UNIDAD: GEOMETRÍA

ÁNGULOS EN POLÍGONOS

POLÍGONOS

Definición: Un polígono es una figura plana, cerrada, limitada por trazos llamados lados y quese intersectan sólo en sus puntos extremos (no se cruzan).Se clasifican en convexos y cóncavos.

Polígono convexo es aquel polígono que para todo par de puntos de su región interior,el segmento que los une está totalmente incluido en el interior del polígono. De lo contrariose dice que el polígono es cóncavo.

Un polígono regular, es aquel que tiene sus lados y ángulos, respectivamente congruentes.

PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS DE N LADOS

La suma de los ángulos interiores es 180° · (n – 2). La suma de los ángulos exteriores es 360°.

Si el polígono es regular, cada ángulo interior mide180º · (n 2)

n

.

Cada ángulo exterior de un polígono regular mide360º

n.

El número de diagonales que se puede trazar desde un vértice es n – 3.

El número total de diagonales que se pueden trazar esn · (n 3)

2

.

EJEMPLOS

1. ¿Cuánto suman las medidas de los ángulos interiores de un polígono de 8 lados?

A) 360ºB) 540ºC) 720ºD) 1.080ºE) 1.440º

2. ¿En cuál de los siguientes polígonos, la suma de los ángulos interiores es igual a la sumade los ángulos exteriores?

A) Hexágono.B) Pentágono.C) Cuadrilátero.D) Triángulo.E) No existe tal polígono.

C u r s o : Matemática Tercero

Material N° MT-14

2

CUADRILÁTERO es aquel polígono que tiene 4 lados.

Los cuadriláteros se clasifican en: Paralelogramos, Trapecios y Trapezoides

PROPIEDADES

La suma de los ángulos interiores es 360º.

La suma de los ángulos exteriores es 360º.

EJEMPLOS

1. En la figura 1, el polígono ABCD es un polígono no convexo (cóncavo). Entonces, lamedida del ángulo es

A) 25ºB) 115ºC) 155ºD) 205ºE) 215º

2. En la figura 2, ABCD es un polígono cualquiera. El ángulo ABC mide 80° y el ángulo ADC

mide 120°. Si CM y AM son bisectrices de los DCB y DAB, respectivamente, entonces

el ángulo x mide

A) 160ºB) 120ºC) 100ºD) 80ºE) 20º

120ºx

M

A B

DC

fig. 2

80º

85º

40º

30º

A

B

D

C

fig. 1

3

PARALELOGRAMO

Definición: Un paralelogramo es aquel cuadrilátero que tiene 2 pares de lados opuestosparalelos.

Clasificación y Propiedades

EJEMPLOS

1. En la figura 1, L1 // L2. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) siempreverdadera(s)?

I) ADFC es un paralelogramo.II) Si = 90º, entonces ADFC es un rectángulo.

III) Si AE = DB y = 90°, entonces ABED es un cuadrado.

A) Sólo IB) Sólo IIIC) Sólo I y IID) Sólo II y IIIE) I, II y III

2. Para que un cuadrilátero sea un paralelogramo, se debe cumplir necesariamente que

A) sus diagonales sean congruentes.B) sus diagonales sean bisectrices.C) sus diagonales sean perpendiculares.D) sus diagonales se dimidien mutuamente.E) tengan un par de lados paralelos.

CUADRADO ROMBO RECTÁNGULO ROMBOIDE

NOMBRE

PROPIEDADES

Lados opuestoscongruentes

Ángulos opuestoscongruentes

Las diagonalesse dimidian

Ángulos contiguossuplementarios

Diagonalesperpendiculares

Diagonalesbisectrices

Diagonalescongruentes

45º

45º

a45º

45º

45º

45º

45º

45ºa

a a

aa

a a

a

b

a

b

a

bb

a

D E F

A B C

fig. 1

L1

L2

4

TRAPECIOS

Definición: Es aquel cuadrilátero que tiene sólo un par de lados paralelos, llamados bases.

Clasificación: – Los trapecios se clasifican en Isósceles y Escalenos. Los trapecios isósceles son aquellos que tienen sus lados no paralelos

iguales. Los trapecios escalenos, son los que tienen sus lados no paralelos

desiguales.

Propiedades

En todos los trapecios, los ángulos colaterales internosentre las bases ( AB y CD ) son suplementarios, esdecir: + = 180º y + = 180º.

TRAPECIO ISÓSCELES

Propiedades

Diagonales congruentes ( BDAC ). Ángulos basales congruentes (DAB ABC).

Ángulos opuestos suplementarios.

EJEMPLOS

1. En el trapecio ABCD de la figura 1, AB // CD y BC = CD . Si el ángulo BDC mide 35º,entonces el ángulo ABC mide

A) 110ºB) 70ºC) 45ºD) 35ºE) 25º

2. Los ángulos interiores de un trapecio son entre sí como 3 : 4 : 5 : 6. Entonces, el ángulointerior mayor mide

A) 40ºB) 60ºC) 66ºD) 80ºE) 120º

A B

D C

AB // CD

A B

D Cfig. 1

A B

D C

5

TRAPEZOIDES

Definición: Es aquel cuadrilátero que no tiene lados opuestos paralelos.

Clasificación: Los trapezoides se clasifican en asimétricos y simétricos.

tRA

PROPIEDADES DEL DELTOIDE

Diagonales perpendiculares.

Eje de Simetría (diagonal BD ) es:

Bisectriz de los ángulos ABC y CDA. Simetral de la diagonal AC .

EJEMPLOS

1. En la figura 1, el deltoide PQRS es tal que SP = PQ y SR = QR . Si RPQ =14º y

RSP = 109º, entonces el ángulo SRQ mide

A) 33ºB) 57ºC) 76ºD) 109ºE) 114º

2. En el deltoide MNST de la figura 2, ST = SN y TM = NM . Si MNS = 135° y

TSN = 70°, entonces STN + SMT es igual a

A) 45ºB) 55ºC) 65ºD) 90ºE) 125º

AB AD y CD CB

Trapezoideasimétrico

A B

CD

Trapezoidesimétrico(deltoide)

A

D B

C

fig. 1

P

S Q

R

fig. 2

M

T N

S

a b

D

C A

B

bb

aa

6

EJERCICIOS

1. Si en un polígono convexo la suma de sus ángulos interiores es igual a 1.440º, entoncesel polígono es un

A) hexágono.B) octágono.C) decágono.D) dodecágono.E) eneágono.

2. Si en un polígono se pueden trazar en total 20 diagonales, entonces el polígono tiene

A) 6 lados.B) 8 lados.C) 9 lados.D) 12 lados.E) 15 lados.

3. Si la diferencia entre el número total de diagonales y el número de lados de un polígonoes tres, entonces el polígono tiene

A) 9 lados.B) 8 lados.C) 7 lados.D) 6 lados.E) 5 lados.

4. En el pentágono regular de la figura 1, los puntos A, B y F son colineales. Entonces, el x

mide

A) 60ºB) 72ºC) 80ºD) 90ºE) 100º

5. ¿En cuál de los siguientes polígonos regulares, el ángulo exterior mide el triple del ángulointerior correspondiente?

A) Triángulo equilátero.B) Pentágono.C) Hexágono.D) Decágono.E) No existe un polígono regular que cumpla la condición.

x

A

B

CD

EF

fig. 1

7

6. La diagonal del cuadrado ABCD de la figura 2, se prolonga de modo que CE AB ,entonces la medida del ángulo es

A) 18ºB) 22,5ºC) 24ºD) 30ºE) 45º

7. En el rectángulo ABCE de la figura 3, AE ED DC , entonces el ángulo mide

A) 30ºB) 45ºC) 60ºD) 90ºE) 105º

8. En la figura 4, ABCDEF es un hexágono regular. ¿Qué porcentaje es la medida del ánguloAEF respecto a la medida del ángulo FED?

A) 25%B) 30%

C) 3313

%

D) 40%E) 45%

9. En el pentágono regular ABCDE de la figura 5, ¿cuál es la medida del BED?

A) 36ºB) 54ºC) 60ºD) 72ºE) 108º

10. Si en el trapecio isósceles con bases AB y CD , de la figura 6, el y = 70°, entonces el

ángulo x mide

A) 210ºB) 140ºC) 110ºD) 70ºE) ninguna de las anteriores.

BC

D A

E

fig. 2

DE

BA

F C

fig. 4

BA

CE

D

fig. 5

BA

CD

fig. 6

y

x

fig. 3

A B

E CD

8

11. En la figura 7, ED AB , BC CE y =13. ¿Cuál es la medida del ángulo si = 120º?

A) 10ºB) 20ºC) 30ºD) 45ºE) 60º

12. Al unir consecutivamente los puntos medios de los lados de un rombo, se forma un

A) cuadrado.B) rectángulo.C) romboide.D) rombo.E) deltoide.

13. En el trapecio MNPQ, de la figura 8, MN // PQ , MQP = 105°, NPQ = 9x + 5º,

QMN = 3y y MNP = 2x + 10º. Entonces, el valor de (y – x) es igual a

A) 30ºB) 25ºC) 20ºD) 15ºE) 10º

14. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es o son verdaderas?

I) En todo cuadrilátero las diagonales se dimidian.II) En todo paralelogramo las diagonales son bisectrices.III) En el cuadrado, rombo y deltoide las diagonales son perpendiculares.

A) Sólo I.B) Sólo II.C) Sólo III.D) Sólo I y III.E) Sólo II y III.

15. En el trapecio rectángulo ABCD de la figura 9, las bisectrices QB y QC de los ángulosen B y en C, respectivamente, forman un ángulo x que mide

A) 45ºB) 60ºC) 75ºD) 90ºE) 105º

M N

Q Pfig. 8

x

A B

D C

fig. 9Q

C

A D

E

fig. 7

B

9

16. En el polígono de la figura 10, AB // PC y AP // BC . Si AP y CP son bisectrices de losángulos interiores respectivos, entonces el valor del ángulo es

A) 160ºB) 140ºC) 120ºD) 100ºE) 60º

17. Al trazar las diagonales de un paralelogramo, éstas forman 4 triángulos que siempreson:

I) Congruentes.II) Equivalentes (de igual área).III) Rectángulos.

Es (son) verdadera(s)

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIE) Sólo II y III

18. En la figura 11, el vértice A del cuadrado ABCD pertenece al lado EF del cuadrado DEFG.Si DB es diagonal del cuadrado ABCD y EAD = 70°, entonces el x mide

A) 75ºB) 65ºC) 35ºD) 25ºE) 15°

19. En la figura 12, ABCDEF es un hexágono regular, entonces la medida de 2y + 3x es

igual a

A) 330ºB) 150ºC) 144ºD) 108ºE) 72º

fig. 10

A B

D

E CP

80º

60º

E

D C

A B

G

F

70º

x

fig. 11

DE

BA

F C

fig. 12x

y

10

20. Al trazar una de las diagonales de un pentágono regular, se forman

A) un triángulo isósceles y un trapecio isósceles.B) un triángulo isósceles y un trapezoide.C) un triángulo equilátero y un cuadrado.D) un triángulo equilátero y un trapecio isósceles.E) un triángulo isósceles y un rombo.

21. En la figura 13, ABCD es un trapecio de bases AD y BC . Si DE DA , entonces x + y

es igual a

A) 135ºB) 90º + zC) zD) 180º – zE) 360º – z

22. En el rombo ABCD de la figura 14, P y Q son puntos medios y DCB = 50º. Entonces,

APQ =

A) 25ºB) 50ºC) 130ºD) 145ºE) 155º

23. En el paralelogramo MNOP de la figura 15, PI y MN son perpendiculares y el ángulo = 75°, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?

A) = 7 · B) + = 180ºC) = D) = 5 · E) 2 · = 3 ·

24. Si en la figura 16, = 80º, = 50º y = 80º, entonces x mide

A) 70ºB) 80ºC) 110ºD) 130ºE) 140º

z

x

y

A

B

C

D

E fig. 13

A B

CD Q

Pfig. 14

M N

OP

I

fig. 15

x

BA

D C

fig. 16

11

25. En el cuadrilátero ABCD de la figura 17, = 60º y = 100º, entonces el valor de12

(x + y) es

A) 200ºB) 160ºC) 100ºD) 90ºE) 80º

26. En el deltoide ABCD de la figura 18, AB AD y DC BC . Si BAD = 50° y

ADC = 150°, entonces el valor del ángulo x es

A) 95ºB) 85ºC) 75ºD) 65ºE) 55º

27. En la figura 19, las diagonales AC y BD del rombo ABCD se intersectan en E. Si F es unpunto de AB tal que FE EB y DAE = 35º, entonces el complemento del ángulo x mide

A) 70ºB) 65ºC) 45ºD) 40ºE) 20º

28. Se puede determinar el número de lados de un polígono convexo, si se conoce:

(1) La suma de los ángulos interiores.

(2) El número total de diagonales.

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

A B

DC

fig. 17y

x

A

B

C

D fig. 18

x

A B

CD

fig. 19

F

x

E

12

29. En el cuadrilátero ABCD de la figura 20, se puede calcular la medida del ángulo x si :

(1) Se conoce la medida del ACD.

(2) Se conoce la medida del ABC.

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

30. En la figura 21, se puede determinar la medida del ángulo si :

(1) + + = 300º

(2) MNOP es un romboide y + = 180º.

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

RESPUESTAS

.

DMDOMT-14

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xA

B

D C

fig. 20

M

P

O

N

fig. 21

EjemplosPágs. 1 2

1 D C2 C E3 A D4 B E5 E C

1. C 11. B 21. C

2. B 12. B 22. E

3. D 13. E 23. E

4. B 14. C 24. C

5. E 15. D 25. E

6. B 16. D 26. B

7. D 17. B 27. A

8. A 18. D 28. D

9. D 19. A 29. E

10. C 20. A 30. A

EJERCICIOS PÁG. 6