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Notas Sobre Varias Variables Reales

Liliana Ghersi

Ana Gerosi

Daniela Parada

141

UNIDAD 5

CÁLCULO INTEGRAL DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES REALES

CONTENIDOS:

Introducción. Integrales definidas. Integrales iteradas. Integrales dobles, interpretación

geométrica, propiedades de la integral doble, reducción de la integral doble a integrales

iteradas.

Cambio de variables en las integrales dobles; coordenadas polares. Integrales múltiples,

introducción.


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142

DESARROLLO:

Definición Del Área De Una Región Plana:

Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a; b]; y ba;x 0f(x)

Si R es la región delimitada por la curva y = f(x); el eje x y las rectas x = a y x = b; y si

se divide el intervalo [a; b] en n subintervalos de manera tal que n

abΔx

y

i1ii x;xc . Entonces si f(ci) es el valor de función mínimo absoluto en el i-ésimo

subintervalo, la medida del área de la región R está dada por:

εA-x)f(clímNn y Zn 0/siN 0ε

x)f(clímA

n

1i

in

n

1i

in

que e a decir Equivalent

Esta ecuación significa que para cualquier 0ε , existe un N>0 tal que si n es un

número entero positivo y si n>N entonces:

εA-x)f(cn

1i

i

Definición: Suma de Riemman:

Si el intervalo [a;b] se divide en subintervalos que no todos tienen la misma longitud, a

dicho conjunto de subintervalos se lo denomina partición (Δ) del [a;b]. La longitud del

intervalo más largo de la partición (Δ) se llama norma de la partición y se la denota

por .

Ahora bien,

iemman Suma de Rnombre de:recibe el

xx)f(ξnkk/1 Δconx;x;xξSea n

1i

1iiiki1ii

Función Integrable en un intervalo cerrado:

Sea f una función cuyo dominio contiene al intervalo cerrado [a; b]. Se dice que f es

integrable en [a; b] si existe un número L que satisface la condición de que, para


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143

cualquier ε>0, existe una δ>0 tal que para toda partición Δ para la cual

LxΔξf

:como representa secual Lo

LxΔξfni1xxξyδ;Δ

n

1i

i

n

1i

ii1ii

0lím

Definición de integral definida: Si f una función definida en el intervalo cerrado [a; b];

entonces la integral definida de f de a a b, denotada por ,f(x)dx

b

a

está dada por:

existe límite el si;x)Δf(ξlímf(x)dxn

1i

ii0Δ

b

a

Teorema: Si una función es continua en el intervalo cerrado [a; b], entonces es

integrable en [a; b].

Definición Del Área De Una Región Plana: Sea f una función continua en el intervalo

cerrado [a; b]; y ba;x 0f(x)

Si R es la región delimitada por la curva y = f(x); el eje x y las rectas x = a y x = b;

entonces la medida A del área de la región plana R está dada por:

b

a

n

1i

ii0Δ

f(x)dxx)Δf(ξlímA

Teorema: Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a; b]. Si m y M son,

respectivamente, los valores funcionales mínimo absoluto y máximo absoluto de f en

[a;b] de manera tal que

abMf(x)dxabmba;xMf(x)m

b

a

Teorema del valor medio para integrales: Si la función es continua en el intervalo

cerrado [a ; b]; entonces existe un número en [a ; b]; tal que:

abχff(x)dx

b

a

El valor χf dado por el teorema del valor medio para integrales se denomina valor

promedio (o valor medio) de f en [a;b]. Es una generalización de la media aritmética de


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144

un conjunto finito de números, donde dichos números corresponden a pares de la forma

ii wfw ; , con wi perteneciente al i-ésimo intervalo de una partición de [a ; b].

Definición del valor promedio de una función: Si la función f es integrable en el

intervalo cerrado [a ; b]; entonces el valor promedio de f en [a ; b] es:

ab

b

a

f(x)dx

Primer Teorema Fundamental del Cálculo:

Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a ;b] y sea x cualquier número

perteneciente a tal intervalo. Si F es la función definida por:

f(x)F´(x)f(t)dtF(x)

x

a

Si se utiliza la notación de Leibniz para las derivadas, se puede escribir este teorema

como:

f(x)f(t)dtdx

dx

a

Esta ecuación expresa que si primero se integra f y después se deriva el resultado se

regresa a la función original f.

Demostración:


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145

10Δx

10Δx

1

0Δx

11

0Δx

11

Δxx

x

1111

Δxx

x

x

a

Δxx

a

11

Δxx

a

11

x

a

11

xχlím:pues )f(xχflím)F´(x

χflímΔx

xFΔxxFlím

χfΔx

xFΔxxF

Δxχff(t)dtxFΔxx/FΔxx;xχ

f(t)dtf(t)dtf(t)dtxFΔxxF

f(t)dtΔxxF ba,Δxx Sea

f(t)dtxF ba,x Sea

1

1

1

1

11

1

1

Segundo Teorema Fundamental del Cálculo

Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a;b] y sea g una función tal que:

b

a

b

ag(a)g(b)g(x)f(t)dt

ba;xf(x)g (x)

La demostración queda para el lector. Sugerencia: partir del Primer Teorema

Fundamental del Cálculo.

Integrales Iteradas: Se considera ahora el problema de hallar una función de varias

variables, para la cual una de sus derivadas parciales es conocida; o sea al proceso de

derivación parcial del cálculo diferencial corresponde el proceso de integración parcial

del cálculo integral.

Si F es una función de dos variables independientes x e y, se sabe que Fx´

se halla

derivando con respecto a x, permaneciendo y constante. Si por el contrario se conoce

Fx´, se puede conocer

U , integrando con respecto a x, mientras y permanece constante.

xxyxUyxUSea x 822824: 2


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146

Donde U resulta de integrar con respecto a x, permaneciendo y constante y α es la

constante de integración. Pero α puede depender de la variable y, puesto que dicha

variable, en el proceso de integración, permaneció constante; por lo tanto es pertinente

reescribir a U como:

yxxyxyxU 822; 2

Y donde α(y) denota a una función arbitraria de la variable y.

En lugar de relacionar integrales parciales sucesivas con derivaciones inversas,

interesan las relaciones entre integraciones parciales con integrales definidas, y que se

denotan, como:

b

a

2

1

2

1

);( );( dxdyyxFodxdyyxFy

y

b

a

y

y

Y el orden dydx, en esta denotación, significa que primero se integra con respecto a la

variable y permaneciendo x constante.

También es usual, utilizar la siguiente denotación:

b

a

2

1

);(y

ydyyxFdx

Las integrales sucesivas (definidas o indefinidas), de esta forma, se denominan

integrales iteradas o reiteradas.

En los ejercicios 1 a 6, obtenga las integrales iteradas, para la región R indicada en cada

caso y que pertenecen al plano xy:

1°) R

dAxy 223

donde R es la región del plano xy que consiste de todos los pares (x;y) para los cuales

3121 yx

Se tiene que:

243

3636

3

412

3

32)2(12

3

4

2

244

2

24121

2

3323

2

3

22

3232323

2

1

32

1

2

2

1

2222

2

1

3

1

22

2

1

3

1

2

2

1

3

1

22

xxdxxdxxx

dxyxydxdyxydydxxydAxyR


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147

Primero se integró parcialmente respecto de la variable y para posteriormente integrar

respecto de la variable x.

Realizar cambiando orden de integración, para comprobar igualdad en las resultantes.

2°) dAxyyxR

232 3


1011 yx

Se tiene que:

6

1

2

1

12

1

2

1

12

1

212

1

4

1

33

43

33

1

1

23

1

1

1

1

2

1

0

342

1

1

1

0

232

1

1

1

0

232232

xxdxxxdx

yx

yxdxdyxyyx

dydxxyyxdAxyyxR

Sea la región del plano: 1311 yx ; obtenga la integral iterada

correspondiente .

Obtenga la integral iterada pero para la región del plano: 1041 yx

Compare resultados.

6

80

2

)1(281

12

80

2

128

12

80

228

12

8028

4

80

34

3

4

1

33

43

33

2

1

1

23

1

1

2

1

1

1

1

32

4

2

1

3

342

1

1

1

3

232

1

1

1

3

232232

xxdxxx

dxxxxxdxy

xy

xdxdyxyyx

dydxxyyxdAxyyxR

12

95

6

15

12

65

2

1

12

1

2

16

12

64

212

1

4

1

33

43

33

4

1

23

4

1

4

1

2

1

0

342

4

1

1

0

232

4

1

1

0

232232

xxdxxxdx

yx

yxdxdyxyyx

dydxxyyxdAxyyxR


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148

En el primer caso el valor de la integral es menor que 1/6 y en el segundo caso es

mayor, y esto se debe a la manera en que se ha modificado el rectángulo de integración

y a las leyes en cuestión.

3°) R

dAyx


1020 yx

Se tiene que:

3

3204

3

4

2

32204

2

1

2

2

3

2

3

2

34

0

4

0

4

0

2

0

4

0

2

0

4

0

2

0 2

1

ydyydyy

dydydxyxdxdyyxdAyx xyR

4°) R

dAyyx 42


1321 yx

Comprobar, cambiando el orden de integración, la igualdad en las resultantes.

Rta.:30

4441

5°) R

dAyx


3010 yx

Rta.: 35

18

15

124


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149

6°)

R

dAyx2


2110 yx

Rta.:

4

3ln

INTEGRALES DOBLES: para la integral doble de una función de dos variables, se

pedirá que la función esté definida en una región cerrada de R2, el tipo más simple de

región cerrada es la región rectangular cerrada. Dos puntos diferentes,

22112121 /; ; baybabbByaaA , determinan un rectángulo cuyos lados son

paralelos a los ejes coordenados. Los puntos 21212121 ;;,; , ; abybabbBaaA se

denominan vértices y los segmentos de rectas que unen vértices consecutivos se llaman

lados del rectángulo. El conjunto de todos los puntos interiores del rectángulo recibe el

nombre de región rectangular abierta, y el conjunto de todos los puntos de un

rectángulo abierto junto con los puntos de sus lados se denomina región rectangular

cerrada ( R ). Sea f una función definida sobre R, dicha región será considerada como

una región de integración. El primer paso será definir una partición Δ de R; al dibujar

rectas paralelas a los ejes coordenados, se obtiene una red de rectángulos que cubren a

R. La norma de esta partición denotada por Δ está determinada por la longitud de la

diagonal más grande de los rectángulos de la red, o sea se elige la distancia mayor entre

dos puntos cualesquiera de la partición. Numerando las subregiones rectangulares de

manera arbitraria y considerando que en total ascienden a n, y denotando el ancho y la

longitud por: niiunidadesyunidadesx ii 1 ; y si cuadradasunidadesAi es el

área de la i-ésima subregión rectangular, se tiene que:

jxA ii i

Sea iv;u i un punto arbitrario de la i-ésima subregión y sea iv;uf i el valor

funcional en dicho punto, y considérese el producto entre iv;uf i y Ai para la citada

subregión, para todas las subregiones será posible obtener un producto similar y si se

toma la suma de todos ellos, o sea:

)v;f(un

1i

iii

A

la que recibe el nombre de suma de Riemann de una función de dos variables.

Definición del límite de una suma de Riemann de una función de dos variables:


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150

Sea f una función definida en una región rectangular cerrada R. El número L es el

límite de las sumas de la forma )v;f(un

1i

iii

A

Si L satisface la propiedad de que, para cualquier ε>0, existe una δ>0 tal que para

cualquier partición Δ para la cual δΔ y para toda elección posible del punto iv;u i

en el i-ésimo rectángulo ni1 , entonces:

LΔuf

:como escribe se existe, número tal Si

LΔuf

n

1i

ii0

n

1i

ii

Avlím

Av

i

i

Definición de la Integral Doble : Sea f una función definida en una región rectangular

cerrada R. La integral doble de f en R, denotada por ,yx;fR

dA está definida por:

n

1i

ii0

Δufyx;f AvlímdA i

R

Si este límite existe.

Teorema: Si una función es continua en una región rectangular cerrada R entonces es

integrable en R.

Obtener un valor aproximado de la integral doble R

dAxy 223 , donde R es la región

rectangular que tiene por vértices (-1;1) y (2;3) y la partición de R viene dada por las rectas:

2 1,0 yyxx y el par de cada subregión es su centro.

Los valores funcionales son:

Donde en la primera fila se detallan los valores de la primera coordenada y en la primer

columna los correspondientes a la segunda coordenada.

Por lo tanto:

251*31*01*71*41*71*4

)12(*5,2;5,1)12(*5,1;5,1)01(*5,2;5,0

)01(*5,1;5,0)10(*5,2;5,0)10(*5,1;5,023 2

fff

fffdAxyR

Téngase presente que la longitud niiunidadesyi 1 vale uno.

-0,5 0,5 1,5

1,5 4 4 0

2,5 7 7 3


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151

Obtener un valor aproximado de la integral doble R

dAxy 223 , donde R es la región

rectangular que tiene por vértices (-1;1) y (2;3) y la partición de R viene dada por las rectas:

2 5,1,1,5,0,0,5,0 yyxxxxx y el par de cada subregión es su centro.

25,241*5,0*625,1374,4375,1375,7375,6375,4375,3*2

)5,12(*5,2;75,1)5,12(*5,1;75,1

)15,1(*5,2;25,1)15,1(*5,1;25,1

)5,01(*5,2;75,0)5,01(*5,1;75,0

)05,0(*5,2;25,0)05,0(*5,1;25,0

)50,00(*5,2;25,0)5,00(*5,1;25,0

)15,0(*5,2;75,0)15,0(*5,1;75,023 2

f

ff

f

ff

ff

ffdAxyR

Recuérdese que la longitud niiunidadesyi 1 vale uno

Téngase presente que el valor exacto es 24; compárese ambos resultados obtenidos y

analícese convergencia.

La definición del límite de una suma de Riemann de una función de dos variables y la

definición de la integral doble, dadas anteriormente para una región rectangular cerrada,

se pueden aplicar para regiones cerradas no rectangulares, con la condiciones que la

frontera de dicha región consista en un número finito de arcos de curvas lisas unidos

entre sí, y como consecuencia se tiene como válido el siguiente teorema.

Teorema : Sea f una función de dos variables y continua en una región cerrada R del

plano xy tal que Ryxyxf ;0; . Si V unidades cúbicas es el volumen del sólido

S que tiene la región R como su base y cuya altura es yxf ; unidades en el punto

Ryx ; , entonces:

R

i dAAvlímV yx;fΔufn

1i

ii0

Propiedades de la Integral Doble:

teconscsidAcdARR

tan ,yx;fyx;cf

Si f y g son integrables en una región cerrada R, entonces la función f+g es integrable en

R y:

-0,75 -0,25 0,25 0,75 1,25 1,75

1,5 3,375 4,375 4,375 3,375 1,375 -1,625

2,5 6,375 7,375 7,375 6,375 4,375 1,375


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152

RRR

dAdAdAg yx;gyx;fyx;yx;f

Sea f una función integrable en una región cerrada R, y, sean:

RyxMyxfm ;;

Si A es la medida del área de la región R, entonces:

MAdAyxfmAR

;

Teorema: Supóngase que la función f es continua en la región cerrada R y que la región

R se compone de dos subregiones R1 y R2 que no tienen puntos en común excepto

algunos puntos en partes de sus fronteras. Entonces:

21

yx;fyx;fyx;fRRR

dAdAdA

Reducción de la integral doble a integrales iteradas:

Teorema de Fubini para Integrales Dobles

Sea f : R2 →R una función real y continua en el rectánguloD = [a,b]×[c, d], entonces:

d

c

b

a

b

a

d

cR

dxdydydxdA yx;fyx;fyx;f

Si la región cerrada R se expresa como:

d

c

yg

ygR

b

a

xh

xhR

dxdydAygxygydyc

dydxdAxhyxhybxa

)(

)(

21

)(

)(

21

2

1

2

1

yx;fyx;f)()( )2

yx;fyx;f)()( )1

Tipo de Regiones:

)()( :2 Re

)()( :1 Re

21

21

ygxygydycTipogión

xhyxhybxaTipogión

Las integrales dobles, permiten calcular áreas, puesto que el área del recinto R en el

plano xy es numéricamente igual al volumen del cilindro de base R y altura igual a uno,

por lo tanto basta con integrar sobre R la función constante 1; yxf .

En los ejercicios 7 a 9 evalúe las siguientes integrales iteradas, analice la región R

determinada por los límites de integración e indique cuales regiones son del tipo 1, del

tipo 2 o de ambos. Tenga presente que a diferencia de las integrales iteradas presentadas

en los ejercicios anteriores (1 a 6), la integral externa se mantendrá.

7°) 1

0 0

2x

dydx


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153

La región es de tipo 1, pero puede ser de tipo 2:

1 10:2 Re

0 10:1 Re 2

xyyyTipogión

xyyxTipogión

3

1

3

1

0

31

0

2

0

1

0

1

0 0

22

x

dxxdxydydx

xx

8°) 2

1

13

2

x

x

dydx

La región es de tipo 1:

132 21:1 Re xyxyxTipogión

2

5

21213

2

1

22

1

2

1

13

2

2

1

2

1

13

2

xx

dxxdxxxdxydydx

x

x

x

x

9°) 1

0

ye

y

dxdyx

La región es de tipo 2: xexyyyTipogión 10:2 Re

45

32

9

4

3

2

5

2

3

2

3

2

5

2

3

2

3

2

3

2

3

2

2

3

2

3

1

0

2

5

2

31

0

2

3

2

31

0

2

31

0

ee

yedyyedyxdxdyx

yye

y

e

y

yy

10°) dydx

x

y

x

1

0

0

11

2

01 10:1 Re yxyxTipogión

Solución:


Liliana Ghersi

Ana Gerosi

Daniela Parada

154

dxx

xx

dxx

xdxx

xdxy

xdydx

x

y

xx

1

0

2

1

0

22

1

0

0

1

2

1

0

1

0

0

1

1

12

1

110

1

1

1

1

1

2

Antes de calcular la integral indicada, si efectuamos la división correspondiente resulta

que

43x1x1x2x2 , con lo cual :

2ln42

51ln42ln43

2

11

1ln432

11

431

1

4

1

31

1

431

1

12

1

0

21

0

1

0

1

0

1

0

2

xxx

dxx

x

dxxx

xxdx

x

xxdx

x

xx

11°)

2

0

4

4

2

2

y

y

dxdy (ejercicio a título informativo)

La región es de tipo 2: 22 44- 20:2 Re yxyyyTipogión


Liliana Ghersi

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Daniela Parada

155

22

42

24

2

2cos18

cos8cos18cos214*

2)

2

2(2 :

0)0(0 :

cos22

*2

144

14242

2

0

2

0

2

0

22

0

22

0

2

2

0

22

0

22

0

2

2

0

4

4

2

0

4

4

2

2

2

2

send

ddsendsen

LsarcsenycomoLs

LiarcsenycomoLi

ddyseny

Si

dyy

dyy

dyydyxdxdyy

y

y

y

12°) 1

0

y

0

xdxdy

Rta.:6

1

13°) dydxyx

2

0

3

x

2

Rta: 27

1616

14°) dydxxy

x

x

2

1

3

Rta: 2

15

En los ejercicios 15 a 18, obtenga el área, para la región R indicada en cada caso y que

pertenecen al plano xy:

15°)

5,35,1

32

y

R

x


Liliana Ghersi

Ana Gerosi

Daniela Parada

156

10223

2

3

2

5,3

5,1

3

2

3

2

5,2

5,1

xdxdxydydxA

El área de la región es 10 unidades cuadradas.

16°) R es la intersección de los pares pertenecientes al primer cuadrante de R2 con el

círculo de radio 2 en el mismo espacio.

Por lo tanto:

240

20

xy

R

x

24

2

1

244

2

14

2

0

2

2

0

2

4

0

2

0

2

0

4

0

22

xarcsenxxdxxdxydydxA

xx

El área de la región es π unidades cuadradas.

17°) R es la intersección de los pares pertenecientes al primer cuadrante de R2 con los

pares que se encuentran entre las rectas paralelas 2 1 yxyyx

Por lo tanto:

-2

-1

0

1

2

3

4

R2

R1


Liliana Ghersi

Ana Gerosi

Daniela Parada

157

xy

R

x

xyx

R

x

RRR

20

21

21

10

2

1

21

5,15,01

2

1

222

11

2

1

22

1

2

0

2

1

2

1

2

0

2

1

0

1

0

2

1

3

2

1

0

2

1

1

A

xxdxxdxydydxA

xdxdxydydxA

xx

x

x

x

x

El área de la región es 1,5 unidades cuadradas.

18°) R es la región del plano xy limitada por las curvas 22 4 xxyyxy

3

8

3

224

2

0

32

2

0

22

2

0

42

0

42

2

2

2

xxdxxxxdxydydxAxx

x

xx

x

El área de la región es 8/3 unidades cuadradas.

En los ejercicios 19 a 23, obtenga el volumen del sólido para la superficie denotada por

f(x;y) y condiciones indicados en cada caso

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

R


Liliana Ghersi

Ana Gerosi

Daniela Parada

158

19°) scoordenadoplanostreslosyyxyxyxf 2,3;16

1

9

14; 22

5,2127

2

6

47

9

2

6

47

48

1

9

14

16

1

9

14yx;f

3

0

3

3

0

2

2

0

3

0

32

3

0

2

0

22

dxxxdxx

dxyyxydydxyxdAVR

El volumen del sólido es 21,5 unidades cúbicas

20°) x

yxyyxf 2; si 3y0,2x1/)y;x(R

2ln2

9

2

271ln

2

9

2

92ln

2

918

ln2

9

29

1

2

99

2

1

3

yx;f

2

1

22

1

3

0

2

1

23

2

1

3

0

22

xx

dxx

xdxy

x

yx

dydxx

yxydxdy

x

yxydAV

RR

21°) senyxyxf ; si R y0,4x1/)y;x(

Rta: 15

22°) xyexyxf ; si R 1;0x1;0

Rta: 2e

23°) y

xyxf

1

1; si R 1y0,2x1/)y;x(

Rta: 2ln2

9

Integrales Múltiples: Cambio de Variables:

Si se tiene en cuenta que en algunos casos de integración es conveniente un cambio en

las variables elegidas, y en otros casos es necesario dicho cambio, se considera

importante para el desarrollo del curso remitirse en el espacio de dos dimensiones a las


Liliana Ghersi

Ana Gerosi

Daniela Parada

159

llamadas coordenadas polares; se dejan citadas en el espacio de tres dimensiones las

coordenadas cilíndricas como asimismo las coordenadas esféricas.

Definición de coordenadas polares:

Así como es posible localizar un punto en un plano mediante sus coordenadas

rectangulares (cartesianas), es igualmente posible localizarlo mediante otros sistemas de

coordenadas, siendo uno de ellos el sistema de coordenadas polares.

Las coordenadas cartesianas son números, la abscisa y la ordenada, que representan la

distancia dirigida a partir de dos rectas fijas. Las coordenadas polares consisten, en

una distancia dirigida y la medida de un ángulo en relación a un punto fijo y un rayo fijo

(o semirrecta). El punto fijo se denomina polo (u origen) y se representa con la letra O.

el rayo fijo recibe el nombre de eje polar (o recta polar), la cual se denota por OA. La

semirrecta fija, generalmente se la dibuja en posición horizontal.

Sea P cualquier punto del plano, diferente de O. Sea θ la medida en radianes del ángulo

dirigido AOP, positivo cuando se mide en el sentido contrario al giro de las agujas del

reloj y negativo en caso contrario, que tiene como su lado inicial el rayo OA y como su

lado final el rayo OP. Si r es la distancia no dirigida de O a P, o sea OPr , un

conjunto de coordenadas polares de P está dado por r y θ, y se denotan estas

coordenadas como 20;0 ; rr .

Por ejemplo si

4

1;2P su localización es:

Si P es un punto del plano cuyas coordenadas cartesianas son yx; y sus coordenadas

polares son ;r , entonces se verifican las siguientes igualdades:

rsenyrx ;cos

Y además se tiene que:

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 0,5 1 1,5 2

P(2;0,25π)


Liliana Ghersi

Ana Gerosi

Daniela Parada

160

0 tan ;22 xsix

yyxr

Determina las coordenadas polares 20;0 ; rr para

1;1 ;2;0 ;1;3 RQP

6

7

3

1tan

21322

r

6

7;2; PrP

2

11 ;0cos

22022

sen

r

2

1;2; QrQ

4

1

1

1tan

21122

r

4

1;2; QrR

Determinar las coordenadas cartesianas para

6

1;2;;

2

1;3; QrQPrP

)3;0(;

31*3

00*3cos

PyxP

rsen

r

)2

2;

2

6(;

2

2

2

1*2

2

6

2

3*2cos

QyxQ

rsen

r


Liliana Ghersi

Ana Gerosi

Daniela Parada

161

A modo de nota informativa:

Coordenadas cilíndricas del punto P del espacio tridimensional:

xyplanoalPpuntodelciadisz

xysobrePdeproyecciónladepolaresscoordenadarrzrP

tan:

;;20;0 ,;

Coordenadas esféricas del punto P del espacio tridimensional:

xyplanoelconformaOPsemirrectalayzejeelporadoerplanoelqueángulo

zejeelconOPsemirrectalaformaqueángulo

Ppuntoalorigencia deldisrrP

mindet :

tan: ,;

Teorema: Cambio de Variable en una Integral Doble

Sea f :R2 →R una función continua de las variables x y y definida en la región D ⊂ R

2 .

Sea T una función inyectiva que transforma los puntos

(u,v)∈ D′ ⊂ R2 en ( x, y )∈ D ⊂ R

2,

mediante la expresión T (u,v) = (x, y) . Suponga que T es de clase C1 y que la derivada

T′(u,v) es una matriz inversible ∀(u,v)∈ D′ , entonces:

dudvvu

yxvuTfdAyxf

D D;

;;;

´

El término vu

yx

;

;

se conoce como determinante del jacobiano y se obtiene como:

v

y

u

yv

x

u

x

vu

yx

det

;

;

Cambio de variables de coordenadas cartesianas a coordenadas polares en las integrales

dobles:

Sean:

senyx ;cos

El jacobiano será:

cos

cos

;

;

sen

sen

xy

xx

yxJ

Por lo tanto la integral doble, cumplirá la siguiente relación de igualdad:


Liliana Ghersi

Ana Gerosi

Daniela Parada

162

GR

ddsenFdxdyyxF ;cos;

Calcular en coordenadas polares el área del cuarto de círculo

222 ryx ;

en el primer cuadrante.

La región vendrá dada, en coordenadas cartesianas por:

220

0

xry

R

rx

La región vendrá dada, en coordenadas polares por:

20

0

G

r

4222

2

0

2

00

20

0

2

0222

rdddddxdy

rrr

ryx

r

Una aplicación:

En estadística la integral de Gauss, integral gaussiana o integral de probabilidad, es

la integral impropia de la función gaussiana sobre toda la recta de los reales, la

cual tiene amplias aplicaciones Su valor es:

No existe una integral indefinida elemental para

sin embargo es posible evaluarla. La forma más común de calcular la integral de Gauss

en el plano R2 es mediante la integración doble en el sistema cartesiano de coordenadas,

para después hacer un cambio de coordenadas a coordenadas polares y calcular el valor.

Teniendo en cuenta el teorema de Fubini, la integral puede ser escrita como:

2

22222

2

22

dxedyedxedxdyedxdye xyxyx

R

yx

http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas

http://es.wikipedia.org/wiki/Integral_impropia

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_gaussiana

http://es.wikipedia.org/wiki/Integral_indefinida

http://es.wikipedia.org/wiki/Integral_m%C3%BAltiple

http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cartesianas

http://es.wikipedia.org/wiki/Cambio_de_coordenadas

http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_polares

http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Fubini


Liliana Ghersi

Ana Gerosi

Daniela Parada

163

Pero también puede ser calculada mediante el cambio de coordenadas a coordenadas

polares:

00

0

2

0 02

122

22

2

22

dsedsededdedxdye ss

R

yx

Por lo tanto:

dxedxedxdye xx

R

yx 22

2

22

2

INTEGRALES MÚLTIPLES: para la integral múltiple de una función de m variables,

se pedirá que la función esté definida en una región cerrada y acotada R; el primer paso

será definir una partición Δ de R formada por n subregiones rectangulares sin

solapamientos; la norma de esta partición denotada por Δ está determinada por la

longitud de la diagonal más grande de las n subregiones rectangulares de la red, o sea se

elige la distancia mayor entre dos puntos cualesquiera de la partición. Numerando las

subregiones rectangulares de manera arbitraria y considerando que en total ascienden a

n, y denotando por mjjunidadesx j 1 la longitud de cada una de las

dimensiones y si unidadesAi es el área de la i-ésima subregión rectangular, se tiene

que:

m

j

ji xA1

i

Sea imu;;.........u i1 un punto arbitrario de la i-ésima subregión y sea imu;;.........uf i1

el valor funcional en dicho punto, y considérese el producto entre imu;;.........uf i1 y

iA para la citada subregión, para todas las subregiones será posible obtener un

producto similar y si se toma la suma de todos ellos, o sea:

;;.........ufn

1i

i1

iim Au

la que recibe el nombre de suma de Riemann de una función de m variables.

Definición del límite de una suma de Riemann de una función de m variables:

Sea f una función definida en una región cerrada y acotada R. El número L es el límite

de las sumas de la forma ;;.........ufn

1i

i1

iim Au




Liliana Ghersi

Ana Gerosi

Daniela Parada

164

Si L satisface la propiedad de que, para cualquier ε>0, existe una δ>0 tal que para

cualquier partición Δ para la cual δΔ y para toda elección posible del punto

imu;;.........u i1 en el i-ésimo rectángulo ni1 , entonces:

L;;.........uf

:como escribe se existe, número tal Si

L;;.........uf

n

1i

i10

n

1i

i1

iim

iim

Aulím

Au

Definición de la Integral Múltiple: Sea f una función definida en una región cerrada y

acotada R. La integral múltiple de f en R, denotada por dA,;;.........uf.... i1 R

imu

está definida por:

n

1i

i10

i1 ;;.........ufdA;;.........uf.... iim

R

im Aulímu

Si este límite existe.

Teorema: Si una función es continua en una región cerrada y acotada R entonces es

integrable en R.

Ejemplo para m=3

Evalúe la integral triple 2;01;23;2 ;)1(3 xxRsidVyxzR

4

451

4

5)1(

2

5)1(

2)1(

)1(4

)1()1(

1

2

21

2

1

2

2

2

21

2

3

2

2

0

1

2

3

2

41

2

3

2

3

0

33

ydyydyyx

dxdyyx

dxdyyz

xdzdxdyyxzdVyxzI

x

x

z

zR

notas sobre varias variables reales liliana ghersi … · ... si una función es continua en el...

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