polinomios

1. Expresiones algebraicasTodas estas operaciones son llamadas algebraicas (y de ellas se ocupa el álgebra) para diferenciarlas de las llamadas operaciones no algebraicas o trascendentes (en las que intervienen funciones como la exponencial, la logarítmica y las trigonométricas).

Las operaciones algebraicas se clasifican en: racionales - en las que no interviene la operación de radicación sino las otras cinco- e irracionales, cuando aparecen raíces. Así vez, las operaciones racionales pueden ser: enteras o fraccionarias, según en ellas intervengan solamente sumas, restas y multiplicaciones o bien intervenga además la división.

Llamaremos:

Expresión algebraica a toda expresión en la que se combinan por medio de diversas operaciones varios números fijos o variables.

Siempre resulta conveniente que se establezca alguna relación entre el tema que se está desarrollando y los conocimientos previos. En este caso, puedes asociar las expresiones algebraicas con relaciones que has utilizado muchas veces en fórmulas tales como:

(área de un triángulo en el producto de la mitad del producto de su base

por su altura)

h2 = a2 + b2 (el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados

de los catetos)

F = m.a (fuerza es igual al producto de la masa por la aceleración)

las cuales son expresiones algebraicas y en cuyos casos en otros cursos se establecen relaciones entre ellas, resultando también de interés el valor que toman esas expresiones cuando las letras las sustituimos por números.

Así, en general son ejemplos de expresiones algebraicas:

2x - 3y -5/2

- x 2 + 73 x - 1810

Complejos y Polinomios- Carranza Marcela R. Pagina 1

(la última expresión también es algebraica pues log 4 y sen p son constantes, esto es, las variables no se encuentran en el argumento).

En una expresión algebraica las letras pueden estar indicando:

a) variables (o indeterminadas), que representan a aquellas cantidades que pueden tomar cualquier valor dentro del conjunto numérico en que operamos y a las cuales notamos - por convención- con las últimas letras del alfabeto: x ,y, z, u, v, etc.;

b) constantes: que representan cantidades fijas pero no especificadas, ya fuese porque no se lo conoce o porque no conviene dar su valor y para las cuales reservaremos las primeras letras del alfabeto : a ,b, c, d, etc.

Actividades

1: Para comprobar tu comprensión, trata de responder a las siguientes cuestiones:a. ¿A qué expresiones matemáticas se las denomina algebraicas? ¿ Y no algebraicas o

trascendentes? Ejemplifica.b. ¿Cuándo una expresión algebraica es entera? ¿Y fraccionaria? ¿E irracional? Ejemplifica.c. Clasifica las expresiones algebraicas y expresa la diferencia entre ellas.

2: Como debes haber recordado en la actividad anterior, las expresiones algebraicas se clasifican en: enteras, racionales, etc., de acuerdo al tipo de operaciones que se apliquen a las variables que en ellas intervienen (nó letras, sino variables). Se te solicita clasificar las siguientes expresiones algebraicas:

a) d) g)

b ) e) h)

c) f) i)

l) 2343.89 ll) log 10

m) u3 + v3 n) s

s+1+ 3

s−3

- Cuando realices esta actividad, corrobora si lo has hecho correctamente, consultando con el profesor a cargo del curso.


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2. Polinomios

Llamaremos polinomio a toda expresión algebraica racional entera.

Ejemplos: a)

b)

c)

Todos los exponentes de las variables de un polinomio deben ser enteros no negativos. Por lo cual la expresión:

x3 + x1/2 y x-2 +1 , no es un polinomio.

Por el momento, y a efectos de no desviar nuestra atención, consideraremos los polinomios de una sola variable.

En este sentido, un polinomio es una suma algebraica de términos, cada uno de los cuales consta de un coeficiente numérico o constante, multiplicado por una cierta potencia de x.

Un polinomio está en la forma general, cuando los términos quedan dispuestos de modo que las potencias de la variable están en orden descendente o ascendente. Así:

Si denotamos con P(x) a un polinomio en una variable x:

Nota 1 : A la expresión del segundo miembro de (1) se la suele escribir en forma abreviada:

, donde el signo de "sumatoria": , significa una suma de todos los términos que se obtienen cuando a i se la dan los valores naturales desde 0 hasta n.

Observación: En la expresión (1), las potencias de la variable se han ordenado según potencias decrecientes de la variable x, pero también- por permutación de los sumandos- puede obtenerse una expresión según las potencias crecientes de la misma. Usaremos una u otra forma según convenga.


Nota 2: Debes tener presente que ahora denominamos polinomio a una expresión de la forma (1), o sea, a una suma de potencias no negativas de la variable x, tomadas con ciertos coeficientes numéricos y nó a cualquier suma de monomios como ocurría en el álgebra elemental.

Es importante que te familiarices con esta notación, ya que frecuentemente la encontrarás en futuros cursos de matemática.

Dijimos entonces, que un polinomio es una suma algebraica de términos. Pues bien, cada uno de esos términos es un término del polinomio. Y, como un término consta de un coeficiente numérico o constante, multiplicado por cierta potencia de la variable x, llamaremos:

El grado de un polinomio de la forma :

con

es la potencia n.

(Decir que es asegurar que dicho término no se anula)

El coeficiente principal es y an recibe el nombre de término constante o término

independiente (puede ser considerado como el coeficiente de an x0 ).

Cuando todos los términos de un polinomio son de igual grado (semejantes), se dice que el polinomio es homogéneo.

Seguramente recuerdas que los polinomios suelen ser clasificados por el número de términos. Cuando posee un (1) término: monomio (son fáciles de reconocer porque no contienen sumas ni restas); dos (2) términos: binomio ; tres (3) términos: trinomio, etc.

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Actividades

3: Muestra con un ejemplo: el signo, el coeficiente, la parte literal y el grado de un monomio.

· ¿Cómo determinas el grado de un polinomio? Ejemplifica.· ¿Cuándo se dice que un polinomio es homogéneo? Ejemplifica.· Expresa simbólicamente la forma general de un polinomio P(x) de grado n, según potencias

crecientes y decrecientes de x.

· ¿Cómo completas el polinomio: , de manera que estén todos los términos?

3. 3.1 .- Igualdad de Polinomios


Dos polinomios P(x) y Q(x) se considerarán iguales si y solamente si, son idénticos los coeficientes de potencias iguales de la variable.

P(x) = Q(x) "i: .

Ahora bien, ¿representa un polinomio el número cero?. Si. En este caso tenemos el polinomio nulo, pero su grado estará indefinido, pues no tiene sentido aplicar la noción de grado a un polinomio nulo.

Antes de continuar avanzando, es necesario que precisemos algunos detalles de importancia. Por ejemplo: ¿A qué conjunto numérico pertenecen los coeficientes? y, ¿a qué conjunto las variables?

Cuando los coeficientes pertenecen a un mismo campo numérico A, diremos que P(x) es un polinomio definido sobre A. Por ejemplo, si A es el conjunto de los complejos, P(x) es un polinomio definido sobre C, el conjunto de los números complejos.

4: Indica qué expresiones de entre las siguientes son polinomios y cuál es su grado:

a) 5 x3+ 3 x -4 ; b) ; c) ; d) (x-4)2

e) ; f) x2 - 6 x + 3/x ; g) 3x-3 + 2 x2 -x +9

5: Determina si existen valores de k para los cuales los siguientes polinomios son iguales:

a) P(x)= (k+1) x4 + 3 x2 - k x + 1 , Q(x) = 2 x4 + 3 x2 +1

b) R(t) = 2 t3 -2t+1 , Q(t) = -k t3 + kt + 1

c) P(u) = (k+1) u2 - 3k u + 5 , Q(u) = 2 k u2 - 3u +3

4.

5. 4.- Operaciones con polinomios

4.1) Adición: Dados los polinomios P(x) y Q(x) de coeficientes complejos, expresados en potencias crecientes de x:

Q(x) = (2)


donde n ³ s, se llama suma de P(x) y Q(x) al polinomio:

P(x) + Q(x) =

cuyos coeficientes se obtienen sumando los coeficientes respectivos de iguales potencias de la variable x en las expresiones de P(x) y Q(x) , o sea que cada:

con i = 0,1,...,n.

Donde n > s, se tiene que suponer que los coeficientes: son iguales a cero.

Ejemplo: Si tomamos el caso particular en que n = 4 y s = 2 ( n > s) , se tiene:

P(x) =

Q(x) =

se tiene:

P(x) + Q(x) =

Evidentemente, el grado de P(x) + Q(x) es n (el mayor de los grados de los sumandos) cuando n es mayor que s, pero ¡Cuidado! si n = s, no será necesariamente n. Puede ocurrir que sea menor. ¿Porqué?

¿En qué caso/s el grado no resultará igual a n, sino menor?

¿Qué sucede con la sustracción de polinomios? Desde que para los números reales se cumple la propiedad :

a - b = a- 1.b = a+ (-1) b, se tiene que:

P(x) - Q(x) = P(x) + (-1) Q(x) = P(x) + [ -Q(x)],

por lo cual, la suma definida es una suma algebraica (cada polinomio con su signo), y sumar o restar polinomios implica combinar los términos semejantes.

Ejemplos:

a) (4 x3- 10 x2+ 5x+ 8) + ( 12 x2- 9x - 1) = 4 x3+ (12 x2- 10 x2) +( 5x - 9x) + ( 8-1)

= 4 x3+ 2 x2- 4 x + 7

b) (4 t3 - 10 t2 + 5t + 8) - ( 12 t2 - 9 t - 1) = ( 4 t3 - 10 t2 - 12 t2) + ( 5 t + 9 t) + ( 8 + 1)

= 4 t3 - 22 t2 + 14 t + 9


Por supuesto que los polinomios podrían contener varias variables, ¿cómo se suman estos tres polinomios?:

(-2x4+ 7 x2y + x y3- y) + (2x4+ 17x2y - 2 x y3- 5y + 4) + (4x4+ 5x y3+ 2y - 10)

conviene colocarlos uno debajo del otro, colocando los términos semejantes en las mismas columnas:

- 2 x4 + 7 x2 y + x y3 - y

2 x4 + 17 x2y - 2 x y3 - 5 y + 4

4 x4 + 5 x y3 + 2y - 10

____________________________

4 x4 + 24 x2y +4 x y3 - 4 y - 6

Actividades

6: Efectúa P + Q, si P y Q son los polinomios que se dan a continuación, ambos definidos sobre Q:

a)

b)

c) P(t)= -t3+ 4 t - 5 ; Q(t) = t3 - 2 t2 + 8 t

d)

e) P(x) = 2 x - 5 ; Q(x) = -x

f) P(t) = 4 t2 + 3 t +2 ; Q(t) = -4 t2 - 3t + 8

7: En la actividad anterior se dan - en algunos casos- polinomios del mismo grado. Observa cuidadosamente la suma obtenida. ¿Puedes deducir de ello que la suma de dos polinomios del mismo grado dá como resultado otro polinomio del mismo grado? ¿Puedes enunciar una ley general?

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4.2) Producto: Para multiplicar polinomios es fundamental el manejo de la propiedad distributiva. La situación más sencilla es aquella en que efectuamos el producto de un monomio por un polinomio de mas términos.

Ejemplos:

a) 3 x2.(5x5-2x4+5x2+ 1/2) = 3 x2( 5 x5) + 3 x2( -2 x4) + 3x2( 5 x2) + 3x2(1/2)

= 15 x7 - 6 x6 + 15 x4 + (3/2) x2

b) ¿Cómo aplicamos la propiedad distributiva para dos binomios?

( 2 x + 3).( 4 x + 5) = ( 2 x + 3) . 4 x + ( 2 x + 3) . 5

= 2x . 4x + 3. 4x + 2x.5 + 3.5

= 8 x2 + 12 x + 10 x + 15

= 8 x2 + 22 x + 15

Así:

Se llama producto de los polinomios P(x) y Q(x) según P(x) y Q(x) dados en (2), al polinomio:

P(x).Q(x) = donde cada

O sea que el coeficiente di es el resultado de sumar todos los productos de aquellos coeficientes de

los polinomios P(x) y Q(x) tal que la suma de los subíndices es igual a i.

En particular:

....................................

( 1)

1Puede observarse que dn+s ¹0 .¿Porqué? porque si P(x) tiene grado n, entonces: an¹0 y, como Q(x) tiene grado

s, bs¹0. Luego, an.bs¹0. Y, por consiguiente dn+s¹0. ¿Qué se puede inferir de este resultado? que el grado del

polinomio producto es n+s (la suma de los grados de los factores).


Luego, si tenemos que P(x) ¹0 y Q(x) ¹0, es decir, ambos no simultáneamente nulos, nunca el producto sería nulo. O, lo que es lo mismo;

P(x).Q(x) = 0 Û P(x) = 0 Ú Q(x) = 0

A los fines prácticos, dados los polinomios:

P(x) = ,

para efectuar P(x) por Q(x) conviene disponer a P(x) y Q(x) así:

___________________________________________

____________________________________________

Actividades

8: Efectúa P.Q, siendo P y Q los polinomios que se dan a continuación:

d) P(x) = Q(x) = x + a

e) P(x) = x + a Q(x) = x - a


9: Dados los polinomios:

P(x)= 3 x4 - x3 + 2 x2 - 1 , Q(x) = -x2 + 2x - 3 , R(x) = 5 x5 - (3/4) x2 - 3,

se solicita realizar:

a) (1/2) P- x. ( Q - R) ; b) P - 3x2. ( Q + R) ; c) 3 R - 2 P.Q ; d) P. Q. R

10: Determina el valor de la constante a de tal manera que:

a) el polinomio (x-1).(x+a) sea igual a x2 + 2x - 3

b) el polinomio (x2-1).(2-x) sea igual a -x(x2+1) + ax(x+1) - 2

11: El conjunto de los polinomios se ha algebrizado con dos operaciones: suma y producto. ¿Puedes probar si esas operaciones cumplen con las propiedades: conmutativa, asociativa, distributiva, si tienen elemento neutro y elemento inverso? Si no recuerdas cuáles son éstas propiedades, consulta con el profesor.

12: Compara las áreas de los dos cuadrados congruentes en relación con los segmentos de recta x y a :

Explica cómo éstas figuras proporcionan una interpretación geométrica para la forma desarrollada

de ( x+a)2.

13: ¿Puedes encontrar una interpretación geométrica de la igualdad :

(x-a)2 = x2 - 2 x y + a2 ( x>0 y a > 0)

14: Desarrolla cada una de las siguientes expresiones y combina términos semejantes:

a) (x+a)3 b) ( x - 1)3 c) ( x - y )4

d) ( 2 x + 3)3 e) [(1/2) x - 1]3 f) [(-1/2)x - 4]4

4.3) División de polinomios


En este sentido, y de acuerdo a lo que hemos expresado más arriba, el sistema de todos los polinomios de coeficientes sobre un cuerpo y, particularmente, el de los complejos, se parece al sistema de todos los números enteros. Esto es, puede definirse la división inexacta , o sea, la división con resto.

Puede demostrarse el siguiente teorema (cuya demostración podrá verse en cualquiera de los textos señalados en la bibliografía):

Teorema: Sean dados dos polinomios P(x) (dividendo) y Q(x) (divisor), con Q(x) ¹0 ,se pueden hallar unos polinomios C(x) y R(x) de tal manera que:

P(x)= C(x).Q(x) +R(x) ,

donde el grado de R(x) es menor que el de C(x) o bien R(x) = 0. Los polinomios C(x)y R(x) están unívocamente determinados (son únicos).

El polinomio C(x) se llama cociente de la división de P(x) por Q(x) y R(x) se llama resto (o residuo) de esta división.2

Ejemplo:

Sea P(x) = el dividendo, y Q(x) = el divisor.

Se ubican los polinomios como para una división de enteros y se van escribiendo los términos sucesivos del cociente, así como los productos parciales sucesivos. Así:

_

__________________

Se continúa dividiendo hasta que el grado del dividendo parcial sea menor que 2 (el grado del divisor). La operación completa es:

2Si vio la demostración por algún texto, habrá observado que para determinar C(x) y R(x) se aplica una construcción que consiste en:a) Se divide el primer término del dividendo por el primero del divisor.b) Se multiplica el resultado por todo el divisor.c) Se resta del dividendo lo cual da un nuevo dividendo que es el resto.Estas operaciones se repiten hasta llegar a un dividendo parcial cuyo grado sea menor que el del divisor , entonces, tal dividendo parcial es el resto de esta división. Y habrá quedado formado el cociente C(x) con los resultados de las sucesivas divisiones.


-

__________________

____________________

__________________________

−4927

x+7927⏟

R(x )

Obsérvese que los polinomios no tienen divisores de cero, y, que el polinomio P(x) que

posee un polinomio recíproco Û P(x) es un polinomio de grado 0. De esto se deduce que para el producto de polinomios no existe la operación inversa, esto es, la división.

Actividades

15: Con los polinomios dados en la actividad 8, calcula P : Q en todos aquellos casos en los cuales ello es posible.

6.

5.- Divisores Sean dados unos polinomios P(x) y Q(x) diferentes de cero, con coeficientes

complejos. Si el resto de la división de P(x) por Q(x) es igual a cero, ó, si P(x) es divisible por Q(x), entonces el polinomio Q(x) se llama divisor del polinomio P(x).


El polinomio Q(x) es divisor del polinomio P(x) Û existe un polinomio j(x) que satisfaga la igualdad: P(x)=Q(x).j(x)

De esta igualdad se deduce fácilmente que j(x) también es un divisor de P(x). Es evidente además, que el grado de Q(x) no supera al de P(x) (¿Porqué?)

-

Actividades

16: Si 6x2+ 5x - 1 = ( 2x-1) . Cociente + Residuo, donde el grado del residuo es menor que el grado del término 2x -1, que es igual a 1.Se te pregunta:

a) ¿Porqué el cociente tiene la forma ax+b?

b) ¿Porqué 6 x2 = (2x)(ax)?, ¿Porqué a = 3?

c) ¿Es cierto que si 6x2+ 5x - 1 = (2x - 1).(3x+b) + Residuo, entonces 8x = 22 bx y, por lo tanto , se sigue que el residuo es igual a 3?

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7. 5.1- Propiedades de la divisibilidad de polinomios

Sistematizaremos propiedades de la divisibilidad de polinomios que podrás consultar con mayor detalle en alguno de los libros propuestos para tu aprendizaje:

I) Si P(x) es divisible por Q(x) y Q(x) es divisible por R(x), entonces P(x) es divisible por R(x).

II) Si P(x) y Q(x) son divisibles por D(x), su suma y diferencia también son divisibles por D(x).

III) Si P(x) es divisible por Q(x), el producto de P(x) por cualquier polinomio es también en divisible por Q(x).

IV) Si cada uno de los polinomios: P1(x), P2(x), P 3(x),.......P k(x) , son divisibles por Q(x), el

polinomio: , donde son polinomios arbitrarios, también es divisible por Q(x).

V) Todo polinomio P(x) es divisible por cualquier polinomio de grado cero.

VI) Los polinomios c.P(x) , con c¹0 y sólo éstos, son los divisores del polinomio P(x) que tienen el mismo grado que P(x).


VII) Los polinomios P(x) y Q(x) son divisibles entre sí , si y solamente si Q(x)=c.P(x). Esto es, si solo difieren en una constante.

VIII) Todo divisor de uno de los polinomios P(x) y c.P(x) donde c¹0, es divisor del otro.

Actividades

17: Busca ejemplos que satisfagan cada una de las propiedades enunciadas, para verificar tu comprensión.

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Aunque sería muy interesante abordar otros tópicos de importancia como lo son máximo común divisor y mínimo común múltiplo de polinomios y los algoritmos para su determinación, no lo haremos porque focalizaremos nuestro interés en la raíces de un polinomio y, en todo caso, si necesitamos otros conceptos, los desarrollaremos en su momento.

8. 6.- Raíces de los polinomios

Si (1)

es un polinomio y c es un número, el número:

P(c)=

que se obtiene por sustitución de la incógnita x por el número c, en la expresión (1) y por la realización de las operaciones indicadas, se denomina valor del polinomio P(x) para x=c.

Ejemplo: Si P(x) = 2 x3 - 3 x + 3 ,

El valor del polinomio en x = -1, se obtiene de la siguiente forma:

P(-1)= 2 (-1)3 - 3 (-1) + 3

Luego: P(-1) = 4

Obviamente, si P(x) = Q(x), en el sentido de igualdad de polinomios, entonces:

P(c) = Q(c), para cualquier c.

Fácilmente se ve también que si S(x)= P(x)+Q(x) y C(x)= P(x).Q(x) se tiene que:

S(c)=P(c)+Q(c) y C(c) = P(c).Q)(c)

¿Qué se pretende observar? que si consideramos a los polinomios desde el punto de vista teórico funcional, la suma y el producto de los polinomios que hemos definido, se convierten en la suma y


el producto de las funciones consideradas en el sentido de la suma y el producto de los valores respectivos de esta funciones.

Si P(c)=0, o sea, si el polinomio P(x) se anula al sustituir el número c en lugar de la incógnita x, c se llama raíz del polinomio P(x) (o también se dice que c es un cero del polinomio).

Este concepto está íntimamente ligado con el de divisibilidad de polinomios.

Si se divide a un polinomio P(x) por un polinomio arbitrario de primer grado, el resto será un polinomio de grado cero o bien será cero ( recuerde que el resto tienen grado menor al divisor). Se demuestra, que este resto puede ser calculado sin realizar la división:

El resto de la división de un polinomio P(x) por un polinomio lineal de la forma:

x -c es igual al valor P(c) que toma el polinomio para x = c.

Esta es una conclusión evidente a partir de que:

P(x)= (x-c).Q(x) + r

tomando los valores de ambos miembros de esta igualdad para x = c, obtenemos:

P(c) = ......................................................................... (completa)

¿Confirmaste la afirmación?.............................................................................

Por otra parte, si P(x) es divisible por algún polinomio de primer grado de la forma: a x + b, es

también divisible por el polinomio: x-( ), o sea por un polinomio de la forma x-c. Luego, si se desea averiguar las raíces de un polinomio, lo que debe buscarse son sus divisores lineales.

Para hallar los divisores de un polinomio (factores primos), es fundamental saber factorizar (o sea, "desmultiplicar") para expresar cuáles son los factores que originan un producto determinado.-

Por ejemplo: P(x)= x3 - 3x2- 4x + 12 es divisible por x = 3, pues P(3)=0, entonces:

P(x) = x3 - 3x2- 4x + 12 = (x2-4).(x-3) = (x-2).(x+2).(x-3)

luego, P(x) es divisible por: x-2, x+3 y x+2 , polinomios primos entre sí.

En virtud de lo expuesto es bueno que tengamos un método de división cómodo de un polinomio P(x) por uno de la forma: x-c. Este método puede ser la Regla de Ruffini.

Si

supongamos que: P(x)= (x-c) Q(x) + r, (2) donde


Q(x) =

Igualando en (2), resulta:

--------------

de donde:

O sea, que el coeficiente bk se obtiene multiplicando el coeficiente anterior bk-1 por c y

agregándole el coeficiente correspondiente ak.

Finalmente: r = . Esto es: que el resto r se obtiene por la misma regla: P(c). De aquí, los coeficientes del cociente y el resto se pueden obtener sucesivamente mediante unos cálculos del mismo tipo, de acuerdo al siguiente esquema:

Ejemplo: Sea dividir: P(x)= por x-2

Por lo tanto, el cociente es C(x) =

y el resto: r = P(2) = 21

Raíces múltiples: Si c es una raíz del polinomio, o sea, si P(c)=0, entonces, como ya sabemos: P(x) es divisible por x-c. pero puede ocurrir que P(x) no sólo sea divisible por la primera potencia del binomio x-c, sino también por potencias superiores.

Luego, considerando que k sea la mayor potencia para la cual (x-c)k sea divisor de P(x), se tiene que:

P(x) = (x-c)k .Q(x) ,


en donde el polinomio Q(x) ya no es divisible por x-c , o lo que es lo mismo, el número c no es raíz de Q(x).

El número k se llama orden de multiplicidad de la raíz del polinomio P(x) y el número c, raíz múltiple de este polinomio P(x) de orden k.

Si k =1, se dice que c es una raíz simple,

si k = 2 se dice que c es una raíz doble, y así sucesivamente.

Ejemplo:

Si el polinomios P(x) , de grado 14 puede factorizarse como:

P(x) = 3 (x-2)3.(x+2)4.x7

Son raíces del mismo: 2, de multiplicidad 3 ; -2 de multiplicidad 4 y 0 de multiplicidad 7. lo cual está significando que el polinomio dado tiene tres raíces iguales a 2, 4 raíces iguales a -2 y 7 raíces iguales a 0 (nó que tiene solo 3 raíces).Luego, puedes darte cuenta cuán importante es saber factorizar (o factorear) un polinomio, como forma de encontrar sus divisores y, por lo tanto, sus raíces.

Observación: Para el alumno que ya posee conocimientos de Análisis Matemático, el concepto de raíz múltiple tiene que ver con las derivadas de un polinomio (derivadas sucesivas). Lógicamente, como estamos trabajando con un polinomio en el cual los coeficientes pueden ser complejos, no es de utilidad lo visto en el análisis de funciones reales, pero, de igual manera, se prueba que si c es una raíz múltiple de un polinomio, c será la raíz k-1 múltiple de la derivada primera Y, si k=1 el número c no será raíz de la derivada primera del polinomio.

Actividades

18: Se te pregunta:

a) Dado P(x) ¿ qué significa P(a)?

b) Originariamente, ¿cuál es la finalidad de la regla de Ruffini? ¿Puedes aplicar esta regla en los casos dados en la actividad 15?

c) ¿ A qué llamamos cero de un polinomio P(x)? ¿Qué significa orden de multiplicidad k de un cero?

d) ¿Qué es una raíz de una ecuación? Ejemplifica con un polinomio entero de x.

e) En ¿qué significa: P(x) es divisible por Q(x)?


f) ¿Cómo calculas el resto de P(x) : (x-a ) y qué valor numérico significa?

g) En P(x): (x-a) ¿qué significa que P(a) =0? Justifica

19: Divide el polinomio: F(x) = por x-5. ¿Es divisible F(x) por x-5?

20: Aplicando la regla de Ruffini, calcula los siguientes cocientes de polinomios:

a)

b)

c)

21: Dados los siguientes polinomios, calcula el valor numérico en a, aplicando el teorema del resto.

a)

b) P(x) = , a = 2

c) P(x) = , a = 1/2

d) P(x) = , a = -2

22: Utiliza el teorema del resto para justificar que:

En cada caso, hallar los cocientes para n = 4.

23: Averigua si los números: -1, 0, 1, -7, -1/4, 0.75 , son raíces de alguno de los polinomios que se dan:

; Q(x)= ;

R(s)= ; T(x) = 0.25 x +1

De ser posible, con los resultados obtenidos, trata de descomponer dichos polinomios en factores primos.


24: Descompone, en caso de ser posible, los siguientes polinomios en factores primos:

a) x2+4 x+4 j) 3 y5 - 96

b) x2 -1 k) y4 - 16

c) x3−x l) x5−x3−x2+1

d) 3 - 4x2 m) 7 x3 +7 h3

e) 8x3 - 1 n) 8 x3+48 x2+96 x+64

f) x3−6 x2+9 x ñ) u3−9 u2+27 u−27

g) o)

19

x2 y2+ 13

x2 yz+ 14

x2 z2

h) 9 x3−24 x2+16 x p) a8 - y8

i)

25: Verifica si las siguientes igualdades son identidades:

a) ; b)

c) d)

e) f)

g)

26: Si x2 + y2 = 4, demuestra que:

9. 7.- Teorema fundamental del Algebra


A los efectos de fijar nuestra atención en la resolución de ecuaciones algebraicas, conviene modificar un poco nuestro lenguaje y decir, en lugar de "raíz de un polinomio de grado n", "raíz de una ecuación algebraica de grado n", ya que significa según lo expuesto precedentemente, lo mismo.

Hasta lo aquí desarrollado, hemos supuesto la existencia de raíces de un polinomio, pero, en verdad: ¿Existen? Si recordamos lo visto en los cursos de álgebra elemental- o cuando abordamos álgebra de complejos- que existen polinomios que no tienen raíces reales como -por

ejemplo-: x2+ 1 = 0. Podría esperarse que existen polinomios que aún en el campo de los números complejos no tuviese raíces entre los mismos complejos, sabiendo que los coeficientes pueden ser complejos.

Si esto ocurriera, es decir, que una ecuación algebraica de grado n no tuviese raíces en el campo complejo, justificaría que ampliásemos nuevamente el sistema numérico. pero., ésto no ocurre. Valga para ello el siguiente teorema:

Teorema fundamental del Algebra: Toda ecuación algebraica: Pn(x) = 0 de grado no nulo, de coeficientes reales o complejos tiene al menos una raíz (real o compleja).

La demostración de este teorema no será dada aquí porque requiere medios que no están al alcance de este curso, ya que si bien es un teorema fundamental del álgebra, para su demostración se necesita del análisis matemático en variable compleja.

También se demuestra que:

Una ecuación algebraica de grado n no puede tener más de n raíces, contando cada una con su multiplicidad.( esto es, no más de n distintas)

10. 8.- Ecuaciones algebraicas

11. 8.1.- Introducción

- Minino de Cheshire, ¿podrías decirme, por favor, qué camino debo seguir para salir de aquí?

- Esto depende en gran parte del sitio al que quieras llegar -dijo el Gato.

- No me importa mucho el sitio... -dijo Alicia.

- Entonces tampoco importa mucho el camino que tomes -dijo el Gato.

-... siempre que llegue a alguna parte -añadió Alicia como explicación.

- ¡Oh, siempre llegarás a alguna parte -aseguró el Gato-, si caminas lo suficiente!

Lewis Carroll, en Alicia en País de las Maravillas

12. En este curso de álgebra, desarrollaremos dos partes muy importantes de la teoría de ecuaciones. La primera, se refiere al estudio de ecuaciones algebraicas de grado n en una variable, como una extensión de tal vez la ecuación más importante del álgebra: a x +b=0, una ecuación de primer


grado en una variable. La segunda, al estudio de sistemas de ecuaciones lineales con n- incógnitas, la cual es parte del álgebra lineal propiamente dicho. Para abordar la teoría de ecuaciones algebraicas de grado n, se hizo necesario ver algunos

temas relativos a los polinomios, ya que están directamente relacionados con ella y sobre los cuales, volvemos a señalar los puntos importantes.

13. 8.2- Forma general de una ecuación de grado n

La forma general de una ecuación algebraica de grado n, en donde n es natural es:

a0 xn + a1 xn-1+ a2 xn-2 + ......+ an-1 x + an = 0 (1)

en la cual se supondrá que los coeficientes a0, a1, a2.,........., an son números reales o complejos

cualesquiera y, que a0 ¹ 0 ( de lo contrario el grado de la ecuación no sería n)

Nuestra preocupación se centrará en la forma de resolver este tipo de ecuaciones, para lo cual, en primer lugar, debemos acordar qué se entiende por resolver.

Resolver una ecuación es determinar qué valor/es de la incógnita x convierte/n a la igualdad en una identidad.

También: resolver una ecuación es probar que tales valores no existen.

Respecto al caso que nos ocupa -ecuaciones algebraicas de grado n-, observemos que en la expresión (1) :

a) el primer miembro de la ecuación es un polinomio de grado n, en la variable x.

b) por ser el primer miembro un polinomio, éste queda determinado cuando se conocen su grado y

sus coeficientes: ao, a1, a2.,........., an, en donde ao ¹0 .-

c) resolver esa ecuación no es otra cosa sino encontrar la raíz (o raíces) del polinomio del primer miembro, esto es, el valor c tal que P(c) = 0 .Esto es, la raíz del polinomio es la raíz de la ecuación algebraica de grado n.

d) las raíces del polinomio del primer miembro, se vincula con la teoría de divisibilidad de polinomios. Puesto que, si el número c es raíz del polinomio P(x), p(x) es divisible por: x-c. Y, de acuerdo a las propiedades de divisibilidad, si P(x) es divisible por algún polinomio de primer grado de la forma: ax+ b , también lo es por el polinomio : x- (-b/a), esto es, por un polinomio de la forma : x - c . ¿ Qué indica ésto? que para resolver una ecuación algebraica de grado n, debemos averiguar cuáles son los divisores lineales del polinomio .


e) Por el teorema fundamental del álgebra, todo polinomio tiene al menos una raíz, ( real o

compleja) y no más de n distintas. Esto es, existe un número k ( natural) tal que P(x) sea divisible

por (x-c)k , pero nó por ( x-c)k+1 (¿Porqué?)

en consecuencia: P(x) = (x-c)k j(x) , en donde j (x) no es divisible por x-c.

Y, recordando lo que hemos visto anteriormente, k es el orden de multiplicidad de la raíz c del polinomio P(x).

Actividades

27: Relee los ítems d) y e) expuestos anteriormente y dá una justificación de las afirmaciones expresadas en letras cursivas.

f) La teoría de ecuaciones algebraicas se basa en el teorema fundamental del álgebra. Este teorema da la existencia de al menos una raíz ( real o compleja) de P(x).Debe tenerse presente que todo polinomio P(x) de grado n, con n ³ 1, con coeficientes arbitrarios tiene n raíces, contando cada una de las raíces tantas veces como sea su orden de multiplicidad. ( Esto es, que a lo sumo tiene n raíces distintas).

Actividades

28: Muchos problemas que tendrás que resolver deberás "traducirlos" al lenguaje matemático obteniendo ecuaciones. Se te solicita que, en cada caso, efectúes esa "traducción":

a.- x es 25 más que y

b.- Los valores de x e y totalizan 380.

c.- x es 19 veces menor que el doble de x.

d.- Las ganancias de la empresa X es 3 veces más que el doble de lo que era hace 10 años.

e .- La velocidad del móvil A es tres veces menor que la velocidad del móvil B.


f.- En un aula, disponiendo 9 alumnos por banco, quedan 3 alumnos de pie y disponiendo 10 por banco quedan 5 lugares vacíos.

g.- Si a un número se le agrega 7, resulta su duplo.

h.- El número 60 se descompone de modo que el cociente de la parte mayor por la menor es 2 y el resto 3.

i.- Un producto ha sufrido dos aumentos sucesivos: uno del 10% y otro del 20%, llegando a costar $1260.-

j.- El área de un triángulo resulta ser el doble de su altura.

k.- Dos números cuya suma es 70 están es una cierta relación. La relación se invierte si uno de los números aumenta en 14 y el otro disminuye en 14.

29: Resuelve las siguientes situaciones:

a) La suma de años de A y B es de 84. B tiene 8 años menos que A.

Respuesta: A = 46 , B = 38

b) La edad de A es el doble de la B. Las 2 suman 36. ¿Cuáles son esas edades?

Respuesta: A = 24 , B =12

c) La suma de tres números consecutivos es 204, cuales son. Respuesta: 67, 68, 69.

d) Reparte 300 entre A, B y C. La de B que sea el doble de A y la de C el triple de A.

Respuesta: 50,100,150

e) La edad de Enrique es la mitad de Pedro, la de Juan es 3 de la de Enrique y la de Eugenio es el doble de la de Juan. Todas suman 132.

Respuesta: Enrique = 11, Pedro = 22, Juan = 33, Eugenio = 66

f) Un padre pone 16 problemas a su hijo con la condición de que por cada problema que resuelva le dara $12 y por cada que no resuelva perderá $5. Recibió $73. ¿qué puede decir de la cantidad de problemas resueltos y no resueltos?

Respuesta: 9 resueltos y 7 no resueltos)

h) Un hombre al morir deja $16,500. Los reparte entre 3 hijos y 2 hijas. Cada hija $2,000 más que cada hijo.¿cómo hace el reparto?

Respuesta: 3 hijos: 2.500, 2 hijas, 4.500

30: Resuelve los siguientes problemas indicando en cada caso:

(a) El procedimiento.


(b) La operación con su resultado.

(c) La respuesta del problema.

Problema 1: “La aceleración media es la razón entre la variación de rapidez producida en un intervalode tiempo y dicho intervalo de tiempo”

Si un móvil comienza un recorrido con rapidez inicial vi , termina el recorrido con rapidez final

vf y el viaje le toma un tiempo t, escribe una fórmula que nos permita calcular la aceleración

media del móvil.

Problema 2: “En todo proceso físico se cumple que la masa final de un cuerpo es igual a la masa inicial, másla masa que gana el cuerpo durante el proceso”.

Escribe una fórmula que describa este principio.

Problema 3: "La fuerza total que actúa sobre un cuerpo es igual al producto de la masa del cuerpo por su aceleración”.

Si un cuerpo se mueve con aceleración a y tiene masa m, escribe la fórmula que permite calcular

la fuerza total que actúa sobre este cuerpo.

Problema 4: “La densidad de un cuerpo (o líquido) es el cociente entre la masa del cuerpo y el volumen que ocupa”.

Si la masa de un cuerpo es m y su volumen es V, ¿con qué fórmula se calcula la densidad d del cuerpo?

Problema 5: “La energía potencial de un cuerpo es igual al producto de su masa m, por la aceleración de la gravedad g y por la altura h a la que se encuentra”.

Escribe la fórmula que permita calcular la energía potencial Ep.

14.

8.3.- Ecuación de primer grado.

Una ecuación de primer grado con una incógnita, tiene la forma:

a x + b = 0 , con a ¹0

donde el primer miembro de esta ecuación es un polinomio de primer grado en la variable x.

A los efectos de hallar su raíz, es decir, de resolver esta ecuación y cualquier otra, deben tenerse en cuenta los siguientes enunciados relativos a la equivalencia de ecuaciones.

En primer lugar, definiremos:


Dos ecuaciones con iguales incógnitas se denominan equivalentes si todas las soluciones de una son soluciones de la otra, y, recíprocamente. O si ambas no tienen solución.

Ejemplos:

I) Las ecuaciones: 2x - 5 = 3 y -4x + 2x -1 = -9

son equivalentes porque ambas tienen la solución: xo = 4.

II) Las ecuaciones: x2 - 4 = 0 y x + 2 = 0 ¿son equivalentes?

Si lo fueran, ambas deben las mismas raíces. Veamos, si reemplazamos a x por : xo= -2, se tiene

que ésta es una raíz de ambas. Pero, si a x le asignamos el valor x1= 2 satisface la primera de las

ecuaciones pero nó la segunda. Por lo tanto, no son equivalentes.

A los efectos de resolver ecuaciones, deberás ir transformando la ecuación en otra equivalente a la dada, para lo cual deberás recordar que las únicas propiedades que mantienen la equivalencia son :

a) a = b Û a + x = b + x , para todo x

b) a = b Û a . x = b . x , para todo x ¹ 0

Actividades

31: Encuentra el error en la siguiente "demostración":

x = 1

x2 = 12

x2- x = 1 - x

x (x-1) = -1(x-1)

x = -1

1 = -1

32: Halla el valor de x en las siguientes ecuaciones, de reducirse las expresiones a ecuaciones lineales con una incógnita:


a. 2x - 5 = 4x - 2 b. - (5 - 2x) - 1 = 3

c. - x + 3 = - 2x + x + 7 d.

e. f.

g. ( 3+x) = (5-x) (3-x) - 32 h. 5x - 1 = 8(x - 1/2)

i. j.

k. l.

ll.

x+43

− 7−xx−3

= 4 x+79

− 1m.

(20 x3

− 1)⋅x − 193 ( 4

3x − 1

5 )= 0

n.-

33: El padre le dice al hijo: "En el corral hay 16 animales entre gallinas y conejos y en total hay 46 patas" El hijo le responde: "Si, hay 9 gallinas y 7 conejos" ¿Puede justificar la respuesta del hijo?

Rta:Si se puede verificar.

34: ¿Cuál es la longitud de una varilla si su quinta parte es roja, hay dos tercios pintados de blanco, y restan aún dos metros por pintar?.

Rta: 5 mts.

35: ¿Cuáles son los dos números naturales pares consecutivos cuya suma es 166? ¿ Y los dos números naturales consecutivos cuya suma es 1077?

Rta: 82 y 84.

Rta: 538 y 539.

36: Determina las longitudes de los lados de un rectángulo sabiendo que su perímetro es 140 cm. y que la longitud de su base es 10 cm. mayor que la longitud de su altura.

Rta: b= 30 h = 40.

37: ¿Puedes expresar matemáticamente lo que Malba Tahan expresa en "El hombre que calculaba”: ..... La quinta parte de un enjambre de abejas se posó en la flor de Kadamba, la tercera en una flor de Silinda, el triple de la diferencia entre estos dos números voló sobre una flor


de Krutaja, y una abeja quedó sola en el aire, atraída por el perfume de un jazmín y de un pandnus. Dime, bella niña, cuál es el número de abejas que formaban el enjambre.

Rta: 15 abejas

38 Supone que el viaje que realiza Juan desde su casa hasta la Facultad a una velocidad de 30 km./h, toma 12' más que el viaje de regreso a 48 km./h. ¿Qué distancia hay entre la Facultad y su casa? [ Ayuda: la fórmula fundamental empleada en problemas de movimiento es e = v.t , donde e representa distancia, v rapidez o velocidad y t tiempo]

(Rta: e = 16 km)

39: Los miembros de un club de montañismo hicieron un viaje de 380 km a un campo base en 7 hs. Viajaron cuatro horas sobre una autopista y el resto del tiempo viajaron a través de un camino en el bosque. Si la velocidad en esta parte fue 25 km/h menor que en la autopista, calcula la velocidad promedio y la distancia recorrida en cada tramo del viaje).

(Rta: 260 km y 120 km)

40: ¿Cuántos litros de un líquido que contiene 74 % de alcohol se debe combinar con 5 litros de otro líquido que contiene 90 % de alcohol para obtener una mezcla que contenga 84 % de alcohol?

Rta: 3 litros.

41: En muchos problemas de física y mecánica intervienen las palancas. Una palanca es una barra rígida apoyada en un punto llamado punto de apoyo., el que comúnmente se ubica entre los dos extremos de la barra. Si dos pesos W1 y W2 , que se hallan a las distancia L1 y L2 ,

respectivamente, del punto de apoyo, están en equilibrio sobre una palanca, entonces: W1. L1 =

W2 . L2 .

Se te solicita:

a) Si W1 = 21 kg. . W2 = 12 kg. , L1= 4 mts , determinar L2 de manera que el

sistema esté en equilibrio.

b) Si L1 es tres veces menos que L2, con L2 = 3.5 mts y W1 el duplo de W2, con W1=

50 kg, asegurar W2 de manera que el sistema esté en equilibrio.

42: Resuelve S = p r2 + 2 p r h, para h .

43: Cuando se enrolla cinta adhesiva en un núcleo circular, su longitud L, espesor T, radio interior a y radio exterior b, están relacionadas mediante:


L = p/T .(b2 - a2)

Calcula el espesor si L = 3290 cm, a = 1.72 cm. y b = 3.14 cm. ( Toma p=3,1416)

44: Si la densidad de un cuerpo (o un líquido) está dada por la fórmula: d = m/V , donde m es la masa del cuerpo y V es el volumen que ocupa.¿Cuál es la densidad de una naranjada si se sabe que un vaso de 200 cm3 pesa 0,35 kilogramos?.

45: La tierra no es una esfera perfecta, pero si la consideráramos así, su diámetro sería de alrededor de 12740 kilómetros, que es su diámetro promedio, ¿cuál sería el volumen aproximado de la Tierra?

15.

16. 8.4- Ecuación de segundo grado

En el curso de álgebra elemental, obtuviste una fórmula para hallar las raíces de una ecuación de segundo grado. Esta fórmula también es válida para coeficientes complejos. Y trataremos de recordar cómo se llegaba a la misma.

Una ecuación de segundo grado tiene la forma:

a x2 + b x + c = 0 , con a ¹0 (2)

donde a, b y c son coeficientes reales o complejos.

Para resolverla, intentaremos expresarla en una forma lo bastante simple como para visualizar rápidamente las raíces .

Para ellos, dividiremos por a (puede hacerse porque a ¹0) toda la ecuación, obteniendo así una

ecuación cuadrática con coeficientes de x2 igual a l. Hazlo

.........................................................................................................................................

Llamo ahora a la expresión: b/a = p y , a c/a = q

¿Cómo queda la ecuación (2)?

.........................................................................................................................................

Como vemos, tampoco es fácil reconocer a simple vista cuáles son las raíces. Por ello completaremos cuadrados3 en el primer miembro, para lo cual sumaremos y restaremos (para

conservar las raíces) la expresión: p2/4, en el primer miembro. Así:

3 Nota: Si deseas cmpletar un cuadrado, es decir, obtener la potencia de un binomio, debes tener en cuenta que:

(x + a)2 = x2 + 2 ax + a2 , por lo que, si tiene el término cuadrático y el lineal, le falta el independiente. A éste último se lo obtiene sumando y restando la mitad del coeficiente del término lineal, elevado al cuadrado.


x2 + p x + - + q = 0

o, lo que es lo mismo: ( x + p/2)2 = - q ,

de donde, si se trabaja con coeficientes reales, podemos extraer raíz cuadrada a ambos miembros:

expresión de la cual podemos obtener dos ecuaciones de primer grado, saber:

por lo que, las raíces de la ecuación reducida ( con coeficiente de x2 igual a 1 ) son:

si sustituimos p por b/a y q por c/a ( hazlo en detalle), tenemos las raíces de la ecuación(2):

Discusión:

Si los coeficientes de la ecuación son reales, es válida la siguiente discusión de las raíces:

Llamaremos:

D = b2 - 4 a c

discriminante de la ecuación de segundo grado.

el cual es el número que se halla bajo el signo radical en la expresión de las raíces.

Son posibles los siguientes tres casos:

· Caso 1: D > 0 .

Si el discriminante es un número positivo, la ecuación tiene dos raíces reales y distintas, puesto

que la expresión representa dos números contrarios, de modo que las raíces :


x1 =

tienen diferentes numeradores e igual denominador.

· Caso 2: D = 0.

En este caso, ambas raíces son reales e iguales (¿lo observas? ¿te das cuenta? Analizae la expresión de las raíces):

x1 = x2 = - b/a , es decir, que x1 es una raíz doble de la ecuación ( o

una raíz de multiplicidad 2)

· Caso 3: D < 0.

En este caso, la ecuación cuadrática no tiene raíces reales puesto que la raíz cuadrada de un número negativo es un número imaginario. Ampliaremos este caso cuando veamos álgebra de complejos, en donde veremos que las raíces son complejas conjugadas.

17. Propiedades de las raíces de la ecuación cuadrática

- Sumemos miembro a miembro las expresiones de las raíces de la ecuación reducida:

obtenemos: + x2 = ........................................................................................

¿Puedes expresar lo que este resultado indica? ...............................................................

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

¿ Y si multiplicamos las expresiones dadas por y x2 miembro a miembro?

. x2 = ................................................................................................

...............................................................................................................

¿ A qué conclusión abordas? .................................................................................

...............................................................................................................................................................

...................................................................................................................


Estas son propiedades muy importantes de las raíces de una ecuación de segundo grado y que, como puedes ver, establece una relación entre los coeficientes de una ecuación cuadrática reducida y sus raíces.

Si reemplazamos: p = b/a y q = c/a, tenemos expresiones equivalentes para la ecuación general de segundo grado:

+ x2 = - b/a y . x2 = c/a

Actividades

47: Determina el carácter de las raíces de las ecuaciones siguientes sin calcularlas:

a) x2 - 5x + 6 = 0 b)

c) d) z2 - 3z + 2 = 1+ 3z

e) -12 s2+ 5 s + 2 = 0 f) y2 - 2 x + 9 = 0

g) 2 x2 − 6 x

11− 3 x

4= 22x2

3− 9

44− 11 x

4 h)

48: Se pregunta: ¿Para qué valores de k la ecuación: x2- 2kx + 4 = 0 admite: a) una raíz doble? ; b) dos raíces reales distintas? ; c) raíces complejas?

49: Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado con coeficientes reales:

a) x2 - x - 2 = 0 b) (x-1). (x-2) = 2 x2-1

c) 3 u2 + 2u -1=0 d)

e) 8 x2 - 19x + 6 = 0 f) a x2 + ( a2-1)x - a = 0

g) z2 - (5/2) z + 1 = 0 h) (z-1).(-z+2) = 3

50: Halla dos números tal que su suma sea igual a 4 y su producto sea igual a 1.

51: Encuentra dos ecuaciones cuadráticas en cada caso que tenga las soluciones dadas:


a) 2 , 1 b) - 2/3 , 1/5 c) 2 + , 2 -

d) 3 + , 3 - e) -1/2, 3/7

52: El calor de vaporización, en calorías por mol, está dado por:

A + B T + C T2 = 0

Para el hexafluorobenceno ., A = 12 587. 5 , B = -10.3365 y C = -1.0917. Calcula el calor de vaporización a T = 25°C.

(Rta: 11.647)

53: La ecuación: 2 p r ( V2- V3) + p r2 p g h = 0 ocurre en fisicoquímica con relación a la

energía libre de un líquido en equilibrio. Resuélvela para r.

54: Resuelve las ecuaciones dadas para la variable que se indica en cada caso:

a.- 3 x2+ 8 x y + 8 y2 = 2 para y

b.- S = - 16 t2 + v t para t

c.- para y

d.- A = p r2 + 2 p r h para r

55: La temperatura Celsius T a la que hierve el agua a una altura h sobre el nivel del mar esta dada por:

h = 100 (100 - T) + 580 (100 - T)2

a) ¿A qué altura el agua hierve a 98,6 ° C ?

b) ¿A qué temperatura hierve el agua cuando la altura es de 1 km?

18.

19. 8.5- Ecuaciones reducibles a segundo grado

8.5.1) Ecuaciones bicuadradas

Se llama ecuación bicuadrada a la ecuación de cuarto grado que contiene sólo potencias pares de la incógnita:

ax 4+bx 2+c=0


La resolución de una ecuación de esta forma, se reduce a resolver dos ecuaciones de segundo grado ( por ello lo de bicuadrada).

En primer lugar, debe observarse que si es una raíz de la ecuación, también lo es - (¿Te das cuenta porqué? Pruébalo) .

A los efectos de resolverla, se acude a una variable auxiliar z, haciendo:

z = x2 , (*)

por lo que: z2 = x4 .

Reemplazando en la ecuación se tiene:

a z2 + b z + c = 0

que, como se sabe tiene dos soluciones: z1 y z2

Pero, por (*) : z1 = x2 y z2 = - x2

de estas dos ecuaciones de segundo grado, tratándolas por separado, se obtienen las cuatro raíces:

x1,2 = ± y x3,4 = ± de la de la ecuación en cuestión,

donde: = - x2 y x3= - x4

8.5.2) Ecuaciones recíprocas

Las ecuaciones recíprocas son aquellas que son satisfechas por un valor

y por su recíproco:

Entre ellas, tenemos un caso particular:

a x4 + b x3 + c x2 + bx + a = 0, con a ¹0

se trata de un caso en el que los coeficientes simétricos son iguales en una ecuación de cuarto grado.

Reemplaza en esta ecuación a x por = 0.

.....................................................................................................................

¿Es 0, Si trabajaste bien, podrás justificar que es factible - a los efectos de hallar su solución-

dividir por x2 a toda la ecuación, así:


Luego: a x2 + bx + c +

de donde, factoreando y agrupando término ( hacerlo) se tiene:

(**)

utilizando a z como variable auxiliar, y poniendo: z = x + , tenemos que:

reemplazando en (**) : a ( z2- 2) + bz + c = 0

que es una ecuación de segundo grado con raíces z1 y z2 , y para la cual tenemos un método para

resolverla. Pero, la ecuación original tiene como variable a x, entonces ¿ cómo hacemos para hallar los valores de x?. De la siguiente forma:

z = x + por lo que: (expresión que se obtiene sacando común denominador de la primera)

entonces, z. x = x2 + 1 , de donde x2 - z x + 1 =0

para z = z1 , x2 - z1x + 1 = 0 con raíces x1 y x2

y, para z = z2 , x2 - z2 x + 1 = 0 con raíces x3 y x4

Y así habremos obtenido las cuatro raíces que, por el teorema fundamental del álgebra sabemos que existen.

8.5.3) Ecuaciones Irracionales

Las ecuaciones irracionales son aquellas en las que la incógnita se encuentra bajo el signo radical.

Evidentemente, el alumno se preguntará porqué las vamos a estudiar como ecuaciones algebraicas, que es de lo que estamos tratando. La respuesta es que, si bien éstas ecuaciones no son


algebraicas enteras, algunas de ellas pueden- mediante sustituciones convenientes- transformarse en ecuaciones algebraicas enteras.

Como cada caso representa un caso distinto, daremos algunos ejemplos a modo de ilustrar la idea que se persigue:

Ejemplo 1: (I)

Si el factor x lo llevamos bajo el signo radical, se tiene:

llamando:

la ecuación se transforma en:

2 z2- 3z - 20 =0 (II)

Como se trata de una ecuación de segundo grado, podemos hallar sus raíces por la conocida fórmula, obteniendo: z1 = 4 y z2 = - 5/2

pero, estas raíces son de la ecuación (II) . Si deseamos hallar las raíces de (I), usamos la sustitución:

pero los valores obtenidos con z1 son positivos y reales.

Reemplaza en (I) = 8 y x2 = -8 .

Comprueba que son raíces de la ecuación.

...............................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................

Ahora... ¿Qué pasa con los valores obtenidos con z2? ¿verifican la ecuación?

...............................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................


Tu resultado debe indicar que, al utilizar procedimientos no lícitos para la equivalencia de ecuaciones (las mismas soluciones) ,- cual fue el de introducir un factor dentro del radical - introdujo raíces extrañas , ó también llamadas raíces impropias: son raíces de la ecuación que te permite resolver ( resolvente) pero nó de la original.

Ejemplo 2:

Esta ecuación puede transformarse en:

llamando: t = , se tiene: t2 = x2 + 3x + 6

por lo que la ecuación puede escribirse:

t2 - t - 2 = 0

que tiene dos raíces: t1 y t2 . Procediendo de la misma forma anterior, puedes probar que sólo el

valor positivo de t sirve para resolver la ecuación inicial, es decir:

t = 2. (Resuélvela para ver que efectivamente así es).

De estos ejemplos podemos deducir que, de acudirse a propiedades no válidas para mantener la equivalencia de ecuaciones, pueden introducirse raíces extrañas, es decir, raíces que si bien resuelven la ecuación sustituta, no resuelven a la inicial. Y, por ello lo de raíces extrañas (desconocidas por la inicial).

También puede ser útil- para el caso concreto de ecuaciones irracionales- para transformarlas en ecuaciones algebraicas enteras los siguientes métodos:

1. Si la ecuación contiene un solo radical, dejamos a éste en el primer miembro (lo aislamos), de manera que en el segundo miembro nos quede una expresión algebraica entera. Luego elevamos a la potencia que coincida con el índice de la raíz. Y, resolvemos la ecuación que así resulta.

Siempre deben verificarse las raíces obtenidas en la ecuación inicial puesto que alguna, algunas, o todas, podrían ser impropias.

2. Si la ecuación tiene dos radicales, pasamos uno de ellos al segundo miembro,- nos debe quedar uno de cada lado- elevamos ambos miembros a la potencia que indica el índice de las raíces (deben ser iguales, sinó no sirve el método) y resolvemos la ecuación que resulta. En este caso, quedará seguramente otra raíz y, en ese caso procedemos como en 1.


3. Puede suceder que la ecuación tenga varios radicales. En ese caso, debería verse la posibilidad de agruparlos con factores comunes ( de ser posible) en uno u otro miembro, elevando a la potencia que corresponde.

4. Si figuran radicales en el denominador, se procederá elevando las fracciones a común denominador, formando la proporción que derive y resolver multiplicando los medios por los extremos.

Ejemplo 3:

Þ x2 + 5x + 1 = (2x-1)2 Þ x2 + 5x + 1 = 4x2 - 4x + 1 Þ 3x2 - 9x = 0

lo cual es una ecuación de segundo grado que admite como raíces a : x1= 0 y x2 = 3 , donde:

x2 = 3 verifica la ecuación inicial y x1= 0 es una raíz extraña.

Ejemplo 4:

Como se trata de una ecuación irracional con dos radicales en el mismo miembro, pasaremos un radical al segundo miembro, así:

de donde, elevando al cuadrado:

(x-9)=1+2 + (x-18)Þ

por lo que: = 34 es raíz de la ecuación inicial. ( Antes de asegurar esto debo reemplazar si ésta raíz, que satisface a la ecuación sustituta, lo es de la inicial).

Ejemplo 5:

Þ

Dejando dos radicales de cada miembro:


elevando al cuadrado:

de donde, simplificando términos, se tiene:

elevando nuevamente al cuadrado:

y, la raíz x0 =3 es raíz de la ecuación dada, basta verificar que así es.

Por último veremos un caso especial de ecuaciones que podría llevarse a una ecuación de segundo grado.

8.5.4.- Ecuaciones cuadráticas en expresiones racionales

Las ecuaciones son racionales cuando la incógnita se encuentra como divisor.

Algunas ecuaciones de este tipo - mediante una sustitución que resulte conveniente puede transformarse en cuadráticas.

Ejemplos: I)

la cual puede escribirse:

se escribe el segundo miembro de esa forma para utilizar la sustitución:

z = 1+x+x2

luego, sustituyendo en la ecuación inicial:

-z2+7z-10=0

cuyas raíces son: z1 = 2 = 1 + x + x2 ( por la sustitución utilizada) , se tiene que:

x2+x+1 = 0 , la que tiene como raíces :


y, de z2= 5 = 1 + x + x2 , se tiene : x2 + x - 4 = 0 que tiene como raíces:

Debe ahora verificarse si las raíces pertenecen a la ecuación dada. Hazlo.

Actividades

56: Dadas las siguientes ecuaciones:

a) x4 + 3 x3 + x2 + 3x + 1 = 0 b) x+1=

c) x2 + 3x + 6 - = x2 + 4 d) z4 - 3z3 + z2 - 3z + 1 = 0

e) f)

g) x+1= h)

i) j)

k) l) 4x3 - 5 x2 - 6x = 0

m) (y5-50y3 + 49 y).(y-1)2 = 0 ll)

13x

=1−x

x+13

n) 2√ 1

5x−2 = 2+√ 1

6x−1

ñ)

1

√5+x−√5−x+ 1

√5+x+√5−x=3

4


o)

x

1 −1

x+12

= 112

p) 2 x4 − 3 x2 − 20 = 0

q) z3 +27 = 0 r)

Se te solicita:

a) Determinar a qué tipo pertenecen y, b) Resolverlas.


polinomios

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