)

ProposicionLos coeficientes del polinomio monico

a(t) = td + a1td−1 + · · ·+ ad−1t+ ad =

d∏j=1

(t− xj)

son polinomios elementales de sus raıces, con signos alternados:

ak = (−1)kek(x1, . . . , xd).

a(t) = t2 + a1t+ a2 = (t− x1)(t− x2),

a0 = 1 = e0(x1, x2),a1 = −(x1 + x2) = −e1(x1, x2),a2 = x1x2 = e2(x1, x2).

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Recurrencia lineal en terminos de los pol. elementales

La recurrencia lineal

fn + a1fn−1 + a2fn−2 + · · ·+ adfn−d = 0 (RecLin)

se escribe comod∑

k=0(−1)kek(x1, . . . , xd)fn−k = 0 (n ≥ d).

Otra forma equivalente:

d∑k=0

(−1)ked−k(x1, . . . , xd)fn+k = 0 (n ≥ 0).

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Particiones enteras y sus diagramas de YoungParticiones enteras son listas finitas debilmente decrecientes denumeros enteros no negativos.

λ = (3, 2, 2, 1).

Cada particion entera se identifica con su diagrama:

λ = .

La particion conjugada corresponde al diagrama transpuesto:

λ′ = = (4, 3, 1).

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Varias definiciones equivalentes de polinomios de Schur

Dada una particion entera λ = (λ1, . . . , λn),el polinomio de Schur sλ(x1, . . . , xn) es cierto polinomiosimetrico homogeneo de grado λ1 + · · ·+ λn.

Hay varias definiciones equivalentes de sλ(x1, . . . , xn):por la formula de Jacobi–Trudi, en terminos de hk,por la formula dual de Jacobi–Trudi, en terminos de ek,usando determinantes generalizados de Vandermonde,por medio de tablas semiestandares de Young, etc.

Los polinomios de Schur forman una base del espacio vectorialde los polinomios simetricos.

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Definicion de polinomios de Schurpor la formula de Jacobi–Trudi

La formula de Jacobi–Trudi expresa los polinomios de Schuren terminos de polinomios simetricos homogeneos completos.

Definicion

sλ = det[hλj−j+k]nj,k=1.

Si λ = (λ1, λ2, λ3, λ4), entonces

sλ =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣hλ1 hλ1+1 hλ1+2 hλ1+3hλ2−1 hλ2 hλ2+1 hλ2+2hλ3−2 hλ3−1 hλ3 hλ3+1hλ4−3 hλ4−2 hλ4−1 hλ4

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ .

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La formula dual de Jacobi–Trudi(la identidad de Nagelsbach–Kostka)

Expresa polinomios de Schur en terminos de polinomiossimetricos elementales, usando la particion conjugada.

Proposicion

sλ = det[eλ′j−j+k]λ1j,k=1.

Si λ′ = (λ′1, λ′2, λ′3), entonces

sλ =

∣∣∣∣∣∣∣eλ′1 eλ′1+1 eλ′1+2eλ′2−1 eλ′2 eλ′2+1eλ′3−2 eλ′3−1 eλ′3

∣∣∣∣∣∣∣ .

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Pol. de Schur y det. generalizados de Vandermonde

Proposicion

sλ(x1, . . . , xn) =det[xλj+n−jk

]nj,k=1

det[xn−jk

]nj,k=1

.

s(λ1,λ2,λ3)(x1, x2, x3) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣xλ1+2

1 xλ1+22 xλ1+2

3

xλ2+11 xλ2+1

2 xλ2+13

xλ31 xλ3

2 xλ33

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣x2

1 x22 x2

3

x11 x1

2 x13

x01 x0

2 x03

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

.

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Polinomios de Schur y tablas de Young

Las tablas semiestandares del diagrama λ = (2, 2, 1, 1) son

1 12 234

,

1 12 334

,

1 22 334

,

1 12 434

,

1 22 434

,

1 32 434

.

El correspondiente polinomio de Schur s(3,2,2,1)(x1, x2, x3, x4) es

x21x

22x3x4 + x2

1x2x23x4 + x1x

22x

23x4

+ x21x2x3x

24 + x1x

22x3x

24 + x1x2x

23x

24.

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Ejemplo: calculemos s(3,1)(x1, x2)

I. Empecemos con la formula de Jacobi–Trudi:

s(3,1)(x1, x2) =∣∣∣∣∣ h3 h4h0 h1

∣∣∣∣∣ = h3h1 − h4h0

= (x31 + x2

1x2 + x1x22 + x3

2)(x1 + x2)

− (x41 + x3

1x2 + x21x

22 + x1x

32 + x4

2)

= x31x2 + x2

1x22 + x1x

32.

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Ejemplo: calculemos s(3,1)(x1, x2)II. Calculamos el diagrama conjugado:

λ = (3, 1) = , λ′ = = (2, 1, 1),

y aplicamos la formula dual de Jacobi–Trudi:

s(3,1)(x1, x2) =

∣∣∣∣∣∣∣e2 e3 e4e0 e1 e2e−1 e0 e1

∣∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣∣e2 0 0e0 e1 e20 e0 e1

∣∣∣∣∣∣∣= e2(e2

1 − e2)

= x1x2((x1 + x2)2 − x1x2)

= x31x2 + x2

1x22 + x1x

32.

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III. Usamos determinantes de Vandermonde generalizados:

s(3,1)(x1, x2) =

∣∣∣∣∣ x41 x4

2x1 x2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ x11 x1

2x0

1 x02

∣∣∣∣∣= x4

1x2 − x1x42

x1 − x2= x1x2(x3

1 − x32)

x1 − x2

= x1x2(x21 + x1x2 + x2

2)

= x31x2 + x2

1x22 + x1x

32.

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IV. Finalmente, hallamos todas las tablas de Youngsemiestandares:

1 1 12 , 1 1 2

2 , 1 2 22 ,

y las convertimos en monomios:

s(3,1)(x1, x2) = x31x2 + x2

1x22 + x1x

32.

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Elementales y completos como polinomios de Schur

Proposicion

ek = s(1k), hk = s(k).

e2(x1, x2, x3) = s(1,1)(x1, x2, x3)

= 12 + 1

3 + 23

= x1x2 + x1x3 + x2x3;

h2(x1, x2, x3) = s(2)(x1, x2, x3)

= 1 1 + 1 2 + 1 3 + 2 2 + 2 3 + 3 3

= x21 + x1x2 + x1x3 + x2

2 + x2x3 + x23.

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Particiones sesgadas y sus diagramas

Los diagramas de las particiones λ = (3, 2, 2, 1) y µ = (2, 1) son

λ = , µ = .

La particion sesgada λ/µ = (3, 2, 2, 1)/(2, 1) tiene diagrama

.

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Jacobi–Trudi para polinomios de Schur sesgados

Definicion

sλ/µ = det[hλj−µk−j+k]nj,k=1.

s(λ1,λ2,λ3)/(µ1,µ2) =

∣∣∣∣∣∣∣hλ1−µ1 hλ1−µ2+1 hλ1−µ3+2hλ2−µ1−1 hλ2−µ2 hλ2−µ3+1hλ3−µ1−2 hλ3−µ2−1 hλ3−µ3

∣∣∣∣∣∣∣ .

Proposicion

sλ/µ = det[eλ′j−µ′k−j+k]λ1j,k=1.

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Tablas sesgadas y polinomios sesgados de Schur

Calculemos s(4,3,2)/(3,1)(x1, x2) usando tablas de Young:

11 1

1 2

, 11 1

2 2

, 11 2

1 2

, 21 1

1 2

,

11 2

2 2

, 21 2

1 2

, 21 1

2 2

, 21 2

2 2

.

Cada tabla se convierte en un monomio:

s(4,3,2)/(3,1)(x1, x2) = x41x2 + 3x3

1x22 + 3x2

1x32 + x1x

42.

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Dos operaciones de concatenacion de diagramas

D1 = (3, 3, 2)/(2, 1) = , D2 = (4, 2)/(1) = .

D1 ↑ D2 = = ,

D1 ← D2 = = .

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Producto de polinomios de Schur sesgados

ProposicionSean D1 y D2 diagramas sesgados. Entonces

sD1sD2 = sD1↑D2 + sD1←D2 .

· = + .

En otra notacion,

s(3,3,2)/(2,1)s(4,2)/(1) = s(6,4,3,3,2)/(3,2,2,1) + s(7,5,3,2)/(4,2,1).

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Productos de ganchos por elementales

· =

+ ,

· = + ,

· = + .

Sumamos estas igualdades alternando los signos:e3s(5,12) − e2s(6,12) + e1s(7,12) − e0s(8,12) = s(54,12)/(43).

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Productos de ganchos por elementales

· = + ,

· = + ,

· = + .

Sumamos estas igualdades alternando los signos:e3s(5,12) − e2s(6,12) + e1s(7,12) − e0s(8,12) = s(54,12)/(43).

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Identidades tipo Newton para polinomios de Schur

ProposicionSean d ≥ 0, p ≥ 1, q ≥ 0. Entonces

d∑k=0

(−1)ked−ks(p+k,1q) = s(pd+1,1q)/((p−1)d).

Si el numero de variables es d, entonces el lado derecho es cero:

d∑k=0

(−1)ked−k(x1, . . . , xd)s(p+k,1q)(x1, . . . , xd) = 0.

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Identidades tipo Newton para polinomios de Schur

Una version mas general de la formula anterior:

ProposicionSean d ≥ 0, λ1 ≥ λ2 ≥ · · · ≥ λn > 0. Entonces

d∑k=0

(−1)ked−ks(λ1+k,λ2,...,λn) = s(λd+11 ,λ2,...,λn)/((λ1−1)d).

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Soluciones basicas en terminos de polinomios de Schur

TeoremaSea 0 ≤ j < d. La solucion de (RecLin) con condiciones iniciales

b(j)k = δj,k (0 ≤ k < d).

esta dada por

b(j)k = (−1)d−j−1s(k+1−d,1d−j−1).

Otras demostraciones de este resultado:

William F. Trench (1985), doi:10.1137/0606054

Alain Lascoux (2009), http://lipn.univ-paris13.fr/˜duchamp/Books&more/Lascoux/RecurSeq.pdf

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http://lipn.univ-paris13.fr/~duchamp/Books&more/Lascoux/RecurSeq.pdf

http://lipn.univ-paris13.fr/~duchamp/Books&more/Lascoux/RecurSeq.pdf


Ejemplo: solucion basica b(0) para d = 2

b(0)k = −s(k−1,1)(x1, x2).

b(0)0 = s(−1,1)(x1, x2) = 1,

b(0)1 = s(0,1)(x1, x2) = 0,

b(0)2 = −s(1,1) = − 1

1= −x1x2,

b(0)3 = −s(2,1) = −

(2 11

+ 2 21

)= −

(x2

1x2 + x1x22).

b(0)k = −x1x2(xk−1

1 − xk−12 )

x1 − x2.

Si x1 = x2, entonces b(0)k = −(k − 1)xk1.

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Ejemplo: solucion basica b(1) para d = 2

b(1)k = s(k−1)(x1, x2).

b(1)0 = s(−1) = 0,

b(1)1 = s(0) = 1,

b(1)2 = s(1) = 1 + 2 = x1 + x2,

b(1)3 = s(2) = 1 1 + 1 2 + 2 2 = x2

1 + x1x2 + x22.

b(1)k = xk1 − xk2

x1 − x2.

Si x1 = x2, entoncesb(1)k = kxk−1

1 .

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Ejemplo: la sucesion de Fibonacci

Consideramos la recurrencia lineal asociada al polinomio

a(t) = t2 − t− 1 = (t− φ)(t+ φ−1), donde φ = 1 +√

52 ,

con condiciones iniciales F0 = 0 y F1 = 1.

La solucion de este problema es la solucion basica b(1):

Fk = b(1)k = s(k−1)(x1, x2) = xk1 − xk2

x1 − x2= φk − (−φ)−k√

5.

Hemos llegado a la formula de Binet.

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